中３年

多項式(式の計算の利用)

学年 組 氏名

１ 円や正方形のまわりについた道の幅を a，道のまん中を通る線の長さを lとするとき，

道の面積Ｓが，Ｓ＝ al となることを証明しました。このことが，円や正方形以外の図

形（１）（２）の場合でも成り立つことをそれぞれ確かめなさい。

（１）

右の図の道の部分の面積Ｓを文字を使って表す

と

Ｓ＝（p+2a）（q+2a）－ pq

＝

一方，al ＝ a（ ）

＝

（２）

☆他の図形でも成り立つか確かめてみよう！

q

l

pa

a

p

qr

l

中３年 解答とポイント

多項式(式の計算の利用)

学年 組 氏名

１ 円や正方形のまわりについた道の幅を a，道のまん中を通る線の長さを lとするとき，

道の面積Ｓが，Ｓ＝ al となることを証明しました。このことが，円や正方形以外の図

形（１）（２）の場合でも成り立つことをそれぞれ確かめなさい。

（１）

右の図の道の部分の面積Ｓを文字を使って表す

と

Ｓ＝（p+2a）（q+2a）－ pq

＝ pq ＋2ap＋2aq＋４a２－ pq

＝2ap＋2aq＋４a２ ・・・①

一方，al ＝ a（p ＋ a＋ q＋ a）×２

＝２ a（p ＋ q＋２ a）

＝2ap＋2aq＋４a２ ・・・②

①，②より，Ｓ＝ al が成り立つ。

（２）右の図の道の部分の面積Ｓを図のように３

つに分けて考えると

Ｓ＝ ap＋ aq＋ ar ・・・①

一方，al ＝ a（p ＋ q＋ a）

＝ ap＋ aq＋ ar ・・・②

①，②より，Ｓ＝ al が成り立つ。

☆他の図形でも成り立つか確かめてみよう！

q

l

pa

a

p

qr

l

【ポイント】

・ Ｓ を文 字を 使っ て表 す こと がで

きている。

・①，②の右辺が等しいことから，

Ｓ＝ al が成り立つことを証明している。

中３年

平方根(平方根の利用)

学年 組 氏名

直径20㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を切り出

したいと思います。次の問いに答えなさい。正方形の１辺の長さとその対角線の長さの

比は， であることは分かっています。

（１）切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。

どのように求めたかが分かるように，求め方もか

きなさい。

（２）（１）で求めた１辺の長さを，小数以下を四捨五入した近似値で求めなさい。

として，求めなさい。

（３）直径 a ㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を切り出したいときは，切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。

☆大工さんは，いちいち計算しなくてもいいように，さし金（さしがね）を使います。

さし金ってなんだろう？ 調べてみよう！

＝１．４１４２

･･･

中３年 解答とポイント

平方根(平方根の利用)

学年 組 氏名

直径20㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を切り出

したいと思います。次の問いに答えなさい。正方形の１辺の長さとその対角線の長さの

比は， であることは分かっています。

（１）切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。

どのように求めたかが分かるように，求め方もか

きなさい。

（例）求める正方形の１辺の長さを x ㎝とする

正方形の１辺の長さとその対角線の比は， なので

＝ x ：20

比例式の性質より x ＝ 20

x＝

x＝ 答 ｃｍ

（２）（１）で求めた１辺の長さを，小数以下を四捨五入した近似値で求めなさい。

として，求めなさい。

（例）

（１）より，

答１４ｃｍ

（３）直径 a ㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を切り出したいときは，切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。

（例）

（１）と同様に考えると

＝ x ： a x＝ a

x＝ a

x＝ 答 a ｃｍ

☆大工さんは，いちいち計算しなくてもいいように，さし金（さしがね）を使います。

さし金ってなんだろう？ 調べてみよう！

＝１．４１４２

･･

【ポイント】

・何を x にするかかいている。・辺の長さの関係を比で表し，

比例式の性質を使って x の値

を求めることをかいている。

・答えに単位をつけている。

【ポイント】

・小数以下を四捨五入した近似

値でかいている。

【ポイント】

・（ １ ） ど 同 様 ， 比 例 式 の 性 質

を使って x の値を求めること

をかいている。

・分母の有利化をしている。

・答えに単位をつけている。

中３年

２次方程式(２次方程式の利用)

学年 組 氏名

１ 縦が10m，横が13mの長方形の土地があります。縦を何ｍか長くして，横をその長

さだけ短くしたところ，面積が10㎡小さくなりました。次の問いに答えなさい。

（１）面積が10㎡小さくなり，土地の面積はいくらになったか求めなさい。

（２）問題の意味をつかむために，新しい土地を右の

長方形の土地の上にかきなさい。縦を xｍ長く

したとして，xも図にかき入れなさい。

（３）縦を何m長くしたか求めなさい。

２ 縦が８m，横が10mの長方形の土地に，右の図のように，縦に２本，横に１本同じ

幅の道路を付けて，残りを花壇にします。花壇の面積が50㎡となるようにするには，

道路の幅を何mにすればよいか２次方程式を利用して求めたいと思います。どのように

して求めるかあなたの考えが分かるようにかきなさい。なお，式を立てるところまでか

き，道幅を求めなくて構いません。

☆式には，考え方が隠れています。式を立てたり，読んだりできるようになりましょう。

中３年 解答とポイント

２次方程式(２次方程式の利用)

学年 組 氏名

１ 縦が10m，横が13mの長方形の土地があります。縦を何ｍか長くして，横をその長

さだけ短くしたところ，面積が10㎡小さくなりました。次の問いに答えなさい。

（１）面積が10㎡小さくなり，土地の面積はいくらになったか求めなさい。

10×13－10＝120

答 120㎡

（２）問題の意味をつかむために，新しい土地を右の

長方形の土地の上にかきなさい。縦を xｍ長く

したとして，xも図にかき入れなさい。

＊右図参照

（３）縦を何m長くしたか求めなさい。

（例）縦を xｍ長くすると，

(13－ x)（10＋ x) ＝120

これを解くと，x ＝5，-2 0< x <13 なので 答えは５ｍである。

２ 縦が８m，横が10mの長方形の土地に，右の図のように，縦に２本，横に１本同じ

幅の道路を付けて，残りを花壇にします。花壇の面積が50㎡となるようにするには，

道路の幅を何mにすればよいか２次方程式を利用して求めたいと思います。どのように

して求めるかあなたの考えが分かるようにかきなさい。なお，式を立てるところまでか

き，道幅を求めなくて構いません。

（例）

求める道幅を xｍとして，縦の２本の道を左に，横の

１本の道を下に寄せて考えると，求める式は，

（10－２ x）（８－ x）＝50

これを解いて，x を求めて，

0< x <５ の条件に合う答えが求める道幅である。

☆式には，考え方が隠れています。式を立てたり，読んだりできるようになりましょう。

－２

８－

【ポイント】

・何を x にするかかいている。・式が表す意味をかいて，立式

している。

・ x の変域をかいている。0< x < 1 0の 間 違 い に は 注 意 。

　 ２　

で， の変域が，－４ ２のときの の変域を求めなさい。

２で， の変域が，－２ ３のときの の変域を求めなさい。

関数　

中３年

関数

学年 組 氏名

１ 次の問いについて，グラフや表を用いて考え方をかき，答えを求めなさい。

（１）

（２）

２ について，x の変域が a≦ x≦２であるときの y の変域は，

－ 18≦ y≦ b です。このとき，a,b の値を求めなさい。求め方が分かるように「最大

値・最小値」という語句を使って説明しなさい。

☆変域は，式だけでなくグラフや表を用いて考えるとよく分かります。

　 ２　

で， の変域が，－４ ２のときの の変域を求めなさい。

２で， の変域が，－２ ３のときの の変域を求めなさい。

関数　

中３年 解答とポイント

関数

学年 組 氏名

１ 次の問いについて，グラフや表を用いて考え方をかき，答えを求めなさい。

（１）

x ＝－４のとき，y ＝４ x ＝２のとき，y ＝１

x －４ －３ －２ －１ ０ １ ２

y ４ 4.5 1 0.25 ０ 0.25 1

x ＝－４のとき，最大値 y ＝４

x ＝０のとき，最小値 y ＝０ 変域 ０≦ y≦４

（２）

x ＝－２のとき，y ＝－２ x ＝３のとき，y ＝－4.5

x －２ －１ ０ １ ２ ３

y －２ －0.5 ０ －0.5 －２ －4.5

x ＝０のとき，最大値 y ＝０

x ＝３のとき，最小値 y ＝－4.5 変域 －4.5≦ y≦0

（ ≦ y≦0）

２ について，x の変域が a≦ x≦２であるときの y の変域は，

－ 18≦ y≦ b です。このとき，a,b の値を求めなさい。求め方が分かるように「最大

値・最小値」という語句を使って説明しなさい。

（例）y＝－2x2のグラフの形は，右のようになる。

x＝２を y＝－2x2に代入すると y＝－８なので，

y の最小値－18は，x ＝ aのときである。

したがって，－18＝－２ a ２

これを解くと，a ＝±３

a≦２なので，a ＝－３

また，x＝０のとき，y の最大値が０なので，

b＝０

答 a ＝－３，b＝０

☆変域は，式だけでなくグラフや表を用いて考えるとよく分かります。

【ポイント】

・図をかいて， x の変域と y の変域の関係をつかんでいる。

・ a ＝±３から， a の条件を基にa ＝－３を決定している。

・「 最 大 値 ・ 最 小 値 」 と い う 語 句 を

使って説明をかいている。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ

中３年

相似な図形(相似な図形の面積と体積)

学年 組 氏名

１ 右の図の△ＡＢＣにおいて，点Ｄ，点Ｅはそれぞれ辺ＡＢ，ＡＣ上の点です。

ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ：ＤＢ＝２：３

であるとき，次の問いに答えなさい。

（１）△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比と面積比をそれぞれ

求めなさい。

相似比→ ： 面積比→ ：

（２）△ADEと四角形DBCEの面積比を求めなさい。求め方が分かるようにかきなさ

い。

求め方

面積の比→ ：

２ 円錐の形をした容器に，コップ１杯のジュースを入れたところ，容器の高さの の

ところまでジュースが入りました。この容器を満水にするには，同じコップで，ジュー

スをあと何杯入れるとよいですか。求め方が分かるようにかきなさい。

求め方

答

☆相似の考え方を使えば見た目で何となく捉えていることをはっきりと説明できます。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ

中３年 解答とポイント

相似な図形(相似な図形の面積と体積)

学年 組 氏名

１ 右の図の△ＡＢＣにおいて，点Ｄ，点Ｅはそれぞれ辺ＡＢ，ＡＣ上の点です。

ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ：ＤＢ＝２：３

であるとき，次の問いに答えなさい。

（１）△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比と面積比をそれぞれ

求めなさい。

相似比→ ２ ： ５ 面積比→ ４ ： ２５

（２）△ADEと四角形DBCEの面積比を求めなさい。求め方が分かるようにかきなさ

い。

求め方

（１）から，△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比は，４：２５

一方，四角形DBCEの面積は，△ABCの面積から

△ADEの面積をひいた大きさなので，

△ADEと四角形DBCEの面積比は，

４：２５－４＝４：２１である。

面積の比→ ４ ： ２１

２ 円錐の形をした容器に，コップ１杯のジュースを入れたところ，容器の高さの の

ところまでジュースが入りました。この容器を満水にするには，同じコップで，ジュー

スをあと何杯入れるとよいですか。求め方が分かるようにかきなさい。

求め方（例）

ジュースの入っている部分と容器

全体の相似比は１：２であり，そ

の体積比は１３：２３＝１：８であ

る。つまり，ジュースの入っている部分と

入っていない上の部分の体積比は１：７である。

よって，あと７杯分入れるとよい。

答 ７杯分

☆相似の考え方を使えば見た目で何となく捉えていることをはっきりと説明できます。

【ポイント】

・ ジ ュ ー ス の 入 っ た 部 分

と 他 の 部 分 の 体 積 比 の

根拠をかいている。

・結論をかいている。

【ポイント】

・４：２５を基にして，

25か ら ４ を ひ く 理 由 を

かいている。

・結論をかいている。

中３年

三平方の定理(三平方の定理の利用)

学年 組 氏名

１ ビル火災の訓練のため，消防自動車がビルの屋上にはしごをかけて救助にあたります。

ビルの高さは30ｍ，消防車はビルまで10ｍの所までしか近寄れないとき，はしごの長

さはおよそ何ｍ必要か求めたいと思います。次の問いに答えなさい。

（１）求める方法をかきなさい。

（２）はしごの長さは何ｍ必要か求めなさい。

２ Ａさんは，古代エジプトの時代につくられたピラミッドについて興味をもち，現地に

行っていろいろと調査をし，次のことが分かりました。

①ピラミットは，側面が正三角形の正四角錐の形をしている

②正四角錐の底面の１辺の長さを測ったら約200ｍだった

しかし，Ａさんはこのピラミッドの高さはどうしても測ることができませんでした。

このＡさんのためにピラミッドの高さを求めたいと思います。求め方が分かるようにか

きなさい。 として求めましょう。

☆身の回りの中から，三平方の定理を使って問題を解決できる場面をあげましょう！

＋ ２＝ ２

中３年 解答とポイント

三平方の定理(三平方の定理の利用)

学年 組 氏名

１ ビル火災の訓練のため，消防自動車がビルの屋上にはしごをかけて救助にあたります。

ビルの高さは30ｍ，消防車はビルまで10ｍの所までしか近寄れないとき，はしごの長

さはおよそ何ｍ必要か求めたいと思います。次の問いに答えなさい。

（１）求める方法をかきなさい。

（例）はしごの長さを x mとして

直角三角形をつくり，三平方の定理を使う。

x ２ ＝30２＋10２ これを解いて長さを求める。

（２）はしごの長さは何ｍ必要か求めなさい。

x ２ ＝30２＋10２ x >0なので

x ２ ＝900＋100 x ＝

x ２ ＝1000

x ＝± 答 およそ ｍ

２ Ａさんは，古代エジプトの時代につくられたピラミッドについて興味をもち，現地に

行っていろいろと調査をし，次のことが分かりました。

①ピラミットは，側面が正三角形の正四角錐の形をしている

②正四角錐の底面の１辺の長さを測ったら約200ｍだった

しかし，Ａさんはこのピラミッドの高さはどうしても測ることができませんでした。

このＡさんのためにピラミッドの高さを求めたいと思います。求め方が分かるようにか

きなさい。 として求めましょう。

（例）正四角錐の高さを h mとして，右図のようにピラミッ

トの中に立つ直角三角形で三平方の定理を使うと，

これを解くと，

h ＝±

h >0なので

h ＝

よって h ＝100×1.41

h ＝141 答 およそ141m

☆身の回りの中から，三平方の定理を使って問題を解決できる場面をあげましょう！

【ポイント】

・ ２ 次 方 程 式 を 解 い て ，

答えを求めている。

・ x は正の数であることをかいている。

【ポイント】

・ 三 平 方 の 定 理 を ど こ

で 使 う か 分 か る よ う

にかいている。

【ポイント】

・ 三 平 方 の 定 理 を ど こ で 使 う か 分 か

るようにかいている。

・ 近 似 値 を 使 っ て お よ そ の 長 さ を 求

めている。

中３年

円(円周角の定理)

学年 組 氏名

みやぎさんは，∠ x，∠ y の大きさを求めるために次のような説明をかきました。

∠ x は，円周角55°の中心角なので２倍になって∠ x ＝110°

ここの三角形が円の半径を２辺とする二等辺三角形なので，

∠ x の大きさは，180－110＝70

また，底角の大きさは，70÷２＝35 よって∠ y ＝35°

１ 次の図で，∠ x の大きさを求めなさい。上の例題を参考にして，求め方が分かるよう

にかきなさい。

（１） （２）

２ 下の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点です。この図で，∠ＯＢＣ＝50°，

∠ＡＣＢ＝25°ならば，ＡＯ∥ＢＣであることを証明しなさい。

☆円の性質を，いろいろな問題に利用しましょう！

Ｏ

ＯＯ

Ｏ

中３年 解答とポイント

円(円周角の定理)

学年 組 氏名

みやぎさんは，∠ x，∠ y の大きさを求めるために次のような説明をかきました。

∠ x は，円周角55°の中心角なので２倍になって∠ x ＝110°

ここの三角形が円の半径を２辺とする二等辺三角形なので，

∠ x の大きさは，180－110＝70

また，底角の大きさは，70÷２＝35 よって∠ y ＝35°

１ 次の図で，∠ x の大きさを求めなさい。上の例題を参考にして，求め方が分かるよう

にかきなさい。

（１） （２）

②360－240＝120° ① 図 の よ う に

補助線を 引く

③∠ xは120°の中心角

の円周角なので，

120÷２＝60°

②右と左の三角形は，円の半径を

①120°の円周角なので240° ２辺とする二等辺三角形なので

それぞれ，23°と37°

答 ∠ x ＝60° ③23＋37＝60°この角は，

∠ x の円周角なので∠ x＝120°

２ 下の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点です。この図で，∠ＯＢＣ＝50°，

∠ＡＣＢ＝25°ならば，ＡＯ∥ＢＣであることを証明しなさい。

（例）

∠ＡＣＢ＝25°は，弧ＡＢの

円周角なので，中心角∠ＡＯＢ

は25×２＝50°である。

したがって，

∠ＡＯＢ＝∠ＯＢＣ＝50°

錯角が等しいので，

ＡＯ∥ＢＣである

☆円の性質を，いろいろな問題に利用しましょう！

Ｏ

ＯＯ

【ポイント】

・円周角の定理を使って，

∠ Ａ Ｏ Ｂ ＝ 50° を 求 め

たことをかいている。

・「錯角 が 等し いの で」と

いう根拠をかいている。

・結論をかいている。

２ 倍

Ｏ

中３年

標本調査(標本調査の利用)

学年 組 氏名

１ お祭りの子供の楽しみといえば，やはり「くじ引き」です。当たりとはずれのいずれ

かが書かれたくじが200本あります。これをよくかき混ぜて15本のくじを引くと，当

たりが３本，はずれが12本でした。このとき，このくじの中にある当たりの本数を推

定しなさい。あなたの求め方が相手に伝わるように工夫してかきなさい。

２ 袋の中に，白と黒の碁石が合わせて300個入っています。すべて数えるのは，たい

へんです。どうすれば白と黒の碁石の数を推定できるでしょうか。あなたが考える方法

をかきなさい。

☆「日本人の血液型は，Ａ型が全体の40％で一番多い」と言われています。本当かな？調べる方法は？

中３年 解答とポイント

標本調査(標本調査の利用)

学年 組 氏名

１ お祭りの子供の楽しみといえば，やはり「くじ引き」です。当たりとはずれのいずれ

かが書かれたくじが200本あります。これをよくかき混ぜて15本のくじを引くと，当

たりが３本，はずれが12本でした。このとき，このくじの中にある当たりの本数を推

定しなさい。あなたの求め方が相手に伝わるように工夫してかきなさい。

別解１

15本のくじを引くと，当たりが３本だったの

で当たりの割合は，３／15＝１／５

したがって２００本の中に入っている当たり

の本数は，２００×１／５＝４０

当たりの本数は，およそ４０本である。

別解２

当たりの本数を x本とすると比例式で表すと，

１５：３＝２００： x と表せる。

比例式の性質から，１５ x＝３×２００

これを解くと，x＝４０

当たりの本数は，およそ４０本である。

２ 袋の中に，白と黒の碁石が合わせて300個入っています。すべて数えるのは，たい

へんです。どうすれば白と黒の碁石の数を推定できるでしょうか。あなたが考える方法

をかきなさい。

（例）②の考え方を取り上げた場合

３００個の碁石から無作為に碁石を取り

出し，その中に白の碁石が何個あるか数える。

全体の白の碁石を x 個とすると

（無作為に取り出した碁石の数）：（取り出した白の碁石の数）＝300： x

比例式の性質から，x を求める。

x は白の碁石のおよその数なので，

（300－ x）で黒の碁石のおよその数も求めら

れる。

＊無作為に抽出する碁石の数が多ければ多い

ほど，より正確な値が求められる。

☆「日本人の血液型は，Ａ型が全体の40％で一番多い」と言われています。本当かな？調べる方法は？

【ポイント】

別解１

・ 割合 を求 め る式 に説 明を かい て

いる。

・ 当た りの お よそ の数 を求 める 式

をかいている。

別解２

・何を x にしたのかをかいている。

・正しい比例式をかいている。

・「 比 例 式 の 性 質 か ら 」 や 「 内 項

の積 は外 項 の積 に等 しい から 」

をかいている。

・比例式から x を求めている。

【ポイント】

・「 標 本 調 査 を 使 っ て 求 め る 」 だ

けでは不十分である。

・① か ②の 求め 方の 方 法を かい て

いる。

・白 と 黒の 両方 の碁 石 を求 めて い

る。

・＊ 印 の記 述を して い る生 徒は ，

標 本 調査 の特 徴を よ く理 解し て

いる。