Effetti dell incertezza idrologica nella valutazione delle ... · incertezza soggettiva, mancanza...
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI
RISCHI NATURALI
RELAZIONE DI FINE TIROCINIO
Effetti dell’incertezza idrologica nella valutazione
delle inondazioni
Studentessa: Tutor:
Federica Piccione Prof. Aldo Fiori
Matricola: 462351
A.A. 2016/2017
1
Sommario
PREMESSA ........................................................................................................................................................ 2
1. INTRODUZIONE ........................................................................................................................................ 3
2. INCERTEZZA NELLE OSSERVAZIONI DI PORTATA ..................................................................................... 5
2.1 UN MODELLO SEMPLICE PER LA STRUTTURA DI ERRORE DEL METODO DELLA SCALA DI
DEFLUSSO ..................................................................................................................................................... 7
2.2 INCERTEZZA NELLE MISURE DI PORTATA ........................................................................................ 8
2.3 INCERTEZZA DELLA SCALA DI DEFLUSSO ......................................................................................... 9
2.4 CALCOLO DELL'INCERTEZZA GLOBALE ........................................................................................... 10
2.5 EFFETTI INTRODOTTI DALL'ERRORE DI ESTRAPOLAZIONE DELLA SCALA DI DEFLUSSO ................ 10
2.6 UN APPROCCIO ANALITICO PER LA STIMA DELL’INCERTEZZA INDOTTA DA ERRORI NEI DATI ..... 13
3. CONCLUSIONI ......................................................................................................................................... 16
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PREMESSA
La seguente relazione descrive le attività effettuate ai fini dello svolgimento del tirocinio formativo, nel
periodo di settembre-ottobre 2017 presso il Dipartimento di Ingegneria Civile dell’Università degli Studi
Roma Tre. Tali attività sono previste dall’art. 10, co. 5 let. d/e del D.M 270/2004, e considerate equivalenti al
tirocinio per un numero di ore non inferiore a 150 come previsto dal piano di studi. La seguente relazione
descrive gli studi propedeutici allo svolgimento della tesi di laurea, con particolare riferimento agli aspetti
riguardanti l’incertezza nella valutazione delle aree inondabili.
In particolare, questo studio propone un quadro per l'analisi e la quantificazione dell'incertezza dei dati
relativi ai flussi fluviali. Tale incertezza è spesso considerata trascurabile rispetto ad altre approssimazioni
che interessano gli studi idrologici. In realtà, dato che i dati di portata vengono di solito ottenuti dal
cosiddetto metodo della scala di deflusso, diverse fonti differenti di errore influenzano le osservazioni
risultanti. Queste includono: errori nelle misure del livello del fiume e della portata utilizzate per
parametrizzare la scala di deflusso, l’errore di interpolazione e di estrapolazione della scala di deflusso, la
presenza di condizioni di flusso non stazionarie e le variazioni stagionali dello stato della vegetazione (vale a
dire la rugosità). I risultati dello studio mostrano che gli errori nei dati di flusso sono ben poco trascurabili.
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1. INTRODUZIONE
Le strategie di mitigazione delle inondazioni dovrebbero essere basate su una valutazione completa del
rischio di inondazione combinata con un'indagine approfondita delle incertezze associate alla procedura di
valutazione del rischio. L'idrologia è intrinsecamente affetta da incertezza, in ragione della nostra ancora
limitata conoscenza dei processi idrologici. Per progettare le opere idrauliche è necessario considerare
l'incertezza adeguatamente ed è quindi necessario conoscere come le osservazioni vengono raccolte.
TAB.1 Fonti di incertezza divise in incertezza aleatoria e epistemica.
Moduli Variabilità (incertezza aleatoria) Conoscenza incompleta (incertezza
epistemica)
Statistiche dei valori
estremi
- Portata massima annuale - Errori nelle misure
- Formule di plotting position
- Selezione dei dati e serie parziali
- Selezione della funzione di
distribuzione della portata max
annuale
- Incertezza di campionamento della
portata max annuale
- Stima del parametro per funzioni di
distribuzione
Routing - Cambiamenti nel corso
d’acqua nel tempo
- Stime del parametro
- Errore nella selezione del modello
Relazione altezza-portata - Isteresi durante
l’inondazione
- Cambiamenti nel corso
d’acqua nel tempo
- Errore nelle misure
- Stima dei parametri
- Errore nella selezione del modello
Rottura dell’argine - Variazione spaziale della
geometria dell’argine
- Variazione del substrato
- Errori nella misura della geometria
dell’argine
- Stime della variabilità dei parametri
dell’argine
- Dimensione della rottura dell’argine
- Qualità del tappeto erboso della
copertura dell’argine
Tributari - Correlazione tra fiume
principale e tributari
- Entità della correlazione, errore della
misura
Stima dei danni - Uso e valore dell’edificio
- Andamento
spaziotemporale
dell’inondazione nel polder
- Metodo per stimare valori degli
edifici e contenuti
- Errore nella selezione del modello di
danno
- Stima del parametro (curve altezza-
danno)
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La tabella 1 elenca le fonti di incertezza divise in incertezza aleatoria e incertezza epistemica. L'incertezza
aleatoria si riferisce a quantità che sono intrinsecamente variabili nel tempo, nello spazio o nelle popolazioni
di individui o oggetti. Può essere operativamente definita come una caratteristica delle popolazioni di misure
che si conformano bene a un modello probabilistico. L’incertezza epistemica risulta da una conoscenza
incompleta dell'oggetto di indagine e si riferisce alla nostra capacità di comprendere, misurare e descrivere
il sistema in esame. L’ incertezza aleatoria è stata definita anche variabilità, incertezza oggettiva, incertezza
stocastica, variabilità stocastica, casualità e incertezza di tipo A. I termini per l'incertezza epistemica sono
incertezza soggettiva, mancanza di conoscenza o conoscenza limitata e incertezza di tipo B.
Identificare le fonti di incertezza e assegnarle alle due classi può essere difficile come in alcuni casi una chiara
distinzione tra variabilità naturale e mancanza di conoscenza non è chiara a causa della nostra incompleta
comprensione del sistema. Come altri studi indicano, la principale fonte di incertezza nella valutazione del
rischio di alluvione deve essere prevista nelle statistiche dei valori estremi.
Negli ultimi anni, c'è stato un crescente interesse per la valutazione dell'incertezza nell'idrologia e nell'analisi
dei suoi possibili effetti sulla modellazione idrologica. L'incertezza è stata riconosciuta essere importante
nella comunicazione con gli utenti finali e nell’essere un ruolo chiave nel contesto di previsione nei bacini
non strumentati. Infatti, gli idrologi sono ben consapevoli che un’approssimazione significativa colpisce
l'output dei modelli idrologici. L’incertezza è causata da molte fonti di errore che si propagano attraverso il
modello e che quindi influenza il suo output. Tre principali fonti di incertezza sono state identificate: (a)
incertezza nelle osservazioni, che è l'approssimazione nelle variabili idrologiche osservate utilizzate come
input o calibrazione / validazione dei dati (ad esempio precipitazioni, temperatura); (b) incertezza dei
parametri, che è indotta da una calibrazione imprecisa dei modelli idrologici; c) incertezza strutturale del
modello, che nasce dall'incapacità dei modelli idrologici di schematizzare perfettamente i processi fisici
coinvolti nella trasformazione afflussi-deflussi. Tra queste, l'incertezza nelle osservazioni si ritiene svolga un
ruolo marginale, dato che è spesso considerata secondaria rispetto ai punti (b) e (c). Tuttavia, la letteratura
scientifica ha dimostrato che errori che interessano le osservazioni della portata sono ben poco trascurabili.
Infatti, la portata del fiume è raramente misurata in modo diretto durante le inondazioni, ma è
indirettamente stimata misurando il livello fluviale e convertendolo in portata fluviale per mezzo di una
relazione di altezza-portata, vale a dire, la cosiddetta scala di deflusso. Questa procedura, meglio descritta
nella prossima sezione, implica che l'incertezza nei dati di portata del fiume è particolarmente significativa
durante eventi alluvionali, quando la scala di deflusso viene estrapolata ben oltre il range di misure. Sono
stati fatti pochi tentativi per quantificare gli effetti dell'incertezza nell’osservazione nella modellazione
idrologica ed idraulica. Nella pratica tecnica la portata fluviale di grandi fiumi si misura facendo ricorso a
tecniche di stima che esprimono la portata in funzione di altre grandezze caratteristiche della corrente, quali
ad esempio la velocità ed il livello del pelo libero.
Il metodo in cui la portata è misurata utilizzando il metodo velocità-area si basa sul rapporto:
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Q’(x, t) = A(x, t) × v(x, t) (1)
dove x è la progressiva del fiume, t è il tempo di campionamento, Q’ (x, t) è la portata del fiume misurata, A
(x, t) è la sezione trasversale e v (x, t) è la velocità media di flusso. Quindi, errori in Q’(x, t) sono originati da
incertezze sia in A (x, t) che in v (x, t), dovuti all’imprecisione del misuratore corrente, alla variabilità della
velocità di flusso del fiume sulla sezione trasversale e all'incertezza nella stima della geometria della sezione
trasversale. L'incertezza generale in una sola determinazione della portata, al livello di confidenza del 95%,
può variare nell'intervallo 8% -20%, principalmente a seconda del tempo di esposizione del misuratore
corrente, del numero dei punti di campionamento dove la velocità viene misurata e del valore di v (x, t). Altri
contributi hanno riportato errori intorno al 5-6%. Inoltre, la norma europea ISO EN 748 (1997) descrive una
metodologia per quantificare gli errori previsti del metodo velocità-area.
È importante notare che, nella pratica operativa, le osservazioni di portata sono solitamente ottenute per
mezzo del cosiddetto metodo della scala di deflusso. Secondo questa tecnica, misure di livello del pelo libero
del fiume sono convertite in portata attraverso una funzione (scala di deflusso), che è preliminarmente
stimata utilizzando un insieme di misure di altezza-portata.
Di conseguenza, un errore aggiuntivo è indotto dalla stima imprecisa della scala di deflusso. La portata del
fiume stimata attraverso il metodo della scala di deflusso è indicata dal simbolo Q (x, t).
Questo studio mira a proporre un quadro per la valutazione dell'incertezza globale che colpisce Q (x, t), che
ovviamente dipende dallo specifico sito di test considerato.
2. INCERTEZZA NELLE OSSERVAZIONI DI PORTATA
Una comprensione completa dell'incertezza che influenza il metodo della scala di deflusso per la misura della
portata richiede una descrizione della procedura stessa. La metodologia standard per derivare la scala di
deflusso si basa sull'ipotesi che esiste una corrispondenza biunivoca tra la portata del fiume e il livello
dell’acqua (di seguito denominata " scala di deflusso vera" vedi Fig. 1); questa ipotesi è plausibile per i fiumi
non soggetti a marea in condizioni di flusso stazionario. La vera scala di deflusso è ovviamente sconosciuta e
la procedura standard per stimarla consiste nell'eseguire indagini sul campo per registrare misurazioni
contemporanee del livello fluviale h(x, t) e della portata fluviale Q’(x, t), valutata utilizzando il metodo
velocità-area. Queste misure permettono di identificare un certo numero di punti (Q’(x, t); h(x, t)) che
vengono poi interpolati utilizzando una relazione analitica come scala di deflusso. Una volta che questa è
stimata, la portata osservata del fiume Q (x, t) in un tempo arbitrario t può essere ottenuta in modo operativo
misurando l’altezza h(x, t). Una funzione ampiamente utilizzata come scala di deflusso (caratterizzata da
alcune giustificazioni fisiche) è la funzione di potenza:
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Q (x, t) = c1 × (h (x, t) - c2) c3 (2)
dove c1, c2 e c3 sono parametri di calibrazione, di solito stimati mediante il metodo dei minimi quadrati. Le
funzioni polinomiali possono anche essere utilizzate come scala di deflusso:
Q (X, t) = c1 x h (x, t) + c2 × h (x, t) 2 + c3 × h (x, t) 3 (3)
Ovviamente, per stimare una scala di deflusso affidabile, è necessaria una riduzione dell'incertezza delle
misure Q’(x, t). La norma europea ISO EN n. 748 (1997) prevede orientamenti a tal fine istituendo uno
standard internazionale per l'Europa. Di conseguenza, la misura di Q’(x, t) deve essere eseguita come segue.
Prima di tutto si dovrebbe misurare la velocità del flusso lungo un certo numero di segmenti verticali che si
trovano sulla sezione trasversale. Quando la larghezza della sezione trasversale supera 10 m, v (x, t) deve
essere misurata lungo almeno 20 verticali che dovrebbero essere collocate in modo che la portata in ogni
sottosezione sia inferiore al 5% del totale; il numero e la spaziatura delle misure di velocità lungo ogni
verticale dovrebbe essere selezionata in modo che la differenza nelle letture tra due punti adiacenti non è
più del 20% del valore più alto. Una volta che le velocità vengono rilevate lungo ciascuna verticale sono
integrate sulla profondità, l'area della curva di velocità ottenuta dà la portata per unità di larghezza lungo
quella verticale. La media di due valori di area successivi dà il valore di portata per unità di larghezza nella
sottosezione inclusa da due verticali. Infine, si ottiene la portata del fiume Q’(x, t) integrando le portate in
ogni sottosezione.
L'incertezza che interessa le osservazioni di portata può essere causata da: errori nelle misure di altezza e
portata utilizzate per parametrizzare la scala di deflusso; incertezza inerente la stima dei minimi quadrati dei
parametri nell’ eq. (2); presenza di condizioni di flusso non stazionario; estrapolazione della scala di deflusso
oltre il range di misure utilizzate per la sua derivazione; presenza di effetti rilevanti di ristagno (causati dalla
confluenza a valle degli affluenti, laghi e serbatoi regolamentati) e cambiamenti temporali nelle proprietà
idrauliche che regolano la relazione di altezza-portata (ad esempio scorrimento e riempimento, crescita
vegetativa, accumulo di ghiaccio durante i periodi di freddo).
L'errore indotto dall’estrapolazione della scala di deflusso oltre l'intervallo di misura (qui di seguito
denominato "errore di estrapolazione") è solitamente la principale fonte di incertezza nei dati di inondazione.
Questo è ben noto in letteratura, come alcuni autori segnalano di non estrapolare la scala di deflusso oltre
un certo range. Tuttavia, molte applicazioni idrologiche, come l’analisi di frequenza dell’inondazione,
necessitano di dati relativi ai flussi fluviali riferiti ad una condizione di flusso elevato quindi l'estrapolazione
della scala di deflusso oltre l'intervallo di misura è spesso necessaria.
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Ad esempio, la figura 1 mostra l'effetto dell’estrapolazione della scala di deflusso oltre la gamma di misura e
sottolinea il fatto che gli errori di estrapolazione aumentano per i valori più elevati di portata. Inoltre, la figura
1 mostra un ulteriore aspetto interessante: l'estrapolazione della scala di deflusso spesso comporta una
sistematica sottostima o sovrastima. Ciò implica che gli errori nell'osservazione della portata sono in qualche
modo correlati.
Fig.1 Esempio di come errori indotti dall’estrapolazione della scala di deflusso spesso conducono sia a una sistematica sottostima
(sinistra) che sistematica sovrastima (destra).
2.1 UN MODELLO SEMPLICE PER LA STRUTTURA DI ERRORE DEL METODO DELLA SCALA DI DEFLUSSO
Al fine di dedurre l'errore che influenza le osservazioni sul flusso derivate dal metodo della scala di deflusso,
deve essere introdotto un modello per la struttura di errore. Dato che le informazioni disponibili sono spesso
limitate nei casi pratici, si fa riferimento a un modello che prende in considerazione le principali fonti di
incertezza con un approccio semplificato. L'incertezza indotta da un'osservazione imprecisa dell’altezza del
fiume viene trascurata. Questo è coerente con il fatto che questi errori sono solitamente molto piccoli (circa
1-2 cm) e quindi dello stesso ordine di grandezza rispetto agli errori topografici standard. Inoltre, si assume
che la geometria del fiume sia stazionaria, il che significa che la scala di deflusso cambia nel tempo solo a
causa della variazione stagionale della rugosità. Questa assunzione è stata fatta perché l'incertezza indotta
da possibili variazioni della geometria del fiume è fortemente dipendente dal caso di studio considerato. Vale
tuttavia la pena notare che, usando questa ipotesi, viene trascurata una delle fonti di incertezza più rilevanti
che possono influenzare le osservazioni di portata dove sono presenti il trasporto di sedimenti e processi di
erosione.
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In considerazione delle ipotesi fatte, si possono individuare le seguenti principali fonti di errore che
interessano Q (x, t):
1) errore e1 (Q (x, t)) nella misurazione Q’ (x, t) ottenuta con il metodo velocità-area;
2) errore e2 (Q (x, t)) dovuto all’incertezza della scala di deflusso che a sua volta è indotta da 2.1) errore di
interpolazione e di estrapolazione e2.1(Q (x, t)), 2.2) la presenza di condizioni di flusso non stazionarie e2.2
(Q(x, t)), 2.3) variazioni stagionali di rugosità e2.3 (Q (x, t)).
Secondo l'esperienza operativa, e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)) sono indipendenti. L'incertezza globale, e(Q (x, t)),
che influenza Q (x, t) può essere ottenuta da:
e (Q (x, t)) = e1 (Q (x, t)) + e2 (Q (x, t)) (4)
e1 (Q (x, t)) si presume essere una variabile casuale gaussiana mentre e2 (Q (x, t)) è precauzionalmente
presupposta essere una variabile casuale binaria dedotta per mezzo di simulazioni numeriche.
Si utilizzano gli approcci tradizionali per dedurre e1 (Q (x, t)), mentre sono state sviluppate tecniche originali
per valutare l'incertezza della scala di deflusso e2 (Q (x, t)). Queste ultime sono un compito difficile in quanto
la metodologia dipende dalla disponibilità di informazione. Per stimare e2 (Q (x, t)) si può far riferimento a
un modello di propagazione, sotto un insieme di ipotesi semplificative. Alcune di queste ipotesi possono
essere facilmente rimosse nelle applicazioni pratiche, a seconda del campo di applicazione dell'analisi e delle
informazioni disponibili.
2.2 INCERTEZZA NELLE MISURE DI PORTATA
L'incertezza che influenza le misure Q’(x, t) derivate dal metodo velocità-area è dovuta principalmente a: il
flusso del fiume durante la misura può essere non stazionario; la presenza di vento può influenzare
l'affidabilità della misura della velocità; la misura della velocità da parte del contatore corrente può essere
imprecisa anche in condizioni ideali; la misura della larghezza, B, della sezione trasversale e della profondità
dell'acqua, hi, lungo ciascuna i-esima verticale può essere influenzata da errori; la variabilità spaziale della
velocità di flusso può causare errori di stima per l'area della curva di velocità lungo i segmenti verticali e la
velocità media per unità di larghezza. Quest'ultimo errore è rigorosamente relativo al numero di segmenti
verticali. Per quantificare l'incertezza che riguarda Q’(x, t) bisogna quantificare le singole fonti di errore. La
norma ISO EN 748 (1997) fornisce indicazioni circa la grandezza di questi errori, al livello di confidenza del
95%: l'incertezza Xe che influenza la misura della velocità locale del flusso è di circa ± 6%, quando la velocità
stessa è di circa 0.5 m/s e il tempo di esposizione è di 2 min; l'incertezza Xc che influenzano la valutazione
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dell'elemento rotante del contatore corrente è circa ± 1%, quando la velocità di flusso è di circa 0,5 m/s;
l'incertezza XB che influenza la misura di B è circa ± 1%; l'incertezza Xd che influenza la misura di hi è circa ±
1%; l'incertezza Xp nella stima della velocità media lungo ciascun segmento verticale è di circa ± 5% quando
vengono raccolte misure in almeno 5 punti; l'incertezza XA nella stima della velocità media sulla sezione
trasversale è di circa ± 5% quando il numero di segmenti verticali, m, è circa 20.
L'incertezza che colpisce Q’(x, t) può essere ottenuta integrando le singole fonti di incertezza. In particolare
in base alle ipotesi che: i) viene utilizzato il contatore corrente in condizioni ideali, senza alcuna incertezza
sistematica e in assenza di vento significativo e flusso non stazionario; ii) gli errori sono indipendenti e
normalmente distribuiti e iii) il numero di segmenti verticali, è almeno 20, con una distribuzione uniforme di
portata lungo le sottosezioni del fiume, l'incertezza che influenza Q’(x, t), al livello di confidenza del 95% può
essere calcolata come:
(5)
Pertanto, si può concludere che ogni misura di portata del fiume che viene utilizzata per calibrare una scala
di deflusso è influenzata da un'incertezza di circa il 5% di Q’(x, t) con un livello di confidenza del 95%. Ne
consegue che e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana con media zero e deviazione standard pari a
0.027Q (x, t).
2.3 INCERTEZZA DELLA SCALA DI DEFLUSSO
Nella pratica operativa non sono disponibili informazioni per dedurre il segno degli errori e2.1 (Q (x, t)), e2.2
(Q (x, t)) e e2.3 (Q (x, t)). Anche se si potrebbe dedurre il segno dell'errore indotto da condizioni non
stazionarie e dai cambiamenti di rugosità, le informazioni necessarie spesso non sono disponibili. Inoltre, è
improbabile che sia introdotta qualsiasi assunzione affidabile sul segno degli errori indotti mediante
interpolazione / estrapolazione. La situazione peggiore si ottiene quando i segni sono d'accordo; infatti, se
gli errori hanno segni contrari c’è la compensazione degli errori. Perciò, per seguire un approccio
conservativo, questi errori si suppone abbiano una struttura additiva assoluta, in modo che l’errore assoluto
che colpisce Q (x, t), indotto dall’incertezza della scala di deflusso, |e2 (Q (x, t))|, può essere ottenuto
mediante:
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| e2 (Q (x, t)) | = e2.1 (Q (x, t)) | + | e2.2 (Q (x, t)) | + | e2.3 (Q (x, t)) | (6)
Ciò consente di ottenere deterministicamente una stima sicura dell'errore assoluto indotto dall’incertezza
della scala di deflusso per via di una simulazione numerica. Tuttavia, dato che non sono disponibili
informazioni nella pratica operativa per dedurre l’errore del segno, e2 (Q(x, t)) si presume essere una variabile
binaria che può assumere i valori + | e2 (Q (x, t)) | e - | e2 (Q (x, t)) | con uguale probabilità.
2.4 CALCOLO DELL'INCERTEZZA GLOBALE
Sotto il summenzionato assunto di indipendenza di e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)), l'errore globale che influenza
Q (x, t), e (Q (x, t)), al livello di confidenza del 95%, può essere calcolato secondo l’eq. (4). Deve essere preso
in considerazione che e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana con media zero e deviazione standard
pari a 0.027Q (x, t) (vedi Sezione 2.2) mentre e2 (Q (x, t)) è una variabile casuale binaria che prende i valori
+| e2 (Q (x, t)) | e -| e2 (Q (x, t)) | con uguale probabilità.
2.5 EFFETTI INTRODOTTI DALL'ERRORE DI ESTRAPOLAZIONE DELLA SCALA DI DEFLUSSO
Questa sezione mira a mostrare, con un approccio semplificato, gli effetti pratici introdotti dall'errore di
estrapolazione della scala di deflusso. Questo approccio semplificato è utile per ottenere una prima
valutazione qualitativa.
La struttura dell’errore viene ricavata dai risultati di Kuczera (1996), in cui l'estrapolazione della scala di
deflusso comporta una sottostima o una sovrastima sistematica. Kuczera (1996) ha sottolineato che questo
errore sistematico può essere affidabilmente caratterizzato assumendo che: (a) le stime di portata nel
dominio di estrapolazione vengono danneggiate da un errore relativo; (b) questo errore dipende dalla
distanza dal punto di ancoraggio (che divide le zone di interpolazione dalle zone di estrapolazione, ad es. Fig.
1) e non dall'origine; c) l’errore di interpolazione dall'origine al punto di ancoraggio si presume essere
trascurabile.
Così l'errore sistematico introdotto con l'estrapolazione della scala di deflusso può essere descritto come:
Q = Q’ se Q’<Qa zona di interpolazione (7a)
Q = Qa + a(Q’ - Qa ) se Q’> Qa zona di estrapolazione (7b)
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dove Q’ indica il valore effettivo di portata, Q il valore osservato, Qa è il valore di portata corrispondente al
punto di ancoraggio e a è un coefficiente positivo. Quando a <1 l’estrapolazione della scala di deflusso
produce la sovrastima della portata, quando a >1 provoca sottostima.
Dato che l’eq. (7b) è una funzione lineare, monotona crescente, è facile derivare la relazione tra la funzione
di distribuzione cumulativa (CDF) del valore osservato di portata, Q, e la CDF del valore reale, Q’: per grandi
valori di portata (che sono di interesse per l’analisi di frequenza) una cade nel ramo di estrapolazione della
scala di deflusso, il che implica
FQ(q) = Pr(Q≤ q) =Pr (Qa + a (Q’-Qa) ≤ q). (8)
Ne consegue che:
QT= Qa+ a (Q’T-Qa) (9)
dove QT e Q’T indicano il quantile, con periodo di ritorno T derivato rispettivamente dai valori osservati e
reali, dei dati di portata.
La struttura dell'errore proposta da Kuczera (1996) permette un’analisi approfondita dell'effetto degli errori
dei dati sulla stima dell’inondazione.
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Fig.2 Esempio del paradosso della scala di deflusso.
Test numerico con a=0.75 (sopra) e a=1.25 (sotto).
I diagrammi mostrano che i livelli sarebbero
significativamente sottostimati o sovrastimati
utilizzando l’inondazione stimata come input di un
modello perfettamente capace di riprodurre la vera
scala di deflusso.
La Figura 2 consente un'interpretazione iniziale degli effetti pratici indotti dall'errore di estrapolazione. Si può
vedere che l'estrapolazione porta ad una notevole incertezza nella stima dell’inondazione con tempi di
ritorno di 1-200 anni. Quindi, la Figura 2 mostra la vera scala di deflusso (linea tratteggiata) e quella stimata
(linea continua) e può essere usata per descrivere quello che noi chiamiamo il paradosso della "scala di
deflusso". A tal fine, si può assumere l'esistenza (irrealistica) di un modello idraulico perfetto, cioè un modello
perfettamente in grado di riprodurre la vera scala di deflusso (Fig. 2). Quindi, si utilizza l’inondazione stimata
come input di questo modello per prevedere i livelli di acqua (o entità dell’inondazione) corrispondenti a un
certo periodo di ritorno; facendo ciò, si replica una procedura tipica nell'ingegneria idraulica e nella gestione
del rischio di alluvione. Ad esempio, considerando il pannello in alto della Figura 2, si può osservare che
l'utilizzo dell’alluvione stimata come input di un perfetto modello idraulico (frecce nere) risulterebbe in una
sottostima del livello dell'acqua di progetto. Infatti, il vero livello dell’acqua corrispondente alla vera alluvione
è di circa 26,4 m (triangolo bianco), mentre quello stimato è di circa 23,9 m. È chiaro che una sottostima del
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livello dell'acqua di circa 2,5 m può portare, ad esempio, a progetti inadeguati delle strutture di difesa (ad
esempio, gli argini). Conclusioni simili possono essere raggiunte analizzando il pannello in basso di Fig. 2. Il
"paradosso della scala di deflusso" è che l’utilizzo di un modello idraulico perfetto amplifica l'incertezza
indotta dall'uso di una scala di deflusso imprecisa. Infatti, (i) uno osserva i livelli del fiume con un’incertezza
trascurabile, (ii) trasforma l’altezza in portata con una relazione non corretta ('' scala di deflusso stimata '',
Fig. 2) e (iii) trasforma l'alluvione di progetto in livelli di inondazione utilizzando un approccio più accurato
(che, in teoria, dovrebbe tendere ad essere il perfetto modello idraulico) nel tentativo di ridurre l'incertezza.
Il paradosso è che si finisce effettivamente con una stima errata dei livelli di inondazione anche a causa
dell'utilizzo di un modello accurato. In particolare, si è preso in considerazione un modello idraulico perfetto
come esempio estremo per mostrare non solo che non compensa gli errori della scala di deflusso stimata,
ma che potenzialmente amplifica questi errori. Così, quando l'alluvione di progetto viene riconvertita in
livello dell'acqua, l'uso della stessa scala di deflusso (sebbene errata) è più appropriato dell'applicazione di
un modello idraulico (anche se perfetto). Nonostante la plausibilità del modello di cui sopra per l’errore della
scala di deflusso, costruito dopo Kuczera (1996), il problema a portata di mano può essere molto più
complesso. Infatti, mentre l'errore di estrapolazione è spesso la principale fonte di incertezza, ci sono molte
altre fonti che influenzano le osservazioni di portata del fiume che non sono considerate qui.
2.6 UN APPROCCIO ANALITICO PER LA STIMA DELL’INCERTEZZA INDOTTA DA ERRORI NEI DATI
Questa sezione descrive un modo raffinato per provare ad analizzare l’incertezza nella stima dell'inondazione
indotta da errori nei dati di portata. Si considera Q’ il valore effettivo di portata, Q il valore osservato ed e
l'errore di osservazione. Segue che
Q= Q’ + e (10)
In una prima applicazione l'errore di osservazione, e, si suppone essere una variabile casuale gaussiana con
media zero e deviazione standard proporzionale alla portata effettiva del fiume e uguale a βQ’ dove β è un
coefficiente positivo. Segue che:
Q= Q’ + βQ’e’ (11)
dove e’ è una variabile casuale gaussiana con media e deviazione standard pari rispettivamente a 0 e 1.
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Questo implica che:
μQ=μQ’; (12)
σ2Q=σ2
Q’ + β2(μ2Q’σ2
e’+μ2e’σ2
Q’ + σ2Q’σ2
ei) (13)
Ne consegue che i due parametri della distribuzione di Gumbel utilizzati nell'analisi della frequenza, q1 e
q2, possono essere stimati usando il metodo di momenti:
(14)
(15)
Utilizzando ad esempio i valori massimi annuali di portata come veri dati di flusso del fiume, Q’, le eq. (14) e
(15) consentono una prima stima degli effetti degli errori nei dati di portata, Q, per diverse grandezze
dell'errore nel fiume nelle osservazioni di portata, β.
Fig. 3 Quantili per valori differenti della grandezza dell’errore, β, sotto l’assunto di errore gaussiano con media zero e deviazione
standard proporzionale al vero valore di portata.
15
La Figura 3 riporta i quantili di alluvione per diversi periodi di ritorno, stimati per mezzo della distribuzione di
Gumbel, rispetto ai valori del coefficiente β. Si può osservare che più grande è β, più elevata è l’inondazione.
Ciò è dovuto alla struttura dell’errore data da (11), che implica che gli errori nelle osservazioni di portata,
mentre non influenzano il valore medio (equazione (12)), aumentano la varianza dei dati (cfr. eq. (13)). Di
conseguenza, i quantili aumentano (Fig. 3). Questo risultato è già stato descritto nella letteratura scientifica.
In particolare, la figura 3 mostra che per β <0,05, gli effetti degli errori di osservazione sono trascurabili,
indipendentemente dal periodo di ritorno considerato. Tuttavia si può vedere che per aumentare i valori
della grandezza dell’errore gli effetti sulla stima del quantile sono, sebbene conservativi per scopi di
progettazione, non più trascurabili. In particolare, per β> 0,15 (che non sono improbabili quando la scala di
deflusso viene estrapolata oltre l'intervallo di misura) l'effetto degli errori di osservazione diventa molto
rilevante.
Se invece si trascura l'incertezza indotta dalla presenza di flusso non stazionario, l'errore globale di portata
del fiume è scritto come
e=e1+e2 (16)
dove e1 indica l'errore di misurazione dei dati di flusso del fiume che vengono utilizzati per costruire la scala
di deflusso, mentre e2 rappresenta l'errore indotto da una scala di deflusso errata. e2 assume valori positivi
o negativi con uguale probabilità. In particolare, sotto ipotesi deboli corrispondenti all'utilizzo di tecniche di
misurazione appropriate proposte dalla norma ISO europea (1997), si applica la seguente relazione:
(17)
dove e’1 è gaussiano con media zero e deviazione standard uguale a 1, mentre e’2 è una variabile binaria che
prende i valori +1 o 1 con uguale probabilità (γ1 e γ2 sono coefficienti positivi. Dato che e’1 e e’2 sono
entrambi caratterizzati da media zero e deviazione standard pari a 1, se i primi due momenti (media e
varianza) sono sufficienti per definire la distribuzione di probabilità (che è il caso della distribuzione di
Gumbel), la struttura dell’errore può essere approssimata come:
(18)
16
dove e* è un termine generico di rumore con media zero e deviazione standard pari a 1. Questa struttura di
errore è simile a quella data da Eq. (11), con γ1 + γ2 = β. Ne consegue che i parametri della distribuzione di
Gumbel corrispondenti alla portata osservata possono essere stimati seguendo una procedura simile.
3. CONCLUSIONI
I modelli di errore usati per calcolare e(Q (x, t)) possono essere derivati introducendo una serie di ipotesi. Le
più importanti sono riepilogate qui di seguito:
1. l 'incertezza indotta dalla misura imprecisa dell’altezza del fiume è trascurabile;
2. la geometria delle sezioni trasversali del fiume è stazionaria nel tempo;
3. e (Q (x, t)) può essere ottenuto sommando e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)), che sono indipendenti;
4. le incertezze che interessano Q’(x, t) sono indipendenti e sono esclusi gli errori sistematici;
5. e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana;
6. e2 (Q (x, t)) è una variabile casuale binaria che può assumere i valori + | e2 (Q (x, t)) | e - | e2 (Q (x, t)) con
pari probabilità. Può essere calcolato in base a una modello di errore additivo assoluto (equazione 4).
Le ipotesi 3) e 6) sono conservative e possono portare ad una sovrastima dell'incertezza. Dato che e1 (Q (x,
t)) è trascurabile rispetto a e2 (Q (x, t)) e quindi l'assunto semplificatore 3) ha una scarsa efficacia sui risultati.
L’incertezza indotta dall'estrapolazione della scala di deflusso domina gli altri errori nelle condizioni di flusso
elevato, quindi l'ipotesi 6) anche si può trascurare. In effetti, i contributi precedenti in idrologia non
consigliano di estrapolare le scale di deflusso oltre un certo intervallo. Tuttavia diverse applicazioni
idrologiche sono inevitabilmente basate su osservazioni di flusso e pertanto bisogna estrapolare la scala di
deflusso al di là del range di misurazione. Gli effetti di questo tipo di errore sono rilevanti e possono portare
a ciò che viene chiamato il paradosso della scala di deflusso, dove l'imprecisione dei dati è amplificata
mediante l'utilizzo di un modello perfetto per prevedere i livelli di acqua o l’entità delle alluvioni. Va notato
che il paradosso della scala di deflusso può anche essere visto come un esempio di trasferimento di incertezza
17
dalla scala di deflusso, che ha bassa incertezza di input e alta incertezza strutturale e il modello idraulico
perfetto (non realistico) che non ha incertezza strutturale e ha elevata incertezza di input.
Tuttavia, è importante notare che la fonte di errore dovuta alla presenza di condizioni non stazionarie può
essere ridotta applicando le formule proposte dalla letteratura per approssimare le scale di deflusso non
stazionarie. Infine, errori nelle misure di flusso utilizzate per costruire la scala di deflusso e gli errori dovuti ai
cambiamenti stagionali della rugosità non sono così significativi.
Alla luce di quanto sopra esposto, i modelli idrologici spesso ignorano che i dati di flusso sono influenzati da
una notevole incertezza. Uno dei principali motivi è che i modellatori spesso non sono in grado di valutare
quantitativamente l'affidabilità delle osservazioni delle piogge o delle portate del fiume.
Gli errori nelle osservazioni di portata del fiume sono significativi e possono influenzare fortemente l'output
di studi idrologici e idraulici. I risultati sono associati inevitabilmente al sito considerato. La riduzione
dell'incertezza delle osservazioni di portata è un requisito convincente per migliorare l'affidabilità delle
variabili idrologiche di progettazione. Un modo per ridurre questa incertezza è l'aggiornamento continuo
della scala di deflusso. È ben noto che questa è una buona pratica in idrometria. È pertanto raccomandato
non solo di tenere conto di cambiamenti che possono verificarsi nella geometria del fiume e nella rugosità,
ma anche di evitare sistematicità, che può aumentare notevolmente l'incertezza. Tuttavia, si dovrebbe tenere
presente che l'aggiornamento della scala di deflusso non è sufficiente per evitare gli errori di estrapolazione
e gli errori di grandi dimensioni corrispondenti nella previsione dei livelli di inondazione. Un altro contributo
rilevante per ridurre l'incertezza è quello di raccogliere osservazioni di flusso durante eventi estremi, quindi
alzando il livello del punto di ancoraggio nella scala di deflusso. Questo problema non è facile da risolvere,
perché raccogliere l'osservazione di portata del fiume durante le inondazioni è un compito difficile. Tuttavia,
l'utilizzo integrato di tecniche di telerilevamento innovativo e modellizzazione idraulica può offrire
prospettive interessanti per il futuro.