UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA : FÍSICA I

TRABAJO : INFORME DE LABORATORIO 1

PROFESORA : ING. KATHERINE FERNÁNDEZ LEÓN

EQUIPO DE TRABAJO :

AÑO ACADÉMICO : 2013-I

CICLO : I

GRUPO DE ESTUDIOS : B

FECHA: 24/04/2 013

CAJAMARCA – PERÚ

INTEGRANTES COEVALUACIÓNALCÁNTARA ORTIZ, DELIA ANTONIETADE LA CRUZ JULCA, BENITOGUEVARA DIAZ, ELMERORDOÑEZ SOLIS, JAIMEVÁSQUEZ FERNANDEZ, HRISTO ELMER

Laboratorio N°01 –Física I

INTRODUCCIÓN

La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y cuantitativa, es decir, en el trabajo de laboratorio se tendrá la necesidad de medir magnitudes físicas disponiendo así de datos experimentales. Los resultados de las medidas, en general, pueden ser representados analítica y gráficamente.

El experimento, parte esencial del trabajo investigativo, puede conducir al hallazgo de relaciones funcionales entre cantidades que describen una clase amplia de fenómenos y los resultados de tales experimentos pueden expresarse matemáticamente con ecuaciones empíricas que representan la forma general en la cual están relacionadas las cantidades estudiadas.

Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de las leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas leyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico obligando a recurrir al uso de ecuaciones empíricas para su comprensión. Para establecer estas ecuaciones a partir de los datos recogidos se hace uso de dos métodos el ajuste de curvas y el de mínimos cuadrados.

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RESUMEN

El presente informe contiene los resultados de la aplicación de los métodos para hallar la ecuación empírica del péndulo simple. Para esto se ha realizado un experimento en el laboratorio de física de donde se ha obtenido los datos de las medidas del periodo y la longitud del péndulo.

Hay una relación entre el periodo y la longitud del péndulo dicha relación de puede de expresar en una ecuación matemática cuyas variables serán justamente el periodo y la longitud. Para cumplir con este propósito se ha empleado dos métodos:

El método gráfico: Que lo hemos obtenido de graficar los puntos y ajustarla a una línea recta; y luego aplicando procedimientos matemáticos hemos encontrado la ecuación de dicha recta.

El método estadístico. Se han aplicado formulas estadísticas para hallar los parámetros de la recta.

Finalmente se explica y se discute los resultados obtenidos, sustentando la importancia de la experimentación y la formalización de los resultados en modelos matemáticos para explicar y predecir fenómenos físicos.

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ECUACIONES EMPÍRICAS

LABORATORIO 1

I. OBJETIVOS

1. Objetivo General

Encontrar una ecuación empírica para el péndulo simple, que relacione los valores experimentales de dos magnitudes variable: el periodo T y la longitud L.

2. Objetivos Específicosi. Establecer la relación entre el periodo del péndulo simple y la

longitud de cuerda.

ii. Desarrollar y comparar el método gráfico y estadístico en el análisis del experimento.

iii. Comparar ecuaciones empíricas obtenidas con ecuación teóricas ya planteadas.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

1. Ecuaciones Empíricas

Es una ecuación obtenida a partir del gráfico de un conjunto de valores experimentales de dos variables, la relación entre las dos variables se expresa mediante la función matemática:

Y = f(x)Donde: “y” es la variable dependiente o función y “x” es la variable independiente. Dicha ecuación puede ser expresada por una función lineal o potencial.

FUNCIÓN LINEALLas variables dependientes e independientes están relacionadas directamente en        forma proporcional, su gráfica es una línea recta. (Fig.1)

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y = a + bx…. (1)“a”, es el intercepto: distancia del origen de coordenadas al punto donde la recta intercepta al eje vertical; b, es la pendiente de la recta expresada como la tangente del ángulo de inclinación θ, es decir:

b=tanθ=∆ y∆ x

=y2− y1x2−x1

FUNCIÓN POTENCIAL:La variable dependiente está relacionada con la variable independiente mediante una potencia de esta última.y=k xn (2)

Si n=1: La ecuación (2) representa una línea recta que pasa por el origen Fig. 2.Si n=2: Se tiene una parábola abierta hacia arriba Fig. 3.

Si n=12

: Se tiene una parábola abierta hacia la derecha Fig. 4.

Si n=−1: Se tiene una hipérbola Fig. 5.

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Fig. 2

y

x

Fig. 4

y

x

Fig. 5

y

x

Fig. 3

y

x

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2. Métodos para encontrar ecuaciones empíricas:i. Método Gráfico:

Consiste en dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada variable de estudio esté representada por un eje, con la escala de medida adecuada a su variable asociada.La gráfica obtenida puede ser una recta o una curva. Si los datos experimentales representan una curva de potencias:

y=k xn se puede convertir a una recta aplicando alguna

operación a ambos miembros de la ecuación potencial y haciendo un cambio de variable; este proceso se llama Linealización de la curva. Se linealiza aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación. Con lo que se obtiene:

y=k xn

lny=ln (k xn )lny=lnk+n lnx

Y haciendo el cambio de variables:

lny=Y ; lnx=X ; lnk=A; n=B

Entonces se tiene la ecuación de la recta:Y=A+BX

Donde: A es la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje vertical.

B es la pendiente de la recta, B=∆ lny∆ lnx

ii. Método analítico:Se utiliza también para la linealización de la curva aplicando las fórmulas estadísticas de Mínimos Cuadrados, para calcular el intercepto A y la pendiente B:

A=¿¿

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B=N∑ (X I Y I )−∑ Y I∑ X I

N∑ X I2−¿¿¿¿

3. Pénduloi. Concepto

El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente)1 es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

ii. Clases

1. Péndulo de torsión: Se dice que un cuerpo se desplaza con movimiento armónico de rotación entono a un eje fijo cuando un Angulo de giro resulta función sinusoidal del tiempo y el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza recuperadora cuyo momento es proporcional a la elongación angular. Las ecuaciones que rigen este movimiento se obtienen por sustitución de las magnitudes lineales del movimiento armónico simple por las perspectivas.Siendo I el momento de inercia del sistema, con respecto al eje de rotación y D la constante de torsión (esta fórmula es exacta aun para oscilaciones de gran amplitud), si se conoce el momento de inercia I y se mide el periodo T se puede calcular D.

2. Péndulo físico:El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, es un sistema integrado por un sólido de forma irregular, móvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila solamente por acción de su peso. Representado un péndulo físico, que consiste de un cuerpo demasa m suspendido de un punto de suspensión que dista una distancia en cm de su centro de su masa.El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la expresión 1:

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donde I es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), m es la masa del mismo, g es la aceleración de la gravedad del lugar y d cm la distancia del centro de masa del péndulo al centro de rotac ion.

3. Péndulo SimpleLlamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple.

Elementos de un péndulo simple:

Longitud de péndulo es la longitud medida desde el punto de suspensión, hasta el centro de gravedad del cuerpo que oscila.

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Oscilación: tenemos dos clases: la oscilación simple y la oscilación completa. la primera es el paso de una posición extrema ala otra desde A hasta B; y la segunda trata de dos oscilaciones simples consecutivas de A hasta By de B hasta A, respectivamente.Frecuencia: es el número de oscilaciones completas que se efectúan en un segundo.Periodo es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación completa.Amplitud: es el ángulo formado entre una posición de reposo.

Para el caso de la fórmula del periodo de péndulo simple se tiene:

T=2π √ LgO equivalente mediante expresión en forma potencial:

Su ecuación empírica es:T=k . Ln

Para linealizarla aplicamos ln a ambos miembros de la ecuación anterior tenemos:

Ln T =ln K + n ln L

Que es la ecuación de una recta de la forma:

Y = A + BXDonde:

Y=lnTA=lnKB=n

X=ln L

La ecuación empírica de péndulo simple, quedara determinado cuando se calcule los valores de K y n. nótese que K=anti(lnA).

En las fórmulas estadísticas se tiene:A=¿¿

B=N∑ (lnLI lnT I )−∑ lnT I∑ lnLI

N∑ ( lnLi)2−¿¿¿¿

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III. METODOLOGIA.1. Materiales y Equipos:

Materiales Instrumento PrecisiónSoporte universal Wincha 10−3mCuerda de pabilo Cronómetro 10−2sEsfera de goma Transportador 1°

Calculadora

2. Laboratorio: Se reunió los materiales y equipos necesarios para el

experimento. Se registró en una tabla la medida del periodo de 3 oscilaciones

en relación con 5 longitudes de la cuerda del péndulo. Se calculó el periodo de una oscilación por cada longitud de

cuerda. Se ubicó los pares ordenados (T; L) en el plano cartesiano.

Obteniendo como resultado una curva que indicó una función exponencial.

Se procedió a la linealización de la función usando el método gráfico y estadístico.

Se finalizó el trabajo obteniendo la ecuación empírica .

IV. DISCUCIÓN DE RESULTADOS.

TABLA N° 01VALORES DEL PERIODO EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD

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N LP(seg/3 oscilaciones)

TP1 P2 P3 P4 P51 10 2.03 2.17 2.09 2.10 2.12 0.702 20 2.70 2.81 2.85 2.68 2.72 0.923 30 3.18 3.23 3.44 3.20 3.15 1.084 40 3.94 3.80 4.10 3.73 3.90 1.305 50 4.20 4.34 4.38 4.18 4.24 1.42

Fuente: Elaboración propia

1. Como se observa en la tabla N° 01 el periodo de oscilación es directamente proporcional a la longitud de la cuerda, a mayor longitud de la cuerda mayor periodo de oscilación.

GRÁFICO N° 01VALORES DEL PERIODO EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD

10 20 30 40 500.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

Fuente: Tabla N° 01

2. Como se observa en el gráfico N° 01 el periodo depende del valor de la longitud.

GRÁFICO N° 02REPRESENTACIÓN CARTECIANA DE LOS PARES ORDENADOS

(T, L)

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L

T

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

Fuente: Tabla N° 01

3. En el gráfico Nº2 Observamos que el resultado de nuestros datos experimentales es una curva. Sabemos que la mayor información de un fenómeno, se puede obtener cuando los valores de sus variables pueden representarse mediante una línea recta, por esta razón fue conveniente convertir las variables de la curva en una relación lineal.

Al ser el gráfico de los datos experimentales una curva, la ecuación empírica tendrá la forma:                   Y = KXn Donde k y n son constantes a determinar.

TABLA N° 02LOGARITMOS NATURALES DE LAS VARIABLES LONGITUD Y

PERIODO

N L T X=Ln L Y=Ln T

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1 10 0.70 2.30 -0.362 20 0.92 3.00 -0.083 30 1.08 3.40 0.084 40 1.30 3.69 0.265 50 1.42 3.91 0.35

Fuente: Tabla N° 01 y elaboración propia.

4. En la tabla Nº2 observamos que al aplicar logaritmos naturales a los datos de las variables en estudio tienden a homogenizarse.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN EMPÍRICA

A) Método Gráfico: Gráfico N°03

5. Del gráfico Nº3 obtenemos que: A=-1,36

B=∆ lnT∆ lnL

=y2− y1x2−x1

=0.26−−0.363.69−2.30

=0.45

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Nuestra ecuación lineal es:

Ln T =ln K + n ln L

Y=A+BXY=−1,36+0.45 X

Dado que :

lny=Y ; lnx=X ; lnk=A; n=B

lnk=−1.36 n=0.45k=antiln (−1.36)k=0.26 Como la ecuación de la curva es:

y=k xn

Entonces nuestra ecuación empírica es:

y=0.26 x0.45

B) Método AnalíticoTABLA N 03

CÁLCULO DE LOS VALORES PARA REEMPLAZAR EN LA FÓRMULA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Fuente: Tabla N° 02 y elaboración propia.

6. Con los datos de la tabla Nº3 hallamos el intercepto A en el eje Y y la pendiente B de la recta.

A=¿¿

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N L T Ln L Ln T (Ln Li)2 (Ln Ti)2 Ln Li.Ln Ti1 10 0.70 2.30 -0.36 5.30 0.13 -0.822 20 0.92 3.00 -0.08 8.97 0.01 -0.253 30 1.08 3.40 0.08 11.57 0.01 0.264 40 1.30 3.69 0.26 13.61 0.07 0.975 50 1.42 3.91 0.35 15.30 0.12 1.37

TOTAL 16.30 0.25 54.75 0.34 1.53

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B=N∑ (lnLi . lnT i)−∑ lnT i∑ lnLi

N∑ (ln Li)2−¿¿¿¿

Nuestra ecuación lineal es:

Ln T =ln K + n ln L

Y=A+BXY=−1.40+0.44 X

Dado que :

lny=Y ; lnx=X ; lnk=A; n=B

lnk=−1.40 n=0.44k=antiln (−1.40)k=0.25 Como la ecuación de la curva es:

y=k xn

Entonces nuestra ecuación empírica es

y=0.25x0.44

COMPARACIÓN DE LAS ECUACIONES EMPÍRICAS OBTENIDAS CON LA FÓRMULA MATEMÁTICA DEL PERIODO

7. Tomando un valor arbitrario L=50cm

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En la ecuación matemática del periodo:

T=2π√g.L1 /2, reemplazamos los valores numéricos de y g (expresado en

cm.), se tiene:T=2(3.14)√981

. L1/2=0.20 L0.5

T=0.20 L0.5

T=0.20 (50 )0.5

T=1.41 seg

Ecuación obtenida por el método gráfico

y=0.26 x0.45

T=0.26 L0.45

T=0.26 (50 )0.45

T=1.51 seg

Ecuación obtenida por el método analítico

y=0.25x0.44

T=0.25 L0.44

T=0.25(50)0.44

T=1.40 seg

El resultado obtenido con la ecuación del método analítico es más aproximado al resultado de la ecuación matemática del péndulo simple.

CONCLUSIONES.

1. El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo. 

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2. Los métodos aplicados nos conducen a encontrar la ecuación empírica de la oscilación del péndulo simple, existiendo ciertas variaciones en las constantes.

3. Luego de comparar los gráficos de los métodos: gráfico y estadístico obtenemos las siguientes diferencias numéricas:Para la constante K la diferencia es de 0.01.Para el valor de n (B) la diferencia es de 0.01Para A la diferencia es de 0.04

En general las diferencias son mínimas.

4. Constatando con la teoría dada, concluimos que el método estadístico es más preciso y exacto que el método gráfico.

5. La ecuación empírica obtenida es:            T=0.25L0.45

RECOMENDACIÓN

Tomar una cantidad mayor de datos, para que el ajuste de las gráficas sean más precisas.

BIBLIOGRAFÍA

Asociación Fondo de Investigación y Editores. FÍSICA I. Edit. LUMBRERAS, Perú. 2010. Córdova Zamora, Manuel. ESTADÍSTICA GENERAL. Edit. MOSHERA S.R.L. Lima, Perú. 2003. Sears Zemansky, Young Freedman. FISICA UNIVERSITARIA Vol. 1 y 2 Novena Edición, México. 1999.

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Renisck, Holliday, Krame. FISICA. . Edit. CECSA 1987. Leyva Humberto. FISICA I –. Edit. PUBLICACIONES MOSHERA. 1995.

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ANEXOS

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Midiendo la longitud de la cuerda del péndulo.

Midiendo el ángulo que forma la cuerda con respecto al eje x.

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Controlando el periodo de 3 oscilaciones por longitud de cuerda.

Calculando el periodo de una oscilación de un péndulo simple.