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23/03/14 Propriedades dos limites de seq

www.ccet.ufrn.br/matematica/prof/joaquim_elias/EDP_Eq_Dif_Parciais.htm#EDP_Solu%C3%A7%C3%A3o_da_EDP_da_Corda_Vibrante 1/30

Equaes Diferenciais

Parciais

Forma Geral das EDPs

Exemplos de EDPs Lineares

Soluo de EDP

Exemplos de Solues de

EDPs

Linearidade das Solues das

EDPs Homogneas

Soluo da EDP da Corda

Vibrante

Estudo do caso com as

condies iniciais

Soluo da EDP da

Propagao do Calor



Soluo de DAlembert para a

EDP

Forma Geral das EDPs

Uma equao diferencial parcial

(EDP) uma equao que envolve

uma funo real de duas ou mais

variveis, suas variveis e pelo

menos uma de suas derivadas

parciais.

A ordem da EDP a maior ordem

de derivao envolvida na equao.

Uma EDP linear homognea, se

em cada termo, s aparece uma

derivada parcial ou a prpria funo

no primeiro grau.

Uma EDP linear

nohomognea, se alm dos termos

como na homognea, aparece mais

um termo, que funo das variveis



independentes.

EXEMPLOS de EDPs

Lineares

. Equao da onda 1D

EDP Linear Homognea de 2

Ordem.

. Equao do calor 1D

EDP Linear Homognea de 2

Ordem.

. Equao de Laplace

2D EDP Linear Homognea de 2

Ordem.

. Equao de

Poisson 2D EDP Linear

nohomognea de 2 Or.

. Equao da



onda 2D EDP Linear Homognea

de 2 Ordem.

. Equao de

Laplace 3D EDP Linear

Homognea de 2 Ordem.

Soluo de EDP

Uma soluo particular de uma

EDP definida em uma regio R, do

espao das variveis

independentes, uma funo real de

x,..., que possui todas as derivadas

parciais contidas no domnio

R, que ao substituirmos x,... a

funo e suas derivadas parciais na

EDP, obtemos uma identidade.

A soluo geral usualmente

muito abrangente.

Por exemplo, as funes,

, ,



So solues da EDP

.

Exemplos de Solues de EDPs

Considerando a funo u(x,y)

EDP Soluo

ux =0 u(x,y)=f(y)

uy =0 u(x,y)=f(x)

uxx =0 u(x,y)= f(y)x+

g(y)

uxx u =0 u(x,y)=

f(y)sen(x)+ g(y)cos(x)

uxy=0 u(x,y)= f(y)+

g(y)

Exemplos de Solues usando

Variveis Separveis



Exemplos para resolver usando Variveis

Separveis

ux + uy = 0

uxy = u

y2ux - x2uy = 0

ux + uy =(x + y)u

uxx + uyy = 0

uxy - u = 0

uxx - uyy = 0

xuxy + 2yu= 0

Linearidade das Solues das EDPs

Homogneas

A combinao linear de solues deuma EDP linear Homogneas tambem

soluo da EDP

Exemplo: Sendo e



solues da EDP linear

homognea

ento

u = c1 u1 + c2 u2

com quaisquer constantes c1 e c2

tambm soluo, portanto, a

combinao linear

, tambm

soluo da EDP

.

Esta propriedade ocorre, devido a

linearidade das derivadas parciais.

Observe tambm, que em qualquer EDP

linear homognea, u = 0 soluo.

Esta soluo comumente chamada de

soluo trivial.

Determinar a soluo trivial, quando

resolvemos uma EDP linear homognea,

no tem importncia.



Sempre procura-se soluo notrivial.

Soluo da EDP da CordaVibrante

Resolver a EDP com

Condies de Contorno e Condies de Iniciais

Subdividimos em 4 etapas.

1. Usar variveis separveis

e determinar duasEDOs de 2 ordem, uma para F(x) eoutra para G(t);

2. Aplicar Condies de Contornopara encontrar as solues

onde

;

3. Aplicamos o princpio dalinearidade para ter uma soluogeral:

e



;

4. Aplicar as condies iniciais paradeterminar os coeficientes da soluoparticular da EDP:

e

.

Etapa 1 - Usar variveisseparveis

Fazendo e

calculamos as derivadas parciais:

e

.

Substituindo estas derivadas na EDP

obtemos:

,

e separando as variveis:



.

Se uma funo de t igual a outra

funo de x, necessariamente, estas

funes so iguais a uma constante,

portanto

.

O que d origem a duas EDOs

e

Etapa 2 -Aplicar condies decontorno da EDP

Condies de Contorno

1 - Sendo , as Condies deContorno para F(x) e G(t) so F(0)=0 eF(L)=0, porque

usamos G(t)0, pois em caso contrrio, G(t)=0 que acarreta u=0 que no nos



interessa

2 Mostrar que so solues

da EDO , ode e n=1,2...

3 Mostrar que

so solues da EDO , onde

, Bn e Bn* so constantes

arbitrrias.

4 - Dando origem a soluo

, paran=1, 2, ...

Soluo da EDO , sabendo queF(0)=0 e F(L)=0.

Dividimos o problema em casos, de acordocom o sinal de k e aplicamos F(0)=0 e

F(L)=0:

Se k=0 ento F(x)=ax+b e pelas condiesde contorno a=b=0.

Se k>0 ento fazendo k =u2 a soluo geral



e pelas condies de contornoA=B=0.

Se k



fazendo

temos

a soluo desta EDO

,

Etapa 4 Aplicar as Condies Iniciais

Calculemos , aplicando a condio inicial

u(x,0)=f(x) a temos

,

Como a expanso mpar de



meio perodo de , tem-se

Calculemos , aplicando a condio inicialut(x,0)=g(x) a

;

como a expanso mpar

de meio perodo de , tem-se

Soluo da EDP da Corda Vibrante comVelocidade Inicial Nula

Resolver a EDP com CC

.

onde ,



e CI

Com estas Condies de Contorno, a soluo

geral

Com estas Condies Iniciais tem-se Bn*=0,

pois

Portanto a soluo particular

, com

.

Usando a frmula

obtemos

substituindo em u(x,t) , tem-se

.

Seja f* a expanso mpar de meio perodo de f,

ento com

..

Podemos reformular u(x,t) em termos de

.

Que a semi-soma de duas ondas que se

.

f* ,



deslocam, uma para esquerda e a outra para adireita.

Soluo da EDP da Propagao do Calor

Resolver a EDP com Condies de

contorno e Condies de iniciais

Subdividimos a soluo em 4 etapas.

1 - Usar variveis separveis edeterminar duas EDOs, uma para F(x) e outra paraG(t);

2 - Aplicar Condies de Contorno para encontrar

as solues

onde

3 Aplicamos o princpio da linearidade para teruma soluo geral

,

onde .

,

, e .



4 - Aplicar as Condies Iniciais para determinar

os coeficientes da soluoparticular.

Resumindo a soluo ,

com e

Etapa 1 EDP Calor usando variveisseparveis

Fazendo temos

,

.

Substituindo na EDP obtemos

, e separando as variveis:

.

Se uma funo de t igual a outra funo dex, necessariamente, estas funes so iguais auma constante,



.

O que d origem a duas EDOs

Etapa 2 EDP calor - AplicarCondies de Contorno

Condies de Contorno

1 - Sendo , as Condies deContorno para F(x) e G(t) so F(0)=0 eF(L)=0, porque

usamos G(t) 0, pois em caso contrrio, G(t) = 0 que acarreta u = 0 que no nosinteressa

2 Mostrar que n=1, 2,... so

solues da EDO , onde ;

3 Mostrar que so solues

.



da EDO ,

onde Bn uma constante

arbitrria.

4 - Dando origem as solues

, paran=1, 2, ...

Etapa 4 EDP - Calor Aplicar asCondies Iniciais

Calculemos aplicando a CI

Como a expanso mpar

de meio perodo de , tem-se

.

e



Soluo de DAlembert para a EDPCorda Vibrante

Resolver a EDP com as

CC e CI

1 - Mudar as variveis fazendo x+ct=v

e x-ct=z. Obtendo a EDP

e encontrar as solues:

e

2 - Aplicar as CI a

para encontrar

,

onde

.

3 - Aplicar as CC e as CI para mostrarque f e g so funes mpares e G par.

4 - Aplicar as CC e as CI para mostrar

que f, g e G so peridicas comperodo 2L.

5 - Mostrar que



onde .

6 - Exemplos

Etapa 1 - Mudar as variveisfazendo x+ct=v e x-ct=z na EDP

Aplicar a regra da cadeia para calcular

e em funo de v e z:

1 Mostrar que

2 Mostrar que

3 Substituir e na EDP emostrar que a EDP transformada

4 - Encontrar as solues:

e



Etapa 11 - Mostrar que

Regra da Cadeia: Sejam u(t,x), x(v,z),

t(v,z) e u(v,z) ento .

Sendo x+ct=v e x-ct=z, temos

e ,

Aplicando a regra da Cadeia

reaplicar a regra da Cadeia a obtendo

,

,

.

Devido ao Teorema de Mudana deOrdem em Integrais Parciais temos



Etapa 12 - Mostrar que

Regra da Cadeia: Sejam u(t,x), x(v,z),

t(v,z) e u(v,z) ento .

Sendo x+ct=v e x-ct=z, temos

e ,

Aplicando a regra da Cadeia

reaplicar a regra da Cadeia a obtendo

,

,

.

Devido ao Teorema de Mudana deOrdem em Integrais Parciais temos



Etapa 13 - Substituir e

na EDP

J vimos que

e

,

substituindo na EDP

obtemos:

como c0 temos:

,



.

Resumindo a EDP transformada,isto , nas variveis v e z

.

Etapa 14 - Encontrar as Solues

da EDP com x+ct=v e x-

ct=z

Em Exemplos de Solues de EDPs

v-se que a soluo de uxy=0

u(x,y)= f(y)+ g(y).

Neste caso dizemos que a soluo de

.



Substituindo v = x+ct e xz = x-

ct=z em temos

Etapa 2 - Aplicar as CI a

Calculando temos

.

Aplicando as CI temos

derivando f(x) obtemos

Resolvendo o sistema linear para

determinar

.



encontramos e

Integrando obtemos

e

Podendo ser reescrito

,

onde

.

Etapa 3 - Mostrar que as funes f , e g so mpares e G par

Vimos na Etapa 2 que

e

derivando em relao a t temos

.

Aplicando as Condies Iniciais temos

(1)

e



(2)

Aplicando as Condies de Contorno temos

(3)

e

(4)

Usando (1) e (3) podemos montar o sistema

e

, (5)

cuja soluo . Portanto f mpar pois .

Usando (2) e a derivada de (5) montamos o

sistema

e

,

cuja soluo . Portanto g mpar pois .

E como g mpar ento par

Etapa 4 - Aplicar as CC e as CI paramostrar que f, g e G so peridicas

Vimos na Etapa 2 que



e derivando em relao a t temos

.

Aplicando as Condies de Contorno temos

(3)

e

(4)


e

,

cuja soluo , fazendo -

L-ct=x tem-se .


e

,

cuja soluo , fazendo -

L+ct=x tem-se .

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