Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones Diferenciales - Resumen
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Ecuaciones Diferenciales - Resumen
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Andres Agual Alvarez
1
ECUACIONES DIFERENCIALES
Es una ecuacin que involucra una funcin desconocida y sus derivadas.
Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las
ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.): Contienen derivadas respecto a una sola
variable independiente.
Ecuaciones en Derivadas Parciales (E.D.P.): Contienen derivadas respecto a dos o ms
variables.
El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuacin.
Ejemplos:
1.
E.D.O. de
orden
2.
(
)
E.D.O. de orden ( ) ( )
3.
E.D.O. de orden ( ) ( )
4. (
)
(
)
(
)
E.D.O. de orden [ ( )]
( ) ( )
5.
E.D.Parcial ( )
Ejemplos desarrollados:
1.
Integrando ambos miembros:
( )
2. Demuestre que es una solucin a la ecuacin diferencial:
Derivando: Remplazando:
( ) ( )
(
)
-
Andres Agual Alvarez
2
3. Es ( ) una solucin de: con ?
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ( )( )( ) ( )( )( )] [ ( )( ) ( )( )] [ ( )] ( )
Remplazando:
( ) ( )
FORMAS DE LA ECUACIN DIFERENCIAL
Forma estndar o normal: ( ) ( ) ( )
( )
Forma diferencial: ( ) ( )
1. Escribir las siguientes E.D. (Ecuaciones Diferenciales) en su forma estndar.
a)
b)
c) ( ) (
)
No es posible escribir de la forma estndar
d) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
-
Andres Agual Alvarez
3
2. Escribir las siguientes E.D. (Ecuaciones Diferenciales) en su forma diferencial.
a) ( )
(
)
( )
( ) ( )
b)
(
) (
)
Resolviendo la ecuacin diferencial:
| |
CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. Ecuaciones diferenciales en variables separadas
2. Ecuaciones diferenciales homogneas
3. Ecuaciones diferenciales lineales
4. Ecuaciones diferenciales exactas
5. Ecuacin diferencial de Bernoulli
1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARADAS
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {
Ejemplo:
1.
Integrando ambos miembros:
( )
-
Andres Agual Alvarez
4
2. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS
( ) ( ) ( )
Ejemplo:
1.
( )
Integrando ambos miembros:
( )
( )
( )
3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplo:
1. ( )
( ) {
( )
( )
2.
( ) {
( )
( )
4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
( ) ( ) ( )
( )
Al multiplicar por el (factor integrante) se vuelve exacta.
Ejemplo:
1. ( )
( )
Derivando respecto a x:
( )
Derivando respecto a y:
2.
( )
Derivando respecto a x:
( )
Derivando respecto a y:
5. ECUACIN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
( ) ( )
Ejemplo:
1.
-
Andres Agual Alvarez
5
ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARADAS
Resolver los siguientes ejercicios:
1.
(
)
(
)
2.
3.
( )
( )
(
)
(
)
(
)
-
Andres Agual Alvarez
6
4.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
5. ( ) ( )
( )
( )
Remplazando: ( )
6. ( )
(
)
(
)
7. ( )
-
Andres Agual Alvarez
7
8. ( )
( )
[ ( )]
[ ( )]
[ ( )] [ ( )]
[
] [
]
[
] [
]
| |
| |
| | | |
9. ( )( ) ( )
( )
(
)
Integrando:
(
)
| |
(
)
| |
| |
10. ( )
No se puede separar las variables
( ) (
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
| |
| |
-
Andres Agual Alvarez
8
11. ( ) ( )
(
) (
)(
)
(
) ( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
12.
| | | |
| |
| |
