República Bolivariana de Venezuela.Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.

I.U. Politécnico Santiago Mariño.Sede Barcelona, Edo. Anzoátegui

Estructura discreta y grafos.Sección sv.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Profesor :Asdrúbal rojas

Elaborado por :Eduardo Márquez

Definición

Es la colección y agrupamiento de objetos. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

a, b, c, ..., x, y, z

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:El conjunto a, b, c también puede escribirse: a, c, b , b, a, c , b, c, a , c, a, b , c, b, a

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:El conjunto b, b, b, d, d simplemente será b, d .

Membresía

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:A= a, c, b B= primavera, verano, otoño, invierno

El símbolo ∈ indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como ∉.Ejemplo:Sea B= a, e, i, o, u , a ∈ B y c ∉ B

Subconjunto

Sean los conjuntos A= 0, 1, 2, 3, 5, 8 y B= 1, 2, 5 En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal .

Note que ∈ se utiliza solo para elementos de un conjunto y ⊂ solo para conjuntos.

Clasificación

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.

El conjunto de días de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos

determinar su longitud.

El conjunto de los números reales

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. A = a, e, i, o, u

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

A = x | x es una vocal

Tipos de conjuntos

CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o .

A = x2 + 1 = 0 | x ∈ R

El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω

Relaciones entre conjuntos

IGUALDAD DE CONJUNTOS Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.

A = B

SUBCONJUNTO Si todo elemento de un

conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂. A ⊂ B o B ⊃ A

SUBCONJUNTOS PROPIOS Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por ⊆. A ⊆ B o B ⊇ A

CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.

A = 1, 2

El total de subconjuntos es: 2² = 4

1,2, 1, 2,

CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.

F = 1, 2, 3, 4, 5, 6

G = a, b, c, d, e, f

Operaciones

de conjuntos

UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A ∪ B = x | x ∈ A o x ∈ B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:

A ∩ B = x | x ∈ A y x ∈ B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

A - B = x | x ∈ A, x ∉ B Nota: A - B ≠ B - A

COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE

COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o Ac.

A’ = x | x ∈ U, x ∉ A

Nota: A’ = U - A

PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.

A x B = (a, b) | a ∈A y b ∈ B

Ejercicios

¿Cuántos elementos hay en el conjunto manzana, pastel, durazno?

3 elementos Si U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces 7 ∉ U,

1-. ¿Se podría extraer A= 1, 2, 3, 7 de este universo? No

2-. ¿Se podría extraer B = 2, 5 ,6? Si

A= 1,2,3, B= 1,5,2,71-. ¿Se cumple x ∈ A → x ∈ B ? SI 2-. ¿Se cumple x ∈ B → x ∈A ? NO3-. ¿Son iguales los dos conjuntos? NO C= 6,4Escribe un conjunto D tal que D=C D = 4,6 Enunciar con palabras los siguientes incisos con el método de

extensión

1-. A = x | x2 = 4

R.1-. Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”. Los únicos números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que

A= 2, −2 .

2-. B = x | x − 2 = 5

R.2-. Se lee “B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5”. La única solución es 7, de modo que B =7 .