e.d.de Primer Orden 2016
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U.A.G.R.M. ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. Eudal Avendaño
1
Unidad Nº 2
Clasificación De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias De Primer Orden
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tiene la forma
0)y' y, f(x, =
Donde:
x es la variable independiente
y es la variable desconocida (función)
y’ la derivada de primer orden se pueden expresar de la siguiente manera:
Notación Standard
),(' yxfy =
Notación diferencial
0 ),( ),( =+ dyyxNdxyxM
Las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden clasificar de acuerdo a la expresión que
tengan en:
Ecuaciones de variables separables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones lineales
Ecuación de Bernoulli.
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2
Ecuaciones Diferenciales De Variable Separable
y)f(x, 'y =
y) f(x, en (y) f , (x)f 2 1
:
1.
2.
Solución Particular
cdyyyy
dxxxx
=+ ∫∫ )()(0
1
0
1 ψϕ
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Ejemplo:
Hallar la solución de las ecuaciones diferenciales variable separable.
1. ( ) 02 =+− xdydxyyx 2. 0cos2 =+ dyx
yxsenydx
3.
−
=
+
+22
' yxsenyxseny 4.- 03 532 =+ +− dxedye yxyx
5.- 022 =+− dydxxyx
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Separables
)f( y' cbyax ++=
Se realiza una sustitución en c)by(ax ++ :
Ejemplo:
1. 2343' )yx (y ++= 2. 82)32(3' 2 +−++−= yxyxy 3.- )32(' yxseny −=
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Ecuaciones Diferencial Homogénea
Generalidades:
Para el estudio de las ED homogéneas es necesario conocer la definición de función homogénea y
las características y propiedades principales.
Definición Función Homogénea:
Se dice que la función f(x,y) es homogénea de grado n para todo λ > 0 si cumple con la siguiente
igualdad.
Ejemplo:
Para las siguientes funciones determinar si son homogéneas y cual es el grado de la función
homogénea.
1.
( )( )
yxf
yxyyxf,
222 )3(, +−= λλλλ
La función es: Homogénea de grado 2
2.
( )
−−= 2
6223 532,
yxyxxyxf λλλλ
La función es: No es homogénea
( ) ( ) Rnyxfyxf n ελλλλ 0:,, >∀=
( ) 22 3, yxyxyxf +−=
( ) ( )( ) yxyxyxf
yyxxyxf2222
22
3,)()()(3,
λλλλλ
λλλλλλ
+−=
+−=
( ) 2
622222 532,
yxyxxyxf λλλλλλ −−=
( ) 2
622222 532,
yxyxyxyxf λλλλλ −−=
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5
3.
( )
−+
=yxyxsenyxf λλ ,
La función es: Homogénea de grado cero
Definición de la ecuación diferencia homogénea
Se define ecuación diferencial Homogénea de primer orden a la ecuación
y)f(x, y'=
si ),( yxf es una función homogénea de grado cero.
Entonces es equivalente a escribir esta ecuación en forma de ecuación diferencial
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
Donde:
• M y N son de variable x , y
• Las funciones M y N son homogéneas del mismo grado.
Si no son del miso grado es difícil sacar la solución.
( )
−+
=yxyxsenyxf ,
( )
( )
−+
=
−+
=
)()(
,
,
yxyxsenyxf
yxyxsenyxf
λλ
λλ
λλλλ
λλ
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Solución de las ecuaciones diferencial homogénea de primer orden
Para resolver una ED. Homogénea necesariamente se utiliza una sustitución (cambio de variable) de
tal manera que la ecuación diferencial homogénea se transforme en una ED. De variable separables.
Primer método:
Si y’ = f (x,y) EDH (ED. Homogénea)
Si es de grado cero:
Realizar la sustitución
=
xygy'
tdxdtx
dxdy
xyttxy
+=
=⇒=
Reemplazando en la ecuación diferencial
xdx
ttgdt
dxttgxdt
ttgdxdtx
tgtdxdtx
=−
−=
−=
=+
)(
))((
)(
)(
cx
dxttg
dt=−
−∫ ∫)(
Una vez resulta la integral se debe volver a las variable x,y
[ ] 1=nx
( )
=
xygyxf ,
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Segundo método :
Si la función f (x,y) es también de grado cero pero tiene la formula entonces se debe realizar la
sustitución.
Sustitución:
t
dtdyy
dydx
yxttyx
+=
=⇒=
=
=
=
yxgdy
dx
dx
yxg
dyyxg
dxdy
1
Reemplazar la sustitución
cy
dytgt
dttg=−
− ∫∫ )(1)(
=
yxgy'
ydy
ttg
dt
dyttg
dty
ttgdy
dty
tgt
dydty
=−
−=
−=
=+
)(1
)(1
)(1
)(1
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Ejemplo.
Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial
1.
2.
3. 011 =
−+
+ dy
yxedxe y
xyx
para : 1)1( =y
Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas
La ecuación homogénea de la forma
)('22
111 Icybxacybxafy
a
++++
=
Es posible reducir a la forma homogénea de grado
+=
xysen
xyy'
22' yxyxy ++=
𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎
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Significa que las funciones en forma diferencial su representación es una línea que no pasa por el
origen.
Geométricamente resulta que la función lineal 𝒈𝒈(𝒂𝒂,𝒃𝒃) = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 será homogénea de grado 1
si y solo si esta función es igual a cero esto quiere decir que pasa por el origen.
Desde el punto de vista de su estructura algebraica la funciona g(x,y) si c = 0 será homogénea.
En la ecuación diferencial la solución de esta ED es considerar el comportamiento de las 2 rectas.
L1: a1x + b1y + c1 = 0 L2: a2x + b2y + c2 = 0
TIPO I
Si la recta L1 y L2 no se interceptan y son paralelas esto quiere decir que sus pendiente son iguales
entonces se realiza una sustitución en la ecuación parecida a una ecuación de variables separables.
𝑳𝑳𝟏𝟏
𝑳𝑳𝟐𝟐
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Ejemplo:
Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial ) dy yx- ()dx y - (x 026312 =++
TIPO II
Si la recta L1 y L2 se interceptan en un punto p(x0, y0)
Entonces para resolver la ecuación diferencial o transformar a homogénea se debe hacer la siguiente
sustitución:
dvdyvyydudxuxx
o
o
=⇒+==⇒+=
EJEMPLO.
1.- ( ) ( ) 0133 =+−++− ydyxdxyx
2.-
1)3( 0)52()1134( ==−++−+ yparadyyxdxyx
𝑳𝑳𝟏𝟏
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝑷𝑷(𝒂𝒂𝒐𝒐,𝒃𝒃𝒐𝒐)
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Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden
La ecuación diferencial de primer orden se define cuando la derivada es de primer orden y una de las
variables es de primer grado esto hace que sea ecuación diferencial Lineal y tiene las siguientes
formas.
1. si la ecuación diferencial lineal tiene la forma
)()( xQypdxdy
x =+
1º ORDEN: Por la derivada
Lineal: una de las variables es de grado 1.
Donde P(x) y Q(x) son funciones de variable x no es polinomial cualquier función y también se dice
que es lineal respecto de la variable “y” entonces su solución de esta ecuación tiene la forma.
∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxpdxxp
)()()(
2. si la ecuación diferencial lineal tiene la forma
)()( yQxyPdydx
=+
Donde P(y) y Q(y)son funciones de variable “y” la ED es lineal respeto de la variable “x”.
Entonces su solución será:
∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxpdxxp
)()()(
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DEMOSTRACIÓN
I. Hipótesis:
Son la funciones P(y) y Q(y) funciones reales de variables “x” y y= f(x) sea la función solución de la
ED.
)()( xy QxPdxdy
=+
II. tesis
Si la ecuación diferencial
)()( xy QxPdxdy
=+
Es lineal de 1º orden tiene como solución.
∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxpdxxp
)()()(
III. demostración
Por tesis tenemos que:
)()( xy QxPdxdy
=+
Si multiplicamos por ∫ dxxpe )(
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)()(
)()()(
xdxxp
yxdxxpdxxp
Qepedxdye ∫=∫+∫
Aplicando la derivada de un producto de
ydxxPedxdye
yeyedx
yed
dxxpdxxp
dxxpdxxp
dxxp
∫+∫=
∫+∫=
∫
∫ )(
)'(
)()(
)()(
)(
2º Teorema Fundamental Del Cálculo
yxPedxdye
dx
yeddxxpdxxp
dxxp
)()()(
)(
∫+∫=
∫
2 reemplazando en 1
)(
)(
)()(
)(
)(
xQeyed
xQedx
yed
dxxpdxxp
dxxp
dxxp
∫=
∫
∫=
∫
Integrado Tenemos
dxxQeyed dxxpdxxp∫∫ ∫=
∫ )()()(
∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxpdxxp
)()()(
Por analogía es posible demostrar la otra.
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Ejemplo.
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
1. 1ln2' +=+ xxyy
2. 021 - x) dy (are tag y)dxy( =++
3.- 11ln2
=−+
= )(y;xyyy
yy'
4.
5.- yxtagydxdy sec=+
3'yx
yy+
=
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Ecuación Diferencial De Bernoulli
Es una ecuación diferencial de primer orden de la forma )()( xQyxPydxdy n=+
Donde: P(X) y Q(X) son funciones reales de variable “x”. y, una función donde 10 =/=/ nyn
Solución
Consiste en transformar a una ecuación lineal de primer orden utilizando un cambio variable y
transformar a la forma:
)()( )1()1( xx QynzPndxdy
−=−+
Para demostrar la transformación de ecuación de Bernoulli reducir a ecuación lineal de 1º orden el
procedimiento es el siguiente:
I. Hipótesis
Sean las funciones P(x) y Q(x) de variable “x” y sea la función y= f(x) con derivada de 1º orden dy/dx.
II tesis
Sea la ecuación diferencial de primer orden denominada de Bernoulli: )()( nQyxPdxdy n=+
Cuyo proceso de solución se transforma en la
)()( )1()1( xx QynzPndxdz
−=−+
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III. Demostración
Según la tesis se puede demostrar la transformación de la ecuación.
)()( xn
yx QyPdxdy
=+ 1
Dividiendo a la ecuación 1 por: yn
nx
n
nyx
n yQy
yP
dxdy
y)()(1
=+
)()(1
Xxnn QPy
dxdyy =+ −
2
Multiplicando por: (1-n)a la ecuación 2
)()(1 )1()1()1( Xx
nn QnPyndxdyyn −=−+− −
3
Realizando una sustitución a cambio de variable en 3
dxdyyn
dxdz
yz
n
n
−
−
−=
=
)1(
1
Realizando el C.V en 3 tenemos:
)()1()1( )( xQnzPndxdz
x −=−+
La solución de la ecuación diferencial será:
∫ +∫=∫ cdxxQyeez dxxpdxxp )()()(
Finalmente volver a las variable iniciales x,y.
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Si la ecuación diferencial tiene la forma:
)()( xQxxPdxdz n
x =+
Para resolver se transforma a la forma:
)()1()()1( yQnzyPndydz
−=−+
La demostración por analogía es la misma
Comparación De La Ecuación De Bernoulli Con Otras Ecuaciones
Puede tomar las siguientes formas
)()( yn
zy QyPdxdy
=+
1. Si n =0 se transforma en una ecuación lineal.
2. Si n = 1 la ecuación será de variables separables
3. Si n = o y n =1 entonces la ecuación se denomina
Ejemplo:
Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial:
1. 𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦𝑥𝑥
= 2 √𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥
2. 4𝑥𝑥 𝑦𝑦′ + 3𝑦𝑦 = −𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑥𝑥4𝑦𝑦5
3. 𝑦𝑦′ + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦𝑥𝑥3+1
= 𝑦𝑦2(𝑥𝑥3 + 1) 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑥𝑥
Ecuación Diferencial Exacta
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Se define como una ecuación de la forma
( ) ( ) 0,, =+ dyNdxM YXYX
Donde M y N son funciones de dos variables
Se dice que es diferencial exacta si se cumple la siguiente igualdad.
( ) ( ) yfN
xfM YXYX ∂
∂=
∂∂
= ,, ;
Para que sea exacta
xf
yM
∂∂
=∂∂
Entonces la ecuación diferencial exacta se puede escribir como:
[ ] 0),( =yxfd
Donde la solución de esta ecuación será una función.
cyx =),(f
Para resolver esta ecuación diferencial se sigue el siguiente procedimiento.
Verificar si es exacta.
Integrar una parte de la ecuación diferencial respecto de una de las variables.
La función f(x,y) se deriva respecto e una de las variables y comprar son las funciones.
Finalmente determinar la constante y reemplazar en la función.
)(),(),( cxgdyyxNyxf += ∫
)(),(),( cygdxyxMyxf += ∫
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Ejemplo:
1 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �𝑥𝑥2
2𝑦𝑦+ 𝑥𝑥 + 1� 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0
2 (𝑙𝑙𝑠𝑠𝑦𝑦 − 5𝑦𝑦2 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠5𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �𝑥𝑥𝑦𝑦
+ 2𝑦𝑦 cos 5𝑥𝑥 𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0
3 Escriba aquí la ecuación.
Factor de integración
Sea la ecuación diferencial de la forma:
𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0
Donde M y N representan la derivada parcial de cada una de las funciones que resulta de la
Al verificar no se muestra que es una diferencial exacta entonces se determina o encontrar una
función M(x,y) que se denomina factor de integración que al multiplicar a la ecuación diferencial se
transforma en una diferencial exacta.
0=+ )dy(x,y)N(x,y y)dx(x,y) M(x, µµ
Entonces para resolver se debe verificar nuevamente si es exacta con:
[ ] [ ]xN
yM
∂∂
=∂
∂ µµ
Para determinar el factor de integración se puedo clasificar de la siguiente manera:
Caso I
Si el factor de integración es de variable “x” se determina una fusión f(x) de la siguiente manera.
NxN
yM
xf ∂∂
−∂∂
=)( ⇒ ∫=
dxxfe
)(µ
[ ] 0),( =yxfd
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Caso II
Cuando el factor de integración tiene una función de única variable “y” se determinar de la siguiente
manera:
MxN
yM
yf−
∂∂
−∂∂
=)( ⇒ ∫=
dyyfe
)(µ
Caso III
Si la ecuación diferencial
0≠+ N(x,y)dyM(x,y)dx
Y es homogénea entonces el factor de integración se determina de la siguiente manera:
yNxM +=
1µ
Caso IV
Si la suma de las derivadas parciales es igual a cero a demás una de las parciales diferentes de la
otra el factor de integración se determina de la siguiente manera:
xN
yM
∂∂
−∂∂
=1µ
xN
yM
xNy
yMx
∂∂
=/∂∂
=∂∂
+∂∂ ;0
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Caso V
Si ningunos de los anteriores casos se enmarca a la ecuación diferencial para determinar el factor de
integración se de utilizar la tabla de factor de integración que se encuentra en el libro de Murria
Siebel y Espinoza:
Ejemplo:
Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial
02 =+ y)dyxydx-(x
1ºpaso: Determinar si es exacta
2ºpaso Determinar el factor de integración
exactaesnoxN
yM
xyxNy
M
∂∂
=/∂∂
−−=∂∂
=∂∂
21
1
NxN
yM
xf ∂∂
−∂∂
=)(
)()21(1)( 2 yxx
xyxf+−−−−
=
)(22)( 2 yxx
xyxf+−+
=
)1()1(2)(
xyxxyxf+−+
=
∫=dxxf
e)(
µ
∫=− dx
xe2
µ
xe ln2−=µ
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22
2
1x
=µ
3. transformar la ecuación diferencial en el factor de integración
4. Resolver la ecuación diferencial
0)( 2 =+− dyyxxydx
2ln xe−=µ
0)(1 222 =+− dyyxx
xdx
xy
0)1(1 222 =+− dyyxx
xdx
xy
0122 =
+− dyy
xdx
xy
2),( x
yMyx
µ
2
1xx
M=
∂∂µ
+−= y
xN yx
1),(µ exactaes
xN
yM
∂∂
=∂∂ µ
2
1xy
M=
∂∂µ
∫ += cydxxyyxf 2),(
cyxyyxf +−=),(
ycxy
f '1+−=
∂∂
),( yxNyf
µ=∂∂
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23
La solución será:
+−=+
− yx
ycx
1'1
yyc −='
∫−= ydycy
cycy +−=2
2
cyxyyxf +−−=
2),(
2
cyxy
=+2
2