量子計算の基礎Pauli演算子，ブロッホ球，Clifford演算子，non-Clifford演算,...

藤井啓祐!京都大学白眉センター / 大学院情報学研究科

量子計算の基礎!効率よく記述できるもの＋α

若手のための量子情報基礎セミナー!

1

前編!

目次

✓ 量子計算!

✓ スタビライザー形式!

✓ 測定型量子計算

Pauli演算子，ブロッホ球，Clifford演算子，non-Clifford演算,

Solovay-Kitaevアルゴリズム，直積空間，CNOT演算，万能量子計算

量子状態量子ビット

（）|+� = (|0�+ |1�)/�

2, |�� = (|0� � |1�)/�

2

| i = ↵|0i+ �|1i|0i =

✓10

◆|1i =

✓01

◆

↵,� 2 C |↵|2 + |�|2 = 1

,

,

量子状態量子ビット

（）|+� = (|0�+ |1�)/�

2, |�� = (|0� � |1�)/�

2

| i = ↵|0i+ �|1i|0i =

✓10

◆|1i =

✓01

◆

↵,� 2 C |↵|2 + |�|2 = 1

,

,

Bloch sphere

↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓

y

zx

�

✓2古典ビット

Pauli行列

X =

✓0 11 0

◆Z =

✓1 00 �1

◆Y =

✓0 �ii 0

◆

•反可換（anticommute）:• XZ = iY

Pauli演算子

ZX = �XZ

X|0� = |1� X|1� = |0� (bit-flip)

Z|1� = �|1�Z|0� = |0� (phase-flip)Y |0� = i|1� Y |1� = �i|0� (bit&phase-flip + global phase)

qubitに対する作用

Pauli行列

X =

✓0 11 0

◆Z =

✓1 00 �1

◆Y =

✓0 �ii 0

◆


Pauli演算子

ZX = �XZ

X|0� = |1� X|1� = |0� (bit-flip)

Z|1� = �|1�Z|0� = |0� (phase-flip)Y |0� = i|1� Y |1� = �i|0� (bit&phase-flip + global phase)

qubitに対する作用

Pauli行列

X =

✓0 11 0

◆Z =

✓1 00 �1

◆Y =

✓0 �ii 0

◆


Pauli行列の固有状態（Pauli basis）X ! |+i ⌘ (|0i+ |1i)/

p2, |�i ⌘ (|0i � |1i)/

p2Z ! |0i, |1i

Z basis X basis

Pauli演算子

ZX = �XZ

Bloch sphere

↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓

y

zx

�

✓2

|0i

|1i

(|0i+ i|1i)/p2

(|0i � i|1i)/p2

|+i|�i

ブロッホ球

Bloch sphere

↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓

y

zx

�

✓2

|0i

|1i

(|0i+ i|1i)/p2

(|0i � i|1i)/p2

|+i|�i

ブロッホ球

e�i✓Y

e�i✓X

e�i✓Z

HHadamard

= 1�2

�1 11 �1

�

Clifford演算

Phase

=S1p2

✓1 00 i

◆

Clifford演算：Pauli 演算子を Pauli 演算子にマップA = UBU†

Pauli演算子

HXH = Z

SXS† = Y

Bloch sphere

↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓

y

zx

�

✓2

|0i

|1i

(|0i+ i|1i)/p2

(|0i � i|1i)/p2

|+i|�i

ブロッホ球

non-Clifford演算

任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要．

x

y

π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない．

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡

無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる．

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

⑨

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

⑨

⑩

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

⑨

⑩

⑪π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

⑨

⑩

⑪

⑫

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算

x

y

(3�p5)⇡


①

②③

④

⑤

⑥⑦

⑧

⑨

⑩

⑪

⑫

⑬

π × (3-√5)=137.5...

non-Clifford演算π/8 演算：T = e�i(⇡/8)Z


⇣cos

⇡

8

, sin⇡

8

, cos⇡

8

⌘

y

zx

THTH = cos

2 ⇡

8

I � ihcos

⇡

8

(X + Z) + sin

⇡

8

Yisin

⇡

8


⇣cos

⇡

8

, sin⇡

8

, cos⇡

8

⌘

y

zx

THTH = cos

2 ⇡

8

I � ihcos

⇡

8

(X + Z) + sin

⇡

8

Yisin

⇡

8

✓ = 2arccos[cos

2(⇡/8)]

{H,T}

回転角→

　　　　　の積で任意の1量子ビット演算を!効率よく近似できる．

Solovay-Kitaev(U,n)! if n=0, return basic approximation of U! else Un-1=Solovay-Kitaev(U,n-1)! V,W s.t. VWV†W†=UU†n-1 !

Vn-1 = Solovay-Kitaev(V,n-1)! Wn-1 = Solovay-Kitaev(V,n-1)! Return Vn-1Wn-1Vn-1†Wn-1†Un-1! !

O(logc(1/�))

Solovay-Kitaevアルゴリズム

Dawson-Nielsen, QIC 6, 81 (2006)

多量子ビット系| ai ⌦ | bi 合成系（直積状態）：

|0i ⌦ |1i =✓

10

◆⌦✓

01

◆=

0

BB@

0100

1

CCA Kronecker積|00�|01�|10�|11�

多量子ビット系| ai ⌦ | bi 合成系（直積状態）：

CNOT (controlled NOT)

= |0��0| � I + |1��1| � X�

��

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

�

��

|00�|01�|10�|11�

⇤(X)

CZ (controlled Z)

|00�|01�|10�|11�

= |0��0| � I + |1��1| � Z�

��

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1

�

��

e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)

⇤(Z)

2量子ビット演算：

|0i ⌦ |1i =✓

10

◆⌦✓

01

◆=

0

BB@

0100

1

CCA Kronecker積|00�|01�|10�|11�

万能量子計算 Solovay-Kitaev アルゴリズム：　　　　→ 任意の1量子ビット演算{H,T}


CNOT + 任意の1量子ビット演算 → 任意のn 量子ビット演算{⇤(X), H, T}universal set



H ei⇡8 Ze�i⇡

8 Z e�i⇡8 Z ei

⇡8 Z

e�i⇡8 Z e�i⇡

8 Z

ei⇡8 Z

S

=Toffoli gate



X

X

X

X

X

X

X

X

{|000i, |111i}部分空間　　　　　　　内の回転：

U

同様に任意の２準位間のユニタリ演算を実現できる.

目次

✓ 量子計算!





スタビライザー群，Clifford演算，Gottesman-Knillの定理，マジック状態

スタビライザー形式

Pauli group, Stabilizer group

n-qubit Pauli group:

{±1,±i}⇥ {I,X, Y, Z}⌦n 2 Pn

Pauli group, Stabilizer group

n-qubit Pauli group:

{±1,±i}⇥ {I,X, Y, Z}⌦n 2 Pn

例)

even overlap 反可換×２=可換!

Stabilizer group ：Pauli群(エルミート)の可換部分群

hXX,ZZi = {II,XX,ZZ,�Y Y }

S = {Si}

stabilizer generator

Si 2 P, Si = S†i , [Si, Sj ] = 0

Si � S Stabilizer state：すべてのstabilizer演算子　　　に対してSi|�� = |��

を満たす状態．|��• stabilizer group は可換群なので，同時対角化できる．• stabilizer generator の固有状態であれば十分．

Stabilizer states[Gottesman PhD thesis arXiv:quant- ph/9705052]

Si � S Stabilizer state：すべてのstabilizer演算子　　　に対してSi|�� = |��

を満たす状態．|��• stabilizer group は可換群なので，同時対角化できる．• stabilizer generator の固有状態であれば十分．

(|00�+ |11�)/�

2Bell state例1)

例2)S2 = �ZZ�

S1 = �XX, ZZ�

{|00�, |11�}　　　　　で張られる部分空間内の任意の状態．→ generatorの数がqubit数より少ないとき．

Stabilizer states[Gottesman PhD thesis arXiv:quant- ph/9705052]

Stabilizer state の例 Graph state

Ki = Xi

Y

j2Vi

Zj

i

Z X ZZ

measurement-based quantum computation (MBQC) のリソース状態![Raussendorf-Briegel PRL ’01]

Stabilizer state の例 Graph state

Ki = Xi

Y

j2Vi

Zj

i

Z X ZZ

measurement-based quantum computation (MBQC) のリソース状態![Raussendorf-Briegel PRL ’01]

Surface code (Toric code) state

Af =�

i� face f

Zi

Af

Z

Z Z

Z

Bv =�

i� vertex v

XiX X

XXBv

Quantum error correction code/ ground state of topologically orderd system [Kitaev Ann Phys ’03]

Clifford演算：Pauli product を Pauli product に!　　　　　 → stabilizer state を stabilizer state に

Stabilizer形式(Clifford演算)

Si| i = | ihSii

hS0ii

S0i| 0i = | 0i

U

[Schrödinger][Heisenberg]

U

| i

| 0i = U | iS0i = USiU

†

Clifford演算：Pauli product を Pauli product に!　　　　　 → stabilizer state を stabilizer state に

Stabilizer形式(Clifford演算)

Si| i = | ihSii

hS0ii

S0i| 0i = | 0i

U


U

Clifford演算子U の作用は，stabilizer演算子への作用

によって記述される．Si ! S0

i = USiU†

| i


†

HHadamard

= 1�2

�1 11 �1

�HXH = Z

Clifford演算

HHadamard

= 1�2

�1 11 �1

�HXH = Z

Clifford演算

Phase

=S1p2

✓1 00 i

◆

SXS† = Y

HHadamard

= 1�2

�1 11 �1

�HXH = Z

Clifford演算

Phase

=S1p2

✓1 00 i

◆

SXS† = Y


= |0��0| � I + |1��1| � X�

��

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

�

��

|00�|01�|10�|11�

�(X)(X � I)�(X) = X �X

�(X)(I � Z)�(X) = Z � Z

X

X

Z

Z

X

Z

⇤(X)

HHadamard

= 1�2

�1 11 �1

�HXH = Z

Clifford演算

Phase

=S1p2

✓1 00 i

◆

SXS† = Y


= |0��0| � I + |1��1| � X�

��

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

�

��

|00�|01�|10�|11�

�(X)(X � I)�(X) = X �X

�(X)(I � Z)�(X) = Z � Z

X

X

Z

Z

X

Z

⇤(X)

CZ (controlled Z)

|00�|01�|10�|11�

= |0��0| � I + |1��1| � Z�

��

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1

�

��

e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)

�(Z)(X � I)�(Z) = X � Z

�(Z)(I �X)�(Z) = Z �X

X

Z

XZ

XX

⇤(Z)

|+i

|+i

|+i|0i

|0i

|0i

|0i

H

H

H

H

H

H

H

|+i

|+i

|+i|0i

|0i

|0i

|0i

H

H

H

H

H

H

H

X ZX

XZ

XZ

XZ

Clifford演算

Gottesman-Knillの定理Input：! ! ! Pauli演算子の固有状態.!Operation：!! Clifford演算!Measurement：!Pauli基底

(Clifford演算だと classically simulatable)

n qubit stabilizer state → n個の演算子

Si| i = | ihSii

hS0ii

S0i| 0i = | 0i

U


U

| i


†


Classically simulatable!



Si| i = | ihSii

hS0ii

S0i| 0i = | 0i

U


U

| i


†


観測量（Pauli演算子）とstabilizerとの交換関係から，!確率分布を効率よく計算できる→Gottesman-Knillの定理

Classically simulatable!



Si| i = | ihSii

hS0ii

S0i| 0i = | 0i

U


U

| i


†

Magic state

INPUT! ! ! ! ： Pauli演算子の固有状態　→一般の混合状態!OPERATION! !：Clifford回路!MEASUREMENT! ：Pauli基底→Pauli演算子の固有状態の混合は classically simulatable

y

zx

Bloch球

(noisy magic state is enough for universal QC)

(Tr[⇢X],Tr[⇢Y ],Tr[⇢Z])

Magic state

INPUT! ! ! ! ： Pauli演算子の固有状態　→一般の混合状態!OPERATION! !：Clifford回路!MEASUREMENT! ：Pauli基底→Pauli演算子の固有状態の混合は classically simulatable

z

magic state

|Hi = cos(⇡/8)|0i+ sin(⇡/8)|1i

xBravyi-Kitaev, PRA 71, 022316 (2005); Reichardt, QIP 4, 251 (2005)

Clifford演算のみで pure magic stateを蒸留できる．

⇢H = (1� p)|HihH|+ p|H?ihH?|

p =1

2(1� 1/

p2)

y

zx

Bloch球

(noisy magic state is enough for universal QC)

(Tr[⇢X],Tr[⇢Y ],Tr[⇢Z])

目次

✓ 量子計算!





スタビライザー群，Clifford演算，Gottesman-Knillの定理，マジック状態

グラフ状態（クラスター状態），量子テレポーテーション，様々な応用

Graph state

Graph state (cluster state)

graph G=(V,E)V:頂点の集合，E:辺の集合

XZ

ZZ

stabilizer generators:

Ki = Xi

Y

j2Vi

Zj

点i と隣接する頂点の集合

Ki|Gi = |Gi for all i 2 V

Graph state



XZ

ZZ

⇔ |Gi =Y

e2E

⇤e(Z)|+i⌦|V |


Ki = Xi

Y

j2Vi

Zj



Graph state


X

Z

XZ

XX

= |0��0| � I + |1��1| � Z

CZ (controlled Z)e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)

XI → XZ

IX → ZX


XZ

ZZ

⇔ |Gi =Y

e2E

⇤e(Z)|+i⌦|V |


Ki = Xi

Y

j2Vi

Zj



2D cluster state

i i +e

i +n

i +w

i +s

Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w

Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).

projective measurement

2D resource state

X ZZ

Z

Z

2D cluster state

i i +e

i +n

i +w

i +s




2D resource state

X ZZ

Z

Z O

i

h↵i|!|Gi

2D cluster state

i i +e

i +n

i +w

i +s




2D resource state

X ZZ

Z

Z =

space

time

U1

U2

U3

U4

U5

h0|⌦NUn · · ·U1|0i⌦N

Oi

h↵i|!|Gi

2D cluster state

i i +e

i +n

i +w

i +s




2D resource state

X ZZ

Z

Z

• 相互作用は状態準備のときのみ．!• 物性物理との対応．!• 状態の性質から量子計算の能力を評価．

=

space

time

U1

U2

U3

U4

U5

h0|⌦NUn · · ·U1|0i⌦N

Oi

h↵i|!|Gi

量子テレポーテーション[Bennet et al., PRL ‘93]

Bell measurement

input

output

=

Bell state!(maximally entangled state)

identity gate

| i |00i+ |11ip2

X ⌦X, Z ⌦ Z


Bell measurement

input

output

=


identity gate

| i |00i+ |11ip2

X ⌦X, Z ⌦ Z

U

U

unitary gate

UXm1Zm2 | i


Bell measurement

input

output

=


identity gate

| i |00i+ |11ip2

X ⌦X, Z ⌦ Z

リソース状態＋測定 = ユニタリー演算

U

U

unitary gate

UXm1Zm2 | i

|��

|+�

one-bit teleportation：

X

XmH| i測定結果に依存してつく!“Pauli byproduct”

Zhou-Leung-Chuang, Phys. Rev. A 62,052316 (2000).

One-bit teleportation

input

output

|��

|+�

one-bit teleportation：

X

XmH| i測定結果に依存してつく!“Pauli byproduct”

Zhou-Leung-Chuang, Phys. Rev. A 62,052316 (2000).


input

output

|�� H XmH| i= Xm

circuit diagram

input state

X XmH| i

| i

Z(⇠) = e�i⇠Z/2

|��

|+�Z(⇠)


X

Z(⇠) = e�i⇠Z/2

|��

|+�Z(⇠)

= |+�Z(⇠)| i X

可換


X

Z(⇠) = e�i⇠Z/2

|��

|+�Z(⇠)

= |+�Z(⇠)| i X

可換


X

XmHZ(⇠)| i

Z(⇠) = e�i⇠Z/2

|��

|+�Z(⇠)

= |+�Z(⇠)| i X

可換


X

XmHZ(⇠)| i

input state|�� HZ(⇠) XmHZ(⇠)| iXm=

=XmHZ(⇠)| i

Z(⇠) = e�i⇠Z/2

|��

|+�Z(⇠)

= |+�Z(⇠)| i X

可換


X

XmHZ(⇠)| i

input state|�� HZ(⇠) XmHZ(⇠)| iXm=

=

1D cluster state → Hadamard gate, Z-rotation gate

XmHZ(⇠)| i

Gate teleportation：D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).

|+�X

X

|+�

input 1

input 2

output 1

output 2

Gate teleportation


|+�X

X

|+�

input 1

input 2

output 1

output 2

input 1

input 2

H

H

circuit diagram

=output 1

output 2

Gate teleportation


|+�X

X

|+�

input 1

input 2

=

|+�X

X

|+�

input 1

input 2

output 1

output 2

input 1

input 2

H

H

circuit diagram

=output 1

output 2

Gate teleportation


|+�X

X

|+�

input 1

input 2

=

|+�X

X

|+�

input 1

input 2

=X

X

output 1

output 2

input 1

input 2

H

H

circuit diagram

=output 1

output 2

Gate teleportation


|+�X

X

|+�

input 1

input 2

=

|+�X

X

|+�

input 1

input 2

=X

X

output 1

output 2

input 1

input 2

H

H

circuit diagram

=output 1

output 2

Gate teleportation

2D cluster state !→ two-qubit gate

MBQC on 2D cluster state

Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z

ZZ

Z Z Z ZZ Z Z Z

Z ZZ Z

ZZ

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

MBQC on 2D cluster state

イジング分配関数近似量子アルゴリズム

MBQCの特徴と応用リソース状態と計算のための測定が分離されている．✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる．!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい（線形光学）．

量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用．

トポロジカル量子計算

ブラインド量子計算





ブラインド量子計算Nielsen Phys. Rev. Lett. 93, 040503 (2004) → micro-cluster !Yoran-Reznik Phys. Rev. Lett. 91, 037903 (2003)!Browne-Rudolph Phys. Rev. Lett. 95, 010501 (2005)→ fusion gate!Duan-Raussendorf Phys. Rev. Lett. 95, 080503 (2005) → cross-strategy!K. Kieling, T. Rudolph, and J. Eisert Phys. Rev. Lett. 99, 130501 (2007) → percolation

Bell pair

成功確率1/2

brute force

クラスター状態

MBQC!（Measurement-based quantum computation）!一方向量子計算

有限サイズの!micro-cluster

~! ~ divide and conquer






star-cluster!by KF & Tokunaga!Phys. Rev. Lett. 105, 250503 (2010)

ps = 0.1, pu = 10-4 fault-tolerant!

snowflake !by Matsuzaki-Benjamin-Fitzsimons !Phys. Rev. Lett. 104, 050501 (2010)

Li et al.!Phys. Rev. Lett. 105, 250502 (2010)

ps = 0.1, pu = 10-4






Valence-bond solid (VBS):single “site” measurement

singlet = maximally entangled state

site

edge state

| i =X

i1,··· ,iN

hR|A[iN ] · · ·A[i1]|Li|i1 · · · iN i

Matrix product state (MPS): edge state

correlation space

Gross-Eisert, PRL (2007) !Brennen-Miyake PRL (2008)!Miyake, Ann. Phys. (2011)!Wei et al., PRL (2011)!Li et al., PRL (2011)!KF-Morimae PRA (2012), KF et al., PRL (2013).

各サイトをスピン三重項へ射影

H = J�

i

[SiSi+1 � 1/3(SiSi+1)2]

Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki 状態:

Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki, Comm.!Math. Phys. 115, 477 (1988).






c̄0(t0)

1

c̄(t)1

c̄(t0)

1

@c̄2

c̄2

Raussendorf-Harrington-Goyal, Annals Phys. 321, 2242 (2006); NJP 9, 199 (2007).





ブラインド量子計算Broadbent-Fitzsimons-Kashefi, FOCS 2009!Morimae-Fujii, Nature Comm. 2012; PRL 2013; PRA 2013






Matsuo-KF-Imoto, PRA (2014)

量子計算の基礎Pauli演算子，ブロッホ球，Clifford演算子，non-Clifford演算,...

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