彈性與非彈性碰撞彈性與非彈性碰撞彈性與非彈性碰撞彈性與非彈性碰撞

項少龍項少龍項少龍項少龍 老師老師老師老師

項少龍老師精編 1

一一一一、、、、碰撞碰撞碰撞碰撞

1. 1. 1. 1. 碰撞核心觀念碰撞核心觀念碰撞核心觀念碰撞核心觀念：：：： 動量守恆 (∵碰撞力為系統之內力)

2. 2. 2. 2. 碰撞分類碰撞分類碰撞分類碰撞分類：：：：

(1) (1) (1) (1) 彈性碰撞：碰撞前後動能守恆

(2) (2) (2) (2) 非彈性碰撞：碰撞前後動能不守恆

3. 3. 3. 3. 思考思考思考思考：

• 兩物體碰撞期間彼此間的作用力可能是超距力，碰撞時物體並不一定要接觸

二二二二、、、、正向正向正向正向(1(1(1(1----D)D)D)D)彈性碰撞彈性碰撞彈性碰撞彈性碰撞

1. 1. 1. 1. 核心觀念核心觀念核心觀念核心觀念：：：：

��

k

P

E

守恆

守恆

2. 2. 2. 2. 兩質點發生正向彈性碰撞兩質點發生正向彈性碰撞兩質點發生正向彈性碰撞兩質點發生正向彈性碰撞：：：：

(1) (1) (1) (1) 由動量守恆： ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2' ( ) ( )m v m v m v m v m v v m v v+ = + ⇒ − = − …(a)

(2) (2) (2) (2) 由動能守恆： 2 2 '2 '2 2 '2 '2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2m v m v m v m v m v v m v v+ = + ⇒ − = − …(b)

(3) (3) (3) (3) ' '1 1 2 2

( )

( )

bv v v v

a⇒ + = + ………….(c)

(4) (4) (4) (4) 由(a)(c)⇒

1 2 21 1 2

1 2 1 2

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2'

2'

m m mv v v

m m m m

m m mv v v

m m m m

− = + + + − = + + +

主題一：彈性與非彈性碰撞

項少龍老師精編 2

3. 3. 3. 3. 思考思考思考思考：：：：

• 若 '1 2 1 2m m v v= ⇒ = 且 '

2 1v v= (速度交換)

• 若 2 0v = ( 2m 原為靜止)，且 1m 、 1v 固定，則

' 1 21 1

1 2

' 12 1

1 2

2

−=+

=+

m mv v

m m

mv v

m m

(1) (1) (1) (1) 若 1 2m m>> ，則：

' '1 1 1 1 2

'2 1 2

' 0

2

≈ ⇒ ≈ ⇒ ≈

≈ ⇒

k k kv v E E E

v v v 速度最快

(2) (2) (2) (2) 若 1 2m m= ，則：

' '1 1 2 1 2

'2 1

0 0 ' ( )= ⇒ = ⇒ =

=k k k kv E E E E

v v

動能最大

(3) (3) (3) (3) 若 1 2m m<< ，則：

' '1 1 1 1 2 1 1 2

'2

' 0( ' ' )

0

≈ − ⇒ ≈ ⇒ ≈ = −

≈k k kv v E E E v v P

v

但因 ，故 為最大

• 若碰撞為二度空間碰撞(斜向碰撞)，除符合動量守恆外，若為彈性碰撞，則亦符合

動能守恆(99 課綱：二度空間碰撞只作說明，不計算)

1m 1v 2m

[ ]stop

項少龍老師精編 3

~/~獵殺新物理>

1. 質量 2kg 的甲以 10m/s 向東運動，質量 3kg 的乙以 5m/s 向西運動，若兩物作正向彈性碰

撞，則碰撞後速度各為若干？

2. 圖中右方有質量為 m及 M的靜止 B、C兩球，其間有微小之間隔，

圖左方又有質量亦為 m之 A球以 v之速度向右撞擊。假定所有碰

撞均為彈性碰撞，若 ≤M m ，試證各球間只能發生兩次碰撞。

3. 一單擺長ℓ，擺錘質量 m。今將 m拉至擺線在水平之下 30˚俯角之位置

（如圖）放開。當 m擺至最低點時，與一質量為 2m 的另一靜止小球發

生正向碰撞： 〈日大〉

(1) 若 m 與 2m 為彈性碰撞，則碰撞後 m可反彈多高？

(2) 若 m 與 2m 碰撞後，合為一體，則碰撞後的一瞬間，擺線的張力為多少？

4. 一擺長為ℓ之單擺懸於 O點，其擺錘質量為 m，被拉至水平後放開，當

擺線與水平成 30˚夾角時，擺線的中點被一小釘卡住，擺錘則繼續掉落，

見右圖。當擺錘擺至最低點時，恰碰上一個靜止於光滑地面上，質量也

是 m的小球。假設擺錘與小球作一維之完全彈性碰撞，試問： 〈日大〉

(1) 當擺線卡在小釘前一瞬間，擺錘的速率及擺線上的張力為何？

(2) 當擺線下落至最低點，且碰上小球的前一瞬間，擺錘的速率及線上的張力為何？

(3) 當擺錘碰上小球後，若擺錘不觸及地面，則擺線上的張力又為何？

A

B

C

項少龍老師精編 4

5. 設有質量 m，環內半徑為 R的圓環靜置於光滑水平面上，自圓環之中心處，將一質量1/3m

的小球以 v的速度射出，若小球與圓環間之碰撞為彈性碰撞，則自第一次碰撞至第二次碰

撞之時間間隔為若干？

6. 在光滑平面上的 A、B兩圓盤，半徑均為 R，質量分別為 m及 3m，A

盤以角速度ω沿逆時針方向轉動，B盤以角速度 3ω沿順時針方向轉

動，A、B兩盤心的連線方向為由西向東，且兩盤的邊緣均極光滑，今

A盤以初速 v0由西向東碰撞盤心靜止的 B盤，碰撞後 A以1

2v0的速度向西運動，則下列敘

述哪些正確？

(A)兩盤碰撞前 B盤最南之端點（圖中之 b點）的速度為 3ωR，方向向西

(B)碰撞後，B盤之盤心速度的量值為 v0

(C)碰撞後，B盤最南方之端點的速度為 3ωR，方向向西

(D)碰撞後，B盤之盤心相對於 A盤之盤心的速度量值為 v0

(E)此兩盤碰撞前後的線動量不守恆〈92指考〉

7. 有一孤立系統，由兩物所構成，下列敘述中，何者為錯？ (A)整個系統的總能量必恆保持

為一常數 (B)兩物作完全彈性碰撞，系統之撞後總動能必等於碰撞前 (C)兩物作完全彈性

碰撞期間，兩物之總動能必保持不變 (D)兩物作非彈性碰撞後，總動能必有變化 (E)兩物

作彈性碰撞後，運動方向不一定互相垂直。

8. 質量為 m之物體，原以 v之速率運動，突爆炸為質量相等之二小塊，其中一塊靜止，則因

爆炸產生之能量為 （設爆炸內能全轉變為動能）

項少龍老師精編 5

9. A 球在高 20 米處自由落下，同時將質量相等之 B球自地面以 30 米/秒向上拋出，二球在

空中作正向彈性碰撞，不計空氣阻力，則兩球著地之時間相差

(A) 2 秒 (B) 3 秒 (C) 4 秒 (D) 6 秒 (E) 8 秒

10. 二單擺，擺長均為ℓ，其一擺錘質量為 m1，另一擺錘質量為 m2，今

將 m1拉起至水平狀態後放開，使其與 m2產生彈性碰撞，m1反彈至原

來一半之高度，則 m1/m2之值介於下列那一範圍之中？

(A) m1/m2≦0.1 (B) 0.1＜m1/m2≦0.5 (C) 0.5＜m1/m2≦1.5

(D) 1.5＜m1/m2≦2.0 (E) 2.0＜m1/m2 〈日大〉

項少龍老師精編 6

<~*~試題簡答>

1.

' 8 ' 7 = =v m s v m s甲 乙， 向西 ； ， 向東 2. 略 3. (1)

18

ℓ (2)

10

3mg

4. (1) 3

2

ℓg mg、 (2) 3

42

ℓgmg、 (3) mg

5.

2R

v 6. (A)(D)

7. (C) 8. 21

2⋅ mv 9. (C) 10. (B)

<~,~試題解析>

1.1

2

2 3 2 3' (10) ( 5) 8( / )

5 5

2 2 3 2' (10) ( 5) 7( / )

5 5

− × = + − = − × −= + − = +

v m s

v m s

。

2. (i ) 質量相等 ' 0⇒ =Av

' =Bv v

( ii ) " 0−= ≥+B

m Mv v

m M

2' 0= >

+C

mv v

m M(且大於 Bv )

∴只撞二次。

3. (1)【思】分三階段

( i ) 鉛直面圓周 → 力學能守恆： ∆ → ∆gU Ek

( ii ) 1− D 彈碰 → 彈碰式

( iii ) 鉛直面圓周 → ∆ → ∆ gEk U

【解】( i ) 21

2 2× = ⋅ℓ

mg m v ⇒ = ℓv g

( ii ) 2

'2

−=+

ℓm m

v gm m 3

−=

ℓg

( iii ) 21( )

2 3=

ℓgm mgh

18⇒ = ℓh

項少龍老師精編 7

(2)【思】分三階段

( i ) 鉛直面圓周 → 力學能守恆： ∆ → ∆gU Ek (同(1)) ⇒ = ℓv g

( ii ) 非彈碰 → P 守恆

( iii ) 鉛直面圓周 → =c cF ma

【解】( ii ) 由 P 守恆

3= ×ℓm g m v合合3

⇒ =ℓg

v合合

( iii ) 由 =C CF ma

2( )33 3⇒ − = ×

ℓ

ℓ

g

T mg m10

3⇒ =T mg 。

4. (1) →A B (鉛直面圓周)

由力學能守恆： ∆ → ∆gU Ek

21

2 2⇒ × =ℓ Bmg mv ⇒ = ℓBv g

由 =c cF ma

2( )

2⇒ − = × ℓ

ℓB

mg gT m

3

2⇒ =BT mg

(2) →A C

由力學能守恆： ∆ → ∆gU Ek

23 1( )4 2

⇒ =ℓ Cmg mv3

2⇒ = ℓ

C

gv

由 =C CF ma

23( )

2

( )2

⇒ − = ×

ℓ

ℓC

g

T mg m 4⇒ =CT mg

(3) (i ) 碰撞 ' 0⇒ =v錘(∵質量同)

(擺錘靜止)

( ii ) 由 0∑ =yF '⇒ =CT mg 。

項少龍老師精編 8

5. (i ) '

3

32

3

−= = −

+m

mm v

v vm

m

23'

23

×= = +

+m

mv

v vm

m

( ii ) 想成二點相距 2R 相向而行

法一 2 2 2

[ ( )]2 2

∆ = = =− −

R R Rt

v vv v相對

法二 ∵彈碰， '∴ =v v相對 相對

'

2 2= =R Rt

v v相對

。

6.【解】 (A) ⋅+bv v盤盤 盤盤 地 (3 )= − Rω

(B) ∵未提及彈碰

∴只能列 P 守恆

'00 3( ) 3 ( )

2⇒ = − + m

vmv m m v

' 03 2

⇒ =m

vv

(C) ⋅ ⋅ ⋅= +b bv v v地 盤盤 盤盤 地

0 (3 )2

= − + vRω

《 PS 》∵邊緣光滑∴碰撞力為正向力

∴碰撞力過圓盤(支點)，不生力矩

∴角速度不變(仍為3ω )

(D) ' 0 2( ) ( )2 2

= − −BA

v vv 0= v

(E) ∵碰撞力為內力

∴ P 守恆。

3

m

v

R

m '

3mv

'mv→撞

後

項少龍老師精編 9

7. (A) 能量守恆在“高中物理”成立

(更嚴謹的說法為質能守恆)

(C) 碰撞”期間”內動能轉變成為位能，故總動能不守恆。

8. 由 P 守恆： 0 22 2

= ⋅ + × → =m mmv u u v

所求 Ek= ∆

2 21 1[0 (2 ) ]

2 2 2

mv mv= + × × − 21

2mv= 。

9. 兩球質量相等，故正向彈碰後速度會互換(可自行迅速証明之)

故二球著地時間差即為鉛直上拋與自由落合之時間差

∴所求30 2 20

(2 )10 10

×= × − 4( )s= 。

10. 【思】本題分三階段

(i) 1m 下落

(ii) 1m 與 2m 1 D− 彈碰

(iii) 1m 反彈 ( )Ek Ug∆ → ∆

【解】由題知， 1m 碰撞後動能為碰撞前的1

2，故碰撞後速度為碰撞前的

1

2

( 2 21

2Ek mv v= ∝∵ v Ek∴ ∝ )

故由 1 21 1

1 2

m mv v

m m

−′ =+

1 2

1 22

m mvv

m m

−⇒ − =

+(小盤負號)

1 2 1 22 2m m m m⇒ − + = +

1

2

2 10.17

2 1

m

m

−⇒ =

+≐ɺ

。