岡山情報通信技術研究会

岡山大学大学院自然科学研究科

高橋 規一

２０１５年１月２８日

1

社会における様々なネットワーク

インターネット

World Wide Web ツイッター

電力線網

航空路線網

神経回路網

知人関係（人と人のネットワーク）

2

アメリカの電力線網

http://www.lbl.gov/cs/html/exascale4energy/grid.html3

United Airlines の路線図

http://content.united.com/ual/asset/UAL_NA_Map.pdf 4

ネットワークはつながり方が重要 インターネット

遠隔地のコンピュータに一瞬でアクセス コンピュータウィルスの拡がり

電力線網 安定な電力供給 大停電の発生

知人関係のネットワーク うわさ（口コミ）や伝染病の拡がり

航空機の路線 羽田・成田の国際ハブ空港化

脳内の神経回路網 人間の記憶メカニズム

5

複雑ネットワーク科学とは

現実社会にある様々なネットワークに共通の性質（つながり方）とその生成メカニズムを明らかにしたい

様々な現象の発生メカニズムの理解

AIDSやSARSはどのようにして拡がったのか？

ヒット商品を生み出す効率的な宣伝方法は？

安全または効率的なネットワークの設計

コンピュータウィルスに強いネットワークを構築するには？

6

グラフ理論の起源 ケーニヒスベルグの問題

ブレーゲル川に架けられた７つの橋を一度ずつ通る経路は存在するか？

１７３６年に Leonhard Euler がグラフを用いて解決

7

グラフの数学的表現 グラフ

: 頂点集合

: 辺集合

例

1,2,3,4 1,2 , 1,2 , 1,4 , 2,3 , 2,3 , 2,4 , 3,4

以下では単純無向グラフだけを考える

単純：自己ループや多重辺がない

無向：すべての辺は向きをもたない

１

２

３

４

8

グラフの数学的表現（続き） ２つの頂点 , を結ぶ辺が存在するとき と は隣接している（頂点 , は辺, に接続している）

次数 ：頂点 に接続している辺の本数

道：辺の列 , , , , … , ,（ただし , , … , はすべて異なる）

辺の本数を道の長さ

頂点間距離 , ：頂点 から への短路（道）の長さ（道がなければ∞）

１

２

３

４ ５

9

頂点１から５への 短路1,5 3

Erdős‐Rényiのランダムグラフ ２頂点の組 のそれぞれに対して，「確率 で辺を張る」という規則で生成されるグラフ (Erdős & Rényi 1959)

10

Paul Erdős (1913‐1996) ハンガリー出身の数学者

数論，組み合わせ論，グラフ理論

生涯に１５００篇あまりの論文を発表（そのうち５０７篇が共著）

１日１９時間数学の問題に没頭 アンフェタミンを常用

伝記「放浪の天才数学者エルデシュ」

Erdős Number（Erdős自身は０，共著者は１，共著者の共著者は２ …）

http://jp.Wikipedia.org/wiki/ポール・エルデシュ11

1. P. Diaconis and P. Erdős, “On the distribution of the greatest common divisor,” Technical Report, Stanford University, 1997.

2. S. Boyd, P. Diaconis and L. Xiao, “Fastest mixing Markov chain on a graph,” SIAM Review, vol.46, no.4, pp.667‐689, 2004.

3. S. Boyd and L.O. Chua, “Uniqueness of a basic nonlinear structure,” IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol.30, no.9, pp.648‐651, 1983.

4. N. Takahashi and L.O. Chua, “On the complete stability of nonsymmetric cellular neural networks,” IEEE Transactions on Circuits and Systems‐I, vol.45, no.7, pp.754‐758, 1998. 

My Erdős Number is 4!Erdős

Diaconis

Boyd

Chua

Takahashi

12

１

２

３

４

社会学者Milgramの実験 (1967年)１６０通の手紙

出発地点

ネブラスカ州オマハ

カンザス州ウィチタ

受取人

マサチューセッツ州シャロンに住む神学部大学院生の妻

ボストンに住む株式仲買人

何人を経由して受取人に手紙が届くか？

13

出発地点と目標地点

ネブラスカ州オマハ

カンザス州ウィチタ

マサチューセッツ州シャロン

マサチューセッツ州ボストン

１９６７年当時のアメリカ合衆国の人口：２億人14

スモールワールド Milgramの実験の結果

１６０通中４２通が目標人物に到達

４２通の平均発送回数は５．５

「スモールワールド（小さな世界）」「6次の隔たり」

世界中のどの２人も間に５人を介せばつながる！

15

平均頂点間距離定義： 頂点からなるグラフ の平均頂点間距離

/ , ∈ ,例：

１

２

３

４ ５

16

短路長 頂点対

１ （１，２），（１，３），（２，３），（２，４），（３，４），（４，５）

２ （１，４），（２，５），（３，５）

３ （１，５）

現実ネットワークの平均頂点間距離ネットワーク 頂点数 平均次数 平均頂点間距離

WWW 203,549,046 10.46 16.18

インターネット 10,697 5.98 3.31

論文引用関係 27,865 3.69 40

共著関係 1,520,251 18.1 4.6

俳優共演関係 449,913 113.443 3.48

単語同時出現 478,773 74.2 2.63

ソフトウェア 1,989 3.98 6.2

デジタル回路 320 3.175 5.06

航空路線網 3,880 9.7 4.37

蛋白質相互作用 2,115 2.12 6.80

代謝 765 9.64 2.56

矢久保考介，複雑ネットワークとその構造，共立出版，2013 17

ランダムグラフの平均頂点間距離

18

0

2

4

6

8

10

12

14

200 400 800 1600 3200 6400

L

n

p=4/n

p=2/n

ネットワーク解析ソフト gephiによる実験結果

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

L

平均次数

n=1600

弱い絆の強い力Mark S. Granovetter, “The strength of weak ties”, The American Journal of Sociology, vol.78, no.6, pp.1360‐1380, 1973. 

19

• マサチューセッツ州の２８２人のホワイトカラー労働者を無作為に選び，現在の職を得るために力になってくれた人は誰かを調査

• 回答：ちょっとした知り合い（＝弱い絆でつながる人）

複雑ネットワーク科学の誕生

1. D. J. Watts and S. H. Strogatz, “Collective dynamics of `small‐world networks”, Nature, vol.393, pp.440‐442, 1998. 

2. A.‐L. Barabasi and R. Albert, “Emergence of scaling in random networks”, Science, vol.286, pp.509‐512, 1999.

20

Watts & Strogatzの当初のテーマ

コオロギはどうやって鳴き声をそろえるのか？

同期 (synchronization)

21

メトロノームの同期

YouTube “Synchronisation” (http://www.youtube.com/watch?v=W1TMZASCR‐I)22

ホタルの同期

YouTube “fireflies sync” (http://www.youtube.com/watch?v=sROKYelaWbo)23

Watts & Strogatzの疑問

コオロギはなぜ鳴き声を同期できるのか？

24

• 近くにいるコオロギの鳴き声は聞いているはず

• 鳴き声がすぐに同期するのは平均頂点間距離が短いからでは？

• そんなネットワークはどんな構造？

Watts‐Strogatzモデル1. 頂点を円周上に配置し，各頂点から右側と左側それぞ

れ 個の頂点に辺を張る

2. 各辺を確率 でランダムに張り替える(Watts & Strogatz, Nature, 1998)

25クラスター（塊）構造と短い平均頂点間距離の同時実現？

クラスター係数 定義（頂点 のクラスター係数(Clustering Coefficient)）

は頂点 を含む三角形の個数

意味：頂点 に隣接している２頂点が隣接している割合

定義（グラフのクラスター係数）

26

クラスター係数の計算例

27

15 15 26 11 11 11 11 2630 0.866⋯

現実ネットワークのクラスター係数ネットワーク 頂点数 平均次数 平均頂点間距離 クラスター係数

WWW 203,549,046 10.46 16.18 0.11

インターネット 10,697 5.98 3.31 0.39

論文引用関係 27,865 3.69 40 0.24

共著関係 1,520,251 18.1 4.6 0.60

俳優共演関係 449,913 113.443 3.48 0.78

単語同時出現 478,773 74.2 2.63 0.687

ソフトウェア 1,989 3.98 6.2 0.08

デジタル回路 320 3.175 5.06 0.053

航空路線網 3,880 9.7 4.37 0.3

蛋白質相互作用 2,115 2.12 6.80 0.071

代謝 765 9.64 2.56 0.67

矢久保考介，複雑ネットワークとその構造，共立出版，2013 28

Watts‐Strogatzモデルの性質

29（D.J. Watts and S.H. Strogatz, Nature, 1998)

辺の張り替え確率 が小さい間• 短い平均頂点間距離• 大きいクラスター係数を同時に実現

スモールワールドネットワーク

ランダムグラフのクラスター係数 クラスター係数

（ は辺を張る確率）

頂点 は 個の頂点と隣接

個の頂点のうちの２頂点 , 頂点 , を結ぶ辺が存在する確率は

ランダムグラフのクラスター係数は小さい

30

確率 で存在

Wattsの疑問 与えられた頂点数と平均次数をもつグラフの中でクラスター係数が も高いグラフは？

(D. Watts, Small World, Princeton University Press, 1999)

31

• Wattsは解の候補として結合穴居人グラフを解析

• １５年たった現在でもこの問題は未解決

次数分布 次数分布関数：頂点の次数が である確率

完全グラフ , ‐正則グラフ , 星グラフ , ,

32完全グラフ 3‐正則グラフ 星グラフ

現実のネットワークの次数分布 次数分布関数はべき則 に従う

33

A.‐L. Barabási and R.Albert, “Emergence of scaling in random network,” Science, vol.286, no.5439, pp.509‐512, 1999.

様々なネットワークの指数

34

ネットワーク 頂点数 平均次数 指数

WWW 203,549,046 10.46 2.1/2.7

インターネット 150,000 2.7 2.3

長距離電話 47,000,000 3.16 2.1

論文引用関係 783,339 8.57 2.5

共著関係 1,520,251 18.1 2.5

俳優共演関係 449,913 113.443 2.3

単語同時出現 478,773 74.2 2.7

ソフトウェア 1,989 3.98 2.85

航空路線網 3,880 9.7 1.8

蛋白質相互作用 1,870 2.4 2.5

代謝 778 7.5/7.3 2.2/2.1

矢久保考介，複雑ネットワークとその構造，共立出版，2013

ランダムグラフの次数分布 頂点の次数が である確率

3550, 0.1の場合の次数分布（二項分布）

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 5 10 15 20 25 30

P(d)

d

Watts‐Strogatzモデルの次数分布

36

（D.J. Watts and S.H. Strogatz, Nature, 1998)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50

P(d)

d

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 10 20 30 40 50

P(d)

dスモールワールドネットワークは二つの中間

Barabási‐Albertモデル ネットワークは成長と優先的選択という法則に支配(Balabási & Albert, Science, 1999) 頂点を１個ずつ追加し，それから 本の辺を張る

頂点 から頂点 に辺を張る確率 ∑

頂点と辺の追加

37

Barabási‐Albertモデルの次数分布 次数分布関数：

(Dorogovtsev, Mendes and Samukhin, 2000)

38

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

P(d)

d

m=2, n=1000

0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

12 4 8 16 32 64

P(d)

d

m=2, n=1000

次数分布関数を特徴づけるような変数 の値がない

スケールフリー性

Barabási‐Albertモデルの性質 次数分布関数：べき則（指数３）2 11 2

(Dorogovtsev, Mendes and Samukhin, 2000)

平均頂点間距離：短い loglog log(Bollobás and Riordan, 2004)

クラスター係数：小さい 18 log(Klemm and Eguíluz, 2002)

39

Barabási‐Albertモデルの拡張 BAモデルはクラスター係数が非常に小さい

現実ネットワークの特徴を完全に再現していない

大きいクラスター係数をもつスケールフリーネットワークを生成する方法 P. Holme and B. J. Kim, “Growing scale‐free networks with tunable 

clustering,” Physical Review E, vol. 65, no. 2, 26107, 2002. K. Klemm and V. M. Eguiluz, “Highly clustered scalefree networks,” 

Physical Review E, vol. 65, no. 3, 36123, 2002. K. Klemm and V. M. Eguiluz, “Growing scale‐free networks with 

small‐world behavior,” Physical Review E, vol. 65, no. 5, 57102, 2002.

40

各頂点の重要度を表す指標 PageRank (Google) 中心性

次数中心性：次数に比例して中心性（重要度）が高い

媒介中心性(Betweenness Centrality)：グラフ内のすべての頂点対を結ぶ 短路が特定の頂点を通る割合

, : 頂点 と頂点 を結ぶ 短路の個数

: 上記の 短路の中で頂点 を通るものの個数

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私の研究テーマ 頂点数，辺数，次数等の制約の下でクラスター係数を極大にするグラフの特徴づけ Saki Koizuka and Norikazu Takahashi, “Maximum clustering 

coefficient of graphs with given number of vertices and edges,” Nonlinear Theory and Its Applications, vol.2, no.4, pp.443‐457, 2011.

Tatsuya Fukami and Norikazu Takahashi, “New classes of clustering coefficient locally maximizing graphs,” Discrete Applied Mathematics, vol.162, pp.202‐213, 2014. 

構造が変化するネットワークにおける媒介中心性の効率計算法の開発 Ulrik Brandes, "A faster algorithm for betweenness centrality," 

Journal of Mathematical Sociology, vol.25, no.2, pp.163‐177, 2001.

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