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TESIS DOCTORAL CARRERA DE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

EFECTO DE LA CONDENSACIÓN EN LA ESTABILIDAD DE UN FLUJO BIFÁSICO

Hesham Nagah Abdou Mohamed

Ing. Hesham N. Abdou DOCTORANDO

Dr. Verónica B. Garea Dr. Axel E. Larreteguy CODIRECTOR CODIRECTOR

Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energía Atómica

Universidad Nacional de Cuyo

Abril 2005

ÍNDICE AGRADECIMIENTO….…………………………………………………… iii RESUMEN………………………………………………………………… iv CAPÍTULO 1: INTRODUCCION....……………………………………….. 1 CAPÍTULO 2: MODELO TEÓRICO …………………………………… 7 2.1 Metodología …………………………………………………… 7 2.2 Desarrollo del Modelo ….…………………………………….. 7 2.3 Modelo Drift-Flux …………………………………….………… 8 CAPÍTULO 3: MODELO ANÁLITICO ………………………………….. 11 3.1 Sección calefactora …...……………………………………… 11 3.2 Sección de Chimenea ……..………………………………….. 16 3.3 Generador de Vapor ………………….…………..……………. 22 3.4 Sección de Downcomer ………………………………………. 24 CAPÍTULO 4: ANÁLISIS DE RESULTADOS .…………………………. 26 4.1 Canal de Ebullición …………………………………………. 26 4.1.1 Modelo Homogéneo ……………………………………….. 27 4.1.2 Modelo Drift-Flux ………………………………………… 33 4.2 Análisis de circuitos de convección natural ………………….. 38 4.2.1 Modelo Homogéneo ….…………………………………….. 38 4.2.2 Modelo Drift Flux ……………………… …………………. 44 4.2.2.1 Análisis del estado estacionario ……………………. 45 4.2.2.2 Análisis de estabilidad de caudal ……………….. 49 CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES ….……………………………………… 55 CAPÍTULO 6: REFERENCIAS ….……………………………………….. 57 NOMENCLATURA ………………………………………………………… 60 APÉNDICE A: Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga del calefactor ………………………………… 62 APÉNDICE B: Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga de la chimenea ………………………………… 91 APÉNDICE C: Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga del generador de vapor ……………………….. 118 APÉNDICE D: Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga del downcomer …………………….………. 122

ii

AGRADECIMIENTO Primero quiero agradecer a Allá.

Agradezco a mis consejeros, Dr. Verónica B. Garea y Dr. Axel E. Larreteguy para su dirección y apoyo durante el desarrollo de esta tesis. También agradezco al Dr. José Converti quien fue mi supervisor de beca y Dr. Fabián Bonetto y Dr. Alejandro Clausse para sus discusiones provechosas y contribuciones valiosas a este trabajo. Agradezco la gran colaboración del personal de la biblioteca Leo Falicov que me consiguieron gran cantidad de publicaciones. Agradezco en forma general a todo el personal del Centro Atómico Bariloche e Instituto Balseiro.

Y finalmente agradezco mis padres, para haberme empujado bastante con fuerza para llegar hasta Bariloche. A mis hermanos, mis hermanas, y mis amigos, por haber estado conmigo en los momentos difíciles. A mi hijo, Karim, y mi hija, Yasmin, para llenar mi vida de alegría. Y a mi esposa, Gladys, por su amor, apoyo y entendimiento.

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RESUMEN Se ha desarrollado un modelo analítico unidimensional para el análisis lineal de oscilaciones de onda de densidad en un canal de ebullición y un lazo de circulación natural. Las secciones del calefactor y de la chimenea se dividieron en una región de una fase y otra región de dos fases. La región de dos fases fue representada por el modelo drift-flux. El modelo tiene en cuenta el deslizamiento entre fases y ebullición sub-enfriada. La fricción localizada a la salida del calefactor y de la chimenea se trata considerando la mezcla de dos fases. También fue modelado el efecto de la condensación en la chimenea y el la variación de la presión del sistema. Finalmente las ecuaciones del modelo fueron analizadas en el dominio frecuencial perturbando a primer orden alrededor del estado estacionario.

Las características de estabilidad del canal de ebullición y el lazo fueron investigadas analizando los ceros de la ecuación característica. Se construyeron los mapas clásicos de estabilidad en el plano de número de subenfriamiento y el número de cambio de fase (i.e., el subenfriamiento de entrada y el flujo de calor adimensional). Las predicciones del modelo fueron comparadas con resultados experimentales publicados en la literatura abierta.

Se encontró que el efecto de tratamiento de fricción localizada en mezclas de dos fases estabiliza el sistema y mejora el acuerdo de los cálculos con los resultados experimentales. Para un canal en ebullición sujeto a un salto de presión constante, el sistema se estabiliza al aumentar la fricción localizada a la entrada, reducir la fricción localizada a la salida baja, y aumentar el caudal. Para el circuito de convección natural, se encontró que los elementos estabilizantes son el aumento de la fricción a la entrada del núcleo, la reducción de la fricción a la salida, la disminución el nivel sobre la superficie del líquido, y el aumento de la condensación en la chimenea.

Los resultados muestran que el modelo tiene buen acuerdo con los datos

experimentales disponibles. En particular, los resultados muestran la importancia de considerar la condensación de chimenea y de corregir la fricción localizada debido a la presencia de la mezcla de dos fases. Estos efectos son más importantes para altas potencias y altos subenfriamientos de entrada.

Para completar el trabajo, se analizó el comportamiento y la estabilidad del circuito primario del reactor CAREM-25. Se encontraron regiones de inestabilidad de caudal a bajas y altas potencias. En el rango de bajo flujo de calor, las tendencias del modelo de equilibrio térmico sin deslizamiento entre fases y el modelo de no equilibrio térmico con deslizamiento son similares, lo cual es razonable ya que el título es bajo. En el rango de alto flujo de calor, para el número de subenfriamiento y el número de cambio de fase, se encontró que los márgenes de estabilidad de los dos modelos se cortan en un punto, determinando dos regiones diferenciadas, de alto y bajo subenfriamiento. En la primera región, el modelo de equilibrio térmico predice un título más alto, lo cual resulta en condiciones más estables. En la segunda región, el modelo de equilibrio térmico predice menores longitudes de la zona de dos fases, lo cual resulta en condiciones más inestables. Para subenfriamientos de entrada y potencias intermedias, la velocidad de entrada al núcleo calculadas con el modelo de equilibrio térmico son menores, lo cual resulta en condiciones

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más estables. En general se encontró que los parámetros de control que mas aumentan la estabilidad del sistema son la fricción localizada a la entrada, la presión del sistema y la condensación de chimenea. Por el contrario, la fricción localizada a la salida inestabiliza el sistema.

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCION Los sistemas de circulación natural en flujo bifásico tienen amplia aplicación industrial. En particular, existen diseños de reactores nucleares cuya refrigeración es producida por la circulación natural de agua en ebullición, tales como el SBWR y el CAREM. Para aumentar la fuerza impulsora dada por la diferencia de densidades entre las ramas fría y caliente los circuitos de refrigeración de estos reactores suelen presentar una chimenea a continuación del núcleo. La presencia de la chimenea aumenta la zona del espacio de parámetros donde el caudal de refrigeración puede inestabilizarse, dando lugar a oscilaciones de caudal indeseables, que pueden producir secado y destrucción de los elementos combustibles.

En general, los análisis de estabilidad de circuitos bifásicos de circulación natural

con chimenea se realizan suponiendo que la chimenea es adiabática. Sin embargo, esta suposición es restrictiva ya que la geometría de algunos diseños de reactores de circulación natural lleva a que haya una pérdida de calor significativa en la chimenea, lo cual genera condensación. El efecto de la condensación en chimeneas en la estabilidad del caudal de circulación natural no ha sido estudiado.

Las principales inestabilidades de caudal en un canal de ebullición son las inestabilidades de Ledinegg y las inestabilidades de onda de densidad. Una inestabilidad de Ledinegg [Ledinegg, 1954] es una excursión de caudal que puede ocurrir cuando un sistema tiene dos estados de operación variables con dos valores de caudal diferentes. En ese caso, una perturbación del caudal o un cambio en las condiciones externas de salto de presión, puede hacer que el canal experimente una excursión desde un estado estable a otro con caudal muy diferente. Las inestabilidad de onda de densidad pueden ocurrir en sistemas bifásicos cuando se producen realimentaciones dinámicas positivas ante perturbaciones de las variables del flujo. Un aumento del caudal de entrada genera ondas de entalpía y densidad transitorias que son transportadas por el fluido. Bajo ciertas condiciones de propagación, las ondas realimentan positivamente el caudal a través de la variación de la pérdida de carga, generando por lo general inestabilidades oscilatorias. El entendimiento actual de oscilaciones de onda de densidad es bastante bueno para fenómenos lineales (i.e., el inicio de inestabilidades), pero no está muy avanzado en el campo de fenómenos no lineales. En particular, el ciclo límite y los modos de inestabilidad caóticos no son bien entendidos para los diseños avanzados de BWRs (i.e., el SBWR).

Las oscilaciones de onda de densidad en reactores han sido observadas en reactores nucleares en operación, como aquellos documentados durante el incidente La Salle [Diederich, 1988] y los reportados en el reactor de Dodewaard [Van der Hagen, 1992]. También han sido descritas oscilaciones de onda de densidad para un reactor nuclear Presurizado de Agua Pesada (PHWR) [Mochizuki, 1992] en la circulación natural después

1

de una falla de una bomba. Significativamente, varios diseños de reactores de nueva generación funcionan con circulación natural y son, por lo tanto, intrínsecamente propensos a inestabilidades de onda de densidad. Trabajos anteriores han tratado el modelado y el análisis de la dinámica de canales en ebullición. El primer experimento fue realizado por E. Serov [1953] en dos tubos calefaccionados paralelos y horizontales. El parámetro variado en los experimentos era la potencia del canal. Los experimentos fueron hechos usando agua como fluido de trabajo a distintas valores de presión del sistema. Ishii desarrolló una aproximación analítica muy completa en el estudio de inestabilidades de onda de densidad y calculó los primeros mapas de estabilidad lineal de un canal en ebullición [Ishii, 1971]. El trabajo consistió en un estudio paramétrico de oscilaciones de onda de densidad usando tanto el modelo homogéneo como modelos de drift-flux. Los parámetros investigados por Ishii fueron el flujo de calor, subenfriamiento de entrada, presión del sistema, velocidad de entrada y coeficientes de fricción concentrada a la entrada y a la salida. Con este modelo encontró que el flujo era más inestable cuando la potencia y el coeficiente de fricción concentrada a la salida aumentaban. También encontró que el subenfriamiento de entrada podría inestabilizar el canal para bajos subenfriamientos y estabilizarlo para altos subenfriamientos. Una de las contribuciones principales de Ishii fue la definición de los gropos adimensionales principales que caracterizan la estabilidad de un canal en ebullición, a saber el número de subenfriamiento, , y el número de cambio de fase, . Así mismo, proporcionó un criterio simple en términos de, y , para determinar la estabilidad del sistema.

subN

pchN pchN subN

Saha obtuvo resultados experimentales exhaustivos para un canal de ebullición [Saha, 1974]. Midió el mapa de estabilidad lineal así como oscilaciones de onda de densidad. En su investigación de doctorado, estudió el inicio de oscilaciones de caudal inducidas térmicamente en un canal en ebullición uniformemente calefaccionado. El caudal fue controlado y cuando la oscilación excedía un cierto valor encima del ruido de fondo considerable, que el sistema era inestable. Como fluido refrigerante usó Freon-113, que tiene la ventaja de requerir menos potencia de calefacción debido a que su calor latente es mucho más pequeño que el del agua. Los parámetros variados en este estudio experimental fueron la presión, el coeficiente de restricción a la entrada, el coeficiente de restricción a la salida y el subenfriamiento de entrada. La sección vertical de prueba estaba en paralelo con un by-pass sin calefactor y con un caudal mucho más grande; por lo tanto, durante una realización particular del experimento, la sección de prueba tenía una pérdida de presión constante (establecido por el by-pass). Al mismo tiempo esta pérdida de presión cambiaba con el caudal por el by-pass. Este fenómeno tiene que ser considerado al comparar los experimentos con cálculos numéricos. Achard et. al. [1985] usó un modelo de equilibrio homogéneo de parámetro distribuido para estudiar la estabilidad lineal y el análisis de bifurcación dinámico. Encontró tanto bifurcaciones de Hopf supercríticas como sub-críticas. Las ecuaciones diferenciales a derivadas parciales del flujo homogéneo fueron transformadas en una única ecuación íntegro-diferencial con la velocidad de entrada como variable dependiente. La

2

longitud calefaccionada fue dividida en dos secciones, una sección de una sola fase y una sección de dos fases. Este trabajo se concentró en el estudio de los efectos de gravedad y la fricción distribuida. Los dos parámetros adimensionales principales no fueron elegidos al azar, más bien fueron los dos parámetros mas fáciles de convolucionar analíticamente. Por otra parte, para un cálculo numérico no hay prácticamente ninguna diferencia en estudiar parámetros diferentes. Este trabajo mostró que el espacio - sugerido por Ishii es solamente una proyección del límite de estabilidad de un espacio N-dimensional. Además, Achard et al. mostraron que a bajos subenfriamientos aparecen “islas” de la inestabilidad que no habían sido informadas anteriormente. También fueron encontrados ejemplos de perturbaciones de amplitud finitas que pueden hacer que un sistema estable se torne inestable (es decir, bifurcaciones subcríticas).

pchN subN

Lahey y Podowski [1987] presentaron un análisis general de la dinámica de flujos de dos fases. Ellos ilustraron esta aproximación usando un canal en ebullición. Los retardos introducidos por diferentes mecanismos físicos son descritos introduciendo una perturbación de flujo en la entrada del canal y analizando como estas perturbaciones se propagan por el canal. Finalmente ellos también estudiaron la ecuación de ciclo de límite prototípica, el oscilador Van der Pol. Estos osciladores muestran, en su forma más simple, los conceptos de bifurcaciones sub-críticas y supercríticas. Ellos entonces generalizaron estos conceptos a bifurcaciones en canales en ebullición. Clausse y Lahey [1991] presentaron un modelo homogéneo de parámetro nodal concentrado con fronteras móviles, e integrando numéricamente las ecuaciones nodales encontraron ciclos límite y oscilaciones caóticas. Su modelo estaba basado en una aproximación de Galerkin nodal de las ecuaciones de conservación para un canal en ebullición. Las ecuaciones en derivadas parciales fueron adimensionalizadas; luego las funciones de base fueron calculadas para cada una de las variables dependientes (en particular se propuso un perfil lineal de entalpía). Con este método obtuvieron un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs). La solución numérica del sistema de ODEs fue obtenida usando el algoritmo DGEAR de las subrutinas de biblioteca IMSL. Para una región estrecha en el espacio de parámetros, encontraron un atractor extraño para la solución de las ODEs. La aplicación de este modelo para la predicción de oscilaciones caóticas fue retornada por Takenaka [1990]. En este trabajo, se usó una aproximación de Boussinesq en la región de una sola fase del canal, un separador vapor/agua fue ubicado después del plenum superior en la chimenea adiabática, y además fueron incluidos un downcomer adiabático y un plenum inferior adiabático. La conducción de calor radial en el calefactor también fue considerada. Resultados similares a los anteriores [Clausse y Lahey, 1991] fueron encontrados usando el mismo esquema numérico. Chang [1994] amplió el mismo modelo para simular la dinámica de un BWR y un SBWR. En su investigación encontró que tanto el uso de subrutinas GEAR de precisión simple como de doble precisión para integrar numéricamente el sistema de ODE´s no arrojaban el valor correcto para el exponente de Lyapunov aun para un atractor de Lorenz (uno de los atractores caóticos mejor caracterizados). Los valores correctos fueron

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obtenidos integrando las ecuaciones de forma numérica con el método implícito de Adams y tamaño de paso adaptable. Chang también desarrolló un modelo de SBWR pero no se encontraron oscilaciones dentro de la variedad de parámetros investigados. El efecto de deslizamiento en el un análisis de estabilidad lineal y la respuesta transitoria de un canal calefaccionado fue investigado por Pinheiro-Rosa [1994]. En este trabajo, el canal fue discretizado en nodos fijos espaciales (aproximadamente 100 nodos) y se obtuvieron un juego de ecuaciones algebraicas integrando las ecuaciones diferenciales parciales en el espacio dentro de cada nodo. Se encontró una buena concordancia entre el límite de estabilidad calculado y el obtenido experimentalmente por Saha y otros cálculos de estabilidad lineales anteriores. Los cálculos numéricos también mostraron ciclos límite (bifurcaciones supercríticas de Hopf). Rizwan-Uddin [1987, Rizwan-Uddin y Dorning, 1986, 1988, 1990] también hicieron un extenso estudio numérico de canales paralelos usando un modelo de drift-flux y, continuando el trabajo de Achard et. al.-[1985], transformaron la PDEs de conservación en ecuaciones íntegro-diferenciales. Encontraron que la inclusión del deslizamiento (slip) mejora la correspondencia entre los cálculos y los resultados experimentales. Concluyeron que la velocidad de drift de vapor tiene poco efecto sobre el límite de estabilidad. También encontraron que la calefacción no uniforme permitía que tales canales fueran operados en un modo de ciclo límite dinámicamente estable cerca del límite de estabilidad. Adicionalmente, encontraron oscilaciones caóticas para sistemas en ebullición con convección forzada. Uno de los trabajos anteriores [Pinheiro-Rosa, 1994] destacó la importancia de modelar la ebullición sub-enfriada para predecir la estabilidad del sistema. Es por ello que se hizo necesario un criterio razonable para determinar el punto de desprendimiento de vacío (the void-departure point) o el punto de Generación de Vapor Neta (NVG). Clausse y Lahey [1990] estudiaron el efecto del desarrollo del flujo en el inicio de la ebullición sub-enfriada. Una de sus conclusiones fue que el inicio de la ebullición sub-enfriada es suprimido cerca de la entrada del canal cuando el flujo no está térmicamente desarrollado. Propusieron una modificación del modelo de Saha-Zuber para predecir este inicio cerca de la entrada del canal calefaccionado. La modificación propuesta es aplicable a transitorios de baja frecuencia para el inicio de la ebullición sub-enfriada en canales donde el flujo de entrada no está totalmente desarrollado. Para calcular el flujo multidimensional usaron el código PHOENICS . Otros experimentos fueron realizados por Kyung y Lee [1993] para el estudio de oscilaciones de onda de densidad en circulación natural en lazos de Freon-113. Midieron el caudal variando el flujo de calor diferentes, coeficiente de fricción concentrada a la entrada y a la salida, presión de sistema y subenfriamiento de entrada. Su estudio fue realizado en un circuito de convención natural abierto de dos fases. Encontraron las dependencias típicas de los diferentes parámetros excepto la de subenfriamiento. En el rango investigado por estos experimentos, un aumento de subenfriamiento de entrada, siempre aumenta la estabilidad. Un resultado interesante de estos investigadores, son los valores cuantitativos para las amplitudes de ciclos de límite en lo que ellos llamaron la “circulación periódica“.

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Este trabajo también presenta la fracción de vacío como una función de tiempo para diferentes condiciones de los parámetros de sistema. Otro estudio experimental de la dinámica de lazos de circulación naturales fue realizado por Delmastro [1993]. Este autor encontró atractores experimentales para la evolución de la frontera de ebullición y el caudal. Sin embargo, el análisis de los datos experimentales no permitió caracterizar de estos atractores como ¨ strange ¨. Delmastro observó que la amplitud de las oscilaciones aumentaba rápidamente después del límite de estabilidad lineal y finalmente, el límite de ebullición salía del canal por su límite superior. Los trabajos anteriores experimentales, [Clausse, 1986], [Delmastro, 1988] reconocían la existencia del comportamiento anómalo en la ebullición de canales, tal como la presencia de más de una frecuencia de oscilación. Durante los últimos 15 años, varios modelos han sido desarrollados para analizar numéricamente el comportamiento dinámico de canales de ebullición y lazos de circulación naturales. Algunos de estos modelos estaban basados en nodos de frontera móvil (nodos fijos en el espacio de entalpía, nodos de frontera móvil en el espacio físico) [Clausse, 1991 y Chang, 1994]. Estos modelos mostraron temprana promesa debido al pequeño número de nodos necesarios de predecir límites de estabilidad, y el comportamiento interesante caótico que fue observado en el dominio temporal. Sin embargo, análisis adicional [Garea, 1998] mostró que el comportamiento caótico podría ser debido a efectos numéricos. Los modelos con pequeño número de nodos eran incapaces de capturar la dinámica compleja de los sistemas. En tanto, los métodos en el dominio del tiempo con nodos fijos necesitan muchos nodos para converger. En resumen, el análisis lineal clásico mediante la transformada de Laplace sigue siendo el instrumento más robusto para el análisis de la estabilidad lineal de lazos de circulación natural. En particular, las ecuaciones son suficientemente simples para ser programadas en el sistema de control de un reactor nuclear de circulación natural para establecer una estrategia de arranque que evite regiones de inestabilidad (tal como observados en el reactor Dodewaard, en Holanda, un reactor de ebullición de circulación natural que ha presentado inestabilidades durante el arranque, [Van der Hagen, 1992]). En esta tesis, se ha desarrollado un modelo unidimensional analítico para ser usado en el análisis lineal de oscilaciones de onda de densidad en un canal de ebullición paralelo y un lazo de circulación natural. El calefactor y las secciones de chimenea son divididos en una zona de una sola fase y una zona de dos fases. La región de dos fases es representada con el modelo drift-flux. El modelo incluye deslizamiento de fases y ebullición sub-enfriada. La fricción localizada a la salida del calefactor y a la entrada y la salida de la chimenea es tratada considerando la mezcla de dos fases. El efecto de la condensación en la chimenea ha sido estudiado. La ecuación para el canal de ebullición y la pérdida de presión de lazo total es perturbada alrededor del estado estacionario y las características de estabilidad del canal de ebullición y el lazo son investigadas usando un método de búsqueda de ceros.

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Se analizaron numerosos sistemas para los cuales se disponía de datos experimentales publicados en la literatura. Finalmente, el modelo fue aplicado para analizar la estabilidad del sistema primario del reactor CAREM-25 [IAEA, 2004].

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CAPÍTULO 2

MODELO TEÓRICO 2.1 Metodología Para el análisis de estabilidad de ondas de densidad en dos fases, los dos métodos de análisis clásicos son el análisis lineal en el dominio de frecuencia y la solución numérica en el dominio temporal. Además existen otros métodos, como la quasilinealización armónica, las bifurcaciones de Hopf, y las perturbaciones a órdenes mayores, que sirven para caracterizar el tipo de inestabilidad. Aunque el cálculo numérico temporal puede predecir la amplitud de oscilación y el período de la inestabilidad de flujo de dos fases, la aplicación de este método requiere extensos desarrollos o el uso de programas de computadora sofisticados como el RELAP, TRAC etc. Para el análisis de dominio de frecuencia, el método de análisis más usado es el análisis lineal, sobre todo cuando el interés principal es determinar el rango de inestabilidad. Debe tenerse en cuenta de todos modos, a la hora de analizar los resultados, que existe la posibilidad de bifurcaciones subcríticas, que disparan inestabilidades para perturbaciones grandes, y no son captadas con el análisis lineal. Lo que sigue es la descripción del método de análisis lineal frecuencial, que es el que fue aplicado en esta tesis. El procedimiento resumidamente consiste en los siguientes pasos. Primero, se construyen las ecuaciones de conservación y las relaciones constitutivas; segundo, se linealizan las ecuaciones y relaciones constitutivas; tercero, se obtiene la función de transferencia del sistema por medio de la transformada de Laplace. Por último, basándose en la teoría clásica de control, se analiza la estabilidad del sistema. El método de análisis de estabilidad lineal de caudal de dos fases del modelo homogéneo estándar es el resumido y desarrollado por Lahey y Podowski [1987]. Usando este método, se plantea primeramente un conjunto de ecuaciones de conservación, que luego es integrado a lo largo de las coordenadas espaciales. La linealización y la aplicación de la transformada de Laplace, conectada con ciertas relaciones constitutivas transforma el conjunto de ecuaciones no lineales en el dominio temporal en ecuaciones lineales en el dominio de frecuencia. Por medio de la condición de frontera de ebullición entre la zona liquida y la zona de dos fases, se obtiene la función de transferencia que describe las características dinámicas del sistema total. Finalmente se estudia la estabilidad de sistema a analizando las propiedades de los ceros de la ecuación característica,. 2.2 Desarrollo del Modelo Las ecuaciones de conservación de masa, energía y momento son usadas para el análisis dinámico de dos fases. Existe una gran cantidad de trabajo sobre el modelado de flujo de dos fases. Durante el curso de varias décadas se ha logrado un progreso

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considerable estableciéndose varios modelos que describen el flujo de dos fases con distintos grados de aproximación. En general, los modelos de flujo de dos fases pueden ser divididos en tres clases principales según las hipótesis empleadas. Ellos son el modelo de equilibrio homogéneo, el modelo de dos fluidos, y los modelos medios entre los dos susodichos modelos extremos. 2.3 Modelo Drift-Flux A fin de obtener una mejor interpretención física que el modelo de flujo homogéneo y evitar la complejidad del modelo de dos fluidos, se han desarrollado otros modelos intermedios. El modelo drift-flux [Zuber y Findlay, 1965] es uno de los modelos intermedios más simples, extensamente usado en el análisis de flujo de dos fases. Usando el modelo drift-flux, el número de ecuaciones de conservación disminuye en comparación con el modelo de dos fluidos al incluir el deslizamiento de fases por medio de relaciones constitutivas. Este es el modelo que se usó como base para este trabajo. Para el objetivo del análisis de estabilidad, se han adoptado las siguientes suposiciones:

• Los parámetros de drift-flux, y , son calculados usando las correlaciones EPRI [Chexal y Lellouche, 1985];

oC gjV

• La presión del sistema es constante; • El flujo en el canal es unidimensional; • Los términos de energía potencial y cinéticas son despreciados en

comparación con el término de energía térmica; • La generación de calor interna y la conducción de calor en el fluido se

consideran despreciables; • El flujo de calor es constante y uniforme; • Ambas fases son incomprensibles; • El subenfriamiento de entrada es constante; y • Se tienen en cuenta la ebullición sub-enfriada.

Las ecuaciones de conservación unidimensional de la masa, la energía, y el

momento para la mezcla de dos fases son [Lahey y Moody, 1977]: Conservación de Masa Para una zona de simple fase ( )ϕ1 es

0111 =∂

∂+

∂

∂

zu

tϕϕϕ ρρ

(2.1)

8

Para una zona de una mezcla dos fases ( )ϕ2 es

0=∂

∂+

∂∂

zu

tmmm ρρ (2.2)

( ) glm αρραρ +−= 1 (2.3)

´

2 )1( gjm

lm Vju

ρρ

ϕ −+= (2.4)

ϕ2

´ )1( jCVV ogjgj −+= (2.5) Donde ρ es la densidad, es la velocidad, es el tiempo, es la variable espacial, u t z α es la fracción de vacío, es la velocidad de drift de vapor, es el parámetro de distribución radial de la fracción de vacío,

gjV oCj es el flujo volumétrico total de la mezcla y

los subíndices indican el líquido, vapor y mezcla de fluido respectivamente. mgl ,, Conservación de Energía Para simple fase e el balance de energía se escribe como:

qz

huth

=∂

∂+

∂

∂ ϕϕϕϕϕ ρρ 11111 (2.6)

Para una mezcla dos fases es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∂∂

−=∂∂

+∂∂ ´

lg

lggj

m

mlmmm

mm V

zh

qz

hut

hρρρ

υρρ (2.7)

( ) ggllmm hhh αρραρ +−= 1 (2.8)

lg hhh −=lg (2.9)

lg υυυ −=lg (2.10)

Donde es la entalpía específica, h υ es el volumen específico, y es la potencia volumétrica.

q

Conservación de impulso Para simple fase la conservación de impulso es:

9

12 2

1 1 1 1 1 1 1 11

1( )

2

N

j jjH

u u f uK z z g

t z D

ϕ pz

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

ρ ρ ρδ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + + − + = −⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

∑ ϕ

∂ (2.11)

Para una mezcla dos fases es:

22 22

1

2´ 2

( )2

( )

Nm m m m m m

j jjH

l gl mgj

m g m

fu u uK z z gt z D

pV

z z

ϕϕ

ϕ

ρ ρ ρmδ ρ

ρ ρρ ρρ ρ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂+ + + − +⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ∂−∂+ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ − ∂⎝ ⎠

∑ (2.12)

Donde es el factor de fricción, es el diámetro hidráulico, f HD K es el coeficiente de fricción concentrada, g es la aceleración gravitatoria, y p es la presión de sistema. La función ( )δ ⋅ es la delta de Dirac que se define como:

( )( ) ( )o of z z z dz f zδ∞

−∞

− =∫ (2.13)

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CAPÍTULO 3

MODELO ANÁLITICO 3.1 Sección calefactora Consideramos una sección calefactora como la mostrada en la Fig. 1. El líquido entra subenfriado a una temperatura constante y es calentando uniformemente mientras recorre el canal. En una cierta posición el fluido comienza a hervir, dejando finalmente la sección calefactora en forma de una mezcla bifásica de líquido y vapor.

Lh

hih,uih

Kih

λh

heh,ueh

qh

Keh

Fig. 1. Representación esquemática de la sección calefactora. Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de la ecuación

de impulso del calefactor son presentadas en el Apéndice A y resumidas aquí. Nótese que con y , los ecuaciones que se van a mostrar se reducen a las del modelo homogéneo.

1oC = 0gjV =

Término de inercia La función de transferencia de la perturbación del término de inercia es

11

( ) ( )2

2

1 1 ln

1( )

( ) 1o

o

HIHsub gjH o e

iH o o iH

gjH oH H

oHioH o

gjH o C siH o iH C

e

jP CO Hs N s V C VJCHu C s C u

V CC sju C CO Hs V C

u s C uVJCH

ϕ

ϕ

δδ δ

δδ δ ∗

∗∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

∗∗∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ −

∗

⎛ ⎞∆= + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎡⎛ ⎞+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞Ω Λ ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣

⎤

∗

⎜ ⎟

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(3.1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

f

fgildsub h

hhNυυ

lg

(3.2)

lg

1 1 ( 1)( )( fgo l ld

f

CO H C h hh

υυ

∗⎡ ⎤

= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

) (3.3)

2 1H Hpch

iH iH

jN

u uϕδ

δ δ

∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Λ= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.4)

1 subs N

H

iH pch

eu s Nδ

∗−∗

∗ ∗

⎛ ⎞Λ −= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

f

fgpch h

WQ

Nυυ

lg

(3.6)

gjH o eoH

egjH o

V C jVJCH

V C

∗ ∗∗

∗

+=

+ (3.7)

1eoH pch subj N∗ = + − N (3.8)

1 sub

H Hs N

ioH

i

u eu sδ

∗−

∗ ∗

⎛ ⎞Ω Λ⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎝ ⎠ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.9)

Término de aceleración El término de estado estacionario de aceleración espacial es

1aoH eoHp u∗ ∗∆ = − (3.10)

12

( )1 1gjH o eoH

eoHgjH o eoH

V C ju

V C j

∗ ∗∗

∗ ∗

+=⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

(3.11)

La función de transferencia del término de aceleración espacial es

22 1 ( )aH eH eHeoH

iH iH iH

p u uu u u

δ δ δδ δ δ

∗ ∗∗

∗ ∗

⎛ ⎞∆= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

ρ∗

∗ (3.12)

( )2 2

2

1 1( 1) 1( )

gj o eoH HeH eHo

iH iH eoH iH eoH iH

V C jj ju Cu u u u

ϕ ϕδ δδ δρδ δ ρ δ ρ δ

∗ ∗∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤+ − ⎛ ⎞⎣ ⎦= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∗ (3.13)

1

eoHeoHu

ρ∗∗= (3.14)

( ) ( )( )

( )( ) 2

2

1( )( )

o

o o

o

H H s Cs C C

o HioH eeH Ce

iH iH o gjH oe

C CO H ju VJCHVJCH

u u s C V C VJCH

ϕδδρδ δ

∗

∗+

−∗ ∗ ∗+∗−∗

∗ ∗ ∗ ∗−∗

⎛ ⎞Ω Λ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠= − ⎢ ⎥− + ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(3.15)

Términos de fricción El término de estado estacionario de fricción localizada a la entrada es

2iH

ioHKp∗∆ = (3.16)

La función de transferencia del término de fricción localizada a la entrada es

iHiH

iH

p Ku

δδ

∗

∗

∆= (3.17)

El término de estado estacionario de fricción localizada a la salida es

2eH

eoH eoHKp u∗ ∗∆ = (3.18)

La función de transferencia del término de fricción localizada a la salida es

22 ( )2

eH eH eH eHeoH

iH iH iH

p K u uu u

δ δδ δ

∗ ∗∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎣ ⎦uδρδ

∗

∗ (3.19)

El término de estado estacionario de fricción distribuida es

13

( )

( )

2

1 23

2

12

( 1)( )1

3

gjH oe

pchsubLoH H H

pch o gjH oe

o pch

V CVJCH

NNP F FN C V C

VJCHC N

ϕ ϕ

∗∗

∗

∗∗

⎧ ⎫+ ⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪∆ = + ⎨ ⎬− +⎪ ⎪⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.20)

2 HfF LD

= (3.21)

La función de transferencia del término de fricción distribuida es

( )

( )

1 1 2

222

2

2

12 1 1

3 22

(2 )

subLH H HH H H

iH iH pch iH

H gjH osub oH o e

iH pch o o pch

gjH ooo gjH e

o o pch

H

NP F F Fu u N u

j V CN CF C VJCHu N C C N

V CCC V VJCH

C C s NF

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ

δδ δ δ

δδ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗

∗∗

∗

∆ Λ Λ= + −

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎛ ⎞−⎪ ⎪⎡ ⎤+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

+−⎡ ⎤+⎢ ⎥ −⎣ ⎦

+

( )

( )

2( )

3( )

2 2 2

1

12 1(3 )

11( ) ( )(

o

o

o

o

C sC

C sgjH oo C

gjH eo o pch

H H

H H o HioH o

iH o gjH o iH o

V CCV VJCHC C s N

j F C CO H ju C CO Hu s C V C u s C V

ϕ ϕ ϕδ δδ δ

∗

∗

−∗

∗ −∗ ∗

∗

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎨ ⎬

⎡ ⎤+⎛ ⎞−⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪− ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞Ω Λ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥− + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∗

( )2

)

( )3 2 ( 1)2 1

gjH o iH

gjH oo sub oo gjH gjH e

o pch o o pch

C u

V CC N CC V V VJCHC N C C N

δ∗ ∗

∗∗ ∗ 1∗

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎛ ⎞ +⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎡ ⎤+ − −⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.22)

Término de gravedad El término de estado estacionario de gravedad es

2

11 1 1ln( ) 1gjH osub o subGoH e

pch o pch o pch

V CN CP VJCHFr N Fr C N Fr C N

∗∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛+ ⎛ ⎞−∆ = + + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

N ⎞⎟⎟⎠

(3.23)

2ioH

H

uFrgL

= (3.24)

La función de transferencia del término de gravedad es

14

( )

( )

( )

1

2

11 1

1

1( )( )

o

sgjH o CH H

epchioHGH

iH iH gjH oe

o pch

Ho

o gjH o iH

V CVJCH

s NuPu Fr u Fr V C

VJCHC N

jC CO Hs C V C u

ϕ

δδ δ

δδ

∗∗ −∗

∗∗

∗ ∗ ∗−∗

∗∗

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎛ ⎞⎛ ⎞Ω Λ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎝ ⎠⎜ ⎟= − + ⎨ ⎬⎜ ⎟ +⎪ ⎪⎡ ⎤⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎡ ⎤⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.25)

Término de drift-flux El término de estado estacionario introducido por el modelo drift-flux es

( ) ( )( )

2´

2

1g eoH eoH

dfoH

eoH eoH g

Vp

ρ ρ

ρ ρ ρ

∗∗ ∗

∗

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦∆ =−

(3.26)

( )´( ) 1eoH gjH o eoHV V C j∗ ∗ ∗= + − (3.27)

La función de transferencia del término de drift-flux es

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )

2´

22

´2 2´ ´ ´

2 2

1 ( ) 2

( )

( )1 2( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

eHg eoH eoH eoH g

dfH iH

iH eoH eoH g

eH eH Hg eoH eoH g eoH g oH

iH iH iH

eoH eoH g eoH eoH g g

Vp uu

VV V Vu u u

λλ

δρρ ρ ρ ρδ δδ ρ ρ ρ

δ δρ δρ ρ ρ ρδ δ δ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ρ

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦=

−

⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎣ ⎦+ − +− − ( )− ∗

(3.28)

H H

ioHH

iH iH

uu uλδρ

δ δ

∗

∗ ∗

⎛ ⎞Ω Λ⎜ ⎟⎝ ⎠=

(3.29)

( )´( ) 1oH gjH oV V Cλ

∗ ∗= + − (3.30)

( )´

2( ) 1 HeHo

iH iH

jV Cu u

ϕδδδ δ

∗∗

∗ ∗= − (3.31)

15

3.2 Sección de Chimenea

Consideramos una sección de chimenea como la mostrada en la Fig. 2. La mezcla bifásica de líquido y vapor entra y es enfrianda uniformemente a lo largo del canal chimenea. En una cierta posición el fluido comienza a condensar, dejando finalmente el canal como líquido ó mezcla bifásica de líquido y vapor.

KiR

hiR,uiR

λR

qR

LR

KeR

eR eR

Fig. 2. Representación esquemática de la sección de chimenea.

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de presión en la chimenea son derivadas en el Apéndice B y resumidas aquí: Término de inercia La función de transferencia del término de inercia es

( )1 2

1 1

11

1 1

( 1 ) ( )ln

2

( ) ( )o R

o R

gjR o oR gjR o ioR RIRR

H o R o R H

C soHR gjR o ioR C

pch R R RH H o R

V C u CO R V C j jP s VJCu C s C u

CO Ruu V C j

s N L s VJCu u C s

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

δλ

δ δ

δλ λ

δ δ

∗ ∗

∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗

Ω −∗ ∗ ∗Ω∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞+ +∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟Ω − Ω⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎟ ⎛ ⎞+⎝ ⎠+ − + ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω −⎝ ⎠

⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1−

(3.32)

HgjR gjH

R

AV VA

∗ ∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.33)

16

1 1H

R HR

Au uAϕ ϕ

∗ ∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.34)

HiR eH

R

Aj jA

∗ ∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.35)

2 2

1 1

R H H

H H

j j Au u

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ RA

(3.36)

RgjR oR

gjR o ioR

V C jVJC

V C jλλ

∗ ∗∗

∗ ∗

+=

+ (3.37)

Si entonces R Lλ∗ ≤ R

∗

R ioR pch R Rj j Nλ λ∗ ∗ ∗= + Ω ∗

R∗

L∗

(3.38) Si entonces R Lλ∗ >

R eoRj jλ∗ ∗= (3.39)

eoR ioR pch R Rj j N∗ ∗ ∗= + Ω (3.40)

1lg

( 1) ( 1) ( )( )

( 1 )( 1)( )

1

fgo oR gjR o ioR l ioR

f

gjR o ioR

Ho pch sub

R

gjR o ioR e

C u V C j h hh

V C jCO R

AC N NA

V C j VJCH

ϕ

υυ

∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤− + + − −⎪ ⎪⎣ ⎦

⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− −⎪ ⎪+ +⎪ ⎪

+⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.41)

( )1 2

1 1

2( 1 )oH ReH o R

gjR o ioR1H H o R

CO Ru jC CO RV C j

u u s Cϕ

Huϕ

ϕ ϕ

δδρδ δ

∗

∗∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ Ω⎝ ⎠ = + −

− Ω ϕδ∗ ∗ (3.42)


2 2( ) ( )aoR eoR eoR eoH ioRp u uρ ρ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∆ = − (3.43)

17

HiR eH

R

Au uA

∗ ∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.44)

Si entonces R Lλ∗ ≤ R

∗

HeoR

R

AuA

∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.45)

1eoRρ∗ = (3.46)

Si entonces R Lλ∗ > R

∗

/HeoR eoR

R

AuA

ρ∗ ∗⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.47)

( )1 1oR gjR o eoR

eoRgjR o eoR

u V C jV C j

ϕρ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+

(3.48)

La función de transferencia del término de aceleración espacial es

2 21

1 1 1 1

2 ( ) (aR eR iR eR eHoR eoR ioR

1

)H H H H

p u uu u uu u u uϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ Hu ϕ

δ δ δ δρ δρδ δ δ δ

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞∆= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ δ

∗∗

∗

R∗

(3.49)

Si entonces R Lλ∗ ≤

1

0eoR

Hu ϕ

δρδ

∗

∗ = (3.50)

1

1 1

ReoR

H H

uuu u

ϕ

ϕ ϕ

δδδ δ

∗∗

∗ ∗= (3.51)

Si entonces R Lλ∗ > R

∗

( )2

1 2

1 1 1

2( ) ( 1 ) ( )

( )( )

o R

o R

s CC

oH ReR e o R e

H H gjR o ioR o R gjR o ioR H

CO Ru jVJCR C CO R VJCR

u u V C j s C V C jϕ

uϕ

ϕ ϕ ϕ

δδρδ δ δ

∗ ∗

∗

∗

+ Ω−

∗Ω∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ Ω⎝ ⎠= +

+ − Ω +

−

∗ (3.52)

gjR o eoR

egjR o ioR

V C jVJCR

V C j

∗ ∗∗

∗ ∗

+=

+ (3.53)

18

( )2 22

1 1 1 1

1 1( 1) 1( )

gjR o eoRR ReR eRo

H H eoR H eoR

V C j

H

j ju Cu u u u

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

δ δδ δρδ δ ρ δ ρ δ

∗ ∗∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤+ − ⎛ ⎞⎣ ⎦= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ϕ

∗ (3.54)


2( )2iR

ioR eoH ioRKp uρ∗ ∗∆ = ∗ (3.55)


21

1 1

2 ( )2

iR iR iR eHoR ioR

H H

p K uu uu uϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦1 Hu ϕ

δρδ

∗

∗ (3.56)


2( )2eR

eoR eoR eoRKp uρ∗ ∗∆ = ∗ (3.57)


21

1 1

2 ( )2

eR eR eR eRoR eoR

H H

p K uu uu uϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦1 Hu ϕ

δρδ

∗

∗ (3.58)


( ) ( )( ) ( )

2 2 21 1 2 1 1

2 3

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1

2 3

LoR R oR R R R oR e gjR o oR

o eoR R

o R pch o R pch

P F u L F u VJCH V C u

C VJCHC VJC VJCC N C N

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕλ

λ λ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗

∗ ∗

∆ = − + +

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣⎜ ⎟Ω Ω⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎤⎥⎦

(3.59)


19

( )

( )

( )

1 21 1 2 1

1 1 1

21 2

1

1

1

2 2

1 ( ) 12

3 22

2( )

R RLRR oR R R R oR

H H H

gjR o oRoo R e R

o o R pch

oo gjR

o

oH

H

u jP F u L F uu u u

V C uCC VJCH VJCC C N

CC V u

CCO Ru

u

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ δδ λδ δ δ

λ λ

δ

∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗

∗

∗

∗

∗

∆= − +

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎛ ⎞−⎪ ⎪⎡ ⎤− −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦Ω⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

−+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2( )

3( )

22 1 2 1

( ) 1(2 )

12 ( )( ) 1

(3 )

( ) (

o R

o R

o R

o R

C soRC

Ro R pch

oC sgjR e

o CR

o R pch

o RR oR e R oR

o R

VJCC s N

CV VJCHC

VJCC s N

CF u VJCH F us C

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

λ

λ

∗ ∗

∗

∗ ∗

∗

∗Ω −

Ω∗∗ ∗

∗ ∗Ω −

Ω∗∗ ∗

∗∗ ∗ ∗

∗

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦

⎨ ⎬⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎪ ⎪− −Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Ω+

− Ω2 3

1

21 2

( 1 )) (( )

( 1)( )3 22 (

Re

gjR o ioR H

gjR o gjR o ioRo Ro gjR oR R

o e o R pch

jCO R VJCHV C j u

V C V C jCC V u VJCC VJCH C N

ϕ

ϕ

ϕ

δδ

λ λ

∗∗∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦⎧ ⎫− +⎡ ⎤−⎪ ⎪

)

) 1⎡ ⎤+ −⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎣ ⎦Ω⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.60)


12

11 1 1( ) ln( )gjR o oR oGoR R R R R

o R pch o

V C u CP L VJCFr Fr C N Fr C

ϕλ λ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗∗

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞−∆ = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠⎝ ⎠

λ∗ (3.61)


( )1

1

1

2 1

1

21 ( ) 11

( 1 ) ( ) 1( )

o R

soH C

RGRH

H pch

RR

o R H

CO Ru

VJCP u su FrN

jCO R VJCs C u

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

λδ δδ

δλ

δ

∗

∗

∗

−Ω∗∗

∗ ∗

∗

∗∗∗ −

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎢ ⎥−⎪ ⎪∆ ⎢ ⎥= − ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪

⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦− Ω⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.62)

Término de drift-flux El término de estado estacionario introducido por el modelo drift-flux es

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2´ ´

2 2

1 1R R

R R

eoH ioR

dfoR g

eoH eoH gg

V Vp

λ λ

λ λ

ρ ρρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ = −⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ −⎪ ⎪− ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.63)

20

( )´( ) 1R RgjR oV V C jλ λ

∗ ∗ ∗= + − (3.64)

´ ´( ) ( ) HiR eH

R

AV VA

∗ ∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.65)

La función de transferencia del término de drift-flux es

( )( ) ( )

´2´ ´

1 12 22

2 2´ ´

1 12

1

( )( ) 2 2( )

1( )( )

( ) ( )

(( )

R R

R R R

R

R RR R

R

R

R R

gH H

gg

eoHioR

dfR H Hg

H eg

VV V

u u

V Vp u u

u

λ λλ λ λ

ϕ ϕλ

λ λλ λ

λλ

ϕ ϕ

ϕ λ λ

δρ δρ ρ

δ δρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

δρ δρδ δ δ

ρδ ρρ ρ ρ

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤−⎡ ⎤− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∆= − + −

⎡ ⎤−⎣ ⎦( )

( ) ( )

2

´2´ ´

1 12 22

1)

( )( ) 2 2( )

( )( )

eoHoH eoH g

eoH ioRioR eoH g ioR

H H

eoH eoH geoH eoH g

VV Vu uϕ ϕ

ρρ ρ

δρ δρ ρδ δ

ρ ρ ρρ ρ ρ

∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− −⎨ ⎬

⎡ ⎤−⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ +⎢ ⎥⎡ ⎤−⎪ ⎪⎡ ⎤− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪

(3.66)

( )´

2

1 1

( )1R R

oH H

V jC

u uλ ϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗

∗ ∗= − (3.67)

21

3.3 Generador de Vapor

Consideramos el generador de vapor one-through de flujo vertical como el mostrado en la Fig. 3. El líquido saturado entra y es enfriando uniformemente mientras recorre el canal, dejando finalmente el canal subenfriado, a una temperatura constante.

hic,uic

hec,uec

Lc

Fig. 3. Representación esquemática del generador de vapor.

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de presión del generador de vapor son derivadas en el Apéndice C y resumidas aquí: Término de inercia La función de transferencia del término de inercia es

1 CICpch C

iH iH

uP s N Lu u

ϕδδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.68)

1 C H

iH C

u Au Aϕδ

δ

∗

∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.69)


0aoCp∗∆ = (3.70) La función de transferencia del término de aceleración espacial es

22

0aC

iH

pu

δδ

∗

∗

∆= (3.71)


( )2

12iC

ioC oCKp u ϕ

∗ ∗∆ = (3.72)


11

CiCiC oC

iH iH

up K uu u

ϕϕ

δδδ δ

∗∗∗

∗ ∗

∆= (3.73)


( )2

12eC

eoC oCKp u ϕ

∗ ∗∆ = (3.74)


11

CeCeC oC

iH iH

up K uu u

ϕϕ

δδδ δ

∗∗∗

∗ ∗

∆= (3.75)


( )2

1 1LoC C oC CP F u Lϕ ϕ∗ ∗∆ = ∗ (3.76)


11 12 CLC

C oC CiH iH

uP F u Lu u

ϕϕ ϕ

δδδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.77)


1GoC CP L

Fr∗ ∗∆ = − (3.78)


0GC

iH

Pu

δδ

∗

∗

∆= (3.79)

23

3.4 Sección de Downcomer

Consideramos la sección de downcomer como la mostrada en la Fig. 4. El líquido entra y sale del canal subenfriado a una temperatura constante.

idc idc

hedc,uedc

Ldc

Fig. 4. Representación esquemática del sección de downcomer.

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de presión del downcomer son derivadas en el Apéndice D y resumidas aquí: Término de inercia La función de transferencia del término de inercia es

11

DIDoD pch D

iH iH

uP s N Lu u

ϕϕ

δρ

δ δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.80)

1 D H

iH D

u Au Aϕδ

δ

∗

∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.81)


0aoDp∗∆ = (3.82) La función de transferencia del término de aceleración espacial es

24

0aD

iH

pu

δδ

∗

∗

∆= (3.83)


( )2

1 12iD

ioD oD oDKp uϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = (3.84)


11 1

DiDiD oD oD

iH iH

up K uu u

ϕϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.85)


( )2

1 12eD

eoD oD oDKp uϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = (3.86)


11 1

DeDeD oD oD

iH iH

up K uu u

ϕϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.87)


( )2

1 1 1LoD D oD oD DP F u Lϕ ϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = ∗ (3.88) La función de transferencia del término de fricción distribuida es

11 1 12 DLD

D oD oD DiH iH

uP F u Lu u

ϕϕ ϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

∆= (3.89)


11

GoD oD DP LFr ϕρ∗ ∗∆ = − ∗ (3.90)


0GD

iH

Pu

δδ

∗

∗

∆= (3.91)

25

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1 Canal de Ebullición

Consideremos un canal de ebullición en paralelo con un canal en by-pass que posee una sola fase adiabática como el mostrado en Fig. 5. Si el caudal del by-pass es mucho más grande que el caudal del canal de ebullición, la caída de presión entre la entrada y salida del canal permanecerá constante, aun si el flujo de entrada de canal es sujeto a oscilaciones. Este sistema simple tiene una dinámica compleja, que puede conducir a situaciones inestables para ciertas condiciones de operación.

Fig. 5. Canal de Ebullición con by-pass de una sola fase.

We

Wi

BypassCalef.

Ki

Ke

q

Las predicciones del modelo presentado en el capítulo 3 han sido comparadas con

resultados experimentales. La Tabla 1 presenta los datos experimentales usados para el análisis.

Tabla 1 Datos Experimentales de Saha et al. (1976). SET No.

Presión (bar)

iK eK iou (m/s)

( - ) fh ih

( J/Kg) 410I 12.1 2.85 * 2 2.03 * 2 0.98 1.14-5.42 II 13.8 2.85 * 2 2.03 * 2 0.94 1.81-6.44 III 10.3 2.85 * 2 2.03 * 2 1.02 0.72-4.35 IV 12.1 6.55 * 2 2.03 * 2 0.98 1.37-5.12 V 12.1 6.55 * 2 2.03 * 2 0.72 1.23-5.28 VI 12.1 6.55 * 2 2.03 * 2 1.49 1.44-5.21 VII 12.1 2.85 * 2 10.66 * 2 0.98 0.93-4.58 El canal de ebullición está sujeto a una condición de borde de caída de presión constante. Con estas condiciones, obtenemos la función de transferencia, para la perturbación de la caída de presión, en el canal de ebullición como

26

0HdfBC Ha Hi He HGHI HL

i i i i i i i i

pp p p p pp pu u u u u u u u

δδ δ δ δ δδ δδ δ δ δ δ δ δ δ

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆= + + + + + + = (4.1)

La estabilidad de canal se asegura si todas las raíces de esta ecuación tienen valores negativos reales. El software Scilab [2001] ha sido usado para resolver Ec. (4.1) y conseguir el Límite de Estabilidad Marginal (Marginal Stability Boundary (MSB)). 4.1.1 Modelo Homogéneo Las curvas de MSB correspondientes a la Ec. (4.1) han sido generadas en el espacio de parámetros ( - ), manteniendo fijos los otros parámetros. Es importante aclarar que la región de dos fases ha sido modelada con el factor de fricción de dos fases. En las Figs. 3 a 9 se muestran los MSB de los experimentos de la Tabla 1. Puede verse que hay buena concordancia con los experimentos, excepto para bajos . Esta diferencia es debida a la ausencia de la ebullición sub-enfriada en el modelo. La correlación dada por Saha y Zuber [1974] define el valor de la entalpía de desprendimiento de vapor, para distintas condiciones, a saber:

subN pchN

subN

( ): ( / ) 70000

0.0022( / )H Pl l

f ld H Pl l

Si Pe GD c k

h h q D c k

≡ <

′′− = (4.2)

( ): 70000

154( / )f ld

Si Pe

h h q G

>

′′− = (4.3)

Donde, es el número de Peclet, G es el flujo másico, Pe q ′′ es el flujo de calor, es el calor específico a la presión constante, es la conductividad térmico.

Pck

Debajo de la línea de puntos en las Figs. 6 a 12, el fluido del canal está en dos fases

(sistema estable). Por lo tanto, el Modelo de Equilibrio Homogéneo predice una región de una sola fase (límite de ebullición dentro del canal) que, según la entalpía del desprendimiento de vapor dado por la correlación Saha-Zuber, no es real. La ausencia de una región de una sola fase tiene el efecto de estabilizar la dinámica del canal. Así, el modelo homogéneo predice un comportamiento inestable que en presencia de ebullición sub-enfriada a la entrada de canal no podría ser observado.

En las Figs. 6 a 12, las curvas muestran los resultados del modelo homogéneo, sin y

con la corrección de mezcla de dos fases. El efecto del tratamiento de la fricción localizada en las mezclas de dos fases estabiliza el sistema y mejora el acuerdo de los cálculos con los resultados experimentales.

27

Puede verse que cuando disminuye, el modelo predice un sistema menos estable hasta un valor crítico. Más allá de este valor crítico, el aumento del título en el canal (que conduce) a ha disminución en el coeficiente de fricción localizada a la salida, finalmente estabiliza el sistema.

subN

4 6 8 10 10

2

4

6

8

10

2

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-I (P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 6. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-I.

4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-II (P=13.8 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=.94 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 7. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-II.

28

4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-III (P=10.3 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=1.02 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 8. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-III.

6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-IV (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 9. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-IV.

29

6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-V (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=.72 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 10. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-V.

6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-VI (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=1.49 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 11. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-VI.

30

0 3 6 90

2

4

6

8

12

Estable Inestable

Sin la corrección de mezcla de dos fases Con la corrección de mezcla de dos fases SET-VII (P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Ke=10.66*2, Uio=.98 m/s) Efecto de la ebullición sub-enfriada

Nsu

b

Npch

Fig. 12. Comparación de resultados del modelo homogéneo con SET-VII.

El efecto de la fricción localizada a la entrada se muestra en la Fig. 13. Cuando la fricción localizada a la entrada aumenta, el modelo predice un sistema más estable, sobre todo, debido a que una fracción más grande de la pérdida de presión del sistema está ahora en fase con la velocidad de entrada.

0

2

4

6

8

4 6 8 10 12 14

Efecto de Fricción Localizada a la Entrada(P=12.1 bar, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s)

Ki=2.85*2 Ki=6.55*2

Npch

Nsu

b

Fig. 13. Efecto de fricción localizada a la entrada sobre el límite de estabilidad marginal.

31

El efecto de la fricción localizada a la salida se muestra en la Fig. 14. Cuando la fricción localizada a la salida aumenta, el modelo predice un sistema más inestable, probablemente porque una fracción más grande de la pérdida de presión del sistema está ahora desfasada con la velocidad de entrada.

0

2

4

6

8

3 6 9 12

Efecto de Fricción Localizada a la Salida(P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Uio=.98 m/s)

Ke=2.03*2 Ke=10.66*2

Npch

Nsu

b

Fig. 14. Efecto de fricción localizada a la salida sobre el límite de estabilidad marginal.

El efecto de la velocidad de entrada se muestra en la Fig. 15. Cuando la velocidad de entrada aumenta, el modelo indica un sistema más estable.

0

2

4

6

8

7.5 10.0 12.5 15.0

Efecto de Velocidad de Entrada(P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2)

Uio=.72 m/s Uio=1.49 m/s

Npch

Nsu

b

Fig. 15. Efecto de velocidad de entrada sobre el límite de estabilidad marginal.

32

4.1.2 Modelo Drift-Flux En esta sección analizamos las comparaciones de modelos diferentes para ver los

efectos de la región de ebullición sub-enfriada y del deslizamiento de fases. Los resultados de los distintos modelos son mostrados en las Figs. 16 a 22. De la observación de las figuras, se pueden saber las siguientes conclusiones:

1. El modelo de equilibrio homogéneo calcula títulos más altos a la salida del canal, conduciendo a una disminución en el coeficiente de fricción localizado a la salida, lo cual estabiliza el sistema. 2. El modelo de equilibrio térmico con deslizamiento entre fases, calcula títulos menores con respecto al modelo homogéneo, lo cual desestabiliza el sistema. 3. El modelo de no equilibrio térmico sin deslizamiento entre fases

(a) calcula títulos menores con respecto al modelo homogéneo en la región de alto subenfriamiento y desestabiliza el sistema, (b) predice longitudes de la zona de dos fases mayores con respecto al modelo homogéneo en la región de bajo subenfriamiento, lo cual estabiliza el sistema.

4. El modelo de no equilibrio térmico con deslizamiento entre fases

(a) calcula títulos menores con respecto al modelo homogéneo en la región de alto subenfriamiento, lo cual desestabiliza el sistema (b) predice longitudes de la zona de dos fases mayores con respecto al modelo homogéneo en la región de bajo subenfriamiento, lo cual estabiliza el sistema.

La importancia del modelo de no equilibrio térmico con deslizamiento entre fases se

hace visible en la Fig. 23, donde los datos experimentales sobre la frecuencia de oscilación son comparados para los diferentes modelos.

33

0 3 6 9 12 150

2

4

6

8

10

Inesta

ble

Estable

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-I (P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 16. Resultados comparados con SET-I.

0 3 6 9 12 150

2

4

6

8

10

Inesta

ble

Estable

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-II (P=13.8 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=.94 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 17. Resultados comparados con SET-II.

34

0 3 6 9 12 10

2

4

6

8

10

5

Inesta

bleEsta

ble

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-III (P=10.3 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=1.02 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 18. Resultados comparados con SET-III.

0 3 6 9 12 10

2

4

6

8

10

5

Inesta

bleEsta

ble

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-IV (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 19. Resultados comparados con SET-IV.

35

0 3 6 9 12 10

2

4

6

8

10

5

Inesta

bleEsta

ble

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-V (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=.72 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 20. Resultados comparados con SET-V.

0 3 6 9 12 10

2

4

6

8

10

5

Inesta

ble

Estable

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-VI (P=12.1 bar, Ki=6.55*2, Ke=2.03*2, Uio=1.49 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 21. Resultados comparados con SET-VI.

36

0 3 6 9 12 10

2

4

6

8

10

5

Inesta

bleEsta

ble

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento SET-VII (P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Ke=10.66*2, Uio=.98 m/s)

Nsu

b,eq

Npch,eq

Fig. 22. Resultados comparados con SET-VII.

0 2 4 6 80.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Frec

uenc

ia (c

iclo

s/s)

Nsub,eq

Equilibrio Térmico sin deslizamiento Equilibrio Térmico con deslizamiento No Equilibrio Térmico sin deslizamiento No Equilibrio Térmico con deslizamiento SET-I (P=12.1 bar, Ki=2.85*2, Ke=2.03*2, Uio=.98 m/s)

Fig. 23. Resultados comparados con SET-I.

37

4.2 Análisis de Circuitos de Convección Natural 4.2.1 Modelo Homogéneo

Kyung y Lee [1994] realizaron experimentos para estudiar la estabilidad de un circuito

de convección natural con flujo de dos fases. El diagrama esquemático del lazo se muestra en la Fig. 24.

L

CL

1DL

2DL PL

HL

1RL

2RCD

4DL

3DL

iK

eK

.Orif

.Calef

.Conden.Chim

Downcomer

D

H

Fig. 24. Diagrama esquemático del circuito de fricción natural de flujo de dos fases.

La función de transferencia de la ecuación de momento del circuito de convección natural es:

0LOOP CH R D

i i i i i

p pp p pu u u u u

δ δδ δ δδ δ δ δ δ

∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∆ ∆∆ ∆ ∆= + + + = (4.4)

La estabilidad del lazo se asegura si todas las raíces de esta ecuación tienen valores

negativos reales, al igual que en la sección 4.1. Para resolver la Ec. (4.4) y obtener el MSB se utilizó el software Scilab [2001]. El mapa de estabilidad ha sido construido usando los parámetros principales, el flujo de calor y el subenfriamiento de entrada.

Las predicciones del modelo han sido comparadas con resultados experimentales de Kyung y Lee [1994]. Los parámetros correspondientes a los experimentos se resumen en la Tabla 2.

38

Tabla 2 Condiciones de entrada para el lazo de circulación natural de dos fases Condiciones Datos Experimentales Fluido de trabajo Freon 113 Presión ( atm ) 1.0 Flujo de calor ( ) 2/ mkW Hasta 50

∑+ n nsi KK , Hasta 602 + 40a

∑+ n nte KK , Hasta 134 + 4a

Resistencia de orificio 30a

Subenfriamiento de entrada ( ) Co 1-35 Datos de geometría ( ) cm

CL 128.9 H Hasta 30

1DL 86.6

2DL 71.0

3DL 70.0

4DL 16.5

PL 55.0

HL 100

1RL 90.8

2RL 43.2

DRH DDDD === 1.66

CD 20 a Las resistencias del orificio, accesorios y codos ∑n nsK , +∑n ntK , se tomaron de Kyung y Lee [1996]. El primer límite de estabilidad marginal en el experimento de Kyung y Lee [1994], circulación Periódica (A), fue observado para flujos de calor bajos. El flujo oscila con regularidad y hay un período de incubación, en el cual no hay ebullición en la sección de calefactor (la fracción de vacío es cero). En consecuencia, la corrección de mezcla de dos fases no es usada para calcular la pérdida localizada de presión en la restricción a la salida de la chimenea. Sin embargo para el segundo límite de estabilidad marginal en el experimento de Kyung y Lee [1994], circulación Periódica (B), hay ebullición dentro de la sección del calefactor, y no hay ningún período de incubación. Por lo tanto, en este caso, se utiliza la corrección de mezcla de dos fases para calcular la pérdida localizada de presión en la restricción a la salida de la chimenea.

En las Figuras 25 a 27 se muestran los resultados del modelo homogéneo, con y sin la corrección de mezcla de dos fases. Puede verse que cuando el subenfriamiento de entrada disminuye, el modelo predice un sistema más estable y la predicción del modelo

39

homogéneo con la corrección de mezcla de dos fases tiene buena correspondencia con los datos experimentales.

0

7

14

21

28

35

0 6 12 18 24 30

Inestable

Estable

Inestable

Con la corrección de mezcla de dos fases Sin la corrección de mezcla de dos fases Datos Experimetales

(H=15 cm, Ki=602, Ke=134)

Flujo de Calor, kW/m2

Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C

Fig. 25. Comparación de los resultados del modelo homogéneo con datos experimentales.

0

7

14

21

28

35

10 20 30 40 50

Inestable

Estable

Inestable

Con la corrección de mezcla de dos fases Sin la corrección de mezcla de dos fases Datos Experimentales

(H=15 cm, Ki=602, Ke=41)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


40

0

8

16

24

32

40

0 6 12 18 24 30

Inestable

Estable

Inestable

Con la corrección de mezcla de dos fases Sin la corrección de mezcla de dos fases Datos Experimentales

(H=25 cm, Ki=602, Ke=134)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


El efecto de la fricción localizada a la entrada es mostrado en la Figura 28. Cuando

la fricción localizada a la entrada aumenta, el modelo predice un sistema más estable.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30

Ki = 134 Datos Experimentales Ki = 602 Datos Experimentales

(H=15 cm, Ke=134)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


El efecto de la fricción localizada a la salida es mostrado en la Figura 29. Cuando la

fricción localizada a la salida disminuye, el modelo predice un sistema más estable.

41

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Ke = 41 Datos Experimentales Ke = 134 Datos Experimentales

(H=15 cm, Ki=602)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


El efecto del nivel sobre la superficie del líquido es mostrado en la Figura 30. Cuando el nivel sobre la superficie del líquido disminuye, el modelo predice un sistema más estable.

0

8

16

24

32

40

0 5 10 15 20 25 30

H = 15 cm Datos Experimentales H = 25 cm Datos Experimentales

(Ki=602, Ke=134)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C

Fig. 30. Efecto del nivel sobre la superficie del líquido sobre el límite de estabilidad

marginal. El efecto de la condensación en la chimenea es mostrado en las Figuras 31 a 33.

Cuando la condensación en la chimenea aumenta, el modelo predice un sistema más estable.

42

0

7

14

21

28

35

0 6 12 18 24 30

InestableEstable

Inestable

QR / QH = 0% QR / QH = 5% QR / QH = 10% Datos Experimetales

(H=15 cm, Ki=602, Ke=134)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C

Fig. 31. Efecto de la condensación en la chimenea sobre el límite de estabilidad marginal.

0

8

16

24

32

40

10 20 30 40 50

InestableEstable

Inestable

QR / QH = 0% QR / QH = 5% QR / QH = 10% Datos Experimentales

(H=15 cm, Ki=602, Ke=41)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


43

0

10

20

30

40

0 6 12 18 24 30

InestableEstableInestable

QR / QH = 0% QR / QH = 5% QR / QH = 10% Datos Experimentales

(H=25 cm, Ki=602, Ke=134)


Sube

nfria

mie

nto

de E

ntra

da, o C


4.2.2 Modelo Drift-Flux

Para estudiar el efecto de la presión del sistema sobre el límite de estabilidad marginal, se utilizará el CAREM-25 como referencia. Fig. 34 muestra el diagrama esquemático del sistema primario del CAREM-25.

Fig. 34 Diagrama esquemático del sistema primario del CAREM-25

44

Los parámetros del prototipo de reactor de CAREM-25 son resumidos en la Tabla 3.

Tabla 3 Condiciones de entrada para el CAREM-25 Condiciones Datos Fluido de trabajo Agua liviana Presión, Kpa 12250 Flujo de calor del núcleo, 2/ mkW 380

iNúcleoK 7

eNúcleoK 5

iChimeneaK 5

eChimeneaK 5

Factor de generador de vapor 15a

Subenfriamiento de entrada, KJ/Kg 247.2 Datos de geometría Longitud del Núcleo, m 1.4 Área de Flujo del Núcleo, 2m 0.76 Diámetro Hidráulico del Núcleo , m 0.013 Longitud de la Chimenea, m 4.6 Área de Flujo de la Chimenea, 2m 1.9456 Diámetro Hidráulico de la Chimenea, m 1.6 Longitud del Generador de vapor, m 4 Área de Flujo del Generador de vapor, 2m 4.3776 Diámetro Hidráulico del Generador de vapor, m 0.02 Longitud del Down Comer, m 2 Área de Flujo del Down Comer, 2m 27.36 Diámetro Hidráulico del Down Comer, m 2.5

a Dada la complejidad geométrica del generador de vapor, se aproxima este factor para el cálculo de la caída de presión. 4.2.2.1 Análisis del estado estacionario

El objetivo del análisis del estado estacionario es obtener la velocidad media de entrada al núcleo, que puede ser determinada por el equilibrio entre la pérdida de carga y la fuerza boyante en el circuito de colección natural.

En la Fig. 35 se muestra el título a la salida del núcleo en función del flujo de calor medio en el núcleo. En un rango de flujo de calor bajo, las tendencias de los dos modelos ( equilibrio térmico sin deslizamiento entre fases y no equilibrio térmico con deslizamiento entre fases) son las mismas debido a la corta longitud de la región de dos fases. En el rango de flujo de calor alto, el título calculado por el primer modelo es mayor, esto se debe a que el calor total añadido en la región de dos fases para el primer modelo va al cambio de fase,

45

mientras que para el segundo modelo una fracción del calor va a aumentar la entalpía del líquido.

0 500 1000 1500 2000 25000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Títu

lo a

la S

alid

a de

l Núc

leo

Flujo de Calor Medio en el Núcleo, Kw/m2

KiNúcleo=7, KeNúcleo=5KiChimenea=5, KeChimenea=5

( QChimenea / QNúcleo ) = -5%Factor de Generador de Vapor=15 Equilibrio Térmico sin deslizamiento

No Equilibrio Térmico con deslizamiento

Fig. 35. El título a la salida del núcleo en función del flujo de calor medio en el núcleo.

En la Fig. 36 se muestra el título a la salida del núcleo y de la chimenea en función

del flujo de calor medio en el núcleo. El título del fluido en la chimenea es menor que el título del fluido a la salida del núcleo. Esto es razonable, y se debe a que hay transferencia de calor entre la chimenea y el downcomer.

46

0 500 1000 1500 2000 25000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Títu

lo



( QChimenea / QNúcleo ) = -5%Factor de Generador de Vapor=15

Salida del Núcleo Salida de la Chimenea

Fig. 36. El título a la salida del núcleo y de la chimenea en función del flujo de calor medio

en el núcleo.

La velocidad y el caudal másico de entrada al núcleo en función del flujo de calor medio son mostrados en las Figs. 37 y 38. Cuando el flujo de calor es bajo, la fuerza boyante aumenta por la diferencia de la densidad entre la rama fría y la rama caliente, entonces la velocidad y el caudal másico de entrada al núcleo aumentan. Los dos modelos tienen aproximadamente los mismos valores y tendencias. En el rango de flujo de calor alto, las pérdidas de presión de fricción de dos fases aumentan debido al aumento del título. Esto provoca una disminución en la velocidad y en el caudal másico de entrada al núcleo para balancear el cambio de pérdidas de carga por fricción con la fuerza boyante. El primer modelo calcula caudales másicos inferiores a los del segundo modelo, debido a las diferencias en el título de los dos modelos.

47

0 500 1000 1500 2000 25000.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Velo

cida

d de

Ent

rada

al N

úcle

o, m

/s

Flujo de Calor Medio en el Núcleo, KW/m2




Fig. 37. Velocidad de entrada al núcleo en función del flujo de calor medio en el núcleo.

0 500 1000 1500 2000 2500250

300

350

400

450

500

550

600

650

Cau

dal M

ásic

o, K

g/s





Fig. 38. Caudal másico en función flujo de calor medio en el núcleo.

Los parámetros de drift-flux en función del flujo de calor medio en el núcleo son

mostrados en Fig. 39. En un rango de un flujo de calor bajo, el parámetro de distribución radial de la fracción de vacío aumenta y la velocidad de drift adimensional disminuye debido al aumento de la fracción de vacío. En el rango de flujo de calor alto, el parámetro

48

de distribución radial de la fracción de vacío y la velocidad de drift adimensional son aproximadamente constantes porque el cambio en la fracción de vacío es pequeño.

0 500 1000 1500 2000 25000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Pará

met

ros

de D

rift-F

lux




parámetro de distribución radialde la fracción de vacío, (Co)

Velocidad de Drift Adimencional, (V*gj)

Fig. 39. Parámetros de drift-flux en función el flujo de calor medio en el núcleo.

4.2.2.2 Análisis de estabilidad de caudal

El método de análisis de estabilidad lineal en el dominio de frecuencia es usado para analizar la estabilidad de caudal en el sistema de circulación natural del CAREM-25.

Los mapas de límite de estabilidad marginales del CAREM-25 son mostrados en las

Figs. 40 y 41. Las regiones de inestabilidad de flujo aparecen en la zona de baja y alta potencia del núcleo.

En el rango de flujo de calor bajo, las tendencias del modelo de equilibrio térmico

sin deslizamiento entre fases y el modelo de no equilibrio térmico con deslizamiento son iguales porque el título es pequeño.

En el rango de flujo de calor alto, para el número de subenfriamiento y el número de

cambio de fase, se pueden observar que las dos curvas de los dos modelos se cortan en un punto que separa dos regiones, una de alto subenfriamiento y otra de bajo subenfriamiento. En la primera región, los títulos calculados con el modelo de equilibrio térmico son mayores, lo cual predice condiciones más estables que el modelo de no equilibro térmico. En la segunda región, el modelo de equilibrio homogéneo calcula menores longitudes de ebullición, lo cual predice condiciones más inestables que el modelo de no equilibro térmico. Para valores moderados de subenfriamiento de entrada y flujo de calor medio en el

49

núcleo, las velocidades de entrada calculadas con el modelo homogéneo son menores, lo cual lleva a condiciones más inestables que el modelo de no equilibro térmico.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0

X=0

Esta

ble

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e




Npch,eq

Nsu

b,eq

Fig. 40. CAREM-25 mapa de límite de estabilidad marginal.

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

Esta

ble



Punto de operación Equilibrio Térmico sin deslizamiento



Hsu

b, K

J/K

g

Fig. 41. CAREM-25 mapa de límite de estabilidad marginal.

50

El efecto de la fricción localizada a la entrada es mostrado en las Figs. 42 y 43. Cuando la fricción localizada a la entrada aumenta, el modelo predice un sistema más estable en todos los rangos de potencia.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0

X=0

Esta

ble

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

KiNúcleo = 7 KiNúcleo = 5

KeNúcleo=5, KiChimenea=5, KeChimenea=5 ( QChimenea / QNúcleo ) = -5%

Factor de Generador de Vapor=15

Npch,eq

Nsu

b,eq


200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

Esta

ble

KiNúcleo = 7 KiNúcleo = 5

KeNúcleo=5, KiChimenea=5, KeChimenea=5 ( QChimenea / QNúcleo ) = -5%

Factor de Generador de Vapor=15 Punto de operación


Hsu

b, K

J/K

g


51

El efecto de la fricción localizada a la salida es mostrado en las Figs. 44 y 45. Cuando la fricción localizada a la salida disminuye, el modelo predice un sistema más estable.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 2 4 6 8 10

X=0

Esta

ble

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

KeNúcleo = 5 KeNúcleo = 4

KiNúcleo=7, KiChimenea=5, KeChimenea=5 ( QChimenea / QNúcleo ) = -5%

Factor de Generador de Vapor=15

Npch,eq

Nsu

b,eq


200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

Esta

ble

KeNúcleo = 5 KeNúcleo = 4

KiNúcleo=7, KiChimenea=5, KeChimenea=5 ( QChimenea / QNúcleo ) = -5%

Factor de Generador de Vapor=15 Punto de operación


Hsu

b, K

J/K

g


52

El efecto de la condensación en la chimenea es mostrado en las Figs. 46 y 47. Cuando la condensación en la chimenea aumenta, el modelo predice un sistema más estable.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0

X=0

Esta

ble

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

( QChimenea / QNúcleo ) = -1% ( QChimenea / QNúcleo ) = -10% ( QChimenea / QNúcleo ) = -30%

KiNúcleo=7, KeNúcleo=5, KiChimenea=5, KeChimenea=5Factor de Generador de Vapor=15

Npch,eq

Nsu

b,eq

Fig. 46. Efecto de condensación en la chimenea sobre el límite de estabilidad marginal.

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

Esta

ble

( QChimenea / QNúcleo ) = -1% ( QChimenea / QNúcleo ) = -10% ( QChimenea / QNúcleo ) = -30%

KiNúcleo=7, KeNúcleo=5, KiChimenea=5, KeChimenea=5Factor de Generador de Vapor=15

Punto de operación


Hsu

b, K

J/K

g

Fig. 47. Efecto de condensación en la chimenea sobre el límite de estabilidad marginal.

53

El efecto de la presión del sistema es mostrado en las Figs. 48 y 49. Cuando la presión del sistema aumenta, el modelo predice un sistema más estable en todos los rangos de potencia.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0

X=0

Esta

ble

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

( P = 10 MPa) ( P = 12.25 MPa)

( P = 13 MPa) KiNúcleo=7, KeNúcleo=5

KiChimenea=5, KeChimenea=5Factor de Generador de Vapor=15

Npch,eq

Nsu

b,eq

Fig. 48. Efecto de la presión del sistema sobre el límite de estabilidad marginal.

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Ines

tabl

e

Ines

tabl

e

Esta

ble

( P = 10 MPa) ( P = 12.25 MPa)

( P = 13 MPa) KiNúcleo=7, KeNúcleo=5

KiChimenea=5, KeChimenea=5Factor de Generador de Vapor=15

Punto de operación

Flujo de Calor medio en el Núcleo, KW/m2

Hsu

b, K

J/K

g

Fig. 49. Efecto de la presión del sistema sobre el límite de estabilidad marginal.

54

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES En este trabajo, se ha desarrollado un modelo analítico unidimensional para el análisis lineal de oscilaciones de onda de densidad en un canal de ebullición y un lazo de circulación natural con chimenea y fuente fría descendente. Las secciones del calefactor y de la chimenea se dividieron en una región de una fase y otra región de dos fases. La región de dos fases fue representada por el modelo drift-flux. El modelo tiene en cuenta el deslizamiento entre fases y ebullición sub-enfriada. La fricción localizada a la salida del calefactor y de la chimenea se trata considerando la mezcla de dos fases. También fue modelado el efecto de la condensación en la chimenea y el la variación de la presión del sistema. Finalmente las ecuaciones del modelo fueron analizadas en el dominio frecuencial perturbando a primer orden alrededor del estado estacionario.

Las características de estabilidad del canal de ebullición y el lazo fueron investigadas analizando los ceros de la ecuación característica. Se construyeron los mapas clásicos de estabilidad en el plano de número de subenfriamiento y el número de cambio de fase (i.e., el subenfriamiento de entrada y el flujo de calor adimensional). Las predicciones del modelo fueron comparadas con resultados experimentales publicados en la literatura abierta.

Se encontró que el efecto de tratamiento de fricción localizada en mezclas de dos fases estabiliza el sistema y mejora el acuerdo de los cálculos con los resultados experimentales. Para un canal en ebullición sujeto a un salto de presión constante, el sistema se estabiliza al aumentar la fricción localizada a la entrada, reducir la fricción localizada a la salida baja, y aumentar el caudal. Para el circuito de convección natural, un aumento de la fricción localizada a la entrada estabiliza el sistema, mientras que el aumento de la fricción localizada a la salida o el nivel sobre la superficie del líquido lo inestabiliza. Otro elemento estabilizante es la condensación en la chimenea.

Los resultados muestran que el modelo tiene buen acuerdo con los datos experimentales disponibles. En particular, los resultados muestran la importancia de considerar la condensación en la chimenea y de corregir la fricción localizada debido a la presencia de la mezcla de dos fases. Estos efectos son más importantes para altas potencias y altos subenfriamientos de entrada.

Completando el trabajo, se analizó el comportamiento y la estabilidad del circuito primario del reactor CAREM-25. Se encontraron regiones de inestabilidad de caudal a bajas y altas potencias. En el rango de bajo flujo de calor, las tendencias del modelo de equilibrio térmico sin deslizamiento entre fases y el modelo de no equilibrio térmico con deslizamiento son similares, lo cual es razonable ya que el título es bajo. En el rango de alto flujo de calor los márgenes de estabilidad de los dos modelos se cortan en un punto en el plano formado por el número de subenfriamiento y el número de cambio de fase, determinando dos regiones diferenciadas, de alto y bajo subenfriamiento. En la primera región, el modelo de equilibrio térmico predice un título más alto, lo cual resulta en condiciones más estables. En la segunda región, el modelo de equilibrio térmico predice

55

menores longitudes de la zona de dos fases, lo cual resulta en condiciones más inestables. Para subenfriamientos de entrada y potencias intermedias, la velocidad de entrada al núcleo calculadas con el modelo de equilibrio térmico son menores, lo cual resulta en condiciones más estables. En general se encontró que los parámetros de control que aumentan la estabilidad del sistema son la fricción localizada a la entrada, la presión del sistema y la condensación de chimenea. Por el contrario, la fricción localizada a la salida inestabiliza el sistema.

56

CAPÍTULO 6

REFERENCIAS Achard, J., Drew, D., and Lahey, R.T., Jr., ¨The analysis of Nonlinear Density-Wave Oscillations in Boiling Channels, J. of Fluid Mechanics¨, Vol. 155, pp. 213-232, 1985. AEOD Special Report, ¨AEOD Concerns Regarding the Power Oscillation Event at LaSalle 2 (BWR-5)¨, AEOD, 1988. Chang, Chin J., ¨The analysis of chaotic instability in boiling systems¨, Ph.D. thesis, School of Engineering, Department of Mechanical Engineering, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, 1994. Clausse, A., ¨ Efectos no lineales en ondas de densidad ¨, Doctoral tesis, Instituto Balseiro, Bariloche, Argentina, 1986. Clausse, A. and Lahey, R.T., Jr., ¨The influence of Flow Development on Subcooled Boiling¨, Int. Comm. Heat Mass Transfer, Vol. 17, pp. 545-554, 1990. Clausse, A. and Lahey, R.T., Jr., ¨The Analysis of Periodic and Strange Attractors During Density-Wave Oscillations in Boiling Flows¨, J. of Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 1, No. 2, pp. 17, 1991. Delmastro, D., ¨ Influencia de la Gravedad sobre la Estabilidad de Canales en Ebullición ¨, ME tesis, Instituto Balseiro, Bariloche, Argentina, 1998. Delmastro, D., ¨ Aplicación de la teoría de sistemas dinámicos al análisis de inestabilidades termo hidráulicas ¨, Doctoral tesis, Instituto Balseiro, Bariloche, Argentina, 1993. Garea, V. B., Nodal Analysis of Two-Phase Flow Instabilities, Ph. D. thesis, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, 1998. Guckenheimer, J. And Holmes, P., ¨Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields¨, Springer-Verlag, 1983. IAEA-TECDOC-1391, Status of Advanced Light Water Reactor Designs. IAEA, Vienna, 2004. Ishii, M., ¨Thermally Induced Flow Instabilities in Two-Phase Mixtures in Thermal Equilibrium¨, Ph.D. Thesis, School of Mechanical Engineering, Georgia Institute of Technology, June, 1971. Ishii, M. and Zuber, N., ¨Thermally Induced Flow instabilities in Two-Phase Mixtures¨, Heat Transfer 1970, 4th Int. Heat Transfer Conference, Vol. V, Paper B5.11, Sept., 1970.

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Kyung, I. And Lee, S., Än Experimental Investigation on the Flow Behavior in an Open Two-Phase Natural Circulation Loop¨, Nat. Heat Transfer Conf., Atlanta, ANS Proceedings, 1993. Lahey, R. T., Jr. and Moody, F. J., ¨The Thermal-Hydraulics of a Boiling Water Nuclear Reactor¨, ANS Monograph, 1977. Lahey, R.T., Jr. and Drew, D., Än Assessment of the Literature Related to LWR Instability Modes¨, NUREG/CR-1414, US Nuclear Regulatory Commission, April, 1980. Lahey, R. T., Jr. and Podowski, M. Z., Ön the analyses of Instabilities in Two-Phase Flows¨, Multiphase Science and Technology, Vol. 3, Hemisphere Press, 1987. Ledinegg, M., Ïnstability of Flow During Natural and Forced Circulation¨, Die Warme, 61, No. 8, 891-898, 1938, AEC-tr-1861, 1954. Mochizuki, H., Ëxperimental and Analytical Studies of Flow Instabilities in Pressure Tube Type Heavy Water Reactors¨, Journal of Nuclear Science and Technology, Vol. 29, pp. 50-67, 1992. Peng, S. J., ¨NUFREQ-NP, a Digital Computer Code for the Linear Stability Analysis of Boiling Water Nuclear Reactors¨, Ph.D. thesis, School of Engineering, Department of Nuclear Engineering, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, 1984. Pinheiro-Rosa, Mauricio, ¨Nonlinear Dynamics and Stability Analysis of Two-Phase Flow Systems with Applications to Boiling Water Nuclear Reactors¨, Ph.D. thesis, School of Engineering, Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, 1994. Rizwan-Uddin, ¨Linear and Nonlinear Stability Analysis of Density-Wave Oscillations in Heated Channels¨, Ph.D. Thesis, Department of Nuclear Engineering, University of Illinois, Urbana-Champaign, 1987. Rizwan-Uddin and Dorning, J. J., ¨Chaotic Dynamics of a Triply Forced Two-Phase Flow System¨, Nuclear Engineering and Design, Vol. 105, pp. 123-135, 1990. Saha, P., ¨Thermally Induced Two-Phase Flow Instabilities, Including the Effect of Thermal Non-Equilibrium Between the Phases¨, Ph.D. thesis, School of Mechanical Engineering, Georgia Institute of Technology, June, 1974. Scilab-2.6, Inria/Enpc, France, 2001. Serov, E. P., ¨The Operation of Once-Through Boilers in Variable Regimes¨, Tr. Mosk. Energy Inst., 11, 1953.

58

Takenaka, N., ¨Numerical Study on Non-Linear Two-Phase Flow Dynamics with Neutron Feedback and Fuel Heat Transfer in a Natural Circulation Loop and Parallel Channels¨, Internal Report, Rensselaer Polytechnic Institute, 1990. Zuber, N. and Findlay, J. A., ¨Average Volumetric Concentration in Two-Phase Flow Systems¨, J. of Heat Transfer, Vol. 87, pp. 453-468, 1965. Van der Hagen, T.H.J.J., et al., Startup of the Dodewaard natural circulation boiling water reactor, GKN-Rep. 92-017 / FY / R, 1992.

59

NOMENCLATURA

oC Parámetro de distribución radial de la fracción de vacío HD Diámetro hidráulico

f Factor de fricción distribuida g Aceleración gravitatoria h Entalpía j Flujo volumétrico total de la mezcla K Coeficiente de fricción concentrada L Longitud del canal

subN Número de subenfriamiento pchN Número de cambio de fase

p Presión del sistema Q Potencia neta total del canal q Potencia volumétrica s Transformada del tiempo t Tiempo u Velocidad

gjV Velocidad de drift del vapor W Caudal másico x Título z Variable espacial Letras Griegas δ Perturbación alrededor del estado estacionario

p∆ Pérdida de presión λ Frontera de ebullición Λ Perturbación de frontera de ebullición alrededor del estado estacionario ϑ Tiempo de residencia en la región de simple fase υ Volumen específico ρ Densidad α Fracción de vacío µ Viscosidad dinámica Subíndices a Aceleración espacial BC Canal de ebullición df Drift-flux

60

e Salida ld Desprendimiento de vapor L Distribución longitudinal l líquido m Mezcla de dos fases f líquido saturado g Vapor G Gravedad i Entrada I Inercia o Estado estacionario 1ϕ Simple fase

61

Apéndice A

Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga del calefactor A.1 Las ecuaciones de conservación unidimensionales de un canal en ebullición son [Lahey y Moody, 1984]: Conservación de Masa Para la zona de simple fase ( )ϕ1 es

1 1 1 0H H Hut zϕ ϕ ϕρ ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

(A.1)

Donde ρ es la densidad del fluido, es la velocidad, t es la variable de tiempo, y es la variable espacial.

u z

Para la zona de una mezcla de dos fases ( )ϕ2 es

0mH mH mHut z

ρ ρ∂ ∂+ =

∂ ∂ (A.2)

Donde

( )1mH H l H gρ α ρ α ρ= − + (A.3)

´2 (1 )l

mH H gjHmH

u j Vϕρρ

= + − (A.4)

Y

´2( 1)gjH gjH o HV V C j ϕ= + − (A.5)

Donde α es la fracción de vacío, es la velocidad de drift de vapor, es el parámetro de distribución radial de la fracción de vacío,

gjV oCj es el flujo volumétrico total

de la mezcla y los subíndices representan el líquido, el gas y la mezcla respectivamente.

mgl ,,

Conservación de Energía Para simple fase es

1 1 1 1 1H H H H HH

h u hq

t zϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

(A.6)

Donde h es la entalpía del fluido y q es la potencia por volumen del fluido.

62

Para una mezcla de dos fases es

lg ´

lg

mH mH l mHmH mH mH H gjH

mH

hh hu q Vt z z

ρ ρρ ρυ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ −∂+ = − ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(A.7)

Donde

( )1mH mH H l lH H g gh h hρ α ρ α ρ= − + (A.8)

lg g lh h h= − (A.9)

lg υυυ −=lg (A.10) Conservación del Momento Para simple fase es

12 21 1 1 1 1 1 1 1

11

( )2

NH H H H H H H

j j HjH

u u f uK z z g

t z D

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ρ ρ ρδ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + + − + = −⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

∑ Hpz∂

(A.11)

Si la presión del sistema es constante, la densidad es constante esto es:

flldhh υυϕ =⇒≤1 (A.12) Donde υ es el volumen específico del fluido y los subíndices y indican desprendimiento de vapor y líquido saturado respectivamente. De Ec. (A.1)

ld f

1 ( )H iHu z uϕ = (A.13)

Donde el subíndice indica la entrada del canal. i En el estado estacionario, de Ec. (A.6)

1 H H f

ioH

h qz uϕ υ∂

=∂

(A.14)

Entonces

H fld ioH oH

ioH

qh h

uυ

λ− = (A.15)

Donde λ es la frontera de ebullición y el subíndice indica el estado estacionario. oDebido a la suposición de subenfriamiento de entrada constante ( constantiH ioHh h= = ), entonces

63

oH ld iH

ioH H f

h hu qλϑ

υ−

= = (A.16)

Donde ϑ es el tiempo de residencia en la región de simple fase y la posición transitoria de la frontera de ebullición, ( )H tλ , es hadada por

( ) ( )t

H iHt

t u tϑ

λ−

= ∫ % %dt (A.17)

A su vez, para una mezcla de dos fases es

22 22

1

2´ 2

( )2

( )

NHmH mH mH mH mH mH

j j mjH

l g Hl mHgjH

mH g mH

fu u uK z z gt z D

pV

z z

ϕϕ

ϕ

ρ ρ ρδ ρ

ρ ρρ ρρ ρ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂+ + + − +⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ∂−∂+ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ − ∂⎝ ⎠

∑ H

(A.18)

Donde es el coeficiente de fricción distribuida, es el diámetro hidráulico, f HD K es el coeficiente de fricción local, g es la aceleración gravitatoria, p es la presión de sistema y la función delta de Dirac satisface:

( )( ) ( )j jf z z z dz f zδ∞

−∞− =∫ (A.19)

Debido a que la región de ebullición sub-enfriada es corta, consideramos que:

2fld

l

hhh

+= (A.20)

De Ecs. (A.3) y (A.8), deducimos que

lg lg

fg fgmH f l mHh h

h hυ υ

υ υ= − + (A.21)

Por sustitución en Ec. (A.2)

2 2

2 2lg lg

1 11 0

1 1 0

1 1 0

mH mH mHmH

mH

mH mH mH mH

mH mH mH

fg fgmH mH mH mH

mH mH mH

u ut z z

u ut z z

h u u hh t z h z

υ υυυ υ

υ υ υυ υ

υ υ υ

∂ ∂∂

+ + =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− + − =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− + −

∂ ∂ ∂=

(A.22)

64

Entonces

´

lg lg

1fg fg fmH mH mHmH mH mH H gjH

mH

u h hu qz h t z h z

υ υρ ρ

ρV

ρ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + = + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.23)

Definiendo

lg

fgH Hq

hυ

Ω = (A.24)

Entonces de Ec. (A.4)

2 HH

jzϕ∂

= Ω∂

(A.25)

Así

2 ( )H iH H Hj u zϕ λ= +Ω − (A.26)

65

A.2 Análisis lineal El análisis lineal consiste en perturbar el sistema de ecuaciones a primer orden alrededor del estado estacionario, esto es:

),()(),( tzuzutzu o δ+= (A.27) y

),()(),( tzhzhtzh o δ+= (A.28) Donde y son los valores de la velocidad y entalpía en el estado estacionario y

( )ou z ( )oh z),( tzuδ y ),( tzhδ son las perturbaciones de la velocidad y entalpía alrededor del

estado estacionario. Poniendo ahora para una sola fase:

1 ( , ) 1( ) stHu z t U z eϕδ = (A.29)

Entonces la Ec. (A.19) queda:

11 1( ) 1 1

t s sst st

H ioH ioH ioH Ht

e et u U e dt u U e u us s

ϑ ϑ

ϕϑ

λ ϑ ϑ− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ % % δ

(A.30)

Donde definimos la perturbación del límite de ebullición alrededor del estado estacionario como

11 s

H He us

ϑ

ϕδ−⎛ ⎞−

Λ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.31)

La Ec. (A.26) queda:

2 1 1( ) ( )H ioH H H oH H ioH H oH H H Hj u u z u z uϕ ϕ ϕδ λ λ δ= + +Ω − −Λ = +Ω − + −Ω Λ (A.32) Donde

2 ( )oH ioH H oHj u zϕ λ= +Ω − (A.33) y

2 1H H Hj uϕ ϕ Hδ δ= −Ω Λ (A.34) La perturbación de la entalpía se puede poner como:

1 ( , ) 1( ) stHh z t H z eϕδ = (A.35)

66

con lo que la Ec. (A.6) queda

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

( )( )

H HiH H f

H ioH H oH H H f

H ioH oH ioH H oH H H f

h hu q

t zs h u u h h q

s h u h u h h u q

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

υ

δ δ δ υ

δ δ δ

∂ ∂+ =

∂ ∂′ ′+ + + =

′ ′ ′+ + + = υ

(A.36)

En estado estacionario

1ioH oH H fu h qϕ υ′ = (A.37) Entonces

1 1 1 1 0ioH H H oH Hu h s h h uϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ′ ′+ + =

0

(A.38) Este es una ecuación de Bernoulli, y la solución de la parte homogénea:

1 1( )HOM HOMioH H Hu h s hϕ ϕδ δ′ + = (A.39)

es

11

1 0

1

1

ln

HOMH

HOMiH

ioH

h HOM zH

HOMH ioHh

HOMH

HOMiH ioH

szuHOM HOM

H iH

d h s dzh u

h szh u

h h e

ϕδϕ

ϕδ

ϕ

ϕ

δδ

δδ

δ δ−

= −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

∫ ∫

(A.40)

y la solución de la parte particular:

1 1 1 0PARH oH Hs h h uϕ ϕ ϕδ δ′+ = (A.41)

es

1 1H fPAR

H HioH

qh u

suϕ ϕ

υδ δ= − (A.42)

Entonces

1 1 1ioH

szH fuHOM PAR HOM

1H H H iHioH

qh h h h e u

su Hϕ ϕ ϕ

υδ δ δ δ δ

−

= + = − ϕ (A.43)

La condición de contorno es en 0=z

67

0iHhδ = (A.44)

con lo cual

1H fHOM

iH HioH

qh u

su ϕ

υδ δ= (A.45)

y por lo tanto

1 1( 1)ioH

szH fu

H HioH

qh e u

suϕ ϕ

υδ δ

−

= − (A.46)

Para la mezcla de dos fases, se propone

( , ) 2( ) stmHh z t H z eδ = (A.47)

y la Ec. (A.7) queda

( )

( )

lg ´

lg ´ ´

1

( )( ) ( )

( ) 1 ( )

mH mHmH H mH mH f mH gjH

fg

mH moH mH moH mH H moH mH

moH mH f moH mH gjoH gjHfg

hh hu q Vt z z

s h u u h h qh

V Vz

υ υ ρ υυ

δ δ δ υ δυ

υ δυ ρ υ δυ δυ

∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤+ − − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

′ ′= + + + − +

∂ ⎡ ⎤− + − + +⎣ ⎦∂0=

(A.48)


( )lg ´1 0moH moH H moH moH f moH gjoHfg

hu h q V

zυ υ ρ υ

υ∂ ⎡ ⎤′ − − −⎣ ⎦∂

= (A.49)

Entonces

( )

( )

lg ´

lg lg´ ´

1

1 0

moH mH mH mH moH H mH moH f moH gjHfg

f moH mH gjoH mH f moH gjoHfg fg

hu h s h u h q V

z

h hV V

z z

δ δ δ δυ υ ρ υ δυ

ρ υ δυ δυ ρ υυ υ

∂ ⎡ ⎤′ ′+ + − − −⎣ ⎦∂

∂ ∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂=

(A.50)

De Ec. (A.21) sabemos que

lg lg

( )fg fgmH f l moH mH moH mHh h h

h hυ υ

υ υ δ υ= − + + = +δυ (A.51)

Donde definimos

68

lg lg

fg fgmoH f l moHh h

h hυ υ

υ υ= − + (A.52)

y

lg

fgmH mHh

hυ

δυ δ= (A.53)

También, de la Ec. (A.5) se llega a:

´ ´2 2( 1)( )gjoH gjH gjH o oH HV V V C j jϕ ϕδ δ+ = + − + (A.54)

entonces

´2( 1)gjoH gjH o oHV V C j ϕ= + − (A.55)

y

´2( 1)gjH o HV C j ϕδ δ= − (A.56)

Sustituyendo en la Ec. (A.50)

( )

( )

lg ´

´lg lg lg´ ´

lg lg´ ´

1

1

moH mH mH mH moH H mH moH f moH gjHfg

gjoHmoH mHf moH gjH f moH gjoH f moH mH

fg fg fg

mH f moH gjoH f mH gjoHfg fg

hu h s h u h h V

z

h hV V

z z

h hV V

z z

δ δ δ δ υ ρ υ δυ

υ δυρ υ δ ρ υ ρ υ δυυ υ

δυ ρ υ ρ δυυ υ

∂

h Vzυ

⎡ ⎤′ ′+ + −Ω − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∂∂ ∂+ + +

∂ ∂

∂ ∂⎡ ⎤− − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦[ ]

( ) ( )

∂

( ) ( )

´

lg

´ ´

2 1 1

0

moH

fgH o H f moH o H f gjoH moH mH

moH f moH gjoH mH mH f moH gjH moH

s C C V h hh

u V h u V h

υ

υρ υ ρ δ

ρ υ δ δ ρ υ δ

⎡ ⎤′= −Ω + − Ω − − Ω +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦′ ′+ + + + =

(A.57)

y de la Ec. (A.49)

( )lg ´

´

1moH moHmoH H f moH gjoH

moH moH fg

f f l moHH gjo

ioH ioH f

hh q V

u u z

h hq Vu u z

υ υ ρ υυ

υ υυ

∂ ⎡ ⎤′ = + −⎣ ⎦∂

⎡ ⎤⎛ ⎞−∂= + ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

H

(A.58)

De ahí se sigue que

69

( ) ( ) ( ) ( )´´

oHgjf gjoHmoH ld H oH l moH l ld

ioH ioH ioH

VVh h q z h h h h

u u uλυ

λ− = − + − − − (A.59)

entonces

( )´

2

( )( )( 1)

oHioH gj ld l H f oHmoH l

ioH gjH o oH

u V h h q zh h

u V C jλ

ϕ

υ λ+ − + −= +

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ (A.60)

También, de la Ec. (A.4)

´ ´2 2( ) ( ) 1 moH mH

mH oH H gjoH gjH moH mHf f

u j j V V u uϕ ϕυ δυδ δυ υ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − − = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

δ (A.61)

´2 1 moH

moH oH gjoHf

u j Vϕυυ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A.62)

´ ´2 1mH moH

mH H gjoH gjHf f

u j V Vϕδυ υδ δ δυ υ

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A.63)

En el estado estacionario

2

2

( 1)ioH gjH o oHmoH ioH

f moH gjH o oH

u V C juu V C j

ϕ

ϕ

ρρ

+ + −= =

+ (A.64)

Y de la Ec. (A.60)

( )´

2

2

2 2

´2 2

2

( )( ) ( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

( )( )( 1)( )

( )

(

oH

oH

ioH gj l ld H f oH o HmoH

ioH gjH o oH

H f H f

ioH gjH o oH ioH gjH o oH

ioH gj l ld o H moH

gjH o ioH f

o

u V h h q z Ch

u V C j

q qu V C j u V C j

u V h h CVJCH

V C u

C

λ

ϕ

ϕ ϕ

λ

υ λ

υ υ

υυ

−

⎡ ⎤+ − − − − Ω⎣ ⎦′ =⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − − Ω+

+

+ 2 22

2

´2 2

2

1

1) ( ) ( )

( 1)

( )( )( 1)( )

( )

( 1)( ) (

( ) ( )

oH

H f ioH oH gjH o oH gjH o oH

ioH gjH o oH

ioH gj l ld o H moH

gjH o ioH f

o H f o H fmoH moH

gjH o ioH f gjH o ioH

q u j V C j V C j

u V C j

u V h h CVJCH

V C u

C q C qVJCH

V C u V C u

ϕ ϕ

ϕ

λ

υ

υυ

υ υυ υυ

−

−

⎡ ⎤− − + + − +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+ − − Ω=

+

−+ −

+ +

2ϕ

2 1)f

VJCHυ

−

(A.65)

70

Donde definimos

2gjH o oH

gjH o ioH

V C jVJCH

V C uϕ+

=+

(A.66)

Entonces, de la Ec. (A.57)

( )´ ´2

´

2lg

( )

( )

mHmH f moH gjH moH H gjoH gjH moH

f

fg gjoHo H mH moH

f

u V h j V V

VC j h h

h

ϕ

ϕ

´ hδυδ ρ υ δ δ δυ

υδ δ

υ

′ ′+ = − +

′= − (A.67)

y ( )´ ´

2 2( ) ( )moH f moH gjoH mH oH gjoH mH gjH o oH mHu V h j V h V C jϕ ϕρ υ δ δ δ′ ′+ = + = + h′ (A.68) Sustituyendo en la Ec. (A.57) ( ) ( )2

2

2 1

0gjH o oH mH o H o H f moH mH

o moH H

V C j h s C C h

C h jϕ

ϕ

δ ρ

δ

′ ⎡ ⎤+ + − Ω + − Ω⎣ ⎦′+ =

υ δ (A.69)

71

La solución analítica de esta ecuación es:

( ) ( ) ( ) 0mH mHA z h B z h C zδ δ′ + + = (A.70) donde

( )2( ) gjH o oHA z V C j ϕ= + (A.71)

( )( ) 2 1o H o H f moHB z s C C ρ υ⎡ ⎤= − Ω + − Ω⎣ ⎦ (A.72) y

2( ) o moH HC z C h j ϕδ′= (A.73) Multiplicando la Ec. (A.70) por una función de z, L (z), se obtienen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0mH mHL z A z h L z B z h L z C zδ δ′ + + = (A.74) Entonces [ ]( )

( ) ( ) 0mHd Q z hL z C z

dzδ

+ = (A.75)

donde

( ) ( ) ( )Q z L z A z= (A.76) y [ ]( )

( ) ( )d Q z

L z B zdz

= (A.77)

De ahí

[ ]( )1 (( ) ( )

d Q z )B zQ z dz A z

= (A.78)

O sea:

( )( ) ( )(exp )( )

H

z

HB zQ z Q dzA zλ

λ= ∫ (A.79)

Es decir:

72

( ) ( )( ) (exp )( ) ( )

H

zHQ B zL z dz

A z A zλ

λ= ∫ (A.80)

Lo cual lleva a: [ ]( ) ( ) ( ) ( )(exp ) 0

( ) ( )H

zmH Hd Q z h Q C z B z dz

dz A z A zλ

δ λ+ =∫ (A.81)

y

( ) ( )( ) ( ) ( ) (exp )( ) ( )H

H H

z z

mH H HC z B zQ z h Q h Q dz dzA z A zλ

λ λ

δ λ δ λ− = − ∫ ∫ (A.82)

Además

1 ( ) ((exp )( ) ( )( )(exp )

( )

H

H H

H

z z

mH zC z B zh h dz dzA z A zB z dz

A z

λλ λ

λ

δ δ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫

) (A.83)

Así de la Ec. (A.69) resulta

2

2 2

2

2( 1)( )( )

12( 1)( 1)

( 1)( ) ln( ) 2 ln( )

H H

H H

moHo H o Hz z

f

gjH o oH

z zo H

o HgjH o oH ioH gjH o oH

ioH gjH o oHo H

o H gjH o ioH

s C CB z dz dzA z V C j

s C dz C dzV C j u V C j

u V C js C VJCHC V C u

ϕλ λ

ϕ ϕλ λ

ϕ

υυ

− Ω + − Ω=

+

− Ω= + − Ω

+ + +

+ + −− Ω= +

Ω +

∫ ∫

∫ ∫ − (A.84)

Por lo tanto:

( )2 2

( )2

( 1)( )exp( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

o H

o H

H

o H

o H

s CzioH gjH o oHC

gjH o ioH

s CCmoH

f

u V C jB z dz VJCHA z V C u

VJCH

ϕ

λ

ρρ

− ΩΩ

+ ΩΩ

+ + −=

+

=

∫ (A.85)

y

73

2

2

2

2

( )( 1)( )( ) ( )exp( )

( ) ( )

( ) ( 1)( )

o H

o H

H H H

o H o H

s CCl ld o H

o Hz z zgjH o ioH

gjH o oH

s sH f C CmoH

o H o ogjH o ioH f

gjH o

h h CC j VJCHV C uC z B z dz dz dz

A z A z V C j

qC j C VJCH C VJCH

V C u

V C j

ϕ

ϕλ λ λ

ϕ

ϕ

δ

υ ρδρ

− ΩΩ

Ω Ω

⎧ ⎫− − Ω⎪ ⎪⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭=

+

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎨ ⎬+ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭++

∫ ∫ ∫

2

2

22

2

2

( )( 1)( ) ( )

( )( 1)( )

( )( 1)( )

(

o H

o H

o H

o H

H

z

oH

s Czo H l ld o H H f C

gjH o oH gjH o ioH

s Czo H C

l ld o H H fgjH o ioH

l ld o H H fo H

o H

dz

C j h h C qVJCH dz

V C j V C u

C jh h C q VJCH dz

V C u

h h C qC js C

λ

ϕ

ϕλ

ϕ

λ

ϕ

δ υ

δυ

υδ

− ΩΩ

− ΩΩ

⎡ ⎤− − Ω += ⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − Ω +⎣ ⎦+

⎡ ⎤− − Ω +⎣ ⎦=− Ω

∫

∫

∫

1)

o H

o H

s CC

gjH o ioH

VJCHV C u

− ΩΩ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.86)

Luego:

2

( )2

( )22 2

( )( 1)1

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( 1)

o H

o H

o H

o H

o H

o H

s Co H l ld o H H fH f C

HioH o H gjH o ioH

mH s CCmoH

f

s CH f o HCmoH moH

Hf ioH f o H

l ld o H

C j h h C qqVJCH

u s C V C uh

VJCH

q C jVJCH

u s C

h h C

ϕ

ϕ

δ υυ

δρρ

υ δυ υυ υ

− ΩΩ

+ ΩΩ

+ Ω−

Ω

⎡ ⎤⎡ ⎤− − Ω +⎣ ⎦− Λ − −⎢ ⎥− Ω + ⎢ ⎥⎣ ⎦=

= − Λ +− Ω

− − Ω ( )2

( )

o H

o H

s CH f C

gjH o ioH

qVJCH VJCH

V C uυ + Ω

−Ω −

⎡ ⎤⎡ ⎤+−⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.87)

La perturbación de la densidad de mezcla se puede calcular recordando que

(1/m )mρ υ= , con lo cual:

2 2

1 1( )( )moH mH moH mH mHmoH mH

moH mH moH mH moH moH moH

υ δυ υ δυ δυρ δρυ δυ υ δυ υ υ υ

− −+ = = = −

+ − (A.88)

y por lo tanto

( )2

2lg

( )2

lg2

( )

( )( 1)( ) 1

( )( )

o H

o H

o H

o H

s Cfg CmH H H

mH moH mH fmoH ioH

s Cfg C

l ld ofo H H

fo H gjH o ioH

h VJCHh u

h h C VJCH VJCHhC j

s C V C uϕ

υδυδρ ρ δ ρυ

υυδ

ρ

+ Ω−

Ω

+ Ω−

Ω −

Ω Λ= − = − =

⎡ ⎤⎡ ⎤− − + −⎢ ⎥⎢ ⎥

Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−− Ω +

(A.89)

74

A.3 Ecuación de impulso

La pérdida de carga del canal HP∆ se obtiene integrando en el espacio la ecuación de impulso entre la entrada y la salida del canal, esto es:

2 2

10

´ 2

( )2

( )

H

H

H

L N

H i iiH

Lf mH f g

gjHmH g mH

u u f up K z z g dzt z D

V dzzλ

ρ ρ ρδ ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪∆ = + + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞∂

+ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫

∫ (A.90)

Término de inercia La perturbación del término de inercia alrededor del estado estacionario es

0 0

H H H

H

L L

IHu u up dz dz dzt t

λ

λ

ρ ρ ρδ ∂ ∂ ∂∆ = = +

∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ t (A.91)

De ahí, el término sub-enfriado es

1 10 0 0

( ) (0 )H H H

f ioH H f H f Hudz u u dz s u s ut t

λ λ λ

ϕ ϕρ

1 oHϕρ δ ρ δ ρ δ∂ ∂= + = + =

∂ ∂∫ ∫ ∫ λ (A.92)

Y el término de dos fases es

2

2 2

2 2

2 2

( )( )

( )( ) (

( 1)( )( )

( )( )

( ) ( 1)

H H

H H

H

H

L L

moH mH moH H

LmoH mH oH H gjH moH mH f

o oH H moH mH f

o moH mH oH H

gjH moH mH f o

udz u u dzt t

j j Vdz

C j jt

C j j

V Ct

ϕλ λ

ϕ ϕ

ϕ ϕλ

ϕ ϕ

ρ ρ δρ δ

ρ δρ δ ρ δρ ρ

δ ρ δρ ρ

ρ δρ δ

ρ δρ ρ

∂ ∂= + +

∂ ∂

+ + + + −⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ − + + −∂ ⎪ ⎪⎩ ⎭+ +∂

=+ + − − −∂

∫ ∫

∫

2 2( ) ( 1)

H

H

H

H

L

f

L

o moH H gjH o oH mH o f H

dz

C s j s V C j C s j dz

λ

ϕ ϕλ

ρ

ρ δ δρ ρ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦

∫

∫

)

2ϕ

(A.93)

El primer término en Ec. (A.93) es

( )( )

2 2

2

1 1 1

1 ln

H H

H H

L Lo

o moH H o f Ho o

gjH o ioHf H o H H e

o H

CC s j dz C s j dzC C VJCH

V C us j C L VJCH

C

ϕ ϕλ λ

ϕ

ρ δ ρ δ

ρ δ λ ( )

⎡ ⎤⎛ ⎞−= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦+⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥Ω⎣ ⎦

∫ ∫ (A.94)

Donde definimos

75

gjH o eoHe

gjH o ioH

V C jVJCH

V C u⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ (A.95)

y

( )eoH ioH H H oHj u L λ= +Ω − (A.96) El segundo término en Ec. (A.93) es

2

2 1

2

( )

( )( )

1

( )( )( ) 1

H

H

o H

H

H o H

L

gjH o oH mH

sCH H

gjH o ioHLioH

f so H H C

o H

o H H gjH o ioHH HgjH o ioH

ioH o H o H

f

s V C j dz

V C u VJCHu

s dC j

CO H VJCH VJCHs C

C j V C uV C u CO H

u s Cs

ϕλ

λ ϕ

ϕ

δρ

ρδ

δ

ρ

−Ω

−Ω −

+

⎧ ⎫Ω Λ+⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤Ω⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎪ ⎪− Ω ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

Ω +⎡ ⎤Ω Λ+ −⎢ ⎥− Ω Ω −⎣ ⎦

=

∫

∫ z

C

2( )1 1 ln( )

o H

o H

C sgjH o ioH HC

e eo H

s

V C u jVJCH CO H VJCH

s CϕδΩ −

Ω

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞ +⎡ ⎤⎪ ⎪− +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ − Ω⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭

(A.97)

donde definimos

lg

1 1 ( 1)( )( )fgo l ld

f

CO H C h hh

υυ

⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.98)

El tercer término en Ec. (A.93) es

2 2( 1) ( 1) (H

H

L

o f H o f H H oC s j dz C s j Lϕ ϕλ

)Hρ δ ρ δ− − = − − −∫ λ (A.99)

Entonces

76

( ) ( )

1

2

2

1 1 ln

( )( ) 1

( )1

o H

o H

IH f oH H

gjH o ioH H eo H o H

o H HH Hf gjH o ioH

ioH o H

C sgjH o ioH C

eo H

p s u

CO H V C u j VJCHC s C

C js V C u CO H

u s C

V C uVJCH

C s

ϕ

ϕ

ϕ

δ ρ λ δ

δ

δρ

Ω −Ω

∆ =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪+ +⎜ ⎟⎪ ⎪Ω − Ω⎝ ⎠⎪ ⎪

Ω⎡ ⎤Ω Λ⎪ ⎪+ + + −⎨ ⎬⎢ ⎥− Ω⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞+⎛ ⎞⎪ ⎪−⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟Ω −⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

(A.100)

Término de aceleración El término de aceleración espacial es

( ) ( )

( )( ) ( )( )

22 2

02 2

2 2 22

HL

aH e i

eoH eH eoH eH f ioH iH

eoH eoH f ioH f ioH eH iH eoH eH

up dz u uz

u u u u

u u u u u u

ρ ρ ρ

ρ δρ δ ρ δ

ρ ρ ρ δ δ δ

∂∆ = = −

∂

= + + − +

= − + − +

∫

ρ

(A.101)

El estado estacionario del término de aceleración espacial es

2 2aoH eoH eoH f ioHp u uρ ρ∆ = − (A.102)

y la perturbación del término de aceleración espacial alrededor del estado estacionario es

( ) 22aH f ioH eH iH eoH eHp u u u uδ ρ δ δ δρ∆ = − + (A.103) Donde

( )1f ioH gjH o eoHeoH

gjH o eoH

u V C jV C j

ρρ

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+

(A.104)

f ioH

eoHeoH

uu

ρρ

= (A.105)

( )

2

2 2

1( ) ( )

( )

1( )

( )

o H

o H

s Cf H Co HH H

f eioH o H gjH o ioH

eHf Ho H

eo H gjH o ioH

CO H jC VJCHu s C V C u

CO H jC VJCHs C V C u

ϕ

ϕ

ρ δρ

δρρ δ

+ Ω−

Ω

−

⎧ ⎫⎡ ⎤ΩΩ Λ−⎪ ⎪⎢ ⎥

− Ω +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬Ω⎪ ⎪+⎪ ⎪− Ω +⎩ ⎭

(A.106)

Y

77

( )2 221 ( 1) 1f eH feH H gjH o eoH o H

eoH eoH

u j V C j C jϕ ϕ

ρ δρ ρδ δ δ

ρ ρ⎛ ⎞

⎡ ⎤= + + − + − −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

(A.107)

Término de fricción localizada a la entrada El término de fricción localizada a la entrada es

( )2

2 2

2 2 2f iH iH f iH f

iH iH ioH iH ioH iH f ioH iH

u K Kp K u u u K

ρ ρ ρu uδ ρ δ∆ = = + = + (A.108)

Entonces, el estado estacionario del término de fricción localizada a la entrada es

2

2iH

ioH f ioHKp uρ∆ = (A.109)

La perturbación del término de fricción localizada a la entrada alrededor del estado estacionario es

iH iH f ioH iHp K u uδ ρ δ∆ = (A.110) Término de fricción localizada a la salida El término de fricción localizada a la salida es

( )( )22

2 2

2 2

22

eH eHeH eH eH eoH eH eoH eH

eHeoH eoH eoH eoH eH eoH eH

K Kp u u

K u u u u

ρ ρ δρ δ

ρ ρ δ δρ

∆ = = + +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

u (A.111)

Entonces, el estado estacionario del término de fricción localizada a la salida es

2

2eH

eoH eoH eoHKp uρ∆ = (A.112)

Y la perturbación del término de fricción localizada a la salida alrededor del estado estacionario es

222eH

eH f ioH eH eoH eHKp u u uδ ρ δ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦δρ (A.113)

78

Término de fricción distribuida El término de fricción distribuida es

2 21 2

0 0

H H

H

L L

LH H H2

H

p f u dz f u dz f u dzλ

ϕ ϕλ

ρ ρ ρ+ + +∆ = = +∫ ∫ ∫ (A.114)

n

fff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

µµ ϕ

ϕ

ϕ 2

1

2 (A.115)

La viscosidad de la mezcla de dos fases puede ser calculada usando la correlación de Lahey, [Lahey y Moody, 1984] como:

( )n

g

f

n

f

xx−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12

µµ

µµ ϕ (A.116)

Donde µ es la viscosidad dinámica, x es el título y n es el exponente de número de Reynolds.

HDff

2=+ (A.117)

El término en la zona de liquido es

( ) ( )22 21 1 1

0 0 0

21 1

2

( ) 2

H H H

H H f ioH iH H f ioH ioH iH

H f ioH oH H H f ioH oH iH

f u dz f u u dz f u u u dz

f u f u u

λ λ λ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ρ ρ δ ρ δ

ρ λ ρ λ δ

+ + +

+ +

= + = +

= +Λ +

∫ ∫ ∫ (A.118)

El término en la zona de dos fases es

( )( )222 2

22 2 22

H H

H H

H H H

H H H

L L

H H moH mH moH mH

L L L

H f ioH moH H f ioH mH H moH mH

f u dz f u u dz

f u u dz f u u dz f u d

ϕ ϕλ λ

ϕ ϕ ϕλ λ λ

ρ ρ δρ δ

ρ ρ δ

+ +

+ + +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

= + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ zδρ

(A.119)

El primer término de integración en Ec. (A.119) es

79

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

2

2

2

2

2 2

2

1

1

1

11

H H

H H

H

H

H

H

L LioH gjH o oH

moHioH gjH o oH

LioH gjH o oH

gjH o ioH o oH ioH

LioH gjH o oH gjH o ioH o oH ioH

gjH o ioH

oioH

o

u V C ju dz dz

u V C j

u V C jdz

V C u C j u

u V C j V C u C j udz

V C u

Cu VJCH VJCHC

ϕ

λ λ ϕ

ϕ

λ ϕ

ϕ ϕ

λ

+=

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+=

⎡ ⎤+ + − −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦=

+

−= − −

∫ ∫

∫

∫

[ ]

2

3

11

212

1 313

H H

H H

L Lo

ioH oo

gjH o ioH o H Ho ioH e

o H gjH o ioH

gjH o ioHo o H HioH e

o o H gjH o ioH

o i

Cdz u VJCH C VJCH dzC

V C u CC u VJCHC V C u

V C uC Cu VJCHC C V C u

C u

λ λ

⎧ ⎫ ⎧ −= −⎨ ⎬ ⎨

⎩ ⎭ ⎩

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎛ ⎞ Ω Λ− −⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ω +⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠= ⎨ ⎬

⎛ ⎞+⎛ ⎞− Ω Λ⎪ ⎪− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟Ω +⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

=

∫ ∫⎫⎬⎭

( )

( )

2

3

12

1 13

gjH o ioHoH e

o H

gjH o ioHoioH e ioH H

o o H

V C uVJCH

C

V C uC u VJCH uC C

⎧ ⎫+⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟Ω⎪ ⎝ ⎠ ⎪

⎨ ⎬+⎛ ⎞−⎪ ⎪− − − Λ⎜ ⎟⎪ ⎪Ω⎝ ⎠⎩ ⎭

(A.120)

El segundo término de integración en Ec. (A.119) es

( )

´2 22

2 2 2

( 1) 1

( 1) 1

H H

H H

H

H

L Lf mH f

mH H gjoH o HmoH moH

Lf f

o o H gjH o oHmoH moH

u dz j V C j dz

C C j V C j d

ϕ ϕλ λ

ϕ ϕλ

ρ δρ ρδ δ δ

ρ ρ

ρ ρδ

ρ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤= − − + + −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∫ ∫

∫ mH zδρ

(A.121)

Entonces

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2 22 ´ ´

2 2

2

2

( 1)

( 1)( )

( 1)1 ( 1)

H H

H H

H

H

L Lo gjH o oH H gjH o ioH

H oioH gjoH ioH gjoH

LH gjH o ioH gjH o ioH o oH ioH

gjH o ioH

oH

o

C V C j j V C uj C dz dz

u V u V

j V C u V C u C j udz

V C u

Cj VJCHC

ϕ ϕϕ

λ λ

ϕ ϕ

λ

ϕ

δδ

δ

δ

⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢− =

+ +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ −= − −⎢

⎣

∫ ∫

∫

⎤⎥⎥⎦

2

22 2

( 1)

1( ) 12

H H

H H

L Lo

H oo

gjH o ioHoo H oH H e H

o o H

Cdz j C VJCH dzC

V C uCC L j VJCH jC C

ϕλ λ

ϕ ϕ

δ

λ δ δ

⎤ ⎡ −= −

⎤⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣

+⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦Ω⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫⎦

(A.122)

80

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2´2

2

2 22

2

1

( 1)

( 1)1

H H

H H

H

H

L LgjH o oH ioH gjH o oHf mH

gjoH mHmoH moH ioH gjH o oH

LgjH o oH o ioH oH ioHioH

mHmoH gjH o ioH gjH o ioH

gjH o oH

mo

V C j u V C jV dz

u V C j

V C j C u j uu dzV C u V C u

V C j

ϕ ϕ

λ λ ϕ

ϕ ϕ

λ

ϕ

ρ δρδρ

ρ ρ

δρρ

ρ

⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦=+ + −

⎧ ⎫+ − −⎪ ⎪= − +⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

+=

∫ ∫

∫

dz

( )( )( )

( )( )

( )

2

2

2

2

1

( 1) 1

1

( 1)( 1)

H

H

ioH

L gjH o ioH

mHgjH o oHH o ioH

o gjH o ioH gjH o ioH

o ioH

gjH o ioHgjH o oH

o ioHf ioH gjH o oH

o gjH o ioH

uV C u

dzV C jC u

C V C u V C u

C uV C uV C j

C uu V C j VJCHC V C u

ϕλ

ϕ

ϕ

δρ

δρρ

⎧ ⎫−⎪ ⎪+⎪ ⎪⎨ ⎬⎡ ⎤+−⎪ ⎪+ −⎢ ⎥⎪ ⎪+ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫−⎪ ⎪++ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬−+ + − ⎪ ⎪+⎪ ⎪+⎩ ⎭

∫

( )

( )

2

2 3

( )

2(

( 1) ( 1)

( 1)1

( )( 1)

H

H

H

H

H

H

o H

o H

o H

o

L

mH

Lo o

gjH ioH o mHf o o

Lo

o gjH gjH o ioH mHf o

C sC

o gjHH H

C sCoioH

gjH o ioHo

dz

C CVJCH V u VJCH C VJCH dzC C

CC V VJCH V C u VJCH dzC

C V VJCH

Cu V C u VJCHC

λ

λ

λ

δρρ

δρρ

Ω −Ω

Ω −

⎧ ⎫⎧ ⎫− −= + −⎨ ⎬⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭

⎧ ⎫−= − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

Ω Λ=

−− −

∫

∫

∫

( )

)

( )

22( )

2

1( 1)( )( )

( 1)1( )( )

H

HH

o H

o HH

o H

o HH

L

C sC

L o gjHo H H

C so gjH o ioH Co H gjH o ioH

o

o gjo H Ho gjH

o H gjH o ioH

dz

C V VJCHC CO H jdzC V C us C V C u VJCH

C

C VC CO H jC V

s C V C u

λ

ϕ

λ

ϕ

δ

δ

Ω

Ω −Ω

Ω −Ω

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤⎢ ⎥Ω ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− Ω +−⎢ ⎥⎣ ⎦

−Ω+ −

− Ω +

∫

∫

( )

2( )

3( )

12

( )( )1 13

( ) (

H

H

o H

o H

o H

o H

LH o ioH

o

C sgjH o ioH C

o gjH eo H

C sgjH o ioH gjH o ioH Co

eo o H

o HH H

ioH o H

C uVJCH dz

C

V C uC V VJCH

C s

V C u V C uC VJCHC C s

Cu s C

λ

Ω −Ω

Ω −Ω

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎪ ⎪−⎢ ⎥

Ω −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤− +⎪ ⎪−

− −⎢ ⎥⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

ΩΩ Λ−

− Ω

∫

( )

2 2

2

1 1)( ) ( )( )

( )( )( 1) 12

H Ho H

gjH o ioH o H gjH o ioH

gjH o ioH gjH o ioHoo gjH H oH e

o o H

CO H j CO H jCV C u s C V C u

V C u V C uCC V L VJCHC C

ϕ ϕδ δ

λ

⎡ ⎤ Ω+⎢ ⎥

+ − Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦− +⎧ ⎫− ⎡ ⎤− − −⎨ ⎬⎣ ⎦Ω⎩ ⎭

(A.123)

81

El tercer término de integración en Ec. (A.119) es

( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

2222

2

2

222

2

2

222 2

2

2 2

1

2 1

2 11

2 11 1

ioH gjH o oHmoH

ioH gjH o oH

ioH gjH o oH

gjH o ioH o gjH o ioH oH ioH

ioH gjH o oH o oH ioH

gjH o ioHgjH o ioH

oioH

o

u V C ju

u V C j

u V C j

V C u C V C u j u

u V C j C j u

V C uV C u

Cu VJCH VJCH

C

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

+=⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+=

+ + − + −

⎡ ⎤+ − −= −⎢ ⎥

+⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

−⎡= + −

( ) ( )2 2 33 2 2 1o oioH

o o

C Cu VJCH VJCH

C C

⎤⎢ ⎥⎣ ⎦− −⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.124)

De ahí

( ) ( )

( )

2 2 2 3

2 ( )

2( ) 22

3 2 2 1

3 2 ( )

11 ( )2 ( )

H H

H H

o H

o H

o H

o H

L Lo o

moH mH ioH mHo o

C sH HCo ioH

fioHo

C sf Ho HCo

ioHo H gjH o ioHo

C Cu dz u VJCH VJCH dz

C C

C uVJCH

uCdzCO H jCC u VJCH s C V C uC

λ λ

ϕ

δρ δρ

ρ

ρ δ

Ω −Ω

Ω −Ω

− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎧ ⎫ Ω Λ− ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ⎨ ⎬ ⎢ ⎥Ω−⎪ ⎪ −⎢ ⎥−⎪ ⎪ − Ω +⎣ ⎦⎩ ⎭

∫ ∫

( ) ( )

( )

22

22 ( )

3( )

2

1 3 2 2 1( )

( )

3 21

2

12 13

H

H

H

H

o H

o H

o H

o H

L

Lf H o oo H

ioHo H gjH o ioH o o

C sgjH o ioH Co ioH

eo o H

C sgjH o ioH Co

ioH eo o H

CO H j C CCu Vs C V C u C C

V C uC uVJCH

C C s

V C uC u VJCHC C s

λ

ϕ

λ

ρ δ

Ω −Ω

Ω −Ω

⎡ ⎤ − −⎡ ⎤Ω+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Ω +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤+−−⎢ ⎥

Ω − ⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡+−

− −⎢Ω − ⎣

∫

∫ JCH dz

( )

( )( )

2

22

22

1( )

3 21

( )1( ) 1

f H H o H

ioH o H

f H

gjH o ioH

oH oH

of Ho Hio

oo H gjH o ioHgjH o ioH e

o H

Cu s CCO H j

V C u

C LCCO H jCuCs C V C u V C u VJCHC

ϕ

ϕ

ρ

ρ δ

λρ δ

⎧ ⎫ Ω Λ⎡ ⎤Ω⎪ ⎪ −⎢ ⎥⎪ ⎪ − Ω⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎥⎪ ⎪ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎦⎩ ⎭−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤Ω ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦ − + −⎢ ⎥Ω⎣ ⎦

(A.125)

Entonces el estado estacionario del término de fricción distribuida es

82

( )

( )

2

21 2

3

12

1 13

gjH o ioHo e

o HLoH f ioH H oH H

gjH o ioHoe

o o H

V C uC VJCH

CP u f f

V C uC VJCHC C

ϕ ϕρ λ+ +

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟Ω⎪ ⎝ ⎠⎢ ⎥∆ = +⎨ ⎬⎢ ⎥+⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥Ω⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎪ (A.126)

Y la perturbación del término de fricción distribuida alrededor del estado estacionario es

( )

2 21 1 2

22 2

22

2

12 ( )2

1( ) ( )

( )

2

LH H f ioH H H f ioH oH iH H f ioH H

gjH o ioHoH f ioH H o H oH e

o o H

Ho HH HH f ioH

ioH o H gjH o ioH

o

P f u f u u f u

V C uCf u j C L VJCHC C

CO H jCf uu s C V C u

C

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

δ ρ ρ λ δ ρ

ρ δ λ

δρ

+ + +

+

+

∆ = Λ + − Λ

1⎡ ⎤+⎛ ⎞⎛ ⎞−

+ − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟Ω⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤ΩΩ Λ

+ −⎢ ⎥− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 2( )

3( )

2 2

3 21

2

( )12 13

21

( )( )

o H

o H

o H

o H

C sgjH o ioH Co ioH

gjH eo o H

C sgjH o ioH Co

gjH eo o H

H f ioH o H H

o H gjH o ioH

V C uC uV VJCH

C C s

V C uCV VJCHC C s

Cf u C CO H j

s C V C uϕ ϕρ δ

Ω −Ω

Ω −Ω

+

⎧ ⎫⎡ ⎤+−⎡ ⎤⎪ ⎪+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ Ω −⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎣⎨ ⎬

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎪ ⎪−− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Ω+

− Ω +

⎦⎪

( )

2

3 2

( )( 1) 1

oo gjH ioH H oH

o

gjH o ioHogjH e

o o H

CV u LCV C uCV V

C C

λ⎧ ⎫⎡ ⎤−

+ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

+−⎪ ⎪JCH⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎪ ⎪Ω⎩ ⎭

(A.127)

Término de gravedad El término de gravedad es

( ) (0

H H

H

L L

GH f oH H moH mHP g dz g g dzλ

ρ ρ λ ρ δρ∆ = = + Λ + +∫ ∫ ) (A.128)

El primer término de integración en Ec. (A.128) es

´

2

2

2

11

ln( ) ln(1 )

1( )

ln(

H H H

H H H

L L LioH gjoH o

moH f fgjH o oH o o

gjH o ioH o H He

o H gjH o ioHf

oH oH H

o

gjH o ioHf

o H

u V Cg dz g dz g dzV C j C VJCH C

V C u CVJCHC V C u

gC L

C

V C ug V

C

ϕλ λ λ

ρ ρ ρ

ρ

λ

ρ

+ ⎡ ⎤−= = +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤+ Ω Λ− +⎪ ⎪⎢ ⎥

Ω +⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨ ⎬−⎪ ⎪+ − −Λ⎪ ⎪

⎩ ⎭+⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( )1) f H oe f H oH

o o

g CJCH g LC Cρ

ρ λΛ ⎛ ⎞−

H− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

−Λ

(A.129)

83

El segundo término de integración en Ec. (A.128) es

( )2

2 2

2

1( ) ( )

( )

1( )

( )

1( ) ( )

(

o HH H

o H

H H

H

H

s CL LH Co HH H

mH fioH o H gjH o ioH

LHo H

fo H gjH o ioH

Ho HH H

ioH o H gjH o ioH

f

CO H jCg dz g VJCHu s C V C u

CO H jCg VJCH dzs C V C u

CO H jCu s C V C u

g

ϕ

λ λ

ϕ

λ

ϕ

δδρ ρ

δρ

δ

ρ

+ Ω−

Ω

−

⎡ ⎤ΩΩ Λ= −⎢ ⎥

− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤Ω

+ ⎢ ⎥− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

ΩΩ Λ−

− Ω +=

∫ ∫

∫

dz

( )

2 1

)

1

1( ) 1

( )

o H

sgjH o ioH C

e

H gjH o ioHo Hf e

o H gjH o ioH o H

V C uVJCH

s

CO H j V C uCg Vs C V C u C

ϕδρ

−Ω

−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪−⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤ +⎛ ⎞Ω ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− Ω + − Ω⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

JCH

(A.130)

Entonces el estado estacionario del término de gravedad es

(2

1ln( )gjH o ioH oGoH f oH f e f H oH

o H o

V C u CP g g VJCH g LC C

ρ λ ρ ρ λ+⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

∆ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠) (A.131)

Y la perturbación del término de gravedad alrededor del estado estacionario es

2

( )

2 1

1( ) ( )

( )

1

1( )

( )

o H

Ho HH H

ioH o H gjH o ioH

GH f sgjH o ioH C

e

H gjH o ioHo Hf e

o H gjH o ioH o H

CO H jCu s C V C u

P gV C u

VJCHs

CO H j V C uCg Vs C V C u C

ϕ

ϕ

δ

δ ρ

δρ

−Ω

−

⎧ ⎫⎡ ⎤ΩΩ Λ−⎪ ⎪⎢ ⎥

− Ω +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦∆ = ⎨ ⎬

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪−⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤ +⎛ ⎞Ω 1JCH⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− Ω + − Ω⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(A.132)

Término de drift-flux El término de pérdida de presión de drift-flux es

84

( )

( )

( ) ( ) ( )

2´

2´ ´

2 2´ ´ ´ ´2

H

H

H

H

Lf mH f g

dfH gjHmH g mH

L

f moH mH f ggjoH gjH

moH mH g moH mH

f g f moH gjoH gjoH gjH f g gjoH mH

moH

p V dzz

V V

V V V V

λ

λ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ δρ ρ ρδ

ρ δρ ρ ρ δρ

ρ ρ ρ ρ δ ρ ρ δρ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞∂∆ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦=

∫

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2

2 2´ ´ ´ ´

22 2

2´

2

2

2 2

H

H

H

H

H

H

L

moH g moH g mH

L

gjoH gjoH gjH gjoH moH g mHf moH

moH moH g moH moH g

f g L

gjoH mH

moH moH g

V V V V

V

λ

λ

λ

ρ ρ ρ ρ δρ

δ ρ ρ δρρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

δρ

ρ ρ ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤+ −⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪−⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(A.133)

Entonces el estado estacionario del término de drift-flux es

( )( )( )

2´

2

f g f eoH eoHdfoH

eoH eoH g

Vp

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

−∆ =

− (A.134)

Y la perturbación del término de drift-flux alrededor del estado estacionario es

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2´

22

2 2´ ´´ ´

2 2 2

2

2

f g f eoH eoH eoH g eH

dfH

eoH eoH g

f g eoH eH f g ioH iHf g f eoH eoH eH

eoH eoH g eoH eoH g f f g

Vp

V VV V

ρ ρ ρ ρ ρ ρ δρδ

ρ ρ ρ

ρ ρ δρ ρ ρ δρ ρ ρ ρ δ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∆ =−

⎡ ⎤− ⎣ ⎦+ − +− −

ρ

−

(A.135)

Entonces el estado estacionario de pérdida de presión de la sección de calefactor es

oH aoH ioH eoH LoH GoH dfoHp p p p p p p∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (A.136) Y la perturbación de pérdida de presión de la sección de calefactor alrededor del estado estacionario es

H IH aH iH eH LH GH dfHp p p p p p p pδ δ δ δ δ δ δ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (A.137)

85

A.4 Ecuaciones adimensionales Las ecuaciones de balance pueden ser adimensionalizadas definiendo los siguientes valores de referencia.

r Hz L= (A.138)

fr ρρ = (A.139)

r iou u= H (A.140)

1r

H

t =Ω

(A.141)

2

r f ioHp uρ∆ = (A.142) Se definen los parámetros adimensionales:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

f

fg

fg

ifeqsub h

hhN

υυ

, (A.143)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

f

fg

fgeqpch h

WQ

Nυυ

, (A.144)

2ioH

H

uFrgL

= (A.145)

HF f L+= (A.146)

Donde y son el número y el número de cambio de fase en la condición de equilibrio termodinámica,

eqsubN , eqpchN ,

fgfg hhh −= , Fr es el número de Froude, es el número de fricción, es el neto total de la potencia del calefactor y W es el caudal másico del canal. El número de ebullición sub-enfriada representa el subenfriamiento del líquido a la entrada del canal. El número de cambio de fase representa el salto entálpico total del canal, y el número de Froude representa la razón entre las fuerzas de inercia y las de gravedad.

FQ

Para representar la ebullición sub-enfriada, quedan definidos los siguientes grupos adimensionales

lg

fgld iHsub

f

h hNh

υυ

⎛ ⎞⎛−= ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎟⎠

(A.147)

86

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

f

fgpch h

WQ

Nυυ

lg

(A.148)

Entonces las ecuaciones linealizadas quedan:

1 1 1oH

HH ioH sub

sHu ss

ioH ioHH H

iHiH H H pchH

HioH

u uL e e eu su s L L s

u

λϑ

δδ

∗− ΩΩ −∗ −

∗ ∗

Λ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞Λ − − −⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ω⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

N

N (A.149)

1 1 sub

H Hs Ns

ioH iHH

iH ioH iH

u ue eu u s u s

ϑ δδ δ

∗−−

∗ ∗

Ω Λ⎛ ⎞⎛ ⎞Ω − −

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∗ (A.150)

2 1H Hpch

iH iH

jN

u uϕδ

δ δ

∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Λ= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(A.151)

1eoH pch subj N∗ = + − N (A.152)

( )1 1gjH o eoH

eoHgjH o eoH

V C jV C j

ρ∗ ∗

∗∗ ∗

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+

(A.153)

gjH o eoH

egjH o

V C jVJCH

V C

∗ ∗∗

∗

+=

+ (A.154)

1

eoHeoH

uρ

∗∗= (A.155)

( )

( )2 2

( )( )

( 1 )( ) ( ) ( )

( )

o

o

o

o

s CCH H

eH eioH

s CH Co

e eo gjH o

VJCHu

CO H jC VJCH VJCHs C V C

ϕ

δρ

δ

∗

∗

+−

∗ ∗

+∗ ∗ −∗ ∗

∗ ∗

Ω Λ=

⎡⎢ ⎥− −

− + ⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎤

(A.156)

( )H HH

ioHuλδρ∗ Ω Λ= (A.157)

lg

1 1 ( 1)( )( fgo l ld

f

CO H C h hh

υυ

∗⎡ ⎤

= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

) (A.158)

87

( )2 22

11 ( 1) 1( )

eHeH H gjH o eoH o H

eoH eoH

u j V C j C jϕ ϕδρδ δ δρ ρ

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞⎡ ⎤= + + − + − −⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠ (A.159)

( )´( ) 1oH gjH oV V Cλ

∗ ∗= + − (A.160)

( )´( ) 1eoH gjH o eoHV V C j∗ ∗ ∗= + − (A.161)

( )´2( ) 1eH o HV C j ϕδ δ∗ ∗= − (A.162)

Las correspondientes funciones de transferencia quedan

( ) ( )2

2

1 1 ln

( )1( )

( ) 1o

o

HIHsub gjH o e

i o o iH

gjH oH H

oHioH o

gjH o C siH o iH C

e

jP CO Hs N s V C VJCHu C s C u

V CC sju C CO Hs V C

u s C uVJCH

ϕ

ϕ

δδδ δ

δδ δ ∗

∗∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

∗∗∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ −

∗

⎛ ⎞∆= + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠

∗

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎡ Ω Λ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟+ + − ⎢

⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

(A.163)

1aoH eoHp u∗ ∗∆ = − (A.164)

∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∆

i

eeo

i

e

i

a

uu

uu

up

δδρ

δδ

δδ 2)(12 (A.165)

2iH

ioHKp∗∆ = (A.166)

iH

iHiH

p Ku

δδ

∗

∗

∆= (A.167)

2eH

eoH eoHKp u∗ ∗∆ = (A.168)

22 ( )

2eH eH e eH

eoHiH iH iH

p K u uu u

δ δδ δ

∗ ∗∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎣ ⎦uδρδ

∗

∗ (A.169)

( )

( )

2

1 23

2

( ) 12

( 1)( )( )

3

gjH oe

pchsubLoH H H

pch o gjH oe

o pch

V CVJCH

NNP F FN C V C

VJCHC N

ϕ ϕ

∗∗

∗

∗∗

⎡ ⎤+−⎢ ⎥

⎢ ⎥∆ = + ⎢ ⎥− +⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

1

(A.170)

88

( )1 2

1 222

22

2 (1 )2

1 1

( )1( )

( )

gjH osubo

H pch o pchHsubLH HH H

HiH pch iH iH oe

o

H H

HioH oH

iH o gjH o

V CNCF N C NjNP F F

Fu N u u C VJCHC

ju C CO HFu s C V C

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

ϕϕ

δδδ δ δ

δδ

∗

∗∗ ∗

∗ ∗ ∗∗

∗

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫+− −⎪ ⎪

⎡ ⎤∆ Λ ⎪ ⎪= + +⎢ ⎥ ⎨ ⎬− ⎛ ⎞⎢ ⎥ −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭Ω Λ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟+ −

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2( )

3( )

2

3 22 ( ) 1

(2 )

12 ( ) 1(3 )

1( )(

o

o

o

o

iH

C sgjH o Co

o gjH eo o pch

C sgjH o Co

gjH eo o pch

oH

o gjH

u

V CCC V VJCH

C C s N

V CCV VJCHC C s N

C CO HFs C V Cϕ

δ

∗

∗

∗

∗

−∗∗ ∗

∗

−∗∗ ∗

∗

∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤+−⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎣ ⎦⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪+⎛ ⎞− ⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎜ ⎟ − ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

+− +

2

2

)

( )3 2 ( 1)2 1 ( )

H

o iH

gjH oo sub oo gjH gjH e

o pch o o pch

ju

V CC N CC V V VJCHC N C C N

ϕδδ

∗

∗

∗∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎛ ⎞ +⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎡ ⎤+ − − −⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭1∗

(A.171)

2

11 1 1ln( ) 1gj osub o subGoH e

pch o pch o pch

V CN CP VJCHFr N Fr C N Fr C N

∗∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛+ ⎛ ⎞−∆ = + + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

N ⎞⎟⎟⎠

(A.172)

2

( )

2

( ) 11( )( )

( ) 1

1 1( )( )

o

gjH oH H

pcho HGH ioH

siH iH o gjH o iH C

e

Ho

o gjH o iH

V Cs NC CO H jP u

u Fr u s C V C uVJCH

jC CO HFr s C V C u

ϕ

ϕ

δδδ δ δ

δδ

∗

∗

∗∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −∗

∗∗

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎡ Ω Λ ⎤⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠∆ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟= − − ⎨ ⎬⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− ⎢

− +⎢⎣

1( )( ) 1gjH o

eo pch

V CVJCH

C N

∗∗ −+

⎡ ⎤−⎥ ⎣ ⎦⎥⎦

(A.173)

( ) ( )( )

2´

2

1g eoH eoH

dfoH

eoH eoH g

Vp

ρ ρ

ρ ρ ρ

∗∗ ∗

∗

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦∆ =−

(A.174)

89

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

2´

22

´2 2´ ´ ´

2 2

1 ( ) 2

( )

( )1 2( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

eHg eoH eoH eoH g

dfH iH

iH eo eo g

eH eH Hg eoH eoH g eoH g oH

iH iH iH

eoH eoH g eoH eoH g g

Vp uu

VV V Vu u u

λλ

δρρ ρ ρ ρδ δδ ρ ρ ρ

δ δρ δρ ρ ρ ρδ δ δ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ρ

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦=

−

⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎣ ⎦+ − +− − −

(A.175)

90

Apéndice B

Funciones de transferencia de la pérdida de carga de la chimenea B.1 Las ecuaciones de conservación unidimensionales en la chimenea son [Lahey y Moody, 1984]: Conservación de Masa Para la zona de simple fase ( )ϕ1 es

1 1 1 0R R Rut zϕ ϕ ϕρ ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

(B.1)

Para la zona de una mezcla de dos fases ( )ϕ2 es

0mR mR mRut z

ρ ρ∂ ∂+ =

∂ ∂ (B.2)

Donde

( )1mR R l R gρ α ρ α ρ= − + (B.3)

´2 (1 )l

mR R gjRmR

u j Vϕρρ

= + − (B.4)

Y

´2( 1)gjR gjR o RV V C j ϕ= + − (B.5)

Conservación de Energía Para la zona de simple fase es

1 1 1 1 1R R R R RR

h u hq

t zϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

(B.6)

Donde es la pérdida de la chimenea por unidad de volumen de fluido. RqPara la zona de una mezcla de dos fases es

lg ´

g

mR mR l mRmR mR mR R gjR

f mR

hh hu q Vt z z

ρ ρρ ρυ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ −∂+ = − ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(B.7)

Donde

( )1mR mR R l l R g gh hρ α ρ α= − + hρ (B.8)

91

Conservación de impulso Para la zona de simple fase es

12 21 1 1 1 1 1 1 1

11

( )2

RNR R R R R R R R

j j RjR

u u f uK z z g

t z D

ϕ pz

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

ρ ρ ρδ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + + − + = −⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

∑ ϕ

∂ (B.9)

1 ( ) HR ioH

R

Au z uAϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (B.10)

Donde es el área de pasaje de la sección transversal, de Ec. (B.6) A De Ecs. (B.3) y (B.8), decimos que

lg lg

fg fgmR f l mRh h

h hυ υ

υ υ= − + (B.11)

Entonces

´

lg lg

1fg fg fmR mR mRmR mR mR R gjR

mR

u h hu qz h t z h z

υ υρ ρ

ρV

ρ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + = + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (B.12)

Definiendo

lg

fgR Rq

hυ

Ω = (B.13)

Entonces de Ec. (B.4)

2 RR

jzϕ∂

= Ω∂

(B.14)

Entonces

2 R iR Rj j zϕ = +Ω (B.15) Donde 0 Rz λ< ≤ , y Rλ es la longitud en la chimenea de la región de dos fases. En estado estacionario de Ec. (B.7)

( )lg

g

1 1ld ior l ioRmoR moR R gjR o ioR

R f R ioR

hh hu q V Cρ ρρλ υ λ ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − j⎡ ⎤= + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(B.16)

En estado estacionario de Ec. (A.7)

92

( )lg

g

1 1eoH ld l eoHmoH moH H gjH o eoH

H oH f H oH eoH

hh hu q V CL L

ρ ρρλ υ λ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − j⎡ ⎤= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (B.17)

Entonces

( )H HR H

R R

q A Lq A

λ λ⎛ ⎞⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

oH (B.18)

Para la zona de una mezcla de dos fases es

22 22

1

2´ 2

( )2

( )

RNRmR mR mR mR mR mR

j j mjR

l g Rl mRgjR

mR g mR

fu u uK z z gt z D

pV

z z

ϕϕ

ϕ

ρ ρ ρδ ρ

ρ ρρ ρρ ρ ρ

=

⎡ ⎤∂ ∂+ + + − +⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ∂−∂+ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ − ∂⎝ ⎠

∑ R

(B.19)

93

B.2 Análisis Lineal De Ec. (B.15)

2 2R ioR iR R oR 2 Rj j j z j jϕ ϕ ϕδ δ= + +Ω = + (B.20) Donde definimos

2 oR ioR Rj j zϕ = +Ω (B.21) y

2H

R iR eHR

Aj j jAϕδ δ δ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (B.22)

con lo que la Ec. (B.7) queda:

( )

( )

lg ´

lg ´ ´

1

( )( ) ( )

( ) 1 ( )

0

mR mRmR R mR mR f mR gjR

fg

mR moR mR moR mR R moR mR

moR mR f moR mR gjoR gjRfg

hh hu q Vt z z

s h u u h h qh

V Vz

υ υ ρ υυ

δ δ δ υ δυ

υ δυ ρ υ δυ δυ

∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤+ − − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

′ ′= + + + − +

∂ ⎡ ⎤− + − + +⎣ ⎦∂

=

(B.23)


( )lg ´1 0moR moR R moR moR f moR gjoRfg

hu h q V

zυ υ ρ υ

υ∂ ⎡ ⎤′ − − −⎣ ⎦∂

= (B.24)

Entonces

( )

( )

lg ´

lg lg´ ´

1

1 0

moR mR mR mR moR R mR moR f moR gjRfg

f moR mR gjoR mR f moR gjoRfg fg

hu h s h u h q V

z

h hV V

z z

δ δ δ δυ υ ρ υ δυ

ρ υ δυ δυ ρ υυ υ

∂ ⎡ ⎤′ ′+ + − − −⎣ ⎦∂

∂ ∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂=

(B.25)

De Ec. (B.11) sabemos que

lg lg

( )fg fgmR f l moR mR moR mRh h h

h hυ υ

υ υ δ υ= − + + = +δυ (B.26)

Donde definimos

94

lg lg

fg fgmoR f l moRh h

h hυ υ

υ υ= − + (B.27)

y

lg

fgmR mRh

hυ

δυ δ= (B.28)

También, de la Ec. (B.5) se llega a:

´ ´2 2( 1)( )gjoR gjR gjR o oR RV V V C j jϕ ϕδ δ+ = + − + (B.29)

entonces

´2( 1)gjoR gjR o oRV V C j ϕ= + − (B.30)

y

´2( 1)gjR o RV C j ϕδ δ= − (B.31)

Sustituyendo en la Ec. (B.25)

( )

[ ] [ ]

( )

lg ´

lg lg lg´ ´

lg lg´ ´

1

1

moR mR mR mR moR R mR moR f moR gjRfg

f moR gjR moR f moR gjoR mR f moR mRfg fg fg

gjoR mR f moR gjoR f mR gjoRfg fg

hu h s h u h h V

z

h hV V

z z

h hV V V

z z

δ δ δ δ υ ρ υ δυ

ρ υ δ υ ρ υ δυ ρ υ δυh

υ υ υ

δυ ρ υ ρ δυυ υ

∂⎡ ⎤′ ′+ + −Ω − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∂ ∂+ + +

∂ ∂

∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤ − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦[ ]

( ) ( )

( ) ( )

´

´

lg

´ ´

2 1 1

0

moR

fgR o R f moR o R f gjoR moR mR

moR f moR gjoR mR mR f moR gjR moR

z

s C C V h hh

u V h u V h

υ

υρ υ ρ δ

ρ υ δ δ ρ υ δ

∂∂

⎡ ⎤′= −Ω + − Ω − − Ω +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦′ ′+ + + + =

(B.32)

y de la Ec. (B.24)

( )lg ´

´

1 1

1moR moRmoR R f moR gjoR

moR moR fg

f f l moRR g

oR oR f

hh q V

u u z

h hq Vu u zϕ ϕ

υ υ ρ υυ

υ υυ

∂ ⎡ ⎤′ = + −⎣ ⎦∂

⎡ ⎤⎛ ⎞−∂= + ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

joR

(B.33)

De ahí se sigue que

95

( ) ( ) ( )´ ´

1 1 1

f gjoR ioRmoR ioR R l moR l ioR

oR oR oR

V Vh h q z h h h hu u uϕ ϕ ϕ

υ− = + − − − (B.34)

entonces

1

1 2

( 1) ( )

( 1)oR gjR o ioR ioR l R f

moR loR gjR o oR

u V C j h h qh h

u V C jϕ

ϕ ϕ

zυ⎡ ⎤+ + − − +⎣ ⎦= +⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

(B.35)

También, de la Ec. (B.4)

´ ´2 2( ) ( ) 1 moR mR

mR oR R gjoR gjR moR mRf f

u j j V V u uϕ ϕυ δυδ δυ υ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − − = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

δ (B.36)

´2 1 moR

moR oR gjoRf

u j Vϕυυ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (B.37)

´ ´2 1mR moR

mR R gjoR gjRf f

u j V Vϕδυ υδ δ δυ υ

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (B.38)

En el estado estacionario

1 1 2

2

( 1)oR oR gjR o oRmoR

f moR gjR o oR

u u V C ju V C jϕ ϕ ϕ

ϕ

ρρ

+ + −= =

+ (B.39)

Y de la Ec. (B.35)

96

12

1 2

1 2

1 222

( 1) ( )( 1)

( 1)

( 1)

( 1) ( )( 1)( ) (

( )

oR gjR o ioR l ioR R fmoR o R

oR gjR o oR

R f

oR gjR o oR

oR gjR o ioR l ioR o R gjR o oRmoR

gjR o ioR f

u V C j h h q zh C

u V C j

qu V C j

u V C j h h C V C jV C j V

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

υ

υ

υυ

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦⎢ ⎥′ = −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦⎣ ⎦

+⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − Ω +⎣ ⎦=

+

Ω

2

2 2 22

1 2

1 2

1 2 22

)

( 1) ( ) ( )

( 1)

( 1)

( 1) ( )( 1)( )

( )

gjR o ioR

o R f ioR oR gjR o oR gjR o oR

oR gjR o oR

R f

oR gjR o oR

oR gjR o ioR l ioR o R moR

gjR o ioR f

C j

C q j j V C j V C j

u V C j

qu V C j

u V C j h h CVJCR

V C j

C

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

υ

υ

υυ

−

−

+

⎡ ⎤− − + + − +⎣ ⎦+⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − Ω⎣ ⎦=

+

+ 1 2 1

2 22

( 1)( ) ( )

( ) ( )

( 1)( ) ( )

( )

o R f o R fmoR moR

gjR o ioR f gjR o ioR f

o R f moRHH H oH

gjR o ioR R f

q C qVJCR VJCR

V C j V C j

C q AL VJCRV C j A

υ υυ υυ υ

υ υλυ

− −

−

−−

+ +

− ⎛ ⎞+ Ω − ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

(B.40)

Donde definimos

2gjR o oR

gjR o ioR

V C jVJCR

V C jϕ+

=+

(B.41)

Entonces, de la Ec. (B.32)

( )´ ´2

´

2lg

( )

( )

mRmR f moR gjR moR R gjoR gjR moR

f

fg gjoRo R mR moR

f

u V h j V V

VC j h h

h

ϕ

ϕ

´ hδυδ ρ υ δ δ δυ

υδ δ

υ

′ ′+ = − +

′= − (B.42)

y ( )´ ´

2( ) ( )moR f moR gjoR mR oR gjoR mR gjR o oR mRu V h j V h V C jϕ ϕρ υ δ δ δ′ ′+ = + = + 2 h′ (B.43) Sustituyendo en la Ec. (B.32) ( ) ( )2 22 1

0gjR o oR mR o R o R f moR mR o moR RV C j h s C C h C h jϕ ϕδ ρ υ δ′ ′⎡ ⎤+ + − Ω + − Ω +⎣ ⎦

=

δ (B.44)

97

La solución analítica de esta ecuación es:

( ) ( ) ( ) 0mR mRA z h B z h C zδ δ′ + + = (B.45) donde

( )2( ) gjR o oRA z V C j ϕ= + (B.46)

( )( ) 2 1o R o R f moRB z s C C ρ υ⎡ ⎤= − Ω + − Ω⎣ ⎦ (B.47) y

2( ) o moR RC z C h j ϕδ′= (B.48) Multiplicando la Ec. (B.45) por una función de z, L (z), se obtienen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0mR mRL z A z h L z B z h L z C zδ δ′ + + = (B.49) Entonces [ ]( )

( ) ( ) 0mRd Q z hL z C z

dzδ

+ = (B.50)

donde

)()()( zAzLzQ = (B.51) y [ ] )()()( zBzLdz

zQd= (B.52)

De ahí

[ ])()()(

)(1

zAzB

dzzQd

zQ= (B.53)

O sea:

0

( )( ) (exp )( )

z

iRB zQ z Q dzA z

= ∫ (B.54)

Es decir:

98

0

( )( ) (exp )( ) ( )

ziRQ B zL z dz

A z A z= ∫ (B.55)

Lo cual lleva a: [ ]

0

( ) ( ) ( )(exp ) 0( ) ( )

zmR iRd Q z h Q C z B z dz

dz A z A zδ

+ =∫ (B.56)

y

0 0

( ) ( )( ) (exp )( ) ( )

z z

mR iR iR iRC z B zQ z h Q h Q dz dzA z A z

δ δ− = − ∫ ∫ (B.57)

Además

0 0

0

1 ( ) ((exp )( ) ( )( )(exp )

( )

z z

mR iRzC z B zh h dz dzA z A zB z dz

A z

δ δ⎡ ⎤

= −⎢⎣

∫ ∫∫

)⎥⎦

(B.58)

Así de la Ec. (B. 45) resulta

20 0

2 10 0

1 2

1

2( 1)( )( )

12( 1)( 1)

( 1)( ) ln( ) 2 ln( )

( 1)

moRo R o Rz z

f

gjR o oR

z zo R

o RgjR o oR oR gjR o oR

oR gjR o oRo R

o R oR gjR o ioR

s C CB z dz dzA z V C j

s C dz C dzV C j u V C j

u V C js C VJCRC u V C j

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

2ϕ

υυ

− Ω + − Ω=

+

− Ω= + − Ω

+ + +

+ + −− Ω= +

Ω + + −

∫ ∫

∫ ∫ − (B.59)

Por lo tanto

( ) (2 2

0

( )exp( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

o R o R

o R o R

s C s CzC CmoR moR

ioR ioR

B z dz VJCR VJCR VJCRA z

ρ ρρ ρ

− Ω + ΩΩ Ω= =∫

) (B.60)

y

99

( )

2

220 0 0

1

2

2

2

( ) ( )exp( ) ( 1)( ) ( )

( 1) ( )

( )

(

o R

o R

s Cz z z C

fo R oR

ioR gjR o oR

HoR gjR o ioR l ioR R R f H H H

R

gjR o ioR

fo R R f

ioR

gjR

C z B z VJCRdz dz C j C dzA z A z V C j

Au V C j h h q LA

V C j

C j q

V

ϕϕ

ϕ

ϕ

ρδ

ρ

υ λ

ρδ υ

ρ

− ΩΩ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ +⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + − − Ω + Ω −⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬+⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+

∫ ∫ ∫

( )

20

2 1

2

2

( ) ( 1)

)

( 1) ( )( 1)( )

( ) ( 1)

( )

o R o R

s sC CmoR

o ozf

o ioR gjR o oR

oR gjR o ioR l ioR o Rf

o R gjR o ioRioR

HgjR o ioR R f o H H H

R fR

gjR o ioR

C VJCR C VJCR

dzC j V C j

u V C j h h CC j V C j

AV C j q C L qAV C j VJ

ϕ

ϕ

ϕ

ρρ

ρδ

ρυ λ υ

Ω Ω⎡ ⎤

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ +

⎡ ⎤+ + − − − Ω⎣ ⎦⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=+ − Ω −

+ ++

∫

( )

2

0

2 12

2

1

2

( 1) ( )( 1)( )

( 1) ( )( ) ( )

o R

o R

s CzC

oR gjR o ioR l ioR o Rf

o R gjR o ioRioR

Ho R R f o H H H

R fR

gjR o ioR gjR o ioR

CeH

VJCR dz

u V C j h h CC j V C j

As C q C L q VJCeHAV C j V C j

ϕ

ϕ

ρδ

ρυ λ υ

− ΩΩ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − − − Ω⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎢ ⎥=⎢ ⎥− Ω − Ω −⎢ ⎥+ +⎢ + +⎣ ⎦

∫

1o R

o R

s CCVJCR− Ω

Ω

⎥

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(B.61)

Luego:

( )22 2

1

1( ) ( ) ( )( )

( 1) ( 1) ( )( )

( 1) ( )

( )

o R

o R

s Co RCmoR moR

mR eHioR f o R gjR o ioR

o oR gjR o ioR l ioR R

gjR o ioR

HR f o H H oH

R fR

gjR o ioR

C jh h VJCR

s C V C j

C u V C j h hV C j

VJCAq C L qAV C j VJCeH

ϕ

ϕ

δυ υδ δυ υ

υ λ υ

+ Ω−

Ω= +− Ω +

⎧ ⎫⎡ ⎤− + + − − Ω⎣ ⎦⎪ ⎪+⎪ ⎪

⎪ ⎪⎨ ⎬

− Ω −⎪ ⎪⎪ ⎪+ +⎪ ⎪+⎩ ⎭

( )2

o R

o R

s CCR VJCR+ Ω

−Ω −

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(B.62)

Así, la perturbación de la densidad de mezcla es:

100

2

lg

( ) ( )2 2( 1 )

( )( )

o R o R

o R o R

fgmR moR mR

s C s Co R f RC C

eHo R gjR o ioR

hh

C CO R jVJCR VJCR VJCR

s C V C jϕ

υδρ ρ δ

ρ δδρ

+ Ω + Ω− −

Ω Ω −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎡ ⎤Ω

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− Ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(B.63)

donde

1lg

( 1) ( 1) ( )

( )( 1 )

( 1) ( )1

( )


f

gjR o ioR

Ho H H oH

R

gjR o ioR

C u V C j h hh

V C jCO RAC LA

V C j VJCeH

ϕ

υυ

λ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤− + + − −⎪ ⎪⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠

⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− Ω −⎪ ⎪⎪ ⎪+ +

+⎪ ⎪⎩ ⎭

(B.64)

101

B.3 Ecuación de impulso

La pérdida de carga de la chimenea RP∆ se obtiene integrando en el espacio la ecuación de impulso entre la entrada y la salida de la chimenea, esto es:

2 2

10

´ 2

0

( )2

( )

R

R

L N

R i iiH

f f ggj

g

u u f up K z z g dzt z D

V dzz

λ

ρ ρ ρδ ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪∆ = + + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞∂

+ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫

∫ (B.65)

Término de inercia La perturbación del término de inercia alrededor del estado estacionario es:

0 0

R R R

R

L L

IRu u up dz dz dzt t

λ

λ

ρ ρ ρδ ∂ ∂ ∂∆ = = +

∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ t (B.66)

De ahí, el término de la zona de una fase es

1 1 1 1( ) (0 ) (R R R

R R R

L L L

f oR R f R f R Rudz u u dz s u s u Lt t ϕ ϕ ϕ ϕ

λ λ λ

ρ )Rρ δ ρ δ ρ δ∂ ∂= + = + =

∂ ∂∫ ∫ ∫ λ− (B.67)

Y el término de dos fases es

0 0

2 20

2 20

2 2 20

( )( )

( )( )

( ) ( 1)( )( )

( ) ( 1)

R R

R

R

R

moR mR moR mR

moR mR oR R

gjR moR mR f o oR R moR mR f

o moR R gjR o oR mR o f R

udz u u dzt t

j j dzt

V C j jt

C s j s V C j C s j d

λ λ

λ

ϕ ϕ

λ

ϕ ϕ

λ

ϕ ϕ ϕ

ρ ρ δρ δ

ρ δρ δ

ρ δρ ρ δ ρ δρ ρ

ρ δ δρ ρ δ

∂ ∂= + +

∂ ∂

∂= + +

∂

∂ ⎡ ⎤+ + − + − + + −⎣ ⎦∂

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

∫ z

dz

(B.68)

El primer término en Ec. (B.68) es

( )

2 20 0

12

1 1 1( )( )

1 ln( )

R Ro

o moR R o f Ro o

gjR o oRf R o R R

o R

CC s j dz C s j dzC C VJCeH VJCR

V C us j C VJC

C

λ λ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ δ ρ δ

ρ δ λ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦+⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥Ω⎣ ⎦

∫ ∫ (B.69)

Donde definimos

102

RgjR oR

gjR o ioR

V C jVJC

V C jλλ

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(B.70)

Y

R ioR R Rj jλ λ= +Ω (B.71) El segundo término en Ec. (B.68) es

20

2 1

0

2

( )

( 2 )( ) ( 1 )

( )( 2 ) 1

( )( 1 )

R

R

o R

o R

o R

gjR o oR mR

so R RC

fo R

C sgjR o ioR C

f Ro R

gjR o ioRf

o R

s V C j dz

C js CO R VJCR CO R VJCR dz

s C

V C js CO R VJC

C s

V C j js CO R

s C

λ

ϕ

λϕ

ϕ

δρ

δρ

ρ λ

δρ

−Ω −

Ω −Ω

+

⎧ ⎫⎡ ⎤ Ω⎡ ⎤⎪ ⎪= +⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥− Ω⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎛ ⎞+⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ω −⎝ ⎠⎝ ⎠+⎡

+− Ω⎣

∫

∫

ln( )RVJCλ⎤

⎢ ⎥⎦

(B.72)

Donde definimos

2( 2 ) ( ) ( 1 ) o R Rf eH gjR o ioR

o R

C jCO R V C j CO R

s Cϕδ

υ δρ⎡ ⎤Ω⎛ ⎞

= + −⎢ ⎥⎜ ⎟− Ω⎝ ⎠⎣ ⎦ (B.73)

El tercer término en Ec. (B.68) es

2 20

( 1) ( 1)R

o f R o f RC s j dz C s jλ

ϕ ϕ Rρ δ ρ− − = − −∫ δ λ (B.74)

Entonces

( ) ( ) ( )12

1

( 1 )ln

( )( 2 ) 1 ( )

o R

o R

gjR o oR gjR o ioRIR f R R

o R o R

C sgjR o ioR C

f R fo R

V C u CO R V C jp s

C s C

V C js CO R VJC s L u

C s

ϕϕ

ϕR R R

j VJCδ ρ δ λ

ρ λ ρΩ −Ω

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟∆ = +⎜ ⎟Ω − Ω⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ω −⎝ ⎠⎝ ⎠

λ δ−

(B.75)

Término de aceleración El término de pérdida de presión de aceleración espacial es:

103

( )( ) ( )(

( )

22 2

0

2 2 2 22

RL

aR eoR eR eoR eR ioR iR ioR iR

eoR eoR ioR ioR ioR ioR eR iR eoR eR ioR iR

up dz u u uz

u u u u u u u

ρ ρ δρ δ ρ δρ δ

ρ ρ ρ δ δ δρ δρ

∂∆ = = + + − + +

∂

= − + − + −

∫ )u (B.76)

El estado estacionario del término de aceleración espacial es

2 2aoR eoR eoR ioR ioRp u uρ ρ∆ = − (B.77)

y la perturbación del término de aceleración espacial alrededor del estado estacionario es

( ) 2 22aR ioR ioR eR iR eoR eR ioR iRP u u u u uδ ρ δ δ δρ δ∆ = − + − ρ

R

(B.78) Si R Lλ < entonces

eoR fρ ρ= (B.79)

1eoR oRu u ϕ= (B.80)

0eRδρ = (B.81)

1eR Ru u ϕδ δ= (B.82) Si R LRλ ≥ entonces

( )1 1f oR gjR o eoReoR

gjR o eoR

u V C jV C j

ϕρρ

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+

(B.83)

1f oR

eoReoR

uu ϕρ

ρ= (B.84)

( )

( )2 2( 1 )

( )( )

o R

o R

o R

o R

s CC

eR eH e

s Co R f R C

e eo R gjR o ioR

VJCR

C CO R jVJCR VJCR

s C V C jϕ

δρ δρ

ρ δ

+ Ω−

Ω

+ Ω−

Ω −

=

⎡ ⎤Ω− −⎢ ⎥

− Ω + ⎢ ⎥⎣ ⎦

(B.85)

( )2 221 ( 1) 1f eR feR R gjR o eoR o R

eoR eoR

u j V C j C jϕ ϕ

ρ δρ ρδ δ δ

ρ ρ⎛ ⎞

⎡ ⎤= + + − + − −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

(B.86)

Término de fricción localizada a la entrada El término de pérdida de presión de fricción localizada a la entrada es:

104

( )2

2

2 2

( )2 2

22

iR iR iRiR iR ioR iR ioR iR

iRioR ioR ioR ioR iR ioR iR ioR iR

u Kp K u u

K u u u u p

ρ ρ δρ δ

ρ ρ δ δρ δ

∆ = = + +

⎡ ⎤= + + = ∆ +⎣ ⎦ p∆ (B.87)

Entonces, el estado estacionario del término de fricción localizada a la entrada es

2

2iR

ioR ioR ioRKp uρ∆ = (B.88)

y la perturbación del término de fricción localizada a la entrada alrededor del estado estacionario es

222iR

iR ioR ioR iR ioR iRKp u u uδ ρ δ δρ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (B.89)

Término de fricción localizada a la salida El término de pérdida de presión de fricción localizada a la salida es:

( )( )2

2

2 2

2 2

22

eR eR eReR eR eoR eR eoR eR

eReoR eoR eoR eoR eR eoR eR eoR eR

u Kp K u u

K u u u u p

ρ ρ δρ δ

ρ ρ δ δρ δ

∆ = = + +

⎡ ⎤= + + = ∆ +⎣ ⎦ p∆ (B.90)

Entonces, el estado estacionario del término de fricción localizada a la salida es

2

2eR

eoR eoR eoRKp uρ∆ = (B.91)

y la perturbación del término de fricción localizada a la salida alrededor del estado estacionario es

222eR

eR ioR ioR eR eoR eRKp u u uδ ρ δ δρ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (B.92)

105

Término de fricción distribuida El término de pérdida de presión por fricción distribuida es:

2 22 1

0 0

R R

R

L L

LR R R2

R

p f u dz f u dz f u dzλ

ϕ ϕλ

ρ ρ+ + +∆ = = +∫ ∫ ρ∫ (B.93)

donde

2R

RR

ffD

+ = (B.94)

El término de la zona liquido es

( ) ( )22 21 1 1 1 1 1 1 1

21 1 1 1 1

2

( ) 2 ( )

R R R

R R R

L L L

R R f oR R R f oR oR R

R f oR R R R f oR R R R

f u dz f u u dz f u u u dz

f u L f u L u

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕλ λ λ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ρ δ ρ δ

ρ λ ρ λ δ

+ + +

+ +

= + = +

= − + −

∫ ∫ ∫ ϕ (B.95)

El término de la zona de dos fases es

( )( )222 2

0 0

22 2 2

0 0 0

2

R R

R R R

R R moR mR moR mR

R ioR ioR moR R ioR ioR mR R moR mR

f u dz f u u dz

f u u dz f u u dz f u d

λ λ

ϕ ϕ

λ λ λ

ϕ ϕ ϕ

ρ ρ δρ δ

ρ ρ δ

+ +

+ + +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

= + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ zδρ

(B.96)

El primer término de integración en Ec. (B.96) es

106

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

1 2

0 0 1 2

1 2

0 1 2 1

1 2 1 2 1

20 1

1

1

1

1

( )(

R R

R

R

oR gjR o oRmoR

oR gjR o oR

oR gjR o oR

gjR o oR o oR oR

oR gjR o oR gjR o oR o oR oR

gjR o oR

oR

u V C ju dz dz

u V C j

u V C jdz

V C u C j u

u V C j V C u C j udz

V C u

u VJCR VJCH

λ λϕ ϕ

ϕ ϕ

λϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

λϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

+=

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+=

⎡ ⎤+ + − −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦=

+

=

∫ ∫

∫

∫

[ ]

( )

0

2 21 1

0

1 2 21

11

1) 1 ( )( ) 1

2 1 1( )( ) ( ) ( )

( ) 12

1 (3

R

R

oe e

o

o ooR e oR e

o o

gjR o oRo oR e R

o R

gjR o oRooR e

o o R

C VJCR VJCH dzC

C Cu VJCR VJCH u VJCR VJCH dzC C

V C uC u VJCH VJC

C

V C uC u VJCHC C

λ

λ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

λ

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫− −= −⎨ ⎬

⎩ ⎭+⎛ ⎞

= −⎜ ⎟Ω⎝ ⎠+⎛ ⎞−

− ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

∫

∫

( )3 3) 1RVJCλ −

(B.97)

El segundo término de integración en Ec. (B.96) es

( )

( )

0

2 2 20

2 2 20

1 ( 1) 1

( 1) 1

R

R

R

mR

f mR fR gjR o oR o R

moR moR

f fo o R gjR o oR

moR moR

u dz

j V C j C j

C C j V C j dz

λ

λ

ϕ ϕ

λ

ϕ ϕ

δ

ρ δρ ρδ δ

ρ ρ

ρ ρδ

ρ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤= + + − + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤= − − + + −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∫

∫

∫

2

mR

dzϕ

δρ

(B.98)

De ahí

107

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

22

0 1 2

2 1

0 1 2

2 1 1 2 1

20 1

( 1)

( 1)

( 1)

( 1)( )

R

R

R

o gjR o oRo R

oR gjR o oR

R gjR o oR

oR gjR o oR

R gjR o oR gjR o oR o oR oR

gjR o oR

C V C jC j dz

u V C j

j V C udz

u V C j

j V C u V C u C j udz

V C u

j

λϕ

ϕϕ ϕ

λϕ ϕ

ϕ ϕ

λϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

δ

δ

δ

δ

⎡ ⎤− +−⎢ ⎥

+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+

= ⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

=

∫

∫

∫

[ ]20

20

1 2 22 2

( 1)1 ( )( ) 1)

( 1) ( )( )

1 ( ) 12

R

R

oR e

o

oR o e

o

gjR o oRoo R e R R

o o R

C VJCR VJCH dzC

Cj C VJCR VJCH dzC

V C uCC j VJCH VJC jC C

λ

ϕ

λ

ϕ

ϕϕ ϕ

δ

λ δ λ δ

⎧ ⎫−− −⎨ ⎬

⎩ ⎭⎡ ⎤−

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎡ ⎤= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦Ω⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫

(B.99)

y

108

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 20

2 2

0 1 2

2 1 212

10 1

1

1

( 1)

( 1)1

R

R

R

f mRgjR o oR

moR

gjR o oR gjR o oRmR

moR oR gjR o oR

gjR o oR o oR oR oRoRmR

moR gjR o oR gjR o oR

gjR

V C j dz

V C j V C jdz

u V C j

V C j C u j uudz

V C u V C u

V

λ

ϕ

λϕ ϕ

ϕ ϕ

λϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

ρ δρρ

δρρ

δρρ

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+ + −

⎧ ⎫+ − −⎪ ⎪= − +⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

+=

∫

∫

∫

( )

1ϕ

( )( )( )

( )( )

1

12

20 1

1 1

12

12

11 2

1

( 1)1

1

( 1) ( )( )( 1)

R

oR

gjR o oRo oRmR

gjR o oRmoR o oR

o gjR o oR gjR o oR

o oR

gjR o oRgjR o oR

o oR ef oR gjR o oR

o

uV C uC j

dzV C jC u

C V C u V C u

C uV C uV C jC u VJCH VJCRu V C j

C

ϕ

λ ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ ϕ

δρρ

ρ

⎧ ⎫−⎪ ⎪+⎪ ⎪

⎨ ⎬⎡ ⎤+−⎪ ⎪+ −⎢ ⎥⎪ ⎪+ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

−++

=−+ + −

+

∫

( )

( )

( )

0

1

22 3

10

2( ) ( )

10

2

( 1)( )

( 1) ( )

R

R

o R o RR

o R o R

mR

gjR o oR

oo gjR gjR o oR e mR

f o

C s C sC Co

o gjR gjR o oR eo

eHe

dz

V C u

CVJCeH C V VJCR V C u VJCH VJCR dzC

CC V VJCR V C u VJCH VJCR dzC

VJCH

λ

ϕ

λ

ϕ

λ

ϕ

δρ

δρρ

δρρ

Ω − Ω −Ω Ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+⎩ ⎭

⎧ ⎫−= − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫

∫

( )

22 2

10

2( )

2

( 1 ) ( 1 ) ( )( )( ) ( )( )

( 1) ( )

2

R

o R

o R

o R R o R R e

f o R gjR o ioR o R gjR o ioR

oo gjR gjR o oR e

o

C sgjR o ioR C

o gjR Ro R

e

C CO R j C CO R j VJCHs C V C j s C V C j

CC V V C u VJCH VJCR dzC

V C jC V VJC

C sVJCH

ϕ ϕ

λ

ϕ

δ δ

λΩ −Ω

⎡ ⎤Ω Ω− +⎢ ⎥

− Ω + − Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪− −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

+

Ω −=

∫

3( )

1

2 2 2

1

( )( )1 13

( 1 ) ( 1 )( )( ) ( )( )(

o R

o R

C sgjR o oR gjR o ioR Co

e Ro o R

R ReH o R o Re

f o R gjR o ioR o R gjR o ioR

o

V C u V C jC VJCH VJCC C s

CO R j CO R jC C VJCHs C V C j s C V C j

C

ϕ

ϕ ϕ

λ

δ δδρρ

Ω −Ω

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨ ⎬

)

⎪⎡ ⎤− +⎪ ⎪−

− −⎢ ⎥⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤Ω Ω

− +⎢ ⎥− Ω + − Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2( )( )( )1 12

gjR o oR gjR o ioR eogjR R R

o o R

V C u V C j VJCHCV VC C

ϕλ λ− +⎧ ⎫− ⎡ ⎤− −⎨ ⎬⎣ ⎦Ω⎩ ⎭

JC

(B.100)

El tercer término de integración en Ec. (B.96) es

109

( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )( )

221 22

2

1 2

221 2

2

1 1 2

221 2 2 1

211

2 21

1

2 1

2 11

( )

oR gjR o oRmoR

oR gjR o oR

oR gjR o oR

gjR o oR o gjR o oR oR oR

oR gjR o oR o oR oR

gjR o oRgjR o oR

oR e

u V C ju

u V C j

u V C j

V C u C V C u j u

u V C j C j u

V C uV C u

u VJCH VJ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ

+=⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

+=

+ + − + −

⎡ ⎤+ − −= −⎢ ⎥

+⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

=( )

1ϕ

( )( )

( ) ( )

2

2 2 21

2 11 1

3 2 2 1( ) ( )

oe

o

o ooR e e

o o

CCR VJCH VJCR

C

C Cu VJCH VJCR VJCH VJCR

C Cϕ

−⎧ ⎫+ −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭− −⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

(B.101)

De ahí

( ) ( )

( )

( )

2

0

2 2 2 31

0

2 2 ( )1

0

2 31

3 2 2 1( ) ( )

3 2 ( ) ( 2 )

2 1 ( ) ( 2 )

R

R

o RR

o R

moR mR

o ooR e e mR

o o

C so oR e f C

o gjR o ioR

o oR e f

o gjR o ioR

u dz

C Cu VJCH VJCR VJCH VJCR dz

C C

C u VJCH CO RVJCR dz

C V C j

C u VJCH CO RVJ

C V C j

λ

λ

ϕ

λϕ

ϕ

δρ

δρ

ρ

ρ

Ω −Ω

− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤−

= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−− ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

∫

( )

( )

( )

2( )

0

2 21 2

0

22 2 (1

3 2( ) ( 1 )

( )( ) 2 1( )

3 2 ( ) ( 2 )2

o RR

o R

R

o R

C sC

o

ooR e o R f R

o R gjR o ioR oe

o

C so oR e f gjR o ioR

Ro gjR o ioR o R

CR dz

CCu VJCH C CO R j

dzs C V C j C

VJCH VJCRC

C u VJCH CO R V C jVJC

C V C j C s

λ

λϕ ϕ

ϕ

ρ δ

ρλ

Ω −Ω

Ω −

−⎡ ⎤⎢ ⎥Ω ⎢ ⎥+⎢ ⎥− Ω + −−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− += ⎢ ⎥

+ Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

( )

)

32 3 ( )1

22 21

2

1

2 1 ( ) ( 2 )1

3

( 1 )( ) ( )

( )

3 2 1 ( )

o R

o R

o R

C

C so oR e f gjR o ioR C

Ro gjR o ioR o R

f Ro RoR e

o R gjR o ioR

o oR e gj

o o R

C u VJCH CO R V C jVJC

C V C j C s

CO R jCu VJCHs C V C j

C C VJCH VC C

ϕ

ϕϕ

ρλ

ρ δ

λ

Ω

Ω −Ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤− +

− −⎢ ⎥⎢ ⎥+ Ω −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤Ω+ ⎢ ⎥

− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

− −−

Ω( )( )2 1R o ioR RC j VJCλ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

(B.102)

Entonces el estado estacionario del término de fricción distribuida es

110

( ) ( )

2 2 21 1 2 1 1

22

( ) ( ) (

11 ( ) 12 3

LoR R f oR R R R f oR e gjR o oR

o oR e R

o R o R

P f u L f u VJCH V C u

C CVJC VJCH VJCC C

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ λ ρ

λ λ

+ +∆ = − + +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

3

)

(B.103)


( )

( )

1 1 1

1 2 22 1 2

2( )

1

2 ( )

12 (2

3 22 1

2

12

o R

o R

LR R f oR R R R

gjR o oRoR f oR R o R e R

o o R

C so oR gjR o ioR C

o gjR Ro o R

ogjR

o

P f u L u

V C uCf u j C VJCH VJCC C

C u V C jC V VJC

C C s

CVC

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

δ ρ λ δ

ρ δ λ λ

λ

+

+

Ω −Ω

∆ = −

) 1⎡ ⎤+⎛ ⎞⎛ ⎞−

+ − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟Ω⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− +⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ Ω − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

⎛ −− ⎜

⎝

3( )

222

2 1 2 11

1

( )( ) 1

3

( 1 ) ( )( 2 )( )( )( )

3 22

o R

o R

C sgjR o ioR C

e Ro R

o R R eeR f oR R f oR

gjR o oR o R gjR o ioR

oo gjR oR

o

V C jVJCH VJC

C s

C CO R j VJCHCO R VJCHf u f uV C u s C V C j

CC V uC

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

λ

δρ ρ

Ω −Ω

+ +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤+⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎟⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤ Ω+⎢ ⎥

+ − Ω⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ −+

+

2( )( 1) ( ) 1

R

gjR o ioRogjR e R

o o R

V C jCV VJCH VJCC C

λ

λ

⎧ ⎫⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

+−⎪ ⎪⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎪ ⎪Ω⎩ ⎭

(B.104)

Término de gravedad El término de pérdida de presión por gravedad es

( ) (0 0 0

R R R

R

LL

GR f R R mR mRP g dz g dz g dz g L g dzλ λ

λ

ρ ρ ρ ρ λ ρ δρ∆ = = + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ) (B.105)

El primer término de integración en Ec. (B.105) es

1 2

20 0

0

12

( 1)

11( )

1ln( )

R R

R

oR gjR o oRmR f

gjR o oR

of

o e o

gjR o oR of R

o R o

u V C jg dz g dz

V C j

Cg dC VJCH VJCR C

V C u Cg VJC gC C

λ λϕ ϕ

ϕ

λ

ϕ

ρ ρ

ρ

f R

z

ρ λ ρ

+ + −=

+

⎡ ⎤−= +⎢ ⎥

⎣ ⎦+⎛ ⎞ −

= +⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

∫ ∫

∫

λ

(B.106)

El segundo término de integración en Ec. (B.105) es

111

( )

0 0

2 2

0

( )

( 2 )( )

( 1 )( )

( )

( 2 ) 1( )

o RR R

o R

R

R

o R

s CC

m fgjR o ioR

Ro Rf

o R gjR o ioR

sgjR o ioR C

f RgjR o ioR

CO Rg dz g VJCR dzV C j

CO R jCg VJCR dzs C V C j

V C jCO Rg VJCV C j s

g

λ λ

λϕ

δρ ρ

δρ

ρ λ

+ Ω−

Ω

−

−Ω

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤Ω

+ ⎢ ⎥− Ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+

∫ ∫

∫

2 1( 1 )( )

( )R gjR o ioRo R

f Ro R gjR o ioR o R

CO R j V C jC VJCs C V C j C

ϕδρ λ −

⎡ ⎤ +⎛ ⎞Ω 1⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− Ω + − Ω⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(B.107)

Entonces el estado estacionario del término de gravedad es

12

1( ) ln( )gjR o oR oGoR f R R f R f R

o R o

V C u CP g L g VJC gC C

ϕρ λ ρ λ ρ+⎛ ⎞ ⎛ −

∆ = − + +⎜ ⎟ ⎜Ω⎝ ⎠ ⎝λ⎞⎟⎠

(B.108)

Y la perturbación del término de gravedad alrededor del estado estacionario es

( )

2 1

( 2 ) 1

( 1 )( )

( )

o R

sgjR o ioR C

GR f RgjR o ioR

R gjR o ioRo Rf R

o R gjR o ioR o R

V C jCO RP g VJCV C j s

CO R j V C jCg Vs C V C j C

ϕ

δ ρ λ

δρ λ

−Ω

− 1JC

⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎛ ⎞∆ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ +⎛ ⎞Ω ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− Ω + − Ω⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(B.109)

Término de drift-flux El término de pérdida de presión de drift-flux es

112

( )

( )

( ) ( ) ( )

2´

0

2´ ´

0

2 2´ ´ ´ ´

2

2

R

R

f mR f gdfR gjR

mR g mR

f moR mR f ggjoR gjR

moR mR g moR mR

f g f moR gjoR gjoR gjR f g gjoR mR

moR

p V dzz

V V

V V V V

λ

λ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ δρ ρ ρδ

ρ δρ ρ ρ δρ

ρ ρ ρ ρ δ ρ ρ δρ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞∂∆ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

∫

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

0

2 2´ ´ ´ ´

22 2

0

2´

2

0

2

2 2

R

R

R

moR g moR g mR

gjoR gjoR gjR gjoR moR g mRf moR

moR moR g moR moR g

f g

gjor mR

moR moR g

V V V V

V

λ

λ

λ

ρ ρ ρ ρ δρ

δ ρ ρ δρρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

δρ

ρ ρ ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤+ −⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭

(B.110)

Entonces el estado estacionario del término de drift-flux es

( )( )( )

( )( )( )

2 2´ ´

22R R

R R

f f ioR ioRdfoR f g

ioR ioR gg

V Vp λ λ

λ λ

ρ ρ ρ ρρ ρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

⎧ ⎫− −⎪ ⎪∆ = −⎨ ⎬−−⎪ ⎪⎩ ⎭

(B.111)

Y la perturbación del término de drift-flux alrededor del estado estacionario es

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 2´ ´ ´ ´

22 2

2 2´ ´ ´ ´

22 2

2 2

2 2

R R R R R R R R R

R R R R

dfR f g

f f

g g

f ioR ioR iR ioR iR f ioR ioR ioR g iR

ioR ioR g ioR ioR g

p

V V V V

V V V V

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

g

δ ρ ρ

ρ ρ δ δρ ρ ρ ρ ρ δρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ δ δρ ρ ρ ρ ρ δρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

∆ =

⎧ ⎫− − − −⎪ ⎪−⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪− − − −− +⎪ ⎪

−⎪ ⎪−⎩ ⎭

(B.112)

113

B.4 Las Funciones de Transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de carga de la chimenea Término de inercia La función de transferencia del término de inercia es

( )1 2

1 1

1 1

1 1

( 1 ) ( )ln

2( )( ) ( )

o R

o

gjR o oR gjR o ioR RIRR

H o R o R H

C sR oH gjR o ioR C

pch R R RH H o R

V C u CO R V C j jP s VJCu C s C u

CO Ru u V C j

s N L s VJCu u C s

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δλ

δ δ

δλ λ

δ δ

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗Ω −∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞+ +∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟Ω − Ω⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞+⎢ ⎥+ − + ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1R∗Ω

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

(B.113)

donde

2 2

1 1

R H H

H H

j j Au u

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ RA

(B.114)

R ioR pch R Rj j Nλ λ∗ ∗ ∗= + Ω ∗ (B.115)

( )1 1R

R

R

oR gjR o

gjR o

u V C j

V C jϕ λ

λλ

ρ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=+

(B.116)

RgjR oR

gjR o ioR

V C jVJC

V C jλλ

∗ ∗∗

∗ ∗

+=

+ (B.117)

/R R

H

R

AuAλ λρ

∗ ∗⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(B.118)

2 2( )

1 1

1 1

2( ) ( 1 ) (( )

( )(

o R

o RR

Rs Co R RC

oR RR

R R gjR o ioR o R gjR o ioR

jCO R C CO R VJCu uVJC

u u V C j s C V C j

ϕ

λ ϕ ϕ

ϕ ϕ

δλ

δρ δλδ δ

∗ ∗

∗

∗+ Ω∗ ∗ ∗

−∗ ∗Ω∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤ Ω⎢ ⎥⎢ ⎥= +

+ − Ω +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)

)

∗ −

(B.119)

1lg

( 1) ( 1) ( )( )

( 1 )( 1)( )

1


f

gjR o ioR

Ho pch sub

R

gjR o ioR e

C u V C j h hh

V C jCO R

AC N NA

V C j VJCH

ϕ

υυ

∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤− + + − −⎪ ⎪⎣ ⎦

⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− −⎪ ⎪+ +⎪ ⎪

+⎪ ⎪⎩ ⎭

(B.120)

114

( )1 2

1 1

2( )( 1 )oR ReH o R

gjR o ioRR R o

CO Ru jC CO RV C j

u u s Cϕ ϕ

ϕ ϕ

δδρδ δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗

Ω= + −

− Ω 1R Ru ϕδ∗ ∗ (B.121)

( )2 22

11 ( 1) 1( )

R

R R

R R

R gjR o ou j V C j C jλRλ ϕ λ

λ λ

δρδ δ δ

ρ ρ

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞⎡ ⎤= + + − + − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ϕ (B.122)

( )´( ) 1

R RgjR oV V C jλ λ∗ ∗ ∗= + − (B.123)

y

( )´2( ) 1

R o RV C jλ ϕδ δ∗ ∗= − (B.124) Término de aceleración El estado estacionario del término de aceleración espacial es

2 2( ) ( )aoR eoR eoR ioR ioRp u uρ ρ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∆ = − (B.125) La función de transferencia de la perturbación del término de aceleración espacial es

2 21

1 1 1 1

2 ( ) (aR eR iR eR iRoR eoR ioR

1

)H H H H

p u uu u uu u u uϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ Hu ϕ

δ δ δ δρ δρδ δ δ δ

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞∆= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ δ

∗∗

∗ (B.126)

Términos de fricción El estado estacionario del término de fricción localizada a la entrada es

2( )2iR

ioR ioR ioRKp uρ∗ ∗∆ = ∗ (B.127)

La función de transferencia de la perturbación del término de fricción localizada a la entrada es

21

1 1

2 ( )2

iR iR iR iRoR ioR

H H

p K uu uu uϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦1 Hu ϕ

δρδ

∗

∗ (B.128)

El estado estacionario del término de fricción localizada a la salida es

2( )2eR

eoR eoR eoRKp uρ∗ ∗∆ = ∗ (B.129)

La función de transferencia de la perturbación del término de fricción a la salida es

115

21

1 1

2 ( )2

eR eR eR eRoR eoR

H H

p K uu uu uϕ

ϕ ϕ

δ δδ δ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤∆= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦1 Hu ϕ

δρδ

∗

∗ (B.130)

El estado estacionario del término de fricción distribuida es

( ) (

2 2 21 1 2 1 1

2 32

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) 1 ( ) ( ) 12 3

LoR R oR R R R oR e gjR o oR

o oR e

o R pch o R pch

P F u L F u VJCH V C u

C CVJC VJCH VJCC N C N

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕλ

λ λ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

∆ = − + +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ω Ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

)R∗

(B.131)

La función de transferencia de la perturbación del término de fricción distribuida es

( )

( )

( )

11 1

1 1

22 1 22 1

1

1

1

1

2

12 (2

3 22

2( )

RLRR oR R R

H H

R gjR o oRooR o R e R

H o o R pch

oo gjR oR

o

oH

H

uP F u Lu u

j V C uCF u C VJCH VJCu C C N

CC V u

CCO Ru

u

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δδ λδ δ

δλ λ

δ

δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

∗

∗

∆= −

⎧ ⎫⎛ ⎞+−⎪ ⎪⎡ ⎤+ − ⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦Ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

−⎡+⎢

⎣⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

) 1−

2( )

3( )

22 1 2 1

( ) 1(2 )

12 ( )( ) 1

(3 )

( 1( ) ( )

o R

o R

o R

o R

C sC

Ro R pch

oC sgjR e

o CR

o R pch

o RR oR e R oR

o R

VJCC s N

CV VJCHC

VJCC s N

C CO RF u VJCH F us Cϕ ϕ ϕ ϕ

λ

λ

∗ ∗

∗

∗ ∗

∗

Ω −

Ω∗∗ ∗

∗ ∗Ω −

Ω∗∗ ∗

∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎧ ⎫⎤⎪ ⎪⎥ ⎡ ⎤

⎦⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎪ ⎪− −Ω − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Ω+

− Ω2 3

1

21 2

) ( )( )

( 1)( )3 22 (

Re

gjR o ioR R

gjR o gjR o ioRo Ro gjR oR R

o e o R pch

jVJCH

V C j u

V C V C jCC V u VJCC VJCH C N

ϕ

ϕ

ϕ

δδ

λ λ

∗∗∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦⎧ ⎫− +⎡ ⎤−⎪ ⎪) 1⎡ ⎤+ −⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎣ ⎦Ω⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(B.132)

Término de gravedad El estado estacionario del término de gravedad es

12

11 1 1( ) ln( )gjR o oR oGoR R R R R

o R pch o

V C u CP L VJCFr Fr C N Fr C

ϕλ λ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗∗

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞−∆ = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠⎝ ⎠

λ∗ (B.133)

La función de transferencia de la perturbación del término de gravedad es

116

( )1

1

1

2 1

1

2( )1 ( ) 1

1

( 1 ) ( ) 1( )

o R

soH C

RHGR

H pch

RR

o R H

CO Ru

VJCu sP

u FrNjCO R VJC

s C u

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

λδδ

δδ

λδ

∗

∗

∗−Ω∗

∗ ∗∗

∗

∗∗∗ −

∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎜ ⎟= − ⎨ ⎬⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤

⎡ ⎤+ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦− Ω⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(B.134)

Término de drift-flux El estado estacionario del término de drift-flux es

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2´ ´

2 2

1 1R R

R R

ioR ioR

dfoR g

ioR ioR gg

V Vp

λ λ

λ λ

ρ ρρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ = −⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ −⎪ ⎪− ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(B.135)

Y la función de transferencia de la perturbación del término de drift-flux es

( )( ) ( )

´2´ ´

1 12 22

2 2´ ´

1 12

1

( )( ) 2 2( )

1( )( )

( ) ( )

(( )

R R

R R R

R

R RR R

R

R

R R

gH H

gg

ioRioR

dfR H Hg

H ig

VV V

u u

V Vp u u

u

λ λλ λ λ

ϕ ϕλ

λ λλ λ

λλ

ϕ ϕ

ϕ λ λ

δρ δρ ρ

δ δρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

δρ δρδ δ δ

ρδ ρρ ρ ρ

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤−⎡ ⎤− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∆= − + −

⎡ ⎤−⎣ ⎦( )

( ) ( )

2

´2´ ´

1 12 22

1)

( )( ) 2 2( )

( )( )

ioRoR ioR g

ioR ioRioR ioR g ioR

H H

ioR ioR gioR ioR g

VV Vu uϕ ϕ

ρρ ρ

δρ δρ ρδ δ

ρ ρ ρρ ρ ρ

∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− −⎨ ⎬

⎡ ⎤−⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ +⎢ ⎥⎡ ⎤−⎪ ⎪⎡ ⎤− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪

(B.136)

117

Apéndice C

Funciones de transferencia de la perturbación de pérdida de carga del generador de vapor

El flujo en el generador de vapor del CAREM será tratado como una sola fase, es decir:

oC fρ ρ= (C.1)

1H

oC ioHC

Au uAϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (C.2)

1H

C iHC

Au uAϕδ δ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (C.3)

Integrando en el espacio la ecuación de momento desde la entrada a la salida del

generador de vapor, conseguimos la pérdida de carga del generador de vapor : CP∆

2 2

10

( )2

CL N

C i iiC

u u f up K z z g dzt z Dρ ρ ρδ ρ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪∆ = + + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑∫ (C.4)


1 1 1 10 0 0

( ) (0 )C C CL L L

IC f oC C f C f C Cup dz u u dz s u s u Lt t ϕ ϕ ϕ ϕρδ ρ δ ρ δ ρ∂ ∂

∆ = = + = + =∂ ∂∫ ∫ ∫ δ (C.5)


( ) ( )2

2 2

0

0CL

aC aoC aCe i

up dz u u P Pz

ρ ρ ρ δ∂∆ = = − = = ∆ + ∆

∂∫ (C.6)

Entonces, el estado estacionario del término de aceleración espacial es

0aoCP∆ = (C.7) Y la perturbación del término de aceleración espacial alrededor del estado estacionario es

0aCPδ∆ = (C.8) Término de fricción localizada a la entrada

118

El término de fricción localizada a la entrada es

( )2

21 21 1 1 12 2 2

f C iC f iC fiC iC oC C oC iC f oC C

u K K1p K u u u K uϕ uϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ρ ρδ ρ∆ = = + = + ϕδ (C.9)

Donde definimos el estado estacionario del término de fricción localizada a la entrada como

212

iCioC f oC

Kp u ϕρ∆ = (C.10)

Y la perturbación del término de fricción localizada a la entrada alrededor del estado estacionario es

1 1iC iC f oC Cp K u uϕ ϕδ ρ δ∆ = (C.11) Término de fricción localizada a la salida El término de fricción localizada a la salida es

( )2

21 21 1 1 12 2 2

f C eC f eC feC eC oC C oC eC f oC C

u K K1p K u u u K uϕ uϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ρ ρδ ρ∆ = = + = + ϕδ (C.12)

Donde definimos el estado estacionario del término de fricción localizada a la salida como

212

eCeoC f oC

Kp u ϕρ∆ = (C.13)


1 1eC eC f oC Cp K u uϕ ϕδ ρ δ∆ = (C.14) Término de fricción distribuida El término de fricción distribuida es

( )

( )

22 21 1 1 1 1

0 0 0

2 21 1 1 1 1 1 1 1 1

0

2 2

C C C

C

L L L

LC C C C f oC C

L

C f oC oC C C f oC C C f oC C C

p f u dz f u dz f u u dz

f u u u dz f u L f u L u

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ρ ρ δ

ρ δ ρ ρ

+ + +

+ + +

∆ = = = +

= + = +

∫ ∫ ∫

∫ ϕδ

(C.15)

1

1 2C

CC

ff

Dϕ

ϕ+ = (C.16)

119

Entonces, El estado estacionario del término de fricción distribuida es

21 1LoC C f oC CP f u Lϕ ϕρ+∆ = (C.17)


1 1 12LC C f oC C CP f u L uϕ ϕ ϕδ ρ+∆ = δ (C.18) Término de gravedad El término de pérdida de carga por gravedad es

0 0

C CL L

GC f f CP g dz g dz gρ ρ ρ∆ = − = − = −∫ ∫ L

L

(C.19)

Entonces, El estado estacionario del término de gravedad es

GoC f CP gρ∆ = − (C.20) Y la perturbación del término de gravedad alrededor del estado estacionario es

0GCPδ∆ = (C.21) Los términos adimensionales del estado estacionario de pérdida de carga del generador de vapor quedan entonces:

oC ioC eoC LoC GoCp p p p p∗ ∗ ∗ ∗ ∗∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (C.22) El término de fricción localizada a la entrada es

( )2

12iC

ioC oCKp u ϕ

∗ ∗∆ = (C.23)

El término de fricción localizada a la salida es

( )2

12eC

eoC oCKp u ϕ

∗ ∗∆ = (C.24)

El término de fricción distribuida es

( )2

1 1LoC C oC CP F u Lϕ ϕ∗ ∗∆ = ∗ (C.25)

El término de gravedad es

120

1GoC CP L

Fr∗ ∗∆ = − (C.26)

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de carga en el generador de vapor son

C IC iC eC

iH iH iH iH iH

LCp p p p pu u u u u

δ δ δ δ δδ δ δ δ δ

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + + +

∗

∗ (C.27)

El término de inercia es

1 CICC pch

iH iH

up s L Nu u

ϕδδδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞∆= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (C.28)

1 1oCϕρ∗ = (C.29)

1 C H

iH C

u Au Aϕδ

δ

∗

∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(C.30)

1H

oCC

AuAϕ

∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(C.31)


11

CiCiC oC

iH iH

up K uu u

ϕϕ

δδδ δ

∗∗∗

∗ ∗

∆= (C.32)


11

CeCeC oC

iH iH

up K uu u

ϕϕ

δδδ δ

∗∗∗

∗ ∗

∆= (C.33)


11 12 CLC

C oC CiH iH

uP F u Lu u

ϕϕ ϕ

δδδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (C.34)

121

Apéndice D

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de carga del downcomer

El flujo en el downcomer será tratado como una sola fase, de ahí que oDρ es constante, y la velocidad y su perturbación es:

1f H

oD ioHoD D

Au uAϕ

ρρ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (D.1)

1f H

D iHoD D

Au uAϕ

ρδ δ

ρ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(D.2)

Integrando en el espacio la ecuación de momento de la entrada a la salida del

downcomer, se obtiene la pérdida de carga del downcomer DP∆ :

2 2

10

( )2

DL N

D i iiD

u u f up K z z g dt z Dρ ρ ρδ ρ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪∆ = + + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑∫ z (D.3)


1 1 1 10 0 0

( )D D DL L L

ID oD oD D oD D oD D Dup dz u u dz s u s u Lt t ϕ ϕ ϕ ϕρδ ρ δ ρ δ ρ∂ ∂

∆ = = + = =∂ ∂∫ ∫ ∫ δ (D.4)


( ) ( )2

2 2

0

0DL

aD aoD aDe i

up dz u u P Pz

ρ ρ ρ δ∂∆ = = − = = ∆ + ∆

∂∫ (D.5)

Entonces, el estado estacionario del término de aceleración espacial es

0aoDP∆ = (D.6) Y la perturbación del término de aceleración espacial alrededor del estado estacionario es

0aDPδ∆ = (D.7) Término de fricción localizada a la entrada

122


2 21 1 12 2

iD iDiD oD D oD oD iD oD oD D

K K1p u u K u uϕ ϕ ϕρ ρ ρ∆ = = + ϕδ (D.8)

Donde definimos el estado estacionario del término de fricción localizada a la entrada como

212

iDioD oD oD

Kp u ϕρ∆ = (D.9)

Y la perturbación del término de fricción localizada a la entrada alrededor del estado estacionario es

1 1iD iD oD oD Dp K u uϕ ϕδ ρ δ∆ = (D.10) Término de fricción localizada a la salida El término de fricción localizada a la salida es

2 21 1 12 2

eD eDeD oD D oD oD eD oD oD D

K K1p u u K u uϕ ϕ ϕρ ρ ρ∆ = = + ϕδ (D.11)

Donde definimos el estado estacionario del término de fricción localizada a la salida como

212

eDeoD oD oD

Kp u ϕρ∆ = (D.12)


1 1eD eD oD oD Dp K u uϕ ϕδ ρ δ∆ = (D.13) Término de fricción distribuida El término de fricción distribuida es

( )

( )

22 21 1 1 1 1

0 0 0

2 21 1 1 1 1 1 1 1

0

2 2

D D D

D

L L L

LD D D D oD oD D

L

1D oD oD oD D D oD oD D D oD oD D D

p f u dz f u dz f u u dz

f u u u dz f u L f u L u

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ρ ρ δ

ρ δ ρ ρ

+ + +

+ + +

∆ = = = +

= + = +

∫ ∫ ∫

∫ ϕδ

(D.14)

1

1 2D

DD

ff

Dϕ

ϕ+ = (D.15)

123

Entonces, el estado estacionario del término de fricción distribuida es

21 1LoD D oD oD DP f u Lϕ ϕρ+∆ = (D.16)


1 1 12LD D oD oD D DP f u L uϕ ϕ ϕδ ρ+∆ = δ (D.17) Término de gravedad El término de pérdida de carga por gravedad es

0 0

D DL L

GD oD oD DP g dz g dz gρ ρ ρ∆ = − = − = −∫ ∫ L

L

(D.18)

Entonces, el estado estacionario del término de gravedad es

GoD oD DP gρ∆ = − (D.19) Y la perturbación del término de gravedad alrededor del estado estacionario es

0GDPδ∆ = (D.20) Los términos adimensionales del estado estacionario de pérdida de carga del downcomer son

oD ioD eoD LoD GoDp p p p p∗ ∗ ∗ ∗ ∗∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (D.21) El término de fricción localizada a la entrada es

( )2

1 12iD

ioD oD oDKp uϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = (D.22)


( )2

1 12eD

eoD oD oDKp uϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = (D.23)


( )2

1 1 1LoD D oD oD DP F u Lϕ ϕ ϕρ∗ ∗ ∗∆ = ∗ (D.24) El término de gravedad es

11

GoD oD DP LFr ϕρ

∗ ∗∆ = − ∗ (D.25)

124

Las funciones de transferencia adimensionales de la perturbación de pérdida de carga del downcomer son

iD eDD ID LD

iH iH iH iH iH

p pp p pu u u u u

δ δδ δ δδ δ δ δ δ

∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∆ ∆∆ ∆ ∆= + + +

∗

∗ (D.26)

El término de inercia es

11

DIDoD D pch

iH iH

up s L Nu u

ϕϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞∆= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (D.27)

11

oDoD

f

ϕϕ

ρρ

ρ∗

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(D.28)

1

1

1D H

iH D oD

u Au Aϕ

ϕ

δδ ρ

∗

∗ ∗

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(D.29)

11

1HoD

D o

AuAϕ

ϕρ∗

∗

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠D

(D.30)


11 1

DiDiD oD oD

iH iH

up K uu u

ϕϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (D.31)


11 1

DeDeD oD oD

iH iH

up K uu u

ϕϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗

∗ ∗

∆= (D.32)


11 1 12 DLD

D oD oD DiH iH

uP F u Lu u

ϕϕ ϕ ϕ

δδ ρδ δ

∗∗∗ ∗ ∗

∗ ∗

∆= (D.33)

125

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