Edifici (esistenti) in muratura
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Edifici (esistenti) in muratura
Luca Salvatori
CORSO DI AGGIORNAMENTO SULLE NTC 2018
Prato, 11 giugno 2018
Indice NTC 2018
§4.5 Azioni non sismiche
§7.8 Azioni sismiche
Capitolo 8 Edifici esistenti
§11.10 Materiali
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Materiale Muratura
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Il “materiale” muratura
• Materiale complesso (è di per sé una struttura)
• Non omogeneo
• Non isotropo
• Non isoresistente
• Non lineare
• Affetto da grandi incertezze:
• Sul modello
• Sui parametri meccanici
• Sui dettagli strutturali
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Microstruttura Acciaio
Microstruttura cls
10 cm
2 mm
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Microstruttura muratura
Il comportamento dipende dalla tessitura muraria
Spanish bond English bond
Gothic bond herringbone bond Flemish bond
running bond
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Anisotropia e anisoresistenza
Esempio: resistenza a trazione orizzontale
rottura blocchi
2
bt
t
ff
b
a
0 0rottura blocchi 2 vt
b ff
a
0
Crisi per rottura a trazione dei blocchi
Crisi per scorrimento lungo i letti di malta
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Resistenza a compressione di muratura, blocchi e malta
Sperimentalmente si osserva che la resistenza a compressione della muratura è inferiore a quella dei blocchi ma superiore a quella della malta.
Inoltre il comportamento della malta è duttile mentre quello dei blocchi è fragile.
È dunque chiaro che l’interazione fra i due materiali è fondamentale.
Quadro fessurativo nella rottura per schiacciamento sotto carichi verticali
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Tensioni orizzontali dovute ai carichi verticali
1) Poiché la malta ha una deformabilità maggiore di quella dei blocchi, se fosse libera di scorrere su questi tenderebbe ad avere deformazioni orizzontali maggiori per effetto del minore modulo elastico e del diverso coefficiente di Poisson.
2) Tali deformazioni sono impedite dall’attrito fra malta e blocchi che si manifesta con tensioni tangenziali che ripristinano la congruenza fra i due materiali.
3) Tali tensioni tangenziali risultano in tensioni orizzontali di compressione sulla malta e di trazione sui blocchi.
blocco
malta
cb cm
tb
2tensione di
confinamento
Risposta elastica e rottura dei blocchi
Criterio di rottura dei blocchi (Mohr‐Coulomb) 1cb tb
cb tbf f
dove è pressione di confinamento della malta
compressione
trazione nei blocchi (compressione nella malta)
Equilibrio verticale
2 0tb b mt t
cb cm
cb cm
2tb
Rottura
2Equilibrio orizzontale 2tb
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Teoria basata sull’analisi elastica (Haller, 1959)
Imponendo congruenza ed equilibrio fra blocchi e malta e considerando un dominio di rottura alla Coulomb per il mattone si ottiene la seguente relazione fra resistenza della muratura e resistenza dei blocchi
1
11
c cbm b
m
f f
cb
m
b
cb tb
b m
b m
f
f f
t t
E E
resistenza a compressione dei blocchicoefficiente di Poisson dei blocchicoefficiente di Poisson della maltarapporto fra resistenza a compressione e a trazione dei blocchirapporto fra spessore dei blocchi e della maltarapporto fra modulo elastico dei blocchi e della malta
La resistenza a compressione aumenta con lo spessore relativo dei blocchi rispetto ai giunti α
blocco tb
malta tm
tb
22 0tb b mt t
Equilibrio orizzontale
2tb
2
tb
b mt t
tensione di trazione nei blocchitensione di compressione (confinamento) della maltarapporto fra spessore dei blocchi e della malta
Più spessi sono i giunti rispetto ai blocchi (minore è α) emaggiore è la tensione trasversale che nasce nei blocchi
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Diminuzione della resistenza a compressione all’aumentare dello spessore dei giunti
Non troppo sottili! (4.5.2.3)
L’uso di giunti di malta sottili (spessore compreso tra 0.5 mm e 3 mm) e/o di giunti
verticali a secco va limitato ad edifici con numero di piani fuori terra non superiore a
quanto specificato al §7.8.1.2 ed altezza interpiano massima di 3.5 m.
7.8.1.2
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Criterio di plasticizzazione della malta
Criterio di rottura della malta (Mohr‐Coulomb)
24.1 1cm
cm cmf f
compressione
compressione nella malta
2 0tb b mt t
cm
2
Equilibrio orizzontale
2tb
compressione
trazione nei blocchi
Equilibrio verticale
cb cm
tb
diverse curve al variare di α
Teorie basate sulle resistenze pluriassialidi mattoni e malta (Hilsdorf, 1969)
Criterio di rottura dei blocchi 1cb tb
cb tbf f
Criterio di plasticizzazione della malta 24.1 1cm
cm cmf f
dove è pressione di confinamento della malta
compressione
trazione nei blocchi (compressione nella malta)
Equilibrio verticale
2 0tb b mt t
cb cm
cb cm
2tb
Rottura
2Equilibrio orizzontale 2tb
La teoria di Haller non tiene conto della rottura della malta
percorso effettivo
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Resistenza a compressione in funzione dei domini pluriassiali di blocchi e malta
Malte per muratura (11.10.2)
NUOVA DENOMINAZIONE DELLE MALTE RISPETTO AL DM’87 INVARIATO RISPETTO AD NTC 2008
(5.0 MPa in zona sismica)
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Malte a composizione prescritta(11.10.2.2)
Prove di accettazione (11.10.1.1)
?!
NTC 2008 richiedeva almeno 3 elementi con
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Resistenza a compressione (11.10.3.1)
INVARIATO RISPETTO AL DM’87
Resistenza a compressione in funzione della resistenza dei blocchi e della malta
1. Determinazione sperimentale => UNI EN 1052‐1:20012. Stima dalle proprietà dei costituenti
Elementi naturali
INVARIATO RISPETTO AL DM’87
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Stima della resistenza a taglio (coesione)
Rispetto NTC 2008:• separa il silicato di calcio dal cls• rimuove dipendenza da fbk• valore minimo 0.15 contro 0.10 MPa
Resistenza a taglio (11.10.3.3)
NTC 2008:
bloccchi in calcestruzzo autoclavato
giunti verticali non riempiti
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Resistenze di progetto (4.5.6.1)
Coefficienti parziali di sicurezza
NEL DM’87 VALEVA 3.0
Dipende dalla categoria degli elementi resistenti, dal tipo di malta e dalla classe di esecuzione
Classe di esecuzione
Classe 1 Classe 2
disponibilità di specifico personale qualificato e con esperienza, dipendente dell’impresa esecutrice, per la supervisione del lavoro (capocantiere)
X X
disponibilità di specifico personale qualificato e con esperienza, indipendente dall’impresa esecutrice, per il controllo ispettivo del lavoro (direttore dei lavori)
X X
controllo e valutazione in loco delle proprietà della malta e del calcestruzzo X
dosaggio dei componenti della malta “a volume” con l’uso di opportuni contenitori di misura e controllo delle operazioni di miscelazione o uso di malta premiscelata certificata dal produttore
X
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In presenza di azioni sismiche (7.8.1.1)
I coefficienti parziali di sicurezza per la resistenza del materiale forniti nelCapitolo 4 possono essere ridotti del 20% e comunque fino ad un valore non inferiore a 2.
Nelle NTC 2008 era 2.0
2.0 2.0
2.0 2.16
2.0 2.4
A. W. Hendry (1986, 1997)
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Resistenza e stabilità fuori dal piano
Rottura per perdita della stabilità
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Effetti del secondo ordine in presenza di non resistenza a trazione
4.5.4 Organizzazione strutturale«L’edificio a muratura portante deve essere concepito come una struttura tridimensionale. I sistemi resistenti di pareti di muratura, gli orizzontamenti e le fondazioni devono essere collegati tra di loro in modo da resistere alle azioni verticali ed orizzontali. […]
Ai fini di un adeguato comportamento statico e dinamico dell’edificio, tutti le pareti devono assolvere, per quanto possibile, sia la funzione portante sia la funzione di controventamento. […]
Gli orizzontamenti sono generalmente solai piani, o con falde inclinate in copertura, che devono assicurare, per resistenza e rigidezza, la ripartizione delle azioni orizzontali fra i muri di controventamento. […].»
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Regole dell’arte
Snellezza convenzionale (4.5.6.2)
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Lunghezza di libera inflessione
Coefficiente di vincolo
1 1.5 h a
2
1
1 h a
h a
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Coefficiente di eccentricità
Eccentricità dei carichi verticali
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Eccentricità dei carichi verticali
1 2s s s
Me e e
P
1 11
1 2s
Pde
P P
2 21
1 2s
P de
P P
Contributo delle pareti superiori
Contributo dei solai
Tolleranza di esecuzione
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Eccentricità dovuta alle azioni orizzontali
Effetti dei carichi orizzontali
vv
Me
P
vM
È consentito uno schema statico semplicemente appoggiato su ciascun interpiano
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Combinazioni di carico
1 s ae e e
12 2 v
ee e
Per le verifiche delle sezioni in corrispondenza degli impalcati
Per le verifiche delle sezioni a metà interpiano
In ogni caso deve risultare: 1 0.33e t
2 0.33e t
1Pe
1
2
eP v vPe M
1eP
12 2 v
ePe P e
Coefficiente di riduzione della resistenza
d t dP f tl
È una verifica a presso‐flessione e stabilità
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Due aggiunte…
4.5.8. MURATURA CONFINATALa muratura confinata è una muratura costituita da elementi resistenti artificiali pieni e semipieni, dotata di elementi di confinamento in calcestruzzo armato o muratura armata. Il progetto della muratura confinata può essere svolto applicando integralmente quanto previsto negli Eurocodici strutturali ed in particolare nelle norme della serie UNI EN 1996 e UNI EN 1998 con le relative appendici nazionali.
Due aggiunte…
4.5.12. PROGETTAZIONE INTEGRATA DA PROVE E VERIFICA MEDIANTEPROVELa resistenza e la funzionalità di strutture e elementi strutturali può esseremisurata attraverso prove su campioni di adeguata numerosità.
I risultati delle prove eseguite su opportuni campioni devono essere trattati con imetodi dell’analisi statistica, in modo tale da ricavare parametri significativi qualimedia, deviazione standard e fattore di asimmetria della distribuzione, sì dacaratterizzare adeguatamente un modello probabilistico descrittore dellequantità indagate (variabili aleatorie).
Indicazioni più dettagliate al riguardo e metodi operativi completi per laprogettazione integrata da prove possono essere reperiti nella Appendice Ddella UNI EN 1990:2006.
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Anasisi sismica
Metodi di analisi previsti dalle NTC 2018
Statica Lineare Dinamica Lineare
Statica NonlineareDinamica Nonlineare
verifiche in termini di resistenza
verifiche in termini di
spostamento
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V
d
Vmax
V1
V
d
Vmax
0.7 Vmax
V1
Vy
0.8 Vmax
dC
Rapporto di sovraresistenzaαu/α1 ≈ Vy/V1
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V
d
V1
Vy
VDe
dD = dDe per T1 > TC dC
Rapporto di sovraresistenzaαu/α1 ≈ Vy/V1
Fattore di comportamento sulla bilineareq* = VDe/Vy
Fattore di comportamentoq = q* αu/α1
dy
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
5
spostamento [m]
taglio
alla
base
[N]
elasticoplastico (T
max = 6 kN)
plastico (Tmax
= 46 kN)
plastico (Tmax
= 99 kN)
umax = 2.03 cm
umax = 1.78 cm
umax = 2.39 cm
umax = 1.97 cm
Lo spostamento massimo si mantiene circa costante
Differenti valori del taglio ultimo
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δ
F
δu
Re
δ1
R1
q = μ
δ
F
δe
Re
δ1
R1
δu
1 1C
Tq
T
μ = δu/δ1
q = Re/R1
Relazione fra fattore di struttura e duttilità
Duttilità
Fattore di comportamento
per T ≥ TC per T < TC
Analisi statica (e dinamica) lineare1) Applicazione delle forze sismiche
(considerando il fattore di struttura)
2) Calcolo delle sollecitazioni(con combinazione modale per l’analisi dinamica)
3) Verifiche di resistenza (a taglio e pressoflessione) di ogni maschio e fascia (j)
ei i
e
i
S TF W g
S T
q
q
W g
forze di piano
spettro di risposta elastico in accelerazione
massa di piano
fattore di struttura (2.975 per muratura ordinaria apiù piani (era 3.6!))
, ,
,
,
12 0.85
j u j vd j
j u jd j
V V tl f
jPl PM M
tlf
La verifica è un confronto fra forze generalizzate
Sollecitazioni (Domanda) ≤ Resistenze (Capacità)
• La domanda dipende dal periodo e dunque dalle rigidezze• La capacità dipende dalle resistenze dei singoli elementi
F3
F2
F1
F4
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Fattore di comportamento (già fattore di struttura)
q0 NTC 2008 NTC 2018
Costruzioni di muratura ordinaria 2.0 1.75
Costruzioni di muratura armata 2.5 2.5
Costruzioni di muratura armata con progettazione in capacità 3.0 3.0
Costruzionmi di muratura confinata ‐ 2.0
Costruzioni di muratura confinata con progettazione in capacità ‐ 3.0
q = q* αu/α1
αu/α1 NTC 2008 NTC 2018
Costruzioni di muratura ordinaria1.41.8
1.7
Costruzioni di muratura armata1.1.31.5
1.5
Costruzioni di muratura armata progettate con la progettazione in
capacità1.3 1.3
Costruzioni di muratura confinata ‐ 1.6
Costruzioni di muratura confinata progettate con la progettazione in
capacità‐ 1.3
Stima del periodo
d = spostamento in metri del punto più alto dell’edificio prodotto dall’applicazione dei carichi verticali in combinazione sismica applicati in direzione orizzontale
Nelle NTC 2008 non serviva un modello strutturale
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Stati limite nel piano
Effetti della variazione dello sforzo normale sulla resistenza a taglio
0
100
200
300
400
500
600
0 500 1000 1500 2000 2500
Tagl
io re
siste
nte
(kN)
Compressione assiale (kN)
Pressoflessione Fess. Diagonale
Esclusi i casi di pareti vicine alla crisi per carichi verticali tutte le altre pareti beneficiano dello sforzo normale
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Duttilità e limiti di spostamento
• Comportamento duttile• Maggiore conservazione della rigidezza• Ridotta dissipazione energetica
• Rapida riduzione della resistenza (softening)
• Comportamento poco duttile• Riduzione della rigidezza (danno)• Forte dissipazione (isteresi)
CRISI PER PRESSOFLESSIONE CRISI PER TAGLIO‐TRAZIONE
Capacità di spostamento
2008 2018
ordinariaSLD armata
confinata
0.3%0.4%‐
0.2% 0.3%0.25%
SLV ordinaria tagliopressoflessione
armata tagliopressoflessione
confinata
0.4%0.8% (0.6% esistenti)
0.6%1.2%
0.4%0.8% (?esistenti)
0.6%1.2%
SLC ordinaria tagliopressoflessione
armata tagliopressoflessione
confinata
‐
0.5%1.0%0.8%1.6%?
q* ≤ 4.0 (SLC)q* ≤ 3.0 (SLV)
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Dal capitolo 8
[…]La valutazione della sicurezza e la progettazione degli interventi sullecostruzioni esistenti potranno essere eseguite con riferimento ai soli SLU,salvo che per le costruzioni in classe d’uso IV, per le quali sonorichieste anche le verifiche agli SLE specificate al § 7.3.6; inquest’ultimo caso potranno essere adottati livelli prestazionali ridotti.[…]
Analisi statica nonlineare (1/3) determinazione della capacità
1) Distribuzione di forze staticheα F3
α F2
α F1
α F4d
2) Analisi pushover per la costruzione della curva di capacità
α
d
moltiplicatore dei carichi
Spostamento del punto di controllo(baricentro ultimo piano)
F = αΣ iFi
d
Fmax 0.8 Fmax
du = dC
3) Determinazione della capacità di spostamento dC della struttura
• Il ramo decrescente della curva di capacità è determinato dal «fuori uso» dei singoli pannelli murari
• La capacità di spostamento corrisponde ad una riduzione di resistenza del 20%
• Secondo le NTC’08 la capacità di spostamento δ del singolo pannello dipende solo dall’altezza h e dalla modalità di rottura ,
0.004 per rottura a taglio
0.008 per rottura a pressoflessioneu pannello
h
h
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Distribuzioni di forze di inerzia
Gruppo 1 ‐ Distribuzioni principali:• se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione
di massa non inferiore al 75% si applica una delle due distribuzioni seguenti:• distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2, utilizzando come
seconda distribuzione la a) del Gruppo 2,• distribuzione corrispondente a un andamento di accelerazioni proporzionale alla
forma del modo fondamentale di vibrare nella direzione considerata;• in tutti i casi può essere utilizzata la distribuzione corrispondente all’andamento delle
forze di piano agenti su ciascun orizzontamento calcolate in un’analisi dinamica lineare, includendo nella direzione considerata un numero di modi con partecipazione di massa complessiva non inferiore allo 85%. L’utilizzo di questa distribuzione è obbligatorio se il periodo fondamentale della struttura è superiore a 1,3 TC .
Gruppo 2 ‐ Distribuzioni secondarie:a) distribuzione di forze, desunta da un andamento uniforme di accelerazioni lungo
l’altezza della costruzione;b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo
in funzione della plasticizzazione della struttura;c) distribuzione multimodale, considerando almeno sei modi significativi.
+ COMBINAZIONE NELLE DUE DIREZIONI IN PIANTA 100% +/‐ 30%
5) Definizione dell’oscillatore SDOF equivalentefattore di
partecipazione modale
* dd
* FF
periodo dell’oscillatore equivalente
Analisi statica nonlineare (2/3)determinazione della domanda
4) Costruzione della bilineare equivalente maxF
ud
F
d
max0.7F
1
k
yF
Caratterizzata da tre parametri:• k Rigidezza• Fy Resistenza• du Capacità di spostamento
6) Determinazione della domanda di spostamento dD = Γd*max
spettro di risposta elastico in
spostamento
*
*
* *
* * *max
* * **
1 1con e
y
De C
S TC
De C F m
S T T T
d q T TS T T T q
q
𝑆 𝑇∗
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Analisi statica nonlineare (3/3)verifica
La verifica è un confronto fra spostamenti
Spostamento di Domanda (dallo spettro) ≤ Spostamento di capacità (dalla curva di capacità)
• La domanda dipende dal periodo e dunque dalle rigidezze e per periodi bassi anche dalle resistenze (tramite q*)• La capacità dipende dalla capacità di spostamento della struttura e dunque da quella dei singoli pannelli
*
*
* *
* * *max
* * **
1 1con e
y
De C
S TC
De C F m
S T T T
d q T TS T T T q
q
Esempio: edificio ad un piano
h
2D
L
t
q
• Struttura elementare• (nonostante sia) incapace di
ridistribuire le azioni
20
0
20 0
0.1 N/mm
1 78.5 kN
1 28.5 kN0.85
T tu
t
M u tu
qDh
t
tlfV
b f
M tlV
h h f
2
min , 28.5 kN
0.8%
24 mm
1 1 131.6 kN/mm
2 2 1.2 11
0.3
1.8 mm
T Mu u u
u
u u
fessurato e
ue
fessurato
V V V
d h
GAK K
h G hE l
Vd
K
2 3 2 2
2 *0
3 m 3 m 0.2 m 4 m
4 kN/m 18 kN/m 1200 N/mm 2.4 N/mm
0.06 N/mm 0.302 sC
l h t D
q E f
T
rottura a pressoflessione
Duttilità 13.3u
e
d
d
1 2 0.100 sfessurato
MT
K
Fattore di struttura• stimato dalla duttilità
1
12 15.03
C
C
T Tq
T T
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Sulla capacità di spostamento
• Nelle analisi nonlineari la capacità di spostamento della struttura è il parametro più importante
• Essa deriva dalla scelta del modello del singolo pannello
• L’attuale modello normativo è molto rudimentale e DISCONTINUO
• Indicazioni sperimentali e analitiche suggeriscono dipendenza da:snellezza impegno a compressione
0.4% per rottura a taglio
0.8% per rottura a pressoflessioneu
u h
h l
0 cf
Dati sperimentali:dipendenza dall’impegno a compressione
[Frumento et al., 2009]
Il drift ultimo si riduce con l’impegno a compressione
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L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10
Lateral load
[kN
]
Lateral displacement [mm]
Experimental
DIANA calibrato
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15
Lateral load
[kN
]
Lateral displacement [mm]
Experimental
DIANA calibrato
Extension of experimental campaigns by calibratednonlinear FEA
Examples of calibrations of the numerical models
Parametric analyses for variations of
• Heigth‐to‐width ratio
• Dimensionless axial force
h
c
Pp
t f
L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Dependence of θu on λ and p
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
θu[‐]
λ [‐]
Influenza della snellezza sul "drift" ultimo
p/fc = 0,10
p/fc = 0,20
p/fc = 0,30
p/fc = 0,40
p/fc = 0,50
p/fc = 0,60
p/fc = 0,70
p/fc = 0,80
p/fc = 0,90
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
θu[‐]
p [‐]
Influenza del livello di compressione sul "drift" ultimo
λ = 0,25
λ = 0,50
λ = 0,75
λ = 1,00
λ = 1,25
λ = 1,50
λ = 2,00
λ = 2,50
λ = 3,00
Displacement capacity
• Increases with slenderness
• Decreases with axial comrpessionRocking failure affects piers with either heigh or low compression level: all building codes neglect this effect.
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L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Effect of masonry type
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
θu[‐]
λ [‐]
Influenza della snellezza sul "drift"ultimo ‐ p = 0,5
HQ
MQ
LQ
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
θu[‐]
p [‐]
Influenza del livello di compressione sul "drift" ultimo λ=0,25
HQ
MQ
LQ
Bricks
HQ historical masonry (good quality)MQ historical masonry (average quality)LQ historical masonry (low quality)New bBrick masonry
L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Fit of numerical results through parametric heuristicformula
0,100,15
0,200,30
0,400,50
0,600,70
0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
0.250.50
0.751.00
1.251.50
p/fc [‐]
u [‐]
[‐]
0,10,15
0,20,3
0,40,5
0,60,7
0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
0.250.5
0.7511.25
1.5
p/fc [‐]
u [‐]
[‐]
Material a1 a2 a3HQ 0.0030 0.0025 0.425
MQ 0,0024 0.0018 0.420
LQ 0.0026 0.0016 0.390
Bricks 0.0007 0.0007 1.220
a1, a2, a3 obtained for each material bynonlinear minimization on the relative error
3
1 2,u a
a ap
p
numerical data
heuristic approximation
22/06/2018
40
L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Analytic approach for rocking failure
Hp:• Pier cross‐sections keep planarity during deformation• No tensile strength• Limited compressive strength• Failure at ultimate compressive strain• Elastic shear compliance
zze
ue-
cf-
zzs
ee-
( )22 1 1 .
3 5e e u
u e u u u
u u
m m mm m
m m
zq e l k a a a
l
ì üé ùæ öæ öï ïï ï÷ ÷ç çï ïê ú÷ ÷ç ç= + - - - + +í ý÷ ÷ê úç ç÷ ÷ï ï÷ ÷ç çè øè øê úï ïë ûï ïî þ
( ) ( )( ) ( )( )( )
*2
*
13 1 1 , if 0 ,
3 2 1,
1 3 2 1 2 1 2 1, if 1.
1
u
p p p p
m pp p p p
p p
ee
e e
e
mm
m m
m
ì æ öæ öï ÷ï ç ÷ç ÷÷ï ç ç ÷÷çï ç ÷- + £ £÷çï ç ÷÷çï ç ÷÷ç ÷ï ç ÷- ÷ç ÷çï è øè ø= íïï - - - - - - -ïïï < £ïï -ïî
( )1
, if 0 ,2,
11 , if 1.
2
e
p pm p
p pem
ìïï £ £ïïï= íïï - < £ïïïî
*
11
2p
em= -
: E Gz = 0.05 0.2 0.15pa » + »( ) ( )( )*
*
2 1, if 0 ,
4,
1 2 1, if 1,
2
u
p pp
pp p p
p p
e
ee e
m
k mm m
ìï -ï £ £ïïïï= íï - + - - -ïï < £ïïïî
L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Summary of the anyitical results
Two static schemes with the same effective slenderness shall fail at the same ultimate drift
effueff
e
h
le
em l
e= =
( ),u e eff e
f pq e l m=
22/06/2018
41
L. Salvatori, M. Orlando, P. Spinelli Some issues with equivalent‐frame modelling of unreinforced masonry walls
Analitic results(in agreement with numerical analyses)
Drift ultimo in funzione dell’impegno a compressione (per varie snellezze)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03 = 0.75
p/fc
u
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03 = 1
p/fc
u
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03 = 1.25
p/fc
u
PORNTCECFEMAnumerical simulationsproposed formulation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
P/Pu
Vu/P
u
ribaltamento
pressoflessionescorrimento
fessurazione diagonaleResistenza in funzione dell’impegno a compressione
22/06/2018
42
Drift ultimo in funzione della snellezza per differenti valori di compressione
Per bassi valori dellacompressione (crisi perribaltamento) le Normesottostimano largamentela capacità di spostamento
Per elevati valori dellacompressione (crisi perschiacciamento) le Normesovrastimano (a sfavore disicurezza) la capacità dispostamento
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.750
0.01
0.02
0.03
0.04 = 0.1
u
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.750
0.005
0.01
0.015
0.02 = 0.3
u
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.750
0.0025
0.005
0.0075
0.01 = 0.7
u