実験計画法におけるランダム化の一手法

誌名誌名 農業および園芸 = Agriculture and horticulture

ISSNISSN 03695247

巻/号巻/号 8910

掲載ページ掲載ページ p. 988-993

発行年月発行年月 2014年10月

農林水産省 農林水産技術会議事務局筑波産学連携支援センターTsukuba Business-Academia Cooperation Support Center, Agriculture, Forestry and Fisheries Research CouncilSecretariat

988

実験計画法におけるランダム化の一手法

A Method of Random Assignment in Experimental Design

片瀬雅 彦 *

〔キーワードJ:無作為化，舌L数，試験区，乱塊法，

統計解析

1.はじめに

実験計画法は，実験(試験)をどのように計画し

たらよいか，得られたデータをどのように解析して

結論を導いたらよし、かを教えてくれる.この実験計

画法における Fisherの三原貝Ij，すなわち反復，無作

為化(ランダム化)，局所管理は，実験誤差を制御

し評価するための基本原則であり，農業関連の試験

を計画・実施・解析するうえで極めて重要である.

この三原則を満たす基本的な実験計画は乱塊法で

ある.

乱塊法による l因子の圃場試験の設定手順を考え

てみる.たとえば， 4品種 (A1，A2， A3， A4) の

収量を比較するために， 3反復の乱塊法で試験を行

う場合，最初に 4試験区分の広さのブロックを圃場

に3か所 (R1，R2， R3)設定する(図 1，左).こ

のとき，収量に影響を及ぼす要因がブロックの内部

で均一になるようにブロックを設定する.一方，ブ

ロック間では，収量に影響を及ぼす要因に大きな差

が生じても構わない.次に，各ブロック内の 4試験

区に 4品種(水準)をランダムに割り付ける(図 1，

右).これらは試験現場で行われるごく一般的な作

業であるが，割付のランダム化はどのように行われ

ているであろうか.

ランダム化には，これまで乱数表，カード，サイ

R1 R2 R3 R1 R2 R3

図 1 1因子実験の乱塊法による水準の害IJ付前(左)と害IJ付後(右)

*千葉県立農業大学校 (MasぬikoKatase)

コロ(乱数サイ)などが利用されてきたが(奥野・

芳賀 1969，石居 1975，米津ら 1988)，現在ではコ

ンビュータによる擬似乱数の発生(丹後 1998，芳

賀 2011)が広く利用されているであろう.しかし，

園場などの試験現場において，状況を確認しながら

試験区や材料をランダムに割り付ける場合，乱数表

やコンビュータなどの利用はきわめて不便である.

そこで，あらかじめ簡単な表を用意しておくと，

現場でのランダム化が簡便に行えるので紹介する.

2.使用する表および使い方

前述の4品種の収量を 3反復の乱塊法で比較する

試験の場合(図 1)，各ブロック内の 4試験区に端か

ら 1，2， 3， 4の番号を付けて，この試験区に 4品

種を割り付ける.どの品種をどの試験区番号に割り

付けるかランダムに決めるためには， (1， 2， 3， 4)

のランダムな番号が 3組必要になる.

そこで，スプレッドシートソフトウェア

Microsoft@ Excel⑧のRAND関数と RANK関数を用い

る(芳賀 2011).図 2のように 4行 3列の各セル

(G4 : 17) に RAND関数を入力して 0以上 l未満

の一様乱数を発生させ，列ごとに RANK関数を使っ

て乱数に順位を付ける (C4:C7，D4:D7， E4:E7).

これにより，ランダムな 1~4 の番号が 3 組得られ

る.

この番号が， 4品種(水準)を割り付ける試験区

の番号になる.たとえば，ブロック R1の場合， (A1，

A2， A3， A4) の番号は (2，3， 1， 4) であるから

(図 2)，A1は2番の試験区に， A2は3番の試験区

に割り付ける(図 1).

この考え方に基づいて，表 lのような表を作成す

る.複数の異なる水準数の表を，横長の A4用紙に

印刷すると使い易い.この用紙を携帯すると，実験

室，園場，ハウス，現地農家など，どのような場所

においても，ランダムな割付や抽出が簡便に行える.

2水準， 3水準， 4水準と lつずつ順番に表を備え

0369-5247/14/￥500/1論文/JCOPY

片瀬 :実験計画法におけるランダム化の一手法

A

2

3

4

5

6

7

B C D

反復〔ブ、ロック)品種

R1 R2

A1 2 4

A2 3 3

A3 l

A4 4 2

C4 =RANK(G4，G$4:G$7)

C5 =RANtく(G5，G$4:G$7)

C6 =RANtく(G6，G$4:G$7)

C7 =RANIく(G7，G$4:G$7)

E p G

R3

3 0.70

0.65

4 0.97

2 0.34

図 2 ExcelのRAND関数と RANK関数によるランダム化

表 l ランダム化するための表の例(一部)

3

4

5 4 5 2 2 2 2 4 5 2 l 2

l 4 1 3 l 3 2 5 3 4 l

3 5 4 4 5 2 1 l 5 2 5

5 2 4 3 4 l 4 3 4 5 3

2 3 3 5 5 3 5 3 4 2 3 4

10 3 9 6 9 4 10 3 l 3 10

7 4 l 3 5 8 10 7 l 3 6 9

1 l 7 7 3 4 5 5 8 8 10 7

5 10 3 10 7 10 8 l 6 4 5 8

2 6 5 8 l 5 2 3 7 7 9 6

4 5 10 2 10 3 7 9 9 10 8 3

9 8 2 6 8 2 4 6 4 5 7 5

10 7 8 5 2 7 3 4 5 2 4 2

8 2 4 4 6 9 9 2 10 6 1 1

6 3 9 9 6 6 8 2 9 2 4

日

一様乱数

0.14 0.34

0.33 0.76

0.47 0.09

0.40 0.52

G4:17

=RAND()

3 l 2

l 5 3

5 2 4

2 4 1

4 3 5

7 3 7

6 l 5

3 6 6

8 4 3

4 10 4

l 9 l

5 5 10

2 8 2

10 2 8

9 7 9

989

4 5 4

3 1 5

5 3 2

2 4

2 3

8 4 7

7 5 8

3 8 2

l 9 4

10 6 9

9 1 10

6 10 5

2 3 3

4 7

5 2 6

990 農業および園芸第89巻第 10号 (2014年)

る必要はない.表 lの場合， 2水準の表はないが， 3

水準の表で、3の番号を無視すると 2水準の表として，

4水準の表で 3と4の番号を無視すると 2水準の表

として使用できる.

この表はあらかじめ印刷しておくため，使用者の

意忘の反映を防ぐために，試験区の番号が事前に分

からないようにする必要がある.そこで，使用する

直前に，使用可能な複数の表を第三者に示し，その

中から使用する表と読み取る最初の列を決めても

らう.使用者は，その列から右へ順番に番号を読み

取る.最右列まで、読み取った場合，最左列に戻るか，

次の高い水準の表に移る.読み取った列にチェック

マークを付けておき，次回に使用するときにこの列

は読み飛ばす.

未使用の部分があっても，早めに新しく印刷して

表を更新する.RAND関数はファイルが読み込まれ

るたびに自動更新されるので，セルは新しい乱数に

置き換わる.このため，新規に印刷した表は，以前

に印刷した表とは異なっている.

3. 表の使用例

主要な実験計画法を取り上げて，圃場試験におけ

る表 1の使用例を示す.説明を簡単にするため，便

宜的に，水準数以上で最も近い表の最左列から読み

取ることにする.

(1)乱塊法による 1因子実験

前述の例，すなわち 4品種 (A1，A2， A3， A4)

の収量を比較するために， 3反復の乱塊1去を用いた

圃場試験を考える.

3ブロックごとに4水準を割り付けるため(図 1)，

表 lの4水準の表で，最左列から 3列の番号を読み

取る. (2， 3， 1， 4)， (4， 3， 1， 2)， (3， 1， 4， 2)

である(便宜的に，図 2の番号と同じにしてある).

図 lおよび図 2で説明したように，それぞれのブ

ロック内の 4 試験区に 1~4 の番号を付けて，表 l

から読み取った番号の試験区に 4品種(水準)を割

り付ける.

(2)乱塊法による多因子実験

2段階の施肥量 (A1，A2)で 3品種 (B1，B2，

B3)の収量を比較するために， 3反復の乱塊法を用

いた圃場試験を考える.

処理区は A1B1，A1B2などの 6組合せ (2水準×

3水準)であるから(表 2)，6試験区分のブロック

を圃場に 3か所設定し，各ブロック内の試験区に

1~6 の番号を付ける(図 3，上).

表 1の 10水準の表で， 7~10 の番号を無視して最

左列から 3列を読み取り(表 2)，この番号の試験区

に処理区を割り付ける(図 3，下).たとえば，ブロッ

クR1の場合， A1B1の番号は 3であるから 3番の

試験区に， A1B2の番号は lであるから l番の試験

区に割り付ける.

(3) ラテン方格法による 1因子実験

南北方向にやや傾斜があり，西側の林による日照

の影響を東西方向に受ける圃場において， 3品種

(A1， A2， A3)の収量を比較するために，東西南

北の方向で 3X3のラテン方格法を用いる圃場試験

を考える.

ランダムに配置したラテン方格を得るために， 1

つの標準方格の行と列に，それぞれし 2，3の番号

を付ける(図 4，左).次に，表 lの3水準の表を用

い，最左列を読み取ると (3，1， 2) なので.この

番号に従って行全体を入れ替える(図 4，中).さら

に，次の列を読み取ると (2，3， 1)なので，この

番号に従って列全体を入れ替える(図 4，右).この

ラテン方格を園場の東西南北方向に設定して， 3品

種を試験区にそれぞれ割り付ける.

(4)分割法による多因子実験

(2)で説明した事例，すなわち， 2段階の施肥量

(A1， A2)で3品種 (B1，B2， B3)の収量を比較

する試験において，肥料をまとめて施用できるよう

に分割法を適用し，施肥量を 1次因子，品種を 2次

因子として， 3反復の乱塊法で割り付ける.

処理区は 6組合せであるから，最初に 6試験区分

のブロックを圃場に 3か所設定する(図 5，上).そ

れぞれのブロック内で， 1次因子の水準を割り付け

る試験区に lと2の番号を付け， 2次因子の水準を

割り付ける試験区に 1，2， 3の番号を付ける.

次に，表 1の3水準の表から 3の番号を無視して

3列を読み取り(表 3)，この番号の試験区に l次因

子(施肥量)の 2水準を割り付ける(図 5，下).た

とえば，ブロック R1の場合， (A1， A2)は(1， 2)

であるから， A1をlの試験区に， A2を2の試験区

lこ割り付ける.

さらに，表 1の3水準の表から 6列を読み取り(表

3) ，この番号の試験区に 2次因子(品種)の 3水準

を割り付ける(図 5，下).たとえば，ブロック

•

991

件引|;i:J|;;;|同阿川同川出

片瀬:実験計画法におけるランダム化の一手法

R3

多因子実験の分割法による水準の割付前(上)と割付後(下)

R2 R1

図 5

R3

多因子実験の乱塊法による水準の割付前(上)と割付後(下)

R2 R1

図 3

分割法における処理区と読み取った番号

1次因子

反復(ブロック)

Rl R2 R3

2次因子

反復(ブロック)

R1 R2 R3

1 3 1

3 2 2

21 3

1 1 2

2 21

3 3 3

表 3多因子実験の処理区と読み取った番号

品種

Al

市上

nLno--ム

n4qO

B

B

B一BB

B

2 2

施肥量

反復(ブロック)

R1 R2 R3

3 46

1 1 1

5 6 3

2 55

422

634

表 2

2 A2

クしか確保できない場合，つり合い型不完備ブロッ

ク計画 (B.I. B. )を用いた圃場試験を考える.B. I. B

割付(奥野・芳賀 1969)の中から，水準数が 4，ブ

ロック・サイズが 3，ブロック数が 4で， [1， 2， 3J

[2， 3， 4J [1， 3， 4J [1， 2， 4Jのように組み合

わせる方法を選択する.

最初に， 3試験区分のブロックを 4か所設定して，

各ブロック内の試験区に 1，2，3の番号を付ける(図

6，左).

次に，表 lの3水準の表から 4列を読み取り，こ

の番号を各ブロック内の B.1. B.割付で指定された

水準に割り振る(表 4).たとえば，最初の B.I. B.

割付は [1，2， 3Jであるから， R1の (A1，A2，

A3) に読み取った番号 (3，1， 2) を割り振る.次

のB.I. B.割付は [2，3， 4Jであるから， R2の (A2，

A3， A4)に読み取った番号 (2，3， 1)を割り振る.

これらの読み取った番号(表 4) の試験区に， 4

品種(水準)の中から 3品種ずつ割り付ける(図 6，

右).たとえば，ブロック R1の場合， (A1， A2，

3

処理区

施肥量 品種

Al Bl

Al B2

Al B3

A2 Bl

A2 B2

A2 B3

2 3 2 3 2

標準方格(左)および行(中)と列(右)のランダム化

図 4

R1の l次因子 A1の場合， 2次因子の水準(B1，B2，

B3)は (1，3， 2)であるから， B1は l番の試験区

に， B2は3番の試験区に， B3は2番の試験区に割

り付ける.

(5)つり合い型不完備ブロック計画による 1因子

実験

(1) で説明した事例，すなわち， 4品種 (A1，

A2， A3， A4) の収量を 3反復の乱塊法で比較する

試験において，圃場の制約から 3試験区分のブロツ

農業および園芸第四巻第 10号 (2014年)

表 4 B.I.B.における処理区と読

み取った番号

992

日凶同

日出即

日出即日出則

-1Am

A吐

一

ηL-A吐

一A一A一A一R

-ηJ山

14

吋

AA-qυ

一A一A一A一R

-44一

η4一司υ

-η4

一A一A一A一R

一

2一

3一

l-l

一A一A一A一R

図 6 1因子実験の B.I.B.による水準の害IJ付前(左)と害IJ付後

(右)

調査園場

品種反復(ブロック)

R1 R2 R3 R4

3 21

1 2 3

2 3 1

1 3 2

1i

nLqυAUZ

A

A

A

A

調査圃場から選定した3区画

区画1~9 区画l

図7 枝分かれ法による土壌採種の模式図

A3)は (3，1， 2)であるから， A1を3番の試験区

に， A2を l番の試験区に割り付ける.

(6)枝分かれ法

9区画から成る試験圃場(図 7，左)について，

ある土壌成分のばらつき程度および採取土壌の調

製におけるぱらつき程度を把握したい.

最初に 9区画から 3区画をランダムに選ぶため，

表 1の 10水準の表を用い，最左列の最初の 3行を

読み取る. (3， 7， 1)であるから，この区画を選ぶ

(図 7，左).さらにこれらの区画の中を 9等分し，

ここから 3地点を選ぶため，10 水準の表から次の 3

列分の最初の 3行を読み取る. (9， 4， 1) (6， 1， 7)

(9， 3， 7) であるから，この 9地点を選ぶ(図 7，

右の 3図) これらの地点から土壌を採取し，風乾・

調製した後に，それぞれ3点ずつの分析試料を得る.

(7)直交表による多因子実験

Ll6直交表による 16処理区を園場に割り付ける試

験を考える.処理区を配置する便宜のために，ブ

ロック因子を(1)列に割り付けると ，2ブロックに

割り付ける処理区は (1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8) と

(9， 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16)になる(奥野 1994).

最初に，8試験区分のブロックを 2か所設定し

それぞ、れのブ、ロック内の 8 試験区に 1~8 の番号を

付ける(図 8，左).表 1の 10水準の表から 9と10

の番号を無視して 2列を読み取り(表 5)，この番号

の試験区に処理区を割り付ける(図 8，右).たとえ

区画3 区画7

R2 R1

図 8 多因子実験の直交表による水準の害IJ付前(左)

と害IJ付後(右)

表 5 16処理区と読み取った番号

処理区 l 2 3 4 5 6 7 8

番号 3 7 l 5 2 4 8 6

処理区 9 10 11 12 13 14 15 16

番号 4 l 6 5 8 7 2 3

ば，ブロック R1の場合，処理区 lは 3番の試験区

に，処理区 2は 7番目の試験区に割り付ける.

4 おわりに

ランダム化は系統誤差を偶然誤差に転化させ，そ

の誤差の大きさの推定を可能にする重要な作業で

ある.また，ランダム化は反復(繰返し)と密接な

関係があり，処理区がランダムに割り付けられてい

ないと正当な反復(繰返し)にはならない.

栽培管理などが容易になることを重視して，処理

区をーか所にまとめて割り付けた試験，処理区を順

片瀬 実験計画法におけるランダム化の一手法 993

番に整然と並べた試験を見ることがある.また，自

己判断でランダム化したように適当に割り付ける

ことがあるかもしれない.実験計画においてランダ

ム化の過程が欠けている場合，その理由を考えてみ

る必要がある.これらについては，三輪ら(1998)，

山村 (1999)，Grafen and Hails (2002) などを参照

されたい.

本稿では園場試験を例にランダム化を行う一手

法を紹介したが，この手法は圃場試験に限らずあら

ゆる対象の試験(実験)に適用できる.ランダム化

の重要性を十分認識し，ラ ンダム化を適切に組み入

れた実験計画の実施が望まれる.

謝辞

本稿の取りまとめに当たり，ご助言とご指導をい

ただいた元東京理科大学教授芳賀敏郎博士，独立行

政法人農業環境技術研究所山村光司博士に感謝の

意を表する.

引用文献

Grafen， A. and R. Hails (2002)一般線形モデルによる生物

科学のための現代統計学[里子間口謙太郎 ・野間口慎太

郎訳 2007]. p.335. 共立出版.

芳賀敏郎 (2011)医薬品開発のための統計解析 第 l部

基礎改訂版. p.273. サイエンテイスト社.

石居進 (1975)生物統計学入門. p.288.培風館.

三輪哲久 ・袴田共之 ・山村光司 (1998)土壌肥料学におけ

る数理統計手法の応用上の問題点.土壌肥料学雑誌

69・531-537

奥野忠一 (1994)農業実験計画法小史 p.216.日科技連.

奥野忠一 ・芳賀敏郎 (1969)実験計画法 p.303 培風館.

丹後俊郎(1998)統計学のセンス p. 138. 朝倉書庄.

山村光司 (1999)土壌肥料学における数理統計手法の応用

上の問題点，土壌肥料学雑誌 70: 84-89.

米津勝衛・佐々木義之 ・今西 茂 ・藤井宏一 (1988)生物

統計学. p.212. 朝倉書庖.

砂砂砂 養賢堂の発行図書 ““ -・.111・・・1"1"・圃司 'Ir:='ヨF・.....，...園開司圃圃圃・・・・・・.. ーーーE・司~企珂F圃圃・・・ー--ー・・・・ a 圃II.J"~IJ.辺司r.. 可~~..~ー・==-・・'竺-.:::=亙圃里吉白喧・Eコ~~I白白E ・・・・lIl1::~ r;， ~ J 晶凶・l1li=司・・・・・」コ."w. _，..~・・~ー恒三旦型空・E司・・・自画面目・・・・・・・・・・・・圃・ 4・ .IU .l 1哩圃・・・・・・・ーーーヨ....・・E・・・・~畠河・.lill ・九可・・・・・・・・・.....・・・

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農学や生物学などの生物科学系分野の学生や研究者を対象にして，統計解析ならびに実験計画の考え

方と手法を平易に解説

[要目]

第 1部統計解析 8章繰返しのある二元配置実験

1章データの整理と解析 9章乱塊法実験

2章平均と分 散 10章反復のある=元配置実験

3章確率と確率分布 11章分割区法実験

4章統計的検定 12章 2水準直交配列実験

5章複変数データの解析 13章 3水準直交配列実験

第2部実験計画 補章 ベクトノレと行列

6章実験計画の考え方 付表，用語解説，索引.

7章一元配置実験

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