複雑系の科学・第3回 複雑ネットワーク・その1

東京大学大学院工学系研究科 鳥海不二夫

2012年11月2日

複雑ネットワーク

1. 世の中すべてネットワーク～複雑ネットワーク入門 2. ネットワークを見る～複雑ネットワーク分析指標 3. 古典的ネットワーク～ランダム・格子ネットワーク 4. 世間は狭い～スモールワールドネットワーク 5. 不平等な世界～スケールフリーネットワーク 6. ネットワークを作る～ネットワーク生成モデル1 7. ネットワークを作る～ネットワーク生成モデル2

複雑ネットワークの歴史

• 複雑ネットワークは新しい学問 – ここ10数年で大きく前進

グラフ理論 複雑ネットワーク

1736年 ケーニヒベルグ問題 1960年

RandomGraph

1967年 ミルグラムの実験

1998年 SmallWorldNetworks

1999年 ScaleFree理論

複雑ネットワークの歴史

• ケーニヒスベルグの橋 • RandomGraph • ミルグラムの実験 • SmallWorld理論 • ScaleFree理論

ケーニヒスベルグの橋問題

• ケーニヒスベルグという町 • a～gという7つの橋が架かっている

スタート地点

ケーニヒスベルグの橋問題

• ルール – スタート地点から出発して，スタート地点に戻る – 橋は一度しか渡れない

• ルールに従ってスタートからスタートへ戻れるか？

スタート地点

ケーニヒスベルグのネットワーク

a b

c

d e

f

g

A

C

B

D

オイラー

グラフ理論っての 考えた

RandomGraph

• ポール・エルディシュ – 著名な数学者 – 生涯に約1500篇の論文を書いた

• エルデシュ＝レーニィモデル – ERモデルとも – ランダムに作られたネットワーク

• グラフ理論から一歩前進 – グラフ→ネットワーク

ミルグラムの実験

• スタンレーミルグラム (1933 - 1984) ・イェール大学 ・社会心理学

ミルグラムの実験

• 友人の友人の・・・とたどっていってカンザスからマサチューセッツまで何人で到達できるか？

ミルグラムの実験

• カンザス州に住むさまざまな境遇の応募者に手紙を送る – 「マサチューセッツ州のとある人に手紙を送りたい」

• ルール – ファーストネームで呼び合う人にしか手紙は送れない＝割と仲がいい人限定

– 最終的に目標の人に到達するように手紙を出す

ミルグラムの実験

何人の人を経由して 手紙は目標人物に到達するのか

目標人物

ミルグラムの実験

• 平均で6人を経由

• およそ6～７人を経由すれば世界中の人とつながることが出来る

• 世界が狭い＝6次の隔たり

Small World Networks

• Duncan J. Watts – コロンビア大学の学生

• 1998年Natureに投稿した3ページの論文 – Collective dynamics of 'small-world' networks – ネットワークの世界を変えた

• 「世界は狭く，そして固まっている」

Scale Free Network

• Albert-László Barabási – ノートルダム大学教授

• 1999年Scienceに投稿した4ページの論文 – Emergence of scaling in random networks – やっぱりネットワークの世界に衝撃を与えた

• 「世界は不平等だ」

それから

• 世界的に複雑系ネットワークの研究が盛んに – さまざまな現象が明らかに

• WEBの発達により大規模なネットワークが出現 – 電子データの利用 – 従来より簡単に巨大なネットワークを分析可能に

• ネットワーク分析に注目 – ビッグデータ – ソーシャルメディア

ネットワークとは 何か？

世の中色々 ネットワーク

ネットワークとは？

• グラフとも呼ぶ • ネットワーク＝ノードとそれをつなぐリンク

ノード

ノード ノード

ノード

ノード

ノード

リンク

ノードとリンク

• 人間がノード・友人関係がリンク • お客様と商品がノード・購買関係がリンク • 経営者と従業員がノード・命令関係がリンク • 会社がノード・会社間の商品やお金の流れがリンク

世の中すべてネットワーク

• 世の中の色々な現象がネットワークで表せる – 地下鉄路線 – 航空経路 – インターネット – WEBページのリンク – Wikipediaのカテゴリ – mixi – ケーニヒスベルグの橋

地下鉄路線図

• 駅＝ノード • 線路＝リンク

航空経路ネットワーク

• 空港＝ノード • 経路＝リンク

インターネットのつながり

• 何十万のコンピュータ同士が接続 • コンピュータ＝ノード • 接続＝リンク

WEBページのつながり

• WEBページ=ノード • ハイパーリンク=リンク

Wikipediaカテゴリのつながり

• カテゴリ=ノード • リンク構造=リンク

mixi上の友人ネットワーク

• 人間＝ノード • 友人関係＝リンク

ケーニヒスベルグの橋問題

• ケーニヒスベルグという町 • a～gという7つの橋が架かっている

スタート地点

ケーニヒスベルグの橋問題

• ルール – スタート地点から出発して，スタート地点に戻る – 橋は一度しか渡れない

• ルールに従ってスタートからスタートへ戻れるか？

スタート地点

ケーニヒスベルグのネットワーク

• A~Dの土地＝ノード • a～gの橋＝リンク

a b

c

d e

f

g

A

C

B

D

オイラー

一筆書き出来ますか？

• 一筆書きの一般則 – 奇数個の線が出ている頂点が，0or2個なら一筆書き可能

a b

c

d e

f

g

ケーニヒスベルグのネットワーク

• 橋渡り問題もネットワーク • 陸地＝ノード • 橋＝リンク

a b

c

d e

f

g

A

C

B

D

グラフ理論

• グラフ理論 – ケーニヒスベルグの橋問題から発展 – 複雑ネットワークを理解する上での基礎理論

グラフ

ネットワーク

グラフ理論の基礎

• Graphとは – V:頂点(vertex)からなる集合 – E:点をつなぐ辺(edge)からなる集合 – G:VとEの集合

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝐺

グラフの表現

• 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5 • 𝐸 = {𝑒1 = 𝑣1, 𝑣3 , 𝑒2 = 𝑣2, 𝑣3 , 𝑒3 =

𝑣3, 𝑣4 , 𝑒4 = 𝑣2, 𝑣4 } • 𝐺 = {𝑉,𝐸}

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝐺

隣接関係

• 点の隣接関係 – 𝑣1, 𝑣2は隣接した点

• 辺の隣接関係 – 𝑒1, 𝑒2は隣接した辺

𝑣1 𝑣2 𝑒1

𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑒1 𝑒2

問題

• このグラフにおける隣接頂点，隣接辺をすべて述べよ

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝐺

解答

• 隣接頂点 – 𝑣1, 𝑣3 , 𝑣2, 𝑣3 , 𝑣3, 𝑣4 , 𝑣2, 𝑣4

• 隣接辺 – 𝑒1, 𝑒2 , 𝑒1, 𝑒3 , 𝑒2, 𝑒3 , 𝑒2, 𝑒4 , (𝑒3, 𝑒4)

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝐺

次数

• 次数 – 頂点𝑣𝑖が接続している辺の数 – deg 𝑣𝑖

• 各頂点の次数はいくつか？

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝐺 𝐝𝐝𝐝(𝒗𝒊)

𝑣1 1 𝑣2 2 𝑣3 3 𝑣4 2

完全グラフ

• すべての頂点が辺でつながれているグラフ

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4

問題

• 頂点の数がnの完全グラフにおける辺の数はいくつか？

頂点𝑣1に接続する辺は𝑛 − 1本 従って，全頂点から接続する辺の総数は𝑛(𝑛 − 1) ただし，一つの辺は2頂点と接続する

∴ N𝑒 =𝑛(𝑛 − 1)

2

グラフからネットワークへ

• グラフとネットワークは何が違うのか？ – 答え：同じもの – 数学的な概念としてのグラフ – 実社会の現象としてのネットワーク

• 色々名称が異なる – グラフ→ネットワーク – 頂点→ノード – 辺→リンク

グラフとネットワーク グラフ理論 ネットワーク理論 グラフ ネットワーク 頂点 ノード 辺 リンク

𝑣1

𝑣3

𝑣2

𝑣4 𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

ノード

リンク

ネットワーク

ネットワーク分析

• 世の中をネットワーク構造として捉える – 分析が容易に

• ネットワーク分析の例 – ケーニヒスブルグの橋 – 社会ネットワーク分析 – 企業間取引ネットワーク分析

大学運動部の人間関係

3年生

2年生

1年生

大学運動部の人間関係

3年生

2年生

1年生

3年生 2年生

1年生

大学運動部の人間関係

3年生

2年生

1年生

2年生の中心的人物

1年生の 中心的グループ

3年生の 中心的グループ

風の谷のナウシカ(漫画版) の人間関係

高校生の恋人関係ネットワーク

業界構造マップ

• 企業間取引をネットワークで表現

東京大学工学系研究科総合研究機構イノベーション政策研究センター

対話における単語共起ネットワーク

複雑ネットワーク

1. 世の中すべてネットワーク～複雑ネットワーク入門 2. ネットワークを見る～複雑ネットワーク分析指標 3. 古典的ネットワーク～ランダム・格子ネットワーク 4. 世間は狭い～スモールワールドネットワーク 5. 不平等な世界～スケールフリーネットワーク 6. ネットワークを作る～ネットワーク生成モデル1 7. ネットワークを作る～ネットワーク生成モデル2

次回予告

• ネットワークはどうすれば分析できるのか？ – 巨大すぎるネットワークを数字で読み取る