정답과 풀이 - 개념원리 · 2018-11-21 · 수학(상) 정답과 풀이 핵심 고난도...

수학(상)

정답과 풀이

핵심 고난도 문제서

다항식� 002Ⅰ

방정식과�부등식� 027Ⅱ

도형의�방정식� 092Ⅲ

본문 9~12쪽

0001 A-2(X-B)=3A에서

A-2X+2B=3A, 2X=2B-2A

∴ X =B-A

=2aÛ`+ab-bÛ`-(aÛ`-2ab-2bÛ`)

=aÛ`+3ab+bÛ` ③

0011 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab이므로

7=3Û`-2ab, 2ab=2 ∴ ab=1

∴ aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`

=(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û`

=7Û`-2_1Û`=47 ⑤

0010 xÛ`+xy+yÛ`=(x+y)Û`-xy이므로

16=3Û`-xy에서 xy=-7

∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y)

=3Ü`-3_(-7)_3=90 ⑤

0006 (xÜ`+2xÛ`+3x+4)Û`

=(xÜ`+2xÛ`+3x+4)(xÜ`+2xÛ`+3x+4)

의 전개식에서 xÛ` 항은

2xÛ`_4+3x_3x+4_2xÛ`=25xÛ`

(xÛ`+2x+3)Û`=(xÛ`+2x+3)(xÛ`+2x+3)

의 전개식에서 xÛ` 항은

xÛ`_3+2x_2x+3_xÛ`=10xÛ`

따라서 xÛ`의 계수는

25-10=15 ③

0007 (x+2)(x-2)(xÛ`+2x+4)(xÛ`-2x+4)

={(x+2)(xÛ`-2x+4)}{(x-2)(xÛ`+2x+4)}

=(xÜ`+8)(xÜ`-8)

=xß`-64 xß`-64

0008 (x+1)(x-4)(x+2)(x-3)

={(x+1)(x-3)}{(x-4)(x+2)}

=(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8)

xÛ`-2x=t로 놓으면

(주어진 식) =(t-3)(t-8)

=tÛ`-11t+24

=(xÛ`-2x)Û`-11(xÛ`-2x)+24

=xÝ`-4xÜ`-7xÛ`+22x+24

따라서 a=-4, b=22이므로

b-a=26 ③

0009 (5+3a)Ü`=A, (5-3a)Ü`=B로 놓으면

(주어진 식) =(A-B)Û`-(A+B)Û`

=-4AB

=-4(5+3a)Ü`(5-3a)Ü`

=-4{(5+3a)(5-3a)}Ü`

=-4(25-9aÛ`)Ü`

=-4(25-9_3)Ü` (∵ a='3)

=-4_(-8)=32 32

0005 (xÛ`-x+1)(xÛ`-x+a)의 전개식에서 xÛ` 항은

xÛ`_a+(-x)_(-x)+1_xÛ`=(a+2)xÛ`

이때 xÛ`의 계수가 10이므로

a+2=10 ∴ a=8

따라서 다항식 (xÛ`-x+1)(xÛ`-x+8)의 전개식에서 x항은

-x_8+1_(-x)=-9x

이므로 x의 계수는 -9이다. -9

0002 2A-B=2xÛ`-7xy+yÛ` yy ㉠

2B-A=-xÛ`+8xy-2yÛ` yy ㉡

㉠-㉡을 하면

3A-3B=3xÛ`-15xy+3yÛ`

∴ A-B=xÛ`-5xy+yÛ` ④

0003 2A-B =2(xÜ`+xÛ`+ax)-(2xÜ`-bx+1)

=2xÛ`+(2a+b)x-1 yy ㉠

2B-C =2(2xÜ`-bx+1)-(3xÜ`+bx+a)

=xÜ`-3bx+2-a yy ㉡

㉠에서 항이 두 개이려면

2a+b=0 ∴ b=-2a

㉡에서 항이 두 개이려면 b+0이므로

2-a=0 ∴ a=2

a=2를 b=-2a에 대입하면 b=-4

∴ a+b=-2 ②

0004 (xÜ`-5xÛ`+4x-3)(2x+1)Û`

=(xÜ`-5xÛ`+4x-3)(4xÛ`+4x+1)

이 전개식에서 xÜ` 항은

xÜ`_1+(-5xÛ`)_4x+4x_4xÛ`

=xÜ`-20xÜ`+16xÜ`=-3xÜ`

따라서 xÜ`의 계수는 -3이다. -3

Ⅰ. 다항식

다항식의�연산01

002 정답과 풀이

0013 x>1이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면

x-4+;[!;=0 ∴ x+;[!;=4

이때 {x-;[!;}Û`={x+;[!;}Û`-4=4Û`-4=12이므로

x-;[!;='1�2=2'3 {∵ x-;[!;>0}

∴ xÜ`- 1xÜ`

={x-;[!;} Ü`+3{x-;[!;}

=(2'3)Ü`+3_2'3=30'3 ⑤

참고 x>1에서 0<;[!;<1이므로 x-;[!;>0

0015 (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)이므로

0=5+2(xy+yz+zx) ∴ xy+yz+zx=-;2%;

(xy+yz+zx)Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2xyz(x+y+z)이므로

{-;2%;} Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+0

∴ xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`=;;ª4°;; ②

0014 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로

3Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2_(-1) ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=11

∴ aÜ`+bÜ`+cÜ`

=(a+b+c){aÛ`+bÛ`+cÛ`-(ab+bc+ca)}+3abc

=3_{11-(-1)}+3_(-3)=27 ④

0012 {x- 3x }

Û`+{3x+ 1x }

Û`=60에서

xÛ`-6+ 9xÛ`

+9xÛ`+6+ 1xÛ`

=60

10xÛ`+ 10xÛ`

=60 ∴ xÛ`+ 1xÛ`

=6

이때 xÛ`+ 1xÛ`

={x+ 1x }

Û`-2이므로

6={x+ 1x }

Û`-2, {x+ 1x }

Û`=8

∴ x+;[!;=2'2 (∵ x>0) 2'2

0016 a-b=2, b-c=-3을 변끼리 더하면 a-c=-1

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca

=;2!;(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)

=;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(a-c)Û`}

=;2!;_{2Û`+(-3)Û`+(-1)Û`}=7 7

0017 (9-1)(9+1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1)

=(9Û`-1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1)

=(9Ý`-1)(9Ý`+1)(9¡`+1)

=(9¡`-1)(9¡`+1)

=916-1=332-1

이므로

0018 100=a라 하면

101Û`+98_102 =(a+1)Û`+(a-2)(a+2)

=aÛ`+2a+1+aÛ`-4

=2aÛ`+2a-3

=2_100Û`+2_100-3

=20197

따라서 주어진 수는 다섯 자리 자연수이므로 n=5 5

0019 (a+b+c)(a+c-b)=(a+b-c)(b+c-a)에서

{(a+c)+b}{(a+c)-b}={b+(a-c)}{b-(a-c)}

(a+c)Û`-bÛ`=bÛ`-(a-c)Û`

aÛ`+2ac+cÛ`-bÛ`=bÛ`-aÛ`+2ac-cÛ`

2aÛ`-2bÛ`+2cÛ`=0 ∴ aÛ`+cÛ`=bÛ`

따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이다.

④

0020 두 정사각형의 넓이의 합은 aÛ`+(2b)Û`이고 직사각형의

넓이는 ab이므로

aÛ`+4bÛ`=5ab

또, ab=4이므로 한 변의 길이가 a+2b인 정사각형의 넓이는

(a+2b)Û` =aÛ`+4ab+4bÛ`

=5ab+4ab

=9ab

=9_4=36 ⑤

(9+1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1)= 332-18

따라서 m=32, n=8이므로

m+n=40 40

0021 구멍을 뚫기 전 처음 나무토막의 부피는

a_a_(a-2)=aÛ`(a-2)

정육면체 모양의 구멍의 부피는 (a-2)Ü`

따라서 구하는 블록의 부피는

aÛ`(a-2)-(a-2)Ü` =aÜ`-2aÛ`-(aÜ`-6aÛ`+12a-8)

=4aÛ`-12a+8 ②

0022 x -10 xÛ`+2x-1`<Ô`xÜ`- 8xÛ`+ 7x- 2

xÜ`+ 2xÛ`- x-10xÛ`+ 8x- 2-10xÛ`-20x+10

28x-12∴ xÜ`-8xÛ`+7x-2=(xÛ`+2x-1)(x-10)+28x-12

따라서 Q(x)=x-10, R(x)=28x-12이므로

Q(2)+R(1)=-8+16=8 8

01. 다항식의 연산 003

0023 2x +1 xÛ`-x+1`<Ô`2xÜ`- xÛ`+ ax- b

2xÜ`-2xÛ`+ 2xxÛ`+(a-2)x- bxÛ`- x+ 1

(a-1)x-b-12xÜ`-xÛ`+ax-b를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 나머지가 0이

어야 하므로

(a-1)x-b-1=0

즉, a-1=0, -b-1=0이므로 a=1, b=-1

∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+(-1)Û`=2 ②

0024 주어진 등식에서 다항식 xÝ`-3xÜ`-xÛ`+7x+5를

xÛ`-2x-1로 나누었을 때의 몫이 f(x), 나머지가 ax+3이다.

xÛ`- x -2 xÛ`-2x-1`<Ô`xÝ`-3xÜ`- xÛ`+7x+5

xÝ`-2xÜ`- xÛ`- xÜ` +7x- xÜ`+2xÛ`+ x

-2xÛ`+6x+5-2xÛ`+4x+2

2x+3따라서 f(x)=xÛ`-x-2, a=2이므로

f(a)=f(2)=0 ③

0025 f(x)를 x-;2!;로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가

R이므로

f(x)={x-;2!;}Q(x)+R

=;2!;(2x-1)Q(x)+R

=(2x-1)_;2!; Q(x)+R

따라서 f(x)를 2x-1로 나누었을 때의 몫은 ;2!; Q(x), 나머지

는 R이다. ①

0028 ;3!; 9 0 -a``` 4

3 1``` -;3!;a+;3!;

9 3 -a+1 2

나머지가 2이므로

4+{-;3!;a+;3!;}=2 ∴ a=7

∴ 9xÜ`-7x+4={x-;3!;}(9xÛ`+3x-6)+2

=(3x-1)(3xÛ`+x-2)+2

따라서 Q(x)=3xÛ`+x-2이므로

Q(2)=3_2Û`+2-2=12 12

0027 -2 3 a`` 0 b

-6`` -2a+12 4a-24

3 a-6 -2a+12 4a-24+b

이때 k=-2, d=3, a-6=-2, -2a+12=4=c,

4a-24+b=-13이므로

a=4, b=-5, c=4, d=3, k=-2 ⑤

0026 f(x)를 3x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가

6이므로

f(x)=(3x-1)Q(x)+6

위의 식의 양변에 x를 곱하면

xf(x)=x(3x-1)Q(x)+6x

=3x{x-;3!;}Q(x)+6{x-;3!;}+2

={x-;3!;}{3xQ(x)+6}+2

따라서 xf(x)를 x-;3!;로 나누었을 때의 몫은 3xQ(x)+6, 나

머지는 2이다. ②

본문 13~16쪽

0029 P(x)=(2A-B)(2B-C)(2C-A)라 하면

2A-B =2(xÜ`+x+1)-(xÛ`-2x-3)

=2xÜ`-xÛ`+4x+5

2B-C =2(xÛ`-2x-3)-(2x-1)

=2xÛ`-6x-5

2C-A =2(2x-1)-(xÜ`+x+1)

=-xÜ`+3x-3

이므로

P(x) =(2xÜ`-xÛ`+4x+5)(2xÛ`-6x-5)(-xÜ`+3x-3)

=a¥x¡`+a¦xà`+a¤xß`+`y`+aÁx+a¼

이때 a¼+aÁ+aª+`y`+a¥의 값은 P(1)과 같으므로

a¼+aÁ+aª+`y`+a¥ =P(1)

=10_(-9)_(-1)=90 ⑤

0030 조건 ㈎에서 x, y, 2z 중 적어도 하나는 3이므로

(x-3)(y-3)(2z-3)=0

이 식의 좌변을 전개하면

(xy-3x-3y+9)(2z-3)=0

2xyz-3xy-6xz+9x-6yz+9y+18z-27=0

2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27=0 yy`㉠


0031 ac+bd=1의 양변을 제곱하면

aÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`+2abcd=1 yy ㉠

(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`)=2_2=4이므로

aÛ`cÛ`+aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`=4 yy ㉡

㉡-㉠을 하면

aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`-2abcd=3, 즉 (ad-bc)Û`=3

이때 ad>bc이므로

ad-bc='3 ②

0036 (a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`=22에서

2(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca)=22

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca=11 yy ㉠

(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=2에서

2(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=2

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=1 yy ㉡

㉠+㉡을 하면

2(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=12, 즉 aÛ`+bÛ`+cÛ`=6

㉠-㉡을 하면

2(ab+bc+ca)=10, 즉 ab+bc+ca=5

이때 (a+b+c)Û` =aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로

(a+b+c)Û`=6+2_5=16

그런데 a, b, c가 모두 양수이므로

a+b+c=4

∴ aÜ`+bÜ`+cÜ`

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc

=4_1+3_2=10 ⑤

0033 (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab=4Û`+4_2=24이므로

a+b=2'6 (∵ a>0)

aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=4Û`+2_2=20

aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)

=(2'6)Ü`-3_2_2'6=36'6aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`

=20Û`-2_2Û`=392

∴ (a+aÛ`+aÜ`+aÝ`)+(b+bÛ`+bÜ`+bÝ`)

=(a+b)+(aÛ`+bÛ`)+(aÜ`+bÜ`)+(aÝ`+bÝ`)

=2'6+20+36'6+392

=412+38'6 412+38'6

0034 m+n =ax+by+ay+bx

=(a+b)(x+y)

=1_2=2

0032 x+y=p, xy=q라 하면

(x+y)(axÛ`+byÛ`) =axÜ`+bxyÛ`+axÛ`y+byÜ`

=axÜ`+byÜ`+xy(ax+by)

에서 14p=22+4q yy ㉠

(x+y)(axÜ`+byÜ`) =axÝ`+bxyÜ`+axÜ`y+byÝ`

=axÝ`+byÝ`+xy(axÛ`+byÛ`)

에서 22p=50+14q yy ㉡

(x+y)(axÝ`+byÝ`) =axÞ`+bxyÝ`+axÝ`y+byÞ`

=axÞ`+byÞ`+xy(axÜ`+byÜ`)

에서 50p=axÞ`+byÞ`+22q yy ㉢

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=1, q=-2

이것을 ㉢에 대입하면

50_1=axÞ`+byÞ`+22_(-2)

∴ axÞ`+byÞ`=50+44=94 94

0035 x= 1+'52 , y= 1-'5

2 에서

x+y=1, x-y='5, xy=-1이므로

xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=1Û`-2_(-1)=3

xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)=1_'5='5xÝ`+yÝ`=(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ`=3Û`-2_(-1)Û`=7

xÝ`-yÝ`=(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`)=3_'5=3'5

axÞ`+bxÝ`=1에서 ax+b= 1xÝ`

yy ㉠

ayÞ`+byÝ`=1에서 ay+b= 1yÝ`

yy ㉡

㉠-㉡을 하면

a(x-y)= 1xÝ`

- 1yÝ`

= yÝ`-xÝ`xÝ`yÝ`

'5a= -3'5(-1)Ý`

∴ a=-3

㉠+㉡을 하면

a(x+y)+2b= 1xÝ`

+ 1yÝ`

= xÝ`+yÝ`xÝ`yÝ`

(-3)_1+2b= 7(-1)Ý`

∴ b=5

∴ a+b=(-3)+5=2 ②

이때 조건 ㈏에서 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx이므로

㉠에 대입하면

2xyz-3(xy+2yz+2zx)+3(xy+2yz+2zx)-27=0

2xyz-27=0 ∴ xyz=:ª2¦:

∴ 10xyz=10_:ª2¦:=135 135

mn =(ax+by)(ay+bx)

=aÛ`xy+abxÛ`+abyÛ`+bÛ`xy

=xy(aÛ`+bÛ`)+ab(xÛ`+yÛ`)

=xy{(a+b)Û`-2ab}+ab{(x+y)Û`-2xy}

=3_(1Û`-2_2)+2_(2Û`-2_3)=-13

∴ mÜ`+nÜ` =(m+n)Ü`-3mn(m+n)

=2Ü`-3_(-13)_2=86 86


0041 x +1 xÛ`-2x+2`<Ô`xÜ`- xÛ`+ x+1

xÜ`-2xÛ`+2xxÛ`- x+1xÛ`-2x+2

x-1따라서

xÜ`-xÛ`+x+1=(xÛ`-2x+2)(x+1)+(x-1)

이므로

f(x) =(xÜ`-xÛ`+x+1)Û`

={(xÛ`-2x+2)(x+1)+(x-1)}Û`

=(xÛ -2x+2)Û (x+1)Û +2(xÛ -2x+2)(x+1)(x-1)

+(x-1)Û`

∴ f(x)-(x-1)Û`

=(xÛ`-2x+2)Û`(x+1)Û`+2(xÛ`-2x+2)(x+1)(x-1)

=(xÛ -2x+2){(xÛ -2x+2)(x+1)Û +2(x+1)(x-1)}

즉, f(x)-(x-1)Û`은 xÛ`-2x+2로 나누어떨어지므로 f(x)

와 (x-1)Û`은 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 나머지가 같다.

∴ a=-1 ②

0039 AQÓ=x, QBÓ=y라 하면

SÁ=;2Ò;{ x+y2 }Û`-;2Ò;{;2{;}Û`

-;2Ò;{;2};} Û`

=;4Ò;xy yy`㉠

△PAB는 ∠P=90ù인 직각삼각

형이므로

△AQP»△PQB`(AA 닮음)에서

AQÓ`:`PQÓ=PQÓ`:`BQÓ

PQ ÓÛ`=AQÓ_BQÓ=xy

∴ Sª=;2Ò;{ PQÓ2 }

Û`=;8Ò;xy yy`㉡

0037 조건 ㈎에서

<a, a, a>+<b, b, b>+<c, c, c>

=3aÛ`+3bÛ`+3cÛ`=33

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=11

조건 ㈏에서

<a, 1, 1>+<1, b, 1>+<1, 1, c>

=2a+1+2b+1+2c+1=9

∴ a+b+c=3

조건 ㈐에서

<a, 2, 0>_<b, 2, 0>_<c, 2, 0>

=8abc=-8

∴ abc=-1

(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서

3Û`=11+2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=-1

(ab+bc+ca)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`+2abc(a+b+c)에서

(-1)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`+2_(-1)_3

∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`=7

∴ <ab, ab, ab>+<bc, bc, bc>+<ca, ca, ca>

=3aÛ`bÛ`+3bÛ`cÛ`+3cÛàÛ`

=3(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`)

=3_7=21 21

0038 처음 직육면체의 부피는

(a+b)Û`(a+2b) =(aÛ`+2ab+bÛ`)(a+2b)

=aÜ`+4aÛ`b+5abÛ`+2bÜ`

이므로 12개의 작은 직육면체의 개수는 각각 다음과 같다.

부피가 aÜ`인 직육면체: 1개 부피가 aÛ`b인 직육면체: 4개

부피가 abÛ`인 직육면체: 5개 부피가 bÜ`인 직육면체: 2개

이때 부피가 150인 직육면체가 5개이므로

abÛ`=150=6_5Û`

a, b는 서로소인 2 이상의 자연수이므로 a=6, b=5

∴ a+2b=6+2_5=16 16

㉠, ㉡에서 SÁ-Sª=;4Ò;xy-;8Ò;xy=;8Ò;xy

이때 SÁ-Sª=2p이므로 ;8Ò;xy=2p ∴ xy=16

또한, AQÓÓ-QB Ó=8'3이므로

x-y=8'3∴ ABÓ Û` =(x+y)Û`=(x-y)Û`+4xy

=(8'3)Û`+4_16=256

∴ ABÓ=16 (∵ ABÓ>0) 16

0040 OAÓ=a, OBÓ=b, OCÓ=c라 하면

ABÓ="ÃaÛ`+bÛ`, BCÓ="ÃbÛ`+cÛ`, CAÓ="ÃcÛ`+aÛ`

[그림 1]의 사면체 OABC의 모든 모서리의 길이의 제곱의 합은

OAÓ Û`+OBÓ Û`+OCÓ Û`+ABÓ Û`+BCÓ Û`+CAÓ Û`

=aÛ`+bÛ`+cÛ`+(aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)

=3(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=123

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=41 yy`㉠

[그림 2]의 도형의 겉넓이는

(△OAB-1)+(△OBC-1)+(△OCA-1)+△ABC+3

=;2!;ab+;2!;bc+;2!;ca+2'3�4=20+2'3�4

∴ ab+bc+ca=40 yy`㉡

이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서

(a+b+c)Û` =41+2_40 (∵ ㉠, ㉡)

=121

∴ OAÓ+OBÓ+OCÓ=a+b+c=11 (∵ a+b+c>0)

11


0046 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x99)Û`

= (1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x99)

_(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x99)

이 전개식에서 xÜ` 항은

1_4xÜ`+2x_3xÛ`+3xÛ`_2x+4xÜ`_1=20xÜ`

이므로 a=20

0042 A=xÜ`+2x+3, B=2x+3에서

A-B=xÜ`+2x+3-(2x+3)=xÜ`

AB =(xÜ`+2x+3)(2x+3)

=2xÝ`+3xÜ`+4xÛ`+12x+9

이므로

AÜ`-BÜ` =(A-B)Ü`+3AB(A-B)

=(xÜ`)Ü`+3(2xÝ`+3xÜ`+4xÛ`+12x+9)_xÜ`

=xá`+6xà`+9xß`+12xÞ`+36xÝ`+27xÜ`

=xÞ`(xÝ`+6xÛ`+9x+12)+36xÝ`+27xÜ`

따라서 AÜ`-BÜ`을 xÞ`으로 나누었을 때의 몫 Q(x)와 나머지

R(x)는 Q(x)=xÝ`+6xÛ`+9x+12, R(x)=36xÝ`+27xÜ`

∴ Q(1)+R(-1)=28+9=37 37

0043 f(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가

R(x)이므로

f(x)=g(x)Q(x)+R(x)

(단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수))

또한, g(x)를 Q(x)로 나누었을 때의 나머지도 R(x)이므로

몫을 QÁ(x)라 하면

g(x)=Q(x)QÁ(x)+R(x)

(단, (R(x)의 차수)<(Q(x)의 차수))

∴ 2f(x)+g(x)

=2{g(x)Q(x)+R(x)}+Q(x)QÁ(x)+R(x)

=Q(x){2g(x)+QÁ(x)}+3R(x)

이때 (R(x)의 차수)<(Q(x)의 차수)이므로 2f(x)+g(x)

를 Q(x)로 나누었을 때의 나머지는 3R(x)이다. 3R(x)

0044 다음과 같이 빈칸을 p, q, r로 놓으면

-1 a b c d

1 a p 4 -7

a q r

axÜ`+bxÛ`+cx+d

=(x+1)(axÛ`+px+4)-7

=(x+1){(x-1)(ax+q)+r}-7

=(x+1)(x-1)(ax+q)+r(x+1)-7

=(x+1)(x-1)(ax+q)+rx+r-7

=(x+1)(x-1)(3x+)+5x+

이므로 a=3, r=5

따라서 조립제법을 완성하면 오

른쪽과 같으므로

a=3, b=1, c=2, d=-3

∴ a+b+c+d=3

-3

-1 3 1 2 -3

-3 2 -4

1 3 -2 4 -7

3 1

3 1 5

0045 정사각형 C의 한 변의 길이를 f(x)라 하면

정사각형 B의 한 변의 길이는 xÛ`+2x-f(x)

정사각형 A의 한 변의 길이는

2xÛ`+2x-1-{xÛ`+2x-f(x)}=xÛ`+f(x)-1

이때 정사각형 A의 한 변의 길이는 주어진 직사각형의 세로의

길이와도 같으므로

xÛ`+f(x)-1=xÛ`+2x ∴ f(x)=2x+1

(직사각형 D의 가로의 길이)

=(정사각형 B의 한 변의 길이)-(정사각형 C의 한 변의 길이)

={xÛ`+2x-f(x)}-f(x)

=xÛ`+2x-2f(x)

=xÛ`+2x-2(2x+1)

=xÛ`-2x-2

이고, 직사각형 D의 세로의 길이는 f(x), 즉 2x+1이므로

직사각형 D의 넓이는

(xÛ`-2x-2)(2x+1)=2xÜ`-3xÛ`-6x-2 ④

다른풀이

f(x) =(xÛ -2x+2)Û (x+1)Û +2(xÛ -2x+2)(x+1)(x-1)

+(x-1)Û

=(xÛ -2x+2)Û (x+1)Û +2(xÛ -2x+2)(x+1)(x-1)

+xÛ -2x+1

=(xÛ`-2x+2){(xÛ`-2x+2)(x+1)Û`

+2(x+1)(x-1)+1}-1

이므로 f(x)를 xÛ -2x+2로 나누었을 때의 나머지는 -1이다.

따라서 (x+a)Û`을 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 나머지도 -1

이므로 (x+a)Û`=(xÛ`-2x+2)_1-1

xÛ`+ax+aÛ`=xÛ`-2x+1 ∴ a=-1

두 다항식 f(x), g(x)를 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 몫을 각각

QÁ(x), Qª(x)라 하고 나머지를 R라 하면

f(x)=(xÛ`-2x+2)QÁ(x)+R, g(x)=(xÛ`-2x+2)Qª(x)+R

이므로

f(x)-g(x)

={(xÛ`-2x+2)QÁ(x)+R}-{(xÛ`-2x+2)Qª(x)+R}

=(xÛ`-2x+2){QÁ(x)-Qª(x)}

즉, f(x)-g(x)는 xÛ`-2x+2로 나누어떨어진다.

Lecture


0049 3xÛ`+ x -3 xÛ`-x-1`<Ô`3xÝ`-2xÜ`-7xÛ`+2x+5

3xÝ`-3xÜ`-3xÛ`xÜ`-4xÛ`+2xxÜ`- xÛ`- x

-3xÛ`+3x+5-3xÛ`+3x+3

2 ∴ 3xÝ`-2xÜ`-7xÛ`+2x+5

=(xÛ`-x-1)(3xÛ`+x-3)+2

=0_(3xÛ`+x-3)+2=2 2

0050 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가

R이므로

f(x)=(x-1)Q(x)+R

위의 식의 양변에 xÛ`+2x+3을 곱하고 2를 더하면

(xÛ`+2x+3)f(x)+2

=(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R(xÛ`+2x+3)+2

=(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R{(x-1)(x+3)+6}+2

=(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R(x-1)(x+3)+6R+2

=(x-1){(xÛ`+2x+3)Q(x)+(x+3)R}+6R+2

따라서 (xÛ`+2x+3)f(x)+2를 x-1로 나누었을 때의 몫은

(xÛ`+2x+3)Q(x)+(x+3)R, 나머지는 6R+2이다.

⑤

본문 17쪽

0051

두 정사각형 A, B의 한 변의 길이가

각각 x, y이므로

정사각형 E의 한 변의 길이는

y-x

정사각형 C의 한 변의 길이는

y+(y-x)=2y-x

정사각형 F의 한 변의 길이는

x-(y-x)=2x-y

정사각형 H의 한 변의 길이는

x+(2x-y)=3x-y

따라서 직사각형의 세로의 길이는

(3x-y)+x+y=4x yy`㉠

또, 정사각형 G의 한 변의 길이는

(2y-x)+(y-x)-(2x-y)=4y-4x

정사각형 D의 한 변의 길이는

(4y-4x)+(2y-x)=6y-5x

따라서 직사각형의 가로의 길이는

(6y-5x)+(2y-x)+y=9y-6x yy`㉡

㉠, ㉡에서 직사각형의 넓이는

4x(9y-6x)=12x(3y-2x) ⑤

두 정사각형 A, B의 한 변의 길이가 각각 x, y이다.

0047 ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하면

직육면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)=40

∴ ab+bc+ca=20

삼각형 BGD의 세 변의 길이의 제곱의 합은

DBÓ Û`+BGÓ Û`+GDÓ Û`=48

(aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=48

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=24

이때 (a+b+c)Û` =aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서

(a+b+c)Û`=24+2_20=64

이므로 a+b+c=8 (∵ a+b+c>0)

따라서 모든 모서리의 길이의 합은

4(a+b+c)=4_8=32 32

또, xÝ` 항은

1_5xÝ`+2x_4xÜ`+3xÛ`_3xÛ`+4xÜ`_2x+5xÝ`_1=35xÝ`

이므로 b=35

∴ b-a=15 ③

0052

조건 ㈎에서 a= 1a'

, b= 1b'

, c= 1c'

이므로

a'=;a!;, b'=;b!;, c'=;c!;

a, b, c 사이의 관계식을 구한다.

0048 오른쪽 그림과 같이 호

BC 위의 한 점 P에서 BCÓ에 내린

수선의 발을 H, BCÓ의 중점을 M

이라 하자.

BCÓ=4이므로 BMÓ=;2!; BCÓ=2

PQÓ=x, RPÓ=y라 하면

직사각형 AQPR의 둘레의 길이가 10이므로

2(x+y)=10 ∴ x+y=5 yy`㉠

또, PHÓ=2-y, MHÓ=QPÓ-BMÓ=x-2이므로

직각삼각형 PMH에서 PMÓ Û`=MHÓ Û`+PHÓ Û`

2Û`=(x-2)Û`+(2-y)Û`, 4=xÛ`+yÛ`-4(x+y)+8

(x+y)Û`-2xy-4(x+y)+4=0

5Û`-2xy-4_5+4=0 (∵ ㉠)

-2xy=-9 ∴ xy=;2(;

따라서 직사각형 AQPR의 넓이는 ;2(;이다. ②


0053

두 사각형 ALÁMÁNÁ, ALªMªNª는 평행사변형이므로

ALÁÓ=a`(a>0)라 하면 NÁMÁÓ=NÁCÓ=a

ALÁÓ_BLªÓ=1이므로 BLªÓ=;a!;=LªMªÓ

또한, LÁLªÓ=x라 하면 PMªÓ=PMÁÓ=x

평행선의 성질에 의하여

∠A=∠BLªMª=∠MªPMÁ=∠MÁNÁC,

∠B=∠PMªMÁ=∠NÁMÁC

따라서 네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC는 모두 닮

음이다.

네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC의 넓이를 각각 S,

SÁ, Sª, S£라 하면

Ú 두 삼각형 ABC, LªBMª의 닮음비는 ABÓ`:`LªBÓ, 즉

4`:`;a!;이고 넓이의 비는 4Û``:`{;a!;}Û`이므로

S`:`SÁ=16`:` 1aÛ`

, 16SÁ= SaÛ`

∴ SÁ= S16aÛ`

네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC는 모두 닮음이다.

Û 두 삼각형 ABC, PMªMÁ의 닮음비는 ABÓ`:`PMªÓ, 즉

4`:`x이고 넓이의 비는 4Û``:`xÛ`이므로

S`:`Sª=16`:`xÛ`, 16Sª=xÛ`S

∴ Sª= xÛ`S16

Ü 두 삼각형 ABC, NÁMÁC의 닮음비는 ABÓ`:`NÁMÁÓ, 즉

4`:à이고 넓이의 비는 4Û``:àÛ`이므로

S`:`S£=16`:àÛ`, 16S£=aÛ`S

∴ S£= aÛ`S16

이때 S=2(SÁ+Sª+S£)이므로 Ú, Û, Ü에서

S=2{ S16aÛ`

+ xÛ`S16 + aÛ`S

16 }

1= 18aÛ`

+ xÛ`8 + aÛ`

8 , aÛ`+ 1aÛ`

+xÛ`=8

{a+;a!;} Û`-2+xÛ`=8

그런데 ABÓ=a+;a!;+x=4에서 a+;a!;=4-x이므로 이를 위

의 식에 대입하면

(4-x)Û`-2+xÛ`=8, xÛ`-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3

이때 PMÁÓÉ2, 즉 xÉ2이므로 x=1

∴ a+;a!;=4-1=3

∴ ALÁÓ Ü`+BLªÓ Ü`=aÜ`+ 1aÜ`

={a+;a!;} Ü`-3{a+;a!;}

=3Ü`-3_3=18 18

조건 ㈏에서 직육면체 A의 대각선의 길이가 '1�3이므로

"ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='1�3 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=13 yy`㉠

조건 ㈐에서 직육면체 A의 모든 모서리의 길이의 합이 20이므로

4(a+b+c)=20 ∴ a+b+c=5

이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서

5Û`=13+2(ab+bc+ca) (∵ ㉠)

∴ ab+bc+ca=6 yy`㉡

또, 직육면체 B의 모든 모서리의 길이의 합이 12이므로

4{;a!;+;b!;+;c!;}=12, ;a!;+;b!;+;c!;=3

ab+bc+caabc =3, 6

abc =3 (∵ ㉡)

∴ abc=2 yy`㉢

이때 (ab+bc+ca)Û =aÛ bÛ +bÛ cÛ +cÛ aÛ +2abc(a+b+c)에서

6Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`+2_2_5 (∵ ㉡, ㉢)

∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛ`=16 yy`㉣

따라서 직육면체 B의 대각선의 길이는

"Ãa' Û`+b' Û`+c' Û`=¾{;a!;}Û`+{;b!;}Û`+{;c!;}Û`

=¾¨ 1aÛ`

+ 1bÛ`

+ 1cÛ`

=¾¨ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛàÛàÛ`bÛ`cÛ`

=¾Ð 162Û`

(∵ ㉢, ㉣)

='4=2 (∵ (대각선의 길이)>0) ②


본문 19~22쪽

0054 주어진 등식의 좌변을 x에 대한 내림차순으로 정리하면

(a+2)xÛ`-(aÛ`+b)x+2aÛ`+2b=0

이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a+2=0, aÛ`+b=0, 2aÛ`+2b=0

∴ a=-2, b=-4

∴ a+b=-6 ①

다른풀이

(a+2)xÛ`+(2-x)aÛ`+(2-x)b=0의 양변에

x=2를 대입하면 4(a+2)=0 ∴ a=-2

x=0을 대입하면 2_(-2)Û`+2b=0 ∴ b=-4

∴ a+b=-6

0055 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면

4=-a ∴ a=-4

주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면

3-5+4=2b ∴ b=1

주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

3+5+4=2c ∴ c=6

∴ a-b+c=-4-1+6=1 1

0056 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

1-a-1+b=0, 즉 a-b=0 yy`㉠

주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면

16+8a+2+b=0, 즉 8a+b=-18 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2

이것을 주어진 등식에 대입하면

xÝ`-2xÜ`+x-2=(x+1)(x-2)f(x)

양변에 x=1을 대입하면

1-2+1-2=-2f(1)

∴ f(1)=1 ④

0057 x+ay-2b2x-y+1 =k (k는 상수)라 하면

x+ay-2b=k(2x-y+1)

∴ (1-2k)x+(a+k)y-2b-k=0

이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로

1-2k=0, a+k=0, -2b-k=0

∴ k=;2!;, a=-;2!;, b=-;4!;

∴ a+b=-;4#; -;4#;

0058 이차방정식 xÛ`+(k+1)x+(k-2)m+n=0의 근이

1이므로

1+(k+1)+(k-2)m+n=0

∴ (m+1)k+(-2m+n+2)=0

이 등식이 k에 대한 항등식이므로

m+1=0, -2m+n+2=0

∴ m=-1, n=-4

∴ mn=4 4

0059 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면

0=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ¼ yy`㉠

주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

32=a¼-aÁ+aª-`y`+aÁ¼ yy`㉡

㉠+㉡을 하면

32=2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼)

∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=16 16

0061 xÜ`+axÛ`+bx+3을 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫을

x+c`(c는 상수)라 하면

xÜ`+axÛ`+bx+3 =(xÛ`+1)(x+c)

=xÜ`+cxÛ`+x+c


a=c, b=1, 3=c

따라서 a=3, b=1, c=3이므로

10a+b=31 31참고 xÜ`+axÛ`+bx+3의 최고차항의 계수가 1이고, xÛ`+1의 최고차항의

계수가 1이므로 몫을 x+c`(c는 상수)로 놓을 수 있다.

0062 xÝ`+axÛ`+bx-8을 (x+1)(x+2)로 나누었을 때의

몫을 xÛ`+cx+d`(c, d는 상수)라 하면

xÝ`+axÛ`+bx-8=(x+1)(x+2)(xÛ`+cx+d)+x-8


양변에 x=-1을 대입하면

1+a-b-8=-1-8, 즉 a-b=-2 yy`㉠

양변에 x=-2를 대입하면

16+4a-2b-8=-2-8, 즉 2a-b=-9 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=-7, b=-5

∴ a+b=-12 ①

0060 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면

2Ú`Û`-20=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁª yy`㉠

주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면

-20=a¼-aÁ+aª-`y`+aÁª yy`㉡

㉠-㉡을 하면

2Ú`Û`=2(aÁ+a£+a°+a¦+a»+aÁÁ)

∴ aÁ+a£+a°+a¦+a»+aÁÁ=2Ú`Ú`=2048 2048

Ⅰ. 다항식

항등식과�나머지정리02


0063 f(x)=xÜ`+axÛ`+3x+b라 하면 나머지정리에 의하여

f(1)=6, f(2)=10이므로

1+a+3+b=6, 8+4a+6+b=10

∴ a+b=2, 4a+b=-4

두 식을 연립하여 풀면

a=-2, b=4

∴ f(x)=xÜ`-2xÛ`+3x+4

따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는

f(3)=27-18+9+4=22 ⑤

0064 f(x)=axà`+bxÞ`+cxÜ`+dx+1이라 하면 나머지정리

에 의하여 f(-1)=8이므로

-a-b-c-d+1=8

∴ a+b+c+d=-7

따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는

f(1)=a+b+c+d+1=-7+1=-6 -6

0065 나머지정리에 의하여

f(9)=a_10Ý`+b_10Ü`+c_10Û`+d_10+e=12321

이때 a, b, c, d, e가 한 자리 자연수이므로

a=1, b=2, c=3, d=2, e=1

∴ f(x)=(x+1)Ý`+2(x+1)Ü`+3(x+1)Û`+2(x+1)+1

따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는

f(-2)=1-2+3-2+1=1 1

0066 나머지정리에 의하여 f(1)=3, f(-1)=7

다항식 (xÛ`-x-1)f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을

Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면

(xÛ`-x-1)f(x) =(xÛ`-1)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b

이 식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면

-f(1)=a+b, f(-1)=-a+b

∴ a+b=-3, -a+b=7


a=-5, b=2

따라서 구하는 나머지는 -5x+2이다. -5x+2

0067 나머지정리에 의하여 f(-1)=2, f(2)=-1

f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 나머지를

ax+b`(a, b는 상수)라 하면

f(x) =(xÛ`-x-2)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b

이 식의 양변에 x=-1, x=2를 각각 대입하면

f(-1)=-a+b, f(2)=2a+b

∴ -a+b=2, 2a+b=-1

0069 x47+x23+x7+x를 xÜ`-x로 나누었을 때의 몫을

Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ +bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면

x47+x23+x7+x =(xÜ`-x)Q(x)+axÛ`+bx+c

=x(x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c

이 식의 양변에 x=0, x=-1, x=1을 각각 대입하면

c=0

-4=a-b+c ∴ a-b=-4 yy ㉠

4=a+b+c ∴ a+b=4 yy ㉡


a=0, b=4

따라서 R(x)=4x이므로

R(2)=8 8


a=-1, b=1

∴ f(x)=(x+1)(x-2)Q(x)-x+1


f(3)=4Q(3)-2 ②

0068 나머지정리에 의하여

다항식 P(x)를 x-k로 나누었을 때의 나머지는

P(k)=kÜ`+kÛ`+k+1

다항식 P(x)를 x+k로 나누었을 때의 나머지는

P(-k)=-kÜ`+kÛ`-k+1

이때 나머지의 합이 8이므로

P(k)+P(-k) =kÜ`+kÛ`+k+1+(-kÜ`+kÛ`-k+1)

=2kÛ`+2=8

2kÛ`=6 ∴ kÛ`=3

따라서 P(x)를 x-kÛ`, 즉 x-3으로 나누었을 때의 나머지는

P(3)=3Ü`+3Û`+3+1=40 40

0070 f(x)를 (xÛ`+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),

나머지를 axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면

f(x) =(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c yy`㉠

f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므로 ㉠에서

axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이다.

∴ axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x+1

이것을 ㉠에 대입하면

f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+1)+x+1

한편, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로

f(1)=2a+2=4

∴ a=1

따라서 구하는 나머지는

xÛ`+1+x+1=xÛ`+x+2 xÛ`+x+2

02. 항등식과 나머지정리 011

0071 f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라

하면

f(x) =(2xÛ`-5x-3)Q(x)+x+7

=(2x+1)(x-3)Q(x)+x+7 yy`㉠

이때 f(2x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는

f(2_1+1)=f(3)

따라서 ㉠에서 구하는 나머지는

f(3)=3+7=10 10

다른풀이

f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

f(x) =(2xÛ`-5x-3)Q(x)+x+7

=(2x+1)(x-3)Q(x)+x+7

양변에 x 대신 2x+1을 대입하면

f(2x+1)=(4x+3)(2x-2)Q(2x+1)+2x+8

이때 (4x+3)(2x-2)Q(2x+1)은 x-1로 나누어떨어지므

로 f(2x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 2x+8을

x-1로 나누었을 때의 나머지와 같다.

따라서 구하는 나머지는 2_1+8=10

0072 P(x)=(xÛ`-x-1)(ax+b)+2 yy`㉠

P(x+1)을 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

P(x+1) =(xÛ`-4)Q(x)-3

=(x+2)(x-2)Q(x)-3

이 식의 양변에 x=-2, x=2를 각각 대입하면

P(-1)=-3, P(3)=-3

㉠의 양변에 x=-1을 대입하면

P(-1)=-a+b+2=-3

∴ -a+b=-5 yy`㉡

㉠의 양변에 x=3을 대입하면

P(3)=5(3a+b)+2=-3

∴ 3a+b=-1 yy`㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-4

∴ 50a+b=50+(-4)=46 46

0073 f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머

지가 2x+1이므로

f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)+2x+1 yy`㉠

Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 1

이므로

Q(x)=(x+1)Q'(x)+1 yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

f(x) =(xÛ`-x+1){(x+1)Q'(x)+1}+2x+1

=(xÜ`+1)Q'(x)+xÛ`+x+2

따라서 R(x)=xÛ`+x+2이므로

R(2)=4+2+2=8 ③

0074 f(x)=2xÚ`â`+xá`+x-1이라 하고 f(x)를 x+1로 나

누었을 때의 나머지를 R라 하면

f(x)=(x+1)Q(x)+R

양변에 x=-1을 대입하면

f(-1)=R ∴ R=-1

∴ f(x)=(x+1)Q(x)-1 yy`㉠

Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 Q(1)이므로 ㉠의 양

변에 x=1을 대입하면

f(1)=2Q(1)-1

3=2Q(1)-1 ∴ Q(1)=2 ⑤

0075 f(x)=1+x+xÛ`+`y`+x2n을 x-1로 나누었을 때

의 나머지를 R라 하면

f(x)=(x-1)Q(x)+R


f(1)=R ∴ R=2n+1

∴ f(x)=(x-1)Q(x)+2n+1 yy`㉠

Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로

㉠의 양변에 x=-1을 대입하면

f(-1)=-2Q(-1)+2n+1

1=-2Q(-1)+2n+1

2Q(-1)=2n ∴ Q(-1)=n ②

0076 79100=(78+1)100에서 (x+1)100을 x로 나누었을 때

의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면

(x+1)100=x Q(x)+R yy`㉠

㉠의 양변에 x=0을 대입하면 R=1

㉠의 양변에 x=78을 대입하면 79100=78 Q(78)+1

따라서 79100을 78로 나누었을 때의 나머지는 1이다. 1

0077 1723=(18-1)23에서 (x-1)23을 x로 나누었을 때의

몫을 QÁ(x), 나머지를 RÁ이라 하면

(x-1)23=xQÁ(x)+RÁ yy`㉠

㉠의 양변에 x=0을 대입하면 RÁ=-1


1723 =18QÁ(18)-1

=18{QÁ(18)-1}+17

따라서 1723을 18로 나누었을 때의 나머지는 17이다.

∴ rÁ=17

한편, 3_2101=3_2_2100=6_(24)25=6_1625에서

6x25을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Qª(x), 나머지를 Rª라 하면

6x25=(x+1)Qª(x)+Rª yy`㉡

㉡의 양변에 x=-1을 대입하면 Rª=-6

㉡의 양변에 x=16을 대입하면


0078 f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx+6이라 하면 f(x)가 xÛ`-1,

즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

f(-1)=0, f(1)=0

f(-1)=0에서 -2+a-b+6=0

∴ a-b=-4 yy`㉠

f(1)=0에서 2+a+b+6=0

∴ a+b=-8 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=-2

∴ ab=12 ④

다른풀이

2xÜ`+axÛ`+bx+6을 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하

면

2xÜ`+axÛ`+bx+6 =(xÛ`-1)Q(x)

=(x+1)(x-1)Q(x)

다음과 같이 조립제법을 이용하면

-1 2 a b 6

-2 -a+2 a-b-2

1 2 a-2 -a+b+2 a-b+4

2 a

2 a b+2

따라서 a-b+4=0, b+2=0이므로

a=-6, b=-2

∴ ab=12

0079 f(x+2)가 x-1로 나누어떨어지므로

f(1+2)=f(3)=0

f(x-2)가 x+1로 나누어떨어지므로

f(-1-2)=f(-3)=0

f(3)=0에서 27+3a+b=0

∴ 3a+b=-27 yy`㉠

f(-3)=0에서 -27-3a+b=0

∴ -3a+b=27 yy`㉡


a=-9, b=0

∴ f(x)=xÜ`-9x

따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는

f(-2)=-8+18=10 10

0080 f(x)+g(x)가 x-1로 나누어떨어지므로

f(1)+g(1)=0 yy`㉠

또한, f(x)-g(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로

f(1)-g(1)=2 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(1)=1, g(1)=-1

한편, 다항식 h(x)가 x-1로 나누어떨어지려면 h(1)=0이어

야 한다.

ㄱ. h(x)=x+f(x)라 하면

h(1)=1+f(1)=1+1=2

ㄴ. h(x)=x+g(x)라 하면

h(1)=1+g(1)=1+(-1)=0

ㄷ. h(x)=f(x)g(x)+1이라 하면

h(1)=f(1)g(1)+1=-1+1=0

따라서 x-1로 나누어떨어지는 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

6_1625 =17Qª(16)-6

=17{Qª(16)-1}+11

따라서 6_1625, 즉 3_2101을 17로 나누었을 때의 나머지는 11

이다.

∴ rª=11

∴ rÁ+rª=17+11=28 ④

참고 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 음수일 수 있지만 자연수의 나눗셈

에서는 나머지가 0 또는 양수이어야 한다.

0081 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx-1이라 하면 f(x)가 (x+1)Û`

으로 나누어떨어지므로 f(-1)=0

-1+a-b-1=0, a-b=2

∴ b=a-2 yy`㉠

∴ f(x)=xÜ`+axÛ`+(a-2)x-1

이때 다음과 같이 조립제법을 이용하면

-1 1 a a-2 -1

-1 -a+1 1

1 a-1 -1 0

∴ f(x)=(x+1){xÛ`+(a-1)x-1}

f(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

Q(x)=xÛ`+(a-1)x-1

Q(x)도 x+1로 나누어떨어지므로 Q(-1)=0

1-a=0 ∴ a=1

a=1을 ㉠에 대입하면 b=-1

∴ a+b=0 0

다항식 f(x)가 (x+a)Û`으로 나누어떨어지면

f(x)=(x+a)Û`Q(x)=(x+a){(x+a)Q(x)}

이므로 f(x)를 x+a로 나누었을 때의 몫인 (x+a)Q(x)는 다시

x+a로 나누어떨어진다.

Lecture

0082 f(x)=axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수, a+0)라 하면

f(2-x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므로

f(2-2)=f(0)=3 ∴ c=3

x{ f(x)+x}가 xÛ -1, 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로

-{ f(-1)-1}=0, f(1)+1=0


본문 23~26쪽

0083 f {x+;[!;+1}=xÜ`+2xÛ`-3x-;[#;+ 2xÛ`

+ 1xÜ`

=xÜ`+ 1xÜ`

+2{xÛ`+ 1xÛ`}-3{x+;[!;}

x+;[!;=t로 놓으면

xÛ`+ 1xÛ`

={x+;[!;}Û`-2=tÛ`-2

xÜ`+ 1xÜ`

={x+;[!;}Ü`-3{x+;[!;}=tÜ`-3t

이므로

f(t+1) =tÜ`-3t+2(tÛ`-2)-3t

=tÜ`+2tÛ`-6t-4

t+1=y라 하면 t=y-1이므로

f(y) =(y-1)Ü`+2(y-1)Û`-6(y-1)-4

=yÜ`-yÛ`-7y+3

∴ f(x)=xÜ`-xÛ`-7x+3

따라서 a=-1, b=-7, c=3이므로

abc=21 21

0084 x+y+z=3 yy`㉠

3x-3y-z=5 yy`㉡

㉠+㉡을 하면 4x-2y=8

∴ y=2x-4 yy`㉢

㉠_3+㉡을 하면 6x+2z=14

∴ z=-3x+7 yy`㉣

㉢, ㉣을 axy+byz+czx=28에 대입하면

ax(2x-4)+b(2x-4)(-3x+7)+c(-3x+7)x=28

∴ (2a-6b-3c)xÛ`+(-4a+26b+7c)x-28b=28


2a-6b-3c=0, -4a+26b+7c=0, -28b=28

∴ a=18, b=-1, c=14

∴ a+b+c=31 ①

0087 xÛ`f(x)+f(2-x)=2x-xÝ`

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면

f(-1)+f(3)=-2-1=-3 yy`㉠

0085 f(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수, a+0)라 하면

f(xÛ`)=axÝ`+bxÛ`+c

f(x)f(-x) =(axÛ`+bx+c)(axÛ`-bx+c)

=(axÛ`+c)Û`-(bx)Û`

=aÛ`xÝ`+(2ac-bÛ`)xÛ`+cÛ`

f(xÛ`)=f(x)f(-x)이므로

axÝ`+bxÛ`+c=aÛ`xÝ`+(2ac-bÛ`)xÛ`+cÛ`

∴ a=aÛ`, b=2ac-bÛ`, c=cÛ`

a=aÛ`에서 a+0이므로 a=1

c=cÛ`에서 c=0 또는 c=1

Ú c=0일 때,

b=2ac-bÛ`에서 b(b+1)=0

∴ b=0 또는 b=-1

Û c=1일 때,

b=2ac-bÛ`에서 bÛ`+b-2=0, (b+2)(b-1)=0

∴ b=-2 또는 b=1

Ú, Û에서 구하는 이차식 f(x)의 개수는 4이다. 4

0086 ㄱ. 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

2_(-1)10-1=a¼, 즉 a¼=1

주어진 등식의 우변에서 x10의 계수는 aÁ¼이므로

aÁ¼=2

∴ a¼+aÁ¼=1+2=3

ㄴ. 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면

-1=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ¼ yy`㉠

주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면

211-1=a¼-aÁ+aª-a£+`y`+aÁ¼ yy`㉡

㉠+㉡을 하면

211-2=2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼)

∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-1

이때 a¼=1이므로

aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-2

㉠-㉡을 하면

-1-(211-1)=2(aÁ+a£+a°+a¦+a»)

∴ aÁ+a£+a°+a¦+a»=-210

즉, 210-2>-210이므로

aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼>aÁ+a£+a°+a¦+a»

ㄷ. a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-1=1023이므로 3의 배수

이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

즉, f(-1)=1, f(1)=-1이므로

a-b+3=1, a+b+3=-1


a=-3, b=-1

따라서 f(x)=-3xÛ`-x+3이므로

f(3)=-27-3+3=-27 ④


0088 fn(x)=(ax+b)Qn(x)+Rn이므로

axÜ`+b=(ax+b)Q£(x)+R£ yy`㉠

axÝ`+b=(ax+b)Q¢(x)+R¢ yy`㉡

x=-;aB; 를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면

R£=- bÜàÛ`

+b, R¢= bÝàÜ`

+b yy`㉢

R£=R¢이므로 - bÜàÛ`

+b= bÝàÜ`

+b

- bÜàÛ`

= bÝàÜ`

, -aÜ`bÜ`=aÛ`bÝ`

aÛ`bÝ`+aÜ`bÜ`=0, aÛ`bÜ`(a+b)=0

∴ b=-a (∵ ab+0)

이것을 ㉢에 대입하면 R£=R¢=0

즉, ㉠에서 axÜ`-a=(ax-a)Q£(x)이므로

a(xÜ`-1)=a(x-1)Q£(x)

∴ Q£(2)= 2Ü`-12-1 =7

㉡에서 axÝ`-a=(ax-a)Q¢(x)이므로

a(xÝ`-1)=a(x-1)Q¢(x)

∴ Q¢(2)= 2Ý`-12-1 =15

∴ Q£(2)+Q¢(2)=7+15=22 22

0089 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지를 RÁ이라 하면

f(x)=(x-1)QÁ(x)+RÁ yy`㉠

f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지를 Rª라 하면

f(x)=(x-2)Qª(x)+Rª yy`㉡

㉡의 양변에 x=2를 대입하면 조건 ㈎에서

f(2)=Rª=Qª(1)

f(x)=(x-2)Qª(x)+Qª(1)의 양변에 x=1을 대입하면

f(1)=-Qª(1)+Qª(1)=0

이때 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=RÁ=0

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차식이므로

QÁ(x)=x+a`(a는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x+a)

QÁ(1)=1+a, f(2)=2+a=Qª(1)이므로 조건 ㈏에서

QÁ(1)+Qª(1) =(1+a)+(2+a)

=2a+3=6


9f(3)+f(-1)=6-81=-75 yy`㉡


f(-1)=6, f(3)=-9

이때 f(2x+1)-f(2-x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

x=-1을 대입한 것과 같으므로

f(-1)-f(3)=6-(-9)=15 15

0090 f(x)를 (x+1)Ü 으로 나누었을 때의 몫을 Q₁(x)라 하면

f(x) =(x+1)Ü` Q₁(x)+xÛ`+4x+2

=(x+1)Ü` QÁ(x)+(x+1)Û`+2x+1

=(x+1)Û`{(x+1)QÁ(x)+1}+2x+1

따라서 f(x)를 (x+1)Û 으로 나누었을 때의 나머지는 2x+1이다.

또, f(x)를 (x-2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면

f(x)=(x-2)Û`Qª(x)+4x+6

∴ f(2)=14 yy ㉠

한편, f(x)를 (x+1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q£(x),

나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f(x)=(x+1)Û`(x-2)Q£(x)+axÛ`+bx+c yy ㉡

f(x)를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이므로

㉡에서 axÛ`+bx+c=a(x+1)Û`+2x+1

∴ f(x)=(x+1)Û`(x-2)Q£(x)+a(x+1)Û`+2x+1

∴ f(2)=9a+5 yy ㉢

㉠, ㉢에서 9a+5=14 ∴ a=1

따라서 구하는 나머지는

(x+1)Û`+2x+1=xÛ`+4x+2 xÛ`+4x+2

0091 f(x)는 삼차다항식이므로 조건 ㈏에서 f(x)를

(x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 ax+b`(a, b는 상수)라 하면

나머지도 ax+b이다.

∴ f(x)=(x-1)Û`(ax+b)+ax+b yy`㉠

조건 ㈎에서 f(1)=2이므로

f(1)=a+b=2 ∴ b=2-a


f(x) =(x-1)Û`{ax+(2-a)}+ax+(2-a)

=(x-1)Û`{a(x-1)+2}+a(x-1)+2

=a(x-1)Ü`+2(x-1)Û`+a(x-1)+2

따라서 f(x)를 (x-1)Ü`으로 나누었을 때의 나머지는

R(x)=2(x-1)Û`+a(x-1)+2

이때 R(0)=R(3)이므로

2-a+2=8+2a+2, -3a=6

∴ a=-2

즉, R(x)=2(x-1)Û`-2(x-1)+2이므로

R(5)=2_4Û`-2_4+2=26 26

0092 { f(x)}Ü`=4xÛ`f(x)+8xÛ`+6x+1 yy`㉠

ㄱ. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 { f(0)}Ü`=1이므로

f(0)=1

∴ a=;2#;, f(x)=(x-1){x+;2#;}

∴ f(3)=(3-1){3+;2#;}=9 ③


0095 xÇ`(xÛ`+ax+b)를 (x-2)Û`으로 나누었을 때의 몫을

Q(x)라 하면

xÇ`(xÛ`+ax+b)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2) yy ㉠

㉠의 양변에 x=2를 대입하면

2Ç`(4+2a+b)=0

∴ b=-4-2a (∵ 2Ç`+0) yy ㉡


xÇ`(xÛ`+ax-4-2a)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2)

xÇ`(x-2)(x+a+2)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2)

∴ xÇ`(x+a+2)=(x-2)Q(x)+2Ç` yy ㉢

㉢의 양변에 x=2를 대입하면

2Ç`(4+a)=2Ç`, 4+a=1 ∴ a=-3

a=-3을 ㉡에 대입하면 b=2

∴ ab=(-3)_2=-6 -6

0097 2n=x라 하면 8n+1=8xÜ`이므로 8xÜ`을 x-1로 나누었

을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면

8xÜ`=(x-1)Q(x)+R

양변에 x=1을 대입하면 R=8

∴ 8n+1=(2n-1)Q(2n)+8

ㄴ. f(x)의 차수를 n이라 하면 ㉠의 좌변의 차수는 3n, 우변의

차수는 n+2이므로 3n=n+2에서 n=1

이때 f(x)=ax+b`(a, b는 상수, a>0)라 하면 좌변의 최

고차항의 계수는 aÜ`, 우변의 최고차항의 계수는 4a이므로

aÜ`=4a, a(a+2)(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a>0)

즉, f(x)의 최고차항의 계수는 2이다.

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에서 f(x)=2x+1이므로 { f(x)}Ü`을 xÛ`-1로 나

누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 cx+d`(c, d는 상수)라

하면

{ f(x)}Ü`=(xÛ`-1)Q(x)+cx+d

양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면

{ f(1)}Ü`=c+d ∴ c+d=27

{ f(-1)}Ü`=-c+d ∴ -c+d=-1

두 식을 연립하여 풀면 c=14, d=13

즉, { f(x)}Ü`을 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지는 14x+13

이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

0093 (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)에서

양변에 x=1, x=7을 각각 대입하면

P(1)=0, P(5)=0

P(x)를 xÛ`+3x-2로 나누었을 때의 몫을

ax+b`(a, b는 상수, a+0)라 하면

P(x)=(xÛ`+3x-2)(ax+b)-2x+10

이때 P(1)=0에서 2(a+b)+8=0

∴ a+b=-4 yy`㉠

P(5)=0에서 38(5a+b)=0

∴ 5a+b=0 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-5

따라서 P(x)=(xÛ`+3x-2)(x-5)-2x+10이므로

P(-2)=42 ②

0094 조건 ㈎에서

P(x)=(xÛ`-1)A(x)-x+4 yy`㉠

조건 ㈏에서

P(x)=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-x+3 yy`㉡

조건 ㈐에서 B(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하

면

B(x)=(x+1)Q(x)+1 yy`㉢

㉠, ㉡에서

(xÛ`-1)A(x)-x+4=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-x+3

(xÛ`-1)A(x)=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-1

∴ (x-1)(x+1)A(x)

=x(x-1)(x+1)B(x)+(x-1)(x+1)

x+Ñ1일 때에도 등식이 성립해야 하므로

A(x)=xB(x)+1

0096 다항식 f(x)를 (x-a)(x-b)로 나누었을 때의 몫을

Q(x)라 하면

f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+R(x) yy`㉠

ㄱ. ㉠은 x에 대한 항등식이므로 x=a를 대입하면

f(a)=R(a) ∴ f(a)-R(a)=0

ㄴ. R(x)=x라 하면

f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+x이므로

f(a)-R(b)=a-b

f(b)-R(a)=b-a

이때 a+b이므로

f(a)-R(b)+f(b)-R(a)

ㄷ. R(x)=px+q`(p, q는 상수)라 하면

f(a)=pa+q, f(b)=pb+q에서

af(b)-bf(a) =abp+aq-(abp+bq)

=(a-b)q

이때 R(0)=q이므로

af(b)-bf(a)=(a-b)R(0)


이 식에 ㉢을 대입하면

A(x) =x{(x+1)Q(x)+1}+1

=x(x+1)Q(x)+x+1

=(xÛ`+x)Q(x)+x+1

따라서 A(x)를 xÛ`+x로 나누었을 때의 나머지는 x+1이다.

x+1


0102 f(x)+g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므

로

f(2)+g(2)=3

{ f(x)}Ü +{g(x)}Ü 을 x-2로 나누었을 때의 나머지가 9이므로

{ f(2)}Ü +{g(2)}Ü =9

f(x)g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)g(2)이므로

{ f(2)}Ü +{g(2)}Ü={ f(2)+g(2)}Ü`-3 f(2)g(2){ f(2)+g(2)}에서 9=3Ü`-3 f(2)g(2)_3

∴ f(2)g(2)=2 2

0098 f(x)=2xÛ`-4x+3이라 하면 f(x)를 x-a, x-b로

각각 나누었을 때의 나머지가 모두 2이므로

f(a)=f(b)=2, 즉 f(a)-2=f(b)-2=0

에서 f(x)-2=2(x-a)(x-b)

∴ f(x) =2(x-a)(x-b)+2

=2xÛ`-2(a+b)x+2ab+2

즉, 2xÛ`-4x+3=2xÛ`-2(a+b)x+2ab+2에서

-2(a+b)=-4, 2ab+2=3

∴ a+b=2, ab=;2!;

∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3


f(3)=18-12+3=9 ④

0099 조건 ㈎, ㈏에서 A(x)=x(x-1)(2x+k),

B(x)=(x+1)(ax+3) (a+0)으로 놓을 수 있다.

이때 f(x)와 g(x)는 이차식을 공통인수로 가지므로

a=-3, k=2

∴ A(x) =x(x-1)(2x+2)

=2x(x-1)(x+1)

B(x) =(x+1)(-3x+3)

=-3(x+1)(x-1)

∴ A(5)_ 1B(3)

=240_{-;2Á4;}=-10 -10

f(x)와 g(x)는 이차식을 공통인수로 가지므로 A(x)와 B(x)도 이

차식을 공통인수로 갖는다.

즉, B(x)의 인수 x+1을 A(x)도 인수로 가져야 하므로

A(-1)=(-1)_(-2)_(-2+k)=0에서 k=2이다.

또한, A(x)의 인수 x-1을 B(x)도 인수로 가져야 하므로

B(1)=2(a+3)=0에서 a=-3이다.

Lecture

0100 x10을 x-2로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면

x10=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+a» xá`)+R yy`㉠


210=R ∴ R=1024

∴ x10=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+a» xá`)+1024

yy`㉡


1=-(a¼+aÁ+aª+`y`+a»)+1024

∴ a¼+aÁ+aª+`y`+a»=1023 yy`㉢

㉡의 양변에 x=-1을 대입하면

1=-3(a¼-aÁ+aª-`y`-a»)+1024

∴ a¼-aÁ+aª-`y`-a»=341 yy`㉣

㉢+㉣을 하면

2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥)=1364

∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥=682


0=-2a¼+1024 ∴ a¼=512

∴ aª+a¢+a¤+a¥ =(a¼+aª+a¢+a¤+a¥)-a¼

=682-512=170 170

0101 2x20-xÛ`+4를 x-2로 나누었을 때의 몫 Q(x)를

Q(x)=a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+aÁ» xÚ`á`

(a¼, aÁ, aª, y, aÁ»는 상수),

나머지를 R라 하면

2xÛ`â`-xÛ`+4=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+aÁ» xÚ`á`)+R

yy`㉠

㉠의 양변에 x=2를 대입하면 R=2Û`Ú`

∴ 2xÛ â -xÛ +4=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ +`y`+aÁ» xÚ á )+2Û Ú

yy`㉡


5=-(a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ»)+2Û`Ú`

∴ a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ»=2Û`Ú`-5

따라서 Q(x)의 모든 문자의 계수와 상수항의 합은 2Û`Ú`-5이다.

②

이때 2n-1É8이면 8n+1을 2n-1로 나누었을 때의 나머지는 8

을 2n-1로 나누었을 때의 나머지와 같다. 즉,

Ú n=1이면 2Ú`-1=1이므로

8을 1로 나누었을 때의 나머지는 rÁ=0

Û n=2이면 2Û`-1=3이므로

8을 3으로 나누었을 때의 나머지는 rª=2

Ü n=3이면 2Ü`-1=7이므로

8을 7로 나누었을 때의 나머지는 r£=1

Ý n¾4이면 2n-1>8이므로

8n+1을 2n-1로 나누었을 때의 나머지는 8이다.

Ú ~ Ý에서

rÁ+rª+r£+`y`+rÁ¼�=0+2+1+8+8+`y`+8

=3+8_7=59 59


0104 f(x)를 xÛ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를

ax+b`(a, b는 상수)라 하면

f(x) =(xÛ`-x)Q(x)+ax+b

=x(x-1)Q(x)+ax+b yy`㉠

f(x)=f(1-x)의 양변에 x=0을 대입하면

f(0)=f(1)=2

㉠의 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면

f(0)=b, f(1)=a+b

∴ b=2, a+b=2

두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=2

따라서 구하는 나머지는 2이다. 2

본문 27쪽

0106

x100+1

=(x-1)Q0(x)+a0

=(x-1){(x-1)QÁ(x)+aÁ}+a0

=(x-1)Û` QÁ(x)+aÁ(x-1)+a0

=(x-1)Û`{(x-1)Qª(x)+aª}+aÁ(x-1)+a0

=(x-1)Ü` Qª(x)+aª(x-1)Û`+aÁ(x-1)+a0

⋮

=a100(x-1)100+a99(x-1)99+`y`+aÁ(x-1)+a0

`yy`㉠


2100+1=a100+a99+a98+`y`+aª+aÁ+a0 `yy`㉡


1=a100-a99+a98-a97+`y`+aª-aÁ+a0 `yy`㉢

㉡+㉢을 하면

2100+2=2(a100+a98+a96+`y`+aª+a0)

∴ a0+aª+a¢+`y`+a98+a100=299+1 ④

반복되는 다항식의 나눗셈을 하나의 식으로 나타낸다.

0107

(x+5)f(3x)=27xf(x+2) yy`㉠

f(x)를 n차다항식이라 하면 최고차항의 계수가 2이므로

f(x)=2xn+axn-1+`y (a는 상수)

라 할 수 있다.

이때

f(3x) =2_(3x)n+a_(3x)n-1+`y

=2_3nxn+a_3n-1xn-1+`y

f(x+2) =2(x+2)n+a(x+2)n-1+`y

=2xn+`y

㉠에서 좌변의 최고차항은 x_2_3nxn, 우변의 최고차항은

27x_2xn이므로

2_3n=27_2

즉, 3n=27에서 n=3이므로 f(x)는 삼차식이다.


5f(0)=0 ∴ f(0)=0 yy`㉡

㉠의 양변에 x=-5를 대입하면

0=27_(-5)_f(-3) ∴ f(-3)=0 yy`㉢

㉠의 양변에 x=-2를 대입하면

3f(-6)=27_(-2)_f(0)=0

∴ f(-6)=0 yy`㉣

주어진 식의 양변의 최고차항의 계수를 비교해 보면 f(x)의 차수를

알 수 있다.

0105 P(1)=P(-2)=P(3)=k라 하면

P(1)-k=P(-2)-k=P(3)-k=0

이므로 P(x)-k는 x-1, x+2, x-3을 인수로 갖는다.

이때 P(x)는 xÜ`의 계수가 1인 삼차식이므로

P(x)-k=(x-1)(x+2)(x-3)

∴ P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)+k

한편, P(x)는 x-2로 나누어떨어지므로

P(2)=1_4_(-1)+k=0

∴ k=4

∴ P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)+4

따라서 P(x)를 x로 나누었을 때의 나머지는

P(0)=(-1)_2_(-3)+4=10 ④

0103 x30-1을 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나

머지를 R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면

x30-1=(x-1)Û` Q(x)+ax+b

∴ (x-1)(x29+x28+x27+`y`+xÛ`+x+1)

=(x-1)Û` Q(x)+ax+b yy`㉠


0=a+b ∴ b=-a yy`㉡


(x-1)(x29+x28+x27+`y`+xÛ`+x+1)

=(x-1)Û` Q(x)+ax-a

=(x-1)Û` Q(x)+a(x-1)

=(x-1){(x-1)Q(x)+a}

∴ x29+x28+x27+`y`+xÛ`+x+1=(x-1)Q(x)+a

yy`㉢

㉢의 양변에 x=1을 대입하면

1+1+1+`y`+1=a ∴ a=30 30개

a=30을 ㉡에 대입하면 b=-30

따라서 R(x)=30x-30이므로

R(20)=30_20-30=570 ④


0108

조건 ㈎에서 f(x)는 이차식이므로 조건 ㈏에서 P(x)를 f(x)

로 나누었을 때의 나머지인 g(x)는 일차식이고, 조건 ㈐에서

P(x)를 g(x)로 나누었을 때의 나머지인 f(x)-xÛ`은 상수이

다.

즉, f(x)-xÛ`=a`(a는 상수)라 하면

f(x)=xÛ`+a

조건 ㈏에서 P(x)를 f(x)로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하

면

2xÜ`-4xÛ`+3x-6=(xÛ`+a)QÁ(x)+g(x)

이때 2xÜ`-4xÛ`+3x-6을 xÛ`+a로 직접 나누어 보면

2x-4 xÛ`+a`<Ô 2xÜ`-4xÛ`+ 3x -6

2xÜ` +2ax-4xÛ`+(3-2a)x-6-4xÛ` -4a

(3-2a)x-6+4a

2xÜ`-4xÛ`+3x-6=(xÛ`+a)(2x-4)+(3-2a)x-6+4a

∴ g(x) =(3-2a)x-6+4a

=(3-2a)(x-2)

조건 ㈐에서 P(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하

면

2xÜ`-4xÛ`+3x-6 =g(x)Qª(x)+f(x)-xÛ`

=(3-2a)(x-2)Qª(x)+a

위의 식의 양변에 x=2를 대입하면

16-16+6-6=a ∴ a=0

따라서 f(x)=xÛ`, g(x)=3(x-2)이므로

f(1)+g(1)=1+(-3)=-2 -2

두 조건 ㈎, ㈏에서 g(x)의 차수를 구한다.

0109

f(x)+g(x) =(2xÛ`+x)+(xÛ`-3x-1)

=3xÛ`-2x-1

=-h(x)

이므로 등식

{ f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`+{h(x)}Ü`=(3xÛ`-2x-1)Q(x)

의 좌변을 정리하면=-h(x)

f(x)+g(x)=-h(x)임을 이용한다.

{ f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`+{h(x)}Ü`

={ f(x)+g(x)}Ü`-3f(x)g(x){ f(x)+g(x)}+{h(x)}Ü`

={-h(x)}Ü`+3f(x)g(x)h(x)+{h(x)}Ü`

=3f(x)g(x)h(x)

즉, 3f(x)g(x)h(x)=-h(x)Q(x)이므로

Q(x) =-3f(x)g(x)

=-3(2xÛ`+x)(xÛ`-3x-1)

따라서 Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는

Q(1)=(-3)_3_(-3)=27 ③

㉡, ㉢, ㉣에서 f(x)는 x, x+3, x+6을 인수로 갖는다.

∴ f(x)=2x(x+3)(x+6)

따라서 f(x)를 xÛ`+3x=x(x+3)으로 나누었을 때의 몫은

2x+12이다. 2x+12


본문 29~31쪽

0110 aÝ`+aÛ`bÛ`-bÛ`cÛ`-cÝ`

=(aÝ`-cÝ`)+bÛ`(aÛ`-cÛ`)

=(aÛ`+cÛ`)(aÛ`-cÛ`)+bÛ`(aÛ`-cÛ`)

=(aÛ`-cÛ`)(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

=(a+c)(a-c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄹ이다. ②

0111 64xÜ`-27yß` =(4x)Ü`-(3yÛ`)Ü`

=(4x-3yÛ`){(4x)Û`+4x_3yÛ`+(3yÛ`)Û`}

=(4x-3yÛ`)(16xÛ`+12xyÛ`+9yÝ`)

따라서 64xÜ`-27yß`의 인수는 4x-3yÛ`, 16xÛ`+12xyÛ`+9yÝ`이

므로

p=12, q=9

∴ p+q=21 ⑤

0112 xÛ`-x=t로 놓으면

(xÛ`-x)Û`+2xÛ`-2x-15 =(xÛ`-x)Û`+2(xÛ`-x)-15

=tÛ`+2t-15

=(t+5)(t-3)

=(xÛ`-x+5)(xÛ`-x-3)

따라서 a=-1, b=5, c=-3 또는 a=-1, b=-3, c=5이

므로

a+b+c=1 ④

0113 (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+k

={(x-1)(x+4)}{(x+1)(x+2)}+k

=(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2)+k

이때 xÛ`+3x=t로 놓으면

(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2)+k

=(t-4)(t+2)+k

=tÛ`-2t-8+k yy`㉠

주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면

㉠이 t에 대한 완전제곱식으로 인수분해되어야 하므로

-8+k=1 ∴ k=9 ④

0114 (xÛ`-3x+2)(xÛ`-7x+12)-8

=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8

={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8

=(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)-8

이때 xÛ`-5x=t로 놓으면

(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)-8 =(t+4)(t+6)-8

=tÛ`+10t+16

=(t+2)(t+8)

=(xÛ`-5x+2)(xÛ`-5x+8)

Ú f(x)=xÛ`-5x+2, g(x)=xÛ`-5x+8일 때,

f(0)=2, g(1)=4이므로

f(0)+g(1)=6

Û f(x)=xÛ`-5x+8, g(x)=xÛ`-5x+2일 때,

f(0)=8, g(1)=-2이므로

f(0)+g(1)=6

Ú, Û에서 f(0)+g(1)=6 ③

0115 xÝ`+5xÛ`yÛ`+9yÝ` =xÝ`+6xÛ`yÛ`+9yÝ`-xÛ`yÛ`

=(xÛ`+3yÛ`)Û`-(xy)Û`

=(xÛ`+xy+3yÛ`)(xÛ`-xy+3yÛ`)

따라서 a=1, b=3 또는 a=-1, b=3이므로

aÛ`+bÛ`=10 ⑤

0116 x-1=X로 놓으면

(x-1)Ý`-20(x-1)Û`+4

=XÝ`-20XÛ`+4

=(XÝ`-4XÛ`+4)-16XÛ`

=(XÛ`-2)Û`-(4X)Û`

=(XÛ`-4X-2)(XÛ`+4X-2)

={(x-1)Û`-4(x-1)-2}{(x-1)Û`+4(x-1)-2}

=(xÛ`-6x+3)(xÛ`+2x-5)

따라서 a=-6, b=3, c=2이므로

a+b+c=-1 ③

0117 z에 대하여 내림차순으로 정리하면

xÛ`-yÛ`-zx+yz+2y-z-1

=(y-x-1)z+xÛ`-yÛ`+2y-1

=(y-x-1)z+xÛ`-(y-1)Û`

=-(x-y+1)z+(x+y-1)(x-y+1)

=(x-y+1)(x+y-z-1)

따라서 a=-1, b=-1이므로

ab=1 ①

0118 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

xÛ`+xy-6yÛ`+ax+11y-3

=xÛ`+(y+a)x-6yÛ`+11y-3

=xÛ`+(y+a)x-(3y-1)(2y-3)

주어진 다항식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면

(3y-1)-(2y-3)=y+a

∴ a=2 ④

Ⅰ. 다항식

인수분해03


0119 a에 대하여 내림차순으로 정리하면

ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

=aÛ`b-abÛ`+bÛ`c-bcÛ`+cÛ`a-caÛ`

=(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ`

=(b-c)aÛ`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)

=(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}

=(b-c)(a-b)(a-c)

=(a-b)(b-c)(a-c)

따라서 인수가 아닌 것은 ③ a+b이다. ③

참고 b 또는 c에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해해도 그 결과는

같다.

0120 [a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b]

=a(bÛ`-cÛ`)+b(cÛ`-aÛ`)+c(aÛ`-bÛ`)

a에 대하여 내림차순으로 정리하면

a(bÛ`-cÛ`)+b(cÛ`-aÛ`)+c(aÛ`-bÛ`)

=abÛ`-acÛ`+bcÛ`-baÛ`+caÛ`-cbÛ`

=(c-b)aÛ`-(cÛ`-bÛ`)a+bcÛ`-bÛ`c

=(c-b)aÛ`-(c+b)(c-b)a+bc(c-b)

=(c-b){aÛ`-(c+b)a+bc}

=(c-b)(a-b)(a-c)

=(a-b)(b-c)(c-a) (a-b)(b-c)(c-a)

0121 z에 대하여 내림차순으로 정리하면

xyz+xÛ`y-xy+x+z-1

=(xy+1)z+xÛ`y-xy+x-1

=(xy+1)z+xy(x-1)+(x-1)

=(xy+1)z+(x-1)(xy+1)

=(xy+1)(z+x-1)

이때 x+y+z=1이므로 z+x=1-y

∴ (xy+1)(z+x-1) =(xy+1)(1-y-1)

=-y(xy+1) ④

다른풀이

x+y+z=1에서 z=1-x-y이므로

xyz+xÛ`y-xy+x+z-1

=xy(1-x-y)+xÛ`y-xy+x+1-x-y-1

=xy-xÛ`y-xyÛ`+xÛ`y-xy-y

=-xyÛ`-y=-y(xy+1)

0122 f(x)=xÜ`+3xÛ`+8x+6이라 하면

f(-1)=-1+3-8+6=0

이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

-1 1 3 8 6

-1 -2 -6

1 2 6 0

∴ xÜ`+3xÛ`+8x+6=(x+1)(xÛ`+2x+6)

0123 f(x)=xÜ`+xÛ`-5x+3이라 하면

f(1)=1+1-5+3=0


1 1 1 -5 3

1 2 -3

1 2 -3 0

∴ xÜ`+xÛ`-5x+3 =(x-1)(xÛ`+2x-3)

=(x-1)Û`(x+3)

이때 직원기둥의 밑면인 원의 반지름을 r, 높이를 h라 하면 직원

기둥의 부피는

prÛ`h =(xÜ`+xÛ`-5x+3)p

=(x-1)Û`(x+3)p

이므로 r=x-1, h=x+3

따라서 직원기둥의 겉넓이는

2prÛ`+2prh

=2p(x-1)Û`+2p(x-1)(x+3)

=2(x-1){(x-1)+(x+3)}p

=2(x-1)(2x+2)p

=4(x-1)(x+1)p

=4(xÛ`-1)p ②

0124 xÝ`-xÜ`-8xÛ`+12x=x(xÜ`-xÛ`-8x+12)에서

h(x)=xÜ`-xÛ`-8x+12라 하면

h(2)=8-4-16+12=0

이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면

2 1 -1 -8 12

2 2 -12

1 1 -6 0

∴ xÜ`-xÛ`-8x+12 =(x-2)(xÛ`+x-6)

=(x-2)Û`(x+3)

즉, xÝ`-xÜ`-8xÛ`+12x=x(x-2)Û`(x+3)

이때 f(x), g(x)는 각각 이차식이고 f(-3)+0, g(0)+0이

므로 f(x)는 x+3을 인수로 갖지 않고, g(x)는 x를 인수로 갖

지 않는다. 즉,

f(x)=x(x-2), g(x)=(x-2)(x+3)

∴ g(5)=3_8=24 24

0125 f(x)=2xÝ +axÜ +bxÛ +4라 하면 f(x)가

(x-2)Û P(x)로 인수분해되므로 f(x)는 (x-2)Û`을 인수로 갖

는다. 즉,

f(2)=32+8a+4b+4=0

∴ b=-2a-9 yy`㉠

따라서 a=1, b=2, c=6이므로

a+b+c=9 ⑤

03. 인수분해 021

0127 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0에서

(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0

;2!;(a+b+c)(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)=0

;2!;(a+b+c){(aÛ`-2ab+bÛ`)+(bÛ`-2bc+cÛ`)

+(cÛ`-2ca+aÛ`)}=0

;2!;(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0

이때 a+b+c>0이므로

(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0

∴ a=b=c

즉, 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 정삼각형이다.

이때 이 정삼각형의 둘레의 길이가 12이므로

a+b+c=3a=12

∴ a=4

따라서 구하는 삼각형의 넓이는

'34 _4Û`=4'3 ②

0129 P(-1)=0, P(3)=0이므로 다음과 같이 조립제법을

이용하여 P(x)를 인수분해하면

-1 1 -8 18 0 -27

-1 9 -27 27

3 1 -9 27 -27 0

3 -18 27

1 -6 9 0

∴ P(x) =(x+1)(x-3)(xÛ`-6x+9)

=(x+1)(x-3)Ü`

∴ P(13)=14_10Ü`=14000 ③

본문 32~34쪽

0131 (x-2)Û`-3y(2x-3y-k)

=xÛ`-2(3y+2)x+9yÛ`+3ky+4 yy`㉠

이 식이 x에 대한 완전제곱식이 되려면

(3y+2)Û`=9yÛ`+3ky+4

9yÛ`+12y+4=9yÛ`+3ky+4

즉, 12=3k에서 k=4

따라서 f(x)=2xÝ`+axÜ`+(-2a-9)xÛ`+4이므로 다음과 같

이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

2 2 a -2a-9 0 4

4 2a+8 -2 -4

2 2 a+4 -1 -2 0

4 2a+16 4a+30

2 a+8 2a+15 4a+28

이때 4a+28=0에서 a=-7

이것을 ㉠에 대입하면 b=5

∴ 2xÝ`-7xÜ`+5xÛ`+4=(x-2)Û`(2xÛ`+x+1)

즉, P(x)=2xÛ`+x+1이므로 P(1)=4

∴ a+b+P(1)=-7+5+4=2 2

0128 998=x로 놓으면

998Ü`+8998_996+4 = xÜ`+2Ü`

x(x-2)+4

=(x+2)(xÛ`-2x+4)

xÛ`-2x+4

=x+2=998+2=1000 ③

0130 100=x로 놓으면

99_97_95_93+a

=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+a

={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+a

=(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+a


(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+a

=(t+7)(t+15)+a

=tÛ`+22t+105+a

=(t+11)Û`-16+a yy`㉠

주어진 등식이 성립하려면 ㉠이 완전제곱식이어야 하므로

a=16

즉,

'Ä99_97_95_93+a ="Ã(t+11)Û`=t+11

=xÛ`-8x+11

이므로 n=100Û`-8_100+11=9211

∴ a+n=16+9211=9227 ④

0126 bÝ`-aÛ`bÛ`-cÝ`-cÛ`aÛ`=0에서

(bÝ`-cÝ`)-(aÛ`bÛ`+cÛ`aÛ`)=0

(bÛ`-cÛ`)(bÛ`+cÛ`)-aÛ`(bÛ`+cÛ`)=0

(bÛ`+cÛ`)(bÛ`-cÛ`-aÛ`)=0

이때 bÛ`+cÛ`>0이므로 bÛ`-cÛ`-aÛ`=0

∴ bÛ`=aÛ`+cÛ`

따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 b인

직각삼각형이다. ④

세 변의 길이에 따른 삼각형의 모양

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라 하면

⑴ cÛ`=aÛ`+bÛ` ⇨ 직각삼각형

⑵ a=b=c ⇨ 정삼각형

⑶ a=b 또는 b=c 또는 c=a ⇨ 이등변삼각형

개념Plus


0135 x(x-1)(x-2)(x-3)-5x(x-3)-4

={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}-5x(x-3)-4

=(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)-5(xÛ`-3x)-4


(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)-5(xÛ`-3x)-4

=t(t+2)-5t-4

=tÛ`-3t-4

=(t+1)(t-4)

=(xÛ`-3x+1)(xÛ`-3x-4)

=(xÛ`-3x+1)(x+1)(x-4)

따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ④

0136 p =nÝ`-11nÛ`+25

=nÝ`-10nÛ`+25-nÛ`

=(nÛ`-5)Û`-nÛ`

=(nÛ`+n-5)(nÛ`-n-5)

이때 p는 소수이고 nÛ`-n-5<nÛ`+n-5이므로

nÛ`-n-5=1 yy`㉠

nÛ`+n-5=p yy`㉡

㉠에서 nÛ`-n-6=0

(n+2)(n-3)=0 ∴ n=3 (∵ n은 자연수)

n=3을 ㉡에 대입하면 p=7

∴ n+p=3+7=10 ④

0133 aÜ`-bÜ`+(aÛ`-bÛ`)c+ab(a-b)

=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)+c(a+b)(a-b)+ab(a-b)

=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`+ca+bc+ab)

=(a-b){(a+b)Û`+c(a+b)}

=(a-b)(a+b)(a+b+c)=221

이때 221=13_17이고 a-b<a+b<a+b+c이므로

a-b=1, a+b=13, a+b+c=17

세 식을 연립하여 풀면

a=7, b=6, c=4

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=7Û`+6Û`+4Û`=101 101

0132 { f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`

={ f(x)+g(x)}[{ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{g(x)}Û`]

=(2xÛ`-x-1)h(x)

f(x)+g(x) =(xÛ`+x)+(xÛ`-2x-1)

=2xÛ`-x-1

이므로

h(x)={ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{g(x)}Û`

이때 h(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 h(1)이고

f(1)=1+1=2, g(1)=1-2-1=-2이므로

h(1) ={ f(1)}Û`-f(1)g(1)+{g(1)}Û`

=2Û`-2_(-2)+(-2)Û`=12 ⑤

0134 P(n)=nÜ`+7nÛ`+14n+8이라 하면

P(-1)=-1+7-14+8=0

다음과 같이 조립제법을 이용하여 P(n)을 인수분해하면

-1 1 7 14`` 8

-1 -6 -8

1 6 8 0

P(n) =(n+1)(nÛ`+6n+8)

=(n+1)(n+2)(n+4)

한편, nÛ`+4n+3=(n+1)(n+3)이므로 한 변의 길이가

n+1인 정사각형 모양의 타일이 가로 방향으로

(n+2)(n+4)개, 세로 방향으로 (n+3)개 필요하다.

따라서 필요한 타일의 개수는

(n+2)(n+3)(n+4) ⑤


xÛ`-2(3y+2)x+9yÛ`+12y+4

=xÛ`-2(3y+2)x+(3y+2)Û`

={x-(3y+2)}Û`

=(x-3y-2)Û

따라서 a=1, b=-3, c=-2이므로

abc+k=1_(-3)_(-2)+4=10 ③

0137 (a+b)Û`(a-b)Û`+cÝ`=2cÛ`(aÛ`+bÛ`)에서

(a+b)Û`(a-b)Û`+cÝ`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)=0

(aÛ`-bÛ`)Û`+cÝ`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)=0

(aÛ`+bÛ`)Û`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)+cÝ`-4aÛ`bÛ`=0

(aÛ`+bÛ`-cÛ`)Û`-(2ab)Û`=0

(aÛ`+bÛ`-cÛ`+2ab)(aÛ`+bÛ`-cÛ`-2ab)=0

{(a+b)Û`-cÛ`}{(a-b)Û`-cÛ`}=0

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0

∴ a+b+c=0 또는 a+b=c 또는 a+c=b 또는 b+c=a

따라서 세 수의 합이 0이거나 두 수의 합이 나머지 한 수와 같아

야 하므로 조건을 만족시키는 순서쌍은 ㄱ, ㄷ이다. ②

←(aÛ`-bÛ`)Û`=(aÛ`+bÛ`)Û`-4aÛ`bÛ`

1 1 0 1 0 -2

1 1 2 2

2 1 1 2 2 0

2 6 16

1 3 8 18

위의 조립제법에서

nÝ`+nÛ`-2 =(n-1)(nÜ`+nÛ`+2n+2)

=(n-1){(n-2)(nÛ`+3n+8)+18}

=(n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)+18(n-1)

0138

03. 인수분해 023

0141 f(x)=xÜ`-(b+c)xÛ`-(bÛ`+cÛ`)x+(b+c)(bÛ`+cÛ`)

이라 하면 f(x)는 x-a로 나누어떨어지므로 f(a)=0

∴ f(a) =aÜ`-(b+c)aÛ`-(bÛ`+cÛ`)a+(b+c)(bÛ`+cÛ`)

=aÛ`(a-b-c)-(bÛ`+cÛ`)(a-b-c)

=(a-b-c)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)

즉, (a-b-c)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)=0이고 a-b-c+0이므로

aÛ`-bÛ`-cÛ`=0 ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`

이때 이 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이므로

b+c=17, bÛ`+cÛ`=13Û`에서

bc=;2!;{(b+c)Û`-(bÛ`+cÛ`)}=;2!;(17Û`-13Û`)=60

따라서 구하는 삼각형의 넓이는

;2!;bc=;2!;_60=30 30

0140 f(x)=xÝ`-xÜ`-3xÛ`+5x-2에서

f(1)=1-1-3+5-2=0,

f(-2)=16+8-12-10-2=0

이므로 다항식 f(x)는 x-1과 x+2를 모두 인수로 갖는다.

다항식 f(x)를 (x-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 조립제

법을 이용하여 구하면 다음과 같다.

1 1 -1 -3 5 -2

1 0 -3 2

-2 1 0 -3 2 0

-2 4 -2

1 -2 1 0

∴ f(x) =(x-1)(x+2)(xÛ`-2x+1)

=(x-1)Ü`(x+2)

이때 (n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)은 (n-1)(n-2)로 나누

어떨어지므로 nÝ`+nÛ`-2가 (n-1)(n-2)의 배수가 되려면

18(n-1)이 (n-1)(n-2)의 배수이어야 한다.

즉, 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`(k는 자연수)이므로

18=(n-2)k

k가 가장 작은 값을 가질 때 n이 가장 큰 값을 가지므로 k=1일

때 n이 가장 크다.

따라서 구하는 n의 값은 20이다. 20

0139 f(x)=2xÜ`-10xÛ`+30x-54라 하면

f(3)=54-90+90-54=0


3 2 -10 30 -54

6 -12 54

2 -4 18 0

∴ 2xÜ`-10xÛ`+30x-54 =(x-3)(2xÛ`-4x+18)

=2(x-3)(xÛ`-2x+9)

따라서 주어진 식은

n= 2xÜ`-10xÛ`+30x-54xÛ`-5x+6

=2(x-3)(xÛ`-2x+9)

(x-2)(x-3)

=2(xÛ`-2x+9)

x-2 =2{x(x-2)+9}

x-2

=2x+ 18x-2

이때 2x는 자연수이므로 n이 자연수가 되려면 18

x-2 도 자연수

이어야 한다. x>4에서 x-2>2이므로

x-2=3, 6, 9, 18 ∴ x=5, 8, 11, 20

따라서 모든 자연수 x의 값의 합은

5+8+11+20=44 ②

이때 다항식 f(x)가 x+a로 나누어떨어지므로 a의 값이 될 수

있는 것은 -1, 2이다.

또한, 다항식 f(x)를 x+a로 나누었을 때의 몫이 Q(x)이므로

Q(2a)의 값은 a의 값에 따라 다음과 같다.

Ú a=-1일 때,

f(x) =(x-1)Q(x)=(x-1)(x-1)Û`(x+2)

즉, Q(x)=(x-1)Û`(x+2)이므로

Q(2a)=Q(-2)=0

Û a=2일 때,

f(x) =(x+2)Q(x)=(x+2)(x-1)Ü`

즉, Q(x)=(x-1)Ü`이므로

Q(2a)=Q(4)=27

Ú, Û에서 Q(2a)의 값은 0, 27이므로 그 합은

0+27=27 27

0142 주어진 식의 좌변을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면

bÜ`-bÛ`c+bcÛ`-aÛ`b-cÜ`+caÛ`

=(c-b)aÛ`+bÜ`-bÛ`c+bcÛ`-cÜ`

=(c-b)aÛ`-bÛ`(c-b)-cÛ`(c-b)

=(c-b)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)

이므로 (c-b)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)=0 yy`㉠

ㄱ. a=b이면 ㉠에서 (c-b)_(-cÛ`)=0이고

-cÛ`<0이므로 c-b=0 ∴ b=c

즉, a=b=c이므로 주어진 삼각형은 정삼각형이다.

ㄴ. b>a이면 aÛ`-bÛ`-cÛ`+0이므로 ㉠에서

c-b=0 ∴ b=c

따라서 주어진 삼각형은 b=c인 이등변삼각형이다.

ㄷ. c>b이면 c-b+0이므로 ㉠에서

aÛ`-bÛ`-cÛ`=0 ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`

따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ


0143 15=x로 놓으면

15Ü`+5_15Û`+2_15-8=xÜ`+5xÛ`+2x-8

f(x)=xÜ`+5xÛ`+2x-8이라 하면

f(1)=1+5+2-8=0


1 1 5 2 -8

1 6 8

1 6 8 0

∴ xÜ`+5xÛ`+2x-8 =(x-1)(xÛ`+6x+8)

=(x-1)(x+2)(x+4)

x=15를 대입하면

15Ü`+5_15Û`+2_15-8 =(15-1)(15+2)(15+4)

=14_17_19

=2_7_17_19

∴ a+b+c+d=2+7+17+19=45 45

0146 네 블록 A, B, C, D의 부피는 각각 xÜ`, xÛ`, x, 1이므로

A블록 2개, B블록 9개, C블록 13개, D블록 6개를 모두 빈틈없

이 붙여서 만든 직육면체의 부피는

2xÜ`+9xÛ`+13x+6

f(x)=2xÜ`+9xÛ`+13x+6이라 하면

f(-1)=-2+9-13+6=0


-1 2 9 13 6

-2 -7 -6

2 7 6 0

∴ 2xÜ`+9xÛ`+13x+6 =(x+1)(2xÛ`+7x+6)

=(x+1)(x+2)(2x+3)

x>0이므로 x+1<x+2<2x+3

따라서 가장 긴 모서리의 길이는 2x+3이다. ④

본문 35쪽

0148

xÝ`+2nxÜ`+(2n+1)xÛ`+2nx+1

=xÛ`{xÛ`+2nx+2n+1+ 2nx + 1

xÛ`}

=xÛ`[{x+;[!;}Û`+2n{x+;[!;}+2n-1]

=xÛ`{x+;[!;+2n-1}{x+;[!;+1}

={xÛ`+(2n-1)x+1}(xÛ`+x+1)

즉, f(x)=xÛ`+(2n-1)x+1, g(x)=xÛ`+x+1 또는

f(x)=xÛ`+x+1, g(x)=xÛ`+(2n-1)x+1

계수가 대칭인 사차식이므로 xÛ`으로 묶어내어 인수분해한다.

0147 6=n으로 놓으면

6ß`-1 =nß`-1=(nÜ`-1)(nÜ`+1)

=(n-1)(nÛ`+n+1)(n+1)(nÛ`-n+1)

=5_43_7_31

=31_35_43

∴ a+b+c=31+35+43=109 ⑤

0144 ㄱ. 1000027 =1000000+27

=100Ü`+3Ü`

=(100+3)(100Û`-100_3+3Û`)

=103_9709

따라서 1000027은 소수가 아니다.

ㄴ. nÜ`-8=(n-2)(nÛ`+2n+4)가 소수가 되려면

n-2=1 또는 nÛ`+2n+4=1

nÛ`+2n+4=1, 즉 nÛ`+2n+3=0을 만족시키는 자연수 n

의 값은 존재하지 않으므로

n-2=1 ∴ n=3

따라서 nÜ -8이 소수가 되도록 하는 자연수 n의 값은 1개이다.

ㄷ. nÜ`+8=(n+2)(nÛ`-2n+4)에서 nÜ`+8이 소수가 되려면

n+2=1 또는 nÛ`-2n+4=1

그런데 위의 식을 만족시키는 자연수 n의 값은 존재하지 않

는다.

따라서 nÜ`+8이 소수가 되도록 하는 자연수 n의 값은 없다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

0145 xÜ`-(ab+1)x+n이 (x-1)(x+a)(x-b)의 꼴로

인수분해되려면

xÜ`-(ab+1)x+n

=(x-1)(x+a)(x-b)

=xÜ`+{(a-b)-1}xÛ`+{-ab-(a-b)}x+ab

이므로

a-b=1, n=ab

a-b=1에서 b=a-1

이것을 n=ab에 대입하면 n=a(a-1)

즉, n은 연속하는 두 자연수의 곱이어야 한다.

100 이하의 자연수 중에서 연속하는 두 자연수의 곱으로 나타낼

수 있는 수는

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90

따라서 구하는 다항식의 개수는 9이다. 9

03. 인수분해 025

0150

f(x)=2xÜ`+(a+4)xÛ`+2(a+3)x+12라 하면

f(-2)=-16+4(a+4)-4(a+3)+12=0


-2 2 a+4 2a+6 12

-4 -2a -12

2 a 6 0

∴ 2xÜ`+(a+4)xÛ`+2(a+3)x+12

=(x+2)(2xÛ`+ax+6)

이때 자연수 m, n에 대하여

2xÛ`+ax+6=(2x+m)(x+n)

이라 하면 a=m+2n, mn=6

mn=6을 만족시키는 순서쌍 (m, n)은

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)

이므로 m+2n의 값을 구해 보면 13, 8, 7, 8

따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 7, 8, 13이므로 그 합은

7+8+13=28 ③

먼저 조립제법을 이용하여 주어진 다항식을 인수분해한다.

0149

다항식 P(x)가 x-a를 인수로 가지므로 다음과 같이 조립제법

을 이용하여 P(x)를 인수분해하면

a 1 0 -290 0 b

a aÛ` aÜ`-290a aÝ`-290aÛ`

1 a aÛ`-290 aÜ`-290a aÝ`-290aÛ`+b

P(x)=(x-a){xÜ`+axÛ`+(aÛ`-290)x+aÜ`-290a}

+aÝ`-290aÛ`+b

이때 aÝ`-290aÛ`+b=0에서 b=aÛ`(290-aÛ`)

b가 자연수이므로 290-aÛ`>0, 즉 aÛ`<290

이를 만족시키는 자연수 a의 값은

1, 2, 3, y, 17 yy`㉠

Q(x)=xÜ`+axÛ`+(aÛ`-290)x+aÜ`-290a라 하면

Q(-a)=-aÜ`+aÜ`-(aÛ`-290)a+aÜ`-290a=0

이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 Q(x)를 인수분해하면

-a 1 a aÛ`-290 aÜ`-290a

-a 0 -aÜ`+290a

1 0 aÛ`-290 0

Q(x)=(x+a)(xÛ`+aÛ`-290)

∴ P(x)=(x-a)(x+a)(xÛ`+aÛ`-290)

이때 P(x)는 서로 다른 세 개의 다항식의 곱으로 인수분해되어

야 하므로 xÛ +aÛ -290이 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다

른 두 개의 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우는 제외한다.

xÛ`+aÛ`-290=xÛ`-(290-aÛ`)

에서 290-aÛ`이 제곱수인 경우는

290-aÛ`=289, 169, 121, 1

즉, a=1, 11, 13, 17이므로 ㉠에서 조건을 만족시키는 자연수

a의 값의 개수는

17-4=13

이고, 조건을 만족시키는 모든 다항식 P(x)의 개수도 13이다.

P(x)를 조립제법을 이용하여 인수분해한 후 계수와 상수항이 모두

정수인 서로 다른 세 개의 다항식의 곱이 되도록 하는 자연수 a의 값

을 구한다.

b=aÛ`(290-aÛ`)=-(aÛ`-145)Û`+145Û`

이고 a가 자연수이므로 a=12일 때 b는 최댓값

12Û`_(290-12Û`)을 갖는다.

따라서 p=13, q=12Û`_(290-12Û`)이므로

q(p-1)Û`

=12Û`_(290-12Û`)

(13-1)Û`

=290-144=146 146

계수가 대칭인 사차식의 인수분해

Ú 가운데 항이 상수가 되도록 xÛ`으로 묶어낸다.

Û xÛ`+ 1xÛ`

={x+;[!;}Û`-2={x-;[!;}Û`+2임을 이용하여 x+;[!; 또

는 x-;[!;에 대한 이차식으로 정리하여 인수분해한다.

Ü 각 인수에 x를 곱하여 다항식이 되도록 한다.

개념Plus

따라서 P(n)=2n-1+1=2n이므로

P(3)+P(4)+P(5)+ y +P(10)

=6+8+10+ y +20=104 104


본문 39~41쪽

0151 z=1+'2i

3 에서 3z-1='2i

양변을 제곱하면 9zÛ`-6z+1=-2

9zÛ`-6z=-3 ∴ 3zÛ`-2z=-1

∴ 6zÛ`-4z+1 =2(3zÛ`-2z)+1

=2_(-1)+1=-1 -1

0152 a= 1+i2i 에서 aÛ`= 2i

-4 =- i2

b= 1-i2i 에서 bÛ`= -2i

-4 = i2

∴ (2aÛ`+3)(2bÛ`+3)=(-i+3)(i+3)=10 ②

다른풀이

a+b= 1+i2i + 1-i

2i = 22i = 1

i =-i

ab= 1+i2i _ 1-i

2i = 2-4 =-;2!;

이므로

aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-i)Û`-2_{-;2!;}=0

∴ (2aÛ`+3)(2bÛ`+3)=4aÛ`bÛ`+6aÛ`+6bÛ`+9

=4aÛ`bÛ`+6(aÛ`+bÛ`)+9

=4_{-;2!;}Û`+6_0+9=10

0153 f(3, 1)= 3+i3-i , f(6, 2)= 6+2i

6-2i = 3+i3-i ,

f(9, 3)= 9+3i9-3i = 3+i

3-i , y, f(30, 10)= 30+10i30-10i = 3+i

3-i

이때 3+i3-i =

(3+i)Û`(3-i)(3+i)

= 4+3i5 이므로

f(3, 1)+f(6, 2)+f(9, 3)+`y`+f(30, 10)

=10_ 4+3i5 =8+6i 8+6i

다른풀이

f(a, b)= a+bia-bi 에서 a=3b`(ab+0)이면

f(3b, b)= 3b+bi3b-bi = 3+i

3-i = 4+3i5 이므로

f(3, 1)=f(6, 2)=f(9, 3)=`y`=f(30, 10)= 4+3i5

∴ f(3, 1)+f(6, 2)+f(9, 3)+`y`+f(30, 10)

=10_ 4+3i5 =8+6i

0154 z =(1+2i)a-3a+6-4i

=(-2a+6)+(2a-4)i

이 복소수가 순허수가 되려면

-2a+6=0, 2a-4+0 ∴ a=3

∴ a=3

a=3을 z=(-2a+6)+(2a-4)i에 대입하면

b=2i

∴ a-bÛ`=3-(2i)Û`=3-(-4)=7 7

0155 z =(1+i)xÛ`-(2+i)x-3(1+2i)

=(xÛ`-2x-3)+(xÛ`-x-6)i

이 복소수가 0이 아닌 실수가 되려면

xÛ`-2x-3+0, xÛ`-x-6=0

xÛ`-2x-3+0에서 (x+1)(x-3)+0

∴ x+-1, x+3 yy`㉠

xÛ`-x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 x=-2 ①

0156 z =(3+ai)(2-i)

=(a+6)+(2a-3)i

zÛ`이 양의 실수가 되려면 z는 0이 아닌 실수이어야 하므로

a+6+0, 2a-3=0

∴ a=;2#; ④

0157 z =(a+3i)(1-2i)+a(i-a)

=(-aÛ`+a+6)+(-a+3)i

zÛ`이 음의 실수가 되려면 z는 순허수이어야 하므로

-aÛ`+a+6=0, -a+3+0

-aÛ`+a+6=0에서

aÛ`-a-6=0, (a+2)(a-3)=0

∴ a=-2 또는 a=3 yy`㉠

-a+3+0에서 a+3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 a=-2 -2

0158 x1+i + y

1-i =x(1-i)+y(1+i)

(1+i)(1-i)

=(x+y)+(-x+y)i

2

즉, (x+y)+(-x+y)i

2 =4+3i이므로

(x+y)+(-x+y)i=8+6i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

x+y=8, -x+y=6


x=1, y=7

∴ xÛ`+yÛ`=50 50

Ⅱ. 방정식과 부등식

복소수04

04. 복소수 027

0159 (2x+i)(1+2i)-y(1+3i)=2-5iÓ에서

(2x-y-2)+(4x-3y+1)i=2+5i


2x-y-2=2, 4x-3y+1=5


x=4, y=4

∴ x+y=8 ⑤

0160 (3+2i)xÛ`-5(2y+i)x=8+12i에서

(3xÛ`-10xy)+(2xÛ`-5x)i=8+12i


3xÛ`-10xy=8, 2xÛ`-5x=12

2xÛ`-5x=12에서 2xÛ`-5x-12=0

(2x+3)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x는 정수)

x=4를 3xÛ`-10xy=8에 대입하면

48-40y=8 ∴ y=1

∴ x+y=4+1=5 ⑤

0161 a+bi= x+2ix-2i =

(x+2i)Û`(x-2i)(x+2i)

= xÛ`-4xÛ`+4

+ 4xxÛ`+4

i


a= xÛ`-4xÛ`+4

, b= 4xxÛ`+4

∴ aÛ`+bÛ`={ xÛ`-4xÛ`+4

}Û`+{ 4xxÛ`+4

}Û`

= xÝ`+8xÛ`+16(xÛ`+4)Û`

=(xÛ`+4)Û`(xÛ`+4)Û`

=1 1

0162 aa®+a®b+ab®+bb® =a®(a+b)+b®(a+b)

=(a+b)(a®+b®)

=(a+b)(a+bÓ)

이때 a=-4+i, b=3+2i이므로

a+b=-1+3i, a+bÓ=-1-3i

∴ aa®+a®b+ab®+bb® =(a+b)(a+bÓ)

=(-1+3i)(-1-3i)

=10 ④

0163 aa®=4, bb®=4에서 a= 4a®

, b= 4b®

이를 a+b=10i에 대입하면 4a®

+ 4b®

=10i

4(a®+b®)a® b®

=10i, 4(a+bÓ)abÓ

=10i

즉, 4(a+bÓ)=10iabÕ에서

4_(-10i)=10iabÕ, abÕ=-4

0164 z=a+bi`(a+0, b+0)에 대하여 iz=z®이므로

i(a+bi)=a-bi

즉, -b+ai=a-bi에서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

a=-b

∴ z=-b+bi

ㄱ. z+z®=(-b+bi)+(-b-bi)=-2b

ㄴ. i z ® =i(-b-bi)=b-bi

=-(-b+bi)=-z

ㄷ. z®z + z

z®= zÛ`+z® Û`

zz®=

(-b+bi)Û`+(-b-bi)Û`(-b+bi)(-b-bi)

= -2bÛ`i+2bÛ`i2bÛ`

=0


다른풀이

ㄴ. iz=z®의 양변에 i를 곱하면

i Û`z=i z®, -z=i z®

∴ i z®=-z

ㄷ. ㄴ에서 i z®=-z이므로

(i z®)Û`=(-z)Û` ∴ -z® Û`=zÛ`

∴ z®z + z

z®= z® Û`+zÛ`

zz®= z® Û`+(-z® Û`)

zz®=0

0165 z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi이므로

(3+i)z+2i z®=-1+3i에서

(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)=-1+3i

∴ (3a+b)+(3a+3b)i=-1+3i


3a+b=-1, 3a+3b=3


a=-1, b=2

∴ z=-1+2i ③

0166 z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi이므로

z+z®=8에서 (a+bi)+(a-bi)=8

2a=8 ∴ a=4

zz®=25, a=4에서 (4+bi)(4-bi)=25

16+bÛ`=25, bÛ`=9 ∴ b=Ñ3

∴ z=4Ñ3i 4Ñ3i

∴ ab=-4

∴ 2a+ 2

b= 2(a+b)ab = 2_10i

-4 =-5i -5i

0167 음이 아닌 정수 k에 대하여

i 4k+1=i, i 4k+2=-1, i 4k+3=-i, i 4k+4=1이므로


0168 음이 아닌 정수 k에 대하여

i 4k+1=i, i 4k+2=-1, i 4k+3=-i, i 4k+4=1이므로

1i + 2

i Û`+ 3

i Ü`+`y`+ 2019

i 2019

=(-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)

+`y`+(-2013i-2014+2015i+2016)

+(-2017i-2018+2019i)

=504(2+2i)-2018+2i

=-1010+1010i ③

0169 z= 1+i'2 i 에서

zÛ`={ 1+i'2 i }

Û`= 2i-2 =-i

zÝ`=(zÛ`)Û`=(-i)Û`=-1

∴ z¡`=(-1)Û`=1

따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 8이다. ④

0170 1-i1+i =

(1-i)Û`(1+i)(1-i)

= -2i2 =-i,

1+i1-i =

(1+i)Û`(1-i)(1+i)

= 2i2 =i이므로

f(n)={ 1-i1+i }

4n

+{ 1+i1-i }

2n

=(-i)4n+i 2n

=1+(-1)n

=[ 0 (n은 홀수)

2 (n은 짝수)

∴ f(1)+f(2)+f(3)+`y`+f(100)

=0+2+0+2+`y`+0+2

=2_50=100 100

0171 '5 'Ä-20+'¶-2 '¶-8- '2�7'Ä-3

+ 'Ä-72'Ä-2

='5_2'5i+'2i_2'2i- 3'3'3i + 6'2i

'2i=10i-4+3i+6

=2+13i=a+bi

따라서 a=2, b=13이므로 a+b=15 15

0172 a+0, b+0이고 'a'b =-®;bA;이므로

a>0, b<0

① 'a'b='a�b② -a<0, -b>0이므로 '¶-a '¶-b='a�b③ a>0, bÛ`>0이므로

"�abÛ`='a"ÅbÛ`=|b|'a=-b'a④ aÛ`>0, b<0이므로

"�aÛ`b="ÅaÛ`'b=|a|'b=a'b

⑤ a>0, b<0이므로 ®;aB;= 'b'a따라서 항상 옳은 것은 ④이다. ④

0173 0<a<b에서 a-b<0, b-a>0이므로

¾ a-bb-a -'Äb-a 'Äa-b+

'Äb-a'Äa-b

=¾ a-bb-a -"Ã(b-a)(a-b)-¾ b-a

a-b

='¶-1-"Ã-(b-a)Û`-'¶-1

=i-(b-a)i-i

=(a-b)i ①

본문 42~44쪽

0174 zÛ`=1-3i에서 zÛ`-1=-3i

양변을 제곱하면 zÝ`-2zÛ`+1=-9

∴ zÝ`-2zÛ`+10=0

이 식의 양변을 z로 나누면

zÜ`-2z+ 10z =0

∴ zÝ`+zÜ`-5zÛ`-2z+ 10z

=(zÝ`-2zÛ`+10)+{zÜ`-2z+ 10z }-3(zÛ`-1)-13

=-3_(-3i)-13

=-13+9i ③

0175 조건 ㈎의 식의 양변에 i를 곱하면

-(zªÛ`-zÁÛ`)=2izÁzª

zªÛ`-zÁÛ`+2izÁzª=0, zªÛ`+2_zª_izÁ+(izÁ)Û`=0

(zª+izÁ)Û`=0 ∴ zª=-izÁ

∴ zª=-i(a+bi)=b-ai, zªÕ=b+ai

zÁ, zªÕ를 조건 ㈏의 식에 대입하면

a+bi-2(b+ai)=2b+5i

(a-2b)+(b-2a)i=2b+5i


a-2b=2b, b-2a=5

i+2i Û`+3i Ü`+`y`+50i Þ`â`

=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)

� +`y`+(45i-46-47i+48)+(49i-50)

=(2-2i)+(2-2i)+`y`+(2-2i)+(49i-50)

=12(2-2i)+49i-50

=-26+25i=a+bi


a+b=-1 -1

04. 복소수 029


a=-:ª7¼:, b=-;7%;

따라서 zÁ=-:ª7¼:-;7%; i, zª=-;7%;+:ª7¼: i이므로

zÁ+zª=-:ª7°:+:Á7°: i -:ª7°:+:Á7°: i

0176 z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면

zÛ`+zi=zz®+z® Û`에서

(a+bi)Û`+(a+bi)i=(a+bi)(a-bi)+(a-bi)Û` aÛ`-bÛ`+2abi+ai-b=aÛ`+bÛ`+aÛ`-bÛ`-2abi

∴ (aÛ`+bÛ`+b)-(a+4ab)i=0


[ aÛ`+bÛ`+b=0 yy`㉠

a+4ab=0 yy`㉡

㉡에서 a(1+4b)=0 ∴ a=0 또는 b=-;4!;

Ú a=0일 때,

a=0을 ㉠에 대입하면 bÛ`+b=0

b(b+1)=0 ∴ b=0 또는 b=-1

∴ z=-i (∵ z+0)

Û b=-;4!;일 때,

b=-;4!; 을 ㉠에 대입하면 aÛ`+;1Á6;-;4!;=0

aÛ`=;1£6; ∴ a=-'34 또는 a=

'34

∴ z=-'34 -;4!; i 또는 z=

'34 -;4!; i

Ú, Û에서 구하는 곱은

(-i){- '34 -;4!; i}{ '34 -;4!; i}= i4 ;4I;

0177 조건 ㈏에서

1a+ 1b=- 1

c ∴ a+bab =- 1

c조건 ㈎에서 a+b=-c이므로 위의 식에 대입하면

-cab =- 1

c � � � ∴ ab=cÛ` yy`㉠

같은 방법으로

bc=aÛ` yy`㉡

또, 조건 ㈏에서 ab+bc+caabc =0이므로

ab+bc+ca=0

이 식에 ㉠, ㉡을 대입하면 cÛ`+ac+aÛ`=0 yy`㉢

㉢의 양변을 aÛ`으로 나누면

{ ca }Û`+ ca+1=0

∴ ca=

-1+'3i2 또는

ca=

-1-'3i2

한편, ㉡에서 ab= ca이므로

{ ab }Ó={ ca }

Ó

∴ ca+{ ab }

Ó= ca+{ ca }Ó=-1 ②

0178 z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 조건 ㈏에서

zÛ`+z® Û`=(a+bi)Û`+(a-bi)Û`=2(aÛ`-bÛ`)<0

∴ aÛ`<bÛ`조건 ㈎에서 a=2x-3, b=7-2x이므로

(2x-3)Û`<(7-2x)Û`

4xÛ`-12x+9<49-28x+4xÛ`

16x<40 ∴ x<;2%;

따라서 구하는 자연수 x는 1, 2의 2개이다. ②

0179 z¼=0, zn+1=znÕ-1+i이므로

zÁ=-1+i

zª=zÁÕ-1+i=(-1-i)-1+i=-2

z£=zªÕ-1+i=(-2)-1+i=-3+i

z¢=z£Õ-1+i=(-3-i)-1+i=-4

z°=z¢Õ-1+i=(-4)-1+i=-5+i

⋮

이와 같이 계속되므로

Ú n이 홀수일 때,

zn=-n+i이므로 znznÕ=(-n+i)(-n-i)=nÛ`+1`

Û n이 짝수일 때,

zn=-n이므로 znznÕ=(-n)_(-n)=nÛ`

이때 zmzmÕ=170에서 170은 어떤 자연수의 제곱수가 아니므로

m은 홀수이고

zmzmÕ=170=mÛ`+1 (∵ Ú)

mÛ`=169 ∴ m=13 (∵ m은 자연수) 13

0180 a=a+bi, b=c+di`(a, b, c, d는 실수)라 하면

aa®=25에서 aÛ`+bÛ`=25 yy`㉠

bb®=13에서 cÛ`+dÛ`=13 yy`㉡

a+b®=2i에서 a+bi+(c-di)=2i

∴ (a+c)+(b-d)i=2i


[ a+c=0 ∴ c=-a yy`㉢

b-d=2 yy`㉣

㉠-㉡을 하면 aÛ`-cÛ`+bÛ`-dÛ`=12이므로

aÛ`-cÛ`+bÛ`-dÛ` =aÛ`-(-a)Û`+bÛ`-dÛ` (∵ ㉢)

=bÛ`-dÛ`

=(b-d)(b+d)

=2(b+d)=12 (∵ ㉣)


0182 f(n)=i n- 2(-i)Ç`

ㄱ. f(1)=i- 2-i =i-2i=-i

f(3)=i Ü`- 2(-i)Ü`

=-i+2i=i

∴ f(1)f(3)=(-i)_i=1

ㄴ. 음이 아닌 정수 k에 대하여 i n=i n+4k, (-i)n=(-i)n+4k

이므로

f(n)=f(n+4k) yy`㉠

㉠에 n=100-2k`(k=1, 2, 3, y, 49)를 대입하면

f(100-2k)=f(100+2k)

ㄷ. f(1)=-i, f(2)=i Û`- 2(-i)Û`

=-1+2=1,

f(3)=i, f(4)=i Ý`- 2(-i)Ý`

=1-2=-1이므로

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(-i)+1+i+(-1)=0

이때 999=4_249+3이고 ㉠이 성립하므로

0181 x=c+di, y=e+fi`(c, d, e, f 는 실수)라 하면

a+b=xz+yz®에서

a+b =(c+di)(a+bi)+(e+fi)(a-bi)

=(ac-bd+ae+bf)+(ad+bc+af-be)i

=a(c+e)+b( f-d)+{a(d+f)+b(c-e)}i


[ a+b=a(c+e)+b( f-d)

0=a(d+f)+b(c-e)

이때 a, b는 임의의 실수이므로

[ c+e=1, c-e=0 yy`㉠

f-d=1, d+f=0 yy`㉡

㉠의 두 식을 연립하여 풀면 c=;2!;, e=;2!;

㉡의 두 식을 연립하여 풀면 d=-;2!;, f=;2!;

∴ x=;2!;-;2!;i, y=;2!;+;2!;i

∴ xÛ`+yÛ`={;2!;-;2!;i} Û`+{;2!;+;2!;i}Û`=0 0

0183 z= 1-i'2 에서 zÛ`={ 1-i

'2 }Û`= 1-2i-1

2 =-i,

zÝ`=(zÛ`)Û`=(-i)Û`=-1이므로

z4n+1=(zÝ`)n_z=(-1)n_z (단, n은 자연수)

한편, z® Û`={ 1+i'2 }

Û`= 1+2i-12 =i,

z® Ü`=z® Û`_z®=i_ 1+i'2 = -1+i

'2 ,

z® Ý`=(z® Û`)Û`=i Û`=-1이므로

z® 4m+3

=(z® 4)m_z® Ü`=(-1)m_z® Ü` (단, m은 자연수)

∴ z-z® Ü`+zÞ`-z® à`+zá`-z® Ú`Ú`+`y`+z97-z® 99

=(z-z® Ü`)+(-z+z® Ü`)+(z-z® Ü`)+(-z+z® Ü`) +`y`+(z-z® Ü`)+(-z+z® Ü`)+(z-z® Ü`)

=z-z® Ü`

= 1-i'2 - -1+i

'2 = 2-2i'2 ='2-'2i ①

0184 두 복소수 a, b를 a=1-'3i, b=-1+'3i라 하면

(1-'3i)n=2m(-1+'3i), 즉 an=2mb를 만족시키는 자연

수 m, n의 순서쌍 (m, n)을 찾아야 한다.

n=1, 2, 3, y일 때 an을 구해 보면

aÚ`=1-'3iaÛ`=(1-'3i)Û`=2(-1-'3i)aÜ`=aÛà=2(-1-'3i)(1-'3i)=-8=2Û`_(-2)

aÝ`=aÜà=-8(1-'3i)=2Ü`(-1+'3i)=2Ü`baÞ`=aÝà=2Ü`(-1+'3i)(1-'3i)=2Ý`(1+'3i)aß`=aÞà=2Ý`(1+'3i)(1-'3i)=64=2Þ`_2

aà`=aßà=2Þ`_2(1-'3i)=2ßàa¡`=aàà=2ßàÛ` ⋮

즉, a6k+1=26k_a`(k는 음이 아닌 정수)이고 aÝ`=2Ü`b이므로

an=2mb를 만족시키는 자연수 m, n의 순서쌍 (m, n)은

(3, 4), (3+6, 4+6), (3+12, 4+12), y

이때 m, n은 모두 100 이하의 자연수이므로

(m, n)=(3, 4), (9, 10), (15, 16), y, (93, 94), (99, 100)

따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 17이다. 17

0185 a= '3+i2 에서

aÛ`={ '3+i2 }Û`= 3+2'3i-1

4 =1+'3i

2 =b

∴ am_bn=am_(aÛ`)n=am+2n

f(1)+f(2)+f(3)+`y`+f(999)

=0+0+0+`y`+0+f(997)+f(998)+f(999)

=f(1)+f(2)+f(3)=-i+1+i=1


249개

( | { | 9

∴ b+d=6 yy`㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면 b=4, d=2

b=4를 ㉠에 대입하면

aÛ`+4Û`=25 ∴ aÛ`=9

∴ a-b�=(a+bi)-(c+di)

=(a-c)+(b-d)i=2a+2i

∴ (a-b)Û`(a-bÓ)Û` =(2a+2i)Û`(2a-2i)Û`

={(2a+2i)(2a-2i)}Û`

=(4aÛ`+4)Û`=(36+4)Û`=1600

1600

04. 복소수 031

0186 1+i1-i =

(1+i)Û`(1-i)(1+i)

= 2i2 =i

1-i1+i =

(1-i)Û`(1+i)(1-i)

= -2i2 =-i

이때 i Û`=-1, i Ü`=-i, i Ý`=1이므로 k, s가 자연수일 때,

{ 1+i1-i }

m

=

(\{\9

i

-1

-i

1

(m=4k-3)

(m=4k-2)

(m=4k-1)

(m=4k)

{ 1-i1+i }

n

=

(\{\9

-i

-1

i

1

(n=4s-3)

(n=4s-2)

(n=4s-1)

(n=4s)

즉, { 1+i1-i }

m

+{ 1-i1+i }

n

이 허수가 되는 경우는 다음과 같다.

Ú m=4k-3일 때,

n=4s-2 또는 n=4s-1 또는 n=4s

Û m=4k-2일 때,

n=4s-3 또는 n=4s-1

Ü m=4k-1일 때,

n=4s-3 또는 n=4s-2 또는 n=4s

Ý m=4k일 때,

n=4s-3 또는 n=4s-1

따라서 구하는 20 이하의 두 자연수 m, n의 순서쌍 (m, n)의

개수는

5_(15+10+15+10)=250 250

0187 a-b>b-c에서 a+c>2b, a+b+c>3b

b-c>c-a에서 a+b>2c, a+b+c>3c

a-b>c-a에서 2a>b+c, 3a>a+b+c

즉, a>b, a>c이고 b와 c의 대소 관계는 알 수 없다.

ㄱ. b-c<0인 경우에는 성립하지만 b-c>0인 경우에는 성립

하지 않는다.

ㄴ. c-a<0이고 b-a<0이므로

"Ã(b-a)Û`(c-a) =|b-a|"Ã-(a-c)

=(a-b)'Äa-ci

0188 z가 허수이므로 z=a+bi`(a, b는 실수, b+0)라 하면

z®+ 1z®

=a-bi+ 1a-bi

=a-bi+ a+bi(a-bi)(a+bi)

=a-bi+ a+biaÛ`+bÛ`

=a-bi+ aaÛ`+bÛ`

+ biaÛ`+bÛ`

=a{1+ 1aÛ`+bÛ`

}+b{-1+ 1aÛ`+bÛ`

}i yy`㉠

z®+ 1z®

이 실수이므로 b{-1+ 1aÛ`+bÛ`

}=0

이때 b+0이므로 -1+ 1aÛ`+bÛ`

=0

∴ aÛ`+bÛ`=1 yy`㉡


z®+ 1z®

=a{1+;1!;}+b_0i=2a

∴ (z-1)(z®-1)+z®+ 1z®

=zz®-(z+z®)+1+z®+ 1z®

=(a+bi)(a-bi)-(a+bi+a-bi)+1+2a

=aÛ`+bÛ`-2a+1+2a

=aÛ`+bÛ`+1=2 (∵ ㉡) 2

0189 1i + 3

i Û`+ 5

i Ü`+`y`+ 2n-1

i Ç`

={ 1i -;1#;- 5

i +;1&;}+{ 9i -:Á1Á:- 13

i +:Á1°:}

+{ 17i -:ÁÁ1»:- 21

i +:ª1£:}+`y`+ 2n-1i Ç`

=(4+4i)+(4+4i)+(4+4i)+`y`+ 2n-1i Ç`

이때 48+48i=12(4+4i)이므로

n=12_4=48 48

0190 w=a+bi`(a, b는 실수, b+0)라 하면

z+wÕ=0에서 z=-wÕ

∴ z=-(a-bi)=-a+bi

ㄱ. wÕ-z=(a-bi)-(-a+bi)=2a-2bi

이때 b+0이므로 wÕ-z는 허수이다.

ㄴ. i á`(z+w)=i á`(-a+bi+a+bi)=i_2bi=-2b

즉, i á`(z+w)는 실수이다.

또, aÜ`={ '3+i2 }Ü`=i이므로

a12=(aÜ`)Ý`=i Ý`=1

∴ aÜ`=a12_aÜ`=a24_aÜ`=a36_aÜ`=`y`=i

따라서 am+2n=i를 만족시키는 m+2n의 값이 될 수 있는 수는

3, 15, 27, 39, y

그런데 m, n은 모두 10 이하의 자연수이므로

m+2nÉ30

따라서 구하는 최댓값은 27이다. 27

ㄷ. a-c>0이므로 ¾ b-ca-c =

'Äb-c'Äa-c

따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. ②


0192

1Ü`=1, (-1)Ü`=-1, i Ü`=-i, (-i)Ü`=i이고 i Ü`+(-i)Ü`=0

이므로 xÁÜ`+xªÜ`+x£Ü`+x¢Ü`의 값이 실수가 되려면 네 수 xÁ, xª,

x£, x¢가 모두 1 또는 -1이거나 네 수 중 두 수가 각각 i, -i이

고 나머지 두 수는 1 또는 -1이거나 네 수 중 두 수는 i, 나머지

두 수는 -i이어야 한다.

xÁÜ`+xªÜ`+x£Ü`+x¢Ü`의 값이 실수인 경우를 나누어 생각한다.

0193

z=-1-'3i

2 에서 2z+1='3i

양변을 제곱하면

4zÛ`+4z+1=-3 ∴ zÛ`+z+1=0

또, z®=-1-'3i

2 에서 2z®+1=-'3i


4z® Û`+4z®+1=-3 ∴ z® Û`+z®+1=0

즉, z+zÛ`+zÜ`=0, z®+z® Û`+z® Ü`=0

음이 아닌 정수 k에 대하여

Ú n=3k+1일 때,

f(n)

=n_{(z+zÛ`+zÜ`)+`y`+(zn-3+zn-2+zn-1)+zn}

_{(z®+z® Û`+z® Ü`)+`y`+(z® n-3

+z® n-2

+z® n-1

)+z® n}

=nzn z® n=n(zz®)n=n_1n=n

Û n=3k+2일 때,

f(n)

=n_{(z+zÛ`+zÜ`)+`y� +(zn-4+zn-3+zn-2)+zn-1+zn}

_{(z®+z® Û`+z® Ü`)+`y� +(z®

n-4+z®

n-3+z®

n-2)+z®

n-1+z®

n}

=n(zn-1+zn)(z® n-1

+z® n)

=n_zn-1(1+z)_z® n-1

(1+z® )

=nzn-1 z® n-1

(1+z)(1+z®)

=n(zz®)n-1(1+z+z®+zz®)

=n_1n-1_(1-1+1)=n

n=3k, n=3k+1, n=3k+2일 때로 나누어 f(n)을 구한다.

ㄷ. z®w =(-a-bi)(a+bi)=-aÛ`-2abi+bÛ` =(bÛ`-aÛ`)-2abi

그런데 a=0이면 z®w는 실수이므로 항상 허수인 것은 아니다.

ㄹ. 1z + 1

w = 1-a+bi + 1

a+bi = -a-biaÛ`+bÛ`

+ a-biaÛ`+bÛ`

= -2baÛ`+bÛ`

i

이때 b+0이므로 1z + 1

w 은 허수이다.

따라서 항상 허수인 것은 ㄱ, ㄹ이다. ②

본문 45쪽

0191

ab50+aÛ`b49+aÜ`b48+aÝ`b47+`y`+a49bÛ`+a50b

=b51[ ab+{ ab }2

+{ ab }3

+`y`+{ ab }50

] yy`㉠

이때 b= '22 +'22 i에서

bÛ`={ '22 +'22 i}Û`=i이므로

bÝ`=(bÛ`)Û`=i Û`=-1, b¡`=(bÝ`)Û`=(-1)Û`=1

∴ b51=b8_6+3=(b¡`)ß`_bÜ`=bÜ`

또, ab=

'22 -

'22 i

'22 +

'22 i

= 1-i1+i =

(1-i)Û`(1+i)(1-i)

=-i

따라서 ㉠에서

ab50+a2b49+a3b48+a4b47+`y`+a49b2+a50b

=bÜ`{(-i)+(-i)Û`+(-i)Ü`+`y`+(-i)50}

=ib{(-i)+(-1)+i+1+`y`+(-i)+(-1)}

=ib(-1-i)

=i_{ '22 +'22 i}_(-1-i)='2 ④

b51을 공통인수로 묶어내어 식을 변형한다.

Ú xÁ, xª, x£, x¢가 모두 1 또는 -1인 경우

1Þ`â`=(-1)Þ`â`=1이므로

xÁÞ`â`+xªÞ`â`+x£Þ`â`+x¢Þ`â`=1+1+1+1=4

Û xÁ, xª, x£, x¢ 중 두 수가 각각 i, -i이고 나머지 두 수는 1

또는 -1인 경우

1Þ`â`=(-1)Þ`â`=1, i Þ`â`=(iÝ`)12_i Û`=i Û`=-1,

(-i)Þ`â`={(-i)Ý`}12_(-i)Û`=i Û`=-1이므로

xÁÞ`â`+xªÞ`â`+x£Þ`â`+x¢Þ`â`=1+1+(-1)+(-1)=0

Ü xÁ, xª, x£, x¢ 중 두 수는 i이고 나머지 두 수는 -i인 경우

i Þ`â`=(-i)Þ`â`=-1이므로

xÁÞ`â`+xªÞ`â`+x£Þ`â`+x¢Þ`â`=-1-1-1-1=-4

Ú, Û, Ü에서 xÁÞ`â`+xªÞ`â`+x£Þ`â`+x¢Þ`â`의 값이 될 수 있는 수는

-4, 0, 4의 3개이다. 3

04. 복소수 033

Ü n=3k+3일 때,

f(n)=n_{(z+zÛ`+zÜ`)+`y`+(zn-2+zn-1+zn)}

_{(z®+z® Û`+z® Ü`)+`y`+(z® n-2

+z® n-1

+z® n)}

=0

ㄱ. 4=3_1+1이므로 Ú에 의하여 f(4)=4

ㄴ. m이 자연수이면 Ü에 의하여 f(3m)=0

ㄷ. m=3k+1일 때 Ú, Û에 의하여

f(m)+f(m+1)=m+(m+1)=6k+3

이때 6k+3=99이면 k=16, m=49

m=3k+2일 때 Û, Ü에 의하여

f(m)+f(m+1)=m+0=3k+2

이때 3k+2=99를 만족시키는 음이 아닌 정수 k는 존재하

지 않는다.

m=3k+3일 때 Ú, Ü에 의하여

f(m)+f(m+1)=0+m+1=3k+4

이때 3k+4=99를 만족시키는 음이 아닌 정수 k는 존재하

지 않는다.

즉, f(m)+f(m+1)=99인 자연수 m의 값은 49의 1개

이다.


본문 47~51쪽

0194 -2(x+1)Û`=xÛ`+5x-5에서

-2xÛ`-4x-2=xÛ`+5x-5, 3xÛ`+9x-3=0

xÛ`+3x-1=0

∴ x=-3Ñ"Ã3Û`-4_1_(-1)

2 = -3Ñ'¶132 ①

0195 이차방정식 xÛ`+(-a+1)x-6a=0의 한 근이 -3이

므로

(-3)Û`+(-a+1)_(-3)-6a=0, -3a+6=0

∴ a=2

이차방정식 kxÛ -(k+3)x-k+2=0의 한 근이 a, 즉 2이므로

k_2Û`-(k+3)_2-k+2=0, k-4=0

∴ k=4

∴ a+k=2+4=6 6

0196 이차방정식 kxÛ`+(a+1)x+2(2k-1)b=0이

x=-4를 근으로 가지므로

k_(-4)Û`+(a+1)_(-4)+2(2k-1)b=0

∴ (16+4b)k-4a-2b-4=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

16+4b=0, -4a-2b-4=0


a=1, b=-4

∴ ab=-4 -4

0197 처음 토지의 한 변의 길이를 x`m라 하면 길을 제외한

토지의 넓이는 (x-2)(x-3)`mÛ`이다.

길을 제외한 토지의 넓이가 처음 토지의 넓이의 ;8%;이므로

(x-2)(x-3)=;8%;xÛ`, 8(x-2)(x-3)=5xÛ`

3xÛ`-40x+48=0, (3x-4)(x-12)=0

∴ x=;3$; 또는 x=12

이때 x-2>0, x-3>0에서 x>3이므로

x=12

따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 12`m이므로 그 넓이는

12_12=144(mÛ`) ②


이차방정식05


0199 "Ã(x-2)Û`+6=xÛ`+"ÃxÛ`+2에서

|x-2|+6=xÛ`+|x|+2

Ú x<0일 때, -(x-2)+6=xÛ`-x+2, xÛ`=6

∴ x=-'6 또는 x='6 그런데 x<0이므로 x=-'6Û 0Éx<2일 때, -(x-2)+6=xÛ +x+2, xÛ +2x-6=0

∴ x=-1Ñ"Ã1Û`-1_(-6)

1 =-1Ñ'7

그런데 0Éx<2이므로 x=-1+'7Ü x¾2일 때, (x-2)+6=xÛ`+x+2, xÛ`=2

∴ x=-'2 또는 x='2 그런데 x¾2이므로 해는 없다.

Ú, Û, Ü에서 방정식 "Ã(x-2)Û`+6=xÛ`+"ÃxÛ`+2의 근은

x=-'6 또는 x=-1+'7 ①

0200 xÛ`-6x-[x]=0에서

Ú 6Éx<7일 때, [x]=6이므로

xÛ`-6x-6=0

∴ x=3Ñ"Ã(-3)Û`-1_(-6)

1 =3Ñ'¶15

그런데 6Éx<7이므로 x=3+'¶15Û 7Éx<8일 때, [x]=7이므로

xÛ`-6x-7=0, (x+1)(x-7)=0

∴ x=-1 또는 x=7

그런데 7Éx<8이므로 x=7

Ú, Û에서 방정식 xÛ`-6x-[x]=0의 근은

x=3+'¶15 또는 x=7 x=3+'1�5 또는 x=7

0198 xÛ`-|5x-3|-3=0에서

Ú x¾;5#;일 때, xÛ`-(5x-3)-3=0

xÛ`-5x=0, x(x-5)=0

∴ x=0 또는 x=5

그런데 x¾;5#;이므로 x=5

Û x<;5#;일 때, xÛ`+(5x-3)-3=0

xÛ`+5x-6=0, (x+6)(x-1)=0

∴ x=-6 또는 x=1

그런데 x<;5#;이므로 x=-6

Ú, Û에서 방정식 xÛ`-|5x-3|-3=0의 근은

x=5 또는 x=-6

따라서 구하는 모든 근의 합은

5+(-6)=-1 ③

0202 이차방정식 3xÛ`-4x+k+2=0의 판별식을 DÁ이라

하면

DÁ4 =(-2)Û`-3(k+2)>0, -3k-2>0

-3k>2 ∴ k<-;3@; yy ㉠

이차방정식 xÛ`+(k+3)x+3k+4=0의 판별식을 Dª라 하면

Dª=(k+3)Û`-4(3k+4)=0

kÛ`-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0

∴ k=-1 또는 k=7 yy ㉡

㉠, ㉡에서 k=-1 -1

0203 (mÛ`-4)xÛ`+6(m-2)x+3=0이 x에 대한 이차방정

식이므로

mÛ`-4+0, (m+2)(m-2)+0

∴ m+-2, m+2 yy ㉠

이차방정식 (mÛ`-4)xÛ`+6(m-2)x+3=0의 판별식을 D라

하면

D4 ={3(m-2)}Û`-3(mÛ`-4)=0

mÛ`-6m+8=0, (m-2)(m-4)=0

∴ m=2 또는 m=4 yy ㉡

㉠, ㉡에서 m=4 ⑤

0204 이차방정식 xÛ`+(a+2)x+2a+b=0의 판별식을

DÁ이라 하면

DÁ=(a+2)Û`-4(2a+b)=0

aÛ`+4a+4-8a-4b=0, aÛ`-4a+4-4b=0

∴ (a-2)Û`=4b yy ㉠

이차방정식 xÛ`+(a-2)x-bÛ`-2=0의 판별식을 Dª라 하면

Dª =(a-2)Û`-4(-bÛ`-2)

=4b+4bÛ`+8 (∵ ㉠)

=4{b+;2!;} Û`+7>0

따라서 이차방정식 xÛ`+(a-2)x-bÛ`-2=0은 서로 다른 두

실근을 갖는다. 서로 다른 두 실근

0201 이차방정식 xÛ`+(2k+1)x+kÛ`+3=0의 판별식을

D라 하면

D=(2k+1)Û`-4(kÛ`+3)>0, 4k-11>0

4k>11 ∴ k>:Á4Á:

따라서 정수 k의 최솟값은 3이다. ⑤

05. 이차방정식 035

0206 이차식 2xÛ`-2(a+b)x+ab+ cÛ`2 이 완전제곱식이므

로 이차방정식 2xÛ`-2(a+b)x+ab+ cÛ`2 =0은 중근을 갖는

다. 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D4 ={-(a+b)}Û`-2{ab+ cÛ`

2 }=0

aÛ`+2ab+bÛ`-2ab-cÛ`=0

∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`

따라서 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 빗변의 길이가

c인 직각삼각형이다. ⑤

0208 이차방정식 xÛ`+4x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의

하여

a+b=-4, ab=-3

① aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab��

=(-4)Û`-2_(-3)=22

② 1a+ 1

b= b+aab = -4-3 =;3$;

③ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)

=(-4)Ü`-3_(-3)_(-4)=-100

④ |a-b|Û` =(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab

=(-4)Û`-4_(-3)=28

이므로 |a-b|=2'7 (∵ |a-b|>0)

⑤ |aÜ`-bÜ`| =|(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)|

=|a-b||aÛ`+ab+bÛ`|

=2'7_{22+(-3)} (∵ ①, ④)

=38'7따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③

0209 이차방정식 xÛ`+5x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과

계수의 관계에 의하여

a+b=-5

또, a는 이차방정식 xÛ`+5x-2=0의 근이므로

aÛ`+5a-2=0에서 aÛ`=-5a+2

∴ aÛ`-5b =-5a+2-5b=-5(a+b)+2

=-5_(-5)+2=27 27

0210 이차방정식 xÛ`+5x-4=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`+5a-4=0에서 aÛ`+6a-2=a+2

bÛ`+5b-4=0에서 bÛ`+6b-2=b+2

또한, 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-5, ab=-4

∴ (aÛ`+6a-2)(bÛ`+6b-2) =(a+2)(b+2)

=ab+2(a+b)+4

=(-4)+2_(-5)+4

=-10 ④

0211 이차방정식 4xÛ`+5mx-4m+5=0의 두 근을

k, 4k`(k+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

k+4k=-;4%;m ∴ k=-;4!;m yy ㉠

4kÛ`= -4m+54 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

4{-;4!;m}Û`= -4m+54 , ;4!;mÛ`= -4m+5

4

mÛ`+4m-5=0, (m+5)(m-1)=0

∴ m=1 (∵ m>0) ⑤

0205 x에 대한 이차방정식 3xÛ -(5a-1)x+2aÛ -a+3=0

이 중근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D={-(5a-1)}Û`-4_3(2aÛ`-a+3)=0

aÛ`+2a-35=0, (a+7)(a-5)=0

∴ a=5 (∵ a>0)

이때 주어진 이차식은 3xÛ`-24x+48이고,

3xÛ`-24x+48 =3(xÛ`-8x+16)

=3(x-4)Û`

으로 인수분해되므로 k=-4

∴ ak=5_(-4)=-20 -20

0207 이차식 2xÛ`+xy+myÛ`-5x+11y-3을 x에 대하여

내림차순으로 정리하면

2xÛ`+(y-5)x+myÛ`+11y-3 yy ㉠

㉠이 두 일차식의 곱으로 인수분해되므로 이차방정식

2xÛ`+(y-5)x+myÛ`+11y-3=0의 판별식을 D라 하면

D =(y-5)Û`-4_2(myÛ`+11y-3)

=(1-8m)yÛ`-98y+49

는 y에 대한 완전제곱식이어야 한다.

즉, y에 대한 이차방정식 (1-8m)yÛ`-98y+49=0은 중근을

가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D'이라 하면

D'4 =(-49)Û`-49(1-8m)=0

49-(1-8m)=0, 8m+48=0

∴ m=-6 ①

이차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해될 조건

x, y에 대한 이차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때

Ú 이차식을 x 또는 y에 대하여 내림차순으로 정리한다.

Û (이차식)=0의 판별식 D가 완전제곱식이어야 한다.

Ü D=0의 판별식 D'=0임을 이용한다.

Lecture


0213 이차방정식 xÛ`+(3k+1)x+9k+6=0의 두 근을

n, n+1`(n은 정수)이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

n+(n+1)=-(3k+1) ∴ n=-;2#;k-1 yy ㉠

n(n+1)=9k+6 yy ㉡


{-;2#;k-1}_{-;2#;k}=9k+6

3kÛ`-10k-8=0, (3k+2)(k-4)=0

∴ k=4 (∵ k>0) ⑤

0214 두 근을 2a, 3a`(a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의

하여

2a+3a=5(k-1) ∴ a=k-1 yy ㉠

2a_3a=8k ∴ 3aÛ`=4k yy ㉡


3(k-1)Û`=4k, 3kÛ`-10k+3=0

(3k-1)(k-3)=0 ∴ k=;3!; 또는 k=3

따라서 자연수 k의 값은 3이다. 3

0215 이차방정식 xÛ`-(k-1)x-3k+7=0의 두 근이 a, b

이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=k-1, ab=-3k+7

이때 a+b>0이므로 k-1>0

∴ k>1

또, aÛ`+bÛ` =8에서

(a+b)Û`-2ab�=(k-1)Û`-2(-3k+7)

=kÛ`+4k-13=8

kÛ`+4k-21=0, (k+7)(k-3)=0

∴ k=3 (∵ k>1) ④

0216 이차방정식 xÛ`-(3k+2)x+k+1=0의 두 근이 a, b


a+b=3k+2, ab=k+1

∴ aÛ`b+abÛ`-3ab+2a+2b��=ab(a+b-3)+2(a+b)

=(k+1)(3k-1)+2(3k+2)

=3kÛ`+8k+3

이때 aÛ`b+abÛ`-3ab+2a+2b=14이므로

3kÛ`+8k+3=14

3kÛ`+8k-11=0, (3k+11)(k-1)=0

∴ k=1 (∵ k는 정수) 1

0212 이차방정식 xÛ`+(2k-1)x+3k=0의 두 근을

a, a+7이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+(a+7)=-(2k-1) ∴ a=-k-3 yy ㉠

a(a+7)=3k yy ㉡


(-k-3)(-k+4)=3k

kÛ`-4k-12=0, (k+2)(k-6)=0

∴ k=-2 또는 k=6

따라서 모든 실수 k의 값의 합은

(-2)+6=4 4참고 (C)에서 k에 대한 이차방정식 kÛ`-4k-12=0은 실근을 갖는 방정

식이므로 모든 실수 k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 4이다.

(C)

0218 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과


a+b=a, ab=b yy ㉠

이차방정식 xÛ`+bx+a=0의 두 근이 ba , ab이므로 근과 계수

의 관계에 의하여

ba+ ab=-b, ba_ ab=a

이때 a=1이고

ba+ ab= bÛ`+aÛ`ab = (a+b)Û`-2ab

ab =-b yy ㉡

a=1과 ㉠을 ㉡에 대입하면

1-2bb =-b, 1-2b=-bÛ`, bÛ`-2b+1=0

(b-1)Û`=0 ∴ b=1

∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+1Û`=2 ①

0219 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과

계수의 관계에 의하여 a+b=-a, ab=b

∴ 1a+ 1b= b+aab =-;bA;, 1

a_ 1b= 1

ab=;b!;

따라서 1a ,

1b 을 두 근으로 하는 이차방정식은

xÛ`+;bA;x+;b!;=0 ∴ bxÛ`+ax+1=0 ③

0217 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과


a+b=-a, ab=b yy ㉠

이차방정식 xÛ`-(a+b)x-3a+3=0의 두 근이 a+2, b+2


(a+2)+(b+2)=a+b, (a+2)(b+2)=-3a+3

∴ a+b+4=a+b, ab+2(a+b)+4=-3a+3 yy ㉡


-a+4=a+b, b-2a+4=-3a+3

∴ 2a+b=4, a+b=-1

두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-6

∴ ab=-30 -30

05. 이차방정식 037

0221 AHÓ=a, AEÓ=b라 하면

PGÓ=10-a, PFÓ=10-b

직사각형 PFCG의 둘레의 길이가 28이므로

2(10-a)+2(10-b)=28

∴ a+b=6 yy ㉠

직사각형 PFCG의 넓이가 46이므로

(10-a)(10-b)=46

ab-10a-10b+100=46, ab-10(a+b)=-54

ab-10_6=-54 (∵ ㉠)

∴ ab=6 yy ㉡

㉠, ㉡에서 a, b를 두 근으로 하고 xÛ 의 계수가 1인 이차방정식은

xÛ`-6x+6=0 ②

0222 윤주는 a와 c를 바르게 보고 풀었으므로

이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근의 곱은

;aC;=(-8)_3=-24

∴ c=-24a yy ㉠

현이는 a와 b를 바르게 보고 풀었으므로

이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근의 합은

-;aB;=(1+'¶21)+(1-'¶21)=2

∴ b=-2a yy ㉡

㉠, ㉡을 axÛ`+bx+c=0에 대입하면

axÛ`-2ax-24a=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면

xÛ`-2x-24=0, (x+4)(x-6)=0

∴ x=-4 또는 x=6

따라서 올바른 두 근 중 양수인 근은 6이다. 6참고 axÛ`+bx+c=0이 x에 대한 이차방정식이므로 a+0이다.

0223 f(a)=0, f(b)=0이므로 f(3x-5)=0이려면

3x-5=a 또는 3x-5=b

∴ x= a+53 또는 x= b+5

3

따라서 이차방정식 f(3x-5)=0의 두 근의 합은

a+53 + b+5

3 = a+b+103 = 8+10

3 =6 ④

0226 이차방정식 f(6x+1)=0의 두 근을 a, b라 하면

a+b=-1, f(6a+1)=0, f(6b+1)=0

즉, 이차방정식 f(x)=0의 두 근은

x=6a+1 또는 x=6b+1

따라서 두 근의 합은

(6a+1)+(6b+1) =6(a+b)+2

=6_(-1)+2=-4 ③

0225 f(a)=0, f(b)=0이므로 f(-2x+3)=0이려면

-2x+3=a 또는 -2x+3=b

∴ x= -a+32 또는 x= -b+3

2

따라서 이차방정식 f(-2x+3)=0의 두 근의 곱은

-a+32 _ -b+3

2 = (-a+3)(-b+3)4

= ab-3(a+b)+94

= -1-3_(-4)+94 =5 5

0224 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수


a+b=- -62 =3

f(a)=0, f(b)=0이므로 f(x-2)=0이려면

x-2=a 또는 x-2=b

∴ x=a+2 또는 x=b+2

따라서 이차방정식 f(x-2)=0의 두 근의 합은

(a+2)+(b+2)=(a+b)+4=3+4=7 7

0227 a, b가 실수이므로 이차방정식

xÛ`+(a-1)x+3b+1=0의 한 근이 -1+ai이면 -1-ai도

근이다.

이때 근과 계수의 관계에 의하여

(-1+ai)+(-1-ai)=-(a-1)

-2=-a+1 ∴ a=3

(-1+ai)(-1-ai)=3b+1, 1+aÛ`=3b+1

10=3b+1 (∵ a=3) ∴ b=3

∴ ab=3_3=9 ③

0220 이차방정식 xÛ`-6x+7=0의 두 근이 a, b이므로 근과


a+b=6, ab=7

∴ 3+a3-b+ 3+b

3-a= (3+a)(3-a)+(3+b)(3-b)(3-b)(3-a)

= 9-aÛ`+9-bÛ`ab-3a-3b+9

= 18-{(a+b)Û`-2ab}ab-3(a+b)+9

= 18-(6Û`-2_7)7-3_6+9 =2

3+a3-b_ 3+b

3-a= 9+3a+3b+ab9-3a-3b+ab

= 9+3(a+b)+ab9-3(a+b)+ab

= 9+3_6+79-3_6+7 =-17

따라서 3+a3-b ,

3+b3-a를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차

방정식은

xÛ`-2x-17=0 xÛ`-2x-17=0


0228 13-2'2 = 3+2'2

(3-2'2)(3+2'2) =3+2'2

a, b가 유리수이므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이

3+2'2이면 3-2'2도 근이다.


(3+2'2)+(3-2'2)=-a

6=-a ∴ a=-6

(3+2'2)(3-2'2)=b ∴ b=1

따라서 이차방정식 xÛ`+bx+a=0, 즉 xÛ`+x-6=0에서

(x+3)(x-2)=0

∴ x=-3 또는 x=2 x=-3 또는 x=2

0229 a, b가 실수이므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근

이 2+2i이면 2-2i도 근이다.


(2+2i)+(2-2i)=-a

4=-a ∴ a=-4

(2+2i)(2-2i)=b ∴ b=8

즉, ;aB;=-2, ;bA;=-;2!; 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이

차방정식은

2(x+2){x+;2!;}=0 ∴ 2xÛ`+5x+2=0

따라서 m=5, n=2이므로

mn=10 10

본문 52~55쪽

0230 공이 점 O를 출발한 후 x분 동안 움직인 거리는

{xÛ`+;2%;x}`m이고, 점 O를 출발한 후 처음 한 바퀴 도는 데 5분

이 걸렸으므로 처음 한 바퀴를 도는 5분 동안 움직인 거리는

5Û`+;2%;_5=:¦2°:(m)

즉, 이 공이 점 O를 출발하여 두 바퀴를 도는 동안 움직이는 거

리는 75`m이므로 두 바퀴를 도는 데 t분이 걸렸다고 하면

tÛ`+;2%;t=75

2tÛ`+5t-150=0, (2t-15)(t+10)=0

∴ t=:Á2°:=7.5 (∵ t>0)

따라서 두 바퀴를 도는 데 7분 30초가 걸리므로 구하는 시간은

처음 한 바퀴를 도는 데 걸리는 5분을 뺀 2분 30초이다.

②

0232 [2x]Û`-[x]-5=0에서

Ú�nÉx<n+;2!;`(n은 정수)일 때,

2nÉ2x<2n+1이므로 [2x]=2n, [x]=n

즉, (2n)Û`-n-5=0에서 4nÛ`-n-5=0

(n+1)(4n-5)=0 ∴ n=-1 (∵ n은 정수)

Û�n+;2!;Éx<n+1`(n은 정수)일 때,

2n+1É2x<2n+2이므로 [2x]=2n+1, [x]=n

즉, (2n+1)Û`-n-5=0에서 4nÛ`+3n-4=0

∴ n=-3Ñ'7�3

8 그런데 n은 정수이므로 해가 없다.

Ú, Û에서 구하는 x의 값의 범위는

-1Éx<-;2!; -1Éx<-;2!;

0231 이차방정식 axÛ`+'3bx+c=0의 한 근이 2+'3이므

로 a(2+'3)Û`+'3b(2+'3)+c=0

∴ (7a+3b+c)+(4a+2b)'3=0

이때 a, b, c가 유리수이므로

7a+3b+c=0, 4a+2b=0

∴ c=-7a-3b, b=-2a

b=-2a를 c=-7a-3b에 대입하면

c=-7a-3_(-2a)=-a

즉, 이차방정식 axÛ`+'3bx+c=0에서

axÛ`-2'3ax-a=0 ∴ xÛ`-2'3x-1=0 (∵ a+0)

따라서 이차방정식 xÛ`-2'3x-1=0의 근은

x=2'3Ñ'Ä12+4

2 ='3Ñ2

이므로 b=-2+'3

∴ a+;º!;�=(2+'3)+ 1-2+'3

=(2+'3)-(2+'3)=0 ③

다른풀이 1

t='3x로 놓으면 x= t'3 이므로 주어진 이차방정식은

;3A;tÛ`+bt+c=0, 즉 atÛ`+3bt+3c=0 yy㉠

이고 이차방정식의 두 근은 '3a, '3b이다.

이때 '3a='3_(2+'3)=3+2'3이고 이차방정식 ㉠의 계

수가 모두 유리수이므로 다른 한 근 '3b는 3-2'3이다.

따라서 b= 3-2'3'3 =-2+'3이므로

a+;º!;�=(2+'3)+ 1-2+'3 =0

다른풀이 2

이차방정식 xÛ`-2'3x-1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여

ab=-1이므로

a+;º!;�= ab+1b = -1+1

b =0

05. 이차방정식 039

0233 |xÛ`+(a-3)x+1|=2에서

xÛ`+(a-3)x+1=2 또는 xÛ`+(a-3)x+1=-2

Ú��xÛ`+(a-3)x+1=2, 즉 xÛ`+(a-3)x-1=0의 두 근을

a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

� a+b=-(a-3)

Û��xÛ`+(a-3)x+1=-2, 즉 xÛ`+(a-3)x+3=0의 두 근

을 c, d라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

� c+d=-(a-3)

방정식 |xÛ`+(a-3)x+1|=2의 모든 근의 합이 0이므로

a+b+c+d=-(a-3)-(a-3)=0

-2a+6=0 ∴ a=3 ③

0234 이차방정식 axÛ`+2bx+2c=bxÛ`+4cx+a, 즉

(a-b)xÛ`+2(b-2c)x+2c-a=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(b-2c)Û`-(a-b)(2c-a) yy`㉠

ㄱ. 2c<b<a이면 (b-2c)Û`>0, a-b>0, 2c-a<0이므로

㉠에서 D>0

즉, 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. a<b<2c이면 (b-2c)Û`>0, a-b<0, 2c-a>0이므로

㉠에서 D>0

즉, 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. b=2c이면 b-2c=0이므로

D4 =-(a-2c)(2c-a)=(2c-a)Û`¾0

즉, 주어진 이차방정식은 중근 또는 서로 다른 두 실근을 갖

는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①

0235 이차방정식 {"Ãn(n+1)+n}xÛ`-'nx-5=0의 두 근

이 an, bn이므로 근과 계수의 관계에 의하여

an+bn='n

"Ãn(n+1)+n

='n

'n('Än+1+'n)

= 1'Än+1+'n

='Än+1-'n

('Än+1+'n)('Än+1-'n)

='Än+1-'n∴ (aÁ+aª+a£+`y`+a99)+(bÁ+bª+b£+`y`+b99)

=(aÁ+bÁ)+(aª+bª)+(a£+b£)+`y`+(a99+b99)

=('2-'1)+('3-'2)+('4-'3)+`y`

+('¶100-'9�9) ='¶100-1=9 9

0236 이차방정식 xÛ`+2ax-9a=0`(a>0)의 두 근이 a, b


a+b=-2a, ab=-9a

이때 a>0이므로 ab<0 yy`㉠

|a|+|b|=12의 양변을 제곱하면

|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`=12Û`, aÛ`+2|ab|+bÛ`=144

aÛ`-2ab+bÛ`=144 (∵ ㉠), (a+b)Û`-4ab=144

(-2a)Û`-4_(-9a)=144, 4aÛ`+36a-144=0

4(a+12)(a-3)=0 ∴ a=3 (∵ a>0)

따라서 a+b=-6, ab=-27이므로

aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-6)Û`-2_(-27)=90 90

0237 이차방정식 xÛ`+(a-4)x-1=0의 두 근이 a, b이므

로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-(a-4) yy`㉠

ab=-1 yy`㉡

이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, c이므로 근과 계수의

관계에 의하여

a+c=-a yy`㉢

ac=b yy`㉣

㉠-㉢을 하면 b-c=4

이때 2a=b-c이므로 2a=4 ∴ a=2

a=2를 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣에 대입하여 풀면

b=-;2!;, c=-;2(;, a=;2%;, b=-9

∴ 2a-b=14 14

0238 이차방정식 xÛ`+(m+1)x+2m-1=0의 판별식을

D라 하면

x=-(m+1)Ñ"�D

2

이므로 두 근이 정수가 되기 위해서는 판별식 D가 제곱수이거나

0이어야 한다.

D =(m+1)Û`-4(2m-1)

=mÛ`-6m+5

=(m-3)Û`-4

즉, D는 제곱수가 아니므로 0이어야 한다.

이때 mÛ`-6m+5=0에서 (m-1)(m-5)=0

∴ m=1 또는 m=5

Ú m=1일 때,

xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0 ∴ x=-1

즉, 주어진 이차방정식의 근은 정수이므로 조건을 만족시킨다.

Û m=5일 때,

xÛ`+6x+9=0, (x+3)Û`=0 ∴ x=-3

즉, 주어진 이차방정식의 근은 정수이므로 조건을 만족시킨다.

Ú, Û에서 m=1 또는 m=5이므로 그 합은

1+5=6 ①


0239 이차방정식 xÛ`-6x+3=0의 두 근이 a, b`(a<b)이

므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=6, ab=3

오른쪽 그림과 같이 직각삼각형

ABC에 내접하는 정사각형

EBFG의 한 변의 길이를 c라 하

면 △ABC=△AEG+ EBFG+△GFC에서

;2!;ab=;2!;c(a-c)+cÛ`+;2!;c(b-c)

=;2!;c(a+b)

즉, ab=c(a+b)이므로

c= aba+b=;6#;=;2!;

따라서 정사각형 EBFG의 넓이는 {;2!;} Û`=;4!;, 둘레의 길이는

4_;2!;=2이므로 이차방정식 4x Û`+mx+n=0의 두 근이 ;4!;,

2이다.

근과 계수의 관계에 의하여

;4!;+2=- m4 ∴ m=-9

;4!;_2=;4N; ∴ n=2

∴ m+n=-7 -7

다른풀이

;4!;, 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 4인 이차방정식은

4{x-;4!;}(x-2)=0 ∴ 4xÛ`-9x+2=0

따라서 m=-9, n=2이므로

m+n=-7

0240 이차방정식 xÛ`-(aÛ`-2a-3)x-b+5=0의 두 근의

절댓값이 같고 부호가 반대이므로 두 근을 a, -a라 하면 근과

계수의 관계에 의하여 두 근의 합은

a+(-a)=aÛ`-2a-3, (a+1)(a-3)=0

∴ a=-1 또는 a=3

즉, 정수 a의 최댓값은 3이므로 p=3

또, 두 근의 곱은 a_(-a)=-b+5

-aÛ`=-b+5

이때 -aÛ`<0이므로 -b+5<0 ∴ b>5

즉, 정수 b의 최솟값은 6이므로 q=6

a=3, b=6일 때, 주어진 이차방정식은

xÛ`-1=0 ∴ x=-1 또는 x=1

즉, a=-1, b=1 또는 a=1, b=-1이므로

aÛ`+bÛ`=1Û`+(-1)Û`=2 ∴ r=2

∴ p+q+r=3+6+2=11 ④

0243 f(q+2i)=2p이므로 q+2i는 방정식 f(x)=2p, 즉

f(x)-2p=0의 근이다.

이때 p, q가 실수이므로 이차방정식 f(x)-2p=0, 즉

xÛ`+px+q-2p=0의 한 근이 q+2i이면 q-2i도 근이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

(q+2i)+(q-2i)=-p ∴ p=-2q

(q+2i)(q-2i)=q-2p, qÛ`+4=q-2p

qÛ`+4=q+4q (∵ p=-2q), qÛ`-5q+4=0

(q-1)(q-4)=0 ∴ q=4 (∵ q>1)

∴ f(x)=xÛ`-8x+4

0242 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면

a+b=-5

f(a)=0, f(b)=0이므로 f {;[!;}=0이려면

;[!;=a 또는 ;[!;=b ∴ x=;�!; 또는 x=;º!;

f {;[!;}=0의 두 근의 곱이 -2이므로

;�!;_;º!;=;�Áº;=-2 ∴ ab=-;2!;

또, f(a)=0, f(b)=0이므로 f { 12x-3 }=0이 되려면

12x-3 =a 또는

12x-3 =b

2x-3=;�!; 또는 2x-3=;º!;

∴ x=;2Á�;+;2#; 또는 x=;2Áº;+;2#;

따라서 f { 12x-3 }=0의 두 근의 합은

{;2Á�;+;2#;}+{;2Áº;+;2#;}= b+a2ab +3= -5-1 +3=8 8

0241 이차방정식 xÛ`-x-8=0의 두 근이 a, b이므로 근과


a+b=1, ab=-8 yy`㉠

이차식 f(x)에 대하여 f(0)=8이므로

f(x)=axÛ`+bx+8`(a+0)로 놓을 수 있다.

이때 f(a)=f(b)=-8이므로 a, b는 방정식 f(x)=-8,

즉 f(x)+8=0의 두 근이다.

f(x)+8=axÛ`+bx+16=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수


a+b=-;aB;, ab=:Áa¤: yy`㉡

㉠, ㉡에서 -;aB;=1, -8=:Áa¤:

∴ a=-2, b=2

따라서 f(x)=-2xÛ`+2x+8이므로

f {a+b+;4!;ab}=f(-1)=-2-2+8=4 4

05. 이차방정식 041

0245 계수가 실수인 이차방정식 f(x)=0의 한 근이

a= 1-'3i2 이므로

1+'3i2 도 근이다.


(두 근의 합)=1-'3i

2 +1+'3i

2 =1

(두 근의 곱)=1-'3i

2 _1+'3i

2 =1

이므로 f(x)=a(xÛ`-x+1)`(a+0)로 놓을 수 있다.

이때 f(a)=0이므로 aÛ`-a+1=0 yy`㉠

㉠의 양변에 a+1을 곱하면

(a+1)(aÛ`-a+1)=0, aÜ`+1=0 ∴ aÜ`=-1

∴ f(aÞ`+aÝ`+a) =f(-aÛ`-a+a)=f(-aÛ`)

=a(aÝ`+aÛ`+1)=a(-a+aÛ`+1)

=0 (∵ ㉠) ②

0246 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0이 허근 a를 가지므로

aÛ`-pa+p+3=0 ∴ aÛ`=pa-(p+3) yy`㉠

㉠의 양변에 a를 곱하면

aÜ` =paÛ`-(p+3)a

=p{pa-(p+3)}-(p+3)a (∵ ㉠)

=(pÛ`-p-3)a-pÛ`-3p

이때 a는 허수이므로 a Ü`이 실수가 되려면 pÛ`-p-3=0이어야

한다.

따라서 모든 실수 p의 값의 곱은 근과 계수의 관계에 의하여 -3

이다. ②

0247 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면

D=bÛ`-4ac

이때 bÛ`¾0이고, a와 c의 부호가 다르면 ac<0이므로

-4ac>0 ∴ D>0

따라서 a와 c의 부호가 다르면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0은

항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 풀이 참조

따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는

f(1)=1-8+4=-3 ③

0248 이차방정식

xÛ`-2(a+b)x+(a-b)Û`+3ab-a-5b=0

이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면

D4 ={-(a+b)}Û`-{(a-b)Û`+3ab-a-5b}=0

ab+a+5b=0, ab+a+5b+5=5

∴ (a+5)(b+1)=5

a+5, b+1이 정수이므로

Ú a+5=-1, b+1=-5이면 a=-6, b=-6

∴ ab=36

Û a+5=-5, b+1=-1이면 a=-10, b=-2

∴ ab=20

Ü a+5=1, b+1=5이면 a=-4, b=4

∴ ab=-16

Ý a+5=5, b+1=1이면 a=0, b=0

∴ ab=0

Ú ~ Ý에서 ab의 최댓값은 36이다. 36

0249 이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`-4a+2=0, bÛ`-4b+2=0

∴ aÛ`-a+2=3a, bÛ`-b+2=3b yy`㉠

또, 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=4, ab=2 yy`㉡

∴ b-a

aÜ`-aÛ`+2a+ a-bbÜ`-bÛ`+2b

= b-aa(aÛ`-a+2)

+ a-bb(bÛ`-b+2)

= b-aa_3a+ a-b

b_3b �(∵ ㉠)

= b-a3aÛ` + a-b

3bÛ`

=bÛ`(b-a)+aÛ`(a-b)

3aÛ`bÛ`

=(a-b)(aÛ`-bÛ`)

3(ab)Û`

=(a-b)Û`(a+b)

3(ab)Û`

={(a+b)Û`-4ab}(a+b)

3(ab)Û`

=(4Û`-4_2)_4

3_2Û` (∵ ㉡)

=;3*; ③

0244 m, n이 실수이므로 이차방정식 xÛ`-2mx+n=0의

한 허근이 a이면 a®도 근이다.


a+a®=2m yy`㉠

aa®=n yy`㉡

또, m, n이 실수이므로 이차방정식 xÛ`-2nx+m+1=0의 한

허근이 a+1이면 a+1Ó=a®+1도 근이다.


(a+1)+(a®+1)=2n

a+a®+2=2n, 2m+2=2n (∵ ㉠), m+1=n

∴ m-n=-1 yy`㉢

(a+1)(a®+1)=m+1

aa®+a+a®+1=m+1, n+2m+1=m+1 (∵ ㉠, ㉡)

∴ m+n=0 yy`㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면 m=-;2!;, n=;2!;이므로

mn=-;4!; ②


0250 이차방정식 xÛ`+kx+3k-9=0의 두 근의 절댓값의

비가 1`:`3이고 k<0에서 두 근의 곱이 3k-9<-9<0이므로

두 근의 부호가 서로 다르다.

두 근을 a, -3a라 할 때, 근과 계수의 관계에 의하여

a+(-3a)=-k ∴ a=;2K; yy`㉠

a_(-3a)=3k-9 ∴ aÛ`=-k+3 yy`㉡


{;2K;} Û`=-k+3, kÛ`+4k-12=0

(k+6)(k-2)=0

∴ k=-6 또는 k=2

그런데 k<0이므로 k=-6

따라서 이차방정식 xÛ`-kx+3k+1=0, 즉 xÛ`+6x-17=0의

두 근의 곱은 -17이다. -17

0251 이차방정식 xÛ`-px+q=0의 두 근이 a, b이므로 근과


a+b=p, ab=q

조건 ㈏에서 자연수 a, b의 양의 약수가 각각 3개이므로 a, b는

소수의 제곱수이다.

이때 조건 ㈎에서 a+bÉ100, abÉ100이므로 a, b는 2Û`, 3Û`,

5Û` 중 하나이고, 가능한 순서쌍 (a, b)는

(2Û`, 3Û`), (2Û`, 5Û`), (3Û`, 2Û`), (5Û`, 2Û`)

따라서 조건을 만족시키는 순서쌍 (p, q)는

(13, 36), (29, 100)의 2개이다. ②

0252 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`+a+1=0, bÛ`+b+1=0 yy`㉠


a+b=-1 ∴ a=-b-1, b=-a-1 yy`㉡

이때 ㉠에서 aÛ`=-a-1, bÛ`=-b-1이므로

aÛ`=-a-1=b, bÛ`=-b-1=a yy`㉢

㉡, ㉢을 f(aÛ`)=-4a, f(bÛ`)=-4b에 대입하면

f(b)=-4(-b-1), f(a)=-4(-a-1)

즉, a, b는 방정식 f(x)=-4(-x-1), 즉

f(x)-4x-4=0의 두 근이다.

따라서 a, b가 방정식 xÛ`+px+q-4x-4=0, 즉

xÛ`+(p-4)x+q-4=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에

의하여

a+b=-(p-4)=-1 ∴ p=5

ab=q-4=1 ∴ q=5

∴ p+q=10 10

다른풀이

f(x)-4x-4=0은 최고차항의 계수가 1인 이차방정식이고,

f(x)-4x-4=0의 두 근이 a, b이므로

f(x)-4x-4=(x-a)(x-b)=xÛ`+x+1

따라서 f(x)=xÛ`+5x+5이므로 p=5, q=5

∴ p+q=10

본문 56~57쪽

0253

점 P에서 직육면체의 겉면을 따라 점 Q까지 최단거리로 가는 경

로는 다음과 같다.

Ú ADÓ, BCÓ를 지나는 경우

전개도는 다음 그림과 같으므로 최단거리는

PQÓ="Ã(a+4)Û`+2Û`="ÃaÛ`+8a+20

Û ADÓ, ABÓ, BFÓ를 지나는 경우

전개도는 다음 그림과 같으므로 최단거리는

PQÓ="Ã(a+2)Û`+6Û`="ÃaÛ`+4a+40

ADÓ, BCÓ를 지나는 경우와 ADÓ, ABÓ, BFÓ를 지나는 경우로 나누어

최단거리를 구한다.

05. 이차방정식 043

0254

이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의

관계에 의하여

a+b=-a, ab=b yy`㉠

또, 이차방정식 xÛ`+(2a+b)x-8b=0의 두 근이 |a|+|b|,

|a||b|이므로 근과 계수의 관계에 의하여

(|a|+|b|)+|a||b|=-(2a+b) yy`㉡

(|a|+|b|)_|a||b|=-8b yy`㉢

이때 a, b의 부호가 서로 다르므로

|a||b|=-ab=-b

즉, ㉢에서 (|a|+|b|)_(-b)=-8b

∴ |a|+|b|=8 yy`㉣

㉣과 |a||b|=-b를 ㉡에 대입하면

8-b=-2a-b ∴ a=-4

㉣의 양변을 제곱하면 (|a|+|b|)Û`=8Û`

aÛ`+bÛ`+2|ab|=64, (a+b)Û`-2ab-2ab=64

aÛ`-4b=64 (∵ ㉠)

에서 a=-4이므로 b=-12

∴ a+b=-16 -16

두 근의 부호가 다르면 두 근의 곱이 음수임을 이용한다.

0255

Ú 1Éx<;2#;일 때,

[2x]=2, |x-2|=-(x-2)이므로

2x의 값이 정수가 되는 x의 값과 x-2의 값이 0이 되는 x의 값을

기준으로 범위를 나누어 생각한다.

0256

이차방정식 xÛ`-ax+p=0의 두 근이 서로 다른 자연수이므로

두 근을 a, b`(a, b는 자연수, a<b)라 하면 근과 계수의 관계

에 의하여

a+b=a, ab=p

이때 p는 소수이므로 ab=p에서 a=1, b=p이다.

ㄱ. a=a+b=1+p가 소수이면 연속한 두 자연수 p, p+1이

모두 소수이므로 p=2이다.

ㄴ. a=1+p>3이면 p>2

2보다 큰 소수 p는 모두 홀수이므로 a=1+p는 항상 짝수

이다.

ㄷ. a+p=(1+p)+p=1+2p가 9의 배수이려면

1+2p=9k`(k는 자연수)이어야 한다. 즉, p= 9k-12 이

고, 9k-1은 짝수이어야 하므로 9k는 홀수이어야 한다.

따라서 k는 홀수이고 pÉ50이므로

9k-1

2 É50, 9k-1É100

9kÉ101 ∴ kÉ 1019

곱이 소수 p인 두 자연수는 1, p임을 이용한다.

Ú, Û에서

(aÛ`+4a+40)-(aÛ`+8a+20)=-4a+20<0 (∵ a>5)

이므로 최단거리는 "ÃaÛ`+4a+40이다.

즉, "ÃaÛ`+4a+40=2'3�4에서

aÛ`+4a+40=136, aÛ`+4a-96=0

(a+12)(a-8)=0 ∴ a=8 (∵ a>5)

∴ 30a=240 240

직육면체 ABCD-EFGH의 두 면 AEHD, BFGC는 정사각형이

고 PDÓ=QFÓ이므로 점 P에서 직육면체의 겉면을 따라 점 Q에 도달

할 때,

Ú 두 모서리를 지나는 경우

ADÓ, BCÓ를 지나는 경우

DHÓ, CGÓ를 지나는 경우

EHÓ, FGÓ를 지나는 경우

AEÓ, BFÓ를 지나는 경우

Û 세 모서리를 지나는 경우

ADÓ, ABÓ, BFÓ를 지나는 경우

DHÓ, HGÓ, GFÓ를 지나는 경우

Lecture

⇨ 최단거리는 모두 같다.

⇨ 최단거리는 모두 같다.

xÛ`-2=-x(x-2)에서

2xÛ`-2x-2=0, xÛ`-x-1=0

∴ x=1Ñ'5

2

그런데 1Éx<;2#;이므로 이를 만족시키는 x의 값은 없다.

Û ;2#;Éx<2일 때,

[2x]=3, |x-2|=-(x-2)이므로

xÛ`-3=-x(x-2)에서

2xÛ`-2x-3=0

∴ x=1+'7

2 {∵ ;2#;Éx<2}

Ü 2Éx<;2%;일 때,

[2x]=4, |x-2|=x-2이므로

xÛ`-4=x(x-2)에서

-4=-2x ∴ x=2

Ý ;2%;Éx<3일 때,

[2x]=5, |x-2|=x-2이므로

xÛ`-5=x(x-2)에서

-5=-2x ∴ x=;2%;

Ú ~ Ý에서 주어진 방정식을 만족시키는 x의 값은

1+'72 , 2, ;2%;의 3개이다. 3


0257

조건 ㈎에서 `f(a)-f(b)

a-b =7

∴ `f(a)a-b +

`f(b)b-a =7

조건 ㈏에서 `f(a)a-b _

`f(b)a-b =-12

∴ `f(a)a-b _

`f(b)b-a =12

이때 이차방정식 xÛ`+px+q=0의 두 근이 `f(a)a-b ,

`f(b)b-a 이므

로 근과 계수의 관계에 의하여

-p=`f(a)a-b +

`f(b)b-a =7 ∴ p=-7

q=`f(a)a-b _

`f(b)b-a =12 ∴ q=12

즉, xÛ`-7x+12=(x-3)(x-4)=0에서

x=3 또는 x=4이므로

`f(a)a-b =3,

`f(b)b-a =4 또는

`f(a)a-b =4,

`f(b)b-a =3 yy`㉠

한편, 조건 ㈐에서

`f(a)+f(b)a-b <0 (∵ a>b에서 a-b>0)

`f(a)a-b -

`f(b)b-a <0 ∴

`f(a)a-b <

`f(b)b-a yy`㉡

㉠, ㉡에서 `f(a)a-b =3,

`f(b)b-a =4

∴ qf(a)+pf(b)

a-b =q_`f(a)a-b -p_

`f(b)b-a

=12_3-(-7)_4

=64 64

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

0258

이차방정식 xÛ`+x+1=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`+a+1=0, bÛ`+b+1=0

이때 두 식의 양변에 각각 a-1, b-1을 곱하면

(a-1)(aÛ`+a+1)=0, (b-1)(bÛ`+b+1)=0

aÜ`-1=0, bÜ`-1=0 ∴ aÜ`=1, bÜ`=1


a+b=-1, ab=1

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

k는 자연수이므로 k=1, 3, 5, 7, 9, 11

이때 9k-1

2 의 값은 4, 13, 22, 31, 40, 49이므로 소수 p의

값이 될 수 있는 것은 13, 31의 2개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

∴ 1+bn

1+an + 1+an

1+bn

=(1+bn)Û`+(1+an)Û`

(1+an)(1+bn)

=(1+2bn+b2n)+(1+2an+a2n)

1+an+bn+anbn

=2+2(an+bn)+(an+bn)Û`-2anbn

1+an+bn+(ab)n

=2+2(an+bn)+(an+bn)Û`-2(ab)n

1+an+bn+(ab)n

=2(an+bn)+(an+bn)Û`

an+bn+2 (∵ ab=1)

=(an+bn)(an+bn+2)

an+bn+2

=an+bn yy`㉠

이때 n은 자연수이므로

n=1일 때, a+b=-1

n=2일 때, aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-1)Û`-2_1=-1

n=3일 때, aÜ`+bÜ`=1+1=2

n=4일 때, aÝ`+bÝ`=a+b=-1

⋮

∴ an+bn=[ -1 (n이 3의 배수가 아닐 때)

2 (n이 3의 배수일 때) yy`㉡

한편, 1+bn

1+an _ 1+an

1+bn =1 yy`㉢

Ú�n이 3의 배수가 아닐 때

㉠, ㉡, ㉢에서 구하는 이차방정식은 xÛ`+x+1=0

Û�n이 3의 배수일 때

㉠, ㉡, ㉢에서 구하는 이차방정식은 xÛ`-2x+1=0

xÛ +x+1=0 또는 xÛ -2x+1=0

05. 이차방정식 045

본문 59~62쪽

0259 이차함수 y=-2xÛ`+ax+b의 그래프와 x축의 교점의

x좌표가 1, 3이므로 1, 3은 이차방정식 -2xÛ`+ax+b=0의

두 근이다.


1+3=;2A;, 1_3=-;2B;

∴ a=8, b=-6

이차함수 y=xÛ`+bx+a, 즉 y=xÛ`-6x+8의 그래프와 x축이

만나는 점의 x좌표는 이차방정식 xÛ`-6x+8=0의 두 근이므로

(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4

따라서 이차함수 y=xÛ`-6x+8의 그래프와 x축은 두 점

(2, 0), (4, 0)에서 만나므로 두 점 사이의 거리는 2이다.

2

0260 이차함수 y=xÛ`+ax+5의 그래프가 x축과 만나는 두

점의 x좌표는 이차방정식 xÛ`+ax+5=0의 두 근이다.

두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-a, ab=5 yy`㉠

이때 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거

리가 4이므로

|a-b|=4

양변을 제곱하면 (a-b)Û`=16

∴ (a+b)Û`-4ab=16 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 aÛ`-20=16

aÛ`=36 ∴ a=6 (∵ a>0) ⑤

다른풀이

이차함수 y=xÛ +ax+5의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌

표는 이차방정식 xÛ`+ax+5=0의 두 근이다.

두 근을 a, a+4라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+a+4=-a yy`㉠

a(a+4)=5 yy`㉡

㉡에서 aÛ`+4a-5=0, (a+5)(a-1)=0

∴ a=-5 또는 a=1 yy`㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

a=-6 또는 a=6

따라서 양수 a의 값은 6이다.

0261 이차함수 y=xÛ +2(m+1)x+mÛ +3의 그래프가 x축

과 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식

xÛ`+2(m+1)x+mÛ`+3=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(m+1)Û`-(mÛ`+3)>0, 2m-2>0

2m>2 ∴ m>1

따라서 정수 m의 최솟값은 2이다. 2

0262 이차함수 y=2xÛ`-kx+k+6의 그래프가 x축과 한 점

에서 만나므로 이차방정식 2xÛ`-kx+k+6=0의 판별식을 DÁ

이라 하면

DÁ=(-k)Û`-4_2_(k+6)=0

kÛ`-8k-48=0, (k+4)(k-12)=0

∴ k=-4 또는 k=12 yy`㉠

또, 이차함수 y=-xÛ`+2x+k의 그래프가 x축과 만나지 않으

므로 이차방정식 -xÛ`+2x+k=0의 판별식을 Dª라 하면

Dª4 =1Û`-(-1)_k<0

∴ k<-1 yy`㉡

㉠, ㉡에서 k=-4 -4

0263 주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 이차방정

식 xÛ`+2(k-a)x+(k-2)Û`+b=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(k-a)Û`-(k-2)Û`-b=0

kÛ`-2ak+aÛ`-kÛ`+4k-4-b=0

∴ (4-2a)k+aÛ`-4-b=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

4-2a=0, aÛ`-4-b=0

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=0

∴ a+b=2 ②

0264 이차함수 y=xÛ`-3x+2aÛ`의 그래프와 직선

y=ax+10의 두 교점의 x좌표가 a, b이므로 a, b는 이차방정

식 xÛ`-3x+2aÛ`=ax+10, 즉 xÛ`-(3+a)x+2aÛ`-10=0의

두 근이다.


a+b=3+a, ab=2aÛ`-10

이때 aÛ`+bÛ`=32이므로

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=(3+a)Û`-2(2aÛ`-10)

=-3aÛ`+6a+29=32

3aÛ`-6a+3=0, 3(a-1)Û`=0

∴ a=1 1

0265 이차함수 y=xÛ`+px+q의 그래프와 직선 y=2x+1

의 교점의 x좌표가 1+'5이므로 1+'5는 이차방정식

xÛ +px+q=2x+1, 즉 xÛ +(p-2)x+q-1=0의 한 근이다.

이 이차방정식의 계수가 모두 유리수이고 한 근이 1+'5이므로

1-'5도 근이다.


이차방정식과�이차함수06



(1+'5)+(1-'5)=-(p-2) ∴ p=0

(1+'5)(1-'5)=q-1 ∴ q=-3

∴ p-q=3 ②

0266 이차함수 y=xÛ`-4x-3의 그래프를 x축의 방향으로

-3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은

y-2=(x+3)Û`-4(x+3)-3

∴ y=xÛ`+2x-4

이 그래프가 직선 y=mx와 두 점 P, Q에서 만나므로 두 점 P,

Q의 x좌표를 a, b라 하면 a, b는 이차방정식

xÛ`+2x-4=mx, 즉 xÛ`+(2-m)x-4=0의 두 근이다.


a+b=m-2

이때 두 점 P, Q의 x좌표의 합이 0이므로

m-2=0 ∴ m=2 2

0267 원점을 지나고 기울기가

m인 직선의 방정식은

y=mx`(m>0)

오른쪽 그림과 같이 이차함수

y=xÛ`-2의 그래프와 직선

y=mx의 교점을 A(a, ma),

B(b, mb)`(a<0<b)라 하면 두 점 A, B의 x좌표인 a, b는

이차방정식 xÛ`-2=mx, 즉 xÛ`-mx-2=0의 두 근이다.


a+b=m yy`㉠

또, m>0이고 a<0<b이므로

AA'Ó=-ma, BB'Ó=mb

따라서 선분 AA'과 선분 BB'의 길이의 차는

|mb-(-ma)| =|m(a+b)|

=|mÛ`| (∵ ㉠)

=mÛ` (∵ mÛ`>0)

이때 선분 AA'과 선분 BB'의 길이의 차가 16이므로

mÛ`=16 ∴ m=4 (∵ m>0) 4

0268 이차함수 y=(m-1)xÛ`+2mx-1의 그래프와 직선

y=x-m이 만나지 않아야 하므로 이차방정식

(m-1)xÛ`+2mx-1=x-m, 즉

(m-1)xÛ`+(2m-1)x-1+m=0의 판별식을 D라 하면

D=(2m-1)Û`-4(m-1)Û`<0

4mÛ`-4m+1-4mÛ`+8m-4<0

4m-3<0 ∴ m<;4#; ④

0269 이차함수 y=-2xÛ`+5x의 그래프와 직선 y=2x+k

가 적어도 한 점에서 만나려면 이차방정식

-2xÛ`+5x=2x+k, 즉 2xÛ`-3x+k=0이 중근 또는 서로 다

른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 2xÛ`-3x+k=0의 판별식을 D라 하면

D=(-3)Û`-4_2_k¾0

9-8k¾0 ∴ kÉ;8(;

따라서 실수 k의 최댓값은 ;8(;이다. ③

0270 구하는 직선이 직선 y=3x-5에 평행하므로 구하는 직

선의 방정식을

y=3x+b (b는 실수)

로 놓을 수 있다.

이 직선이 이차함수 y=xÛ -x+5의 그래프와 접하므로 이차방

정식 xÛ -x+5=3x+b, 즉 xÛ -4x+5-b=0의 판별식을 D라

하면

D4 =4-(5-b)=0 ∴ b=1

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x+1 y=3x+1

0271 점 (1, 3)을 지나는 직선의 방정식을

y=a(x-1)+3 (a는 실수, a+0)

으로 놓을 수 있다.

이 직선이 이차함수 y=-2xÛ`+x+1의 그래프와 접하므로 이

차방정식 -2xÛ`+x+1=a(x-1)+3, 즉

2xÛ`+(a-1)x+2-a=0의 판별식을 D라 하면

D=(a-1)Û`-8(2-a)=0

∴ aÛ`+6a-15=0

a에 대한 이 이차방정식의 두 실근을 a, b라 하면 a, b는 구하

는 두 직선의 기울기이므로 근과 계수의 관계에 의하여

ab=-15 -15참고 이차방정식 aÛ`+6a-15=0의 판별식을 D'이라 하면

D'4 =3Û`-(-15)=24>0

따라서 aÛ`+6a-15=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

0272 이차함수 y=axÛ`+bx+4가 x=-1에서 최댓값 5를

가지므로

y =axÛ`+bx+4=a(x+1)Û`+5

=axÛ`+2ax+a+5 (a<0)

따라서 b=2a, 4=a+5이므로 a=-1, b=-2

∴ ab=2 ④

0273 f(-1)=f(3), 즉 x=-1, x=3에서의 함숫값이 서

로 같으므로 이차함수 f(x)=axÛ`+bx+c의 그래프의 축의 방

정식은

06. 이차방정식과 이차함수 047

0274 y =xÛ`-2kx-4k+1=(x-k)Û`-kÛ`-4k+1

이므로 주어진 이차함수는 x=k에서 최솟값 -kÛ`-4k+1을

갖는다.

∴ m =-kÛ`-4k+1

=-(k+2)Û`+5

따라서 m은 k=-2에서 최댓값 5를 갖는다. 5

0276 f(x) =2xÛ`-4x+k

=2(x-1)Û`-2+k

이므로 |x|É2, 즉 -2ÉxÉ2에서

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

이차함수 f(x)는 x=-2에서 최댓값

16+k를 가지므로

16+k=6 ∴ k=-10

따라서 |x|É2에서 f(x)의 최솟값은

f(1)=-2+k=-2+(-10)=-12 ④

0277 f(x) =-xÛ`+4x+3이라 하면

f(x)=-(x-2)Û`+7

이때 f(2)=7이므로 a>2

즉, aÉxÉ5에서 y=f(x)의 그래프는

오른쪽 그림과 같다.

따라서 이차함수 f(x)는 x=5에서 최

솟값 f(5)=-2를 갖고, x=a에서 최

댓값 f(a)=6을 가지므로

-aÛ`+4a+3=6에서

aÛ`-4a+3=0, (a-1)(a-3)=0

∴ a=3 (∵ a>2) ①

0278 조건 ㈎에서

f(x)=a(x+2)(x-4)`(a는 실수, a+0)로 놓을 수 있다.

∴ f(x) =a(xÛ`-2x-8)

=a(x-1)Û`-9a (a는 실수, a+0)

조건 ㈏에서

Ú a>0일 때, x=8에서 최댓값 80을 가지므로

f(8)=40a=80 ∴ a=2

Û a<0일 때, x=5에서 최댓값 80을 가지므로

f(5)=7a=80 ∴ a=:¥7¼:

그런데 a<0이므로 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=2

따라서 f(x)=2(x+2)(x-4)이므로

f(-5)=2_(-3)_(-9)=54 54

0275 이차함수 f(x)=axÛ`+bx+c가 x=2에서 최솟값 3을

가지므로 a>0이고

f(x)=a(x-2)Û`+3

방정식 f(x)-1=0에서 a(x-2)Û`+3-1=0

∴ axÛ`-4ax+4a+2=0

이 이차방정식의 두 근의 곱이 5이므로 근과 계수의 관계에 의하

여

4a+2a =5, 4a+2=5a ∴ a=2

따라서 f(x)=2(x-2)Û`+3이므로 f(1)=5 5

0279 f(x) =xÛ`-4kx라 하면

f(x)=(x-2k)Û`-4kÛ`

Ú 2kÉ-1, 즉 kÉ-;2!;일 때,

꼭짓점의 x좌표가 주어진 범위

xÉ-1에 속하므로 주어진 함수는

x=2k에서 최솟값 f(k)=-4kÛ`을

갖는다. 즉, -4kÛ`=-4에서

kÛ`=1 ∴ k=Ñ1

그런데 kÉ-;2!;이므로 k=-1

Û 2k>-1, 즉 k>-;2!;일 때,

꼭짓점의 x좌표가 주어진 범위에 속하

지 않으므로 주어진 함수는 x=-1에

서 최솟값 f(-1)=1+4k를 갖는다.

즉, 1+4k=-4에서 k=-;4%;

그런데 k>-;2!;이므로 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 k=-1 -1

x= -1+32 =1

또한, 이차함수 f(x)의 최솟값이 -1이므로

f(x)=a(x-1)Û`-1 (a>0)

로 놓을 수 있다.

f(-1)=3에서 3=a(-1-1)Û`-1

4a-1=3 ∴ a=1

∴ f(x)=(x-1)Û`-1=xÛ`-2x

따라서 a=1, b=-2, c=0이므로

a-2b+c=1+4+0=5 ⑤

이차함수의 그래프의 대칭성

⑴ 이차함수 f(x)=a(x-p)Û`+q`(a+0)의 그래프는 직선 x=p에

대하여 대칭이다.

⑵ 이차함수 f(x)에 대하여

f(a)=f(b)

이면 y=f(x)의 그래프는 직선

x= a+b2 에 대하여 대칭이다.

개념Plus


0283 점 P가 직선 x+y=3 위에 있으므로

y=-x+3

∴ 2xÛ`+yÛ` =2xÛ`+(-x+3)Û`

=3xÛ`-6x+9

=3(x-1)Û`+6

따라서 x=1일 때 2xÛ`+yÛ`의 최솟값은 6이다. ②

0284 두 점 A(-2, 1), B(1, -5)를 잇는 선분 AB를 나타

내는 직선의 방정식은

y-1= -5-11+2 (x+2) ∴ y=-2x-3 (-2ÉxÉ1)

∴ 2xÛ`-yÛ` =2xÛ`-(-2x-3)Û`

=-2xÛ`-12x-9

=-2(x+3)Û`+9

0285 점 B의 좌표를 (a, 0)`(0<a<'6)이라 하면

C(a, -aÛ`+6)

∴ ABÓ=2a, BCÓ=-aÛ`+6

따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 l이라 하면

l =2_2a+2(-aÛ`+6)

=-2aÛ`+4a+12

=-2(a-1)Û`+14

0<a<'6이므로 a=1일 때 l의 최댓값은 14이다.

따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 14이다.

14참고 이차함수 y=-xÛ`+6의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는

-xÛ`+6=0에서 x='6 또는 x=-'6이므로 점 B의 x좌표 a의 값의 범

위는 0<a<'6이다.

0286 물받이의 높이를 x`cm, 색칠한 단면의 넓이를 S`cm Û`

라 하면

S =x(20-2x)

=-2xÛ`+20x

=-2(x-5)Û`+50

0<x<10이므로 x=5일 때 S의 최댓값은 50이다.

따라서 물받이의 높이를 5`cm로 해야 한다. 5`cm

0287 BQÓ=a, BRÓ=b라 하면

△ABC»△PRC`(AA 닮음)이므로

8`:`6=a`:`(6-b)

6a=8(6-b) ∴ a=8-;3$;b

사각형 PQBR의 넓이를 S라 하면

S=ab={8-;3$;b}b

=-;3$;bÛ`+8b

=-;3$;(b-3)Û`+12

0<b<6이므로 b=3일 때 S의 최댓값은 12이다.

따라서 직사각형 PQBR의 넓이가 최대가 되는 것은

b=3, a=8-;3$;_3=4일 때이므로

APÓ="Ã3Û`+4Û`=5 5

0280 xÛ`-2x-1=t로 놓으면

t=(x-1)Û`-2

이때 -2ÉxÉ2이므로 오른쪽 그림에서

-2ÉtÉ7

즉, 주어진 함수는

y =tÛ`-2t-4

=(t-1)Û`-5 (-2ÉtÉ7)

따라서 t=1일 때 최솟값은 m=-5이고, t=7일 때 최댓값은

M=31이므로

M+m=26 26

0281 xÛ`-4x+5=t로 놓으면

t=(x-2)Û`+1 ∴ t¾1

즉, 주어진 함수는

y =-3tÛ`+6(t-5)+k+30

=-3tÛ`+6t+k

=-3(t-1)Û`+3+k (t¾1)

따라서 t=1일 때 최댓값은 3+k이므로

3+k=8 ∴ k=5 ①

0282 주어진 이차식을 완전제곱식을 포함한 꼴로 변형하면

xÛ`+2yÛ`+2x-12y+27

=(xÛ`+2x+1)+2(yÛ`-6y+9)-1-18+27

=(x+1)Û`+2(y-3)Û`+8

이때 x, y가 실수이므로

(x+1)Û`¾0, (y-3)Û`¾0

∴ xÛ`+2yÛ`+2x-12y+27¾8

따라서 x=-1, y=3일 때 주어진 식의 최솟값은 8이다.

8

이때 f(x)=-2(x+3)Û`+9라 하면

-2ÉxÉ1에서 y=f(x)의 그래프는 오

른쪽 그림과 같다.

따라서 x=-2일 때 f(x)의 최댓값은

f(-2)=7이므로 2xÛ`-yÛ`의 최댓값은 7

이다.

④


0288 오른쪽 그림과 같이 지면을 x축,

포물선의 축을 y축, A 지점을

점 (-3, 0), B 지점을 점 (3, 0)으로

하는 좌표평면을 생각하면

C{;2#;, 0}, P{;2#;, 6}

이때 세 점 A, P, B를 지나는 포물선을

포함하는 그래프를 이차함수 y=axÛ +q (a<0)의 그래프라 하

면 이 그래프가 점 B(3, 0)을 지나므로

0=a_3Û`+q ∴ 9a+q=0 yy`㉠

또, 이차함수 y=axÛ`+q의 그래프는 점 P{;2#;, 6}을 지나므로

6=a_{;2#;}Û`+q ∴ ;4(;a+q=6 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;9*;, q=8

즉, 이차함수 y=-;9*;xÛ`+8은 x=0일 때 최댓값 8을 갖는다.

따라서 공이 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높이는

8`m이다. ②

본문 63~65쪽

0289 OAÓ=2OBÓ이므로 A(-2a, 0), B(a, 0)`(a>0)으

로 놓으면 두 수 -2a, a는 이차방정식 f(x)=0의 근이다.

이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합이 -2이므로

-2a+a=-a=-2 ∴ a=2

즉, 이차방정식 f(x)=0의 두 실근은 -4, 2이므로

A(-4, 0), B(2, 0)

한편, 이차방정식 f(2x-k)=0의 두 근은

2x-k=-4 또는 2x-k=2에서

x= k-42 또는 x= k+2

2

이때 이차방정식 f(2x-k)=0의 두 근의 합이 3이므로

k-42 + k+2

2 =3

2k-2=6, 2k=8

∴ k=4 4

0290 y=2x Û`-2ax=2{x-;2A;} Û`- aÛ`2 이므로 이 함수의 그

래프의 꼭짓점은 A{;2A;, - aÛ`2 }이다.

한편, 2xÛ`-2ax=0에서

2x(x-a)=0 ∴ x=0 또는 x=a

∴ B(a, 0)

또한, 선분 BC의 길이가 3이므로 C(a+3, 0)이다.

0291 이차함수 y=xÛ`+(1-2m)x-(m+1)의 그래프가

x축과 만나는 서로 다른 두 점의 x좌표를 각각 a, b라 하면

a, b는 이차방정식 xÛ +(1-2m)x-(m+1)=0의 서로 다른

두 실근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=2m-1, ab=-(m+1)

이때 두 점 (a, 0), (b, 0) 사이의 거리는

|a-b| ="Ã(a-b)Û`="Ã(a+b)Û`-4ab

="Ã(2m-1)Û`+4(m+1)

="Ã4mÛ`+5

따라서 m=0일 때 x축과 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리

가 최소가 된다. 0참고 이차방정식 xÛ`+(1-2m)x-(m+1)=0의 판별식을 D라 하면

D=(1-2m)Û`+4(m+1)=4mÛ`+5>0

이므로 주어진 이차함수의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

즉, 이차함수 y=f(x)의 최고차항의 계수가 -1이므로

f(x)=-(x-a)(x-a-3)으로 놓을 수 있다.

이차함수 y=f(x)의 그래프가 점 A{;2A;, - aÛ`2 }을 지나므로

- aÛ`2 =-{;2A;-a}{;2A;-a-3}

aÛ`-6a=0, a(a-6)=0 ∴ a=6 (∵ a>0)

∴ A(3, -18), B(6, 0), C(9, 0)

따라서 삼각형 ACB의 넓이는

;2!;_3_18=27 27

0292 y=-xÛ`+4ax-8a+5에서

(4x-8)a-xÛ`+5-y=0

위 등식이 a에 대한 항등식이므로

4x-8=0 yy`㉠

-xÛ`+5-y=0 yy`㉡

㉠에서 x=2이고 이를 ㉡에 대입하면

-4+5-y=0 ∴ y=1

즉, 이차함수 y=-xÛ`+4ax-8a+5의 그래프는 실수 a의 값

에 관계없이 점 P(2, 1)을 지난다.

한편, y =-xÛ`+4ax-8a+5=-(x-2a)Û`+4aÛ`-8a+5

이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는

(2a, 4aÛ`-8a+5)

2a=2 ∴ a=1

즉, 이차함수 y=-xÛ`+4ax-8a+5는

y=-xÛ`+4x-3=-(x-1)(x-3)

이고 -(x-1)(x-3)=0에서 x=1 또는 x=3

∴ A(1, 0), B(3, 0) 또는 A(3, 0), B(1, 0)

따라서 삼각형 PAB의 넓이는

;2!;_2_1=1 1


0294 이차함수 y=;4!;(x+k)Û`의 그래프와 직선 y=akx가

접하므로 이차방정식 ;4!;(x+k)Û`=akx, 즉

xÛ`+2k(1-2a)x+kÛ`=0의 판별식을 D라 하면

D4 =kÛ`(1-2a)Û`-kÛ`=0

4aÛ`kÛ`-4akÛ`=0 ∴ 4akÛ`(a-1)=0

이때 ak+0이므로 a=1

따라서 두 직선 y=x, y=-x와 직선

x=4로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의

어두운 부분과 같으므로 그 넓이는

;2!;_8_4=16

③

0296 직선 y=mx+2가 y축과 만

나는 점을 C라 하면 점 C의 좌표는

(0, 2)이고 삼각형 AOB의 넓이는 두

삼각형 AOC, COB의 넓이의 합과 같

다. 이차함수 y=xÛ`의 그래프와 직선

y=mx+2가 만나는 서로 다른 두 점

A, B의 x좌표를 각각 a, b`(a<0<b)라 하면 삼각형 AOB

의 넓이가 3이므로

;2!;_2_(-a)+;2!;_2_b=3

∴ b-a=3 yy`㉠

이때 두 수 a, b는 이차방정식 xÛ =mx+2, 즉 xÛ -mx-2=0

의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=m, ab=-2

∴ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab=mÛ`+8

㉠에서 mÛ`+8=9이므로 mÛ`=1

∴ m=-1 (∵ m<0) -1

0297 이차함수 y=2-xÛ`의 그래프와 직선 y=ax+;4(;가 접

하므로 이차방정식 2-xÛ`=ax+;4(;, 즉 xÛ`+ax+;4!;=0의 판

별식을 D라 하면

D=aÛ`-4_;4!;=0 ∴ aÛ`=1 yy`㉠

이때 이차함수 y=2-xÛ`의 그래프와 직선 y=ax+;4(;가 제 2사

분면에서 접하려면 a>0이어야 하므로 ㉠에서 a=1

한편, 이차함수 y=2-xÛ`의 그래프와 직선 y=ax, 즉 y=x의

교점의 x좌표 a, b는 이차방정식 2-xÛ`=x의 두 실근이다.

따라서 이차방정식 xÛ +x-2=0에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-1 -1

0293 조건 ㈎에서

f(x)=f(6-x)에 x 대신 3+x를 대

입하면 f(3+x)=f(3-x)

즉, 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직

선 x=3에 대하여 대칭이다.

또한, 조건 ㈏에서 f(0)<0, f(1)>0

이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 위의 그림과 같아야 한다.

f(x)=a(x-3)Û`+k`(k는 실수)로 놓으면

f(x)=axÛ`-6ax+9a+k

이차방정식 f(x)=0의 두 실근을 a, b라 하면 근과 계수의 관

계에 의하여 a+b=- -6aa =6, ab= 9a+k

a 이므로 두 실근

의 차는

|a-b|="Ã(a-b)Û`="Ã(a+b)Û`-4ab

=¾¨6Û`-4_ 9a+ka =¾ 36a-36a-4k

a

=¾-4ka

¾-4ka =5의 양변을 제곱하면

-4ka =25 ∴ k=-:ª4°:a

∴ f(x)=axÛ`-6ax+9a-:ª4°:a=axÛ`-6ax+:Á4Á:a

따라서 b=-6a, c=:Á4Á:a이므로

b+4ca = -6a+11a

a =5 5

0295 일차함수 y=l(x)의 그래프가 두 이차함수 y=f(x),

y=g(x)의 그래프와 두 점 A(a, f(a)), B(b, g(b))에서 각

각 접하므로 방정식 f(x)-l(x)=0은 중근 a를 갖고,

방정식 g(x)-l(x)=0은 중근 b를 갖는다.

즉, 조건 ㈎에서

f(x)-l(x)=2(x-a)Û` yy`㉠

g(x)-l(x)=(x-b)Û` yy`㉡

㉠-㉡을 하면 f(x)-g(x)=2(x-a)Û`-(x-b)Û`

f(x)-g(x)=2(x-a)Û`-(x+2a)Û` (∵ 조건 ㈏)

∴ f(x)-g(x)=xÛ`-8ax-2aÛ`

이때 조건 ㈐에서 방정식 f(x)-g(x)=0, 즉

xÛ`-8ax-2aÛ`=0의 두 실근의 합이 24이므로 근과 계수의 관

계에 의하여 8a=24 ∴ a=3

∴ -2aÛ`=-2_3Û`=-18

따라서 두 이차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 두 교점의

x좌표의 곱은 -18이다. ④

0298 이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표를

(a, ka)라 하면 이차항의 계수가 1이므로

f(x)=(x-a)Û`+ka


0299 조건 ㈎에서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=1에 대

하여 대칭이므로 f(x)=a(x-1)Û +b`(a+0)로 놓을 수 있다.

Ú a>0일 때, 조건 ㈏에서 f(5)=0, f(1)=-8이므로

16a+b=0, b=-8 ∴ a=;2!;, b=-8

∴ f(x)=;2!;(x-1)Û`-8

이때 함수 y=| f(x)|의 그래

프는 오른쪽 그림과 같고 함수

y=| f(x)|의 그래프와 직선

y=1의 교점은 4개이다.

Û a<0일 때, 조건 ㈏에서

f(1)=0, f(5)=-8이므로

b=0, 16a+b=-8 ∴ a=-;2!;, b=0

∴ f(x)=-;2!;(x-1)Û`

이때 함수 y=| f(x)|의 그래프는

오른쪽 그림과 같고 함수

y=| f(x)|의 그래프와 직선

y=1의 교점은 2개이므로 조건 ㈐

를 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 f(x)=;2!;(x-1)Û`-8

∴ f(3)=;2!;(3-1)Û`-8=-6 -6

0300 오른쪽 그림과 같이

BQÓ=x`(0<x<3'2)라 하면

PQÓ=x, BPÓ='2x이때 ABÓ=6이므로 APÓ=6-'2x또한, PRÓ='2_APÓ='2(6-'2x)=6'2-2x이고

QCÓ=BCÓ-BQÓ=6'2-x이므로 사각형 PQCR의 넓이를 y라

하면

y=;2!;x{(6'2-2x)+(6'2-x)}

=6'2x-;2#;xÛ`

=-;2#;(x-2'2)Û`+12 (0<x<3'2)

따라서 x=2'2일 때 y의 최댓값은 12이므로 사각형 PQCR의

넓이의 최댓값은 12이다. 12

0302 ㄱ. 이차함수 f(x)=xÛ`-ax+b의 그래프가 x축과 서

로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의

판별식을 D라 하면

D=(-a)Û`-4b=aÛ`-4b>0

0301 ABÓ=x, BFÓ=y`(x>0, y>0)라 하면 직사각형

ABFE의 넓이는 xy이다.

조건 ㈏에서 2x+y+FCÓ=15이므로

FCÓ=15-2x-y

즉, 사다리꼴 EFCG의 넓이는

EFCD-△GCD=x(15-2x-y)-;2!;xÛ`

=x{15-;2%;x-y}

이때 조건 ㈐에서 xy=2_x{15-;2%;x-y}이므로

xy=x(30-5x-2y), y=30-5x-2y (∵ x>0)

3y=30-5x ∴ y=10-;3%;x

따라서 사다리꼴 EFCG의 넓이는

x{15-;2%;x-y}=x{15-;2%;x-10+;3%;x}

=x{5-;6%;x}

=-;6%;xÛ`+5x

=-;6%;(x-3)Û`+:Á2°:

따라서 ABÓ=3, BFÓ=5일 때 사다리꼴 EFCG의 넓이의 최댓

값은 :Á2°:이다. ④

이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=kx+5가 만나는 두 점

의 x좌표 a, b는 이차방정식 (x-a)Û`+ka=kx+5, 즉

xÛ`-(2a+k)x+aÛ`+ka-5=0의 근이므로 근과 계수의 관계

에 의하여

a+b=2a+k yy`㉠

ab=aÛ`+ka-5 yy`㉡

또, 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축이 직선 x= a+b2 -;4!;이

므로

a+b2 -;4!;=a ∴ a+b=2a+;2!; yy`㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 2a+;2!;=2a+k ∴ k=;2!;

k=;2!;을 ㉡에 대입하면

ab=aÛ`+;2!;a-5

∴ |a-b|="Ã(a-b)Û`="Ã(a+b)Û`-4ab

=¾¨{2a+;2!;}Û`-4{aÛ`+;2!;a-5}

=®Â:¥4Á:=;2(; ④


0305 이 상품의 현재 판매가격을 a, 하루 동안의 판매량을 b

라 하면 이 상품의 판매가격을 x`% 올린 가격은 a{1+;10{0;}이

고 이때의 판매량은 0.6x`% 감소하므로 b{1- 0.6x100 }이다.

이때의 판매금액을 y라 하면

y=a{1+;10{0;}_b{1- 0.6x100 }

= ab10Ý`

(100+x){100-;5#;x}

= ab10Ý`{-;5#;xÛ`+40x+10000}

= ab10Ý`[-;5#;{xÛ`- 200

3 x}+10000]

= ab10Ý`[-;5#;{x- 100

3 }Û`+;5#;_ 10000

9 +10000]

따라서 x= 1003 일 때 y의 값은 최대가 된다. :Á;3);¼:

본문 66~67쪽

0306

f(x)=a(x-100)(x-102),

g(x)=-b(x-101)(x-103)

이라 하면 주어진 방정식의 서로 다른

두 실근 a, b는 두 함수 y=f(x),

y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표

이므로 오른쪽 그림과 같다.

방정식 f(x)=g(x)의 실근은 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래

프의 교점의 x좌표이므로 그래프를 그려 생각해 본다.

0303 이차방정식 xÛ`+2(a-2)x+aÛ`+a-1=0이 서로 다

른 두 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면

D4 =(a-2)Û`-(aÛ`+a-1)>0

-5a+5>0 ∴ a<1

또한, 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-2(a-2), ab=aÛ`+a-1

∴ (1-a)(1-b) =1-(a+b)+ab

=1+2(a-2)+aÛ`+a-1

=aÛ`+3a-4

={a+;2#;}Û`-:ª4°:

a<1에서 이차함수 y={a+;2#;} Û`-:ª4°:

의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 a=-;2#;일 때, (1-a)(1-b)

의 최솟값은 -:ª4°:이다.

-:ª4°:

0304 점 A는 이차함수 y=xÛ`-3x+2의 그래프와 y축의 교

점이므로 A(0, 2)

두 점 B, C는 이차함수 y=xÛ`-3x+2의 그래프와 x축의 교점

이므로 이차방정식 xÛ`-3x+2=0에서

(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2

∴ B(1, 0), C(2, 0)

한편, 점 P(a, b)가 이차함수 y=xÛ`-3x+2의 그래프 위의 점

이므로 b=aÛ`-3a+2

이때 점 P가 점 A(0, 2)에서 점 C(2, 0)까지 움직이므로

0ÉaÉ2

∴ a+b+3 =a+(aÛ`-3a+2)+3

=aÛ`-2a+5

=(a-1)Û`+4 (0ÉaÉ2)

따라서 a+b+3은 a=0 또는 a=2일 때 최댓값 5를 갖고,

a=1일 때 최솟값 4를 가지므로 구하는 합은

5+4=9 9

ㄴ. f(x)=xÛ`-ax+b={x-;2A;}Û`- aÛ`4 +b

이때 꼭짓점의 x좌표 ;2A;가

aÉxÉa+1에 포함되지 않으므로 이

차함수 f(x)는 x=a에서 최솟값

f(a)=aÛ`-aÛ`+b=b를 갖는다.

ㄷ. 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직선

x=;2A;에 대하여 대칭이므로

f {;2A;+x}=f {;2A;-x}

x 대신 ;2B;를 대입하면 f {;2A;+;2B;}=f {;2A;-;2B;}

∴ f { a+b2 }=f { a-b

2 } yy`㉠

한편, a+b

2 , b-a

2 에 대하여

a+b

2 - b-a2 =a>0 ∴

a+b2 > b-a

2

또한, ;2A;, b-a2 에 대하여

;2A;- b-a2 = 2a-b

2 <0 (∵ b>2a)

∴ ;2A;< b-a2

즉, ;2A;< b-a2 < a+b

2 이므로

f {;2A;}<f { b-a2 }<f { a+b

2 } yy`㉡

㉠, ㉡에서 f { a-b2 }>f { b-a

2 }

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ④


0307

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라 하면

A(a, 2a+k), B(b, 2b+k), AÁ(a, 0), BÁ(b, 0), C{-;2K;, 0}

또, a, b는 이차방정식 -xÛ`+1=2x+k, 즉

xÛ`+2x+k-1=0의 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-2, ab=k-1 yy`㉠

두 삼각형 ACAÁ, BCBÁ의 넓이를 각각 SÁ, Sª라 하면

SÁ=;2!;(-2a-k){-;2K;-a}

={a+;2K;}Û`

Sª=;2!;(2b+k){b+;2K;}

={b+;2K;}Û`

두 삼각형 ACAÁ과 BCBÁ의 넓이의 합이 ;2#;이므로

{a+;2K;}Û`+{b+;2K;}Û`=;2#;

(aÛ`+bÛ`)+k(a+b)+ kÛ`2 =;2#;

∴ 2(aÛ`+bÛ`)+2k(a+b)+kÛ`-3=0 yy`㉡

이때 ㉠에서

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab

=4-2(k-1)

=-2k+6

이므로 ㉠과 aÛ`+bÛ`=-2k+6을 ㉡에 대입하면

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라 하고 a, b를 이용하여 각 점의

좌표 및 삼각형의 변의 길이를 나타낸다.

0308

|xÛ`-3x|-m(x-4)=0에서

|xÛ`-3x|=m(x-4)이므로 주어진

방정식의 실근은 두 함수

y=|xÛ`-3x|, y=m(x-4)의 그래

프의 교점의 x좌표이다.

이때 직선 y=m(x-4)는 m의 값에

관계없이 항상 점 (4, 0)을 지나므로 주어진 방정식이 서로 다

른 4개의 실근을 가지려면 직선의 기울기 m의 값이 0보다 작고

이차함수 y=-xÛ +3x (0ÉxÉ3)의 그래프에 접할 때보다 커

야 한다.

이차함수 y=-xÛ`+3x`(0ÉxÉ3)의 그래프와 직선

y=m(x-4)가 접할 때, 방정식 -xÛ`+3x=m(x-4), 즉

xÛ`+(m-3)x-4m=0의 판별식을 D라 하면

D=(m-3)Û`+16m=0

mÛ`+10m+9=0, (m+9)(m+1)=0

∴ m=-9 또는 m=-1

그런데 0ÉxÉ3에서 접하는 것은 m=-1일 때이다.

따라서 조건을 만족시키는 실수 m의 값의 범위는

-1<m<0 -1<m<0

방정식 f(x)-g(x)=0의 실근은 두 함수 y=f(x), y=g(x)의

그래프의 교점의 x좌표임을 이용한다.

즉, 100<a<101, 102<b<103이므로

[a]=100, [b]=102

한편, a(x-100)(x-102)=-b(x-101)(x-103)에서

(a+b)xÛ`-(202a+204b)x+100_102a+101_103b=0

이고 a, b는 이 이차방정식의 두 실근이므로 근과 계수의 관계

에 의하여

a+b= 202a+204ba+b =

202(a+b)+2ba+b

=202+ 2ba+b yy`㉠

이때 0<a<b이므로 a+b<2b<2a+2b

각 변을 a+b로 나누면

a+ba+b < 2b

a+b < 2a+2ba+b ∴ 1< 2b

a+b <2

따라서 ㉠에서 202+1<a+b<202+2, 즉

203<a+b<204이므로

[a+b]=203

∴ [a+b]+[a]+[b]=203+100+102=405

405

2(-2k+6)+2k_(-2)+kÛ`-3=0

kÛ`-8k+9=0 ∴ k=4Ñ'7이때 -2<k<2이므로 k=4-'7따라서 p=4, q=-1이므로

10p+q=40-1=39 39

0309

f(x)=xÛ`-4ax+4aÛ`+b라 하면

f(x)=(x-2a)Û`+b

2ÉxÉ4에서 이차함수 f(x)의 최솟값은 이차함수 y=f(x)의

그래프의 축 x=2a의 위치에 따라 달라진다.

Ú 2a<2, 즉 a<1일 때,

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과

같으므로 x=2에서 최솟값은

f(2)=(2-2a)Û`+b=4

∴ b=-4(a-1)Û`+4

Û 2É2a<4, 즉 1Éa<2일 때,

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그

림과 같으므로 x=2a에서 최솟

값은

b=4

이차함수의 그래프의 축의 위치에 따라 최솟값을 구해 본다.


0311

다음 그림과 같이 두 원의 접점을 T, 점 P에서 BCÓ, ABÓ에 내린

수선의 발을 각각 HÁ, Hª라 하고 원 OÁ의 반지름의 길이를

r`(0<r<6)라 하자.

△AHªP»△ABC`(AA 닮음)이므로

r`:`10=PHªÓ`:`8 ∴ PHªÓ=;5$;r

이때 BHÁÓ=PHªÓ=;5$;r, BQÓ=BTÓ=6-r이므로

QHÁÓ=|BHÁÓ-BQÓ|

=|;5$;r-(6-r)|=|;5(;r-6| yy`㉠

△PHÁC»△ABC`(AA 닮음)이고 CPÓ=10-r이므로

(10-r)`:`10=PHÁÓ`:`6

∴ PHÁÓ=;5#;(10-r) yy`㉡

㉠, ㉡에서

PQÓ Û`=PHÁÓ Û`+QHÁÓ Û`

=[;5#;(10-r)]Û`+{;5(;r-6}Û`

=:Á5¥:(rÛ`-8r+20)

=:Á5¥:(r-4)Û`+:¦5ª:

즉, PQÓ Û`은 r=4일 때 최솟값 :¦5ª: 를 갖는다.

따라서 a=5, b=72이므로

ab=5_72=360 360

PQÓ를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만든다.

Ü 2a¾4, 즉 a¾2일 때,

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그

림과 같으므로 x=4에서 최솟값

은

f(4)=(4-2a)Û`+b=4

∴ b=-4(a-2)Û`+4

Ú, Û, Ü에서

( -4(a-1)Û`+4 (a<1)

b= { 4 (1Éa<2)

9 -4(a-2)Û`+4 (a¾2)

2a+b=k로 놓으면

b=-4(a-2)Û`+4의 그래프와 직선

b=-2a+k가 접할 때 k는 최댓값을

갖는다.

이차방정식

-4(a-2)Û`+4=-2a+k, 즉

4aÛ`-18a+k+12=0의 판별식을 D라 하면

D4 =81-4(k+12)=0

4k=33 ∴ k=:£4£:

따라서 M=:£4£:이므로 4M=33 33

0310

점 Q의 좌표를 (c, b)라 하면 이차함수 f(x)=xÛ`-10x+9,

즉 f(x)=(x-5)Û`-16의 그래프는 축 x=5에 대하여 대칭이

므로

a+c2 =5 ∴ c=10-a

오른쪽 그림과 같이 점 P를 지나고

x축에 평행한 직선이 직선

x-y-26=0과 만나는 점을 S라

하면 선분 QR와 직선

x-y-26=0은 수직이고, 직선

x-y-26=0의 기울기가 1이므로

선분 RS를 대각선으로 하는 정사각

형과 정사각형 Tª는 합동이다.

점 S의 좌표를 (d, b)라 하면 점 S는 직선 x-y-26=0 위의

점이므로

d-b-26=0 ∴ d=b+26

∴ lÁ=4(c-a)=4(10-a-a)=40-8a

lª=4_ d-c2 =2(b+26-10+a)=2a+2b+32

또한, 점 P(a, b)는 이차함수 y=f(x)의 그래프 위의 점이므로

b=aÛ`-10a+9

대각선의 길이가 같은 정사각형은 합동임을 이용한다.

∴ 2lª-lÁ=2(2a+2b+32)-(40-8a)

=12a+4b+24

=12a+4(aÛ`-10a+9)+24

=4aÛ`-28a+60

=4{a-;2&;}Û`+11 (0<a<5)

따라서 a=;2&;일 때 2lª-lÁ의 최솟값은 11이다. 11


본문 69~73쪽

0312 xÜ`-3xÛ`-x+3=0에서

xÛ`(x-3)-(x-3)=0, (x-3)(xÛ`-1)=0

(x+1)(x-1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=1 또는 x=3

따라서 a=-1, b=1, c=3이므로

a+2b+3c=-1+2+9=10 ②

0313 f(x)=xÝ`-2xÛ`+3x-2로 놓으면

f(-2)=0, f(1)=0

이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

-2 1 0 -2 3 -2

-2 4 -4 2

1 1 -2 2 -1 0

1 -1 1

1 -1 1 0

∴ f(x)=(x+2)(x-1)(xÛ`-x+1)

이때 방정식 f(x)=0의 두 허근 a, b는 방정식 xÛ`-x+1=0

의 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=1, ab=1

∴ (a+1)(b+1) =ab+a+b+1

=1+1+1=3 3

0315 xÝ`-xÜ`+axÛ`+x+6=0의 한 근이 -2이므로

16+8+4a-2+6=0 ∴ a=-7

따라서 주어진 방정식은 xÝ`-xÜ`-7xÛ`+x+6=0

f(x)=xÝ`-xÜ`-7xÛ`+x+6으로 놓으면

f(-2)=0, f(-1)=0, f(1)=0


-2 1 -1 -7 1 6

-2 6 2 -6

-1 1 -3 -1 3 0

-1 4 -3

1 -4 3 0

∴ f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)

즉, 주어진 방정식은

(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=-1 또는 x=1 또는 x=3

따라서 가장 큰 근은 3이므로 b=3

∴ a+b=-4 ④

0316 (xÛ`+x-1)(xÛ`+x+3)-5=0에서 xÛ`+x=t로 놓

으면

(t-1)(t+3)-5=0, tÛ`+2t-8=0

(t+4)(t-2)=0

즉, (xÛ`+x+4)(xÛ`+x-2)=0에서

(xÛ`+x+4)(x+2)(x-1)=0

∴ xÛ`+x+4=0 또는 x=-2 또는 x=1

이때 이차방정식 xÛ`+x+4=0의 판별식을 D라 하면

D=1-16=-15<0에서 이 이차방정식은 두 허근 a, b를 가

지므로 근과 계수의 관계에 의하여

ab=4

한편, 이차방정식 xÛ`+x+4=0의 계수가 모두 실수이므로 a가

근이면 a®도 근이다.

따라서 a®=b, b®=a이므로

aa®+bb® =ab+ba=2ab

=2_4=8 ⑤

0317 xÝ`-31xÛ`+9=0에서

(xÝ`-6xÛ`+9)-25xÛ`=0, (xÛ`-3)Û`-(5x)Û`=0

(xÛ`+5x-3)(xÛ`-5x-3)=0

방정식 xÛ +5x-3=0의 두 근을 a, b, 방정식 xÛ -5x-3=0

의 두 근을 c, d라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-5, ab=-3, c+d=5, cd=-3

∴ 1a+ 1b+ 1

c+ 1d= a+bab + c+dcd

= -5-3 + 5

-3 =0 ③

0314 주어진 방정식의 두 근이 -1, 1이므로

-1-a-b+2+2b=0에서 -a+b=-1 yy`㉠

1-a+b-2+2b=0에서 -a+3b=1 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1

따라서 주어진 방정식은

xÜ`-2xÛ`-x+2=0

f(x)=xÜ`-2xÛ`-x+2로 놓으면

f(-1)=0, f(1)=0


-1 1 -2 -1 2

-1 3 -2

1 -3 2 0

∴ f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)

즉, 주어진 방정식은 (x+1)(x-1)(x-2)=0이므로 나머지

한 근은 2이다. 2


여러�가지�방정식07


0318 방정식 xÝ`+2xÜ`-xÛ`+2x+1=0의 양변을 xÛ`으로 나

누면

xÛ`+2x-1+ 2x + 1

xÛ`=0, xÛ`+ 1

xÛ`+2{x+ 1

x }-1=0

{x+ 1x }

Û`+2{x+ 1x }-3=0

이때 x+ 1x =X로 놓으면

XÛ`+2X-3=0, (X+3)(X-1)=0

∴ X=-3 또는 X=1

Ú X=-3, 즉 x+ 1x =-3일 때

xÛ`+3x+1=0

이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ=3Û`-4_1_1=5>0

이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

Û X=1, 즉 x+ 1x =1일 때

xÛ`-x+1=0

이 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면

Dª=(-1)Û`-4_1_1=-3<0

이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

Ú, Û에서 a는 방정식 xÛ`+3x+1=0의 한 실근이므로

aÛ`+3a+1=0

양변을 a`(a+0)로 나누면

a+3+;�!;=0 ∴ a+;�!;=-3 ①

0319 f(x)=2xÜ`-(a+2)xÛ`+a로 놓으면

f(1)=2-(a+2)+a=0


1 2 -(a+2) 0 a

2 -a -a

2 -a -a 0

∴ f(x)=(x-1)(2xÛ`-ax-a)

이때 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면

Ú 방정식 2xÛ`-ax-a=0이 x=1을 근으로 갖는 경우

2-a-a=0 ∴ a=1

Û 방정식 2xÛ`-ax-a=0이 중근을 갖는 경우

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D=aÛ`+8a=0, a(a+8)=0

∴ a=0 또는 a=-8

Ú, Û에서 구하는 a의 값의 합은

1+0+(-8)=-7 ④

0320 f(x)=xÜ`+xÛ`-(k+3)x-2k-2로 놓으면

f(-2)=-8+4+2(k+3)-2k-2=0


0321 f(x)=xÜ`+(8-a)xÛ`-7ax-aÛ`으로 놓으면

f(a)=aÜ`+aÛ`(8-a)-7aÛ`-aÛ`=0


a 1 8-a -7a -aÛ`

a 8a aÛ`

1 8 a`` 0`

f(x)=(x-a)(xÛ`+8x+a)

이때 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 방정식

xÛ +8x+a=0이 x+a인 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

방정식 xÛ`+8x+a=0의 판별식을 D라 하면

D4 =16-a>0에서 a<16 yy`㉠

또, x=a는 방정식 xÛ`+8x+a=0의 근이 아니어야 하므로

aÛ`+8a+a+0, a(a+9)+0

∴ a+0, a+-9 yy`㉡

㉠, ㉡에서 자연수 a는 1, 2, 3, y, 15의 15개이다. 15

-2 1 1 -(k+3) -2k-2

-2 2 2k+2

1 -1 -k-1 0

∴ f(x)=(x+2)(xÛ`-x-k-1)

ㄱ. 방정식 f(x)=0에서 x=-2는 근이므로 적어도 하나의 실

근을 갖는다.

ㄴ. 방정식 f(x)=0이 오직 하나의 실근을 가지려면

Ú 방정식 xÛ`-x-k-1=0이 x=-2를 중근으로 갖는

경우

이때 (x+2)Û`+xÛ`-x-k-1이므로 x=-2를 중근으

로 가질 수 없다.

Û 방정식 xÛ`-x-k-1=0이 서로 다른 두 허근을 갖는

경우


D=1-4(-k-1)<0 ∴ k<-;4%;

Ú, Û에서 k<-;4%;이므로 정수 k의 최댓값은 -2이다.

ㄷ. 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면

Ú 방정식 xÛ`-x-k-1=0이 x=-2를 근으로 갖는 경

우

4+2-k-1=0 ∴ k=5

Û 방정식 xÛ`-x-k-1=0이 중근을 갖는 경우


D=1-4(-k-1)=0 ∴ k=-;4%;

� Ú, Û에서 k의 값의 합은 5+{-;4%;}=:Á4°:


07. 여러 가지 방정식 057

0322 삼차방정식 xÜ`+2xÛ`-3x+4=0의 세 근이 a, b, c이

므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-2, ab+bc+ca=-3, abc=-4

∴ (3+a)(3+b)(3+c)

=27+9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)+abc

=27+9_(-2)+3_(-3)-4

=-4 ②

다른풀이

삼차방정식 xÜ`+2xÛ`-3x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로

xÜ`+2xÛ`-3x+4=(x-a)(x-b)(x-c)

위의 식의 양변에 x=-3을 대입하면

{(-3)Ü`+2_(-3)Û`-3_(-3)+4}

=(-3-a)(-3-b)(-3-c)

∴ (3+a)(3+b)(3+c)=-4

0324 삼차방정식 xÜ`-2xÛ`+5x+k=0의 세 근이 a, b, c이


a+b+c=2, ab+bc+ca=5, abc=-k

∴ (a+b)(b+c)(c+a)

=(2-c)(2-a)(2-b)

=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc

=8-4_2+2_5-(-k)=10+k

따라서 (a+b)(b+c)(c+a)=-3abc에서

10+k=3k, 2k=10 ∴ k=5 ④

0326 삼차방정식 xÜ`+2xÛ`-3x-2=0의 세 근이 a, b, c이


a+b+c=-2, ab+bc+ca=-3, abc=2

1a ,

1b ,

1c 을 세 근으로 하는 삼차방정식에서

1a+ 1

b+ 1c= ab+bc+caabc =-;2#;

1a_ 1b+ 1

b_ 1c+ 1c_ 1a= a+b+cabc = -2

2 =-1

1a_ 1b_ 1

c= 1abc=;2!;

따라서 구하는 삼차방정식은

2{xÜ`+;2#;xÛ`-x-;2!;}=0

∴ 2xÜ`+3xÛ`-2x-1=0 2xÜ`+3xÛ`-2x-1=0

0327 P(-1)=P(0)=P(1)=1에서

P(-1)-1=P(0)-1=P(1)-1=0

이므로 삼차방정식 P(x)-1=0의 세 근은 -1, 0, 1이다.

이때 -1, 0, 1을 세 근으로 하고 최고차항의 계수가 1인 삼차방

정식은

xÜ`-(-1+0+1)xÛ`+{(-1)_0+0_1+1_(-1)}x

-(-1)_0_1=0

∴ xÜ`-x=0

즉, P(x)-1=xÜ`-x이므로

P(x)=xÜ`-x+1

이때 삼차방정식 P(x)=0에서 삼차방정식의 근과 계수의 관계

에 의하여

a+b+c=0, ab+bc+ca=-1, abc=-1

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)

=0-2_(-1)=2 ②

0328 주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 한 근

이 -1-'3이면 -1+'3도 근이다.

즉, 주어진 방정식의 세 근이 2, -1-'3, -1+'3이므로 삼

차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

2+(-1-'3)+(-1+'3)=-a

2(-1-'3)+(-1-'3)(-1+'3)+2(-1+'3)=b

2(-1-'3)(-1+'3)=-c

따라서 a=0, b=-6, c=4이므로

a+b+c=-2 -2

0329 주어진 삼차방정식의 계수가 모두 실수이므로 한 근이

2+i이면 2-i도 근이다.

나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의

하여

a(2+i)(2-i)=5, 5a=5 ∴ a=1

0323 삼차방정식 xÜ`+xÛ`-4x+4=0의 세 근이 a, b, c이므

로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-1, ab+bc+ca=-4, abc=-4

∴ b+ca + c+ab + a+bc

= -1-aa + -1-b

b + -1-cc

=-{ 1a+ 1

b+ 1c }-3

=- ab+bc+caabc -3

=-1-3=-4 -4

0325 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx-64=0의 세 근을

a, 2a, 4a`(a+0인 실수)라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관

계에 의하여

a+2a+4a=-a ∴ a=-7a yy`㉠

a_2a+2a_4a+4a_a=b ∴ b=14aÛ` yy`㉡

a_2a_4a=64 ∴ aÜ`=8 yy`㉢

㉢에서 a는 실수이므로 a=2

이것을 ㉠, ㉡에 대입하면

a=-14, b=56

∴ a+b=42 42


0331 xÜ`+1=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0이므로

a, b는 방정식 xÛ`-x+1=0의 두 허근이다.

ㄱ. aÛ`-a+1=0이므로 aÛ`-a=-1

ㄴ. a, b는 이차방정식 xÛ`-x+1=0의 두 허근이므로 이차방

정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=1, ab=1

∴ (a+1)(b+1) =ab+(a+b)+1=1+1+1=3

ㄷ. aÛ`-a+1=0, aÜ`=-1, bÛ`-b+1=0, bÜ`=-1이므로

(aÛ`+bÛ`)+(aÜ`+bÜ`)+(aÝ`+bÝ`)

=aÛ`+aÜ`+aÝ`+bÛ`+bÜ`+bÝ`

=aÛ`-1-a+bÛ`-1-b=-4

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④

따라서 나머지 한 근이 1이므로

1+(2+i)+(2-i)=-a에서 a=-5

1_(2+i)+(2+i)(2-i)+(2-i)_1=b에서 b=9

∴ 2a+b=-1 ③

0330 xÜ`=1에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므로

x는 방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이다.

즉, xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

∴ (x+1)(xÛ`+1)(xÜ`+1)(xÝ`+1)(xÞ`+1)

=(x+1)(xÛ`+1)(1+1)(x+1)(xÛ`+1)

=2(x+1)Û`(xÛ`+1)Û`

=2(-xÛ`)Û`(-x)Û`

=2xß`=2 2

0332 xÛ`+x+1=0의 양변에 x-1을 곱하면

(x-1)(xÛ`+x+1)=0, xÜ`-1=0 ∴ xÜ`=1

즉, x는 방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로

xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

ㄱ. xÜ`=1이므로 x=1을 xÞ`-xÝ`-1=0에 대입하면

1Þ`-1Ý`-1=-1+0

ㄴ. x=-xÛ`을 xÞ`-xÝ`-1=0에 대입하면

-x10-x8-1 =-x-xÛ`-1 (∵ xÜ`=1)

=-(xÛ`+x+1)=0

ㄷ. xÜ`=1에서 1x=xÛ`

x=xÛ`을 xÞ`-xÝ`-1=0에 대입하면

x10-x8-1 =x-xÛ`-1 (∵ xÜ`=1)

=2x+0

따라서 근이 될 수 있는 것은 ㄴ이다. ②

0333 xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, 즉 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므

로 x는 방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이다.

∴ xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

이때

f(1)= x1+xÛ` =

x-x=-1

f(2)= xÛ`1+xÝ` =

xÛ`1+x= xÛ`

-xÛ` =-1

f(3)= xÜ`1+xß` =;2!;

f(4)= xÝ`1+x¡` =

x1+xÛ` =f(1)

f(5)= xÞ`1+xÚ`â` =

xÛ`1+xÝ` =f(2)

f(6)= xß`1+xÚ`Û` =

xÜ`1+xß` =f(3)

⋮

이므로

f(1)=f(4)=f(7)=`y`=f(16)=f(19)=-1

f(2)=f(5)=f(8)=`y`=f(17)=f(20)=-1

f(3)=f(6)=f(9)=`y`=f(18)=;2!;

∴ f(1)+f(2)+f(3)+`y`+f(20)

={-1-1+;2!;}_6-1-1=-11 ①

0334 [ x-y=2 yy`㉠

xÛ`+3yÛ`=28 yy`㉡㉠에서 x=y+2 yy`㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 (y+2)Û`+3yÛ`=28

yÛ`+y-6=0, (y+3)(y-2)=0

∴ y=-3 또는 y=2

이것을 ㉢에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는

[ x=-1

y=-3 또는 [

x=4

y=2

따라서 a=4, b=2 (∵ a>0, b>0)이므로

ab=8 8

0335 [ xÛ`+yÛ`=40 yy`㉠

4xÛ`+yÛ`=4xy yy`㉡㉡에서 (2x-y)Û`=0이므로

y=2x yy`㉢


xÛ`+4xÛ`=40, xÛ`=8

∴ x=Ñ2'2이것을 ㉢에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는

[ x=-2'2y=-4'2

또는 [ x=2'2y=4'2

따라서 a=Ñ2'2, b=Ñ4'2`(복부호동순)이므로

|a-b|=2'2 ④


0336 [ xÛ`+yÛ`+x+y=4

x+y-xy=1, 즉 [

(x+y)Û`-2xy+x+y=4

x+y-xy=1

에서 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은

[ aÛ`+a-2b=4 yy`㉠

a-b=1 yy`㉡㉡에서 b=a-1 yy`㉢


aÛ`+a-2(a-1)=4

aÛ`-a-2=0, (a+1)(a-2)=0

∴ a=-1 또는 a=2


a=-1, b=-2 또는 a=2, b=1

Ú a=-1, b=-2, 즉 x+y=-1, xy=-2일 때

x, y는 이차방정식 tÛ`+t-2=0의 두 근이므로

(t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1

∴ [ x=-2

y=1 또는 [

x=1

y=-2

Û a=2, b=1, 즉 x+y=2, xy=1일 때

x, y는 이차방정식 tÛ`-2t+1=0의 두 근이므로

(t-1)Û`=0 ∴ t=1

∴ [ x=1

y=1

Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (x, y)는

(-2, 1), (1, -2), (1, 1)

(-2, 1), (1, -2), (1, 1)

0337 [ x+y=a yy`㉠

2xÛ`+yÛ`=6 yy`㉡㉠에서 y=-x+a

이것을 ㉡에 대입하면

2xÛ`+(-x+a)Û`=6

∴ 3xÛ`-2ax+aÛ`-6=0

이를 만족시키는 x의 값이 오직 한 개 존재해야 하므로 이 이차

방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =(-a)Û`-3(aÛ`-6)=0

-2aÛ`+18=0, aÛ`=9

∴ a=Ñ3

따라서 모든 실수 a의 값의 곱은

3_(-3)=-9 ①

0338 [ 4x+y=k yy`㉠

xÛ`+2x+y=0 yy`㉡㉠에서 y=-4x+k

이것을 ㉡에 대입하면 xÛ`+2x+(-4x+k)=0

∴ xÛ`-2x+k=0

이를 만족시키는 실수 x의 값이 존재해야 하므로 이 이차방정식

의 판별식을 D라 하면

0339 4xÛ`(x-1)=192이므로

xÜ`-xÛ`-48=0

조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

4 1 -1 0 -48

4 12 48

1 3 12 0

(x-4)(xÛ`+3x+12)=0

∴ x=4 (∵ x는 실수) 4

0341 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형의

두 변의 길이를 각각 x`cm, y`cm라 하면

직각삼각형의 빗변의 길이가 10`cm이므로

xÛ`+yÛ`=100

또, 직각삼각형의 넓이가 24`cmÛ`이므로

;2!;xy=24, 즉 xy=48 yy`㉠

(x+y)Û` =xÛ`+yÛ`+2xy

=100+2_48=196

∴ x+y=14 (∵ x>0, y>0) yy`㉡

㉡에서 y=14-x이므로 이것을 ㉠에 대입하면

x(14-x)=48, xÛ`-14x+48=0

(x-6)(x-8)=0 ∴ x=6 또는 x=8

따라서 가장 짧은 변의 길이는 6`cm이다. 6`cm

0342 두 삼각형 ABC, DBA에서

∠BCA=∠BAD, ∠B는 공통이므로

△ABC»△DBA (AA 닮음)

D4 =(-1)Û`-k¾0 ∴ kÉ1

따라서 정수 k의 최댓값은 1이다. ④

0340 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 네 귀

퉁이를 잘라 내어 만든 상자의 부피가 1000`cmÜ`이므로

(30-2x)(20-2x)x=1000

∴ xÜ`-25xÛ`+150x-250=0

조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

5 1 -25 150 -250

5 -100 250

1 -20 50 0

(x-5)(xÛ`-20x+50)=0

∴ x=5 (∵ x는 자연수)

따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 5`cm이다.

5`cm


0343 두 이차방정식의 공통근이 a이므로

aÛ`+(k+2)a-(k+6)=0 yy`㉠

aÛ`-a+k=0 yy`㉡

㉠-㉡을 하면

(k+3)a-2(k+3)=0, (k+3)(a-2)=0

∴ k=-3 또는 a=2

이때 k=-3이면 두 이차방정식은 xÛ`-x-3=0으로 일치하므

로 공통근이 2개이다.

즉, 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 두 이차방정식이 오직 하나의 공통근을 가지려면 a=2

이어야 하므로 a=2를 ㉡에 대입하면

4-2+k=0 ∴ k=-2

∴ aÛ`+kÛ`=2Û`+(-2)Û`=8 8

CDÓ=x, ACÓ=x-1, ABÓ=y라 하면

ABÓ`:`ACÓ=DBÓ`:`DAÓ이므로 y`:`(x-1)=8`:`6

∴ x=;4#;y+1 yy`㉠

ABÓ`:`BCÓ=DBÓ`:`BAÓ이므로 y`:`(8+x)=8`:`y

∴ yÛ`=8x+64 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 yÛ`=8{;4#;y+1}+64

yÛ`-6y-72=0, (y+6)(y-12)=0

∴ y=12 (∵ y>0)

y=12를 ㉠에 대입하면 x=10

∴ ABÓ=12, BCÓ=8+10=18, CAÓ=10-1=9

따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는

12+18+9=39 39

0344 xy-2x+3y-13=0에서

x(y-2)+3(y-2)-7=0 ∴ (x+3)(y-2)=7

x, y가 양의 정수이므로 x+3=7, y-2=1

따라서 x=4, y=3이므로

x+y=7 ④

0345 2xÛ`+4xy+5yÛ`-4x+2y+5=0에서

(xÛ`+4xy+4yÛ`)+(xÛ`-4x+4)+(yÛ`+2y+1)=0

(x+2y)Û`+(x-2)Û`+(y+1)Û`=0

이때 x, y가 실수이므로

x+2y=0, x-2=0, y+1=0

따라서 x=2, y=-1이므로

x-y=3 3

다른풀이

주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

2xÛ`+4(y-1)x+5yÛ`+2y+5=0 yy`㉠

x가 실수이므로 x에 대한 이차방정식 ㉠이 실근을 가져야 한다.

이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D4 ={2(y-1)}Û`-2(5yÛ`+2y+5)¾0

6yÛ`+12y+6É0, (y+1)Û`É0

이때 y도 실수이므로 y=-1

y=-1을 ㉠에 대입하면 2xÛ`-8x+8=0

(x-2)Û`=0 ∴ x=2

∴ x-y=3

본문 74~77쪽

0346 xÝ`-(k+2)xÛ`+kÛ`=0 yy`㉠

에서 xÛ`=t로 놓으면

tÛ`-(k+2)t+kÛ`=0 yy`㉡

방정식 ㉠이 서로 다른 네 실근을 가지므로 방정식 ㉡이 서로 다

른 두 양의 실근을 갖는다.

방정식 ㉡의 두 양의 실근을 a, b`(a>b)라 하면 방정식 ㉠의

서로 다른 네 실근을 작은 것부터 크기순으로 나열하면

-'a, -'b, 'b, 'a∴ a=-'a, b=-'b, c='b, d='a2(c-b)=d-a에서

2('b+'b)='a+'a, 2'b='a∴ a=4b

이차방정식 ㉡에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=5b=k+2, 즉 b= k+25 yy`㉢

ab=4bÛ`=kÛ`

여기에 ㉢을 대입하면 4{ k+25 }Û`=kÛ`

4kÛ`+16k+16=25kÛ`, 21kÛ`-16k-16=0

(7k+4)(3k-4)=0

∴ k=;3$; (∵ k>0) ②

0347 f(3x+1)=27xÜ`-9x에서 3x+1=t라 하면

x= t-13 이므로

f(t)=27{ t-13 }Ü`-9_ t-1

3 =tÜ`-3tÛ`+2

a, b, c는 삼차방정식 f(t)=0의 근이므로 삼차방정식의 근과


a+b+c=3, ab+bc+ca=0, abc=-2

∴ 1aÛ` +

1bÛ` +

1cÛ` ={

1a+ 1

b+ 1c }

Û`-2{ 1ab+ 1

bc+ 1ca }

={ bc+ac+ababc }Û`-2_ c+a+babc

=0Û`-2_{-;2#;}=3 ③


0350 삼차방정식 xÜ`+xÛ`+px+q=0에서 계수인 p, q가 실

수이므로 서로 다른 두 허근 a, -aÛ`은 서로 켤레근이다.

a=a+bi`(a, b는 실수, b+0)로 놓으면 -aÛ`=a-bi이므로

-(a+bi)Û`=a-bi

-aÛ`+bÛ`-2abi=a-bi

0348 xÜ`+axÛ`+bx+c=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방


a+b+c=-a, ab+bc+ca=b, abc=-c

xÜ`-2xÛ`+3x-1=0의 세 근이 1ab ,

1bc ,

1ca이므로 삼차방


1ab+ 1

bc+ 1ca= a+b+cabc =;cA;=2 yy`㉠

1ab_ 1

bc+ 1bc_ 1

ca+ 1ca_ 1

ab

= 1abÛ`c+ 1

abcÛ` +1aÛ`bc= ab+bc+ca

(abc)Û`

= bcÛ`

=3 yy`㉡

1ab_ 1

bc_ 1ca= 1

(abc)Û` =1cÛ`

=1 yy`㉢

㉢에서 cÛ`=1

㉠에서 a=2c이므로 aÛ`=4cÛ` ∴ aÛ`=4

㉡에서 b=3cÛ`이므로 bÛ`=9cÝ` ∴ bÛ`=9

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=14 ①

0351 조건 ㈎에서 f(x)는 x-1을 인수로 가지므로 1은 방정

식 f(x)=0의 한 근이다.

조건 ㈏에서 방정식 f(x)=0의 한 근이 1+'2i이고, 계수가 모

두 실수이므로 1-'2i도 방정식 f(x)=0의 근이다.

즉, 방정식 f(2x-1)=0에서

2x-1=1 또는 2x-1=1+'2i 또는 2x-1=1-'2i이므로

x=1 또는 x=1+'22 i 또는 x=1-

'22 i

따라서 구하는 모든 근의 곱은

1_{1+ '22 i}_{1- '22 i}=;2#; ④

삼차방정식의 근의 변형

삼차방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이면

f(a)=0, f(b)=0, f(c)=0

즉, f(ax+b)=0`(a+0)의 세 근은

ax+b=a, ax+b=b, ax+b=c에서

x= a-ba 또는 x= b-b

a 또는 x= c-ba

Lecture

0349 삼차방정식 xÜ`-13xÛ`+(m-6)x-m=0의 세 근을

a, b, c`(a¾b¾c)라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에

의하여

a+b+c=13, ab+bc+ca=m-6, abc=m

이때

(a-1)(b-1)(c-1)

={ab-(a+b)+1}(c-1)

=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1

=abc-(ab+bc+ac)+(a+b+c)-1

=m-(m-6)+13-1

=18

이고, 자연수 a, b, c에 대하여 a-1, b-1, c-1은 음이 아닌

정수이므로 a-1, b-1, c-1의 값을 표로 나타내면 다음과 같

다.

a-1 18 9 6 3

b-1 1 2 3 3

c-1 1 1 1 2

이때 a+b+c=13을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는

(7, 4, 2) 뿐이다.

따라서 a=7, m=abc=7_4_2=56이므로

a+m=63 ③

따라서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

-aÛ`+bÛ`=a, 2ab=b

2ab=b에서 a=;2!; (∵ b+0)

-aÛ`+bÛ`=a에서 bÛ`=;4#;, 즉 b=Ñ '32

∴ a= 1Ñ'3i2

즉, 주어진 삼차방정식의 두 근이 1+'3i

2 , 1-'3i

2 이므로 나

머지 한 근을 b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

1+'3i2 +

1-'3i2 +b=-1 ∴ b=-2

1+'3i2 _

1-'3i2 +

1+'3i2 _(-2)+

1-'3i2 _(-2)=p

∴ p=-1

1+'3i2 _

1-'3i2 _(-2)=-q ∴ q=2

∴ p+q=1 ③

다른풀이

두 근이 1+'3i

2 , 1-'3i

2 이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은

xÛ`-x+1=0이므로 삼차방정식 xÜ`+xÛ`+px+q=0의 한 실

근을 b라 하면

xÜ`+xÛ`+px+q =(x-b)(xÛ`-x+1)

=xÜ`-(1+b)xÛ`+(1+b)x-b

즉, 1=-(1+b)에서 b=-2이므로

p=1+b=-1, q=-b=2

∴ p+q=1


0353 xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, 즉 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므

로 x는 xÛ`+x+1=0의 한 허근이다.

∴ xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

또, x의 켤레복소수 x®는 xÜ`=1의 한 허근이므로

x® Ü`=1, x® Û`+x®+1=0, x+x®=-1, xx®=1

ㄱ. x® Ü`=1

ㄴ. 1x+{ 1

x }Û`= x+1

xÛ` = -xÛ`xÛ` =-1

1x ®

+{ 1x®}Û`= x®+1

x® Û`= -x® Û`x ® Û`

=-1

∴ 1x+{ 1

x }Û`= 1x®

+{ 1x®}Û`

ㄷ. (-x-1)n=(xÛ`)n

{ x®x+x®

}n

=(-x®)n={- 1x }

n

=(-1)n_{ 1x }

n

=(-1)n_(xÛ`)n

(-x-1)n={ x®x+x®

}n

에서 (xÛ`)n=(-1)n_(xÛ`)n

∴ 1=(-1)n

이를 만족시키는 자연수 n은 짝수이다.

즉, 100 이하의 짝수 n의 개수는 50이다.


0352 xÜ`-1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므로 a, b는

xÛ`+x+1=0의 두 허근이다.

이차방정식 xÛ`+x+1=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`+a+1=0, bÛ`+b+1=0


a+b=-1

∴ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)

=(a+b)+(aÛ`+bÛ`)+(aÜ`+bÜ`)+(aÝ`+bÝ`)

+(aÞ +bÞ )+(aß +bß )+(aà +bà )

=(a+b)+(aÛ`+aÜ`+aÝ`+aÞ`+aß`+aà`)

+(bÛ +bÜ +bÝ +bÞ +bß +bà )

=(a+b)+aÛ`(1+a+aÛ`)+aÞ`(1+a+aÛ`)

+bÛ (1+b+bÛ )+bÞ (1+b+bÛ )

=-1 ②

0354 xÜ =-1에서 xÜ +1=0, 즉 (x+1)(xÛ -x+1)=0이

므로 x는 xÛ`-x+1=0의 한 허근이고, 다른 한 허근은 x®이다.

이차방정식 xÛ`-x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여

x+x®=1 yy`㉠

한편, (x-1)Ü`=-27에서 양변을 27로 나누면

{ x-13 }Ü`=-1

0356 [ xÛ`+yÛ`=25

;[!;+;]!;=;1¦2;, 즉 [

(x+y)Û`-2xy=25

x+yxy =;1¦2;

에서 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은

[ aÛ`-2b=25 yy`㉠

;bA;=;1¦2; yy`㉡

㉡에서 b=:Á7ª:a yy`㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 aÛ`-:ª7¢:a=25

7aÛ`-24a-175=0, (7a+25)(a-7)=0

∴ a=7 (∵ x, y는 자연수)

a=7일 때, b=:Á7ª:_7=12이므로 x, y는 이차방정식

tÛ`-7t+12=0의 두 근이다.

(t-3)(t-4)=0 ∴ t=3 또는 t=4

따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 두 자연수 x, y는

x=3, y=4 또는 x=4, y=3

x=3, y=4 또는 x=4, y=3

0355 x2n+1+(x+1)2n을 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫을

Q(x)라 하면

x2n+1+(x+1)2n=(xÛ`+x+1)Q(x) yy`㉠

이때 xÛ`+x+1=0의 한 허근을 x라 하면

xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

㉠의 양변에 x=x를 대입하면

x2n+1+(x+1)2n=0 yy`㉡

이때 x+1=-xÛ`이므로

x2n+1+(x+1)2n=x2n+1+(-xÛ`)2n=x4n+x2n+1

Ú n=3k`(k=1, 2, 3, y)일 때

x4n+x2n+1=(xÜ`)4k+(xÜ`)2k+1=3

Û n=3k+1`(k=0, 1, 2, y)일 때

x4n+x2n+1 =x12k+4+x6k+2+1=xÝ`+xÛ`+1

=xÛ`+x+1=0

Ü n=3k+2`(k=0, 1, 2, y)일 때

x4n+x2n+1 =x12k+8+x6k+4+1=x¡`+xÝ`+1

=xÛ`+x+1=0

Ú, Û, Ü에서 ㉡을 만족시키려면 n은 3의 배수가 아니어야 한

다. 이때 n은 100보다 작은 자연수이므로 구하는 n의 개수는

99-33=66 66

이때 방정식 xÜ`=-1의 세 근이 -1, x, x®이므로

x-13 =-1 또는

x-13 =x 또는

x-13 =x ®

∴ x=-2 또는 x=3x+1 또는

x=3x®+1=3(1-x)+1=-3x+4 (∵ ㉠)

∴ a+b+c+d=3+1+(-3)+4=5 ⑤


0359 [ 2x-y=n yy`㉠

xÛ`+yÛ`=m yy`㉡㉠에서 y=2x-n yy`㉢

㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

5xÛ`-4nx+nÛ`-m=0

이를 만족시키는 x의 값이 오직 한 개 존재해야 하므로 이 이차

방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =(-2n)Û`-5(nÛ`-m)=0

nÛ`=5m

∴ n='¶5m (∵ n>0)

이때 n은 자연수이므로 자연수 m의 최솟값은 5이고, 그때의

n의 값은 5이다.

따라서 구하는 값은 5+5=10 ①

Ú, Û에서 a=1, b=0이므로

a-2b=1 ④

0360 ADÓ, ACÓ, BCÓ, ABÓ가 이 순서대로 네 개의 연속된 짝

수이므로 ADÓ=2n`(n은 자연수)이라 하면

ACÓ=2n+2, BCÓ=2n+4, ABÓ=2n+6

BDÓ=x, CDÓ=y라 하면 BDÓ+CDÓ=BCÓ이므로

x+y=2n+4 yy`㉠

두 삼각형 ABD, ADC는 각각 두 원 OÁ, Oª의 지름을 빗변으

로 하는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리에 의하여

ADÓ Û`+BDÓ Û`=ABÓ Û`, ADÓ Û`+CDÓ Û`=ACÓ Û`이므로

ABÓ Û`-BDÓ Û`=ACÓ Û`-CDÓ Û`

(2n+6)Û`-xÛ`=(2n+2)Û`-yÛ`

4nÛ`+24n+36-xÛ`=4nÛ`+8n+4-yÛ`

16n+32=(x-y)(x+y)

8(2n+4)=(x-y)(2n+4) (∵ ㉠)

∴ x-y=8 yy`㉡

㉠-㉡을 하면

2y=2n-4 ∴ y=n-2 yy`㉢

이때 직각삼각형 ADC에서 ADÓ Û`+CDÓ Û`=ACÓ Û`이므로

(2n)Û`+yÛ`=(2n+2)Û`

4nÛ`+(n-2)Û`=(2n+2)Û` (∵ ㉢)

nÛ`-12n=0, n(n-12)=0

∴ n=12 (∵ n은 자연수)

따라서 ABÓ=30, ACÓ=26이므로 두 원 OÁ, Oª의 넓이의 합 S

는

S=p_{:£2¼:}Û`+p_{:ª2¤:}Û`=225p+169p=394p

∴ Sp=394 394

0357 [ xÛ`+yÛ`=a+1 yy`㉠

x+y=b yy`㉡(x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로 ㉠, ㉡을 대입하면

bÛ`=a+1+2xy

∴ xy=;2!;(bÛ`-a-1) yy`㉢

㉡, ㉢에서 x, y는 t에 대한 이차방정식

tÛ`-bt+;2!;(bÛ`-a-1)=0

의 두 근이고, 이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식을

D라 하면

D=bÛ`-4_;2!;(bÛ`-a-1)¾0

-bÛ`+2a+2¾0 ∴ a¾;2!;bÛ`-1

이때 실수 a의 최솟값이 ;2&;이므로

;2!;bÛ`-1=;2&;, bÛ`=9

∴ b=3 (∵ b>0) 3

0358 Ú x>y일 때, <x, y>=x, <-x, -y>=-y이

므로 주어진 연립방정식은

[ xÛ`-xy=x yy`㉠

-yÛ`+xy=-y yy`㉡㉠+㉡을 하면 xÛ`-yÛ`=x-y

(x-y)(x+y-1)=0

이때 x+y이므로

x+y-1=0 ∴ y=1-x


xÛ`-x(1-x)=x, x(x-1)=0

∴ x=0 또는 x=1

이것을 y=1-x에 대입하면

x=0, y=1 또는 x=1, y=0

그런데 x>y이므로 주어진 연립방정식의 해는

x=1, y=0

Û x<y일 때, <x, y>=y, <-x, -y>=-x이므로 주

어진 연립방정식은

[ xÛ`-xy=y yy`㉢

-yÛ`+xy=-x yy`㉣㉢+㉣을 하면 xÛ`-yÛ`=y-x

(x-y)(x+y+1)=0

이때 x+y이므로

x+y+1=0 ∴ y=-x-1


xÛ`-x(-x-1)=-x-1

2xÛ`+2x+1=0 ∴ x= -1Ñi2

x는 실수이어야 하므로 주어진 연립방정식의 해는 없다.


반원의 호에 대한 원주각의 크기는 90ù이다.

즉, 선분 AB가 원의 지름이면

∠APB=90ù

Lecture

0361 (남아 있는 입체도형의 겉넓이)

=2{(정육면체의 밑면의 넓이)-(원기둥의 밑면의 넓이)}

+4(정육면체의 옆면의 넓이)+(원기둥의 옆면의 넓이)

=2(aÛ`-pbÛ`)+4aÛ`+2pab

=6aÛ`-2pbÛ`+2pab

=6aÛ`+2p(ab-bÛ`)

=216+16p

이때 a, b가 유리수이므로

6aÛ`=216, ab-bÛ`=8

∴ a=6, 6b-bÛ`=8

bÛ`-6b+8=0에서 (b-2)(b-4)=0

∴ b=2 또는 b=4

∴ b=2 (∵ a>2b)

∴ 15(a-b)=60 60

0363 xÛ`-2mx-1+m+mÛ`=0에서

x=mÑ"ÃmÛ`-(-1+m+mÛ`)=mÑ'Ä1-m`

근이 모두 정수이므로

1-m¾0 ∴ mÉ1

즉, 음이 아닌 정수 m의 값은 0 또는 1이다.

Ú m=0일 때, 주어진 방정식은

xÛ`-1=0 ∴ x=Ñ1

따라서 근이 모두 정수이다.

Û m=1일 때, 주어진 방정식은

xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1

따라서 근이 모두 정수이다.

Ú, Û에서 주어진 조건을 만족시키는 정수 m은 0, 1의 2개이

다. 2

0362 두 이차방정식 xÛ`+ax+;a!;=0, xÛ`+bx+;b!;=0의 공

통근이 a이므로

aÛ`+aa+;a!;=0 yy`㉠

aÛ`+ba+;b!;=0 yy`㉡

㉠-㉡을 하면

(a-b)a+;a!;-;b!;=0, (a-b)a- a-bab =0

(a-b){a-;aÁb;}=0

∴ a=;aÁb; (∵ a+b)

이때 a+b=2에서 b=2-a이므로

a= 1a(2-a)


1aÛ`(2-a)Û`

+ 12-a +;a!;=0

a+0, b+0이므로 위의 식의 양변에 aÛ`(2-a)Û`을 곱하면

1+aÛ`(2-a)+a(2-a)Û`=0

1+2aÛ`-aÜ`+4a-4aÛ`+aÜ`=0

-2aÛ`+4a+1=0, -aÛ`+2a=-;2!;

∴ a(2-a)=-;2!;

∴ a= 1a(2-a)

=-2 -2

0364 f(x)=xÜ`-3xÛ`+2(k-2)x+2k로 놓으면

f(-1)=-1-3-2(k-2)+2k=0


-1 1 -3 2(k-2) 2k

-1 4 -2k

1 -4 2k 0

∴ f(x)=(x+1)(xÛ`-4x+2k)

이때 방정식 f(x)=0이 오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 방

정식 xÛ`-4x+2k=0이 실근을 갖지 않거나 x=-1을 중근으

로 가져야 한다.

Ú 이차방정식 xÛ`-4x+2k=0이 실근을 갖지 않는 경우


D4 =4-2k<0 ∴ k>2

Û 이차방정식 xÛ -4x+2k=0이 x=-1을 중근으로 갖는 경우

1+4+2k=0 ∴ k=-;2%;

그런데 xÛ`-4x+2k=0, 즉 xÛ`-4x-5=0에서

(x+1)(x-5)=0이므로 중근을 갖지 않는다.

Ú, Û에서 k>2

따라서 정수 k의 최솟값은 3이다. 3

0365 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx-4=0의 세 근을 -1, a, b

라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

-1+a+b=-a ∴ a=1-(a+b) yy`㉠

-a-b+ab=b ∴ b=-(a+b)+ab yy`㉡

-1_a_b=4 ∴ ab=-4


본문 78~79쪽

0368

xÛ`-(n+1)x+n=0에서 (x-1)(x-n)=0

∴ x=1 또는 x=n

즉, 삼차방정식 xÜ`+pxÛ`+qx+16=0의 해가 x=1, x=n뿐

이므로

xÜ`+pxÛ`+qx+16=(x-1)Û`(x-n) 또는

xÜ`+pxÛ`+qx+16=(x-1)(x-n)Û`

Ú xÜ`+pxÛ`+qx+16=(x-1)Û`(x-n)인 경우

양변의 상수항을 비교하면 16=-n

∴ n=-16

Û xÜ`+pxÛ`+qx+16=(x-1)(x-n)Û`인 경우

양변의 상수항을 비교하면 16=-nÛ`

∴ nÛ`=-16

이를 만족시키는 실수 n은 없다.

Ú, Û에서 n=-16이므로

xÜ`+pxÛ`+qx+16 =(x-1)Û`(x+16)

=(xÛ`-2x+1)(x+16)

=xÜ`+14xÛ`-31x+16

∴ p=14, q=-31

한편, 다항식 xÜ +14xÛ -31x+16을 다항식 xÛ +(n+1)x+n,

즉 xÛ`-15x-16으로 나누면

x+29

xÛ`-15x-16`<Ô xÜ`+14xÛ`- 31x+ 16

xÜ`-15xÛ`- 16x

29xÛ`- 15x+ 16

29xÛ`-435x-464

420x+480

따라서 Q(x)=x+29이므로 Q(5)=34

∴ p+q+Q(5)=14+(-31)+34=17 17참고 이차방정식의 해 a, b만을 해로 가지므로 삼차방정식은

(x-a)Û`(x-b)의 꼴이다.

이차방정식의 해 중 하나는 삼차방정식의 중근이다.

0369

f(x)=2xÜ -5xÛ +(k+3)x-k로 놓으면 f(1)=0이므로 조립

제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

1 2 -5 k+3 -k

2 -3 k

2 -3 k 0

∴ f(x)=(x-1)(2xÛ`-3x+k)

삼차방정식의 세 근 중 직각삼각형의 빗변의 길이가 될 수 있는 것을

찾는다.

0367 한 모서리의 길이가 x`cm인 정육면체 4개를 쌓은 입체

도형이므로

A=4xÜ`

정육면체 4개의 겉넓이의 합은 6xÛ`_4=24xÛ`(cmÛ`)이고, 겹쳐

진 면의 넓이의 합은 2xÛ`_3=6xÛ`(cmÛ`)이므로

B=24xÛ`-6xÛ`=18xÛ`

B-2A=8이므로 18xÛ`-8xÜ`=8

∴ 4xÜ`-9xÛ`+4=0

f(x)=4xÜ`-9xÛ`+4로 놓으면 f(2)=0이므로 조립제법을 이

용하여 f(x)를 인수분해하면

2 4 -9 0 4

8 -2 -4

4 -1 -2 0

∴ f(x)=(x-2)(4xÛ`-x-2)

방정식 f(x)=0에서 x=2 (∵ x는 자연수) ②

이때 aÛ`+bÛ`=33이므로

(a+b)Û`-2ab=33, (a+b)Û`-2_(-4)=33

(a+b)Û`=25

∴ a+b=-5 또는 a+b=5

Ú a+b=-5일 때

㉠에서 a=1-(-5)=6

㉡에서 b=-(-5)-4=1

Û a+b=5일 때

㉠에서 a=1-5=-4<0이므로 a>0을 만족시키지 않는

다.

Ú, Û에서 ab=6 6

0366 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 원기둥

의 높이는 (x+2)`cm이므로 용기의 전체 부피는

(반원의 부피)+(원기둥의 부피)

=;2!;_;3$;pxÜ`+pxÛ`(x+2)

=:¤3¢:p(cmÜ`)

즉, ;3@;pxÜ`+pxÛ`(x+2)=:¤3¢:p이므로

;3@;xÜ`+xÛ`(x+2)=:¤3¢:, 2xÜ`+3xÛ`(x+2)=64

5xÜ`+6xÛ`-64=0, (x-2)(5xÛ`+16x+32)=0

∴ x=2 (∵ x는 자연수)

따라서 밑면의 반지름의 길이는 2`cm이다. ②


0370

f(x)=xÜ`+3xÛ`+4x+6으로 놓으면

f(x) =(xÛ`+x+1)(x+2)+x+4

∴ xÛ`+x+1=`f(x)-(x+4)

x+2 yy`㉠

방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이므로

f(a)=f(b)=f(c)=0

㉠에 x=a, x=b, x=c를 각각 대입하면

aÛ`+a+1=- a+4a+2 , bÛ`+b+1=- b+4

b+2 ,

cÛ`+c+1=- c+4c+2 이므로

(aÛ`+a+1)(bÛ`+b+1)(cÛ`+c+1)

={- a+4a+2 }_{-

b+4b+2 }_{-

c+4c+2 }

=-(a+4)(b+4)(c+4)(a+2)(b+2)(c+2)

yy`㉡

한편, f(x) =xÜ`+3xÛ`+4x+6=(x-a)(x-b)(x-c)에서

f(-2)=-8+12-8+6=2이므로

(-2-a)(-2-b)(-2-c)=2

∴ (a+2)(b+2)(c+2)=-2 yy`㉢

a, b, c를 세 근으로 하고 삼차항의 계수가 1인 삼차방정식은

(x-a)(x-b)(x-c)=0

f(-4)=-64+48-16+6=-26이므로

(-4-a)(-4-b)(-4-c)=-26

∴ (a+4)(b+4)(c+4)=26 yy`㉣

따라서 ㉢, ㉣을 ㉡에 대입하면 구하는 식의 값은

-(a+4)(b+4)(c+4)(a+2)(b+2)(c+2)

=- 26-2 =13 13

0372

두 방정식 P(x)=0, Q(x)=0의 공통근을 a라 하면

P(a)=0, 즉 aÛ`+pa+2q=0 yy`㉠

Q(a)=0, 즉 aÛ`+qa+2p=0 yy`㉡

㉠-㉡을 하면 (p-q)a+2(q-p)=0

(p-q)(a-2)=0 ∴ p=q 또는 a=2

그런데 p=q이면 두 방정식이 일치하므로 서로 다른 두 이차식

이라는 조건을 만족시키지 않는다.

∴ a=2

두 방정식 P(x)=0과 Q(x)=0의 근 중 공통근이 아닌 두 근

의 비가 2`:`1이므로 두 근을 각각 2b, b라 하자.

방정식 xÛ`+px+2q=0의 근은 2와 2b이므로 이차방정식의 근

과 계수의 관계에 의하여

2+2b=-p, 2_2b=2q

∴ p=-2b-2, q=2b

공통근과 나머지 한 근을 이차방정식 P(x)=0, Q(x)=0의 근으

로 놓고 근과 계수의 관계를 이용한다.

0371

xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, 즉 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므로 x는

xÛ`+x+1=0의 한 허근이다.

∴ xÛ`+x+1=0, xÜ`=1

조건 ㈎에서

(1+x)a=(-xÛ`)a=(-1)ax2a=x

즉, a는 짝수이고 2a=3kÁ+1`(kÁ=0, 1, 2, y)의 꼴이므로

a=2, 8, 14, y yy`㉠

조건 ㈏에서

(1+x)b=(-xÛ`)b=(-1)bx2b=-xÛ`

즉, b는 홀수이고 2b=3kª+2`(kª=0, 1, 2, y)의 꼴이므로

b=1, 7, 13, y yy`㉡

조건 ㈐에서 10<a+b<16이므로 ㉠, ㉡에서 조건을 만족시키

는 a, b의 순서쌍 (a, b)를 모두 찾으면

(2, 13), (8, 7), (14, 1)

따라서 ab의 최댓값은 M=56, 최솟값은 m=14이므로

M-m=56-14=42 ④

x는 xÛ`+x+1=0의 한 허근이다.

즉, 삼차방정식 f(x)=0의 서로 다른 세 실근은 1과 이차방정

식 2xÛ`-3x+k=0의 두 근이다.

이차방정식 2xÛ`-3x+k=0의 두 근을 a, b`(a>b)라 하면


a+b=;2#;, ab=;2K;

1, a, b가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우는 다음과 같

이 나눌 수 있다.

Ú 빗변의 길이가 1인 경우

aÛ`+bÛ`=1이므로 (a+b)Û`-2ab=1에서

{;2#;}Û`-2_;2K;=1 ∴ k=;4%;

그런데 이차방정식 2xÛ`-3x+;4%;=0의 판별식을 D라 하면

D=9-4_2_;4%;=-1<0이므로 a, b는 실수가 아니다.

즉, 1, a, b는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

Û 빗변의 길이가 a인 경우

1+bÛ`=aÛ`이므로 (a+b)(a-b)=1

이때 a+b=;2#;이므로 a-b=;3@;

두 식을 연립하여 풀면 a=;1!2#;, b=;1°2;

∴ k=2ab=;7^2%;

Ú, Û에서 k=;7^2%; ;7^2%;


0374

오른쪽 그림과 같이 PQÓ의 연장선

이 변 AB와 만나는 점을 R, 변

CD와 만나는 점을 S라 하자.

PAÓ=x, PBÓ=y, RAÓ=l,

RBÓ=k라 하면

두 직각삼각형 APR, BPR에서

PRÓ Û`=xÛ`-lÛ`=yÛ`-kÛ` yy`㉠

두 직각삼각형 DQS, CQS에서

QSÓ Û`=bÛ`-lÛ`=aÛ`-kÛ` yy`㉡

㉠-㉡을 하면

xÛ`-bÛ`=yÛ`-aÛ`, xÛ`-yÛ`=bÛ`-aÛ`

∴ (x+y)(x-y)=8 (∵ bÛ`-aÛ`=8)

이때 x, y가 자연수이므로 x+y는 자연수이고

(x+y)(x-y)=8에서 x-y도 자연수이다.

또한, x-y<x+y이므로

[ x-y=1

x+y=8 또는 [

x-y=2

x+y=4

두 연립방정식을 각각 연립하여 풀면

x=;2(;, y=;2&; 또는 x=3, y=1

x, y가 자연수이므로 x=3, y=1

따라서 PAÓ=3, PBÓ=1이므로

PAÓ_PBÓ=3 3

PQÓ의 연장선을 그어 △APR, △BPR, △DQS, △CQS에서 피타

고라스 정리를 이용한다.

방정식 xÛ`+qx+2p=0의 근은 2와 b이므로 이차방정식의 근


2+b=-q, 2_b=2p

∴ q=-b-2, p=b

즉, q=2b=-b-2에서 b=-;3@;

따라서 p=-;3@;, q=-;3$;이므로

;pQ;=2 ⑤

0373

f(x)=axÜ`+2bxÛ`+4bx+8a로 놓으면 f(-2)=0이므로 조

립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

-2 a 2b 4b 8a

-2a 4(a-b) -8a

a -2(a-b) 4a 0

∴ f(x)=(x+2){axÛ`-2(a-b)x+4a}

이때 삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 정수를 근으로 가지

려면 이차방정식 axÛ`-2(a-b)x+4a=0은 x+-2인 서로

다른 두 정수를 근으로 가져야 한다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=2(a-b)

a , (두 근의 곱)= 4aa =4

곱이 4인 서로 다른 두 정수인 근은

x=1, x=4 또는 x=-1, x=-4

Ú 두 근이 x=1, x=4일 때

두 근의 합은 5이므로 2(a-b)

a =5

∴ 2b=-3a

즉, 자연수 k에 대하여 |a|=2k, |b|=3k이고 부호가 서

로 반대이므로 |a|É50, |b|É50을 만족시키는 순서쌍

(a, b)는

(2, -3), (4, -6), (6, -9), y, (32, -48),

(-2, 3), (-4, 6), (-6, 9), y, (-32, 48)

의 32개이다.

Û 두 근이 x=-1, x=-4일 때

두 근의 합은 -5이므로 2(a-b)

a =-5

∴ 2b=7a

즉, 자연수 k'에 대하여 |a|=2k', |b|=7k'이고 부호가 같

으므로 |a|É50, |b|É50을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는

(2, 7), (4, 14), (6, 21), y, (14, 49),

(-2, -7), (-4, -14), (-6, -21), y,

(-14, -49)

의 14개이다.

삼차방정식의 서로 다른 세 정수인 근을 구한 후 a, b의 관계를 생각

한다.

Ú, Û에서 조건을 만족시키는 순서쌍 (a, b)의 개수는

32+14=46 46


본문 81~83쪽

0375 2x<x+9에서

x<9 yy`㉠

x+5É5x-3에서

-4xÉ-8 ∴ x¾2 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 ㉠㉡

2Éx<9

따라서 주어진 연립부등식을 만족시키

는 정수 x는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 7개이다. ⑤

0376 3x+y=7에서 y=-3x+7이므로 이것을 주어진 부

등식에 대입하면

;3!;(-3x+7+2)<x-3x+7-1<33-(-3x+7)

∴ -x+3<-2x+6<3x+26

-x+3<-2x+6에서

x<3 yy`㉠

-2x+6<3x+26에서

5x>-20 ∴ x>-4 yy`㉡


-4<x<3

이때 x는 자연수이므로 1, 2의 2개이다.

x=1일 때 y=-3_1+7=4, x=2일 때 y=-3_2+7=1

이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

따라서 주어진 부등식의 자연수인 해의 개수는 2이다. ③

0377 2x+3>6(x+1)에서

2x+3>6x+6, 4x<-3

∴ x<-;4#; yy`㉠

x+53 +;6!;¾ 1-2x

2 에서

2(x+5)+1¾3(1-2x), 2x+11¾3-6x

8x¾-8 ∴ x¾-1 yy`㉡


-1Éx<-;4#;

즉, M=-1이므로 ;2A;<-1< a+13

;2A;<-1에서 a<-2 yy`㉢

-1< a+13 에서 a>-4 yy`㉣

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 ㉢㉣

-4<a<-2

따라서 구하는 정수 a의 값은 -3이다.

-3

0378 a<b이므로 -b<-a

ㄱ. 오른쪽 그림과 같으므로 해는 없다.

ㄴ. 오른쪽 그림과 같으므로 해는

x<a

ㄷ. 오른쪽 그림과 같으므로 해는 없다.

ㄹ. 오른쪽 그림과 같으므로 해는

-b<x<-a

따라서 해가 없는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②

0379 3(2x-1)<4x+1에서

6x-3<4x+1, 2x<4

∴ x<2 yy`㉠

5(x+1)¾x+a에서

5x+5¾x+a, 4x¾a-5

∴ x¾ a-54 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

a-54 Éx<2

주어진 연립부등식의 해가 1Éx<b이므로

a-54 =1, 2=b ∴ a=9, b=2

∴ a-b=7 7

0380 2x+a-2b<x+3에서

x<3-a+2b yy`㉠

x+3<b(x-1)에서

(b-1)x>b+3 yy`㉡

주어진 부등식의 해가 2<x<3이므로 ㉠의 해는 x<3이 되어

야 하고 ㉡의 해는 x>2가 되어야 한다.

즉, ㉡에서 b-1>0이고 x> b+3b-1 yy`㉢

㉠, ㉢의 공통부분이 2<x<3이므로

b+3b-1 =2, 3-a+2b=3

b+3b-1 =2에서 b+3=2(b-1) ∴ b=5

3-a+2b=3에서 3-a+10=3 ∴ a=10

∴ a+b=15 15


연립일차부등식08

08. 연립일차부등식 069

03813(x+a)

2 <2x+5에서

3x+3a<4x+10 ∴ x>3a-10 yy`㉠

2x+5<x+1에서 x<-4 yy`㉡

주어진 부등식이 해를 가지려면 오른쪽 ㉡㉠

그림과 같이 ㉠, ㉡의 공통부분이 존재

해야 하므로

3a-10<-4, 3a<6

∴ a<2 a<2

0382 ;2{;+ 2(3-x)3 É1에서

3x+4(3-x)É6 ∴ x¾6 yy`㉠

3-x¾a에서 xÉ3-a yy`㉡

주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으려 ㉠㉡

면 오른쪽 그림과 같이 ㉠, ㉡의 공통부

분이 존재하지 않아야 하므로

3-a<6 ∴ a>-3

따라서 정수 a의 최솟값은 -2이다. ③

0383 7x+3>3x+k에서

4x>k-3 ∴ x> k-34 yy`㉠

x+22 É x+4

3 에서

3(x+2)É2(x+4) ∴ xÉ2 yy`㉡

ㄱ. k=15이면 k-3

4 =3이므로 주어 ㉠㉡

진 연립부등식은 해를 갖지 않는다.

ㄴ. k=1이면 k-3

4 =-;2!;이므로 ㉠㉡

-;2!;<xÉ2

즉, 주어진 연립부등식을 만족시키

는 자연수는 1, 2의 2개이다.

ㄷ. 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않 ㉠㉡

으려면 오른쪽 그림과 같아야 하므

로

k-3

4 ¾2 ∴ k¾11

즉, k의 최솟값은 11이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤

참고 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 k-3

4 <2, 즉 k<11이어야 한

다.

0384 주어진 부등식을 만족시키는

정수 x가 4와 5뿐이려면 오른쪽 그림

과 같아야 하므로

3É2k-1<4, 5É3k-2<6

을 동시에 만족시켜야 한다.

0385 컵의 개수를 x라 하면 접시의 개수는 (10-x)이므로

[ 150x+100(10-x)É1200

4x+8(10-x)É72

150x+100(10-x)É1200에서

50x+1000É1200, 50xÉ200

∴ xÉ4 yy`㉠

4x+8(10-x)É72에서

-4x+80É72, 4x¾8

∴ x¾2 yy`㉡


2ÉxÉ4

따라서 컵은 최대 4개까지 만들 수 있다. 4개

0386 빵의 개수를 x라 하면 음료의 개수는 (22-x)이므로

[ xÉ22-x

800x+1000(22-x)É20400

xÉ22-x에서

2xÉ22 ∴ xÉ11 yy`㉠

800x+1000(22-x)É20400에서

-200x+22000É20400, 200x¾1600

∴ x¾8 yy`㉡


8ÉxÉ11

따라서 빵은 8개 이상 11개 이하로 살 수 있다. ③

0387 12`%의 소금물 300`g에 들어 있는 소금의 양은

;1Á0ª0;_300=36(g)

35`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면

35`%의 소금물 x`g에 들어 있는 소금의 양은

{;1£0°0;_x}`g

두 소금물을 섞어서 20`% 이상 23`% 이하의 소금물을 만들므로

;1ª0¼0;_(300+x)É36+;1£0°0;_xÉ;1ª0£0;_(300+x)

∴ 20(300+x)É3600+35xÉ23(300+x)

20(300+x)É3600+35x에서

6000+20xÉ3600+35x, 15x¾2400

∴ x¾160 yy`㉠

3600+35xÉ23(300+x)에서

3600+35xÉ6900+23x, 12xÉ3300

∴ xÉ275 yy`㉡

즉, 2Ék<;2%;, ;3&;Ék<;3*;이므로 오

른쪽 그림에서

;3&;Ék<;2%; ④


0388 |x-a|<2에서

-2<x-a<2 ∴ a-2<x<a+2 yy`㉠

이때 a가 자연수이므로 ㉠을 만족시키는 정수 x는

a-1, a, a+1

이들의 합이 33이므로

(a-1)+a+(a+1)=33

3a=33 ∴ a=11 ①

0390 |ax+2|>b의 해가 x<3 또는 x>5이므로 b>0

|ax+2|>b에서 ax+2<-b 또는 ax+2>b

Ú ax+2<-b에서 ax<-b-2

이때 a<0이므로 x> -b-2a

Û ax+2>b에서 ax>b-2

이때 a<0이므로 x< b-2a

Ú, Û에서 부등식의 해는 x< b-2a 또는 x> -b-2

a

그런데 주어진 부등식의 해가 x<3 또는 x>5이므로

b-2a =3, -b-2

a =5

3a-b=-2, 5a+b=-2

두 식을 연립하여 풀면 a=-;2!;, b=;2!;

∴ b-a=1 1

0391 3|x-2|>2x+1에서

Ú x-2<0, 즉 x<2일 때

-3(x-2)>2x+1, -5x>-5 ∴ x<1

그런데 x<2이므로 x<1

0393 |x+1|+|2x-3|É6에서

Ú x<-1일 때

-(x+1)-(2x-3)É6, -x-1-2x+3É6

-3x+2É6, -3xÉ4 ∴ x¾-;3$;

그런데 x<-1이므로 -;3$;Éx<-1

Û -1Éx<;2#;일 때

(x+1)-(2x-3)É6, x+1-2x+3É6

-x+4É6 ∴ x¾-2

그런데 -1Éx<;2#;이므로 -1Éx<;2#;

Ü x¾;2#;일 때

(x+1)+(2x-3)É6, 3x-2É6

3xÉ8 ∴ xÉ;3*;

그런데 x¾;2#;이므로 ;2#;ÉxÉ;3*;

Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는 -;3$;ÉxÉ;3*;

따라서 정수 x는 -1, 0, 1, 2의 4개이다. ②

0394 |x-1|+"ÃxÛ`+4x+4<x+3에서

|x-1|+"Ã(x+2)Û`<x+3

∴ |x-1|+|x+2|<x+3 yy`㉠

Ú x<-2일 때

-(x-1)-(x+2)<x+3

-2x-1Éx+3, 3x¾-4 ∴ x¾-;3$;

그런데 x<-2이므로 해는 없다.

Û -2Éx<1일 때

-(x-1)+(x+2)<x+3 ∴ x>0

그런데 -2Éx<1이므로 0<x<1


160ÉxÉ275

따라서 섞어야 하는 35`%의 소금물의 양은 160`g 이상 275`g

이하이다. 160`g 이상 275`g 이하

0392 |2x-1|-3>a에서 |2x-1|>a+3

이 부등식의 해가 모든 실수가 되려면

a+3<0 ∴ a<-3 a<-3

0389 |5x+2|É1에서

-1É5x+2É1, -3É5xÉ-1

∴ 1É-5xÉ3 yy`㉠

|y-3|É2에서

-2Éy-3É2, 1ÉyÉ5

∴ 3É3yÉ15 yy`㉡

㉠, ㉡에서 4É3y-5xÉ18이므로 M=18, m=4

∴ M+m=22 ②

실수 x, y에 대하여 aÉxÉb, cÉyÉd일 때

⑴ a+cÉx+yÉb+d

⑵ a-dÉx-yÉb-c

개념Plus

Û x-2¾0, 즉 x¾2일 때

3(x-2)>2x+1 ∴ x>7

그런데 x¾2이므로 x>7

Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는 x<1 또는 x>7

이때 주어진 부등식의 해가 x>a를 포

함하려면 오른쪽 그림에서

a¾7

따라서 실수 a의 최솟값은 7이다. 7


0395 ||x-1|-3|É5에서

-5É|x-1|-3É5

∴ -2É|x-1|É8

그런데 |x-1|¾0이므로

0É|x-1|É8

-8Éx-1É8 ∴ -7ÉxÉ9

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은

(-7)+(-6)+`y`+(-1)+0+1+2+`y`+7+8+9

=8+9=17 17

다른풀이

||x-1|-3|É5에서

Ú x<1일 때

|-(x-1)-3|É5, |-x-2|É5

-5É-x-2É5, -3É-xÉ7

∴ -7ÉxÉ3

그런데 x<1이므로 -7Éx<1

Û x¾1일 때

|x-1-3|É5, |x-4|É5

-5Éx-4É5

∴ -1ÉxÉ9

그런데 x¾1이므로 1ÉxÉ9

Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는 -7ÉxÉ9

본문 84~86쪽

0396 kÛ`(x+1)-2<k(x-1)에서

(kÛ`-k)x<-kÛ`-k+2

∴ k(k-1)x<-(k-1)(k+2) yy`㉠

부등식 ㉠의 해가 모든 실수가 되려면 0_x<(양수)의 꼴, 즉

k(k-1)=0, -(k-1)(k+2)>0이어야 하므로

k=0 ∴ a=0

0397 x+4y=-12에서

x=-12-4y yy`㉠

3y+2z=4에서

2z=4-3y yy`㉡

부등식 x<2y<4z+16에 ㉠, ㉡을 대입하면

-12-4y<2y<2(4-3y)+16

-12-4y<2y에서

6y>-12 ∴ y>-2 yy`㉢

2y<2(4-3y)+16에서

2y<8-6y+16, 8y<24 ∴ y<3 yy`㉣

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 -2<y<3 ②

0398 f(x)=ax+b`(a, b는 실수)로 놓으면

함수 y=f(x)의 그래프의 기울기가 양수이므로

a>0

또한, -1ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)의 최댓값은 5이고 최솟값

은 -4이므로 f(-1)=-4, f(2)=5

f(-1)=-a+b=-4 yy`㉠

f(2)=2a+b=5 yy`㉡


a=3, b=-1

∴ f(x)=3x-1

이때 [`f(2x)<x+29

f(x)-f(-x)>5x-2에서

[ 6x-1<x+29

(3x-1)-(-3x-1)>5x-2

6x-1<x+29에서

5x<30 ∴ x<6 yy`㉢

(3x-1)-(-3x-1)>5x-2에서

6x>5x-2 ∴ x>-2 yy`㉣

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면

-2<x<6

따라서 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 x는

-1, 0, 1, y, 5의 7개이다. ④

0399 주어진 연립부등식의 해가 x>-;2#;이므로 각 부등식의

해의 공통부분이 x>-;2#;이다.

ax+8¾2x+4a에서

(a-2)x¾4(a-2) yy`㉠

Ü x¾1일 때

(x-1)+(x+2)<x+3

2x+1<x+3 ∴ x<2

그런데 x¾1이므로 1Éx<2

Ú, Û, Ü에서 부등식 ㉠의 해는 0<x<2

한편, |4x+k|<4에서

-4<4x+k<4, -4-k<4x<4-k

∴ -4-k

4 <x< 4-k4

따라서 -4-k

4 =0, 4-k4 =2이므로

k=-4 ①

부등식 ㉠의 해가 존재하지 않으려면 0_x<(0 또는 음수)의

꼴, 즉 k(k-1)=0, -(k-1)(k+2)É0이어야 하므로

k=1 ∴ b=1

∴ a+b=1 1


0401 4x+aÉ3x+b에서

xÉb-a

-x+3<3x+b에서

-4x<b-3 ∴ x>-b+3

4

이때 해가 -1<xÉ2이므로

-b+34 =-1, b-a=2

∴ a=5, b=7

이것을 원래 부등식에 대입하면

4x+5É-x+3<3x+7

4x+5É-x+3에서

5xÉ-2 ∴ xÉ-;5@; yy`㉠

-x+3<3x+7에서

-4x<4 ∴ x>-1 yy`㉡


-1<xÉ-;5@; -1<xÉ-;5@;

0402 xÜ`-3x+2=0에서

(x-1)Û`(x+2)=0

∴ x=1 또는 x=-2

한편, 4x+a<3x+6에서

x<6-a yy`㉠

3x+6<5x-b에서

2x>6+b ∴ x>3+;2B; yy`㉡


3+;2B;<x<6-a yy`㉢

이때 x=1과 x=-2가 주어진 부등식

을 만족시키므로 ㉢은 오른쪽 그림과

같아야 한다.

즉, 3+;2B;<-2, 1<6-a이므로

a<5, b<-10

따라서 a=4, b=-11일 때 a+b의 값은 최대이므로 구하는

최댓값은

4+(-11)=-7 ②

0400 ax+3¾2x+2에서 (a-2)x¾-1

Ú a-2>0일 때

x¾ -1a-2 이므로

-1a-2 =-1

a-2=1 ∴ a=3

이것은 a-2>0을 만족시킨다.

a=3을 bx+1Éax+b에 대입하면

bx+1É3x+b, (b-3)xÉb-1

이 부등식의 해가 xÉ2이어야 하므로

b-3>0이고 xÉ b-1b-3

즉, b-1b-3 =2이므로 2b-6=b-1 ∴ b=5

이것은 b-3>0을 만족시킨다.

Û a-2<0일 때

xÉ -1a-2 이므로

-1a-2 =2

2a-4=-1, 2a=3 ∴ a=;2#;

이것은 a-2<0을 만족시킨다.

a=;2#; 을 bx+1Éax+b에 대입하면

bx+1É;2#;x+b, {b-;2#;}xÉb-1

이 부등식의 해가 x¾-1이어야 하므로

b-;2#;<0이고 x¾ b-1

b-;2#;

Ú a>2일 때

a-2>0이므로 부등식 ㉠의 해는 x¾4이고 이때 주어진 연

립부등식의 해는 x>-;2#;이 될 수 없다.

Û a=2일 때

0_x¾0이므로 부등식 ㉠의 해는 모든 실수이고 이때 주어

진 연립부등식의 해는 x>-;2#;이 될 수 있다.

Ü a<2일 때

a-2<0이므로 부등식 ㉠의 해는 xÉ4이고 이때 주어진 연

립부등식의 해는 x>-;2#;이 될 수 없다.

Ú, Û, Ü에서 a=2

a=2를 bx-3>x-3a에 대입하면

bx-3>x-6, (b-1)x>-3

이 부등식의 해가 x>-;2#;이어야 하므로

b-1>0이고 x>- 3b-1

즉, - 3b-1 =-;2#;이므로 b-1=2

∴ b=3

∴ b-a=1 ③

즉, b-1

b-;2#;=-1이므로 -b+;2#;=b-1

-2b=-;2%; ∴ b=;4%;

이것은 b-;2#;<0을 만족시킨다.

Ú, Û에서 a=3, b=5 또는 a=;2#;, b=;4%;이므로

a+b=8 또는 a+b=:Á4Á: 8, :Á4Á:


0405 수박의 원가를 a원이라 할 때,

원가에 25`%의 이익을 붙이면 판매 가격은

a{1+;1ª0°0;}=;4%;a(원)

처음 판매 가격에서 x`% 할인하였다면 판매 가격은

;4%;a{1-;10{0;}원

이때 원가의 10`% 이상 15`% 이하의 이익만 남기고 팔기로 하

였으므로

a{1+;1Á0¼0;}É;4%;a{1-;10{0;}Éa{1+;1Á0°0;}

;1!0!;É;4%;{1-;10{0;}É;2@0#;

440É500-5xÉ460, -60É-5xÉ-40

∴ 8ÉxÉ12

따라서 8`% 이상 12`% 이하로 할인하여 판매해야 한다.

8`% 이상 12`% 이하

0407 b<0이면 |ax+1|Éb의 해는 없고

b=0이면 |ax+1|Éb의 해는 x=-;a!;이므로

b>0이어야 한다.

0404 A의 십의 자리의 숫자를 a`(1ÉaÉ9)라 하면 일의 자

리의 숫자는 (10-a)이므로

A=10a+(10-a)=9a+10

B=10(10-a)+a=100-9a

이때 B는 A의 2배 이상 3배 이하이므로

2(9a+10)É100-9aÉ3(9a+10)

2(9a+10)É100-9a에서

18a+20É100-9a, 27aÉ80

∴ aÉ;2*7); yy`㉠

100-9aÉ3(9a+10)에서

100-9aÉ27a+30, 36a¾70

∴ a¾;1#8%; yy`㉡


;1#8%;ÉaÉ;2*7);

그런데 a는 1ÉaÉ9인 자연수이므로

a=2

∴ A=9a+10=9_2+10=28 28

0406 전체 일의 양을 1이라 하면 A급 기술자들은 한 사람당

하루에 ;1Á0;의 일을 하고, B급 기술자들은 한 사람당 하루에 ;3Á0;

의 일을 한다.

B급 기술자의 인원수를 x`(0ÉxÉ12)라 하면

A급 기술자의 인원수는 (12-x)이다.

이때 A급 기술자들과 B급 기술자들 총 12명이 함께 하루 동안

하는 일의 양은

(12-x)_;1Á0;+x_;3Á0;=;5^;-;1Á5;x

A급 기술자들과 B급 기술자들 총 12명이 함께 일을 하면 하루

만에는 완성할 수 없지만 2일 만에는 완성할 수 있으므로

;2!;É;5^;-;1Á5;x<1 ∴ 15É36-2x<30

15É36-2x에서 2xÉ21

∴ xÉ:ª2Á: yy`㉠

36-2x<30에서 2x>6

∴ x>3 yy`㉡


3<xÉ:ª2Á:

따라서 B급 기술자는 최대 10명이다. ④

참고 어떤 일을 완성하는 데 n일이 걸리면 이 일을 하루에 ;n!;만큼 할 수

있다.

0403 ;bA; 를 소숫점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 5이므로

4.5É;;bA;<5.5 ∴ 45bÉ10a<55b (∵ b>0) yy`㉠

이때 2a-5b=23에서 a= 5b+232 이므로 이것을 ㉠에 대입하면

45bÉ10_ 5b+232 <55b ∴ 45bÉ25b+115<55b

45bÉ25b+115에서

20bÉ115 ∴ bÉ:ª4£: yy`㉡

25b+115<55b에서

30b>115 ∴ b>:ª6£: yy`㉢

㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

:ª6£:<bÉ:ª4£:

따라서 위의 부등식을 만족시키는 자연수 b는 4, 5이다.

Ú b=4일 때

a= 5_4+232 =:¢2£:

그런데 a는 자연수가 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 않

는다.

Û b=5일 때

a= 5_5+232 =24

즉, a는 자연수이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

Ú, Û에서 a=24, b=5

∴ ab=120 120


0410 |x+3|+|2x-1|Ék에서

Ú x<-3일 때

-(x+3)-(2x-1)Ék, -3x-2Ék

-3xÉk+2 ∴ x¾- k+23

x<-3인 범위에서 해가 존재하려면

- k+23 <-3 ∴ k>7 yy`㉠

Û -3Éx<;2!;일 때

(x+3)-(2x-1)Ék, -x+4Ék

∴ x¾4-k

-3Éx<;2!;인 범위에서 해가 존재하려면

4-k<;2!; ∴ k>;2&; yy`㉡

Ü x¾;2!;일 때

(x+3)+(2x-1)Ék, 3x+2Ék

3xÉk-2 ∴ xÉ k-23

x¾;2!;인 범위에서 해가 존재하려면

k-2

3 ¾;2!; ∴ k¾;2&; yy`㉢

주어진 부등식의 해가 존재하려면 ㉠ 또는 ㉡ 또는 ㉢을 만족시

켜야 하므로 실수 k의 값의 범위는 k¾;2&;

따라서 k의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

즉, |ax+1|Éb에서 -bÉax+1Éb

∴ -b-1ÉaxÉb-1

Ú a>0일 때

-b-1

a ÉxÉ b-1a

주어진 부등식의 해가 -1ÉxÉ3이므로

-b-1

a =-1 yy`㉠

b-1

a =3 yy`㉡


a=-1, b=-2

이것은 a>0, b>0을 만족시키지 않는다.

Û a<0일 때

b-1

a ÉxÉ-b-1a

주어진 부등식의 해가 -1ÉxÉ3이므로

b-1

a =-1 yy`㉢

-b-1

a =3 yy`㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면

a=-1, b=2

이것은 a<0, b>0을 만족시킨다.

Ú, Û에서 a=-1, b=2이므로

ab=-2 -2

0408 |x+1|+|x-2|¾5에서

Ú x<-1일 때

-(x+1)-(x-2)¾5

-2x¾4 ∴ xÉ-2

그런데 x<-1이므로 xÉ-2

Û -1Éx<2일 때

(x+1)-(x-2)¾5 ∴ 0_x¾2

따라서 해가 없다.

Ü x¾2일 때

(x+1)+(x-2)¾5

2x¾6 ∴ x¾3

그런데 x¾2이므로 x¾3

Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는

xÉ-2 또는 x¾3 yy`㉠

한편, 부등식 |x-a|¾b에서

x-aÉ-b 또는 x-a¾b

∴ xÉa-b 또는 x¾a+b yy`㉡

㉠과 ㉡은 같아야 하므로

a-b=-2, a+b=3

0409 APÓ=|x-3|, BPÓ=|x-7|이므로

APÓ+BPÓÉ8에서 |x-3|+|x-7|É8

Ú x<3일 때

-(x-3)-(x-7)É8 ∴ x¾1

그런데 x<3이므로 1Éx<3

Û 3Éx<7일 때

(x-3)-(x-7)É8 ∴ 4É8

따라서 해는 모든 실수이다.

그런데 3Éx<7이므로 3Éx<7

Ü x¾7일 때

(x-3)+(x-7)É8 ∴ xÉ9


Ú, Û, Ü에서 1ÉxÉ9

따라서 선분 OP의 길이의 최댓값은 9, 최솟값은 1이므로 그 합은

9+1=10 ④


a=;2!;, b=;2%;

∴ 2a+4b=2_;2!;+4_;2%;=11 ②


본문 87쪽

0414

어머니와 철수가 만나는 층수를 x층이라 하면

철수가 x층까지 내려가는 데 걸리는 시간은 10(10-x)초

엘리베이터가 x층까지 내려가는 데 걸리는 시간은 2(10-x)초

엘리베이터가 각 층에 머무른 시간의 합은

2(10-x-1)=2(9-x)(초)

따라서 어머니는 엘리베이터가 x층에 머무르는 시간인

{2(10-x)+2(9-x)}초와

{2(10-x)+2(9-x)+2}초 사이에 철수와 만나야 하므로

30+{2(10-x)+2(9-x)}É10(10-x)

É30+{2(10-x)+2(9-x)+2}

∴ 68-4xÉ100-10xÉ70-4x

68-4xÉ100-10x에서

6xÉ32 ∴ xÉ:Á3¤: yy`㉠

100-10xÉ70-4x에서

-6xÉ-30 ∴ x¾5 yy`㉡


5ÉxÉ:Á3¤:

따라서 어머니와 철수는 5층에서 만난다. 5층

어머니와 철수가 만난 층수를 x층이라 하면 어머니는 엘리베이터가

x층에 머무르는 동안 철수와 만나야 한다.

0413 학생 수를 x라 하면 사과의 개수는 5(x-6)이므로

4x+1É5(x-6)É4x+10

4x+1É5(x-6)에서

4x+1É5x-30 ∴ x¾31 yy`㉠

5(x-6)É4x+10에서

5x-30É4x+10 ∴ xÉ40 yy`㉡


31ÉxÉ40

이때 x는 자연수이고 5(x-6)이 10의 배수이어야 하므로

x=32, 34, 36, 38, 40

따라서 최대 학생 수는 40이다. 40참고 사과가 한 상자에 10개 들어 있으므로 한 명이 4개씩 먹었을 때 남는

사과는 1개 이상 12개 이하이다.

0415

|x-a[a]|<b[b]에서 -b[b]<x-a[a]<b[b]

∴ a[a]-b[b]<x<a[a]+b[b]

이때 주어진 부등식의 해가 8<x<30이므로

a[a]-b[b]=8, a[a]+b[b]=30

위의 두 식을 연립하여 풀면

a[a]=19, b[b]=11

Ú a[a]=19일 때

[a]=n`(n은 양의 정수)이라 하면

nÉa<n+1

nÛ`Éa[a]<nÛ`+n

∴ nÛ`É19<nÛ`+n

n=4일 때, 16É19<20이므로

n=[a]=4

이것을 a[a]=19에 대입하면

a=:Á4»:

양수 r에 대하여 |px+q|<r이면 -r<px+q<r임을 이용한다.

0412 -2x+a< x+13 에서

-6x+3a<x+1, -7x<1-3a

∴ x> 3a-17 yy`㉠

x+13 É x+3

4 에서

4(x+1)É3(x+3), 4x+4É3x+9

∴ xÉ5 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분에 정수 x가 3개 포 ㉠㉡

함되도록 각 부등식의 해를 수직선 위

에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

즉, 2É 3a-17 <3이므로

14É3a-1<21, 15É3a<22

∴ 5Éa<:ª3ª: 5Éa<:ª3ª:

0411 -3<x<4이므로 부등식

|x-2|+|x+3|+|x-4|¾k에서

Ú -3<x<2일 때

-(x-2)+(x+3)-(x-4)¾k

-x+9¾k ∴ xÉ9-k

그런데 -3<x<2이므로 주어진 부등식이 항상 성립하려

면 2É9-k ∴ kÉ7

Û 2Éx<4일 때

(x-2)+(x+3)-(x-4)¾k

x+5¾k ∴ x¾k-5

그런데 2Éx<4이므로 주어진 부등식이 항상 성립하려면

k-5É2 ∴ kÉ7

Ú, Û에서 kÉ7

따라서 k의 최댓값은 7이다. ④


0416

|x-a|É|x-b|의 양변을 제곱하면

(x-a)Û`É(x-b)Û`

xÛ`-2ax+aÛ`ÉxÛ`-2bx+bÛ`

2(a-b)x¾aÛ`-bÛ`

∴ 2(a-b)x¾(a+b)(a-b) yy`㉠

주어진 부등식의 해가 xÉ6이므로 ㉠에서

a-b<0, 즉 a<b이고

xÉ a+b2

따라서 a+b

2 =6이므로 a+b=12 ②

다른풀이

수직선 위의 세 점 A(a), B(b), P(x)에 대하여

|x-a|=PAÓ, |x-b|=PBÓ이므로

|x-a|É|x-b|는 PAÓÉPBÓ, 즉 점 P는 점 B보다 점 A에

가까움을 의미하는 부등식이다.

주어진 부등식의 해가 xÉ6이므로 aÉb이고 ABÓ의 중점을 M

이라 하면 M(6)이다.

따라서 a+b

2 =6이므로 a+b=12

|x|É|y|이면 xÛ`ÉyÛ`이다.

0417

2|x+2|+|x-4|Éa에서

Ú x<-2일 때

-2(x+2)-(x-4)Éa

-3xÉa ∴ x¾-;3A;

그런데 x<-2이고, a¾12이면 -;3A;É-4이므로

-;3A;Éx<-2

x<-2, -2Éx<4, x¾4로 구간을 나누어 부등식을 푼다.

Û b[b]=11일 때

[b]=m`(m은 양의 정수)이라 하면

mÉb<m+1

mÛ`Éb[b]<mÛ`+m

∴ mÛ`É11<mÛ`+m

m=3일 때, 9Ém<12이므로

m=[b]=3

이것을 b[b]=11에 대입하면

b=:Á3Á:

Ú, Û에서 8a+9b=8_:Á4»:+9_:Á3Á:=71 71

Û -2Éx<4일 때

2(x+2)-(x-4)Éa

∴ xÉa-8

그런데 -2Éx<4이고, a¾12이면 a-8¾4이므로

-2Éx<4

Ü x¾4일 때

2(x+2)+(x-4)Éa

3xÉa ∴ xÉ;3A;

그런데 x¾4이고, a¾12이면 ;3A;¾4이므로

4ÉxÉ;3A;

Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는

-;3A;ÉxÉ;3A;

이 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수가 11이므로 다음 그림과

같다.

즉, 5É;3A;<6이므로 15Éa<18

따라서 구하는 자연수 a의 값은 15, 16, 17이므로 그 합은

15+16+17=48 48


본문 89~93쪽

0418 f(x)g(x)>0에서

f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0

Ú f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

c<x<e

Û f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

a<x<0

Ú, Û에서 부등식 f(x)g(x)>0의 해는

a<x<0 또는 c<x<e ⑤

0419 axÛ`+(b-m)x+c-n¾0에서

axÛ`+bx+c-(mx+n)¾0

∴ axÛ`+bx+c¾mx+n

부등식 axÛ`+bx+c¾mx+n의 해는 이차함수

y=axÛ`+bx+c의 그래프가 직선 y=mx+n보다 위쪽에 있거

나 만나는 부분의 x의 값의 범위이므로

xÉ1 또는 x¾4 xÉ1 또는 x¾4

0420 xÛ`-5x+1¾(2x+1)(2x-1)에서

xÛ`-5x+1¾4xÛ`-1, 3xÛ`+5x-2É0

(x+2)(3x-1)É0 ∴ -2ÉxÉ;3!;

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 모든 정수 x는 -2, -1, 0

이므로 그 합은

(-2)+(-1)+0=-3 -3

0421 ㄱ. a>0이므로 주어진 부등식의 양변을 a로 나누면

xÛ`+6x+11¾0

이때 xÛ`+6x+11=(x+3)Û`+2¾2이므로 주어진 부등식

의 해는 모든 실수이다.

ㄴ. a=0이므로 주어진 부등식은

0¾0

이 부등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 주어진 부등

식의 해는 모든 실수이다.

ㄷ. a<0이므로 주어진 부등식의 양변을 a로 나누면

xÛ`+6x+11É0

이때 xÛ`+6x+11=(x+3)Û`+2¾2이므로 주어진 부등식

의 해는 없다.


0422 이차부등식 axÛ`+bx-3É0의 해가 -3ÉxÉ;2!;이므

로 a>0

해가 -3ÉxÉ;2!;이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

(x+3){x-;2!;}É0 ∴ xÛ`+;2%;x-;2#;É0

a>0이므로 양변에 a를 곱하면

axÛ`+;2%;ax-;2#;aÉ0

이 부등식이 axÛ`+bx-3É0과 같으므로

-;2#;a=-3에서 a=2, ;2%;a=b에서 b=5

∴ a+b=7 7

다른풀이

이차방정식 axÛ`+bx-3=0의 두 근이 -3, ;2!;이므로 이차방


-3+;2!;=-;aB;, -3_;2!;=-;a#;

따라서 a=2, b=5이므로 a+b=7

0423 이차부등식 axÛ`+bx+c>0의 해가 -;2!;<x<;3!;이므

로 a<0

해가 -;2!;<x<;3!;이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

{x+;2!;}{x-;3!;}<0 ∴ xÛ`+;6!;x-;6!;<0

a<0이므로 양변에 a를 곱하면

axÛ`+;6!;ax-;6!;a>0

이 부등식이 axÛ`+bx+c>0과 같으므로

b=;6!;a, c=-;6!;a

이것을 cxÛ`+bx+a<0에 대입하면

-;6!;axÛ`+;6!;ax+a<0

a<0에서 -;6!;a>0이므로 양변을 -;6!;a로 나누면

xÛ`-x-6<0, (x+2)(x-3)<0

∴ -2<x<3

따라서 구하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2의 4개이다. 4

0424 f(x)<0의 해가 -1<x<1이므로

f(x)=a(x+1)(x-1) (a>0)로 놓을 수 있다.

∴ f(1000-x) =a(1000-x+1)(1000-x-1)

=a(-x+1001)(-x+999)

=a(x-1001)(x-999)

부등식 f(1000-x)>0, 즉 a(x-1001)(x-999)>0에서

a>0이므로


이차부등식과�연립이차부등식09


0426 부등식 xÛ`-3|x|É0에서

Ú x¾0일 때, xÛ`-3xÉ0

x(x-3)É0 ∴ 0ÉxÉ3


Û x<0일 때, xÛ`+3xÉ0

x(x+3)É0 ∴ -3ÉxÉ0

그런데 x<0이므로 -3Éx<0

Ú, Û에서 부등식의 해는 -3ÉxÉ3

0427 2[x]Û`-[x]-6<0에서

(2[x]+3)([x]-2)<0 ∴ -;2#;<[x]<2

이때 [x]의 값은 정수이므로 [x]=-1, 0, 1

[x]=-1에서 -1Éx<0

[x]=0에서 0Éx<1

[x]=1에서 1Éx<2

따라서 주어진 부등식의 해는

-1Éx<2 ③

0428 4xÛ`-k<0에서 (2x+'k)(2x-'k)<0

∴ -'k2 <x<

'k2

이때 -'k2 <x<

'k2 를 만족시

키는 정수 x가 5개이려면 오른쪽

그림과 같아야 하므로

2<'k2 É3

4<'kÉ6 ∴ 16<kÉ36

따라서 자연수 k는 17, 18, 19, y, 36의 20개이다. ①

0429 부등식 (m+2)xÛ`-2(m+2)x-4¾0의 해가 오직

한 개 존재하려면

m+2<0 ∴ m<-2 yy`㉠

또, 이차방정식 (m+2)xÛ`-2(m+2)x-4=0의 판별식을

D라 하면

D4 =(m+2)Û`+4(m+2)=0

(m+2)(m+2+4)=0, (m+2)(m+6)=0

∴ m=-2 또는 m=-6 yy`㉡

㉠, ㉡에서 m=-6 -6

0430 Ú a>0일 때

이차함수 y=axÛ`+2ax-5의 그래프는 아래로 볼록하므로

주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다.

Û a=0일 때

0_xÛ`+0_x-5=-5<0이므로 주어진 부등식을 만족시

키는 x는 존재하지 않는다.

(x-1001)(x-999)>0

∴ x<999 또는 x>1001

따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ②이다. ②

0425 xÛ`-2x-5<|x-1|에서

Ú x¾1일 때, xÛ`-2x-5<x-1

xÛ`-3x-4<0, (x+1)(x-4)<0

∴ -1<x<4

그런데 x¾1이므로 1Éx<4

Û x<1일 때, xÛ`-2x-5<-(x-1)

xÛ`-x-6<0, (x+2)(x-3)<0

∴ -2<x<3

그런데 x<1이므로 -2<x<1

Ú, Û에서 -2<x<4

따라서 구하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다. ②

다른풀이

xÛ`-2x-5 =xÛ`-2x+1-6

=(x-1)Û`-6

=|x-1|Û`-6 (∵ |x-1|Û`=(x-1)Û`)

즉, 주어진 부등식 xÛ`-2x-5<|x-1|에서

|x-1|Û`-6<|x-1|

|x-1|Û`-|x-1|-6<0

(|x-1|-3)(|x-1|+2)<0

이때 |x-1|+2>0이므로 |x-1|-3<0

|x-1|<3, -3<x-1<3

∴ -2<x<4

따라서 구하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.

y=xÛ`-2x-5와 y=|x-1|의 그

래프는 오른쪽 그림과 같다.

Lecture

주어진 조건이 성립하려면 오른쪽 그

림과 같아야 하므로

-3ÉaÉbÉ3

따라서 b-a의 최댓값은

3-(-3)=6 6

09. 이차부등식과 연립이차부등식 079

Ü a<0일 때

주어진 부등식의 해가 존재하려면 이차방정식

axÛ`+2ax-5=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이

이차방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =aÛ`+5a>0

a(a+5)>0 ∴ a<-5 또는 a>0

그런데 a<0이므로 a<-5

Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해가 존재하도록 하는 a의 값

의 범위는

a<-5 또는 a>0

따라서 a의 값이 아닌 것은 ③이다. ③

0431 이차함수 y=xÛ`-2(k-2)x-kÛ`+5k-3의 그래프는

아래로 볼록하므로 모든 실수 x에 대하여 y¾0이려면 이차함수

의 그래프가 x축에 접하거나 만나지 않아야 한다.

즉, xÛ`-2(k-2)x-kÛ`+5k-3=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(k-2)Û`-(-kÛ`+5k-3)É0

2kÛ`-9k+7É0, (k-1)(2k-7)É0

∴ 1ÉkÉ;2&;

따라서 구하는 정수 k의 값은 1, 2, 3이므로 그 합은

1+2+3=6 ③

다른풀이

xÛ`-2(k-2)x-kÛ`+5k-3¾0에서

xÛ`-2(k-2)x+(k-2)Û`-(k-2)Û`-kÛ`+5k-3¾0

∴ {x-(k-2)}Û`-2kÛ`+9k-7¾0

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

-2kÛ`+9k-7¾0

2kÛ`-9k+7É0, (k-1)(2k-7)É0

∴ 1ÉkÉ;2&;

따라서 구하는 정수 k의 값은 1, 2, 3이므로 그 합은 6이다.

0432 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`+2ax+k<0이

성립해야 하므로

a<0 yy`㉠

이차방정식 axÛ`+2ax+k=0의 판별식을 D라 하면

D4 =aÛ`-ak=a(a-k)<0

이때 ㉠에서 a<0이므로

a-k>0 ∴ a>k yy`㉡

㉠, ㉡에서 k<a<0

이를 만족시키는 정수 a의 개수가 3이

므로 오른쪽 그림에서

-4Ék<-3

따라서 구하는 정수 k의 값은 -4이다. ①

0433 이차부등식 xÛ`-(m-4)x+ m2 <0이 해를 갖지 않으

려면 모든 실수 x에 대하여 xÛ -(m-4)x+ m2 ¾0이 성립해야

한다.

이차방정식 xÛ`-(m-4)x+ m2 =0의 판별식을 D라 하면

D=(m-4)Û`-4_ m2 É0

mÛ`-10m+16É0, (m-2)(m-8)É0

∴ 2ÉmÉ8

따라서 m의 최댓값은 8, 최솟값은 2이므로 최댓값과 최솟값의

합은 8+2=10 10

0434 부등식 (a+3)xÛ`-2(a+3)x-3>0의 해가 존재하

지 않으려면 모든 실수 x에 대하여

(a+3)xÛ`-2(a+3)x-3É0 yy`㉠

이 성립해야 한다.

Ú a+3=0, 즉 a=-3일 때

0_xÛ`-0_x-3=-3<0이므로 ㉠은 모든 실수 x에 대

하여 성립한다.

Û a+3+0, 즉 a+-3일 때

모든 실수 x에 대하여 ㉠이 성립하려면

a+3<0 ∴ a<-3 yy`㉡

또, 이차방정식 (a+3)xÛ`-2(a+3)x-3=0의 판별식을

D라 하면

D4 =(a+3)Û`+3(a+3)É0

aÛ`+9a+18É0, (a+3)(a+6)É0

∴ -6ÉaÉ-3 yy`㉢

㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 -6Éa<-3

Ú, Û에서 -6ÉaÉ-3 -6ÉaÉ-3

0435 f(x)=-xÛ`+4x-kÛ`-3k라 하면

f(x)=-(x-2)Û`-kÛ`-3k+4

0ÉxÉ3에서 f(x)¾0이어야

하므로 y=f(x)의 그래프가

오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉, f(0)=-kÛ`-3k¾0에서

kÛ`+3kÉ0, k(k+3)É0

∴ -3ÉkÉ0

②

참고 f(x)=-(x-2)Û`-kÛ`-3k+4에서 직선 x=2가 함수 y=f(x)의

그래프의 축이므로 0ÉxÉ3에서 f(x)의 최솟값은 f(0)이다.

0436 f(x)=xÛ`-2(k+1)x+k-5라 하면

f(x)={x-(k+1)}Û`-kÛ`-k-6

xÉ0에서 f(x)>0이어야 하므로


0437 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 직선 y=x-4보

다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위는 부등식

xÛ`+ax+b<x-4, 즉 xÛ`+(a-1)x+b+4<0 yy`㉠

의 해이다.

해가 1<x<5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

(x-1)(x-5)<0 ∴ xÛ`-6x+5<0 yy`㉡

㉠과 ㉡이 같아야 하므로

a-1=-6, b+4=5


3b-a=8 8

0438 이차함수 y=axÛ`+4x+4의 그래프가 직선

y=2ax+3보다 항상 위쪽에 있으려면 모든 실수 x에 대하여

부등식 axÛ`+4x+4>2ax+3, 즉 axÛ`+2(2-a)x+1>0이

성립해야 하므로

a>0 yy`㉠

이차방정식 axÛ`+2(2-a)x+1=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(2-a)Û`-a<0

aÛ`-5a+4<0, (a-1)(a-4)<0

∴ 1<a<4 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<a<4

따라서 정수 a의 값은 2, 3이므로 그 합은

2+3=5 ②

0439 함수 f(x)=-xÛ`-2ax의 그래프가 함수

g(x)=axÛ`+2x+1의 그래프보다 항상 아래쪽에 있으려면 모

든 실수 x에 대하여 부등식 -xÛ`-2ax<axÛ`+2x+1,

즉 (a+1)xÛ`+2(1+a)x+1>0이 성립해야 한다.

Ú a+1=0, 즉 a=-1일 때

0_xÛ`+0_x+1=1>0이므로 모든 실수 x에 대하여 부

등식이 성립한다.

0440 3xÛ`-7x-11<xÛ`+3x+1에서

2xÛ`-10x-12<0, xÛ`-5x-6<0

(x+1)(x-6)<0 ∴ -1<x<6 yy`㉠

xÛ`+3x+1É2xÛ`+4x-5에서

xÛ`+x-6¾0, (x+3)(x-2)¾0

∴ xÉ-3 또는 x¾2 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2Éx<6

따라서 정수 x는 2, 3, 4, 5의 4개이다. ③

0441 2|x|+1<|x-3|에서

Ú x<0일 때

-2x+1<-(x-3) ∴ x>-2

그런데 x<0이므로 -2<x<0

Û 0Éx<3일 때

2x+1<-(x-3), 3x<2 ∴ x<;3@;

그런데 0Éx<3이므로 0Éx<;3@;

Ü x¾3일 때

2x+1<x-3 ∴ x<-4

그런데 x¾3이므로 해는 없다.

Ú, Û, Ü에서 -2<x<;3@; yy`㉠

3xÛ`+8x-3É0에서

(x+3)(3x-1)É0 ∴ -3ÉxÉ;3!; yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<xÉ;3!; -2<xÉ;3!;

0442 이차부등식 xÛ`-x-6<0에서

(x+2)(x-3)<0 ∴ -2<x<3

즉, 주어진 연립부등식의 해는 -2<x<3이다.

xÛ`-8x+15>0에서

(x-3)(x-5)>0 ∴ x<3 또는 x>5 yy`㉠

따라서 ㉠과 (x+2)(x+a)<0의㉠㉠

해의 공통부분이 -2<x<3이므로

오른쪽 그림에서 3É-aÉ5

∴ -5ÉaÉ-3 -5ÉaÉ-3참고 a¾2이면 주어진 연립부등식의 해 -2<x<3을 만족시키는 실수 x는 존재하지 않으므로 a<2이다.

따라서 부등식 (x+2)(x+a)<0의 해는 -2<x<-a이다.

Ú k+1<0, 즉 k<-1일 때

xÉ0에서 y=f(x)의 그래프는


f(k+1)=-kÛ`-k-6>0

에서 kÛ`+k+6<0

그런데 kÛ`+k+6={k+;2!;}Û`+:ª4£:>0이므로

kÛ`+k+6<0을 만족시키는 실수 k의 값은 없다.

Û k+1¾0, 즉 k¾-1일 때

xÉ0에서 y=f(x)의 그래프는


f(0)=k-5>0에서 k>5

Ú, Û에서 k>5

k>5

Û a+1>0, 즉 a>-1일 때

이차방정식 (a+1)xÛ +2(1+a)x+1=0의 판별식을 D라

하면

D4 =(a+1)Û`-(a+1)<0

aÛ`+a<0, a(a+1)<0

∴ -1<a<0

Ú, Û에서 구하는 a의 값의 범위는 -1Éa<0 ①


0444 xÛ`-x-2>0에서

(x+1)(x-2)>0 ∴ x<-1 또는 x>2 yy`㉠

2xÛ`+(5+2m)x+5m<0에서

(2x+5)(x+m)<0

Ú -m<-;2%;, 즉 m>;2%;일 때

(2x+5)(x+m)<0의 해는

-m<x<-;2%; yy`㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시㉠

㉡㉠

키는 정수 x가 2개이므

로 오른쪽 그림에서

-5É-m<-4

∴ 4<mÉ5

그런데 m>;2%;이므로 4<mÉ5

Û -m=-;2%;, 즉 m=;2%;일 때

(2x+5)(x+m)=(2x+5)Û`¾0

즉, (2x+5)(x+m)<0을 만족시키는 x의 값은 존재하지

않는다.

Ü -m>-;2%;, 즉 m<;2%;일 때

(2x+5)(x+m)<0의 해는

-;2%;<x<-m yy`㉢

㉠, ㉢을 동시에 만족시㉠㉠

㉢

키는 정수 x가 2개이므로

오른쪽 그림에서

3<-mÉ4

∴ -4Ém<-3

그런데 m<;2%;이므로 -4Ém<-3

Ú, Û, Ü에서 실수 m의 값의 범위는

-4Ém<-3 또는 4<mÉ5

따라서 실수 m의 최댓값은 5, 최솟값은 -4이므로 최댓값과 최

솟값의 합은 5+(-4)=1 ③

0445 커피 한 잔 가격을 100x원 할인할 때, 하루 판매량은

10x잔 늘어나므로 하루 판매액이 16만 원 이상이 되려면

(2000-100x)(60+10x)¾160000

xÛ`-14x+40É0, (x-4)(x-10)É0

∴ 4ÉxÉ10

이때 400É100xÉ1000이므로 할인할 수 있는 금액의 범위는

400원 이상 1000원 이하이다.

따라서 할인할 수 있는 금액의 최댓값은 1000원이다. ④

0446 주어진 그림에서 길의 넓이는

60_40-(60-2x)(40-2x)=-4xÛ`+200x(mÛ`)

길의 넓이가 384`mÛ` 이상 564`mÛ` 이하이어야 하므로

384É-4xÛ`+200xÉ564

-4xÛ`+200x¾384에서

xÛ`-50x+96É0, (x-2)(x-48)É0

∴ 2ÉxÉ48

그런데 0<x<20이므로 2Éx<20 yy`㉠

-4xÛ`+200xÉ564에서

xÛ`-50x+141¾0, (x-47)(x-3)¾0

∴ xÉ3 또는 x¾47

그런데 0<x<20이므로 0<xÉ3 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2ÉxÉ3

따라서 M=3, m=2이므로

M-m=1 ②

0447 이차방정식 xÛ`+2(a+1)x+3(aÛ`-1)=0이 서로 다

른 두 실근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ4 =(a+1)Û`-3(aÛ`-1)>0

aÛ`-a-2<0, (a+1)(a-2)<0

∴ -1<a<2 yy`㉠

이차방정식 xÛ`+ax+a+3=0이 허근을 가지므로 이 이차방정

식의 판별식을 Dª라 하면

Dª=aÛ`-4(a+3)<0

aÛ`-4a-12<0, (a+2)(a-6)<0

∴ -2<a<6 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -1<a<2

따라서 정수 a는 0, 1의 2개이다. 2

0448 이차방정식 xÛ`-4kx-kÛ`+ak-1=0이 실근을 가지

므로 이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ4 =4kÛ`-(-kÛ`+ak-1)¾0

∴ 5kÛ`-ak+1¾0 yy`㉠

0443 xÛ`-2x-3<0에서

(x+1)(x-3)<0 ∴ -1<x<3 yy`㉠

xÛ`-ax<0에서 x(x-a)<0 yy`㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 정수 x가㉠㉡

한 개이므로 오른쪽 그림에서

1<aÉ2

1<aÉ2참고 aÉ0이면 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 x는 존재하지 않으

므로 a>0이다.

따라서 부등식 x(x-a)<0의 해는 0<x<a이다.


0449 이차방정식 xÛ +(m+2)x+m+5=0의 두 근을 a, b

라 하고 판별식을 D라 할 때, 두 근이 모두 양수이려면

Ú D=(m+2)Û`-4(m+5)¾0

mÛ`-16¾0, (m+4)(m-4)¾0

∴ mÉ-4 또는 m¾4 yy`㉠

Û a+b=-(m+2)>0

m+2<0 ∴ m<-2 yy`㉡

Ü ab=m+5>0 ∴ m>-5 yy`㉢

㉠㉠㉡

㉢

Ú, Û, Ü에서 -5<mÉ-4

따라서 실수 m의 최댓값은 -4이다. -4

0451 f(x)=xÛ`-2kx+kÛ`-2k-4라 하면 이차방정식

f(x)=0의 두 근이 모두 -1보다 작으므로

Ú�f(x)=0의 판별식을 D라 하면

D4 =kÛ`-(kÛ`-2k-4)¾0

2k+4¾0 ∴ k¾-2 yy`㉠

0450 이차방정식 xÛ`+(kÛ`-3k-10)x+kÛ`+3k-18=0의

두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르므로 근과 계수의

관계에 의하여

ab=kÛ`+3k-18<0

(k+6)(k-3)<0 ∴ -6<k<3 yy`㉠

음수인 근의 절댓값이 양수인 근보다 크므로

a+b=-(kÛ`-3k-10)<0

kÛ`-3k-10>0, (k+2)(k-5)>0

∴ k<-2 또는 k>5 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -6<k<-2

-6<k<-2

근의 절댓값에 대한 조건

이차방정식의 두 근이 서로 다른 부호일 때

① (양수인 근)=|(음수인 근)|

⇨ (두 근의 합)=0, (두 근의 곱)<0

② (양수인 근)>|(음수인 근)|

⇨ (두 근의 합)>0, (두 근의 곱)<0

③ (양수인 근)<|(음수인 근)|

⇨ (두 근의 합)<0, (두 근의 곱)<0

개념Plus

0452 f(x)=3xÛ`+6kx-(3k+1)이라 하면 이차방정식

f(x)=0의 두 근이 모두 -1과 1 사이에 있으므로

Ú�f(x)=0의 판별식을 D라 하면

D4 =9kÛ`+3(3k+1)

=9kÛ`+9k+3

=9{k+;2!;} Û`+;4#;¾;4#;¾0

이므로 항상 성립한다.

Û f(-1)=3-6k-3k-1>0에서

-9k+2>0 ∴ k<;9@; yy`㉠

f(1)=3+6k-3k-1>0에서

3k+2>0 ∴ k>-;3@; yy`㉡

Ü 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므

로

-1<-k<1 ∴ -1<k<1 yy`㉢

㉠㉡

㉢

Ú, Û, Ü에서 -;3@;<k<;9@; -;3@;<k<;9@;

f(x) =3xÛ`+6kx-(3k+1)

=3(x+k)Û`-3kÛ`-3k-1

에서 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽

그림과 같다.

두 근이 -1과 1 사이에 있으므로 f(x)=0

의 판별식 D에 대하여 D¾0이고, f(-1)>0, f(1)>0이며 축이

두 직선 x=-1과 x=1 사이에 있음을 따져 본다.

특히, D¾0, f(-1)>0, f(1)>0을 만족

시키는 경우 중에는 그래프가 오른쪽 그림

과 같은 경우도 있으므로 축에 대한 조건을

빠뜨리지 않도록 유의한다.

Lecture

Û f(-1)=1+2k+kÛ`-2k-4>0에서

kÛ`-3>0, (k+'3)(k-'3)>0

∴ k<-'3 또는 k>'3 yy`㉡

Ü 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=k이므로

k<-1 yy`㉢

㉠㉡

㉢㉡

Ú, Û, Ü에서 -2Ék<-'3따라서 실수 k의 최솟값은 -2이다. -2

㉠이 실수 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 k에 대한 이

차방정식 5kÛ`-ak+1=0의 판별식을 Dª라 하면

Dª=aÛ`-20É0

∴ -2'5ÉaÉ2'5따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ①이다. ①


본문 94~97쪽

0454 { f(x)}Û`g(x)-f(x){g(x)}Û`¾0에서

f(x)g(x){ f(x)-g(x)}¾0

Ú f(x)¾0, g(x)¾0, f(x)-g(x)¾0을 만족시키는 x의

값의 범위는

1ÉxÉ2, x=5

Û f(x)¾0, g(x)É0, f(x)-g(x)É0을 만족시키는 x의

값은

x=5

Ü f(x)É0, g(x)¾0, f(x)-g(x)É0을 만족시키는 x의

값의 범위는

3ÉxÉ5

Ý f(x)É0, g(x)É0, f(x)-g(x)¾0을 만족시키는 x의

값은

x=5

Ú ~ Ý에서 주어진 부등식의 해는

1ÉxÉ2 또는 3ÉxÉ5

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므

로 그 합은 15이다. ⑤

0456 2xÜ`-4xÛ`-5x+1 =2x(xÛ`+x)-6(xÛ`+x)+x+1

=(xÛ`+x)(2x-6)+x+1

이므로 Q(x)=2x-6, R(x)=x+1

부등식 Q(x)R(x)É0에서

(2x-6)(x+1)É0, 2(x-3)(x+1)É0

∴ -1ÉxÉ3

따라서 구하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다. ⑤

0457 모든 실수 x에 대하여 "Ã(k+1)xÛ`-2(k+1)x+3이

실수가 되려면 모든 실수 x에 대하여 부등식

(k+1)xÛ`-2(k+1)x+3¾0 yy`㉠

이 성립해야 한다.

Ú k=-1일 때

0_xÛ`-0_x+3>0이므로 ㉠은 모든 실수 x에 대하여 성

립한다.

Û k+-1일 때

모든 실수 x에 대하여 ㉠이 성립하려면

k+1>0 ∴ k>-1 yy`㉡

또, 이차방정식 (k+1)xÛ`-2(k+1)x+3=0의 판별식을

D라 하면

D4 =(k+1)Û`-3(k+1)É0

kÛ`-k-2É0, (k+1)(k-2)É0

∴ -1ÉkÉ2 yy`㉢

㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 -1<kÉ2

Ú, Û에서 -1ÉkÉ2

따라서 구하는 정수 k는 -1, 0, 1, 2의 4개이다. ②

0458 조건 ㈏에서 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 점

(3, 0)에서 접하고 아래로 볼록하므로

f(x)=a(x-3)Û``(a>0)으로 놓을 수 있다.

조건 ㈎에서 f(0)=9a=9이므로 a=1

즉, f(x)=(x-3)Û`이므로 이차부등식 f(x)<4에서

(x-3)Û`<4

xÛ`-6x+5<0, (x-1)(x-5)<0

∴ 1<x<5


10a+b=15 15

0455 이차함수 y=f(x)의 그래프

와 직선 y=x+1의 교점의 y좌표가 3

과 8이므로 교점의 x좌표는 2와 7이다.

이때 y=f(x)의 이차항의 계수가 음

수이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽

그림과 같다.

0453 xÛ`-9x+20=0에서

(x-4)(x-5)=0

∴ x=4 또는 x=5

즉, xÛ`+kx-8=0의 한 근만이 4와 5 사이에 있어야 한다.

f(x)=xÛ`+kx-8이라 하면 이차함수 y=f(x)의 그래프는 다

음 그림과 같다.

따라서 f(4)f(5)<0에서

(8+4k)(17+5k)<0

∴ -:Á5¦:<k<-2 -:Á5¦:<k<-2

f(x)-x-1>0에서 f(x)>x+1

즉, 주어진 이차부등식의 해는 y=f(x)의 그래프가 직선

y=x+1보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로

2<x<7

따라서 정수 x는 3, 4, 5, 6이므로 그 합은 18이다. ⑤


0459 주어진 조건에 따라 f(x)=(x+3)(x-1)이므로

f(x)+| f(x)|=[ 2f(x) ( f(x)¾0)

0 ( f(x)<0)

Ú f(x)¾0, 즉 xÉ-3 또는 x¾1일 때

f(x)+| f(x)|É10에서 2f(x)É10

2(x+3)(x-1)É10

xÛ`+2x-8É0, (x+4)(x-2)É0

∴ -4ÉxÉ2

그런데 xÉ-3 또는 x¾1이므로

-4ÉxÉ-3 또는 1ÉxÉ2

Û f(x)<0, 즉 -3<x<1일 때

f(x)+| f(x)|É10에서 0É10이므로 항상 성립한다.

∴ -3<x<1

Ú, Û에서 -4ÉxÉ2


(b-a)Û`=(2+4)Û`=36 36

0460 주어진 조건에 따라 f(x)=(x+1)(x-2), 즉

f(x)=xÛ`-x-2이므로 부등식 f(x)<-x+k에서

xÛ`-x-2<-x+k, xÛ`<2+k

∴ -'Ä2+k<x<'Ä2+k

부등식을 만족시키는 정수 x가 9개이므로 위의 그림에서

4<'Ä2+kÉ5, 16<2+kÉ25 ∴ 14<kÉ23

따라서 자연수 k의 최댓값은 23, 최솟값은 15이므로 최댓값과

최솟값의 합은

23+15=38 ⑤

0462 xÛ`-2nx+nÛ`-9É0에서

xÛ`-2nx+(n+3)(n-3)É0

{x-(n-3)}{x-(n+3)}É0

∴ n-3ÉxÉn+3

이때 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는

n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3

0463 조건 ㈎에서 모든 실수 x에 대하여 부등식

kxÛ`-kx+3>0이 성립하므로

Ú k=0일 때

3>0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.

Û k+0일 때

모든 실수 x에 대하여 성립하려면 k>0

또, 이차방정식 kxÛ`-kx+3=0의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ=kÛ`-12k<0

k(k-12)<0 ∴ 0<k<12

Ú, Û에서 0Ék<12 yy`㉠

조건 ㈏에서 이차방정식 xÛ`-2kx+2kÛ`-10k+16=0의 판별

식을 Dª라 하면

Dª4 =kÛ`-(2kÛ`-10k+16)É0

kÛ`-10k+16¾0, (k-2)(k-8)¾0

∴ kÉ2 또는 k¾8 yy`㉡

㉠, ㉡에서 0ÉkÉ2 또는 8Ék<12

따라서 주어진 조건을 만족시키는 정수 k는 0, 1, 2, 8, 9, 10,

11의 7개이다. 7

이들의 합이 24 이상 48 이하이려면

24É7nÉ48

따라서 :ª7¢:ÉnÉ:¢7¥:이므로 주어진 조건을 만족시키는 자연수

n은 4, 5, 6의 3개이다. ①

0461 부등식 f(x)-2g(x)É5aÛ`에서

xÛ`+2ax+2aÛ`-2[-;2A;(x-a)]É5aÛ`

xÛ`+3ax-4aÛ`É0, (x+4a)(x-a)É0

∴ -4aÉxÉa (∵ a는 자연수이므로 -4a<a)

따라서 이를 만족시키는 정수 x의 개수는

a-(-4a)+1=21

∴ a=4 ④

참고 정수 m, n에 대하여 mÉxÉn을 만족시키는 정수 x의 개수는

n-m+1이다.

0464 Ú [x-1]=[x]-1이므로

[x-1]Û`-[x]-5É0에서

([x]-1)Û`-[x]-5É0

[x]Û`-3[x]-4É0, ([x]-4)([x]+1)É0

∴ -1É[x]É4

이때 [x]의 값은 정수이므로

[x]=-1, 0, 1, 2, 3, 4

[x]=-1에서 -1Éx<0

[x]=0에서 0Éx<1

⋮

[x]=4에서 4Éx<5

따라서 주어진 부등식의 해는

-1Éx<5

Û x|x|-4¾0에서

x¾0이면 xÛ`-4¾0 ∴ x¾2 yy`㉠

x<0이면 -xÛ`-4¾0, xÛ`+4É0

∴ 해가 없다. yy`㉡

㉠, ㉡에서 x¾2

Ú, Û에서 2Éx<5 ⑤


0466 xÛ`-2x-3É0에서

(x+1)(x-3)É0 ∴ -1ÉxÉ3 yy`㉠

x(x-4)É0에서 0ÉxÉ4 yy`㉡

㉠, ㉡에서 연립부등식의 해는 0ÉxÉ3

한편, f(x)=xÛ`-2ax+3a+4라 하면

f(x)=(x-a)Û`-aÛ`+3a+4

0ÉxÉ3에서 f(x)>0이어야 하므로 0ÉxÉ3에서 f(x)의

최솟값이 0보다 커야 한다.

Ú a<0일 때, y=f(x)의 그래프가 오

른쪽 그림과 같아야 하므로

f(0)=3a+4>0

∴ a>-;3$;

그런데 a<0이므로 -;3$;<a<0

Û 0Éa<3일 때, y=f(x)의 그래프

가 오른쪽 그림과 같아야 하므로

-aÛ`+3a+4>0, aÛ`-3a-4<0

(a+1)(a-4)<0

∴ -1<a<4

그런데 0Éa<3이므로 0Éa<3

Ü a¾3일 때, y=f(x)의 그래프가 오

른쪽 그림과 같아야 하므로

f(3)=-3a+13>0

∴ a<:Á3£:

그런데 a¾3이므로 3Éa<:Á3£:

Ú, Û, Ü에서 -;3$;<a<:Á3£:

따라서 정수 a의 최댓값은 4이다. ④

0467 모든 실수 x에 대하여 이차부등식

-xÛ`+3x+2Émx+n, 즉 xÛ`+(m-3)x+n-2¾0

이 성립하므로 이차방정식 xÛ`+(m-3)x+n-2=0의 판별식

을 DÁ이라 하면

DÁ=(m-3)Û`-4(n-2)É0

mÛ`-6m-4n+17É0

∴ 4n¾mÛ`-6m+17 yy`㉠

또, 모든 실수 x에 대하여 이차부등식

mx+nÉxÛ`-x+4, 즉 xÛ`-(m+1)x+4-n¾0

이 성립하므로 이차방정식 xÛ`-(m+1)x+4-n=0의 판별식

을 Dª라 하면

Dª={-(m+1)}Û`-4(4-n)É0

mÛ`+2m+4n-15É0

∴ 4nÉ-mÛ`-2m+15 yy`㉡

㉠, ㉡에서

mÛ`-6m+17É4nÉ-mÛ`-2m+15 yy`㉢

즉, mÛ`-6m+17É-mÛ`-2m+15이므로

2mÛ`-4m+2É0, 2(m-1)Û`É0

∴ m=1


12É4nÉ12, 3ÉnÉ3 ∴ n=3

∴ mÛ`+nÛ`=10 ②

0468 연립부등식 [`f(x)<0

g(x)¾0의 해가 -1<xÉ2이므로

f(-1)=0, g(2)=0

즉, f(-1)=1-a+b=0에서

a-b=1 yy`㉠

g(2)=4+2(a+b)-3a+1=0에서

a-2b=5 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-4

따라서 f(x)=xÛ`-3x-4, g(x)=xÛ`-7x+10이므로

부등식 2f(x)<g(x)-2x에서

2(xÛ`-3x-4)<xÛ`-7x+10-2x

xÛ`+3x-18<0, (x+6)(x-3)<0

∴ -6<x<3

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -5, -4, -3,

-2, -1, 0, 1, 2의 8개이다. ⑤

0469 xÛ`-aÛ`x¾0에서

x(x-aÛ`)¾0

∴ xÉ0 또는 x¾aÛ` (∵ aÛ`¾0) yy`㉠

xÛ`-4ax+4aÛ`-1<0에서

{x-(2a-1)}{x-(2a+1)}<0

∴ 2a-1<x<2a+1 yy`㉡

0465 f(x)=x Û`-5x-6, g(x)=-x Û`+3x+4라 하면 두

점 A, B의 y좌표는 각각 f(k), g(k)이다.

즉, ABÓ=| f(k)-g(k)|É14에서

|(kÛ`-5k-6)-(-kÛ`+3x+4)|É14

|2kÛ`-8k-10|É14, |kÛ`-4k-5|É7

∴ -7ÉkÛ`-4k-5É7

kÛ`-4k-5¾-7에서

kÛ`-4k+2¾0, (k-2-'2)(k-2+'2)¾0

∴ kÉ2-'2 또는 k¾2+'2 yy`㉠

kÛ`-4k-5É7에서

kÛ`-4k-12É0, (k+2)(k-6)É0

∴ -2ÉxÉ6 yy`㉡


-2ÉkÉ2-'2 또는 2+'2ÉkÉ6

따라서 주어진 조건을 만족시키는 정수 k는 -2, -1, 0, 4, 5,

6의 6개이다. ④


Ú 0<a<;2!;일 때

-1<2a-1<0, 1<2a+1<2, 0<aÛ`<;4!;이므로

㉠㉠㉡

연립부등식의 해는 2a-1<xÉ0 또는 aÛ`Éx<2a+1이고

정수 x는 0, 1의 2개이다.

Û a=;2!;일 때

㉠에서 xÉ0 또는 x¾;4!;

㉡에서 0<x<2

즉, 연립부등식의 해는 ;4!;Éx<2이므로 정수 x는 1의 1개

이다.

Ü ;2!;<a<1일 때

;4!;<aÛ`<1, 0<2a-1<1, 2<2a+1<3이고

aÛ`-(2a-1)=(a-1)Û`¾0에서 aÛ`¾2a-1이므로

㉠㉠㉡

연립부등식의 해는 aÛ`Éx<2a+1이고 정수 x는 1, 2의

2개이다.

Ý a=1일 때

㉠에서 xÉ0 또는 x¾1

㉡에서 1<x<3

즉, 연립부등식의 해는 1<x<3이므로 정수 x는 2의 1개이

다.

Þ 1<a<'2일 때

1<aÛ`<2, 1<2a-1<2'2-1, 3<2a+1<2'2+1이고

aÛ`¾2a-1이므로

㉠㉡

㉠

연립부등식의 해는 aÛ`Éx<2a+1이고 정수 x는 2, 3의

2개이다.

Ú ~ Þ에서 정수 x가 1개 존재하는 경우는

a=;2!; 또는 a=1

따라서 모든 실수 a의 값의 합은 ;2!;+1=;2#; ①

0470 보관창고가 A지점에서 x`km 떨어져 있다고 하면 보관

창고와 B지점 사이의 거리는 (10+x)`km, 보관창고와 C지점

사이의 거리는 (20-x)`km이다.

0472 조건 ㈎에서 f(a)=0이므로

aÜ`+(4-a)aÛ`+(aÛ`-4a)a+b=0

∴ b=-aÜ` yy`㉠

∴ f(x)=xÜ`+(4-a)xÛ`+(aÛ`-4a)x-aÜ`

즉, 방정식 f(x)=0에서

xÜ`+(4-a)xÛ`+(aÛ`-4a)x-aÜ`=0 yy`㉡

(x-a)(xÛ`+4x+aÛ`)=0

∴ x=a 또는 xÛ`+4x+aÛ`=0

조건 ㈏에서 ㉡이 하나의 양의 실근과 서로 다른 두 음의 실근을

가지므로 이차방정식 xÛ`+4x+aÛ`=0이 x=a가 아닌 서로 다

른 두 실근을 가져야 한다.

Ú x=a가 이차방정식 xÛ`+4x+aÛ`=0의 근이 아니므로

aÛ`+4a+aÛ`+0, 2a(a+2)+0

∴ a+0 또는 a+-2

이때 ACÓ=20`km이므로 0<x<20 yy`㉠

공장과 보관창고와의 거리가 x`km일 때, 제품 한 개당 운송비

는 xÛ`원이므로 A지점의 공장에서 하루에 생산된 제품 100개의

운송비는

100xÛ`원

B지점의 공장에서 하루에 생산된 제품 200개의 운송비는

200(10+x)Û`원

C지점의 공장에서 하루에 생산된 제품 300개의 운송비는

300(20-x)Û`원

하루 운송비가 155000원 이하가 되어야 하므로

100xÛ`+200(10+x)Û`+300(20-x)Û`É155000

3xÛ`-40x-75É0, (3x+5)(x-15)É0

∴ -;3%;ÉxÉ15 yy`㉡

㉠, ㉡에서 0<xÉ15

따라서 보관창고는 A지점에서 최대 15`km 떨어진 지점까지 지

을 수 있다. ④

0471 xÛ`=X로 놓으면 주어진 방정식은

XÛ`+2(k-1)X-k+7=0 yy`㉠

이때 주어진 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 이차

방정식 ㉠의 두 근이 모두 양수이어야 한다.

즉, ㉠의 판별식을 D라 하면

Ú D4 =(k-1)Û`-(-k+7)>0에서

kÛ`-k-6>0, (k-3)(k+2)>0

∴ k<-2 또는 k>3

Û (두 근의 합)=-2(k-1)>0 ∴ k<1

Ü (두 근의 곱)=-k+7>0 ∴ k<7

Ú, Û, Ü에서 k<-2 k<-2


0474 가격을 올리기 전의 판매 가격을 x원, 판매량을 y개라

하자.

다음 달 제품 A의 총 판매 금액이 이번 달 제품 A의 총 판매 금

액 이상이 되어야 하므로

x{1+;10N0;}_y{1-;5¢0÷0;}¾xy

0475 QCÓ=n`(0<n<6)이므로 BQÓ=6-n

이때 △PBQ»△ABC`(AA 닮음)이므로

(6-n)`:`6=PQÓ`:`8

∴ PQÓ=8(6-n)

6 =8-;3$;n

따라서 직사각형 PQCR의 넓이는 n{8-;3$;n}이므로

n{8-;3$;n}¾:ª3¼:에서 nÛ`-6n+5É0

(n-1)(n-5)É0

∴ 1ÉnÉ5

따라서 구하는 자연수 n의 값은 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 합은

1+2+3+4+5=15 15

0473 함수 f(x)=xÛ`+2ax+2a의 그래프와 직선 y=x+2

가 -2ÉxÉ2인 부분에서 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차

방정식

xÛ`+2ax+2a=x+2, 즉 xÛ`+(2a-1)x+2(a-1)=0

의 서로 다른 두 근이 -2와 2 사이에 있어야 한다.

g(x)=xÛ`+(2a-1)x+2(a-1)이라 할 때,

Ú g(x)=0의 판별식을 D라 하면

D=(2a-1)Û`-8(a-1)>0

4aÛ`-12a+9>0, (2a-3)Û`>0

즉, a+;2#;인 모든 실수이다.

Û g(-2)=4-2(2a-1)+2a-2¾0에서

-2a+4¾0 ∴ aÉ2 yy`㉠

g(2)=4+2(2a-1)+2a-2¾0에서

6a¾0 ∴ a¾0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 0ÉaÉ2

Ü 이차함수 y=g(x)의 그래프의 축의 방정식이

x=- 2a-12 이므로

-2<- 2a-12 <2, -4<2a-1<4

∴ -;2#;<a<;2%;

Ú, Û, Ü에서 0Éa<;2#; 또는 ;2#;<aÉ2

0Éa<;2#; 또는 ;2#;<aÉ2

Û 이차방정식 xÛ`+4x+aÛ`=0이 서로 다른 두 실근을 가지므

로 판별식을 D라 하면

D4 =2Û`-aÛ`>0

(a+2)(a-2)<0 ∴ -2<a<2

즉, 이때 이차방정식 xÛ`+4x+aÛ`=0에서 근과 계수의 관계

에 의하여 두 근의 합이 음수이고, 두 근의 곱이 양수이므로

이 이차방정식은 서로 다른 두 음의 실근을 가진다.

Ú, Û에서 주어진 조건을 만족시키는 정수 a는 양수이어야 하

므로

a=1, b=-1Ü`=-1 (∵ ㉠)

∴ a+b=0 0

0476 두 이차함수 f(x)=(x-a)(x-c)와

g(x)=(x-b)(x-c)의 그래프가 만나는 점의 x좌표가 3이

므로 c=3

이때 f(-2)=0, g(1)=0 또는 f(1)=0, g(-2)=0이므로

a=-2, b=1 또는 a=1, b=-2

Ú a=-2, b=1일 때

주어진 연립부등식은 [ (x-a)(x-c)>0

(x-b)(x-c)<0, 즉

[ (x+2)(x-3)>0

(x-1)(x-3)<0

(x+2)(x-3)>0에서 x<-2 또는 x>3 yy`㉠

(x-1)(x-3)<0에서 1<x<3 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분이 없으므로 주어진 연립부등식의 해는 없

다.

Û a=1, b=-2일 때

주어진 연립부등식은 [ (x-a)(x-c)>0

(x-b)(x-c)<0, 즉

[ (x-1)(x-3)>0

(x+2)(x-3)<0

(x-1)(x-3)>0에서 x<1 또는 x>3 yy`㉢

(x+2)(x-3)<0에서 -2<x<3 yy`㉣

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 -2<x<1

Ú, Û에서 연립부등식의 해가 존재하려면 a=1, b=-2이어

야 한다.

{1+;10N0;}{1-;12N5;}¾1 (∵ xy¾0)

nÛ`-25nÉ0, n(n-25)É0

∴ 0ÉnÉ25

따라서 n의 최댓값은 25이다. 25


0479

방정식 |xÛ`-4|-x-k=0, 즉 ㉠

㉡

|xÛ`-4|=x+k가 서로 다른 세

실근을 가지면 함수 y=|xÛ`-4|

의 그래프와 직선 y=x+k가 서

로 다른 세 점에서 만난다.

즉, 직선 y=x+k가 오른쪽 그림

의 ㉠ 또는 ㉡이 되어야 한다.

이때 ㉠은 y=-(xÛ`-4)의 그래프와 직선 y=x+k가 접하는

경우로, 서로 다른 두 음의 실근과 하나의 양의 실근을 가지는

경우이다. 즉, 조건에 맞지 않다.

방정식 |xÛ`-4|-x-k=0의 해는 함수 y=|xÛ`-4|의 그래프와

직선 y=x+k의 교점의 x좌표이다.

0478

BCÓ=3이고 삼각형 ABC의 넓이가 6이므로

;2!;_BCÓ_OAÓ=6

;2!;_3_OAÓ=6 ∴ OAÓ=4

즉, 점 A의 좌표는 (0, 4)이므로

f(0)=b=4 ∴ f(x)=xÛ`-ax+4

f(x+f(x))É0에서 x+f(x)=t로 치환하여 f(t)É0의 해를 먼

저 구한다.

본문 98~99쪽

0477

조건 ㈎에서 최고차항의 계수가 각각 ;2!;, 2인 두 이차함수

y=f(x), g(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=p이므로

f(x)=;2!;(x-p)Û`+a, g(x)=2(x-p)Û`=b

(단, a, b는 상수)

라 할 수 있다.

조건 ㈏의 부등식 f(x)¾g(x), 즉 g(x)-f(x)É0에서

g(x)-f(x)=2(x-p)Û`+b-[;2!;(x-p)Û`+a]

=;2#;(x-p)Û`+b-a

=;2#;xÛ`-3px+;2#;pÛ`+b-a yy`㉠

한편, 해가 -1ÉxÉ5이고 xÛ`의 계수가 ;2#;인 이차부등식은

;2#;(x+1)(x-5)É0, 즉 ;2#;xÛ`-6x-:Á2°:É0

위의 이차부등식이 ㉠과 일치해야 하므로

-3p=-6, ;2#;pÛ`+b-a=-:Á2°:

∴ p=2, a-b=:ª2¦:

즉, f(x)=;2!;(x-2)Û`+a, g(x)=2(x-2)Û`+b이므로

p_{ f(2)-g(2)} =p_(a-b)

=2_:ª2¦:=27 27

두 이차함수 y=f(x), y=g(x)를 상수 a, b, p로 나타낸다.

한편, 점 B의 좌표를 (a, 0)이라 하면 BCÓ=3이므로 점 C의 좌

표는 (a+3, 0)이다.

이차방정식 xÛ`-ax+4=0의 두 근이 a, a+3이므로 근과 계

수의 관계에 의하여

[�a+(a+3)=a yy`㉠� a(a+3)=4 yy`㉡

㉡에서 aÛ`+3a-4=0

(a+4)(a-1)=0 ∴ a=-4 또는 a=1

Ú a=-4일 때

㉠에서 -4+(-1)=a ∴ a=-5

그런데 a>0이어야 하므로 a+-4

Û a=1일 때

㉠에서 1+4=a ∴ a=5

Ú, Û에서 a=5이므로 B(1, 0), C(4, 0)이다.

∴ f(x)=xÛ`-5x+4

부등식 f(x)É0의 해는 1ÉxÉ4이므로

부등식 f(x+f(x))É0에서

1Éx+f(x)É4

x+f(x)¾1에서

xÛ`-4x+3¾0, (x-1)(x-3)¾0

∴ xÉ1 또는 x¾3 yy`㉢

x+f(x)É4에서

xÛ`-4xÉ0, x(x-4)É0

∴ 0ÉxÉ4 yy`㉣

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면

0ÉxÉ1 또는 3ÉxÉ4

따라서 부등식 f(x+f(x))É0을 만족시키는 정수 x는 0, 1,

3, 4의 4개이므로 c=4

∴ abc=5_4_4=80 80

한편, 이차부등식 xÛ`+bx+aÉ0, 즉 xÛ`-2x+1É0에서

(x-1)Û`É0 ∴ x=1

따라서 주어진 이차부등식을 만족시키는 정수 x는 1의 1개이다.

1


㉡은 직선 y=x+k가 점 (-2, 0)을 지나는 경우로, 하나의 음

의 실근과 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다.

이때 0=-2+k이므로 k=2

따라서 부등식 |xÛ -4|-x-k<0, 즉 |xÛ -4|-x-2<0에서

Ú x<-2 또는 x>2일 때

xÛ`-4-x-2<0, xÛ`-x-6<0

(x-3)(x+2)<0 ∴ -2<x<3

그런데 x<-2 또는 x>2이므로

2<x<3

Û -2ÉxÉ2일 때

-xÛ`+4-x-2<0, xÛ`+x-2>0

(x+2)(x-1)>0 ∴ x<-2 또는 x>1

그런데 -2ÉxÉ2이므로

1<xÉ2

Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는

1<x<3

따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4 ①

0480

xÛ`<(3n+1)x에서

xÛ`-(3n+1)x<0, x(x-3n-1)<0

∴ 0<x<3n+1 (∵ 3n+1>0) yy`㉠

xÛ`-3nx+2nÛ`¾0에서

(x-n)(x-2n)¾0

∴ xÉn 또는 x¾2n (∵ 2n>n) yy`㉡

이때 3n+1-2n=n+1>0`(∵ n은 자연수)이므로


0<xÉn 또는 2nÉx<3n+1

따라서 이를 만족시키는 정수 x의 개수는

(n-0)+{(3n+1)-2n}=2n+1

즉, f(n)=2n+1이므로 a=2, b=1

∴ aÛ`+bÛ`=2Û`+1Û`=5 ①

정수 m, n에 대하여 mÉx<n 또는 m<xÉn을 만족시키는 정수

x의 개수는 n-m이다.

0481

-6É(a+4)x+2b에서

(a+4)x¾-6-2b

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로

a+4=0, -6-2bÉ0

∴ a=-4, b¾-3 yy`㉠

(a+4)x+2bÉ3xÛ`+12x+18에서

3xÛ`+(8-a)x+18-2b¾0

3xÛ`+12x+18-2b¾0 (∵ ㉠)

부등식 ax¾b는 a=0, bÉ0일 때, 모든 실수 x에 대하여 성립한다.

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 이차방정식

3xÛ`+12x+18-2b=0의 판별식을 D라 하면

D4 =36-3(18-2b)É0에서

6bÉ18 ∴ bÉ3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 -3ÉbÉ3

따라서 점 (a, b)가 나타내는 선분의 양 끝점을 A, B라 하면

A(-4, -3), B(-4, 3) 또는 A(-4, 3), B(-4, -3)

따라서 삼각형 OAB의 둘레의 길이는

ABÓ+OAÓ+OBÓ

=|-3-3|+"Ã(-4)Û`+(-3)Û`+"Ã(-4)Û`+3Û`

=6+5+5=16 ⑤

0482

xÛ`-2x=t로 놓으면

t=xÛ`-2x=(x-1)Û`-1¾-1 ∴ t¾-1

이때 (xÛ`-2x)Û`+k(xÛ`-2x)+1=0에서

tÛ`+kt+1=0 yy`㉠

이차방정식 ㉠의 두 근을 a, b라 할 때 주어진 방정식의 근이 모

두 실수가 되려면 두 이차방정식 xÛ`-2x=a, xÛ`-2x=b의 네

근이 모두 실수가 되어야 하므로 a¾-1, b¾-1이어야 한다.

이때 f(t)=tÛ`+kt+1이라 하고 이차방정식 ㉠의 판별식을 D

라 하면

Ú D=kÛ`-4¾0에서 (k+2)(k-2)¾0

∴ kÉ-2 또는 k¾2

Û f(-1)=1-k+1¾0 ∴ kÉ2

Ü 축의 방정식이 t=-;2K;이므로

-;2K;¾-1 ∴ kÉ2

Ú, Û, Ü에서 kÉ-2 또는 k=2

kÉ-2 또는 k=2

xÛ`-2x=t로 놓고 네 근이 모두 실수일 조건을 찾는다.

0483

부등식 xÛ`-2|x|É0에서

x¾0일 때, xÛ`-2xÉ0, x(x-2)É0 ∴ 0ÉxÉ2

x<0일 때, xÛ`+2xÉ0, x(x+2)É0 ∴ -2Éx<0

즉, 부등식 xÛ`-2|x|É0의 해는 -2ÉxÉ2 yy`㉠

또, xÛ`-(2a+1)x+aÛ`+aÉ0에서

(x-a)(x-a-1)É0 ∴ aÉxÉa+1 yy`㉡

연립부등식을 만족시키는 정수 x가 존재하려면 ㉠, ㉡의 공통부

분 안에 정수가 있어야 한다.

a의 값에 따라 범위를 나누고 연립부등식을 만족시키는 정수 x가 존

재할 조건을 찾는다.


Ú a<-3 또는 a>2일 때

㉠, ㉡의 공통부분이 없으므로 주어진 연립부등식의 해는 없다.

Û a=-3일 때

주어진 연립부등식의 해는 x=-2이므로

xÛ`-3x+b=0에서

(-2)Û`-3_(-2)+b=0 ∴ b=-10

Ü -2ÉaÉ1일 때

주어진 연립부등식의 해는 aÉxÉa+1

이 중 정수인 해는 a, a+1

두 수 a, a+1이 이차방정식 xÛ`-3x+b=0의 근이므로 근


a+(a+1)=3, a(a+1)=b

∴ a=1, b=2

Ý a=2일 때

주어진 연립부등식의 해는 x=2

xÛ`-3x+b=0에서

2Û`-3_2+b=0 ∴ b=2

Ú ~ Ý에서 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (-3, -10),

(1, 2), (2, 2)의 3개이다. ③

0484

f(x)=xÛ`-x-k+1이라 하면

f(x)={x-;2!;} Û`-k+;4#;

Ú 한 근만이 0과 2 사이에 있는 경우

이차함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

즉, f(0)É0, f(2)>0이므로

f(0)=-k+1É0 ∴ k¾1 yy`㉠

f(2)=4-2-k+1>0 ∴ k<3 yy`㉡


1Ék<3

Û 두 근이 모두 0과 2 사이에 있는 경우

이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 하면

D=1-4(-k+1)¾0 ∴ k¾;4#; yy`㉢

f(0)=-k+1>0 ∴ k<1 yy`㉣

f(2)=4-2-k+1>0 ∴ k<3 yy`㉤

한 근만이 0과 2 사이에 있는 경우와 두 근이 모두 0과 2 사이에 있

는 경우로 나누어 생각한다.

f(2)=0이면 f(2)=4-2-k+1=0에

서 k=3이므로 f(0)=-2<0

즉, 오른쪽 그림과 같이 이차방정식

f(x)=0의 근이 0과 2 사이에 존재하지

않는다.

Lecture

이때 축의 방정식은 x=;2!;이고 0<;2!;<2이므로 조건을 만

족시킨다.

㉢, ㉣, ㉤의 공통부분을 구하면

;4#;Ék<1

Ú, Û에서 ;4#;Ék<3 ;4#;Ék<3


본문 103~106쪽

0485 ABÓ='5이므로

"Ã(a+2-5)Û`+{1-(a-1)}Û`='5양변을 제곱하면

(a-3)Û`+(a-2)Û`=5

aÛ`-5a+4=0, (a-1)(a-4)=0

∴ a=1 또는 a=4

따라서 구하는 모든 실수 a의 값의 합은

1+4=5 ③

0486 ABÓÉ4이므로

"Ã(k+1-8)Û`+(3-k)Û`É4


(k-7)Û`+(k-3)Û`É16

kÛ`-10k+21É0, (k-3)(k-7)É0

∴ 3ÉkÉ7

따라서 정수 k는 3, 4, 5, 6, 7의 5개이다. ⑤

0488 출발한 지 t초 후의 두 점 A, B의 좌표는 각각

(-6+2t, 0), (0, 2+t)

이때 두 점 A, B 사이의 거리는

ABÓ ="Ã(6-2t)Û`+(2+t)Û`

="Ã5tÛ`-20t+40

="Ã5(t-2)Û`+20

즉, ABÓ는 t=2일 때 최솟값 '2�0=2'5를 갖는다.

따라서 두 점 A, B 사이의 거리의 최솟값은 2'5이다. 2'5

0489 P(a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로

(a-2)Û`+(-4)Û`=(a-3)Û`+1Û`

aÛ`-4a+20=aÛ`-6a+10

2a=-10 ∴ a=-5

∴ P(-5, 0)

0490 점 P(a, b)가 직선 y=x-2 위의 점이므로

b=a-2 yy`㉠

또, APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로

(a-3)Û`+(b+4)Û`=(a+1)Û`+(b-2)Û`

aÛ`-6a+bÛ`+8b+25=aÛ`+2a+bÛ`-4b+5

∴ 2a-3b=5 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-1

∴ aÛ`+bÛ`=2 2

0491 APÓ=BPÓ=CPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`=CPÓ Û`

APÓ Û`=CPÓ Û`에서 (a-1)Û`+(b-1)Û`=(a+2)Û`+bÛ`

aÛ`-2a+bÛ`-2b+2=aÛ`+4a+bÛ`+4

∴ 3a+b=-1 yy`㉠

BPÓ Û`=CPÓ Û`에서 (a-5)Û`+(b+1)Û`=(a+2)Û`+bÛ`

aÛ`-10a+bÛ`+2b+26=aÛ`+4a+bÛ`+4

∴ 7a-b=11 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-4

∴ a-b=5 ②

0492 오른쪽 그림과 같이 A 지점

이 원점, B 지점이 x축 위에 오도록

좌표평면을 정하면

A(0, 0), B(-4, 0), C(1, 1)

물류창고를 지으려는 지점을 P(a, b)라 하면

APÓ=BPÓ=CPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`=CPÓ Û`

APÓ Û`=BPÓ Û`에서 aÛ`+bÛ`=(a+4)Û`+bÛ`

aÛ`+bÛ`=aÛ`+8a+bÛ`+16

8a=-16 ∴ a=-2 yy`㉠

APÓ Û`=CPÓ Û`에서 aÛ`+bÛ`=(a-1)Û`+(b-1)Û`

aÛ`+bÛ`=aÛ`-2a+bÛ`-2b+2

∴ a+b=1 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 b=3

따라서 P(-2, 3)이므로 구하는 거리는

APÓ="Ã(-2)Û`+3Û`='1�3`(km) ②

0487 ABÓ ="Ã{-5-(-k+1)}Û`+{(k+1)-5}Û`

="Ã(k-6)Û`+(k-4)Û`

="Ã2kÛ`-20k+52

="Ã2(k-5)Û`+2

따라서 ABÓ¾'2이므로 ABÓ의 길이의 최솟값은 '2이다.

②

또, Q(0, b)라 하면 AQÓ=BQÓ에서 AQÓ Û`=BQÓ Û`이므로

(-2)Û`+(b-4)Û`=(-3)Û`+(b+1)Û`

bÛ`-8b+20=bÛ`+2b+10

10b=10 ∴ b=1

∴ Q(0, 1)

∴ PQÓ="Ã5Û`+1Û`='2�6 ③

Ⅲ. 도형의 방정식

평면좌표10

삼각형의 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리는

같다.

⇨ 점 O가 △ABC의 외심일 때,

OAÓ=OBÓ=OCÓ

개념Plus


0493 ABÓ Û`=(-a-1)Û`+1Û`=aÛ`+2a+2

BCÓ Û`=(2a+1)Û`+1Û`=4aÛ`+4a+2

CAÓ Û`=(-a)Û`+(-1-1)Û`=aÛ`+4

삼각형 ABC가 ∠A=90ù인 직각이등변삼각형이므로

BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`, ABÓ=CAÓ

BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`에서

4aÛ`+4a+2=(aÛ`+2a+2)+(aÛ`+4)

aÛ`+a-2=0, (a+2)(a-1)=0

∴ a=-2 또는 a=1

그런데 a=-2이면 ABÓ+CAÓ이므로 a=1 1

0495 P(3, 2), Q(x, y), R(4, -1)이라 하면

"Ã(x-3)Û`+(y-2)Û`=PQÓ, "Ã(x-4)Û`+(y+1)Û`=QRÓ

이므로

"Ã(x-3)Û`+(y-2)Û`+"Ã(x-4)Û`+(y+1)Û`

=PQÓ+QRÓ

¾PRÓ="Ã(4-3)Û`+(-1-2)Û`='1�0따라서 구하는 최솟값은 '1�0이다. '1�0

0496 P(a, a+1)이라 하면

APÓ Û`+BPÓ Û` =(a-2)Û`+(a+2)Û`+(a-4)Û`+(a-8)Û`

=4aÛ`-24a+88

=4(a-3)Û`+52

따라서 a=3일 때 주어진 식의 최솟값이 52이므로 점 P의 x좌

표는 3이다. ③

0497 P(a, b)라 하면

OPÓ Û`+APÓ Û`+BPÓ Û` =aÛ`+bÛ`+(a-3)Û`+bÛ`+aÛ`+(b-6)Û`

=3aÛ`-6a+3bÛ`-12b+45

=3(a-1)Û`+3(b-2)Û`+30

따라서 a=1, b=2일 때 구하는 최솟값은 30이다. ⑤

0498 ABÓ를 3`:`1로 외분하는 점의 좌표가 (5, 9)이므로

3_4-(a+1)3-1 =5,

3(b+2)-1_03-1 =9

11-a=10, 3b+6=18 ∴ a=1, b=4

∴ B(4, 6), C(-1, 1)

따라서 BCÓ를 1`:`4로 내분하는 점의 좌표는

{ 1_(-1)+4_41+4 ,

1_1+4_61+4 }, 즉 (3, 5) (3, 5)

0500 a>0이므로 점 C의 위치는 오

른쪽 그림과 같고

△OAB=;2!;_8_2=8

∴ △OBC =△OAC-△OAB

=32-8=24

즉, △OAB`:`△OBC =8`:`24=1`:`3

이므로

ABÓ`:`BCÓ=1`:`3

따라서 점 C는 ABÓ를 4`:`3으로 외분하는 점이므로

a=4_0-3_(-2)

4-3 =6, b= 4_8-3_94-3 =5

∴ a+b=11 ①

0494 삼각형 ABC가 이등변삼각형이 되려면 ABÓ=BCÓ 또

는 BCÓ=CAÓ 또는 CAÓ=ABÓ이어야 한다.

Ú ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로

1Û`+(5-2)Û`=(a-1)Û`+(1-5)Û`

10=(a-1)Û`+16 ∴ (a-1)Û`=-6 yy`㉠

그런데 (a-1)Û`¾0이므로 ㉠을 만족시키는 실수 a의 값은

존재하지 않는다.

Û BCÓ=CAÓ에서 BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로

(a-1)Û`+(1-5)Û`=(-a)Û`+(2-1)Û`

aÛ`-2a+17=aÛ`+1, 2a=16 ∴ a=8

Ü CAÓ=ABÓ에서 CAÓ Û`=ABÓ Û`이므로

(-a)Û`+(2-1)Û`=1Û`+(5-2)Û`

aÛ`+1=10, aÛ`=9 ∴ a=Ñ3

Ú, Û, Ü에서 모든 실수 a의 값의 곱은

8_3_(-3)=-72 -72

0501 ABÓ를 t`:`(1-t)로 내분하는 점의 좌표는

{ t_4+(1-t)_(-2)t+(1-t)

, t_7+(1-t)_(-1)

t+(1-t)}

즉, (6t-2, 8t-1)

이 점이 제 2 사분면 위에 있으므로

6t-2<0, 8t-1>0

∴ ;8!;<t<;3!; ;8!;<t<;3!;

0499 3ABÓ=2BCÓ에서 ABÓ`:`BCÓ=2`:`3

이때 점 C는 ABÓ의 연장선 위에 있고

a>0이므로 세 점 A, B, C의 위치는 오

른쪽 그림과 같다.

즉, 점 C는 ABÓ를 5`:`3으로 외분하는 점

이므로

a=5_5-3_(-1)

5-3 =14, b= 5_3-3_15-3 =6

∴ a+b=20 20참고 오른쪽 그림과 같이 ABÓ`:`BCÓ=2`:`3일 때, 점

C가 ABÓ를 1`:`3으로 외분하는 점인 경우도 있다.

이때 a<0이다.

10. 평면좌표 093

0506 B(a, b)라 하면 변 AB의 중점의 좌표가 (1, 1)이므로

-1+a2 =1, 5+b

2 =1 ∴ a=3, b=-3

∴ B(3, -3)

C(c, d)라 하면 변 BC의 중점의 좌표가 (6, -6)이므로

3+c2 =6, -3+d

2 =-6 ∴ c=9, d=-9

∴ C(9, -9)

D(x, y)라 하면 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치하므로

-1+92 = 3+x

2 , 5-9

2 = -3+y2

∴ x=5, y=-1

∴ D(5, -1) (5, -1)

0507 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치하므로 중점의 x좌

표는 a+6

2 = -3+b2 ∴ b=a+9 yy`㉠

또, ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로

(-3-a)Û`+(-1-8)Û`=(6+3)Û`+(-4+1)Û`

aÛ`+6a=0, a(a+6)=0

∴ a=-6 (∵ a<0)

a=-6을 ㉠에 대입하면 b=3

∴ a+b=-3 -3

0508 ∠POQ의 이등분선과

PQÓ의 교점을 M이라 하면 각의

이등분선의 성질에 의하여

OPÓ`:ÒQÓ=PMÓ`:`MQÓ

이때 OPÓ="Ã3Û`+4Û`=5, OQÓ="Ã12Û`+5Û`=13이므로

PMÓ`:`MQÓ=OPÓ`:ÒQÓ=5`:`13

즉, 점 M은 PQÓ를 5`:`13으로 내분하므로 점 M의 x좌표는

;aB;= 5_12+13_35+13 =:Á2Á:


a+b=13 13

0503 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (1, -2)이므로

4+(a-1)+b3 =1,

-2+(-b+3)+(3a+1)3 =-2

∴ a+b=0, 3a-b=-8

두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=2

∴ ab=-4 -4

0504 세 점 D, E, F는 각각 ABÓ, BCÓ, CAÓ를 2`:`1로 내분

하는 점이므로

D{ 2_(-4)+1_52+1 ,

2_10+1_42+1 }, 즉 D(-1, 8)

E{ 2_8+1_(-4)2+1 ,

2_(-2)+1_102+1 }, 즉 E(4, 2)

F{ 2_5+1_82+1 ,

2_4+1_(-2)2+1 }, 즉 F(6, 2)

따라서 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는

{-1+4+63 ,

8+2+23 }, 즉 (3, 4) (3, 4)

다른풀이

삼각형 DEF의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심과 일치하

므로 구하는 무게중심의 좌표는

{ 5-4+83 ,

4+10-23 }, 즉 (3, 4)

0505 B(p, q), C(r, s)라 하면

변 AB의 중점이 M(xÁ, yÁ)이므로

1+p2 =xÁ, 6+q

2 =yÁ yy`㉠

또, 변 AC의 중점이 N(xª, yª)이므로

1+r2 =xª, 6+s

2 =yª yy`㉡

㉠, ㉡을 xÁ+xª=2, yÁ+yª=4에 대입하면

xÁ+xª=1+p

2 + 1+r2 =

2+(p+r)2 =2

∴ p+r=2 yy`㉢

yÁ+yª=6+q

2 + 6+s2 =

12+(q+s)2 =4

∴ q+s=-4 yy`㉣

A(1, 6)이므로 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

{ 1+p+r3 ,

6+q+s3 }

이때 ㉢, ㉣에서 { 1+23 ,

6-43 }, 즉 {1, ;3@;}이다. ③

0509 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비

와 같으므로 △ABD`:`△ACD=p`:`q에서

BDÓ`:`CDÓ=p`:`q

또한, ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로

ABÓ`:ÀCÓ=BDÓ`:`CDÓ

이때 ABÓ="Ã(-7-1)Û`+(1-5)Û`=4'5,ACÓ="Ã(2-1)Û`+(3-5)Û`='5이므로

BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:ÀCÓ=4'5`:`'5=4`:`1

따라서 p=4, q=1이므로

p-q=3 3

0502 ABÓ를 k`:`4로 외분하는 점의 좌표는

{ 5k-12k-4 ,

-k+8k-4 }

이 점이 직선 y=x-2 위에 있으므로

-k+8k-4 = 5k-12

k-4 -2, 6k-20k-4 =2

6k-20=2k-8, 4k=12 ∴ k=3 3


0512 B(a, b)라 하면 점 B는 직선 3x-y+6=0 위의 점이

므로 3a-b+6=0 yy`㉠

ABÓ를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표를 (x, y)라 하면

x= 2a+23 , y= 2b-3

3

∴ a= 3x-22 , b= 3y+3

2 yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 3_ 3x-22 - 3y+3

2 +6=0

∴ 3x-y+1=0 3x-y+1=0

0511 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점을 P(x, y)라 하

면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로

(x+1)Û`+(y-1)Û`=(x-4)Û`+yÛ`

∴ 5x-y-7=0 5x-y-7=0참고 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 선분 AB의 수직이등

분선이다.

본문 107~109쪽

0513 A(0, -1), P(x-2, y), Q(x, 0), B(5, -3)이라

하면

"Ã(x-2)Û`+(y+1)Û`=APÓ, "Ã4+yÛ`=PQÓ,

"Ã(x-5)Û`+9=QBÓ

이고 APÓ+PQÓ+QBÓ¾ABÓ이므로

0514 이차함수 y=x Û`-ax의 그래프와 직선 y=x+1의 서

로 다른 두 교점을 P(a, a+1), Q(b, b+1)이라 하면 a, b는

이차방정식 x Û`-ax=x+1, 즉 x Û`-(a+1)x-1=0의 서로

다른 두 실근이다.

이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=a+1, ab=-1

∴ PQÓ ="Ã(b-a)Û`+{(b+1)-(a+1)}Û`

="Ã2(b-a)Û`="Ã2{(b+a)Û`-4ab}

="Ã2{(a+1)Û`+4}="Ã2(a+1)Û`+8

따라서 a=-1일 때 PQÓ의 길이는 '8=2'2로 최소이므로 두

교점 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 실수 a의 값은 -1이다.

④

0515 점 A를 원점, 직선 AB를 x축

으로 하고 점 C가 제 1 사분면 위에 놓

이도록 삼각형 ABC를 좌표평면 위에

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

이때 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면

CAÓ="ÃaÛ`+bÛ`=2에서

aÛ`+bÛ`=4 yy`㉠

또, B(3, 0)이므로 BCÓ="Ã(a-3)Û`+bÛ`='7에서

aÛ`-6a+9+bÛ`=7 yy`㉡


4-6a+9=7 ∴ a=1

a=1을 ㉠에 대입하면

1+bÛ`=4 ∴ b='3 (∵ b>0)

∴ C(1, '3)점 P는 변 AB 위의 점이므로 P(k, 0)`(0ÉkÉ3)이라 하면

APÓ=k이고 CPÓ='1�42 이므로

"Ã(k-1)Û`+(-'3)Û`= '1�42

0510 ADÓ는 ∠A의 외각의 이등분선이

므로

AOÓ`:ÀBÓ=ODÓ`:`BDÓ

이때 AOÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2,ABÓ="Ã(2-3)Û`+(-4-3)Û`=5'2이므로

ODÓ`:`BDÓ=AOÓ`:ÀBÓ=3'2`:`5'2=3`:`5

따라서 점 D는 OBÓ를 3`:`5로 외분하는 점이므로

a= 3_2-5_03-5 =-3, b=

3_(-4)-5_03-5 =6

∴ ab=-18 ②

삼각형의 외각의 이등분선의 성질

오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서

∠CAD=∠EAD이면

⇨ ABÓ`:ÀCÓ=BDÓ`:`CDÓ⇨ 점 D는 BCÓ를 ABÓ`:ÀCÓ로 외분하는 점

이다.

개념Plus

"Ã(x-2)Û`+(y+1)Û`+"Ã4+yÛ`+"Ã(x-5)Û`+9

=APÓ+PQÓ+QBÓ

¾ABÓ

="Ã5Û`+(-3+1)Û`='2�9따라서 구하는 최솟값은 '2�9이다. '2�9

2<x<5, y>0일 때, 네 점 A,

P, Q, B를 좌표평면 위에 나타

내면 오른쪽 그림과 같다.

즉, APÓ+PQÓ+QBÓ¾ABÓ이때 2<x<5, y>0 이외의 범

위에서도 위의 부등식이 성립한

다.

Lecture

10. 평면좌표 095

0516 편의점 C는 선분 AB를 3`:`1로 외분하는 점에 위치하

므로 ACÓ=3BCÓ

세 편의점을 수직선 위에 놓고 그 위치를 각각

A(0), B(2a), C(3a)`(a>0)라 하고, 본사의 위치를 P(x)라

하면

APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û` =xÛ`+(x-2a)Û`+(x-3a)Û`

=3xÛ`-10ax+13aÛ`

=3{x-;3%;a}Û`+:Á3¢:aÛ`

즉, x=;3%;a일 때 배달 비용이 최소가 된다.

이때 APÓ=|;3%;a-0|=;3%;a, BPÓ=|;3%;a-2a|=;3!;a,

CPÓ=|;3%;a-3a|=;3$;a이므로 본사의 위치 P는 ABÓ를 5`:`1로

내분하는 점, BCÓ를 1`:`4로 외분하는 점, ACÓ를 5`:`4로 내분하

는 점이다. ④

0518 두 점 A(2, 3), B(0, 4)에 대하여 선분 AB를 m`:`n

으로 외분하는 점 Q의 좌표는

{ -2nm-n ,

4m-3nm-n }

이때 m>n>0이므로 삼각형 OAQ

는 오른쪽 그림과 같다.

이때 삼각형 OAQ의 넓이가 16이고,

삼각형 OAB의 넓이가

;2!;_4_2=4

이므로 삼각형 OBQ의 넓이는 16-4=12

삼각형 OBQ의 밑변을 선분 OB로 하면 OBÓ=4이므로 삼각형

OBQ의 넓이는

;2!;_4_| -2nm-n |=12

즉, | -2nm-n |=6에서

-2nm-n =-6 (∵ m>n>0)

-2n=-6m+6n ∴ 3m=4n

∴ nm =;4#; ④

다른풀이

삼각형 OAQ의 넓이가 16, 삼각형 OAB의 넓이가 4이므로 삼

각형 OBQ의 넓이는 12이다.

두 삼각형 OAB와 OBQ의 밑변을 각각 선분 AB, 선분 BQ로

하면 두 삼각형의 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의

비와 같다.

즉, ABÓ`:`BQÓ=4`:`12=1`:`3이므로

AQÓ`:`BQÓ=4`:`3=m`:`n

∴ nm =;4#;

0519 세 점 A(a, 1), B(b, 7), C(-3, ab)를 꼭짓점으로

하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

{ a+b-33 ,

1+7+ab3 }

이때 삼각형 ABC의 무게중심의 y좌표가 x좌표의 2배이므로

a+b-33 =k,

1+7+ab3 =2k라 하면

a+b=3k+3, ab=6k-8

∴ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab

=(3k+3)Û`-4(6k-8)

=9kÛ`-6k+41

즉, 9kÛ`-6k+41=44에서 9kÛ`-6k-3=0

3kÛ`-2k-1=0, (3k+1)(k-1)=0

∴ k=-;3!; 또는 k=1

이때 삼각형 ABC의 무게중심은 제 1 사분면 위의 점이므로

k=1

따라서 구하는 무게중심의 좌표는 (1, 2)이다. (1, 2)


kÛ`-2k+4=;2&;, 2kÛ`-4k+1=0

∴ k=2Ñ'2

2

따라서 모든 APÓ의 길이의 합은

2-'22 +

2+'22 =2 2

주의 2kÛ`-4k+1=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 바로 두 근의 합

이 2라는 것을 알 수도 있으나 이와 같이 풀 때는 k에 대한 이차방정식의

두 근이 모두 0ÉkÉ3을 만족시키는지 확인하는 것이 필요하다.

0517 A(0, 3), B(-5, -9), C(4, 0)이므로

ABÓ="Ã(-5)Û`+(-9-3)Û`=13

ACÓ="Ã4Û`+(-3)Û`=5

∴ ADÓ=ACÓ=5

이때 선분 AP와 선분 DC가 평행하므로

PBÓ`:`PCÓ=ABÓ`:ÀDÓ=13`:`5

따라서 점 P는 선분 BC를 13`:`5로 외분하는 점이므로 점 P의

좌표는

{ 13_4-5_(-5)13-5 ,

13_0-5_(-9)13-5 }, 즉 {:¦8¦:, :¢8°:}

⑤

평행선 사이의 선분의 길이의 비

△ABC에서 두 점 D, E가 각각 ABÓ, ACÓ 위의 점일 때, BCÓDEÓ이면

① ABÓ`:ÀDÓ=ACÓ`:ÀEÓ=BCÓ`:`DEÓ② ABÓ`:`DBÓ=ACÓ`:ÈCÓ

개념Plus


0520 삼각형 ABC의 무게중심을

G, 선분 BC의 중점을 M이라 하자.

AGÓ`:`GMÓ=2`:`1에서

AGÓ`:ÀMÓ=2`:`3이고

AGÓ="Ã(1-2)Û`+(2+1)Û`='1�0이므로

AMÓ=3'1�0

2

이때 ∠B=∠C=45ù이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ

∴ BCÓ=BMÓ+CMÓ=2AMÓ=2_3'1�0

2 =3'1�0

또, AMÓ`:ÀBÓ=1`:`'2이므로 ABÓ=ACÓ=3'5따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는

3'1�0+6'5 ③

0522 다음 그림과 같이 직선 l이 선분 AM과 만나는 점을 S

라 하고 삼각형 PQR의 무게중심을 G라 하면 점 S는 PQÓ의 중

점이므로 점 G는 AMÓ을 4`:`5로 내분하는 점이다.

0523 OCÓ는 ∠AOB의 이등분선이므로

OAÓ`:ÒBÓ=ACÓ`:`BCÓ

이때 OAÓ="ÃaÛ`+3Û`, OBÓ="Ã3Û`+4Û`=5이므로

ACÓ`:`BCÓ="ÃaÛ`+9`:`5

즉, 점 C는 ABÓ를 "ÃaÛ`+9`:`5로 내분하는 점이므로

C{ 3"ÃaÛ`+9+5a"ÃaÛ`+9+5

, 4"ÃaÛ`+9+15"ÃaÛ`+9+5

}

0521 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 높이는

'32 _4=2'3

즉, 오른쪽 그림과 같이 직선 BC를 x축

으로 하고 변 BC의 중점이 원점에 오도

록 정삼각형 ABC를 좌표평면 위에 나타

내면

A(0, 2'3), B(-2, 0), C(2, 0)

좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)에 대하여

PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`

=xÛ`+(y-2'3)Û`+(x+2)Û`+yÛ`+(x-2)Û`+yÛ`

=3xÛ`+3yÛ`-4'3y+20

=3xÛ`+3{y- 2'33 }

Û`+16

따라서 x=0, y=2'33 일 때, 즉 점 P의 좌표가 {0, 2'33 }일 때

PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`의 값은 최소가 되고 최솟값은 16이다.

16

다른풀이

점 P가 △ABC의 무게중심일 때, PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`의 값은

최소가 된다.

정삼각형의 높이를 h라 하면

PAÓ=;3@;h이고 PAÓ=PBÓ=PCÓ이므로

PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`=3PAÓ Û`=3_{;3@;h}Û`=;3$;hÛ`

이때 h='32 _4=2'3이므로 ;3$;hÛ`=;3$;(2'3)Û`=16

따라서 PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`의 최솟값은 16이다.

점 M은 BCÓ의 중점이므로

M{ 0+k2 ,

1+32 }, 즉 M{;2K;, 2}

즉, AMÓ을 4`:`5로 내분하는 점 G의 좌표는

¦ 4_;2K;+5_2

4+5 , 4_2+5_8

4+5¥, 즉 { 2k+10

9 , 163 }

이때 점 G의 x좌표와 y좌표가 서로 같으므로

2k+109 = 16

3

∴ k=19 19

다른풀이

다음 그림과 같이 두 변 AB, AC가 직선 m과 만나는 점을 각

각 S, T라 하면 세 점 P, Q, R는 각각 삼각형 AST의 세 변의

중점이므로 삼각형 PQR의 무게중심은 삼각형 AST의 무게중

심과 일치한다.

점 S는 ABÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로

S{ 2_0+1_22+1 ,

2_1+1_82+1 }, 즉 S{;3@;, :Á3¼:}

점 T는 ACÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로

T{ 2_k+1_22+1 ,

2_3+1_82+1 }, 즉 T{ 2k+2

3 , :Á3¢:}

즉, 삼각형 AST의 무게중심의 좌표는

¦ 2+;3@;+ 2k+23

3 , 8+:Á3¼:+:Á3¢:

3¥, 즉 { 2k+10

9 , 163 }

따라서 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는 { 2k+109 ,

163 }이

고 x좌표와 y좌표가 서로 같으므로

2k+109 = 16

3 ∴ k=19

10. 평면좌표 097

0526 오른쪽 그림과 같이 BDÓ=4CDÓ

인 변 BC 위의 점 D에 대하여 BDÓ의 중

점을 M, MDÓ의 중점을 K라 하면

MDÓ=2CDÓ, KDÓ=CDÓ

삼각형 ABD에서 중선정리에 의하여

ABÓ Û`+ADÓ Û` =2(AMÓ Û`+MDÓ Û`)

=2(AMÓ Û`+4CDÓ Û`) yy`㉠

삼각형 AMD에서 중선정리에 의하여

AMÓ Û`+ADÓ Û` =2(AKÓ Û`+KDÓ Û`)

=2(AKÓ Û`+CDÓ Û`) yy`㉡

삼각형 AKC에서 중선정리에 의하여

AKÓ Û`+ACÓ Û`=2(ADÓ Û`+CDÓ Û`)

∴ AKÓ Û`=2ADÓ Û`+2CDÓ Û`-ACÓ Û`

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면

AMÓ Û`=3ADÓ Û`+6CDÓ Û`-2ACÓ Û` yy`㉢

㉢을 ㉠에 대입하여 정리하면

ABÓ Û`+4ACÓ Û` =5ADÓ Û`+20CDÓ Û`

=5(ADÓ Û`+4DCÓ Û`)

∴ k=5 5

이때 점 C의 x좌표가 ;8(;이므로

3"ÃaÛ`+9+5a"ÃaÛ`+9+5

=;8(;

24"ÃaÛ`+9+40a=9"ÃaÛ`+9+45

3"ÃaÛ`+9=9-8a


9aÛ`+81=64aÛ`-144a+81

55aÛ`-144a=0

a(55a-144)=0 ∴ a=0 (∵ a는 정수)

따라서 점 C의 y좌표는

12+153+5 =:ª8¦: :ª8¦:

0524 9 이하의 자연수 n에 대하여 점 Pn은 선분 AB를

n`:`(10-n)으로 내분하는 점이므로

Pn{n_20+(10-n)_(-20)

n+(10-n),

n_0+(10-n)_20n+(10-n)

}

즉, Pn(4n-20, 20-2n)

∴ OPnÓ ="Ã(4n-20)Û`+(20-2n)Û`

="Ã20nÛ`-240n+800

="Ã20(n-6)Û`+80

한편, 1ÉnÉ9에서 n에 대한 이차함수 y=20(n-6)Û`+80은

n=6일 때 최솟값 80을 갖고, n=1일 때 최댓값 580을 갖는다.

따라서 가장 짧은 선분은 OP¤Ó이므로 a=OP¤Ó='8�0,

가장 긴 선분은 OPÁÓ이므로 b=OPÁÓ='¶580∴ aÛ`+bÛ`=80+580=660 660

0525 ACÓ=BCÓ이므로

"Ã(a+16)Û`+bÛ`="ÃaÛ`+(b-8)Û`


32a+256=-16b+64, 2a+b=-12

∴ b=-2a-12 yy`㉠

두 점 D, E는 ACÓ, BCÓ를 각각 1`:`3으로 내분하는 점이므로

D{ a+3_(-16)1+3 ,

b+3_01+3 }, 즉 D{;4A;-12, ;4B;}

E{ a+3_01+3 ,

b+3_81+3 }, 즉 E{;4A;, ;4B;+6}

따라서 삼각형 CDE의 무게중심 G의 좌표는

¦ a+;4A;-12+;4A;3 ,

b+;4B;+;4B;+6

3¥, 즉 {;2A;-4, ;2B;+2}

이때 선분 CG의 길이가 2'5이므로

¾¨[a-{;2A;-4}]Û`+[b-{;2B;+2}]Û`=2'5

¾¨{;2A;+4} Û`+{;2B;-2}Û`=2'5

이 식에 ㉠을 대입하면

¾{;2A;+4}Û`+(-a-8)Û`=2'5


;4%;aÛ`+20a+60=0, aÛ`+16a+48=0

(a+4)(a+12)=0 ∴ a=-4 또는 a=-12

㉠에서 a=-4일 때 b=-4, a=-12일 때 b=12

이때 점 C는 제 2 사분면 위의 점이므로

a=-12, b=12

∴ 3a+b=-24 ③

0527 A{ 1_'2+1_'31+1 }이므로 점 A는 선분 PQ의 중점

이다.

B{ 1_'3+3_'21+3 }이므로 점 B는 선분 PQ를 1`:`3으로 내분

하는 점이다.

C{ 3_'3-1_'23-1 }이므로 점 C는 선분 PQ를 3`:`1로 외분하

는 점이다.

따라서 세 점 A, B, C를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같으

므로 세 점의 위치를 왼쪽부터 순서대로 나열하면 B, A, C이다.

③


본문 110~111쪽

0530

오른쪽 그림과 같이 성우의 처음 위치 (북)

성우

세미

(동)

를 원점으로 하고, 동쪽을 x축의 양의

방향, 북쪽을 y축의 양의 방향으로 하

는 좌표평면을 정하면 세미의 처음 위

치의 좌표는 (4, 3)이다.

t초 후의 성우와 세미의 위치를 각각

P, Q라 하면 P(2t, 0), Q(4+t, 3-t)이므로 두 사람 사이의

거리는

PQÓ="Ã(4+t-2t)Û`+(3-t)Û`

="Ã2tÛ`-14t+25

=¾¨2{t-;2&;} Û`+;2!;

성우와 세미의 위치를 좌표평면 위에 나타내어 본다.

0531

오른쪽 그림과 같이 배의 현재 위치를 (북)

(동)

원점, 동쪽을 x축의 양의 방향, 북쪽

을 y축의 양의 방향으로 하는 좌표평

면을 정하고 태풍의 중심의 현재 위치

를 C라 하면 C(150, 100)이다.

t시간 후의 배와 태풍의 중심의 위치

를 각각 P, Q라 하면

P(10t, 0), Q(150, 100-20t)

배가 태풍의 영향권 내에 있으려면 PQÓÉ100이어야 하므로

"Ã(150-10t)Û`+(100-20t)Û`É100


(10t-150)Û`+(20t-100)Û`É10000

tÛ`-14t+45É0, (t-5)(t-9)É0

∴ 5ÉtÉ9

즉, 배는 5시간 후에 태풍의 영향권 내에 진입하고 9시간 후에

태풍의 영향권에서 벗어난다.

따라서 배가 태풍의 영향권 내에서 항해하는 데 걸리는 시간은

4시간이다. ①

배가 태풍의 영향권 내에 있으려면 배와 태풍의 중심 사이의 거리가

100`km 이하이어야 한다.

0532

삼각형 ABC에서 점 D는 BCÓ를 1`:`3으로 내분하므로

BDÓ`:`DCÓ=1`:`3

점 E는 BCÓ를 2`:`3으로 외분하므로

EBÓ`:ÈCÓ=2`:`3 ∴ EBÓ`:`BCÓ=2`:`1

점 F는 ABÓ를 1`:`2로 외분하므로

FAÓ`:`FBÓ=1`:`2 ∴ FAÓ`:ÀBÓ=1`:`1

즉, 삼각형 ABC와 세 점 D, E,

F를 나타내면 오른쪽 그림과 같

다. (단, t는 실수)

이때 BDÓ`:ÈBÓ=1`:`8이므로

삼각형 AEB의 넓이는 삼각형 ABD의 넓이의 8배이다.

또, BFÓ`:ÀBÓ=2`:`1이므로 삼각형 FEB의 넓이는 삼각형

AEB의 넓이의 2배이다.

따라서 삼각형 FEB의 넓이는 삼각형 ABD의 넓이의 16배이

므로

k=16 16

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.

0529 삼각형 OAC의 넓이가 삼각형 OAB의 넓이의 3배이

므로 점 B는 ACÓ를 1`:`2로 내분하는 점이다.

C(a, b)라 하면 a-4

3 =1, b+23 =4

∴ a=7, b=10

∴ C(7, 10)

또, 삼각형 DAC의 넓이가 삼각형 OAC의 넓이의 2배이므로

원점 O는 ADÓ의 중점이다.

D(c, d)라 하면 -2+c

2 =0, 1+d2 =0

∴ c=2, d=-1

∴ D(2, -1)

∴ CDÓ Û`=(2-7)Û`+(-1-10)Û`=146 146

0528 P(a, b)라 하면

PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`+PDÓ Û`

={(a-1)Û`+(b-4)Û`}+{(a+2)Û`+(b+1)Û`}

+{(a-4)Û`+(b+2)Û`}+{(a-5)Û`+(b-3)Û`}

=4aÛ`-16a+4bÛ`-8b+76

=4(aÛ`-4a+4)+4(bÛ`-2a+1)+56

=4(a-2)Û`+4(b-1)Û`+56

이때 a, b가 모두 실수 이므로

(a-2)Û`¾0, (b-1)Û`¾0

따라서 a=2, b=1일 때 PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`+PDÓ Û`의 값이 최

소가 되므로 점 P의 좌표는 (2, 1)이다. (2, 1)

따라서 두 사람이 출발한 지 ;2&;초 후에 두 사람 사이의 거리는

최소가 되고, 그때의 거리의 최솟값은 ®;2!;= '22 (m)

'22 `m

10. 평면좌표 099

0533

오른쪽 그림과 같이 선분 PC를 그으

면 삼각형 APC에서

ARÓ`:`RCÓ=k`:`1이므로

△APR= kk+1 △APC

삼각형 ABC에서

APÓ`:`PBÓ=1`:`2이므로

△APC=;3!;△ABC

이때 삼각형 ABC의 넓이는 36이므로

△APR= kk+1 _;3!;△ABC

= kk+1 _;3!;_36= 12k

k+1

같은 방법으로 두 삼각형 PBQ, RQC의 넓이를 구하면

△PBQ=;3@;_;4!;△ABC=;3@;_;4!;_36=6

△RQC=;4#;_ 1k+1 △ABC=;4#;_ 1

k+1 _36= 27k+1

이때 삼각형 PQR의 넓이는 15이므로

△PQR=△ABC-(△APR+△PBQ+△RQC)에서

15=36-{ 12kk+1 +6+ 27

k+1 }

12k+27k+1 =15, 12k+27=15k+15

∴ k=4 4

선분의 길이의 비를 이용하여 각 삼각형의 넓이를 구한다.

0534

오른쪽 그림과 같이 두 삼각형 ABP,

AQC의 무게중심을 각각 GÁ, Gª라

하면 선분 GÁGª의 중점은 삼각형

ABC의 무게중심과 일치한다.

즉, 두 점 GÁ{:Á9¤:, -;9@;}, Gª(a, b)에 대하여 GÁGªÓ의 중점이

원점이므로

:Á9¤:+a2 =0,

-;9@;+b2 =0 ∴ a=-:Á9¤:, b=;9@;

∴ 9(a+b)=9{-:Á9¤:+;9@;}=-14 ②

다른풀이

두 점 B, C의 좌표를 각각 B(bÁ, bª), C(cÁ, cª)라 하자.

삼각형 ABC의 무게중심은 원점이므로

2+bÁ+cÁ3 =0,

1+bª+cª3 =0

∴ bÁ+cÁ=-2, bª+cª=-1 yy`㉠

두 삼각형 ABP, AQC의 무게중심을 각각 GÁ, Gª라 하면 선분

GÁGª의 중점은 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다.

점 P는 BCÓ를 1`:`2로 내분하는 점이므로

P{ cÁ+2bÁ3 ,

cª+2bª3 }

삼각형 ABP의 무게중심의 좌표는 {:Á9¤:, -;9@;}이므로

2+bÁ+cÁ+2bÁ

33 =:Á9¤:,

1+bª+cª+2bª

33 =-;9@;

∴ 5bÁ+cÁ=10, 5bª+cª=-5 yy`㉡


bÁ=3, bª=-1, cÁ=-5, cª=0

∴ B(3, -1), C(-5, 0)

점 Q는 BCÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로

Q{ 2_(-5)+1_33 ,

2_0+1_(-1)3 }

즉, Q{-;3&;, -;3!;}

삼각형 AQC의 무게중심의 좌표는

¦ 2-;3&;-5

3 , 1-;3!;+0

3¥, 즉 {-:Á9¤:, ;9@;}

따라서 a=-:Á9¤:, b=;9@;이므로

9(a+b)=-14

0535

선분 AB의 중점을 M이라 하면

M{ 1-12 ,

1+32 }, 즉 M(0, 2)

이때 중선정리에 의하여

PAÓ Û`+PBÓ Û` =2(PMÓ Û`+AMÓ Û`)

=2PMÓ Û`+4 (∵ AMÓ Û`=2)

즉, PMÓ의 길이가 최소일 때 PAÓ Û`+PBÓ Û`의 값이 최소가 된다.

위의 그림과 같이 PMÓ의 길이가 최소가 되려면 점 P는 선분

MC 위에 있어야 한다.

M(0, 2), C(a, 2), PCÓ=1이므로 PAÓ Û`+PBÓ Û`의 값이 최소가

되도록 하는 점 D의 좌표는 (a-1, 2)

이때 삼각형 ABD의 무게중심의 좌표가 (5, 2)이므로 x좌표는

1-1+a-13 =5 ∴ a=16 16

선분 AB의 중점을 M이라 하면 삼각형 PAB에서

PAÓ Û`+PBÓ Û`=2(PMÓ Û`+AMÓ Û`)이 성립함을 이용한다.


0536

점 P(a, b)는 직선 x-3y+3=0 위의 점이므로

a-3b+3=0 yy`㉠

APÓ를 t`:`(1-t)로 내분하는 점의 좌표를 (x, y)라 하면

x=ta+3(1-t), y=tb

∴ a= x+3t-3t , b= y

t yy`㉡


x+3t-3t - 3y

t +3=0

∴ y=;3!;x+2t-1

즉, 도형 l은 직선 y=;3!;x+2t-1이다.

이때 도형 l과 이차함수 y=x Û`-3x+2의 그래프가 접하므로

이차방정식 xÛ`-3x+2=;3!;x+2t-1, 즉

3xÛ`-10x-6t+9=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(-5)Û`-3(-6t+9)=0

∴ t=;9!; ⑤

선분 AP의 내분점의 좌표를 구하고 점 P가 직선 x-3y+3=0 위

의 점임을 이용하여 도형 l의 방정식을 구한다.

본문 113~116쪽

0537 꼭짓점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 삼각형 ABC의 무게

중심의 좌표가 G(0, 2)이므로

-4+3+a3 =0, 2+0+b

3 =2 ∴ a=1, b=4

따라서 두 점 C(1, 4), G(0, 2)를 지나는 직선의 방정식은

y= 2-40-1 x+2 ∴ y=2x+2 y=2x+2

0538 직선 ;3{;+;2};=1의 x절편이 3이므로 P(3, 0)

직선 ;2{;-;5};=2, 즉 ;4{;-;1Õ0;=1의 y절편이 -10이므로

Q(0, -10)

따라서 직선 PQ의 방정식은 ;3{;-;1Õ0;=1 ③

0539 점 (-1, 2)를 지나고 기울기가 tan`60ù='3인 직선

의 방정식은 y-2='3(x+1)

∴ '3x-y+2+'3=0

따라서 a=-1, b=2+'3이므로

a+b=1+'3 ④

0540 직선 AC의 방정식은 y= 5-02-8 (x-8)

∴ y=-;6%;x+:ª3¼: yy`㉠

직선 OB의 방정식은 y=;2!;x yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=5, y=;2%;

따라서 두 대각선의 교점의 좌표는 {5, ;2%;}이다. {5, ;2%;}

0541 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AC의 기

울기와 직선 BC의 기울기가 같아야 하므로

4-a2-1 =

4-(-5)2-(-a)

yy`㉠

(4-a)(2+a)=9, aÛ`-2a+1=0

(a-1)Û`=0 ∴ a=1

㉠에서 직선 l은 기울기가 4-12-1 =3이고 점 A(1, 1)을 지나므

로 직선 l의 방정식은

y-1=3(x-1) ∴ y=3x-2 y=3x-2


직선의�방정식11

11. 직선의 방정식 101

0542 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있어야 하므로 직선 AB

의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같아야 한다.

2-4k+1-(-1)

= -k-411-(-1)

-2_12=(-k-4)(k+2), kÛ`+6k-16=0

(k+8)(k-2)=0 ∴ k=-8 또는 k=2


-8+2=-6 ②

0543 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, -4)이므로

이차함수의 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이다.

점 B의 좌표를 (a, 0)이라 하면 이차함수의 그래프와 x축의 교

점의 x좌표는 0, a이고, 직선 x=2에 대하여 대칭이므로

0+a2 =2, 즉 a=4 ∴ B(4, 0)

이때 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선 y=mx는 선분

AB의 중점을 지나야 하므로 중점의 좌표를 구하면

{ 2+42 ,

-4+02 }, 즉 (3, -2)

x=3, y=-2를 y=mx에 대입하면

-2=3m ∴ m=-;3@; ④

다른풀이

이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, -4)이므

로 f(x)=a(x-2)Û`-4라 하자.

이 이차함수의 그래프가 원점을 지나므로

0=4a-4 ∴ a=1

즉, f(x)=(x-2)Û`-4이므로 (x-2)Û`-4=0에서

xÛ`-4x=0, x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4

따라서 원점이 아닌 점 B의 좌표는 (4, 0)이다.

이때 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선 y=mx는 선분

AB의 중점을 지나야 하므로 중점의 좌표를 구하면

{ 2+42 ,

-4+02 }, 즉 (3, -2)

x=3, y=-2를 y=mx에 대입하면

-2=3m ∴ m=-;3@;

0544 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은 각 직

사각형의 대각선의 교점을 모두 지나야 한다.

두 직사각형의 대각선의 교점의 좌표는 각각

{-3-12 ,

0-42 }, { 2+6

2 , 1+5

2 }

∴ (-2, -2), (4, 3)

이때 직선 ax+by-2=0이 두 점 (-2, -2), (4, 3)을 지나

야 하므로 -2a-2b-2=0, 4a+3b-2=0

두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-6

∴ a-b=11 11

0545 삼각형 ABD와 삼각형 ACD의 넓이의 비가 2`:`3이므

로 점 D는 BCÓ를 2`:`3으로 내분하는 점이다.

D{ 2_7+3_(-3)2+3 ,

2_(-1)+3_42+3 }, 즉 D(1, 2)

따라서 두 점 A(3, 10), D(1, 2)를 지나는 직선의 방정식은

y-10= 2-101-3 (x-3) ∴ y=4x-2

y=4x-2

0546 ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-;bA;x-;bC;

이때 ac<0, bc>0이므로 ab<0

따라서 (기울기)=-;bA;>0, (y절편)=-;bC;<0이므로 직선의

개형은 ④이다. ④

0547 ax+by+c=0에서 b+0이면

y=-;bA;x-;bC;

ㄱ. a=0, bc<0이면 -;bA;=0, -;bC;>0

즉, 오른쪽 그림과 같이 제 1, 2 사분면을

지난다.

ㄴ. ac>0, bc>0에서 ab>0이므로

-;bA;<0, -;bC;<0

즉, 오른쪽 그림과 같이 제 2, 3, 4 사분면

을 지난다.

ㄷ. ab<0, ac>0에서 bc<0이므로

-;bA;>0, -;bC;>0

즉, 오른쪽 그림과 같이 제 4 사분면을 지

나지 않는다.

ㄹ. ab>0, c=0이면 -;bA;<0, -;bC;=0

즉, 오른쪽 그림과 같이 제 2, 4 사분면을

지난다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄴ, ㄷ

0548 ㄱ. 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리하면

(x+4y-2)k+(-x+4y-6)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면

x+4y-2=0, -x+4y-6=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=1

따라서 직선 l은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-2, 1)을 지

난다.

ㄴ. k=1이면 직선 l의 방정식은 8y-8=0 ∴ y=1

따라서 직선 y=1은 y축에 수직이다.


0550 kx-y-k-2=0에서

(x-1)k-(y+2)=0 yy`㉠

직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, -2)를 지난다.

오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 직사각형과

만나도록 움직여 보면

Ú 직선 ㉠이 점 (2, 3)을 지날 때

k-5=0 ∴ k=5

Û 직선 ㉠이 점 (3, 1)을 지날 때

2k-3=0 ∴ k=;2#;

Ú, Û에서 직선 ㉠이 직사각형과 만나도록 하는 k의 값의 범위는

;2#;ÉkÉ5

따라서 M=5, m=;2#;이므로

Mm=:Á2°: :Á2°:

0551 kx+y+3k-5=0에서

(x+3)k+(y-5)=0 yy`㉠

직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-3, 5)를 지난다.

즉, 직선 ㉠이 점 A를 항상 지나므로 직선 ㉠이 삼각형 ABC의

넓이를 이등분하려면 BCÓ의 중점 M(-1, 1)을 지나야 한다.

따라서 2k-4=0이므로 k=2 2

0549 직선 5x+y-1=0이 점 (a, b)를 지나므로

5a+b-1=0 ∴ b=-5a+1

b=-5a+1을 2ax+by=4에 대입하면

2ax+(-5a+1)y=4

이 식을 a에 대하여 정리하면

(2x-5y)a+y-4=0

이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하려면

2x-5y=0, y-4=0

두 식을 연립하여 풀면 x=10, y=4

따라서 직선 2ax+by=4는 항상 점 (10, 4)를 지나므로

p=10, q=4 ∴ pq=40 40

ㄷ. (k-1)x+4(k+1)y-2k-6=0에서 k+-1이면

y= 1-k4(k+1)

x+ 2k+64(k+1)

이때 직선 l의 기울기가 -;4!;이면

1-k

4(k+1)=-;4!;, -4(1-k)=4(k+1)

∴ 0_k=8

이를 만족시키는 실수 k의 값은 존재하지 않으므로 직선 l은

기울기가 -;4!;인 직선이 될 수 없다.


0552 직선 3x-ay+10=0과 직선 3x+(b-9)y-2=0이

평행하므로

;3#;= -ab-9+

10-2 , -a=b-9

∴ a+b=9

또, 직선 3x-ay+10=0과 직선 2x+by-6=0이 수직이므로

3_2+(-a)_b=0

∴ ab=6

∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab

=9Û`-2_6=69 69

0553 주어진 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 다음과

같다.

Ú 직선 ax+3y=5와 직선 2x-y=1이 평행할 때

;2A;= 3-1+;1%; ∴ a=-6

Û 직선 ax+3y=5와 직선 x+y=2가 평행할 때

;1A;=;1#;+;2%; ∴ a=3

Ü 직선 ax+3y=5가 두 직선 2x-y=1, x+y=2의 교점

(1, 1)을 지날 때

a+3=5 ∴ a=2

Ú, Û, Ü에서 모든 실수 a의 값의 합은

-6+3+2=-1 ③

0554 직선 x-3y-6=0, 즉 y=;3!;x-2의 기울기가 ;3!;이

므로 직선 AH의 기울기는 -3이다.

또, 직선 AH는 점 A(1, 5)를 지나므로 직선 AH의 방정식은

y-5=-3(x-1)

∴ 3x+y-8=0

x-3y-6=0, 3x+y-8=0을 연립하여 풀면

x=3, y=-1

따라서 점 H의 좌표는 (3, -1)이다. (3, -1)

0555 ∠OAB=∠OCA이므로

∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OCA+∠OAC=90ù

즉, 두 직선 lÁ, lª는 서로 수직이다.

이때 직선 lÁ의 기울기는 0-23-0 =-;3@;이므로 직선 lª의 기울기

는 ;2#;이다.

따라서 직선 lª의 방정식은

y=;2#;(x-3)

∴ y=;2#;x-;2(; y=;2#;x-;2(;


0557 ABÓ의 중점의 좌표는 {3, a+b2 }

직선 2x-y-5=0이 이 점을 지나므로

6- a+b2 -5=0 ∴ a+b=2 yy`㉠

또, 직선 2x-y-5=0과 직선 AB는 수직이므로

2_ b-a7-(-1)

=-1 ∴ b-a=-4 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1

∴ ab=-3 -3

0556 BCÓ의 중점을 M이라 하면 점

M은 직선 y=m(x-2)와 y축의 교

점이므로 M(0, -2m)

삼각형 ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변

삼각형이므로 두 선분 BC, AM은 서

로 수직이다.

이때 직선 BC의 기울기가 m, 직선 AM의 기울기가 -2m-3

2

이므로

m_ -2m-32 =-1, 2mÛ`+3m-2=0

(m+2)(2m-1)=0

∴ m=;2!; (∵ m>0) ③

0558 직선 x+2y-7=0, 즉 y=-;2!;x+;2&;에 수직인 직선

의 기울기는 2이므로 구하는 직선의 방정식을 y=2x+a, 즉

2x-y+a=0`(a는 상수)으로 놓을 수 있다.

원점과 이 직선 사이의 거리가 '5이므로

|a|"Ã2Û`+(-1)Û`

='5, |a|=5 ∴ a=Ñ5

따라서 제 2 사분면을 지나지 않는 직선의 방정식은 y=2x-5이

다. y=2x-5

0559 두 직선이 평행하므로

;a!;= 1-a-2 +

2a4-3a

;a!;= 1-a-2 에서 -2=a(1-a)

aÛ`-a-2=0, (a+1)(a-2)=0

∴ a=-1 (∵ a<0)

따라서 두 직선의 방정식은 x+2y-2=0, x+2y-7=0이므

로 두 직선 사이의 거리는 직선 x+2y-2=0 위의 한 점

(0, 1)과 직선 x+2y-7=0 사이의 거리와 같다.

∴ |2-7|"Ã1Û`+2Û`

= 5'5 ='5 '5

0560 ABÓ="Ã(-4-2)Û`+(-3-5)Û`='¶100=10

직선 AB의 방정식은

y-5= -3-5-4-2 (x-2) ∴ 4x-3y+7=0

점 C와 직선 AB 사이의 거리는

|4a+7|"Ã4Û`+(-3)Û`

= |4a+7|5

이때 삼각형 ABC의 넓이가 11이므로

;2!;_10_ |4a+7|5 =11

|4a+7|=11, 4a+7=Ñ11

∴ a=1 (∵ a>0) ①

0561 x+5y-6+k(x-y)=0에서

(1+k)x+(5-k)y-6=0

원점과 이 직선 사이의 거리 f(k)는

f(k)= |-6|"Ã(1+k)Û`+(5-k)Û`

= 6"Ã2kÛ`-8k+26

따라서 "Ã2kÛ`-8k+26="Ã2(k-2)Û`+18이 최소일 때, 즉

k=2일 때 f(k)가 최대이므로 구하는 최댓값은

f(2)= 6'1�8 = 6

3'2 ='2 '2

0562 삼각형 OAB의 무게중심 G의 좌표는

{ 0+8+73 ,

0+4+a3 }, 즉 {5, 4+a

3 }이므로

b= 4+a3 yy`㉠

한편, 직선 OA의 방정식은

y= 4-08-0 x ∴ x-2y=0

이때 점 G(5, b)와 직선 x-2y=0 사이의 거리가 '5이므로

|5-2b|"Ã1Û`+(-2)Û`

='5, |5-2b|=5

5-2b=Ñ5 ∴ b=0 또는 b=5

a>0이므로 ㉠에서 b>;3$;

따라서 b=5, a=11이므로 a+b=16 ①

0563 두 직선 x+2y+3=0, 2x-y+3=0이 이루는 각의

이등분선 위의 한 점의 좌표를 (x, y)라 하면 점 (x, y)에서 두

직선에 이르는 거리가 같으므로

|x+2y+3|"Ã1Û`+2Û`

= |2x-y+3|"Ã2Û`+(-1)Û`

x+2y+3=Ñ(2x-y+3)

∴ x-3y=0 또는 3x+y+6=0

이 중에서 기울기가 음수인 것은 3x+y+6=0이므로

a=3, b=1 ∴ ab=3 ③


0564 P(x, y)라 하면 PRÓ=2PSÓ이므로

|3x-4y-1|"Ã3Û`+(-4)Û`

=2_ |4x+3y-1|"Ã4Û`+3Û`

3x-4y-1=Ñ2(4x+3y-1)

∴ 5x+10y-1=0 또는 11x+2y-3=0

5x+10y-1=0 또는 11x+2y-3=0

본문 117~120쪽

0565 오른쪽 그림과 같이 좌표평

면 위에 점 B를 원점으로 하고 직선

BC를 x축, 직선 AB를 y축으로 나

타내면

E(0, 1), F(1, 0)

이때 직선 BD의 방정식은

y=x

직선 ED의 방정식은

y= 2-12-0 x+1 ∴ y=;2!;x+1

직선 AF의 방정식은

y= 0-21-0 x+2 ∴ y=-2x+2

점 H는 두 직선 y=x, y=-2x+2의 교점이므로

H{;3@;, ;3@;}

점 I는 두 직선 y=;2!;x+1, y=-2x+2의 교점이므로

I{;5@;, ;5^;}

∴ BHIE =△ABF-△AEI-△BFH

=;2!;_1_2-;2!;_1_;5@;-;2!;_1_;3@;

=;1¦5; ;1¦5;

0566 점 C는 직선 x-2=0 위에 있으므로 C(2, p)라 하고,

점 B의 좌표를 (q, r)라 하자.

무게중심 G는 두 직선 x-2y=0, x-2=0의 교점이므로 점

G의 좌표는 (2, 1)

즉, -2+q+2

3 =2, -1+r+p

3 =1

∴ q=6, r+p=4 yy`㉠

한편, 직선 BC의 기울기가 -;2!;이므로

r-p6-2 =-;2!; ∴ r-p=-2 yy`㉡

0567 xÛ`+4xy+ayÛ`+3x+7y+2=0의 좌변을 x에 대하여

내림차순으로 정리하면

xÛ`+(4y+3)x+ayÛ`+7y+2=0 yy`㉠

근의 공식에 의하여

x=-(4y+3)Ñ"Ã(4y+3)Û`-4(ayÛ`+7y+2)

2

이때 주어진 방정식이 두 직선을 나타내려면 근호 안의 식

(4y+3)Û`-4(ayÛ`+7y+2)가 완전제곱식이 되어야 한다.

방정식 (4y+3)Û`-4(ayÛ`+7y+2)=0, 즉

(16-4a)yÛ`-4y+1=0의 판별식을 D라 하면

D4 =(-2)Û`-(16-4a)=0

-12+4a=0 ∴ a=3

a=3을 ㉠에 대입하면

xÛ`+(4y+3)x+3yÛ`+7y+2=0

xÛ`+(4y+3)x+(y+2)(3y+1)=0

(x+y+2)(x+3y+1)=0

∴ x+y+2=0 또는 x+3y+1=0

이때 두 직선 x+y+2=0, x+3y+1=0의 기울기는 각각

-1, -;3!;이므로 두 직선의 기울기의 곱은

(-1)_{-;3!;}=;3!; ;3!;


r=1, p=3 ∴ B(6, 1)

따라서 직선 AB의 방정식은

y+1=1-(-1)6-(-2)

(x+2)

∴ y=;4!;x-;2!; y=;4!;x-;2!;

0568 직선 l이 정육각형의 넓이를

이등분하므로 직선 l은 정육각형의 마

주 보는 꼭짓점을 연결한 세 대각선의

교점을 지난다.

한 변의 길이가 6인 정삼각형의 높이는

'32 _6=3'3이므로 정육각형의 마주

보는 꼭짓점을 연결한 세 대각선의 교점을 C라 하면

C(-3'3, 3)즉, 직선 l은 두 점 P(0, 7), C(-3'3, 3)을 지나므로 직선 l

의 방정식은

y-7= 3-7-3'3 x ∴ y=

4'39 x+7

이 직선이 점 Q('3a, 0)을 지나므로

0=4'39 _'3a+7 ∴ a=-:ª4Á: -:ª4Á:


0570 주어진 세 직선이 좌표평면을 6개의 영역으로 나누는

경우는 다음과 같다.

Ú 직선 x+ay=3이 직선 x-y=1 또는 x+2y=4와 평행할 때

;1!;= a-1+;1#; 또는 ;1!;=;2A;+;4#;

∴ a=-1 또는 a=2

Û 세 직선이 한 점에서 만날 때

직선 x+ay=3이 두 직선 x-y=1, x+2y=4의 교점

(2, 1)을 지나야 하므로

2+a=3 ∴ a=1

Ú, Û에서 모든 실수 a의 값의 합은

-1+2+1=2 ④

0571 직선 y=-x+4 위의 한 점 (0, 4)와 직선

y=-x-2, 즉 x+y+2=0 사이의 거리는

|4+2|"Ã1Û`+1Û`

=3'2 ∴ ABÓ=3'2

오른쪽 그림과 같이 점 O에서 선분

y=-x-2

y=-x+4

O

A

B

H

x

y

AB에 내린 수선의 발을 H라 하면

삼각형 OAB의 넓이가 12이므로

;2!;_3'2_OHÓ=12

∴ OHÓ=4'2이때 직선 AB는 두 직선

y=-x+4, y=-x-2와 수직이므로 직선 AB의 방정식을

y=x+k, 즉 x-y+k=0`(k는 상수)으로 놓을 수 있다.

이 직선과 원점 사이의 거리가 4'2이므로

|k|"Ã1Û`+(-1)Û`

=4'2 ∴ k=8 (∵ k>0)

0572 x+;a};= 1aÛ`

에서 aÛ`x+ay-1=0 yy`㉠

x-;a};= 1aÛ`

에서 aÛ`x-ay-1=0 yy`㉡

ㄱ. ㉠, ㉡에서 aÛ`aÛ`+ a

-a , 즉 1+-1이므로 두 직선은 만난다.

ㄴ. 두 직선이 수직이려면 aÛ`_aÛ`+a_(-a)=0이어야 한다.

aÝ`-aÛ`=0, aÛ`(a+1)(a-1)=0

∴ a=1 (∵ a¾1)

따라서 두 직선은 a=1일 때만 서로 수직이다.

ㄷ. dÁ= |-1|"Ã(aÛ`)Û`+aÛ`

= 1"ÃaÝ`+aÛ`

,

dª= |-1|"Ã(aÛ`)Û`+(-a)Û`

= 1"ÃaÝ`+aÛ`

이므로

dÁdª= 1"ÃaÝ`+aÛ`

_ 1"ÃaÝ`+aÛ`

= 1aÝ`+aÛ`

aÛ`=t라 하면 t¾1이므로 aÝ`+aÛ`=tÛ`+t¾2

∴ dÁdª= 1aÝ`+aÛ`

É;2!;


0573 ㄱ. t=1일 때, 점 P의 좌표는 (1, 0)이므로 직선 AP

의 기울기는 0-11-0 =-1이다.

이때 직선 AP와 직선 l이 수직이므로 직선 l의 기울기는 1

이다.

ㄴ. 직선 AP의 기울기는 0-1t-0 =- 1

t 이므로 직선 l의 기울기

는 t이고, 직선 l이 점 P(t, 0)을 지나므로 직선 l의 방정식

은 y=t(x-t) yy`㉠

직선 l이 점 (3, 2)를 지나므로 ㉠에 x=3, y=2를 대입하면

2=t(3-t), tÛ`-3t+2=0

(t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2

즉, 점 (3, 2)를 지나는 직선 l의 개수는 2이다.

ㄷ. 부등식 yÉaxÛ`에 ㉠을 대입하면

t(x-t)ÉaxÛ`

∴ axÛ`-tx+tÛ`¾0 yy`㉡

부등식 ㉡이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a>0이고,

이차방정식 axÛ`-tx+tÛ`=0의 판별식을 D라 하면

D=tÛ`-4atÛ`=tÛ`(1-4a)É0

tÛ`>0이므로

1-4aÉ0 ∴ a¾;4!;

즉, 실수 a의 최솟값은 ;4!;이다.


0569 ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;

bx+ay+c=0에서 y=-;;aB;x-;aC;

bx+cy+a=0에서 y=-;cB;x-;cA;

주어진 그림에서 세 직선 중 두 직선의 기울기는 음수이고

-;bA;와 -;aB;의 부호는 같으므로

-;bA;<0, -;aB;<0, -;cB;>0

∴ ab>0, bc<0 ∴ ac<0

또, cx+ay+b=0에서 y=-;aC;x-;aB;

이때 ab>0, ac<0이므로

-;aC;>0, -;aB;<0

따라서 직선 cx+ay+b=0은 오른쪽 그

림과 같으므로 제 2 사분면을 지나지 않는

다.

제 2 사분면

따라서 직선 AB의 방정식은

y=x+8 y=x+8


0575

직선 BN과 직선 LM의 교점을 P라 할 때, 삼각형의 두 변의 중

점을 연결한 선분의 성질에 의하여 직선 LM과 직선 AC는 평

행하므로 직선 BN과 직선 AC는 서로 수직이다.

즉, 직선 BN이 선분 AC의 수직이등분선이므로 점 P는 선분

LM의 중점이다.

따라서 점 P의 좌표는 { 2+42 ,

1-12 }, 즉 (3, 0)

△ABC의 무게중심 G에 대하여

BGÓ`:`GNÓ=2`:`1이고 BPÓ=NPÓ이므로

(NPÓ+4'2)`:`(NPÓ-4'2)=2`:`1

∴ NPÓ=12'2이때 NPÓ Û`=(a-3)Û`+bÛ`이므로

(a-3)Û`+bÛ`=(12'2)Û` yy`㉠

한편, 직선 LM과 직선 NP는 서로 수직이므로

-1-14-2 _ b

a-3 =-1 ∴ b=a-3 yy`㉡

0574 두 직선 y=-2x, y=;2!;x의 기울기의 곱이 -1이므로

두 직선은 서로 수직이다.

즉, 직선 y=mx+5가 두 직선 y=;2!;x, y=-2x와 만나는 점

을 각각 A, B라 하면 △AOB는 ∠AOB=90ù인 직각이등변

삼각형이다.

위의 그림과 같이 원점을 지나고 ∠AOB를 이등분하는 직선을

l이라 하면 직선 l은 직선 y=mx+5와 수직이고, 직선 l 위의

점 (x, y)에서 두 직선 y=-2x, 즉 2x+y=0과 y=;2!;x, 즉

x-2y=0까지의 거리는 같다.

|2x+y|"Ã2Û`+1Û`

= |x-2y|"Ã1Û`+(-2)Û`

에서

|2x+y|=|x-2y|, 2x+y=Ñ(x-2y)

∴ y=-;3!;x 또는 y=3x

그런데 m<0에서 직선 l의 기울기가 양수이므로

l`:`y=3x ∴ m=-;3!; ①

0576 직선 lª의 방정식을

y=mx`(m>0)라 하면 직선 lÁ의 방정

식은 y=3mx

오른쪽 그림과 같이 x축 위의 한 점

A(a, 0)`(a>0)을 잡고 직선 x=a와

두 직선 lÁ, lª가 만나는 점을 각각 P, Q

라 하면

P(a, 3am), Q(a, am)

이때 직선 lª는 직선 lÁ과 x축이 이루는 각의 이등분선이므로 점

Q에서 직선 lÁ과 x축에 이르는 거리는 같다.

즉, 점 Q(a, am)에서 두 직선 3mx-y=0, y=0에 이르는 거

리가 같으므로

|3am-am|"Ã(3m)Û`+(-1)Û`

=am, "Ã9mÛ`+1=2


9mÛ`+1=4, mÛ`=;3!; ∴ m='33 (∵ m>0)

따라서 직선 lÁ의 기울기는

3m=3_'33 ='3 ⑤

다른풀이

△OAP에서 OQÓ는 ∠AOP의 이등분선이므로

OAÓ`:`OPÓ=AQÓ`:`PQÓ

a`:`"ÃaÛ`+(3am)Û` =am`:`2am

1`:`"Ã1+9mÛ`=1`:`2, "Ã1+9mÛ`=2


1+9mÛ`=4, mÛ`=;3!; ∴ m='33 (∵ m>0)

따라서 직선 lÁ의 기울기는 3m=3_'33 ='3


(a-3)Û`+(a-3)Û`=(12'2)Û`, (a-3)Û`=144

a-3=Ñ12 ∴ a=15 또는 a=-9

이때 무게중심 G가 제 1 사분면 위에 있으므로

a=15, b=12 (∵ ㉡)

∴ ab=180 ⑤

0577 ABÓ="Ã(1-0)Û`+(1+3)Û`='1�7두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은

y+3= 1+31-0 x ∴ 4x-y-3=0

점 C(5, 2)에서 직선 4x-y-3=0에 이르는 거리는

|20-2-3|'Ä16+1

= 15'1�7

∴ △ABC=;2!;_'1�7_ 15'1�7 =:Á2°:


0578 오른쪽 그림과 같이 B지

점을 원점으로 하여 매점을 좌표

평면 위에 나타내면 A지점의 좌

표는 (-22, -16)이다.

A지점에 있는 사람이 B지점에

있는 식수대를 보기 위해 이동해

야 하는 거리의 최솟값은 점 A와 직선 OC 사이의 거리이다.

이때 직선 OC의 방정식은 4x-3y=0이므로

점 A(-22, -16)과 직선 OC 사이의 거리는

|-88+48|"Ã4Û`+(-3)Û`

= 405 =8(m) 8

0579 오른쪽 그림과 같이 좌표평면

위에 점 A를 원점으로 하고 직선 AB

를 x축, 직선 AD를 y축으로 나타내면

EÕB'Ó=2이므로

B'PÓ="Ã2Û`-1Û`='3따라서 B'(2, '3)이므로 직선 EB'의

방정식은

y='3-02-1 (x-1) ∴ '3x-y-'3=0

또, 삼각형 ABC의 무게중심 G는

G{ 1+0+53 ,

1-3+23 }, 즉 G(2, 0)이고

선분 BC를 2`:`1로 외분하는 점 D는

D{ 2_5-1_02-1 ,

2_2-1_(-3)2-1 }, 즉 D(10, 7)

이므로 두 점 G, D를 지나는 직선의 방정식은

y-0= 7-010-2 (x-2) ∴ 7x-8y-14=0

점 C(5, 2)에서 직선 7x-8y-14=0에 이르는 거리는

|35-16-14|'Ä49+64

= 5'¶113

이때 GPÓ=a라 하면 △GCP=;5!;△ABC에서

;2!;_a_ 5'¶113 =;5!;_:Á2°: ∴ a=

3'¶1135

GDÓ="Ã(10-2)Û`+(7-0)Û`='¶113이므로

GPÓ`:`PDÓ=3`:`2, 즉 점 P는 GDÓ를 3`:`2로 내분하는 점이다.

따라서 점 P의 좌표는

{ 3_10+2_23+2 ,

3_7+2_03+2 }, 즉 {:£5¢:, :ª5Á:}

∴ a=:£5¢:, b=:ª5Á:

∴ a+b=11 11

0581 점 P에서 직선 AD에 내린 수선의 발을 H라 하면 점

H는 ADÓ 위에 있으므로 PHÓ가 구하는 최솟값이다.

즉, 직선 AD의 방정식은 3x+2y-6=0이므로

PHÓ= |3_4+2_3-6|"Ã3Û`+2Û`

= 12'1�3 =

12'1�313

∴ m=12'1�3

13점 P에서 마름모 ABCD 위의 점까지의 거리의 최댓값은 점 P

에서 선분 BC 위의 점까지의 거리의 최댓값과 같다. 이때

PBÓ="Ã{4-(-2)}Û`+(3-0)Û`='4�5=3'5,PCÓ="Ã(4-0)Û`+{3-(-3)}Û`='5�2=2'1�3이므로 M=2'1�3

∴ Mm=2'1�3_ 12'1�313 =24 24

0580 직선 l과 선분 CD의 교점을 P

라 하고 점 P에서 x축, y축에 내린 수

선의 발을 각각 Q, R라 하면 삼각형

OQP의 넓이와 삼각형 OPR의 넓이가

서로 같으므로 사각형 ABCQ의 넓이

와 사각형 DERP의 넓이가 서로 같다.

즉, 3_ERÓ=2_1에서 ERÓ=;3@;이므로 P{3, ;3&;}

따라서 직선 l의 기울기는 ;3&;-0

3-0 =;9&;이므로 p=9, q=7

∴ p+q=16 ②

0582 직선 y=x+k가 y축과 만나는 점을 P라 하면 P(0, k)

직선 AB의 방정식은 y=-;3@;x+6이므로 직선 AB와 직선

y=x+k의 교점을 Q라 하면 Q{ 18-3k5 ,

18+2k5 }

따라서 삼각형 PAQ의 넓이는

;2!;_(6-k)_ 18-3k5 =;1£0;(6-k)Û`

세 점 B(3, 0), C(3, 3), D(0, 3)과 직선 '3x-y-'3=0 사

이의 거리를 각각 dÁ, dª, d£이라 하면

dÁ=|3'3-'3|

"Ã('3)Û`+(-1)Û`='3

dª=|3'3-3-'3|"Ã('3)Û`+(-1)Û`

=2'3-3

2

d£=|-3-'3|

"Ã('3)Û`+(-1)Û`=

3+'32

∴ dÁ+dª+d£='3+ 2'3-32 +

3+'32 =

5'32

5'32


0583

위의 그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 A(0, a), B(b, 0),

C(c, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들면 직선 AB의 기울

기는 -;bA;이고 선분 AB의 중점의 좌표는 {;2B;, ;2A;}이므로 선분

AB의 수직이등분선은 기울기가 ;aB;이고 점 {;2B;, ;2A;}를 지나는

직선이다.

즉, y=;aB;{x-;2B;}+;2A;이므로 이를 정리하면 선분 AB의 수직

이등분선의 방정식은 y=;aB;x+ aÛ`-bÛ`2a 이고 선분 BC의 수직

이등분선의 방정식은 x= b+c2 이므로 삼각형 ABC의 세 변의

수직이등분선의 교점 D는 두 직선 y=;aB;x+ aÛ`-bÛ`2a ,

x= b+c2 의 교점이므로 D{ b+c

2 , aÛ`+bc

2a }이다.

또, 점 B에서 대변 AC에 내린 수선의 발을 P라 하면 직선 BP

는 직선 AC와 수직이고 직선 AC의 기울기가 -;cA;이므로 직선

BP는 기울기가 ;aC;이고 점 (b, 0)을 지나는 직선이다.

따라서 직선 BP의 방정식은 y=;aC;x- bca 이고 y축은 점 A에

서 대변 BC에 그은 수선이므로 삼각형 ABC의 세 꼭짓점에서

각각의 대변에 그은 수선의 교점 E는 두 직선 y=;aC;x- bca ,

x=0의 교점이다.

∴ E{0, - bca }

또, 삼각형 ABC의 무게중심 F의 좌표는 { b+c3 , ;3A;}이다.

이때 직선 DF의 기울기는

aÛ`+bc2a -;3A;

b+c2 - b+c

3

= aÛ`+3bca(b+c)

이고

직선 EF의 기울기는 ;3A;-{- bc

a }

b+c3 -0

= aÛ`+3bca(b+c)

이므로 서로

같다.

따라서 세 점 D, E, F는 한 직선 위에 있다. ①

본문 121쪽

0584

선분 OB와 선분 AC의 교점을 P'이라 하면

OPÓ+BPÓ¾OBÓ=OP'Ó+BP'Ó

APÓ+CPÓ¾ACÓ=AP'Ó+CP'Ó

따라서 POÓ+PAÓ+PBÓ+PCÓ의 값이 최소가 되도록 하는 점 P

는 사각형 OABC의 두 대각선 OB, AC의 교점이다.

두 점 O, B를 지나는 직선의 방정식은

y=x yy`㉠

두 점 A, C를 지나는 직선의 방정식은

;2{;+;6};=1 ∴ y=-3x+6 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;2#;, y=;2#;이므로

a=;2#;, b=;2#;

∴ y=mx-ma+b+k=m(x-a)+b+k

=m{x-;2#;}+;2#;+k

이 직선은 기울기 m의 값에 관계없이 점 {;2#;, ;2#;+k}를 지난다.

따라서 원점에서 직선 y=m{x-;2#;}+;2#;+k까지의 거리가 최

대가 되도록 하는 m의 값은 -;2#;

;2#;+k이고 이 값이 -;2!;이므로

-;2#;

;2#;+k=-;2!;에서 k=;2#;

∴ a+b+2k=6 6참고 점 A(a, b)를 지나는 직선이 원점 O로부터 가장 멀리 떨어져 있기

위해서는 직선 OA에 수직이어야 하므로 기울기가 -;ºÄ;이어야 한다.

사각형 OABC의 두 대각선의 교점을 이용하여

POÓ+PAÓ+PBÓ+PCÓ가 최소가 되는 점 P의 좌표를 구한다.

0585

좌표평면 위의 점 O, A, B, C, F의

좌표는 각각 (0, 0), (12, 0),

(12, 12), (0, 12), (5, 0)이다.

점 O'은 선분 BC 위의 점이므로 점

O'의 좌표를 (a, 12)`(0ÉaÉ12)

라 할 수 있다.

또, 점 F'은 선분 DE 위의 점이고, 두 점 D, E는 각각 두 선분

OC, AB를 2`:`1로 내분하는 점이므로 점 F'의 좌표를

(b, 8)`(0ÉbÉ12)이라 할 수 있다.

두 직선 OO'과 FF'이 직선 PQ와 수직임을 이용한다.

한편, 삼각형 OAB의 넓이는 18이므로

;1£0;(6-k)Û`=9 ∴ k=6Ñ'3�0

그런데 직선 y=x+k가 두 점 A, B 사이를 지나야 하므로

0<k<6 ∴ k=6-'3�0 6-'3�0


직선 OO'과 직선 FF'은 모두 직선 PQ와 수직이므로 직선 OO'

과 직선 FF'은 서로 평행하다.

따라서 두 직선의 기울기가 같으므로

12-0a-0 = 8-0

b-5

∴ 2a=3b-15 yy`㉠

또, O'F'Ó=OFÓ=5이므로

"Ã(b-a)Û`+(8-12)Û`=5

∴ (b-a)Û`=9 yy`㉡


a=6, b=9 (∵ 0ÉaÉ12, 0ÉbÉ12)

직선 PQ는 선분 OO'의 중점 (3, 6)과 선분 FF'의 중점 (7, 4)

를 지나므로 직선 PQ의 방정식은

y-6= 6-43-7 (x-3)

∴ y=-;2!;x+:Á2°:

따라서 m=-;2!;, n=:Á2°:이므로

m+n=7 ⑤

다른풀이

좌표평면 위의 점 O, A, B, C, F의

좌표는 각각 (0, 0), (12, 0),

(12, 12), (0, 12), (5, 0)이다.

점 O'은 선분 BC 위의 점이므로 점

O'의 좌표를 (a, 12) (0ÉaÉ12)

라 할 수 있다.

점 F'에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면

O'F'Ó=OFÓ=5이고 HF'Ó=4이므로

O'HÓ =¿¹O'F'Ó Û`-HF'Ó Û`=3

따라서 점 F'의 좌표를 (a+3, 8)이라 할 수 있다.

선분 OO'의 중점을 M, 선분 FF'의 중점을 N이라 하면

M{;2A;, 6}, N{ a+82 , 4}

이고, 두 점 M, N은 직선 PQ 위의 점이므로 직선 PQ의 기울

기는

4-6a+8

2 -;2A;= -2

4 =-;2!;

직선 OO'과 직선 PQ는 서로 수직이므로 직선 OO'의 기울기는

2이다.

12-0a-0 = 12

a =2에서 a=6

∴ M(3, 6)

따라서 직선 PQ의 방정식은

y-6=-;2!;(x-3) ∴ y=-;2!;x+:Á2°:

즉, m=-;2!;, n=:Á2°:이므로

m+n=7

0586

점 A의 좌표를 (a, aÛ`), 점 B의 좌표를

(b, bÛ`)이라 하면 사각형 ABCD는 정

사각형이므로 점 C의 좌표는 (a, a),

점 D의 좌표는 (bÛ`, bÛ`)이다.

직선 AB와 직선 CD의 기울기가 같으

므로

bÛ`-aÛ`b-a =1, a+b=1 (∵ a+b)

∴ a=1-b yy`㉠

이때 사각형 ABCD의 두 대각선 BD와 AC의 교점을 M이라

하면 사각형 ABCD는 정사각형이므로 BDÓ=2BMÓ이다. 즉,

b-bÛ`=2(b-a), bÛ`+b-2a=0

이 식에 ㉠을 대입하면

bÛ`+3b-2=0 ∴ b= -3+'1�72 (∵ b>0)

정사각형 ABCD의 대각선의 길이는

b-bÛ` =b(1-b)= -3+'1�72 _

5-'1�72

=2'1�7-8

따라서 a=17, b=-8이므로

a+b=9 9

정사각형 ABCD에서 대변은 평행하고, 두 대각선은 서로 다른 것을

이등분함을 이용한다.


본문 123~127쪽

0587 원의 중심의 좌표를 (a, a+1), 반지름의 길이를 r라

하면 원의 방정식은

(x-a)Û`+(y-a-1)Û`=rÛ`

이 원이 점 (1, 6)을 지나므로

(1-a)Û`+(5-a)Û`=rÛ` yy`㉠

또, 이 원이 점 (-3, 2)를 지나므로

(-3-a)Û`+(1-a)Û`=rÛ` yy`㉡


a=1, rÛ`=4Û`

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 4이다. ⑤

0588 ABÓ의 중점이 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는

원의 중심이므로

a=2+(-4)

2 =-1, b= -3+12 =-1

또, ABÓ가 원의 지름이므로 원의 반지름의 길이는

;2!; ABÓ=;2!;"Ã{2-(-4)}Û`+(-3-1)Û`='1�3

즉, r='1�3이므로 rÛ`=13

∴ ab+rÛ`=(-1)_(-1)+13=14 14

0589 선분 AB를 외분하는 점 C의 좌표를 (x, y)라 하면

x= 3_2-2_13-2 =4, y= 3_1-2_3

3-2 =-3

이므로 C(4, -3)

선분 BC의 중점이 선분 BC를 지름으로 하는 원의 중심이므로

a= 2+42 =3, b=

1+(-3)2 =-1

∴ a+b=2 ②

0590 A학교를 원점으로 하고, 두

학교 B, C를 좌표평면 위에 나타내면


도서관의 위치는 세 점 A, B, C를 지

나는 원의 중심이고, 고등학교로부터

도서관까지의 거리는 원의 반지름의 길

이와 같으므로 원의 방정식 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0에

세 점 A(0, 0), B(1, 1), C(-6, 8)의 좌표를 각각 대입하면

c=0

1+1+a+b+c=0에서 a+b+c=-2

0591 xÛ`+yÛ`-2(k+1)x+2ky+3kÛ`-2=0에서

{x-(k+1)}Û`+(y+k)Û`=-kÛ`+2k+3

이 방정식이 원을 나타내려면 -kÛ`+2k+3>0이어야 하므로

kÛ`-2k-3<0, (k+1)(k-3)<0

∴ -1<k<3

따라서 구하는 자연수 k는 1, 2의 2개이다. ②

0592 xÛ`+yÛ`-8x-6y-2k+33=0에서

(x-4)Û`+(y-3)Û`=2k-8

이 방정식이 원을 나타내려면 2k-8>0

∴ k>4 yy`㉠

이 원이 제 1 사분면 위에 있으려면 원의 반지름의 길이가 3보다

작아야 하므로

'Ä2k-8<3

2k-8<9 ∴ k<:Á2¦: yy`㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 4<k<:Á2¦:

따라서 실수 k의 값이 될 수 없는 것은 ① 4이다. ①

0593 xÛ`+yÛ`-2kx+4ky+6kÛ`-k-2=0에서

(x-k)Û`+(y+2k)Û`=-kÛ`+k+2

이 방정식이 원을 나타내려면 -kÛ`+k+2>0

kÛ`-k-2<0, (k+1)(k-2)<0

∴ -1<k<2

원의 넓이가 최대이려면 반지름의 길이가 최대이어야 하므로

-kÛ`+k+2=-{k-;2!;} Û`+;4(;

따라서 -1<k<2에서 k=;2!;일 때 반지름의 길이가 최대이고,

그때의 반지름의 길이는 ;2#;이다. ;2#;

0594 xÛ`+yÛ`-6x+2ay+4=0에서

(x-3)Û`+(y+a)Û`=aÛ`+5

원의 중심 (3, -a)가 제 4 사분면 위의 점이므로

-a<0 ∴ a>0

또, 원이 y축에 접하므로

"ÃaÛ`+5=3, aÛ`+5=9

aÛ`=4

∴ a=2 (∵ a>0) 2

36+64-6a+8b+c=0에서 3a-4b-;2!;c=50

이므로 a=6, b=-8, c=0

즉, xÛ`+yÛ`+6x-8y=0이므로

(x+3)Û`+(y-4)Û`=5Û`

따라서 반지름의 길이가 5이므로 고등학교로부터 도서관까지의

거리는 5`km이다. 5`km


원의�방정식12

12. 원의 방정식 111

0595 점 (1, -2)를 지나고 x축, y축에 동시에 접하는 원의

중심은 제 4 사분면 위에 있으므로 원의 방정식을

(x-a)Û`+(y+a)Û`=aÛ``(a>0)이라 하면

이 원이 점 (1, -2)를 지나므로

(1-a)Û`+(-2+a)Û`=aÛ`

aÛ`-6a+5=0, (a-1)(a-5)=0

∴ a=1 또는 a=5

따라서 두 원의 중심의 좌표는 (1, -1), (5, -5)이므로 두 원

의 중심 사이의 거리는

"Ã(5-1)Û`+{-5-(-1)}Û`=4'2 ④

0596 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또

는 직선 y=-x 위에 있다.

따라서 구하는 원의 중심은 곡선

y=xÛ`-x-2와 직선 y=x 또는

y=-x의 교점이다.

ÚxÛ`-x-2=x에서

xÛ`-2x-2=0

∴ x=1-'3 또는 x=1+'3ÛxÛ`-x-2=-x에서 xÛ`-2=0

∴ x=-'2 또는 x='2Ú, Û에서 m=4

또, 네 원의 중심의 좌표는 각각

(1-'3, 1-'3), (1+'3, 1+'3), (-'2, '2), ('2, -'2)이고 반지름의 길이는 각각 '3-1, 1+'3, '2, '2이다.

따라서 네 원의 넓이의 합은

p('3-1)Û`+p(1+'3)Û`+p('2)Û`+p('2)Û`=(4-2'3)p+(4+2'3)p+2p+2p=12p

이므로 n=12

∴ m+n=4+12=16 ④

0597 삼각형 ABP의 무게

중심을 G(x, y), 원 위의 점

을 P(a, b)라 하면

x= 7+11+a3 ,

y= 6+0+b3

∴ a=3x-18, b=3y-6 yy`㉠

또, 점 P는 원 xÛ`+yÛ`=36 위의 점이므로

aÛ`+bÛ`=36 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 (3x-18)Û`+(3y-6)Û`=36

∴ (x-6)Û`+(y-2)Û`=4

따라서 점 G가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (6, 2), 반지름

의 길이가 2인 원이므로 구하는 길이는

2p_2=4p ①

0598 주어진 조건을 만족시키는 점을 P(x, y)라 하면

APÓ`:`BPÓ=3`:`2이므로

2APÓ=3BPÓ, 4APÓ Û`=9BPÓ Û`

4{(x+1)Û`+yÛ`}=9{(x-4)Û`+yÛ`}

xÛ`+yÛ`-16x+28=0

∴ (x-8)Û`+yÛ`=36

따라서 원의 반지름의 길이는 6이다. 6

다른풀이

구하는 원은 두 점 A(-1, 0), B(4, 0)을 이은 선분 AB를

3`:`2로 내분하는 점 P(2, 0), 3`:`2로 외분하는 점

Q(14, 0)을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

따라서 선분 PQ의 중점 M(8, 0)이 원의 중심이고, 원의 반지

름의 길이는 ;2!; PQÓ=6이다.

0599 P(x, y)라 하면 APÓ`:`BPÓ=2`:`1이므로

APÓ=2BPÓ, APÓ Û`=4BPÓ Û`

xÛ`+(y-2)Û`=4{(x-3)Û`+(y-2)Û`}

∴ (x-4)Û`+(y-2)Û`=4

따라서 점 P는 중심의 좌표가

(4, 2)이고 반지름의 길이가 2인

원 위를 움직인다.

∠PAB의 크기가 최대가 되는 것

은 오른쪽 그림과 같이 직선 AP가

원에 접할 때이므로 원의 중심을 C라 하면 직각삼각형 PAC에

서

APÓ="Ã4Û`-2Û`=2'3 ①

0600 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

xÛ`+yÛ`-2x-2y-3+k(xÛ`+yÛ`+2x)=0 (k+-1)

yy`㉠

원 ㉠이 점 (1, 1)을 지나므로

-5+4k=0 ∴ k=;4%;

이것을 ㉠에 대입하여 정리하면

xÛ`+yÛ`+;9@;x-;9*;y-;3$;=0

∴ {x+;9!;}Û`+{y-;9$;}Û`=:Á8ª1°:

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 5'59 이다. ②

0601 두 원 xÛ`+yÛ`=20과 (x-a)Û`+yÛ`=4의 교점을 지나는

직선의 방정식은

xÛ`+yÛ`-20-{(x-a)Û`+yÛ`-4}=0

∴ 2ax-aÛ`-16=0 yy`㉠


0602 두 원 xÛ`+yÛ`-2x-2y-2=0,

xÛ`+yÛ`+2x+2y-6=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은

(xÛ`+yÛ`-2x-2y-2)-(xÛ`+yÛ`+2x+2y-6)=0

-4x-4y+4=0

∴ x+y-1=0 yy`㉠

원 xÛ`+yÛ`-2x-2y-2=0에서 (x-1)Û`+(y-1)Û`=4

즉, 중심의 좌표는 (1, 1)이다.

원 xÛ`+yÛ`+2x+2y-6=0에서 (x+1)Û`+(y+1)Û`=8

즉, 중심의 좌표는 (-1, -1)이다.

두 원의 중심 (1, 1), (-1, -1)을 지나는 직선의 방정식은

y+1= 1+11+1 (x+1) ∴ y=x yy`㉡

선분 PQ의 중점의 좌표는 두 직선 ㉠, ㉡의 교점이므로


x=;2!;, y=;2!;

따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 {;2!;, ;2!;}이다. ④

0603 두 원의 두 교점을 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 것

은 두 원의 공통인 현을 지름으로 하는 원이다.

두 원 xÛ`+yÛ`-2y=0, xÛ`+yÛ`+2x-4=0의 공통인 현의 방정

식은

(xÛ`+yÛ`-2y)-(xÛ`+yÛ`+2x-4)=0

∴ y=-x+2 yy`㉠

㉠을 xÛ`+yÛ`-2y=0에 대입하면

xÛ`+(-x+2)Û`-2(-x+2)=0

x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 yy`㉡

㉡을 ㉠에 차례로 대입하면 y=2 또는 y=1

따라서 두 원의 교점의 좌표는 (0, 2), (1, 1)이므로 구하는 원

은 이 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

즉, 두 점 (0, 2), (1, 1)을 이은 선분의 중점이 구하는 원의 중

심이므로 넓이가 최소인 원의 중심의 좌표는 {;2!;, ;2#;}이다.

따라서 반지름의 길이는

¾¨{;2!;-0}Û`+{;2#;-2}Û`= '22이므로 구하는 원의 넓이의 최솟값은

p_{ '22 }Û`=;2Ò; ;2Ò;

0604 원의 반지름의 길이를 r라 하면

prÛ`=8p ∴ r=2'2원의 중심 (1, 3)과 직선 x+y+k=0 사이의 거리는

|1+3+k|"Ã1Û`+1Û`

= |4+k|'2

이므로 원과 직선이 접하려면

|4+k|'2 =2'2

|4+k|=4 ∴ k=0 또는 k=-8


0+(-8)=-8 ②

0605 원 (x-2)Û`+yÛ`=4의 중심 (2, 0)과 직선

y=mx+1, 즉 mx-y+1=0 사이의 거리는

|2m+1|"ÃmÛ`+1

원의 반지름의 길이가 2이므로 원과 직선이 만나려면

|2m+1|"ÃmÛ`+1

É2

|2m+1|É2"ÃmÛ`+1, 4mÛ`+4m+1É4mÛ`+4

4mÉ3 ∴ mÉ;4#;

또, 원 (x-4)Û`+yÛ`=1의 중심 (4, 0)과 직선 y=mx+1, 즉

mx-y+1=0 사이의 거리는

|4m+1|"ÃmÛ`+1

원의 반지름의 길이가 1이므로 원과 직선이 만나지 않으려면

|4m+1|"ÃmÛ`+1

>1

|4m+1|>"ÃmÛ`+1, 16mÛ`+8m+1>mÛ`+1

m(15m+8)>0 ∴ m<-;1¥5; 또는 m>0

따라서 구하는 양수 m의 값의 범위는

0<mÉ;4#;

이므로 a=0, b=;4#;

∴ a+b=;4#; ;4#;

다른풀이

원 (x-2)Û`+yÛ`=4와 직선 y=mx+1이 만나려면

(x-2)Û`+(mx+1)Û`=4

(mÛ`+1)xÛ`+2(m-2)x+1=0

이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ4 =(m-2)Û`-(mÛ`+1)¾0

-4m+3¾0

∴ mÉ;4#;

오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점을 A, B

㉠

라 하면 공통인 현 AB의 길이는 직선 ㉠이

작은 원의 중심 (a, 0)을 지날 때 최대가

된다.

즉, 직선 ㉠이 점 (a, 0)을 지나므로

2aÛ`-aÛ`-16=0, aÛ`=16

∴ a=4 (∵ a>0) 4

12. 원의 방정식 113

원 (x-4)Û`+yÛ`=1이 직선 y=mx+1과 만나지 않으려면

(x-4)Û`+(mx+1)Û`=1

(mÛ`+1)xÛ`+2(m-4)x+16=0

이 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면

Dª4 =(m-4)Û`-16(mÛ`+1)<0

m(15m+8)>0

∴ m<-;1¥5; 또는 m>0

따라서 구하는 양수 m의 값의 범위는

0<mÉ;4#;

이므로 a=0, b=;4#;

∴ a+b=;4#;

0606 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=1의 넓이를 이등분하려면 직

선은 원의 중심 (1, 1)을 지나야 한다.

따라서 구하는 직선의 기울기를 m이라 하면 이 직선이

점 (1, 1)을 지나므로 직선의 방정식은

y-1=m(x-1), y=mx-m+1

∴ mx-y-m+1=0 yy`㉠

이 직선이 원 (x+1)Û`+(y-1)Û`=1과 접하므로 원의 중심

(-1, 1)과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이 1과 같아야

한다. 즉,

|-m-1-m+1|"ÃmÛ`+(-1)Û`

= |-2m|"ÃmÛ`+1

=1

|-2m|="ÃmÛ`+1


4mÛ`=mÛ`+1, 3mÛ`=1

∴ m=Ñ'33

따라서 모든 직선의 기울기의 곱은

'33 _{- '33 }=-;3!; ②

0607 중심이 제2사분면 위에 있고, x축, y축에 동시에 접하

는 원의 방정식을

(x+a)Û`+(y-a)Û`=aÛ` (a>0)

이라 하면 원의 중심 (-a, a)와 직선 3x-4y+12=0 사이의

거리는 반지름의 길이와 같으므로

|-3a-4a+12|"Ã3Û`+(-4)Û`

=a

|12-7a|=5a, 12-7a=Ñ5a

∴ a=1 또는 a=6

따라서 두 원의 중심은 C(-1, 1), C'(-6, 6)이므로

CC'Ó="Ã{-6-(-1)}Û`+(6-1)Û`=5'2 ④

0608 원 (x+1)Û`+yÛ`=25의 중심을 C라 하자.

오른쪽 그림과 같이 주어진

원과 직선의 두 교점을 A,

B라 하고 원의 중심 C에서

직선 3x-y+k=0에 내린

수선의 발을 H라 하면

AHÓ=;2!; ABÓ=3'1�0

2

직각삼각형 CAH에서

CHÓ=¾¨5Û`-{ 3'1�02 }Û`= '1�02

또, 원의 중심 C(-1, 0)과 직선 3x-y+k=0 사이의 거리는

CHÓ= |-3+k|"Ã3Û`+(-1)Û`

= |-3+k|'1�0

즉, |-3+k|'1�0 =

'1�02 이므로 |-3+k|=5

-3+k=Ñ5

∴ k=-2 (∵ k<0) ①

0609 오른쪽 그림과 같이 원

xÛ`+{y+;2!;}Û`=4와 직선

y=mx-5의 두 교점 P, Q와

원의 중심 C{0, -;2!;}을 세 꼭

짓점으로 하는 삼각형 CPQ를

좌표평면 위에 나타내면 CPÓ, CQÓ는 원의 반지름이므로

CPÓ=CQÓ=2

따라서 삼각형 CPQ가 정삼각형이려면 PQÓ=2이어야 한다.

원의 중심 C에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하면

PHÓ=;2!; PQÓ=1

직각삼각형 CPH에서

CHÓ ="Ã2Û`-1Û`='3

또, 원의 중심 C{0, -;2!;}과 직선 mx-y-5=0 사이의 거리는

CHÓ=|;2!;-5|

"ÃmÛ`+(-1)Û`=

;2(;

"ÃmÛ`+1

즉, ;2(;

"ÃmÛ`+1='3이므로

'3"ÃmÛ`+1=;2(;


3mÛ`+3=:¥4Á:, mÛ`=:ª4£:

∴ m='2�32 (∵ m>0)

'2�32


0610 원의 중심이 C(1, -2)이므로

PCÓ ="Ã{1-(-2)}Û`+(-2-3)Û`

='3�4직각삼각형 ACP에서 CAÓ=4이므로

APÓ =¿¹('3�4)Û`-4Û`

=3'2이때 △ACPª△BCP`(RHS 합동)이

므로

PACB=2△ACP

=2_{;2!;_3'2_4}

=12'2 ⑤

0611 원 (x-2) Û`+(y-2) Û`=5의 중

심이 C(2, 2)이고 반지름의 길이가 '5이므로

BCÓ='5, PCÓ ="Ã(6-2)Û`+(4-2)Û`=2'5직각삼각형 PBC에서

PBÓ=¿¹(2'5)Û`-('5)Û`='1�5ABÓ와 PCÓ의 교점을 R라 하면 ABÓ⊥PCÓ이므로

;2!;_PBÓ_BCÓ=;2!;_PCÓ_RBÓ

;2!;_'1�5_'5=;2!;_2'5_RBÓ

∴ RBÓ='1�52

∴ ABÓ=2RBÓ='1�5 ④0615 직선 y=2x+3에 평행한 직선의 기울기는 2이고, 원

xÛ`+yÛ`=16의 반지름의 길이는 4이므로 접선의 방정식은

y=2xÑ4"Ã2Û`+1 ∴ y=2xÑ4'5따라서 두 직선이 y축과 만나는 점의 좌표는 각각

(0, 4'5), (0, -4'5)이므로

PQÓ=8'5 ④

0616 접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점

(5, 4)를 지나는 직선의 방정식은

y-4=m(x-5)

∴ mx-y-5m+4=0

원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=10의 중심의 좌표는 (1, 2), 반지름의

길이는 '1�0이다.

원과 직선이 접하려면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름

의 길이와 같아야 하므로

|m-2-5m+4|"ÃmÛ`+(-1)Û`

='1�0, |-4m+2|"ÃmÛ`+1

='1�0

|-4m+2|='1�0"ÃmÛ`+1

0612 xÛ`+yÛ`-2x+2y-7=0에서

(x-1)Û`+(y+1)Û`=9

원의 중심 (1, -1)과 직선 x+y+8=0 사이의 거리는

|1-1+8|"Ã1Û`+1Û`

= 8'2 =4'2

원의 반지름의 길이가 3이므로

M=4'2+3, m=4'2-3

∴ Mm=(4'2+3)(4'2-3)=23 ②

0613 원 위를 움직이는 점 A와

직선 사이의 거리는 구하려는 정

삼각형의 높이이다.

원점과 직선 x-y-4=0 사이의

거리는

|-4|"Ã1Û`+(-1)Û`

=2'2

위의 그림에서

정삼각형의 넓이가 최소일 때는 삼각형 AÁBÁCÁ이고 이때 정삼

각형의 높이는

2'2-'2='2정삼각형의 넓이가 최대일 때는 삼각형 AªBªCª이고 이때 정삼

각형의 높이는

2'2+'2=3'2따라서 두 삼각형 AÁBÁCÁ, AªBªCª의 닮음비가

'2`:`3'2=1`:`3이므로 넓이의 비는 1`:`9이다. ③

0614 두 점 A(-3, -2), B(2, -3)을 지나는 직선의 방정

식은

y+2= -3+22+3 (x+3)

∴ x+5y+13=0

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서

ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

OHÓ= |13|"Ã1Û`+5Û`

='2�62

즉, 점 P와 ABÓ 사이의 거리의 최댓값

은 OHÓ+OPÓ='2�62 +'1�3이고

ABÓ='2�6이므로 삼각형 ABP의 넓이의 최댓값은

;2!;_'2�6_{ '2�62 +'1�3}=:Á2£:(1+'2)

따라서 p=2, q=13이므로

pq=26 26

12. 원의 방정식 115

0618 오른쪽 그림과 같이 원의

중심을 C, 점 A에서 원에 그은 두

접선의 접점을 각각 B, D라 하면

두 접선이 이루는 각의 크기가 60ù

이므로 ∠BAC=∠DAC=30ù

△BAC는 직각삼각형이고 r>0이

므로 BCÓ=r, ACÓ=2r

이때 ACÓ="Ã(0-2)Û`+{1-(-3)}Û`=2'5이므로

2r=2'5 ∴ r='5∴ ABÓ='3r='1�5 '1�5

0619 두 원 (x+1)Û`+yÛ`=1,

(x-1) Û`+(y+2) Û`=4의 중심을 각각

C, C'이라 하면

C(-1, 0), C'(1, -2)

∴ CC'Ó ="Ã{1-(-1)}Û`+(-2-0)Û`

=2'2점 C에서 C'BÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

C'HÓ=2-1=1

직각삼각형 CC'H에서

ABÓ=CHÓ=¿¹(2'2)Û`-1Û`='7 ④

0620 두 원

(x+4)Û`+(y+2)Û`=rÛ`,

(x-3)Û`+(y+5)Û`=4의 중심을

각각 C, C'이라 하면

C(-4, -2), C'(3, -5)

∴ CC'Ó ="Ã{3-(-4)}Û`+{-5-(-2)}Û`

='5�8점 C에서 C'BÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면

C'HÓ=2+r (∵ r>0)

직각삼각형 CHC'에서 CHÓ=ABÓ=7이므로

2+r=¿¹('5�8)Û`-7Û`=3

∴ r=1 ①

0621 오른쪽 그림과 같이 두 원에 동

시에 접하는 두 접선의 교점을 T라 하면

두 접선이 수직이므로 두 사각형

CPTR, C'QTS는 모두 정사각형이다.

따라서 선분 PQ의 길이는 두 원의 반지

름의 길이의 합과 같으므로

3'2='2+'k, 'k=2'2∴ k=8 ②

본문 128~131쪽

0622 점 A의 좌표를 (a, b)라 하

면 점 A는 제 1 사분면 위의 점이므로

a>0, b>0

B(a, b-6), C(a+2, b-6)

이때 OAÓ Û`=OCÓ Û`=rÛ`이므로

aÛ`+bÛ`=rÛ` yy`㉠

(a+2)Û`+(b-6)Û`=rÛ` yy`㉡

㉡-㉠을 하면 4a-12b+40=0

a-3b+10=0 ∴ a=3b-10 yy`㉢

OBÓ Û`=26이므로

aÛ`+(b-6)Û`=26 yy`㉣

㉢을 ㉣에 대입하면 (3b-10)Û`+(b-6)Û`=26

5bÛ`-36b+55=0, (5b-11)(b-5)=0

∴ b=:Á5Á: 또는 b=5


b=:Á5Á:일 때 a=- 175 , b=5일 때 a=5

∴ a=5 (∵ a>0)

0617 xÛ`+yÛ`-6x+2y+8=0에서

(x-3)Û`+(y+1)Û`=2

점 (4, -2)에서의 접선은 원의 중심 (3, -1)과 점 (4, -2)

를 지나는 직선과 수직이다.

원의 중심 (3, -1)과 점 (4, -2)를 지나는 직선의 기울기는

-2-(-1)4-3 =-1

이므로 점 (4, -2)에서의 접선의 기울기는 1이다.

기울기가 1이고 점 (4, -2)를 지나는 직선의 방정식은

y+2=x-4 ∴ y=x-6

이 직선이 x축과 만나는 점의 좌표는

(6, 0), y축과 만나는 점의 좌표는

(0, -6)이므로 접선과 x축, y축으로

둘러싸인 부분의 넓이는

;2!;_6_6=18

⑤


16mÛ`-16m+4=10mÛ`+10

6mÛ`-16m-6=0

2(3m+1)(m-3)=0

∴ m=-;3!; 또는 m=3

따라서 기울기가 양수인 접선의 기울기는 3이다. 3



rÛ`=5Û`+5Û`=50 (∵ ㉠) 50

0623 원의 중심을 C라 하면 C(9, 7)이므

로 PCÓ="Ã8Û`+6Û`=10

원의 반지름의 길이가 4이므로 원 위의 점에

서 점 P(1, 1)에 이르는 거리의 최솟값은

10-4=6, 최댓값은 10+4=14이다. 즉,

원 위의 점에서 점 P까지의 거리를 d라 하면 6ÉdÉ14이다.

위의 그림과 같이 d의 값이 6과 14가 되도록 하는 점은 하나씩

만 존재하고 d의 값이 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13이 되도록 하는

점은 두 개씩 존재하므로 d가 정수인 점의 개수는

2+2_7=16 16

0625 오른쪽 그림과

같이 정사각형 ABCD의

점 D를 원점, ADÓ, DCÓ

를 포함하는 직선을 각각

x축, y축으로 하는 좌표

평면을 설정하고 점 P의

좌표를 (x, y)라 하면 uÛ`+vÛ`=wÛ`에서

(x-a)Û`+yÛ`+(x-a)Û`+(y-a)Û`=xÛ`+(y-a)Û`

xÛ`-4ax+2aÛ`+yÛ`=0

∴ (x-2a)Û`+yÛ`=('2a)Û`

점 P의 자취는 중심의 좌표가

(2a, 0), 반지름의 길이가 '2a인

원이므로 점 D(0, 0)에서 가장 먼

점의 좌표는 (2a+'2a, 0)이고

가장 가까운 점의 좌표는

(2a-'2a, 0)이다.

0627 주어진 원은 y축에 접하면서 반지름의 길이가 3이고 중

심이 x축 위에 있으므로 (x-3)Û`+yÛ`=9

이때 x축에 접하면서 반지름의 길이가 3이고 중심이 (4, 3)인

원의 방정식은

(x-4)Û`+(y-3)Û`=9

즉, ABÓ는 두 원 (x-3)Û`+yÛ`=9, (x-4)Û`+(y-3)Û`=9의

공통인 현이므로 직선 AB의 방정식은

xÛ`+yÛ`-6x-(xÛ`+yÛ`-8x-6y+16)=0

∴ x+3y-8=0

따라서 a=3, b=-8이므로 a+b=-5 -5

0624 원 xÛ`+(y-1)Û`=1의 중심 (0, 1)과 이차함수

y=-xÛ`+4의 그래프 위의 점 B(a, -aÛ`+4) 사이의 거리는

"ÃaÛ`+(-aÛ`+3)Û`="ÃaÝ`-5aÛ`+9

=¾¨{aÝ`-5aÛ`+:ª4°:}-:ª4°:+9

=¾¨{aÛ`-;2%;}Û`+:Á4Á:

이므로 aÛ`=;2%;일 때 최솟값 ®É:Á4Á:= '1�12 을 갖는다.

따라서 원 xÛ`+(y-1)Û`=1 위의 점 A와 이차함수 y=-xÛ`+4

의 그래프 위의 점 B 사이의 거리의 최솟값은

'1�12 -1

이므로 p=11, q=-1

∴ p+q=10 ②

즉, 점 P에서 점 D에 이르는 거리의 최댓값과 최솟값의 차는

(2a+'2a)-(2a-'2a)=2'2a=4

∴ a='2 ①

참고 점 P에서 점 D에 이르는 거리의 최댓값과 최솟값의 차는 원

(x-2a)Û`+yÛ`=('2a)Û`의 지름의 길이와 같다.

0626 원의 중심 P가 나타내는 영역

은 점 B(4, 3)을 중심으로 하고 반지

름의 길이가 1인 원 CÁ의 둘레와 그 내

부, 점 A(1, -1)을 중심으로 하고 반

지름의 길이가 1인 원 Cª의 둘레와 그

내부, 선분 AB와 거리가 1인 두 선분

으로 둘러싸인 영역의 경계와 그 내부의 공통부분이다.

직선 OB와 원 CÁ의 두 교점 중에서 원점에서 멀리 떨어져 있는

점을 PÁ이라 하면 점 P가 점 PÁ의 위치에 있을 때, 선분 OP의

길이는 최대가 된다.

∴ M =OBÓ+1

="Ã4Û`+3Û`+1=6

원점 O에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하고, 직선 OH

와 원 Cª의 두 교점 중에서 원점에 가까이 있는 점을 Pª라 하면

점 P가 점 Pª의 위치에 있을 때, 선분 OP의 길이는 최소가 된

다.

이때 직선 AB의 방정식은

y-(-1)=3-(-1)

4-1 (x-1)

y=;3$;x-;3&; ∴ 4x-3y-7=0

원점 O와 직선 AB 사이의 거리는

OHÓ= |-7|"Ã4Û`+(-3)Û`

=;5&;

∴ m=OHÓ-1=;5&;-1=;5@;

∴ M+m=6+;5@;=:£5ª: ④

12. 원의 방정식 117

0630 점 C(a, b)는 이차함수 y=xÛ`-2x-3의 그래프 위의

점이므로

b=aÛ`-2a-3

이것을 2a-b+9>0에 대입하면

2a-(aÛ`-2a-3)+9>0, -aÛ`+4a+12>0 yy`㉠

aÛ`-4a-12<0, (a-6)(a+2)<0

∴ -2<a<6

이차함수 y=xÛ`-2x-3의 그래프 위의 점 C(a, aÛ`-2a-3)

을 중심으로 하는 원이 직선 y=2x+9에 접하므로 원의 중심 C

와 직선 y=2x+9, 즉 2x-y+9=0 사이의 거리는 원의 반지

름의 길이와 같다.

0629 오른쪽 그림과 같이 두 접

선이 직교하면서 만나는 점 P의 자

취는 점 (2, -2)를 중심으로 하고

반지름의 길이가 '2|r|인 원이므로

(x-2)Û`+(y+2)Û`=('2|r|)Û`이 원과 직선 y=x+1이 접하므로

원의 중심 (2, -2)와 직선 x-y+1=0 사이의 거리는 원의

반지름의 길이와 같다.

|2+2+1|'2 ='2|r|, |r|=;2%;

rÛ`=:ª4°: ∴ 4rÛ`=25 25

이때 원의 반지름의 길이를 r라 하면

r=|2a-(aÛ`-2a-3)+9|

"Ã2Û`+(-1)Û`= |-aÛ`+4a+12|

'5

= -aÛ`+4a+12'5 (∵ ㉠)

=- 1'5 (a-2)Û`+ 16

'5 (-2<a<6)

따라서 반지름의 길이 r는 a=2일 때 최댓값 16'5 을 가지므로

원의 넓이의 최댓값은 p_{ 16'5 }

Û`= 2565 p

∴ p=5, q=256

∴ p+q=261 ③

0631 직선 y=mx-4는 m의 값에

관계없이 항상 점 (0, -4)를 지나므

로 직선 y=mx-4가 세 원과 서로 다

른 네 점에서 만나려면 오른쪽 그림의

두 직선 사이에 있어야 한다.

(∵ m>0)

Ú 직선 mx-y-4=0과 점 (0, 2) 사이의 거리가 2보다 작

아야 하므로

|0-2-4|"ÃmÛ`+1

<2, "ÃmÛ`+1>3

mÛ`+1>9 ∴ mÛ`>8

Û 직선 mx-y-4=0과 점 (0, 1) 사이의 거리가 1보다 커

야 하므로

|0-1-4|"ÃmÛ`+1

>1, "ÃmÛ`+1<5

mÛ`+1<25 ∴ mÛ`<24

Ú, Û에서 8<mÛ`<24

따라서 구하는 모든 자연수 m의 값은 3, 4이므로 그 합은

3+4=7 7

0632 점 (k, 3)으로부터의 거리가 3'2인 점들이 나타내는

도형은 중심이 (k, 3)이고 반지름의 길이가 3'2인 원이다.

Ú 도형 A가 직선 x-y+6=0과 만나려면 원의 중심과 직선

사이의 거리가 반지름의 길이보다 작거나 같아야 한다. 즉,

|k-3+6|"Ã1Û`+(-1)Û`

É3'2

|k+3|É6, -6Ék+3É6

∴ -9ÉkÉ3

Û 도형 A가 직선 x+y-8=0과 만나지 않으려면 원의 중심

과 직선 사이의 거리가 반지름의 길이보다 커야 한다. 즉,

|k+3-8|"Ã1Û`+1Û`

>3'2

|k-5|>6, k-5<-6 또는 k-5>6

∴ k<-1 또는 k>11

0628 세 원 xÛ`+yÛ`=1, (x-4)Û`+yÛ`=1,

(x-4)Û`+(y-2)Û`=1을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과

같다.

A(4, 0), B(4, 2)로 놓으면 세 원을 모두 포함하는 가장 작은

원은 중심이 선분 OB의 중점 C(2, 1)이고, 반지름의 길이가

1+OCÓ이다.

∴ 1+OCÓ=1+"Ã2Û`+1Û`=1+'5 따라서 세 원을 모두 포함하는 가장 작은 원의 방정식은

(x-2)Û`+(y-1)Û`=6+2'5두 원 (x-2) Û`+(y-1) Û =6+2'5와 (x-4) Û`+(y-2) Û =4

의 교점을 지나는 직선의 방정식은

{(x-2)Û`+(y-1)Û`-6-2'5} -{(x-4)Û`+(y-2)Û`-4}=0

y=0을 대입하여 풀면

x=17+2'5

4 ③


0633 원 xÛ`+yÛ`=9 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

2PAÓ Û`+PBÓ Û` =2{(a-2)Û`+(b-5)Û`}+(a-5)Û`+(b-2)Û`

=3(aÛ`+bÛ`)-18a-24b+87

=114-6(3a+4b) (∵ aÛ`+bÛ`=9)

2PAÓ Û`+PBÓ Û`의 값이 최소가 되려

면 3a+4b의 값이 최대가 되어야

한다. 즉, 오른쪽 그림과 같이 직

선 3a+4b=k가 제 1 사분면에 있

는 원 aÛ +bÛ =9 위의 점 P(a, b)

에서의 접선이 되는 경우이다.

원의 중심과 직선 3a+4b=k 사이의 거리는 반지름의 길이와

같으므로

|-k|"Ã3Û`+4Û`

=3, |-k|=15 ∴ k=15 (∵ k>0)

∴ 2PAÓ Û`+PBÓ Û` =114-6(3a+4b)

¾114-6_15=24

따라서 구하는 최솟값은 24이다. 24

0636 원 xÛ`+yÛ`=1 위의

(n, 0)

(xÇ, yÇ)

O-11

-1

1

x

y

xÛ +yÛ =1

점 (xÇ, yÇ)에서의 접선의 방정식

은 xnx+yny=1

접선이 점 (n, 0)을 지나므로

nxn=1 ∴ xn=;n!;

이때 점 (xn, yn)은 원 xÛ`+yÛ`=1 위의 점이므로

xnÛ`+ynÛ`=1에서

yÇÛ`=1-xÇÛ`=1-{;n!;}Û`

= nÛ -1nÛ`

= n-1n _ n+1

n

∴ yÇ=Ñ®É n-1n _ n+1

n

접점이 제 4 사분면 위에 있으므로

yÇ=-®É n-1n _ n+1

n

∴ y£_y¢_`y`_yÁª

={-®É;3@;_;3$;}_{-®É;4#;_;4%;}_`y`_{-®É;1!2!;_;1!2#;}

=®É;3@;_;1!2#;=®É;3@6^;= '2�66 '2�66

0634 원의 중심이 이차함수 y=xÛ`의 그래프 위에 있으므로

원의 중심의 좌표를 (n, nÛ`)이라 하면 이 원이 y축에 접하므로

반지름의 길이는 |n|이다.

원의 중심 (n, nÛ`)과 직선 '3x-y-2=0 사이의 거리는 반지

름의 길이와 같으므로

|'3n-nÛ`-2|'Ä3+1

=|n|, nÛ`-'3n+2=Ñ2n

이때 실근을 갖는 이차방정식은

nÛ`-(2+'3)n+2=0

이 이차방정식의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의

관계에 의하여 ab=2

∴ 100ab=200 200

0635 ∠APB=∠AQB=90ù이

므로 두 점 P, Q는 선분 AB를 지름

으로 하는 원 위에 있다.

이 원의 중심을 C라 하면 점 C는 두

점 A(-'5, -1), B('5, 3)의 중

점인 (0, 1)이고 반지름의 길이는

CAÓ=¿¹('5)Û`+(1+1)Û`=3이므로 원의 방정식은

xÛ`+(y-1)Û`=9

Ú, Û에서 -9Ék<-1

따라서 정수 k는 -9, -8, y, -2의 8개이다. 8

원 xÛ`+(y-1)Û`=9와 직선 y=x-2의 교점 P, Q의 x좌표는

xÛ`+(x-3)Û`=9

2xÛ`-6x=0, 2x(x-3)=0

∴ x=0 또는 x=3

따라서 P(0, -2), Q(3, 1) 또는 P(3, 1), Q(0, -2)이므로

lÛ`=PQÓ Û`=(3-0)Û`+(1+2)Û`=18 18

0637 xÛ`+yÛ`-4x+2y-15=0에서

(x-2)Û`+(y+1)Û`=20 yy`㉠

이므로 중심이 (2, -1)이고 반지름의 길이가 2'5인 원이다.

점 A(2, 4)를 지나는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방

정식은

y=m(x-2)+4

∴ mx-y-2m+4=0 yy`㉡

직선 ㉡이 원에 접하려면 원의 중심 (2, -1)과 직선 ㉡ 사이의

거리가 원의 반지름의 길이 2'5와 같아야 하므로

|2m-(-1)-2m+4|"ÃmÛ`+(-1)Û`

=2'5

mÛ`=;4!; ∴ m=Ñ;2!;

따라서 구하는 두 접선의 방정식은 각각

y=;2!;(x-2)+4=;2!;x+3,

y=-;2!;(x-2)+4=-;2!;x+5

12. 원의 방정식 119

두 점 B, C의 좌표를 구하면

y=;2!;x+3에서 x=2y-6


(2y-8)Û`+(y+1)Û`=20, yÛ`-6y+9=0

(y-3)Û`=0 ∴ y=3

∴ (0, 3)

또한, y=-;2!;x+5에서 x=10-2y


(8-2y)Û`+(y+1)Û`=20, yÛ`-6y+9=0

(y-3)Û`=0 ∴ y=3

∴ (4, 3)

즉, B(0, 3), C(4, 3)이라 하고 이를 그림으로 나타내면 다음

과 같다.

A(2, 4)

C(4, 3)B(0, 3)

따라서 삼각형 ABC의 내부 또는 둘레에 있는 점 중에서 x좌표

와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수는 6이다. 6

0640 오른쪽 그림과 같이 두 원

x Û`+(y-3) Û`=1, (x+2) Û`+y Û`=4의

중심을 각각 A, B라 하고, 점 P에서 두

원에 그은 접선의 접점을 각각 T, T'이

라 하면 PTÓ=PT'Ó이므로

PTÓ Û`=PT'Ó Û`

이때 PTÓ Û`=APÓ Û`-ATÓ Û`, PT'Ó Û`=PBÓ Û`-BT'Ó Û`이므로

APÓ Û`-1=PBÓ Û`-4

따라서 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

xÛ`+(y-3)Û`-1=(x+2)Û`+yÛ`-4

∴ 2x+3y-4=0 2x+3y-4=0

0641 오른쪽 그림과 같이 좌표평면

위에 점 A를 원점으로 하고 직선 AB

를 x축, 점 A를 지나고 직선 AB에

수직인 직선을 y축으로 나타내면

B(15, 0)이다.

두 대형마트로부터 배송 비용이 동일한 지점을 P(x, y)라 하면

1`km당 배송 비용은 A 대형마트가 B 대형마트보다 2배 비싸

므로 2APÓ=BPÓ

양변을 제곱하면 4APÓ Û`=BPÓ Û`

이때 APÓ Û`=xÛ`+yÛ`, BPÓ Û`=(x-15)Û`+yÛ`이므로

4(xÛ`+yÛ`)=(x-15)Û`+yÛ`

xÛ`+yÛ`+10x-75=0 ∴ (x+5)Û`+yÛ`=100

0639 원 xÛ`+yÛ`-10x+16=0에서 (x-5)Û`+yÛ`=3Û`

즉, 원의 중심을 C라 하면 C(5, 0)이고 반지름의 길이가 3이다.

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

PAÓ Û`=(x-1)Û`+(y-a)Û`

PTÓ Û` =PCÓ Û`-CTÓ Û`=(x-5)Û`+yÛ`-3Û`

=xÛ`+yÛ`-10x+16

PTÓ=PAÓ이므로 PTÓ Û`=PAÓ Û`

xÛ`+yÛ`-10x+16=(x-1)Û`+(y-a)Û`

∴ 8x-2ay+aÛ`-15=0

즉, 점 P가 나타내는 도형은 직선 8x-2ay+a Û`-15=0이고

이 직선이 점 {-;8!;, 0}을 지나므로

-1+aÛ`-15=0 ∴ aÛ`=16 ②

0638 b-da-c =k라 하면 k는 두 점 P(a, b)와 Q(c, d)를 지

나는 직선의 기울기이다.

이때 오른쪽 그림과 같이 점 (1, 0)을

지나는 원의 접선 중 제 1 사분면에서

접점을 갖는 것의 기울기가 가장 크고,

점 (0, 1)을 지나는 원의 접선 중 제 1

사분면에서 접점을 갖는 것의 기울기

가 가장 작음을 알 수 있다.

점 (1, 0)을 지나는 접선의 방정식을 y=k(x-1), 즉

kx-y-k=0이라 하면 원 (x-4)Û`+(y-2)Û`=4의 중심

(4, 2)와 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 2와 같으

므로

2= |4k-2-k|"ÃkÛ`+1

, 2"ÃkÛ`+1=|3k-2|


5kÛ`-12k=k(5k-12)=0에서 k=0 또는 k=:Á5ª:

그런데 k>0이므로 k=:Á5ª: ∴ M=:Á5ª:

한편, 점 (0, 1)을 지나는 접선의 방정식을 y-1=kx, 즉

kx-y+1=0이라 하면 원 (x-4)Û`+(y-2)Û`=4의 중심

(4, 2)와 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 2와 같으

므로

2= |4k-2+1|"ÃkÛ`+1

, 2"ÃkÛ`+1=|4k-1|


12kÛ`-8k-3=0에서 k=2Ñ'1�3

6

그런데 k<0이므로 k=2-'1�3

6 ∴ m=2-'1�3

6

∴ 30(M+m)=30{:Á5ª:+ 2-'1�36 }=82-5'1�3

∴ p+q=82+(-5)=77 77


0642 등대의 위치를 좌표평면에서 원점이라 하면 등대가 빛

을 비추는 영역은 원 xÛ`+yÛ`=16의 경계와 그 내부이다.

배는 점 (-5, 0)에서 출발하여 점 (0, a)를 지나가므로 배의

이동 경로를 나타내는 직선의 방정식은 y=;5A;x+a이다.

원점과 직선 ax-5y+5a=0 사이의 거리는

|5a|"ÃaÛ`+25

= 5a"ÃaÛ`+25

(∵ a>0)이고 원의 반지름의 길이가 4

이므로 원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이는

2¾16- 25aÛàÛ`+25

이다.

따라서 배가 등대의 불빛이 비추는 영역을 지나간 길이는 현의

길이와 같으므로

2¾16- 25aÛàÛ`+25

=6

25aÛàÛ`+25

=7, aÛ`= 17518

∴ a=5'73'2=

5'1�46 (∵ a>0)

5'1�46

0643 직선 y=kx-2k+2, 즉 y=k(x-2)+2는 k의 값에

관계없이 항상 점 (2, 2)를 지난다.

오른쪽 그림에서

(1, 0)

Ú

Û

(2, 2)

15

Ú 직선 y=kx-2k+2가 원

(x-1)Û`+yÛ`=16의 중심 (1, 0)을

지날 때, 선분 AB의 길이는 최대가

되므로

M=2_4=8

Û 직선 y=kx-2k+2가 Ú의 직선과 수직일 때, 선분 AB의

길이는 최소가 되므로

m=2"Ã4Û`-('5)Û`=2'1�1Ú, Û에서 Mm =8_2'1�1=16'1�1 16'1�1

0644 원 xÛ`+yÛ`=5와 직선 x+y-k=0의 교점을

A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)라 하면 xÁ, xª는 이차방정식

x Û`+(-x+k) Û`=5, 즉 2x Û`-2kx+k Û`-5=0의 두 근이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

xÁ+xª= 2k2 =k yy`㉠

또, 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)는 직선 x+y-k=0 위의 점

이므로

xÁ+yÁ-k=0, xª+yª-k=0

위의 두 식의 각 변을 더하여 정리하면

yÁ+yª=-(xÁ+xª)+2k=-k+2k=k (∵ ㉠) yy`㉡

본문 132~133쪽

0645

y=x+|x-k| ①②

③④=[ 2x-k (x¾k)

k (x<k)

의 그래프가 곡선 x Û`+y Û`=1`(y>0)

과 서로 다른 두 점에서 만나려면 오른

쪽 그림의 ①과 ② 사이 또는 ③과 ④

사이에 있어야 한다.

y=x+|x-k|의 그래프가

①일 때, k=1

②일 때, k=0

③일 때, 직선 y=2x-k가 점 (-1, 0)을 지나는 경우이므로

0=-2-k ∴ k=-2

④일 때, 직선 y=2x-k, 즉 2x-y-k=0과 원 xÛ`+yÛ`=1이

접하는 경우이므로 원의 중심 (0, 0)과 직선 2x-y-k=0 사

이의 거리가 1이다. 즉,

|-k|"Ã2Û`+(-1)Û`

=1, |k|='5

∴ k=-'5 (∵ k<0)

따라서 두 도형이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의

값의 범위는

-'5<k<-2 또는 0<k<1

이므로 a=-'5, b=-2, c=0, d=1

∴ ac+bd=(-'5)_0+(-2)_1=-2 ③

x¾k 또는 x<k인 경우로 나누어 y=x+|x-k|의 그래프를 그

리고 두 도형의 위치 관계를 알아본다.

한편, 원 x Û`+y Û`=5 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에서의

접선의 방정식은

xÁx+yÁ y=5, xªx+yª y=5

이고 두 접선의 교점의 좌표가 (a, b)이므로

axÁ+byÁ=5, axª+byª=5

위의 두 식의 각 변을 더하면

a(xÁ+xª)+b(yÁ+yª)=10

ak+bk=10 (∵ ㉠, ㉡)

k(a+b)=10, 10k=10 (∵ a+b=10)

∴ k=1 1

따라서 두 대형마트 A, B로부터 배송 비용이 동일한 지점은

원 (x+5) Û`+y Û`=100 위에 위치한 지점이므로 자취가 그리는

도형의 넓이는 10Û`p=100p(kmÛ`) 100p`kmÛ`

12. 원의 방정식 121

0647

ABÓ=a, BCÓ=b, CAÓ=c라 하면 직각삼각형 ABC의 넓이가

:Á2°:이고, rÁ=1이므로

△ABC=△OÁAB+△OÁBC+△OÁCA에서

:Á2°:=;2!;_a_1+;2!;_b_1+;2!;_c_1

∴ a+b+c=15 yy`㉠

원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다.

Ú 세 점 A, B, C에서 원 OÁ에 그

은 두 접선의 접점까지의 길이는

각각 같으므로

a=(b-rÁ)+(c-rÁ)

∴ rÁ= -a+b+c2

Û 점 A에서 원 Oª에 그은 두 접

선의 접점까지의 길이는 같으

므로

c+rª=a+(b-rª)

∴ rª= a+b-c2

Ü 점 B에서 원 O£에 그은 두 접선

의 접점까지의 길이는 같으므로

b+r£=a+(c-r£)

∴ r£= a-b+c2

Ý 두 점 A, B에서 원 O¢에 그은

두 접선의 접점까지의 길이는

각각 같으므로

(r¢-b)+(r¢-c)=a

∴ r¢= a+b+c2

Ú ~ Ý에서

rÁ+rª+r£+r¢ =a+b+c

=15 (∵ ㉠)

∴ rª+r£+r¢ =(rÁ+rª+r£+r¢)-rÁ

=15-1=14 14

0648

직선 p`:`x+y=mx+3에서 mx+(-x-y+3)=0이므로

직선 p는 m의 값에 관계없이 점 A(0, 3)을 지난다.

직선 q`:`(1-m)y=x-5+5m에서

m(-y-5)+(y-x+5)=0이므로 직선 q는 m의 값에 관계

없이 점 B(0, -5)를 지난다.

직선 p의 기울기는 m-1, 직선 q의 기울기는 1

1-m 이므로

(m-1)_ 11-m =-1

즉, 두 직선 p, q는 서로 수직이므로 점 P의 자취는 두 직선이

m의 값에 관계없이 각각 지나는 두 점 A(0, 3), B(0, -5)를

지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

ㄱ. 점 P의 자취는 선분 AB를 지름으로 하는 원이므로 이 원의

중심은 {0, 3+(-5)2 }, 즉 (0, -1)

두 직선 p, q가 m의 값에 관계없이 지나는 점의 좌표를 구한다.

0646

세 점 A(1, 0), B(-1, 0), C(0, '3)을 중심으로 하고 반지

름의 길이가 s인 세 원을 각각 A, B, C라 하자.

s=1일 때, 세 원 A, B, C는 서로

외접하고, 세 원에 동시에 접하는

직선은 존재하지 않는다.

또한, s>1일 때, 세 원 A, B, C는

서로 만나고, 세 원에 동시에 접하

는 직선은 존재하지 않는다.

따라서 세 원에 동시에 접하는 직선은 s<1일 때 존재한다.

Ú��두 원 A, B의 공통외접선에 원

C가 접할 때, 두 원 A, B의 공

통외접선은 x축에 평행하다.

공통외접선의 방정식을 y=s라

하면 직선 y=s와 원 C가 접하

므로

'3-s=s, s='32

즉, 접선의 방정식은 y='32 이므로 기울기는 0이다.

Û��두 원 A, B의 공통내접선에 원

C가 접할 때, 두 원 A, B의 공

통내접선은 원점을 지난다.

공통내접선의 방정식을

y=mx`(m+0)라 하면 세 원

A, B, C의 중심과 직선

y=mx, 즉 mx-y=0 사이의 거리는 모두 s이므로

|m|"ÃmÛ`+1

= |-m|"ÃmÛ`+1

=|'3|"ÃmÛ`+1

=s

즉, |m|='3이므로 m=Ñ'3 즉, 접선의 방정식은 y=Ñ'3x이므로 기울기는

'3 또는 -'3이다.

Ú, Û에서 pÛ`+qÛ`+rÛ`=0Û`+('3)Û`+(-'3)Û`=6 6

세 원에 동시에 접하는 직선을 좌표평면에 나타낸다.


0650

OAÓ=BCÓ=3이므로 두 점 A, B는 중심이 각각 O, C이고 반

지름의 길이가 3인 원 위의 점이다.

ABÓ+BCÓ¾ACÓ가 항상 성립하고

ABÓ=k, BCÓ=3이므로

k+3¾ACÓ, 즉 선분 AC의 길이의 최댓값은 k+3이므로 점 A

는 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 k+3인 원 밖에 존재

할 수 없다.

그런데 OAÓ=3이므로 점 A는 반지

름의 길이가 3인 원 위의 점이고 반

지름의 길이가 3인 원의 둘레의 길

이는 6p이다. 즉, 점 A의 자취의 길

이가 3p이기 위해서는 점 C를 중심

으로 하고 반지름의 길이가 k+3인

원이 위의 그림과 같이 점 (0, 3)을 지나야 한다.

따라서 (k+3)Û`=3Û`+6Û`이므로

k=-3+3'5 (∵ k>0) -3+3'5

ABÓ, BCÓ, ACÓ의 관계를 생각한다.

0649

위의 그림에서 OAÓ=OBÓ, PAÓ=PBÓ

즉, ABÓ의 중점 Q는 두 직선 AB와 OP의 교점이고 OPÓ⊥ABÓ

△OAQ »△OPA`(AA 닮음)이므로

OQÓ`:`OAÓ=OAÓ`:`OPÓ

∴ OPÓ_OQÓ=OAÓ Û`=1` yy`㉠

OPÓ와 OQÓ는 같은 직선 위에 있으므로 Q(x, y)라 하면

x=ka, y=kb�(k>0) yy`㉡

㉠에서 "ÃaÛ`+bÛ`"ÃxÛ`+yÛ`=1

∴ (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)=1� yy`㉢

㉡을 ㉢에 대입하면

kÛ`(aÛ`+bÛ`)Û`=1 ∴ k= 1aÛ`+bÛ`

(∵ k>0)

㉡에서 x= aaÛ`+bÛ`

, y= baÛ`+bÛ`

`� yy`㉣

이므로 Q{ aaÛ`+bÛ`

, b

aÛ`+bÛ`}

㉢, ㉣에서 a=(aÛ`+bÛ`)x= xxÛ`+yÛ`

`� yy`㉤

b=(aÛ`+bÛ`)y= yxÛ`+yÛ`

`� yy`㉥

점 P(a, b)가 원 (x-3)Û`+yÛ`=1 위를 움직이므로

(a-3)Û`+bÛ`=1에 ㉤, ㉥을 대입하면

{ xxÛ`+yÛ`

-3}Û`+{ yxÛ`+yÛ`

}Û`=1

{x-3(xÛ`+yÛ`)}Û`+yÛ`=(xÛ`+yÛ`)Û`

xÛ`-6x(xÛ`+yÛ`)+8(xÛ`+yÛ`)Û`+yÛ`=0

(xÛ`+yÛ`){1-6x+8(xÛ`+yÛ`)}=0

이때 xÛ`+yÛ`+0이므로 1-6x+8(xÛ`+yÛ`)=0

∴ xÛ`+yÛ`-;4#;x+;8!;=0

따라서 점 Q의 자취의 방정식은

xÛ`+yÛ`-;4#;x+;8!;=0이다. xÛ`+yÛ`-;4#;x+;8!;=0

도형의 닮음을 이용한다.

ㄴ. 점 P의 자취는 반지름의 길이가 ;2!; ABÓ=4인 원이므로 그

넓이는 p_4Û`=16p

ㄷ. 점 P의 자취는 중심이 점 (0, -1), 반지름의 길이가 4인

원이므로 원의 방정식은 xÛ`+(y+1)Û`=16

x=3, y=1을 대입하면 3Û`+2Û`=13+16

즉, 점 (3, 1)은 점 P의 자취 위에 있지 않다.

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ②

12. 원의 방정식 123

본문 135~138쪽

0651 점 (5, 2)를 x축의 방향으로 3k만큼, y축의 방향으로

-k만큼 평행이동한 점의 좌표는

(5+3k, 2-k)

이 점이 직선 y=-2x+7 위에 있으므로

2-k=-2(5+3k)+7

2-k=-6k-3, 5k=-5

∴ k=-1 ②

0652 주어진 평행이동을 (x, y) 2Ú (x+m, y+n)이라 하

면

a+m=3, -1+n=2, 4+m=-1, b+n=5

∴ m=-5, n=3, a=8, b=2

따라서 점 (-a, 2b), 즉 점 (-8, 4)가 주어진 평행이동

(x, y) 2Ú (x-5, y+3)에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는

(-8-5, 4+3), 즉 (-13, 7) (-13, 7)

0653 도형을 평행이동해도 그 모양은 변하지 않으므로

△O'A'B'이 정삼각형이면 △OAB도 정삼각형이다.

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 선분

OA에 내린 수선의 발을 H라 하면

OAÓ=2이므로 OHÓ=1

또, △OAB에서 BHÓ='3이므로

점 B의 좌표는 (1, '3 )이때 B'(5, 3'3 )이므로

1+m=5, '3+n=3'3 ∴ m=4, n=2'3∴ mn=8'3 8'3

0654 점 (-1, 4)를 점 (3, -2)로 옮기는 평행이동을

(x, y) 2Ú (x+m, y+n)이라 하면

-1+m=3, 4+n=-2 ∴ m=4, n=-6

직선 x+ay+b=0을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로

-6만큼 평행이동한 직선의 방정식은

(x-4)+a(y+6)+b=0 ∴ x+ay+6a+b-4=0

이 직선이 직선 x+2y+10=0과 일치하므로

a=2, 6a+b-4=10


ab=4 ①

0655 직선 l은 직선 y=ax+b를 주어진 평행이동에 의하여

옮겨진 것이므로 직선 l의 방정식은

y+3=a(x-2)+b ∴ y=ax-2a+b-3

이 직선이 직선 y=;4!;x+6과 y축 위의 점에서 수직으로 만나므

로 직선 l의 기울기는 -4이고, y절편은 6이다.

즉, a=-4, -2a+b-3=6이므로 a=-4, b=1

∴ a+b=-3 -3

0656 xÛ`+yÛ`-4x+2y+a=0에서

(x-2)Û`+(y+1)Û`=5-a

이 원을 주어진 평행이동에 의하여 옮긴 원의 방정식은

(x-3-2)Û`+(y-1+1)Û`=5-a

∴ (x-5)Û`+yÛ`=5-a

따라서 중심의 좌표가 (5, 0), 반지름의 길이가 'Ä5-a 이므로

b=0, 'Ä5-a=2 ∴ a=1, b=0

∴ a-b=1 ④

0657 y=xÛ`+6x+3에서 y=(x+3)Û`-6

이 포물선을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평

행이동한 포물선의 방정식은

y-n=(x-m+3)Û`-6 ∴ y=(x-m+3)Û`+n-6

이 포물선이 포물선 y=xÛ`+4x+1, 즉 y=(x+2)Û`-3과 일

치하려면

-m+3=2, n-6=-3 ∴ m=1, n=3

직선 l:`x-2y=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 3

만큼 평행이동한 직선 l'의 방정식은

(x-1)-2(y-3)=0 ∴ x-2y+5=0

따라서 두 직선 l, l' 사이의 거리는 직선 l 위의 점 (0, 0)과 직

선 l' 사이의 거리와 같으므로

|5|"Ã1Û`+(-2)Û`

='5 '5

다른풀이

포물선 y=xÛ`+6x+3, 즉 y=(x+3)Û`-6의 꼭짓점의 좌표는

(-3, -6)이고, 이 점을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향

으로 n만큼 평행이동한 점의 좌표는

(-3+m, -6+n)

이 점이 포물선 y=xÛ`+4x+1, 즉 y=(x+2)Û`-3의 꼭짓점

의 좌표인 (-2, -3)과 일치해야 하므로

-3+m=-2, -6+n=-3 ∴ m=1, n=3

0658 원 C의 방정식은

(x-3+1)Û`+(y-a+2)Û`=9

∴ (x-2)Û`+(y-a+2)Û`=9

이때 직선 3x+4y-7=0이 원 C의 넓이를 이등분하려면 직선

3x+4y-7=0이 원 C의 중심 (2, a-2)를 지나야 하므로

3_2+4(a-2)-7=0 ∴ a=;4(; ⑤


도형의�이동13


0659 점 P(a, b)가 직선 y=2x 위의 점이므로

b=2a yy`㉠

즉, 점 P의 좌표는 (a, 2a)이므로

Q(a, -2a), R(-a, 2a)

삼각형 PQR의 넓이가 36이므로

△PQR=;2!;_2a_4a=36

4aÛ`=36, aÛ`=9

∴ a=3 (∵ a>0), b=6 (∵ ㉠)

∴ a+b=9 ③

0660 점 (a, b)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표

는 (b, a)

이 점이 제 4 사분면 위의 점이므로

b>0, a<0 yy`㉠

점 (ab, b-a)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

(-ab, a-b)

이 점을 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (ab, a-b)

이때 ㉠에서 ab<0, a-b<0이므로 점 (ab, a-b)는 제 3 사

분면 위에 있다. 제 3 사분면

0661 주어진 규칙에 따라 점 Pª, P£, P¢, y의 좌표를 구하면

PÁ(3, 2) 2Ú Pª(2, 3) 2Ú P£(2, -3) 2Ú P¢(-2, -3)

2Ú P°(-3, -2) 2Ú P¤(-3, 2) 2Ú P¦(3, 2)

2Ú P¥(2, 3) 2Ú y

이므로 자연수 n에 대하여 두 점 Pn, Pn+6이 일치한다.

이때 50=6_8+2이므로 점 P50은 점 Pª와 일치한다.

즉, 점 P50의 좌표는 (2, 3)이므로 x50=2, y50=3

∴ 10x50+y50=10_2+3=23 23

0662 직선 y=5x+1을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방

정식은

-y=5x+1 ∴ y=-5x-1

이 직선과 평행한 직선의 기울기는 -5이므로 기울기가 -5이

고 점 (2, -3)을 지나는 직선의 방정식은

y-(-3)=-5(x-2) ∴ y=-5x+7

따라서 구하는 y절편은 7이다. 7

0663 직선 (k+1)x+(3-2k)y-5=0을 직선 y=-x에

대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

(k+1)_(-y)+(3-2k)_(-x)-5=0

∴ (2x-y)k+(-3x-y-5)=0 yy`㉠

㉠이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면

2x-y=0, -3x-y-5=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-2

0664 포물선 y=xÛ`-2ax+4를 원점에 대하여 대칭이동한

포물선의 방정식은

-y=(-x)Û`-2a_(-x)+4

∴ y =-xÛ`-2ax-4

=-(x+a)Û`+aÛ`-4

이 포물선의 꼭짓점 (-a, aÛ`-4)가 직선 y=2x+4 위에 있으

므로

aÛ`-4=2_(-a)+4, aÛ`+2a-8=0

(a+4)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a>0) ②

0665 원 O`:`(x-1)Û`+(y+2)Û`=2를 직선 y=x에 대하여

대칭이동한 원 O'의 방정식은

(y-1)Û`+(x+2)Û`=2 ∴ (x+2)Û`+(y-1)Û`=2

PQÓ의 길이의 최솟값은 두 원의 중심

(1, -2), (-2, 1)을 이은 선분의 길

이에서 두 원의 반지름의 길이의 합을

뺀 것과 같으므로 구하는 최솟값은

"Ã(-2-1)Û`+(1+2)Û`-2'2='2 '2

0666 xÛ`+yÛ`-8x+6y=0에서

(x-4)Û`+(y+3)Û`=25

이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

(-x-4)Û`+(y+3)Û`=25 ∴ (x+4)Û`+(y+3)Û`=25

이 원이 직선 x-2y+k=0과 서로 다른 두 점에서 만나려면 원

의 중심 (-4, -3)과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리가 원의

반지름의 길이보다 작아야 하므로

|-4+6+k|"Ã1Û`+(-2)Û`

<5, |2+k|<5'5

-5'5<2+k<5'5 ∴ -2-5'5<k<-2+5'5따라서 a=-2-5'5, b=-2+5'5이므로

b-a=10'5 10'5

따라서 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-1, -2)를 지

나므로

a=-1, b=-2

∴ ab=2 2

0667 직선 l의 기울기를 a라 하면 직선 l의 방정식은

y-(-2)=a(x-1) ∴ y=ax-a-2

직선 y=ax-a-2를 x축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 직

선의 방정식은

y=a(x+5)-a-2 ∴ y=ax+4a-2

직선 y=ax+4a-2를 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

식은

-y=ax+4a-2 ∴ y=-ax-4a+2

13. 도형의 이동 125

0669 원 OÁ의 방정식은 (x-4)Û`+(y-2)Û`=4

원 OÁ을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

(y-4)Û`+(x-2)Û`=4 ∴ (x-2)Û`+(y-4)Û`=4

원 (x-2)Û`+(y-4)Û`=4를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한

원 Oª의 방정식은

(x-2)Û`+(y-a-4)Û`=4

원 OÁ과 원 Oª의 중심을 각각

C(4, 2), D(2, a+4)라 하면 두 원

의 두 교점을 이은 선분 AB는 선분

CD에 의하여 수직이등분된다.

오른쪽 그림과 같이 두 선분 AB,

CD의 교점을 H라 하면

AHÓ=BHÓ=;2!; ABÓ='3

두 원 OÁ, Oª의 반지름의 길이가 모두 2이므로

ACÓ=ADÓ=2

△ACH와 △ADH에서 피타고라스 정리에 의하여

CHÓ=DHÓ="Ã2Û`-('3)Û`=1 ∴ CDÓ=2

즉, CDÓ="Ã(2-4)Û`+(a+4-2)Û`=2에서

(a+2)Û`=0 ∴ a=-2 ②

0670 방정식 f(x+1, 2-y)=0에서

f(x+1, -(y-2))=0

f(x, y)=0 2Ú`f(x, -y)=0 2Ú`f(x+1, -(y-2))=0

과 같이 이동시킨다고 하면 방정식 f(x+1, -(y-2))=0이

나타내는 도형은 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축에

대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으

로 2만큼 평행이동한 것이다.

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축에 대하여 대칭이동

하면 [그림 1]과 같고, 이것을 다시 x축의 방향으로 -1만큼, y

축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 [그림 2]와 같다.

[그림 1] [그림 2]

따라서 방정식 f(x+1, 2-y)=0이 좌표평면에 나타내는 도

형은 ②이다. ②

다른풀이

f(x, y)=0 1Ú f(x+1, y+2)=0

1Ú f(x+1, -y+2)=0

과 같이 이동시킨다고 하면 방정식 f(x+1, 2-y)=0이 나타

내는 도형은 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향

으로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 후 x축에

대하여 대칭이동한 것이다.

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 -1만

큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 [그림 1]과 같고, 이

것을 다시 x축에 대하여 대칭이동하면 [그림 2]와 같다.

[그림 1] [그림 2]

따라서 방정식 f(x+1, 2-y)=0이 좌표평면에 나타내는 도

형은 ②이다.

0671 다음 그림과 같이 도형 B는 방정식 f(x, y)=0이 나

타내는 도형 A를 원점에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로

1만큼 평행이동한 것과 같다.

⇨ ⇨

0668 포물선 y=xÛ`-4x+a를 원점에 대하여 대칭이동한 포

물선의 방정식은

-y=(-x)Û`-4_(-x)+a ∴ y=-xÛ`-4x-a

포물선 y=-xÛ`-4x-a를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한

포물선의 방정식은

y-2=-xÛ`-4x-a ∴ y=-xÛ`-4x-a+2

이 포물선이 x축에 접하므로 이차방정식

-xÛ`-4x-a+2=0, 즉 xÛ`+4x+a-2=0의 판별식을 D라

하면

D4 =2Û`-(a-2)=0

4-a+2=0 ∴ a=6 6

다른풀이

포물선 y=-xÛ`-4x-a+2, 즉 y=-(x+2)Û`-a+6의 꼭

짓점의 좌표는 (-2, -a+6)

이때 포물선이 x축에 접하면 꼭짓점의 y좌표가 0이므로

-a+6=0 ∴ a=6

이 직선이 점 (-2, 10)을 지나므로

10=2a-4a+2, 2a=-8

∴ a=-4 -4


0672 포물선 y=xÛ`-6x+5, 즉 y=(x-3)Û`-4의 꼭짓점

의 좌표는 (3, -4)

포물선 y=-xÛ`-2x+9, 즉 y=-(x+1)Û`+10의 꼭짓점의

좌표는 (-1, 10)

두 포물선이 점 (a, b)에 대하여 대칭이므로 두 포물선의 꼭짓

점도 점 (a, b)에 대하여 대칭이다.

따라서 두 꼭짓점을 이은 선분의 중점이 점 (a, b)이므로

a=3+(-1)

2 =1, b= -4+102 =3

∴ a+b=4 ④

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동

하면 f(-x, -y)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 1만큼

평행이동하면 f(-x, -(y-1))=0

∴ f(-x, -y+1)=0 ③

참고 주어진 f(x, y)=0이 나타내는 도형 A에 대하여 각 방정식이 나타

내는 도형은 다음 그림과 같다.

①

②

④

⑤

0673 xÛ`+yÛ`+8x+4y+11=0에서

(x+4)Û`+(y+2)Û`=9

즉, 원의 중심의 좌표는 (-4, -2)이고 반지름의 길이는 3이다.

원의 중심 (-4, -2)를 점 (1, -3)에 대하여 대칭이동한 점

의 좌표가 (a, b)이므로

-4+a2 =1, -2+b

2 =-3 ∴ a=6, b=-4

또, 원은 대칭이동해도 반지름의 길이가 변하지 않으므로

r=3

∴ a+b+r=5 5

0674 두 점 (-1, 4), (a, b)를 이은

선분의 중점을 M이라 하면

M{-1+a2 ,

4+b2 }

점 M이 직선 y=3x+2 위의 점이므로

4+b2 =3_ -1+a

2 +2 ∴ 3a-b=3 yy`㉠

0675 원 xÛ`+(y-1)Û`=9와 원 xÛ`+yÛ`-4x-6y+c=0, 즉

(x-2)Û`+(y-3)Û`=13-c의 반지름의 길이는 같으므로

13-c=9 ∴ c=4

두 원의 중심 (0, 1), (2, 3)을 이은 선분의 중점의 좌표는

{ 0+22 ,

1+32 }, 즉 (1, 2)

이 점이 직선 y=ax+b 위의 점이므로

2=a+b yy`㉠

또, 두 원의 중심 (0, 1), (2, 3)을 지나는 직선이 직선

y=ax+b와 수직이므로

3-12-0 _a=-1 ∴ a=-1

a=-1을 ㉠에 대입하면 b=3

∴ abc=-12 -12

0676 점 A(3, 2)를 직선 y=x에

대하여 대칭이동한 점을 A'이라 하면

A'(2, 3)

이때 APÓ=A'PÓ이므로

APÓ+BPÓ =AÕ'PÓ+BPÓ

¾AÕ'BÓ

="Ã(7-2)Û`+(5-3)Û`

='2�9따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 '2�9이다. '2�9

또, 두 점 (-1, 4), (a, b)를 지나는 직선이 직선 y=3x+2와

수직이므로

b-4a-(-1)

=-;3!; ∴ a+3b=11 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3

∴ ab=6 ④

0677 점 C(-8, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 C'이라

하면

C'(-8, -1)

점 D(4, 7)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 D'이라 하면

D'(7, 4)

이때 CEÓ=CÕ'EÓ, DFÓ=D'FÓ이므로

CEÓ+EFÓ+FDÓ =CÕ'EÓ+EFÓ+D'FÓ

¾CÕ'D'Ó

즉, CEÓ+EFÓ+FDÓ의 값이 최소가 되는 것은 두 점 E, F가 직

선 C'D' 위에 있을 때이다.

13. 도형의 이동 127

0678 점 P(2, 5)를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A, 직선

y=x에 대하여 대칭이동한 점을 B라 하면

A(-2, 5), B(5, 2)

이때 PQÓ=AQÓ, PRÓ=BRÓ이므로

삼각형 PQR의 둘레의 길이는

PQÓ+QRÓ+PRÓ =AQÓ+QRÓ+BRÓ

¾ABÓ

="Ã(5+2)Û`+(2-5)Û`='5�8즉, m='5�8이므로 mÛ`=('5�8)Û`=58 58

본문 139~141쪽

0679 ㄱ. 원을 평행이동해도 반지름의 길이는 변하지 않으므

로 원 C의 반지름의 길이는 원 xÛ`+(y-1)Û`=9의 반지름의

길이인 3과 같다.

ㄴ. 원 C의 방정식은 (x-m)Û`+(y-n-1)Û`=9

이 원의 중심의 좌표는 (m, n+1)이고 x축에 접하려면

|n+1|=3 ∴ n=-4 또는 n=2

즉, 실수 n의 값은 2개이다.

ㄷ. m+0일 때, x=m, y=n+1을 y= n+1m x에 대입하면

n+1= n+1m _m

즉, 등식이 성립하므로 직선 y= n+1m x는 원 C의 중심

(m, n+1)을 지나고 원 C의 넓이를 이등분한다.


0680 세 원 CÁ, Cª, C£의 중심을 각각 CÁ, Cª, C£이라 하면

CÁ(2, 0), Cª(2+a, 0), C£(2+b, c)

두 원 CÁ, Cª가 외접하므로

|(2+a)-2|=1+1 ∴ |a|=2 yy`㉠

0681 두 점 A(4, a), B(2, 1)을

직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점

은 각각 A'(a, 4), B'(1, 2)이다.

이때 두 직선 AA', BB'은 각각 직선

y=x와 서로 수직이므로 두 직선

AA', BB'은 서로 평행하다. 즉, 두

삼각형 APA', BPB'은 서로 닮음이다.

그런데 두 삼각형 APA', BPB'의 넓이의 비가 9`:`4이므로 두

삼각형 APA', BPB'의 닮음비는 3`:`2이다.

∴ AA'Ó`:`BB'Ó=3`:`2

AA'Ó="Ã(a-4)Û`+(4-a)Û`='2(a-4) (∵ a>4)

BB' Ó="Ã(1-2)Û`+(2-1)Û`='2즉, AA'Ó`:`BB'Ó=3`:`2에서 '2(a-4)`:`'2=3`:`2

2(a-4)=3 ∴ a=:Á2Á: ②

0682 점 A를 원점, 직선 AB를 x축, 직선 AD를 y축으로 하

는 좌표평면을 잡고 직사각형 ABCD를 변 CD, BC에 대하여

대칭이동하면 다음 그림과 같다.

흰 공

노란 공

위의 그림에서 점 P의 좌표는 (20, 100), 점 Q의 좌표는

(420, 320+x)이고 흰 공이 움직인 거리는 PQÓ의 길이와 같으

므로

PQÓ="Ã(420-20)Û`+(320+x-100)Û`=500

양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+440x-41600=0, (x-80)(x+520)=0

∴ x=80 (∵ x>0) 80

직선 C'D'의 방정식은

y-4=4-(-1)7-(-8) (x-7) ∴ y=;3!;x+;3%;

따라서 이 직선의 x절편이 -5이므로 점 E의 x좌표는 -5이다.

①

두 원 CÁ, C£이 외접하므로

"Ã{(2+b)-2}Û`+(c-0)Û`=1+1

"ÃbÛ`+cÛ`=2 ∴ bÛ`+cÛ`=4 yy`㉡

두 원 Cª, C£이 외접하므로

"Ã{(2+b)-(2+a)}Û`+(c-0)Û`=1+1

"Ã(b-a)Û`+cÛ`=2 ∴ (b-a)Û`+cÛ`=4 yy`㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 |a|=2, |b|=1, |c|='3∴ |abc|=|a||b||c|=2'3 2'3

두 원 O, O'의 반지름의 길이가 각각 r, r'이

고 중심 사이의 거리가 d일 때, 두 원이 외접

하면

⇨ r+r'=d

Lecture


0683 CÁ`: xÛ`+yÛ`-2x+2y+1=0에서

CÁ`: (x-1)Û`+(y+1)Û`=1

원 CÁ을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원 Cª의 방정식은

(y-1)Û`+(x+1)Û`=1

∴ Cª`: (x+1)Û`+(y-1)Û`=1

원 Cª를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이

동한 원 C£의 방정식은

(x-4+1)Û`+(y-2-1)Û`=1

∴ C£`: (x-3)Û`+(y-3)Û`=1

즉, 세 원 CÁ, Cª, C£의 중심의 좌표는

각각 CÁ(1, -1), Cª(-1, 1),

C£(3, 3)이다.

오른쪽 그림에서 △CÁCªP의 넓이가

최소가 되는 것은 점 P와 직선 CÁCª

사이의 거리가 최소일 때이다.

이때 직선 CÁCª의 방정식은 y=-x, 즉 x+y=0이므로 점

C£(3, 3)과 직선 x+y=0 사이의 거리는

|3+3|"Ã1Û`+1Û`

=3'2

원 C£의 반지름의 길이가 1이므로 점 P와 직선 CÁCª 사이의 거

리의 최솟값은 3'2-1

또한, CÁCª Ó="Ã(-1-1) Û`+(1+1) Û`=2'2이므로 △CÁCªP의

넓이의 최솟값은

;2!;_2'2_(3'2-1)=6-'2 6-'2

0684 주어진 규칙에 따라 점 Pª, P£, P¢, y의 좌표를 구하면

PÁ(0, 0) 2Ú Pª(1, 0) 2Ú P£(0, 1)

2Ú P¢(1, 1) 2Ú P°(2, 1) 2Ú P¤(1, 2) 2Ú P¦(2, 2) 2Ú P¥(3, 2) 2Ú P»(2, 3) 2Ú y이므로 자연수 n에 대하여

P3n-2(n-1, n-1), P3n-1(n, n-1), P3n(n-1, n)

ㄱ. 점 P3n의 좌표는 (n-1, n)이다.

ㄴ. Pª(1, 0), P¢(1, 1), Pª°(8, 8), Pª¦(8, 9)이므로

PªP¢Ó=1, Pª°Pª¦Ó=1

∴ PªP¢Ó=Pª°Pª¦Ó

ㄷ. PÁ¢(5, 4), PÁ°(4, 5)이므로 두 점 PÁ¢, PÁ°는 직선 y=x에


즉, 선분 PÁ¢ PÁ°와 직선 y=x는 서로 수직이다.


0685 중심의 좌표가 {-;2!;, 0}이고 반지름의 길이가 1인 원

OÁ의 방정식은

OÁ`: {x+;2!;}Û`+yÛ`=1

원 OÁ을 y축에 대하여 대칭이동한 원 Oª의 방정식은

{-x+;2!;}Û`+yÛ`=1 ∴ Oª`: {x-;2!;}Û`+yÛ`=1

원 OÁ을 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 O£의 방정식은

{x-2+;2!;}Û`+yÛ`=1 ∴ O£`: {x-;2#;}Û`+yÛ`=1

따라서 원 OÁ의 내부와 원 Oª의 내부의 공통부분, 원 Oª의 내부

와 원 O£의 내부의 공통부분은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.

이때 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이므로

∠CAB=60ù, △ABC='34 _1Û`= '34 ,

(부채꼴 ABC의 넓이)=p_1Û`_;3¤6¼0;=;6Ò;

따라서 구하는 넓이는 4[;6Ò;+{;6Ò;- '34 }]=;3$;p-'3 ③

0686 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여

대칭이동하면 f(-x, -y)=0

이것을 다시 x축의 방향으로 1만큼 평행이동하면

f(-(x-1), -y)=0 ∴ f(1-x, -y)=0

따라서 방정식 f(1-x, -y)=0이 나타내

는 도형은 주어진 도형을 원점에 대하여 대칭

이동한 후 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한

것이므로 오른쪽 그림과 같다.

이 도형 위의 점과 원점 사이의 거리의 최댓값은 원점과 점 B 또

는 점 C 사이의 거리이므로

M="Ã(-2)Û`+(-1)Û`='5또, 최솟값은 원점과 직선 AD 사이의 거리이고 직선 AD의 방

정식은 x+y+1=0이므로

m= |1|"Ã1Û`+1Û`

='22

∴ Mm='1�02

'1�02

0687 두 점 A(-2, 3), B(5, -4)를 이은 선분의 중점의

좌표는

{-2+52 ,

3-42 }, 즉 {;2#;, -;2!;}

직선 AB의 기울기가 -4-3

5-(-2)=-1이므로 종이를 접어 생

긴 선의 방정식은

y-{-;2!;}=x-;2#; ∴ y=x-2

13. 도형의 이동 129

즉, 두 점 A와 B, C(1, 3)과 D(a, b)는 각각 직선 y=x-2에


두 점 C, D를 이은 선분의 중점 { 1+a2 ,

3+b2 }가 직선

y=x-2 위의 점이므로

3+b2 = 1+a

2 -2 ∴ a-b=6 yy`㉠

또, 두 점 C, D를 지나는 직선이 직선 y=x-2와 수직이므로

b-3a-1 =-1 ∴ a+b=4 yy`㉡


a=5, b=-1

∴ a-2b=7 7

0688 두 직선 y=ax+b, y=cx+d가 직선 y=-x에 대하

여 대칭이므로

OAÓ=ODÓ, OBÓ=OCÓ

또, 원점 O가 선분 CA를 1`:`2로 내분하는 점이므로 OCÓ=k라

하면 OBÓ=k, OAÓ=ODÓ=2k

∴ ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ

=;2!;(2k+k)(2k+k)

=;2(;kÛ`

이때 ABCD의 넓이가 18이므로

;2(;kÛ`=18, kÛ`=4 ∴ k=2 (∵ k>0)

∴ A(4, 0), B(0, 2), C(-2, 0), D(0, -4)

즉, 직선 AB의 방정식은

;4{;+;2};=1 ∴ y=-;2!;x+2

또한, 직선 CD의 방정식은

x-2 + y

-4 =1 ∴ y=-2x-4

따라서 a=-;2!;, b=2, c=-2, d=-4이므로

ad-bc={-;2!;}_(-4)-2_(-2)=6 6

0689 오른쪽 그림과 같이 점 B가

원점, 선분 BC가 x축 위에 오도록

삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓으

면 A(15, 15), C(15, 0)

직선 AB의 방정식은 y=x이고 점

E는 직선 AB 위에 있으므로 점 E

의 좌표를 (a, a)라 하면 2EFÓ=FCÓ에서

2a=15-a, a=5 ∴ F(5, 0)

점 F를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 F'이라 하면

F'(0, 5)이고, PFÓ=PF'Ó이므로

0690 CDÓ=2, ABÓ="�(8-0) Û`+(2-8) Û`=10으로 일정하

므로 ACÓ+DBÓ의 값이 최소일 때 사각형 ACDB의 둘레의 길

이도 최소가 된다.

점 B(8, 2)를 x축의 방향으로 -2만

큼 평행이동한 점을 B', 점 B'을 x축에

대하여 대칭이동한 점을 B"이라 하면

B'(6, 2), B"(6, -2)이고

DBÓ=CB'Ó=CB"Ó

∴ ACÓ+DBÓ =ACÓ+CB"Ó

¾AB"Ó

="Ã(6-0)Û`+(-2-8)Û`=2'3�4따라서 사각형 ACDB의 둘레의 길이의 최솟값은

ABÓ+CDÓ+AB"Ó =10+2+2'3�4

=12+2'3�4 12+2'3�4

0691 오른쪽 그림과 같이 점 B가

원점, 선분 BC가 x축 위에 오도록 삼

각형 ABC를 좌표평면 위에 놓으면

C(4, 0)

제 1 사분면 위의 점 A의 좌표를

(a, b)라 하면

ABÓ Û`=aÛ`+bÛ`=18, ACÓ Û`=(a-4)Û`+bÛ`=10

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=3

∴ A(3, 3)

두 점 A(3, 3), C(4, 0)을 지나는 직선 AC의 방정식은

y=-3x+12

이때 점 F는 직선 AC 위의 점이므로 점 F의 좌표를

(c, d)`(3<c<4)라 하면 d=-3c+12 yy㉠

또, 직선 AB의 방정식은 y=x이므로 점 F를 직선 AB와 x축

에 대하여 대칭이동한 점을 각각 FÁ, Fª라 하면

FÁ(d, c), Fª(c, -d)

이때 DFÓ=DFÁÓ, EFÓ=EFªÓ이므로

(삼각형 DEF의 둘레의 길이)

=DEÓ+EFÓ+DFÓ=DEÓ+EFªÓ+DFÁÓ

¾FÁFªÓ

="Ã(c-d)Û`+(-d-c)Û`

="Ã2cÛ`+2dÛ`

="Ã2cÛ`+2(-3c+12)Û` (∵ ㉠)

=¾¨20{c-:Á5¥:}Û`+:Á;5$;¢:

PFÓ+PCÓ =PF'Ó+PCÓ

¾F'CÓ

="Ã15Û`+(-5)Û`=5'1�0따라서 구하는 최솟값은 5'1�0이다. 5'1�0


0692 xÛ`+yÛ`-12x-6y+44=0에서

(x-6)Û`+(y-3)Û`=1

즉, 삼각형 O'A'B'의 내접원의 중심의 좌표는 (6, 3)이고 반지

름의 길이는 1이다.

위의 그림에서 점 O'의 좌표는 (6-1, 3-1), 즉 (5, 2)이므로

삼각형 OAB를 삼각형 O'A'B'으로 옮기는 평행이동을

(x, y) 2Ú (x+m, y+n)이라 하면

m=5, n=2

즉, 삼각형 O'A'B'은 삼각형 OAB를 x축의 방향으로 5만큼,

y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 삼각형 OAB의 내

접원의 방정식은

(x+5-6)Û`+(y+2-3)Û`=1

∴ (x-1)Û`+(y-1)Û`=1 yy`㉠

또, 직선 AB의 방정식은

;a{;+;3};=1 ∴ 3x+ay-3a=0

이때 원 ㉠의 중심 (1, 1)과 직선 3x+ay-3a=0 사이의 거리

가 1이므로

|3+a-3a|"Ã3Û`+aÛ`

=1, |3-2a|="Ã9+aÛ`

양변을 제곱하여 정리하면

3aÛ`-12a=0, a(a-4)=0

∴ a=4 (∵ a>0)

따라서 A(4, 0)이므로 점 A'의 좌표는

(4+5, 0+2), 즉 (9, 2) ②

0693 주어진 규칙에 따라 점 PÁ, Pª, P£, y의 좌표를 구하면

P(a, b) 2Ú PÁ(a, -b) 2Ú Pª(-a, -b) 2Ú P£(-b, -a) 2Ú P¢(b, a) 2Ú P°(b, -a) 2Ú P¤(-b, -a) 2Ú P¦(-a, -b) 2Ú P¥(a, b) 2Ú P»(a, -b) 2Ú y이므로 자연수 n에 대하여 두 점 Pn, Pn+8이 일치한다.

한편, a°+b°=3, a¤+a¦=7에서

b+(-a)=3, -b+(-a)=7

두 식을 연립하여 풀면 a=-5, b=-2

따라서 43=8_5+3에서 점 P43은 점 P3과 일치하므로

점 P43의 좌표는 (-b, -a), 즉 (2, 5) ①

0694 오른쪽 그림과 같이

점 B(8, 5)를 직선 y=x에 대하여

대칭이동한 점을 B'이라 하면

B'(5, 8)

APÓ+BPÓ=APÓ+B'PÓ¾AB'Ó에서

APÓ+BPÓ의 최솟값은 AB'Ó의 길이와

같다.

이때 직선 AB'의 방정식은

y-3= 8-35-6 (x-6) ∴ y=-5x+33

APÓ+BPÓ의 값이 최소일 때의 점 P

는 직선 AB'과 직선 y=x의 교점이

므로 -5x+33=x에서 x=:Á2Á:

즉, 점 P의 좌표는 {:Á2Á:, :Á2Á:}이다.

또한, 점 C는 선분 BB'의 중점이므로

점 C의 좌표는

{ 8+52 ,

5+82 }, 즉 {:Á2£:, :Á2£:}

따라서

PCÓ=¾{:Á2£:-:Á2Á:}Û`+{:Á2£:-:Á2Á:}Û`='2,

BCÓ=¾{:Á2£:-8}Û`+{:Á2£:-5}Û`= 3'22

이므로 삼각형 BPC의 넓이는

;2!;_'2_ 3'22 =;2#; ;2#;

본문 142쪽

0695

다음 그림과 같이 각 횡단보도의 양쪽 끝 지점을 P, Q, R, S라

하면 횡단보도의 폭은 PQÓ=20, RSÓ=10'2로 일정하므로 두

횡단보도를 거쳐 A 지점에서 B 지점까지 가는 최단거리는

APÓ+PQÓ+QRÓ+RSÓ+BSÓ

=APÓ+QRÓ+BSÓ+20+10'2 yy`㉠

두 점 A, B를 도로의 폭만큼 평행이동한 점을 이용하여 최단거리를

구한다.

따라서 c=:Á5¥:일 때, 삼각형 DEF의 둘레의 길이의 최솟값은

¾Ð¨ 1445 =:Á5ª:'5이므로

p=5, q=12 ∴ p+q=17 17

13. 도형의 이동 131

0696

원 C`: xÛ`+yÛ`=1과 직선 y=-'3x의 두 교점을 각각 A, C라

하고 원 C와 직선 y= x'3 의 두 교점을 각각 B, D라 하자.

Ú 옮기기 전의 점들과 일치하는 점이 2개인 경우

네 점 A, B, C, D 중 두 점은 자기 자신으로, 나머지 두 점

은 처음 네 점이 아닌 점으로 옮겨져야 한다.

대칭이동에 의해 자기 자신으로 옮겨지는 두 점이 A, B가

되려면 직선 l은 직선 AB가 되어야 한다.

같은 방법으로 생각하면 직선 BC, 직선 CD, 직선 DA도

직선 l이 될 수 있다.

즉, 이 경우 직선 l이 될 수 있는 직선은 4개이다.

Û 옮기기 전의 점들과 일치하는 점이 3개인 경우

원 C를 직선 l에 대하여 대칭이동한 원을 C'이라 하면 네 점

A, B, C, D 중 세 점이 원 C' 위의 점이어야 한다.

그런데 사각형 ABCD는 원 C에 내접하는 정사각형이므로

네 점 A, B, C, D 중 어느 세 점만을 지나면서 원 C와 합

동인 원 C'은 존재하지 않는다.

즉, 이 경우 직선 l이 될 수 있는 직선은 없다.

Ü 옮기기 전의 점들과 일치하는 점이 4개인 경우

직선에 대한 대칭이동에 의해 네 점이 모두 자기 자신으로

대칭이동되는 경우는 없다.

즉, 네 점 중 두 점은 자기 자신으로, 나머지 두 점은 서로 상

대방으로 대칭이동되거나 두 점씩 짝 지어 서로 상대방으로

대칭이동되는 경우가 가능하다.

네 점 중 두 점은 자기 자신으로, 나머지 두 점은 서로 상대

방으로 대칭이동되도록 하는 직선은 직선 AC, 직선 BD, 즉

직선 y=-'3x와 y= x'3 의 2개이다.

일치하는 점이 2개, 3개, 4개인 경우로 나누어 생각한다.

0697

점 C를 선분 OP, OQ에 대하여 대칭

이동한 점을 각각 C', C"이라 하면

ACÓ=AC'Ó, BCÓ=BC"Ó이므로

ABÓ+BCÓ+CAÓ

=ABÓ+BC"Ó+AC'Ó

¾C'C"Ó

따라서 ABÓ+BCÓ+CAÓ의 최솟값은 C'C"Ó의 길이와 같다.

이때 ∠POQ=60ù이므로

∠C'OC"=2∠POQ=120ù

OC' Ó=OC"Ó에서 △OC'C"은 ∠C'OC"=120ù인 이등변삼각형

이므로

C'C"Ó=2_r_ '32 =10'3

∴ r=10 10

점 C를 OPÓ, OQÓ에 대하여 대칭이동한 점을 각각 C', C"이라 한 후

ACÓ=AC'Ó, BCÓ=BC"Ó임을 이용한다.

또한, 두 점씩 짝 지어 서로 상대방으로 대칭이동되도록 하

는 직선은 원점을 지나면서 두 직선 y=-'3x와 y= x'3 가

이루는 각을 이등분하는 직선으로 2개이다.

즉, 이 경우 직선 l이 될 수 있는 직선은 모두 4개이다.

Ú, Û, Ü에서 주어진 조건을 만족시키는 직선 l의 개수는

4+4=8 8

점 A에서 폭이 20인 도로 쪽으로 도로의 폭만큼 평행이동한 점

을 A'이라 하면 A'(a, 30)이다.

같은 방법으로 점 B에서 폭이 10'2인 도로 쪽으로 도로의 폭만

큼 평행이동한 점을 B'이라 하면 점 B'은 점 B를 x축의 방향으

로 -10만큼, y축의 방향으로 10만큼 평행이동한 점이므로

B'(10, -20)이다.

이때 APÓ=A'QÓ, BSÓ=B'RÓ이므로

APÓ+QRÓ+BSÓ =A'QÓ+QRÓ+B'RÓ

=A'B'Ó

="Ã(a-10)Û`+50Û`

따라서 ㉠에서 최단거리는

"Ã(a-10)Û`+50Û`+20+10'2=b+10'2즉, "Ã(a-10)Û`+50Û`=b-20에서

(a-10)Û`+50Û`=(b-20)Û`

∴ -(a-10)Û`+(b-20)Û`=50Û` ①


인간의�네�유형

어느 철학자는 인간의 유형을 곤충의 습성과 비교하여 다음과 같이 네 부류로 나누었답니다.

첫째, 개미형. 개미는 지금 자신의 주위에서 무슨 일이 일어나든 자신의 먹이를 준비하기 위해 땀 흘리며 열

심히 일만 합니다.

자신의 발전과 행복을 위해서만 일하며 살아가는 이기주의자라고 할 수 있겠죠. 이들은 이웃의 어려움이나

사회의 일에 무관심하며, 심한 경우 가족들의 희생도 은근히 강요한답니다.

둘째, 매미형. 매미는 다른 사람들이 열심히 일하는 동안 시원한 나무 그늘 아래서 낮잠을 자고, 노래를 부르

는 등 하루종일 빈둥거립니다.

앞에 닥쳐올 미래야 어찌 되든간에 현재의 편안함과 쾌락을 추구하는 사람이죠. 이들 또한 자신의 즐거움 외

엔 관심이 없기 때문에 자신은 물론 주위 사람들까지도 위험에 빠뜨릴 수 있답니다.

셋째, 꿀벌형. 꿀벌은 자신이 열심히 일해서 만든 꿀을 다른 이들에게 제공하여 맛을 즐기게 하고 건강을 유

지하는데 도움을 줍니다.

희생과 봉사로 타인의 행복을 위해 노력하는 사람들이죠. 세상에 이런 사람들이 많다면 환경 오염 문제라든

지 사람들을 두려움에 떨게 하는 범죄는 없어질 것입니다.

넷째, 거미형. 거미는 일도 하지 않고, 노래도 부르지 않으면서 거미줄에 먹이가 걸리기만을 숨어서 기다립니다.

요즘 들어 늘고 있는 온갖 범죄자, 상식과 법을 지키지 않는 파렴치한들이죠.

우리 자신은 과연 어디에 속하는 유형일까요?

정답과 풀이 - 개념원리 · 2018-11-21 · 수학(상) 정답과 풀이 핵심 고난도...

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