成長するネットワークのシミュレーションとその拡張— 世代交代モデルの提案 —

赤松 正教† 古川園　智樹†† 笠井　賢紀† 青山　希†† 井庭　崇†

†† 慶應義塾大学 政策・メディア研究科† 慶應義塾大学 総合政策学部

E-mail: †{s01019ma,zono,s03281yk,bam,iba}@sfc.keio.ac.jp

要旨 本稿の目的は、ノードの増加と減少がともに行われる場合に、ネットワークの特徴がどのように変化するのかを明らか

にすることである。そのために、分析の基礎となる「世代交代モデル」を提案する。世代交代モデルにおけるノードとリンク

の削除方式として「最古ノード削除方式」、追加方式として「ランダム追加方式」「優先的追加方式」「適応度付き優先的追加

方式」の 3つを採用する。世代交代モデルの基本的特徴を明らかにするために、シミュレーションによる実験を行う。削除方式と追加方式の組み合わせは 3パターンあるので、本稿ではこの 3つの場合について比較を行う。

キーワード 世代交代、成長するネットワーク、ノードの増減、社会ネットワーク、シミュレーション

Simulations of Evolving Networks and its Applications

— Generation Alternation Model —

Masanori AKAMATSU†, Tomoki FURUKAWAZONO††, Yoshinori KASAI†, Nozomu AOYAMA††,

and Takashi IBA†

†† Graduate School of Media and Governance, Keio University† Faculty of Policy Management, Keio University

E-mail: †{s01019ma,zono,s03281yk,bam,iba}@sfc.keio.ac.jp

Abstract The purpose of this paper is to show how the characteristics of network changes in increasing and de-creasing nodes. To achieve the purpose, we propose “generation alternation model”. In this model, we adopt “oldestdetachment” as detachment methods and “random attachment”,“preferential attachment”,“preferential attachmentwith fitness” as attachment methods. We simulate this model and show some fundamental features of generationalternation model. In this paper, we compare the three cases because there are three cases in combining detachmentmethods and attachment methods.

Key words generation alternation, evolving network, the increase and decrease of node, social network, simulation

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1. は じ め に

近年、「成長するネットワーク」と呼ばれる一連の理論研究が進んでいる [1]。これらの研究はノード（ネットワークの要素）やリンク（ノード間の繋がり）の生成・除去など、ネットワークのトポロジーに影響するプロセスを扱っており、ネットワークのモデル化がより厳密に行われるようになった。これまでに作成されてきた成長するネットワークのモデルの多くは、ネットワークに新しいノードが追加されるか [2] [3]、ある一定の大きさのネットワークからノードが削除されるか [4]のどちらかであった。しかし、現実社会における組織やネットワークでは、メンバーの加入や脱退のみが行われることはほとんどなく、それらはともに行われることが多い。本稿では、以上のような問題意識にもとづき、ノードの増加と減少がともに行われる場合に、ネットワークの特徴がどのように変化するのかを明らかにする。その分析の基礎となる「世代交代モデル」を提案し、シミュレーションによる実験を行う。

2. 世代交代モデル

2. 1 モデルの全体像

ここで提案する「世代交代モデル」(generation al-ternation model)は、一定時間ごとにネットワークから古いノードを削除し、新しいノードとリンクを追加するというモデルである (図 1)。これは、古いメンバーの引退と、新しいメンバーの加入が、時系列に沿って行われることを表している。もし、同じ数のノードの追加と削除が行われるのであれば、ノードの数は一定数に保たれることになる。図 1のように、古いノードはネットワークから削除される際に、ノードが保持しているリンクも同時に削除されるので、そのノードにリンクを張っていたノードは、リンクを失うことになる。新たに追加されたノードは、既存のノードからノードを選び、リンクを張る。

2. 2 ノードとリンクの削除方式

ネットワークからノードを削除する方式はいくつかあるが [4]、本稿では、必ず古いノードから順番に削除が行われる「最古ノード削除方式」(oldest de-tachment)を採用する。ノードの削除と同時に、そのノードに張られているリンクも削除されることとする。

図 1 「世代交代モデル」のイメージ図

2. 3 ノードとリンクの追加方式ネットワークに新しいノードが追加される際に、既

存ノードとリンクを張る方式は、本稿ではBarabasi[2] [3]にもとづき、次の 3つの方式を採用する。「ランダム追加方式」(random attachment)、「優先的追加方式」(preferential attachment)、「適応度を付与した優先的追加方式」(preferential attachment withfitness)である。以下では、各方式について詳しく説明する。

2. 3. 1 ランダム追加方式「ランダム追加方式」とは、新しく追加されたノードが、既存のノードからランダムにノードを選び、リンクを張る方式である。この方式でネットワークを成長させると、リンク

数の次数分布（注1）は指数関数的になることがわかっている。また、古いノードは追加される機会が多くなるので、古いノードほどリンク数が多いという特徴を持っている。

2. 3. 2 優先的追加方式「優先的追加方式」とは、新しいノードを追加する際に、リンク数の多いノードが優先的に選択される方式である。新しいノードが、k 個のリンクを持つノードにリンクを張る確率は、次の式で与えられる。

prob =k∑i ki

この方式でネットワークを成長させると、ハブ（注2）が形成され、ネットワークの次数分布はベキ乗分布（注3）になることがわかっている [2]。優先的追加方式では、既に多くのリンクを持つノー

（注1）：ノードが持つリンク数（次数）の分布（注2）：ハブとは、ネットワーク内で膨大なリンク数を持つ極めて少数のノードのことを指す。（注3）：両対数グラフにおいて直線状に並ぶような分布を「ベキ乗分布」と言う。ネットワークにおけるベキ乗分布は、多数のリンクを持つノードが少数だけ存在し、一方でごくわずかなリンクしか持たないノードが残りの大半を占める構造になっていることを表している。

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　 　ドにリンクが集中するので、古いノードほどリンクが張られる可能性が高く、ハブになりやすい。逆に最近追加されたノードはほとんどリンクを持っていないので、リンクが張られる可能性は低い。従って、この方式では、古いノードほどリンク数が多く、しかも次数分布がベキ乗になっているネットワークが生成される。

2. 3. 3 適応度付き優先的追加方式

「適応度付き優先的追加方式」では、各ノードに「適応度」（注4）が付与される。適応度とは、「他のノードとリンク数を競う能力」[3]であり、新しいノードを追加する際には、リンク数の多さと適応度の高さに従って、ノードが優先的に選択される方式である。新しいノードが、k個のリンクと ηの適応度を持つノードにリンクを張る確率は、次の式で与えられる。

prob =ηk∑i ηiki

適応度付き優先的追加方式では、リンク数と適応度に応じてリンクを張るので、新しいノードであっても適応度が高ければ多くのリンク数を持つことが可能である。またこの方式でネットワークを成長させると、次数分布がベキ乗になることがわかっている [3]。従って、この方式では、次数分布がベキ乗になっているが、ハブが古いノードに集中していないというネットワークが生成される。

3. シミュレーションによる実験

世代交代モデルの基本的特徴を明らかにするために、シミュレーションによる実験を行う。削除方式と追加方式の組み合わせは 3パターンあるので、ここではこの 3つの場合について比較を行う。シミュレーションによる実験は、以下の設定によって行った。ネットワークのノード数は 300とし、1ステップにおけるノードの交代は、追加するノードが 1、削除するノードが 1とする。また新しく追加されたノードが張るリンク数を 2とする。従って、ネットワークの初期状態では、総リンク数は 600となる。「ランダム追加方式」「優先的追加方式」「適応度付き優先的追加方式」のそれぞれの特徴を明らかにするために、平均経路長（注5）、次数分布、総リンク数がどのように変化していくのかを調べる。さらに、各方式で形成されるネットワークのトポロジーの違

（注4）：Barabasi [3]にならい、「適応度」という用語を用いるが、時間的に変化することはない外生的な値である。（注5）：任意のノード間の最短距離の平均。

図 2 平均経路長の変化

いとその変化を明らかにするために、ネットワークの可視化を行う。なお、シミュレーションによる実験は、Boxed

Economy Simulation Platform（注6）を用いて行った。

4. シミュレーション結果

4. 1 平均経路長の変化

平均経路長の変化は、図 2 のようになる。ランダム追加方式では序盤に平均経路長が伸びていき、その後は一定範囲内に収まる。これに対し、他の 2つの方式では、ランダム追加方式とは全く異なり、序盤に平均経路長が激減している。その後、優先的追加方式では、シミュレーション開始時の平均経路長に近い値まで回復するのに対し、適応度付き優先的追加方式では、増減を繰り返している。

4. 2 次数分布の変化

シミュレーションの結果、次数分布の変化は図 3、図 4、図 5のようになる（注7）。これらの図は、次数分布のグラフを時系列に並べたものであり、分布の変化を見ることができる。ランダム追加方式では、次数分布はほとんど変化

せず、指数関数的な減少を示したままである。これに対し、それ以外の 2つの方式では、序盤において次数分布が劇的に変化している。特に、最大リンク数が大幅に減少していることがわかる。これは、どちらの方式も初期状態でハブになっている古参のノー

（注6）：Boxed Economy Project が提案している SimulationPlatform。詳しくは、 http://www.boxed-economy.org/ および論文 [6]を参照。（注7）：通常、次数分布はその全体的な特徴を見るために、両対数グラフで表示することが多い。本稿では、次数分布の詳細な変化を見るために、両対数グラフではなく、線形グラフで表している。

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図 3 次数分布の変化 (ランダム追加方式)

図 4 次数分布の変化 (優先的追加方式)

図 5 次数分布の変化 (適応度付き優先的追加方式)

ドが序盤において削除されたためである（注8）。序盤以降は、優先的追加方式と適応度付き優先的追加方式も大きな違いを見せている。優先的追加方式では最初のベキ乗分布が崩れた後、ハブが復活する機会はほとんどない。一方で、適応度付き優先的追加方式では、最初のベキ乗分布が崩れた後も、再びベキ乗分布に近い形にまで回復することが確認できる。この違いは、適応度付き優先的追加方式では、比

（注8）：優先的追加方式ではハブは古参のノードだけであるが、適応度付き優先的追加方式では、適応度が高い比較的新しいノードもハブになっている。

図 6 総リンク数の変化

較的新しいノードであっても、適応度が高ければ、削除されるまでに多くのリンクを持つことができることから生じている。そして、ハブが最古ノードになり削除されるときに、またベキ乗分布も崩れることになる。

4. 3 総リンク数の変化

ネットワークに存在する総リンク数の変化は、図6のようになる。すべての方式で、序盤においてネットワークの総リンク数が激減している。特に優先的追加方式と適応度付き優先的追加方式では、ランダム追加方式よりも総リンク数が大幅に減少している。序盤以降においては、ランダム追加方式では約 300

前後で振動するようになる（注9）。これに対し、他の 2つの方式は、ランダム追加方式とは異なる変化を見せている。優先的追加方式では、約 350まで徐々に増加し、再び減少して約 300前後を振動するようになる。適応度付き優先的追加方式では、約 300まで徐々に増加し、約 300前後を振動するようになる。振動幅は、ランダム追加方式と優先的追加方式に

比べて、適応度付き優先的選択方式のほうが大きい。これは、適応度付き優先的追加方式では、ハブの生成と消滅が起きているためだと考えられる。ハブが消滅すると、ハブとなっているノードのリンクも消滅するからである。

4. 4 トポロジーの違い

平均経路長、次数分布、総リンク数の変化から、3つの方式ではネットワークのトポロジーがそれぞれ異なっていることが推測される。このことを明らかにするために、3つの方式がほぼ同じ総リンク数をもっている時のネットワークの可視化を行い、比較

（注9）：1ノードにつき平均 1リンクで収束していることになる。

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図 7 ランダム追加方式によって形成されたネットワーク (247ステップ)

図 8 優先的追加方式によって形成されたネットワーク (247ステップ)

図 9 適応度付き優先的追加方式によって形成されたネットワーク (247ステップ)

を行った。ここでは、総リンク数がほぼ等しい 247ステップ目のトポロジーについて見てみることにしたい（注10）。

（注10）：247ステップ目での総リンク数は、ランダム追加方式が

ランダム追加方式、優先的追加方式、適応度付き優先的追加方式の 247ステップ目のネットワークをそれぞれ可視化すると、図 7、図 8、図 9のようになる（注11）。まずランダム追加方式とそれ以外の 2つの方式では、リンク数 0の孤立しているノードの数に大きな違いがある。リンク数 0の孤立しているノードの数は、ランダム追加方式では 22、優先的追加方式では 60、適応度付き優先的追加方式では 69である。ランダム追加方式とそれ以外の 2つの方式では、約 3倍もの違いがある。このことから、ランダム追加方式とそれ以外の 2つの方式の平均経路長の大幅な違いは、孤立しているノードの数が影響していることがわかる。しかし、優先的追加方式と適応度付き優先的追加

方式では、孤立しているノード数に大きな違いは無いにもかかわらず、平均距離長は約 2倍もの違いがある。これは、図 8、図 9に見られるように、優先的追加方式ではハブが出現していない一方で、適応度付き優先的追加方式ではハブが出現していることから生じている。出現したハブを経由することで、平均経路長が短くなっているのである。従って、適応度付き優先的追加方式では、ランダム追加方式と優先的追加方式より特定のノードにリンクが集中していることがわかる。

4. 5 トポロジーの変化適応度付き優先的追加方式ではハブの生成だけで

なく消滅も起きていること確認するために、適応度付き優先的追加方式のトポロジーの変化を調べた。適応度付き優先的追加方式のトポロジーの変化は、

図 10のようになっている。グラフの縦軸はステップ数、横軸はリンク所持数を示す。同じステップでリンク所持数が同じノードはグラフの同位置に重なり、色が濃くなるように表示している。枠内の図は、その時々のネットワークを可視化したものである。グラフ下方部分の色が濃いことから、リンク数 0、

1、2のノード数が非常に多いことがわかる。また、固まりから離れて上に伸びているノードがある。これはリンク数が増加しているノードである。特に飛び出しているのは、ハブとなっているノードである。このハブは前述の 247ステップ目を経て、332ステップ目まで成長し、333ステップ目で消滅している。な

303、優先的追加方式が 302、適応度付き追加方式 300でありほぼ等しい。また、平均経路長は、ランダム追加方式では約 6.0、優先的追加方式では約 3.2、適応度付き優先的追加方式では約 1.6である。（注11）：図は全てばねモデルで可視化している。左側に並んでいる点は、リンク数 0の孤立しているノードである。

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図 10 ネットワークのトポロジーの変化 (適応度付き優先的追加方式)

お、このノードの適応度は 0.93という高い適応度をもっている。以上のようなネットワークの可視化によって、適応度付き優先的追加方式では適応度の高いノードによるハブの形成および消滅が起きていることが確認された。

5. お わ り に

本稿では、ノードの増減がともに行われるネットワークの基本的特徴を明らかにするために、「世代交代モデル」を提案し、シミュレーションによる実験を行った。今後は、リンク数が一定に保たれるようにリンクをつなぎかえるモデルや、複数のノードが交代するモデルなどについて調べる必要があるだろう。さらに、このようなネットワーク上で情報のやり取りを行う「情報伝播モデル」[5]を分析することで、メンバーの入れ替えのある組織やネットワークにおけるナレッジマネジメントの研究の一助となれば幸いである。謝辞　本稿の作成に協力してくれた慶應義塾大学湘南藤沢キャンパスの Boxed EconomyProjectおよび井庭研究室のメンバーに感謝の意を述べたい。

文 献[1] Albert-Laszlo Barabasi, Linked: The New Science

of Networks, Persus Publishing, 2002 (アルバート=ラズロ・バラバシ, 新ネットワーク思考: 世界のしくみを読み解く, 日本放送出版協会, 2003)

[2] Albert-Laszlo Barabasi, Reka Albert, “Emergenceof scaling in random networks”, Science, vol.286,pp.509 - pp.512, 1999

[3] Ginestra Bianconi, Albert-Laszlo Barabasi, “Com-petition and multiscaling in evolving networks”,Europhysics Letters, vol.54, no.4, pp.436 - pp.442,2001

[4] Reka Albert, Hawoong Jeong, Albert-LaszloBarabasi, “Error and attack tolerance of complexnetworks”, Nature, vol.406, pp.378 - pp.382, 2000

[5] 古川園智樹, 石元龍太郎, 小林慶太, 笠井賢紀, 赤松正教, 井庭崇「社会ネットワークの形成過程シミュレーション：マルチエージェント・モデルによる表現と拡張」情報処理学会:知能と複雑系研究会 (SIG-ICS)&人工知能学会:知識ベースシステム研究会 (SIG-KBS)合同研究会,軽井沢,2004年 8月

[6] T.Iba, “A Framework and Tools for Modelingand Simulating Societies as Evolutionary ComplexSystems ”, 2nd. International Conference of theEuropean Social Simulation Association, Spain,September 2004

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