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Tema 3

Ecuaciones diferenciales de variablesseparables

3.1 Introduccion

Definicion 3.1. Una ecuacion diferencial (de primer orden) de variables separables es unaecuacion del tipo

(3.1) x!(t) = g(t)h(x(t)) (de forma abreviada: x! = g(t)h(x)),

donde las funciones g y h son funciones de una sola variable, conocidas y definidas en ciertosintervalos I y J respectivamente. En el caso particular en que en la ecuacion (3.1) no apareceexplıcitamente la variable independiente t, es decir, es de la forma:

(3.2) x! = h(x)

se dice que la ecuacion diferencial es autonoma.

En muchos textos, a las ecuaciones de la forma (3.1) les llaman ecuaciones de variables sepa-radas. Vease que es una ecuacion diferencial de primer orden x!(t) = f(t, x(t)), donde la funcionf : I ! J " R viene definida por f(t, x) = g(t)h(x), es decir, aparece con sus dos variables t y xseparadas.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En los casos (b), (c) y (e)tenemos ecuaciones autonomas.

(a) x!(t) = 2tx2(t) (b) x! = x3 (c) x! = 3x2/3

(d) x!(t) =e"t2x(t)

1 + x2(t)(e) x! = ax# bx2, a, b $ R (f) x!(t) =

log(x(t)) cos(2t)

2x2(t) + 1

Las ecuaciones (a), (d) y (f) las escribiremos de forma abreviada ası:

x! = 2tx2, x! =e"t2x

1 + x2x! =

log x · cos(2t)2x2 + 1

En los cinco primeros ejemplos las funciones g y h estan definidas (y son continuas) en R, es decir,en estos casos I = J = R. En el ultimo g esta definida en I = R pero h solo lo esta en J = (0,%).

41

42 Ecuaciones diferenciales de variables separables

Una ecuacion diferencial lineal homogenea x!(t) = a(t)x(t) tambien es una ecuacion de variablesseparables.

Explicamos a continuacion la forma en que son maltratadas estas ecuaciones en muchos textos,especialmente dirigidos a fısicos e ingenieros (y tambien a matematicos). En el procedimiento quesigue se realizan ciertas manipulaciones donde falta el rigor matematico, algunas de ellas sin sentido,como dividir por funciones que pueden anularse, tratamiento de la derivada x! = dx

dt como si fueseun cociente, despejar x como si esto se pudiera hacer siempre, . . . .

Se escribe la ecuacion diferencial en forma abreviada y notando la derivada por dxdt ası:

dx

dt= g(t)h(x).

Hasta aquı correcto; es simplemente una notacion. Sin embargo, el siguiente paso es muy conflictivopues se escribe la ecuacion de forma equivalente, cuando en general no lo es si cabe la posibilidadde estar dividiendo por valores que pueden anularse (no tendrıa sentido):

1

h(x)

dx

dt= g(t).

Lo peor viene ahora, cuando interpretan dxdt como un cociente. El sımbolo dx

dt no es mas que unanotacion para la derivada (dada por Leibnitz) que no se debe considerar como un cociente (en todocaso, es el lımite de unos cocientes):

1

h(x)dx = g(t) dt.

Ahora aprovechan que a las integrales y primitivas se les ponen unos “adornos” (a veces impres-cindibles) del tipo dx, dt, . . . , que solo indican las variables independientes x, t. . . . , con respectoa las cuales se integran, y escriben:

!1

h(x)dx =

!g(t) dt+ C, donde C $ R.

La aparicion de la constante C en la ecuacion anterior habrıa que meditarla. Ahora se denota porH a una primitiva de 1

h y por G a una primitiva de g y lo anterior se escibe ası:

H(x) = G(t) + C.

Finalmente, a veces, se atreven a decir que las soluciones se obtienen de la expresion anteriordespejando x; es decir,

x = x(t) = H!1(G(t) + C).

Obviamente, esto ultimo se podra llevar a cabo si la funcion H posee una inversa global, lo que noes previsible que suceda en muchos casos.

Sin embargo, en muchas ocasiones, el procedimiento anterior funciona y es capaz de propor-cionarnos todas (o casi todas) las soluciones de la ecuacion (3.1), por lo que podrıamos considerarlosimplemente como una regla mnemotecnica.

Vamos a ilustrar el dudoso y atrevido procedimiento anterior con el ejemplo: x!(t) = 6tx2/3(t).

La cadena de equivalencias sugeridas serıa la siguiente:

dx

dt= 6tx2/3 &' 1

x2/3dx

dt= 6t &' x"2/3 dx = 6t dt &'

!x"2/3 dx =

!6t dt+ C

&' 3x1/3 = 3t2 + C &' x1/3 = t2 +K &' x = (t2 +K)3,

obtenendose ası las soluciones definidas por xK (t) = (t2 +K)3 , con K $ R.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

3.1. Introduccion 43

Se puede comprobar facilmente que todas estas funciones son efectivamente soluciones de laecuacion diferencial; curiosamente, son soluciones validas en R y, sin embargo, en el caso K ( 0cada una de ellas se anula en ciertos puntos. No obstante, podemos comprobar que las funcionesobtenidas no son todas las soluciones de la ecuacion diferencial. Es evidente que la funcion nula essolucion en R y no esta considerada dentro de esa familia de funciones. Por otra parte, observeseque para K = 0 tenemos la solucion definida por x(t) = t6, que se anula en t = 0, pero la funcion,

definida a trozos mediante la anterior y la nula: x(t) =

"0 si t ( 0

t6 si t ) 0tambien es solucion de la

ecuacion en el intervalo R y no ha sido proporcionada por el metodo.

x!t" ! t6x!t" ! 0

"2 "1 "1

20

1

21 2

300

500

Figura 3.1: Grafica de la solucion anterior

De forma analoga podrıamos obtener otras soluciones definidas a trozos, usando la funcion nulay las otras funciones xK con K < 0, que no han sido dadas por el metodo anterior.

Observese que las soluciones x omitidas son las que se anulan en algun intervalo I, que, pre-cisamente, son las que verifican h(x(t)) = 0 para cada t $ I. Estas no han sido incluıdas porque elmetodo usado divide alegremente por h(x(t)). El programa Mathematica tampoco proporcionaestas soluciones, porque, posiblemente, lleve a cabo el mismo procedimiento.

Uno de nuestros objetivos es justificar, con rigor matematico, las ideas anteriores para la deter-minacion de las soluciones de una ecuacion de variables separables. Tambien daremos resultadossobre existencia y unicidad para problemas de valores iniciales asociados a estas ecuaciones.

Algunas de las ecuaciones y problemas de Cauchy que veremos en este tema son de gran interesteorico porque, siendo ejemplos muy simples (en cuanto a calculos), sin embargo, pueden servir parailustrar y entender mejor cuestiones que se pueden plantear, de forma mas general, en cualquierecuacion diferencial de primer orden y que se veran en proximos temas y tambien en un segundocurso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.

En cuanto al estudio y resolucion de las ecuaciones de variables separables, se trate con menoro mayor rigor, la idea inicial es pasar la expresion h(x(t)) al primer miembro de la ecuacion, con losproblemas que esto puede acarrear en ciertos casos. Esto puede llamar la atencion pues pasarıamosde una ecuacion diferencial explıcita a una que no lo es. Por esta razon vamos a iniciar nuestroestudio con un tipo de ecuacion diferencial en forma implıcita, donde la funcion incognita x soloaparece en el miembro de la izquierda y a este tipo de ecuacion le vamos a llamar ecuacion devariables separadas.


3.2 Ecuaciones diferenciales de variables separadas

Definicion 3.2. Diremos que una ecuacion diferencial de primer orden es de variables separadascuando es de la forma

(3.3) q(x(t))x!(t) = p(t) (de forma abreviada: q(x)x! = p(t)),

donde las funciones p y q son conocidas y definidas en ciertos intervalos It e Ix respectivamente.

La unica hipotesis que impondremos, en principio, para poder trabajar es que p : It " R seacontinua en It y que q : Ix " R sea continua en Ix. De esta forma estas funciones poseen primitivasen los intervalos indicados.

Nuestro primer objetivo es ver como se obtendrıan las posibles soluciones de la ecuacion (3.3).No se trata de dar un resultado de existencia de soluciones sino unicamente, en caso de existir,como se obtendrıan. La cuestion es muy facil de responder sin mas que usar la regla de la cadena.Observese que para que tenga sentido decir que una funcion derivable x : I " R es solucion de laecuacion diferencial, esta funcion debe tener la grafica contenida en It ! Ix. A partir de ahora,supondremos siempre que I es un intervalo en R no degenerado.

Proposicion 3.1. Sean It e Ix intervalos en R y p : It " R y q : Ix " R funciones continuas.Sean P y Q primitivas de las funciones p y q respectivamente en tales intervalos. Una funcionderivable x : I " R, con grafica contenida en It ! Ix, es solucion de la ecuacion diferencial

q(x(t))x!(t) = p(t)

si, y solo si, existe una constante C $ R tal que x viene definida implıcitamente en I por laecuacion

Q(x) = P (t) + C,

es decir, Q(x(t)) = P (t) + C para cada t $ I.

Dicho de forma mas coloquial, todas las posibles soluciones de la ecuacion diferencial vienendadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

(3.4)#q(x) dx =

#p(t) dt + C donde C es constante.

Observese que lo anterior justifica, en parte, algunos de los manipulaciones realizadas cuandoexplicamos la forma en que son tratadas estas ecuaciones en ciertos textos. Digamos que estojustificarıa la siguiente manipulacion:

q(x)dxdt = p(t) &' q(x) dx = p(t) dt &'#q(x) dx =

#p(t) dt+ C.

Prueba. Supongamos que x es solucion de la ecuacion diferencial. Entonces

q(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I.

Usando la regla de la cadena, podemos afirmar que la composicion (Q * x) es una primitiva de(q * x)x! en el intervalo I pues

ddtQ(x(t)) = Q!(x(t))x!(t) = q(x(t))x!(t) para cada t $ I.



3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 45

Por tanto, (Q * x) es una primitiva de p en el intervalo I. Como en un intervalo dos primitivas sediferencian en una constante, podemos asegurar que existe C $ R tal que

Q(x(t)) = P (t) + C para cada t $ I,

es decir, x viene definida implıcitamente en I por la ecuacion Q(x) = P (t) + C.

Recıprocamente, supuesto que x : I " R es derivable y viene definida implıcitamente en I por

Q(x) = P (t) + C

para algun C $ R, derivando en ambos miembros de la igualdad Q(x(t)) = P (t) + C, resultaq(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I, es decir, x es solucion de la ecuacion diferencial en I.

Advertencias:

1. La proposicion anterior no es un resultado de existencia.

2. En general, se plantea el problema de despejar x de las ecuaciones Q(x) = P (t) + C paraobtener de forma explıcita las expresiones de las posibles soluciones. Desgraciadamente, estono sera siempre posible. Unicamente cuando la funcion Q posee una inversa global Q

!1

podrıamos escribir x(t) = Q!1$

P (t) + C%.

3. Hay que resaltar que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales lineales, puede suceder quepara ciertas constantes C no se obtengan soluciones para la ecuacion diferencial, pues no estaasegurado que para cada C $ R la ecuacion Q(x) = P (t) + C defina implıcitamente unafuncion derivable. Por otra parte, a priori, no podremos asegurar que las posibles solucionesque se obtengan esten definidas en el intervalo It donde la funcion p esta definida y es continua.

Para clarificar lo dicho anteriormente proponemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.1. (cosx(t))x!(t) = 2t.

Observese que aquı las funciones definidas por p(t) = 2t y q(x) = cosx estan definidas y soncontinuas en R. En este caso las ecuaciones resultantes son

#cosx dx =

#2t dt+ C, equivalentemente, senx = t2 + C

y esta claro que si C = 2, en general si C > 1, la ecuacion anterior no define implıcitamenteuna funcion. En los casos afirmativos, tampoco queda muy claro que se pueda despejar x dela ecuacion anterior ası: x = arc sen(t2 + C) pues la funcion arcoseno solo toma valores en elintervalo [#!/2,!/2] y en la expresion senx = t2 + C la variable x podrıa tomar cualquier valor

real. Para C = 0 la ecuacion darıa lugar (entre otras) a la funcion derivable x(t) = arc sen(t2) , la

cual podemos comprobar que es solucion de la ecuacion diferencial, pero observese que solo estarıadefinida en el intervalo [#1, 1] y parece que no se puede extender a una solucion definida en unintervalo que contenga estrictamente a [#1, 1], mientras que la funcion p esta definida en todo R .

A continuacion intentamos obtener un resultado analogo para un problema de valor inicial. Esteresultado se podrıa deducir del anterior pero, a mi entender, queda mas claro si lo obtenemos deuna forma directa, con un razonamiento analogo.


Proposicion 3.2. Sean It e Ix intervalos en R, p : It " R y q : Ix " R funciones continuas yt0 $ It y x0 $ Ix. Una funcion derivable x : I " R, con grafica contenida en It ! Ix, es soluciondel problema de valor inicial

(P ) :

"q(x(t))x!(t) = p(t)

x(t0) = x0

si, y solo si, verifica:

1. x(t0) = x0

2. x viene definida implıcitamente en I por la ecuacion:

(3.5)

! x

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds.

Prueba. En el enunciado del teorema esta implıcito que I un intervalo que contiene al punto t0 .

Sea x : I " R, con grafica contenida en It ! Ix, solucion de (P ). Por definicion verifica lacondicion x(t0) = x0 . Por otra parte, al ser p continua en I y, por tanto, (q * x)x! tambien lo es,estas funciones son integrables-Riemann en cualquier intervalo compacto contenido en I. Por tanto

! t

t0

q(x(s))x!(s) ds =

! t

t0

p(s) ds para cada t $ I.

Teniendo en cuenta que x(t0) = x0 y el teorema del cambio de variables para integrales definidas,obtenemos

! x(t)

x0

q(u) du =

! x(t)

x(t0 )q(u) du =

u=x(s)

! t

t0

q(x(s))x!(s) ds para cada t $ I.

Por tanto, se deduce que x verifica

(+)! x(t)

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds para cada t $ I,

es decir, x viene definida implıcitamente en I por la ecuacion (3.5).

Recıprocamente, si x : I " R es una funcion derivable que viene definida implıcitamente enI por la ecuacion (3.5), derivando en ambos miembros de la expresion (+), usando el teoremafundamental del calculo y la regla de la cadena, se obtiene

q(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I.

Si, ademas, x verifica la condicion x(t0) = x0 , se concluye que x es solucion del problema de Cauchy(P ) en el intervalo I.

El resultado anterior no asegura que el problema (P) posea solucion, ni que sea unica en elcaso de que haya solucion; solo da la forma de encontrar las posibles soluciones de (P), en el casode que existan. Para clarificar esta cuestion exponemos tres ejemplos muy simples (que planteancalculos inmediatos). En el primero vamos a ver que no hay solucion, en el segundo vamos a tenerdos soluciones y en el tercero hay una unica solucion.



3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 47

Ejemplo 3.2. (P ) :

"x(t)x!(t) = #t

x(0) = 0

El resultado anterior nos asegura que, si (P ) posee soluciones en algun intervalo I con 0 $ I,estas deben venir definidas implıcitamente por

! x

0s ds =

! t

0#s ds, es decir, x2 = #t2.

Sin embargo, no hay funcion x : I " R que verifique (x(t))2 = #t2 para todo t $ I, siendo I unintervalo no degenerado. Por tanto, el problema (P ) no posee solucion.

Ejemplo 3.3. (P ) :

"x(t)x!(t) = t

x(0) = 0

Aquı la ecuacion (3.5) resultante es! x

0s ds =

! t

0s ds, equivalentemente, x2 = t2.

La ecuacion anterior define implıcitamente en cualquier intervalo I con 0 $ I (en particular en R )

infinitas funciones, pero entre ellas solo hay dos funciones derivables: las definidas por x1(t) = t

y x2(t) = #t. Ademas, ambas verifican la condicion inicial x(0) = 0. Por tanto, el problema de

Cauchy (P ) posee dos soluciones definidas en R, que son las dos indicadas anteriormente.

Ejemplo 3.4. (P ) :

"x(t)x!(t) = t

x(0) = 1

En este caso la ecuacion (3.5) resultante es

# x1 s ds =

# t0 s ds, equivalentemente, x2 = 1 + t2.

La ecuacion anterior define implıcitamente en cualquier intervalo I , 0 (en particular en R ) dosfunciones derivables: las definidas por x1(t) =

-1 + t2 y x2(t) = #

-1 + t2, pero unicamente la

primera verifica la condicion inicial x(0) = 1, por lo que en este caso tenemos una unica solucion

del problema valida en R, que es x(t) =&1 + t2.

A la vista de lo anterior se hace necesario establecer un resultado que garantice la existenciay unicidad de solucion para un problema de valor inicial y esto lo vamos a conseguir usando elteorema de la funcion implıcita (aunque cabe la posibilidad de usar un resultado mas propio de unprimer curso de Analisis, vıa funciones inversas). Esencialmente la unica hipotesis adicional queva aparecer es una condicion sobre la funcion q en el punto x0 . Observese que en los dos primerosejemplos anteriores, se verifica q(x0) = 0 mientras que en el tercero q(x0) .= 0. Esta ultima condicionva a resultar esencial para asegurar la existencia y unicidad. El metodo que vamos a usar aquıpara la prueba, usando el teorema de la funcion implıcita, lo adaptaremos y generalizaremos enproximos temas para otras ecuaciones diferenciales.


Teorema 3.1 (Existencia y unicidad local). Sean It e Ix intervalos en R, p : It " R y q : Ix " Rfunciones continuas y t0 $

#It y x0 $

#Ix. Si q(x0) .= 0 existe un intervalo abierto I tal que

t0 $ I / It y tal que el problema de valor inicial

(P ) :

"q(x(t))x!(t) = p(t)

x(t0) = x0

posee una unica solucion (de clase uno) definida en I. Esta solucion viene definida implıcitamenteen I por la ecuacion ! x

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds.

Observacion: Para ser mas preciso, el teorema asegura la existencia y unicidad de solucion, con

grafica contenida en#It !

#Ix, para el problema (P ).

Prueba. (Usando el teorema de la funcion implıcita).

La ultima parte de este resultado esta establecida en la proposicion 3.2. Segun esta mismaproposicion, una funcion derivable x : I " R, con grafica contenida en It ! Ix, es solucion delproblema (P ) si y solo si, verifica la condicion inicial y viene definida implıcitamente en I por laecuacion ! x

x0

q(s) ds#! t

t0

p(s) ds = 0,

que es una ecuacion del tipo F (t, x) = 0, donde la funcion F esta definida por

F (t, x) =

! x

x0

q(s) ds#! t

t0

p(s) ds.

Vamos a considerar el abierto en R2dado por A =

#It !

#Ix y F : A " R. Se verifica lo siguiente:

1. (t0 , x0) $ A y F (t0 , x0) = 0; es decir, el punto (t0 , x0) verifica la ecuacion F (t, x) = 0.

2. Al ser p y q continuas en It e Ix respectivamente, el teorema fundamental del calculo, nosasegura que para todo (t, x) $ A existen las derivadas parciales !F

!t (t, x),!F!x (t, x) y verifican

"F

"t(t, x) = #p(t),

"F

"x(t, x) = q(x).

Luego F $ C1(A,R) y 0F (t0 , x0) = (#p(t0), q(x0)).

3. !F!x (t0 , x0) = q(x0) .= 0.

Por tanto, podemos aplicar el teorema de la funcion implıcita a la funcion F en el punto (t0, x0) y,ası, podemos afirmar que existe un intervalo abierto I, con t0 $ I, y una unica funcion x : I " Rde clase C1

tal que x(t0) = x0 y que verifica: x(t) $#Ix y F (t, x(t)) = 0, para cada t $ I, es decir,

una unica solucion del problema (P ) definida en I.

Observacion sobre la prueba: Otra forma posible de enfocar la prueba del teorema es la siguien-te. Segun la proposicion 3.2, una funcion derivable x : I " R, es solucion del problema (P ) si y solo



3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 49

si, verifica la condicion inicial y viene definida implıcitamente en I por la ecuacion Q(x) = P (t),donde

Q(x) =

! x

x0

q(s) ds y P (t) =

! t

t0

p(s) ds.

Al ser q(x0) .= 0 y q continua, existe un intervalo J tal que x0 $#J y q(x) .= 0 para cada x $ J . De

esta forma Q!(x) = q(x) .= 0 para cada x $ J y, dada la continuidad de Q!, se tiene que la funcionQ es estrictamente monotona en J y, por tanto, inyectiva en J . Arreglando un poco las cosas (noes trivial) podemos considerar Q biyectiva y conseguir que la ecuacion Q(x) = P (t) sea equivalentea x = Q

!1(P (t)) siempre que t se mueva en cierto intervalo abierto I que contiene a t0 . De esta

forma la ecuacion Q(x) = P (t) definirıa una unica funcion derivable en el intervalo I, la definidapor x(t) = Q

!1(P (t)), que ademas verificarıa x(t0) = Q

!1(0) = x0 .

Observaciones:

1. A priori no se conoce el intervalo I donde la solucion esta definida y en muchos casos, comoya veremos, sera imposible conocerlo. Puede ser muy “pequeno” y no tiene porque coincidircon It.

2. La hipotesis esencial del teorema: q(x0) .= 0 es unicamente una condicion suficiente para

asegurar la existencia y unicidad de solucion, pero no es necesaria, como se puede comprobarcon el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.5. (P ) :

"x2(t)x!(t) = t2

x(0) = 0

Observese que en este ejemplo se verifican todas las hipotesis del teorema anterior salvo lacondicion clave, pues q(0) = 0.

La proposicion 3.2 nos asegura que, si (P ) posee soluciones en algun intervalo I , 0 estasdeben venir definidas implıcitamente por

! x

0s2 ds =

! t

0s2 ds, equivalentemente, x = t.

Obviamente, la anterior ecuacion solo define una funcion derivable en cualquier intervalo

I , 0, que es la definida por x(t) = t , la cual verifica ademas la condicion inicial. Por tanto,

a pesar de que q(0) = 0, el problema (P ) posee una unica solucion en cada intervalo I , 0.

3.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables

3.3.1 Estudio y resolucion de una ecuacion diferencial de variables separables

Una vez vistas las ecuaciones de variables separadas, abordamos la resolucion de ecuaciones devariables separables:

(3.6) x!(t) = g(t)h(x(t))

y, como caso especial importante, las ecuaciones autonomas x! = h(x). Aunque daremos aquı un

resultado sobre problemas de valores iniciales, en un caso muy concreto, el estudio general de losproblemas de Cauchy asociados a este tipo de ecuaciones lo dejaremos para la proxima subseccion.Se pueden presentar aquı dos situaciones:


Caso I: Las funciones g : It " R y h : Ix " R son continuas y h no se anula en Ix.

Suponemos que It e Ix son intervalos no degenerados de R. Esta es por supuesto la situacionmas satisfactoria, pues en este caso nuestra ecuacion (3.6) es equivalente a la ecuacion de variablesseparadas

1

h(x(t))x!(t) = g(t)

(equivalente en el sentido de que las soluciones con graficas contenidas en It ! Ix son las mismaspara ambas ecuaciones) y, por tanto, podemos aplicarle todos los resultados probados en la seccionanterior. Ası pues:

I) Una funcion derivable x : I " R, con su grafica contenida en It ! Ix, es solucion de (3.6) si,y solo si, existe una constante C tal que x viene definida implıcitamente en I por la ecuacion

(3.7)

!1

h(x)dx =

!g(t) dt+ C,

donde la primitiva de g se toma en el intervalo It y la de 1/h en el intervalo Ix.

II) Al verificarse siempre que q(x0) =1

h(x0 ).= 0, tenemos, como consecuencia del teorema 3.1,

que para cada (t0 , x0) $#It!

#Ix existe un intervalo abierto I tal que t0 $ I / It y tal que el problema

de valor inicial

(P ) :

"x!(t) = g(t)h(x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion (de clase uno) definida en I. Esta solucion viene definida implıcitamenteen I por la ecuacion

(3.8)

! x

x0

1

h(s)ds =

! t

t0

g(s) ds.

Ponemos en practica lo anterior en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.6. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = te(x(t)"t2) y estudio y resolucion del

problema de valor inicial (P ) :

"x!(t) = te(x(t)"t2)

x(0) = 0

La ecuacion diferencial se puede escribir como una de variables separables ası:

x!(t) = te"t2ex(t) = g(t)h(x(t)),

donde g(t) = te"t2 y h(x) = ex. Las funciones g y h son continuas en R y h(x) .= 0 para cada x $ R.Por tanto, segun (3.7), una funcion derivable x : I " R es solucion de la ecuacion diferencial si, ysolo si, existe una constante K tal que x viene definida implıcitamente en I por la ecuacion

!e"x dx =

!te"t2 dt+K.

Lo anterior plantea unos calculos de primitivas inmediatas y la ecuacion resultante

#e"x = #1

2e"t2 +K




se escribe de forma equivalente ası:

(+) x = # log'C + 1

2e"t2

(

donde C = #K. Obviamente, para cada valor de la constante C, la ecuacion (+) solo da lugar auna funcion derivable, la definida por

(3.9) xC (t) = # log'C + 1

2e"t2

(,

pero ¡ojo!, siempre que tal expresion tenga sentido para todos los puntos t de un cierto intervalono degenerado. Es decir, el procedimiento anterior nos asegura que para cada constante C, para laque realmente la expresion (3.9) defina una funcion derivable, tenemos una solucion de la ecuaciondiferencial. Para esto necesitamos que se verifique C + 1

2e"t2 > 0 para cada t de cierto intervalo I

y esto depende esencialmente de los valores que tome C.

En efecto, si C ) 0 la funcion xC esta bien definida para cada t $ R y, por tanto, es solucionde la ecuacion diferencial en todo R (por si acaso se tiene dudas derıvese la expresion de xC ycompruebese que verifica la ecuacion en cada punto t donde este definida). Sin embargo, si C < 0la expresion de xC solo esta definida para aquellos t tales que t2 < # log(#2C), para lo cual esnecesario que sea log(#2C) < 0, es decir, 0 < #2C < 1, lo que solo es posible si C > #1/2. Asıunicamente para los valores de C tales que #1/2 < C < 0 tendrıamos una solucion que, ademas,solo serıa valida en el intervalo (#

-k,-k), donde k = # log(#2C).

En resumen, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones xC definidas por (3.9)

donde C > #1/2 . En el caso C ) 0 las soluciones son validas en todo R, pero si #1/2 < C < 0

unicamente son validas en ciertos intervalos abiertos y acotados.

Ası pues, aunque la familia de soluciones (solucion general) depende de un parametro C, adiferencia del caso lineal, no sucede que para cada valor de C tengamos una solucion. Esto,desgraciadamente, es una comprobacion que tendrıamos que hacer, cuando sea posible, en cadacaso que se nos presente.

En relacion al problema de valor inicial (P ), podemos afirmar que existe un intervalo abiertoI , 0 donde (P ) posee una unica solucion, que viene definida implıcitamente por la ecuacion

(3.10)

! x

0e"s ds =

! t

0se"s2 ds.

No obstante, puesto que ya hemos determinado todas las soluciones xC de la ecuacion diferencial,la resolucion del problema de Cauchy propuesto vamos a llevarla a cabo como en el caso lineal,es decir, en lugar de usar la ecuacion (3.10), calculamos la constante C para que se verifique lacondicion inicial xC (0) = 0. Esto nos lleva de forma inmediata al valor C = 1/2. Ası pues, al serC > 0, podemos afirmar que la funcion definida por

x(t) = # log$1+e!t2

2

%= log

$2

1+e!t2

%

es solucion de (P ) en el intervalo R. Ademas es la unica solucion de (P ) en ese intervalo (yen cualquier otro ma pequeno) pues realmente, segun lo visto en la teorıa, una funcion derivablex : I " R es solucion de (P ) si, y solo si, satisface la condicion inicial y viene definida implıcitamenteen I por la ecuacion (3.10). Si hacemos calculos, resulta que la ecuacion que aparece en (3.10) esequivalente a x = log( 2

1+e!t2), lo que nos confirma la expresion de la solucion obtenida y la

unicidad como solucion valida en R.


C !1

2

!0, 0"C " 0

# 1 # 2 $ C $ 0

#2 #1 1 2

1

2

3

Figura 3.2: Graficas de algunas xC , entre ellas la grafica de (P ).

Observacion: De la propia ecuacion diferencial se sigue inmediatamente que las soluciones deben serestrictamente decrecientes en los intervalos contenidos en I = (#%, 0) y estrictamente crecientes enlos intervalos contenidos en I = (0,%) y, por tanto, cada una de ellas alcanza un mınimo absolutoen t = 0.

Vemos a continuacion la resolucion de la ecuacion diferencial con el programa Mathematica,tal como se explico en el tema anterior. Como ya advertimos en el tema 2, en las versiones 6.0y posteriores de este programa las expresiones de las soluciones aparecen con un aspecto mas“amigable”, tal como aparecen en la tercera lınea. La expresion de la segunda lınea corresponde aversiones anteriores.

DSolve[x’[t] == t Exp[x[t] - t^2], x[t], t]

{{x[t] -> -Log[E^-t^2/2 - C[1]]}}

))x[t] " #Log

*e!t2

2 # C[1]+,,

Para la resolucion del problema de valor inicial escribimos:

DSolve[{x’[t] == t Exp[x[t] - t^2], x[0] == 0}, x[t], t]

y se obtiene como respuesta:))

x[t] " #Log*12 + e!t2

2

+,,

Caso II: La funcion h se anula en uno o mas puntos

Este es el caso que da problemas. Aquı tenemos una novedad respecto al caso anterior. Concre-tamente, para cada punto x0 donde h se anule tenemos una solucion constante; concretamente la

solucion t 1" x(t) = x0 , que sera valida en cualquier intervalo donde este definida la funcion g. Es

mas estas son las unicas soluciones constantes de la ecuacion diferencial (3.6).

En el caso de una ecuacion autonoma x! = h(x) las soluciones constantes, si existen, danmucha informacion. Un estudio avanzado de estas ecuaciones, que no se puede ver en este curso,muestra que el conocimiento de las posibles soluciones constantes de una ecuacion autonoma daninformacion cualitativa sobre las demas soluciones de la ecuacion; esto se podra apreciar en algunosejemplos de autonomas que veremos. Vease que la ecuacion autonoma x! = x(13# x) posee dos, ysolamente dos, soluciones constantes validas en R, que serıan las funciones definidas por x1(t) = 0y x2(t) = 13.




A continuacion explicamos el procedimiento para intentar determinar las soluciones dela ecuacion diferencial (3.6): x! = g(t)h(x).

1. Calculamos los valores x0 $ R donde la funcion h se anula (los ceros de la funcion h). Para

cada uno de estos x0 tenemos una solucion constante t 1" x(t) = x0 , que sera valida en

cualquier intervalo donde este definida la funcion g.

2. Determinamos los intervalos maximales (con la relacion de inclusion) It donde g esta definiday es continua.

3. Determinamos los intervalos maximales Ix donde h es continua y no se anula.

4. Cada par de intervalos It, Ix obtenido en los dos pasos anteriores da lugar a una region delplano D = It ! Ix. Entonces, una funcion derivable x : I " R, con grafica contenida en D, essolucion de la ecuacion diferencial (3.6) si, y solo si, existe una constante C tal que x vienedefinida implıcitamente en I por la ecuacion

!1

h(x)dx =

!g(t) dt+ C,

donde la primitiva de g se toma en It y la de 1/h se toma en Ix.

Hay que advertir que el procedimiento anterior no garantiza que ası se obtengan todas lassoluciones de la ecuacion diferencial. Hay casos donde sı y otros donde no. Expondremos ejemplossimples de ambas situaciones. En el caso negativo lo que puede suceder (aquı surge el problema)es que existan soluciones cuyas graficas no esten totalmente contenidas en los dominios D = It! Ixconsiderados; dicho de otra forma, cuando hay soluciones cuyas graficas cortan a las graficas de lassoluciones constantes. En estos casos, las soluciones conflictivas se podran construir a trozos con lassoluciones obtenidas por el procedimiento anterior. No obstante, en muchos casos el procedimientoanterior proporciona todas las soluciones, pero habrıa que esperar a ver ciertos resultados teoricos,mas propios de la asignatura Ecuaciones Diferenciales II, para tener la seguridad de esto (vease eltema 6). De hecho, podemos adelantar que ası sucede si la funcion h es una funcion derivable conderivada continua.

A continuacion vamos a exponer unos ejemplos muy ilustrativos. En los dos primeros vamos aobtener todas las soluciones con el metodo expuesto y en el tercero nos vamos a encontrar con elproblema senalado anteriormente.

Ejemplo 3.7. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = 2tx2(t).

Esta ecuacion no es propiamente de variables separadas pues aquı la funcion h : R " R, dadapor h(x) = x2 se anula en un punto, concretamente en x0 = 0. La funcion g : R " R, t 1" g(t) = 2tes continua en R. Siguiendo el procedimiento indicado tenemos, en primer lugar, que la ecuaciontiene una, y solamente una, solucion constante, que es la funcion nula, la cual es solucion en R. Elprocedimiento nos lleva a considerar las dos regiones del plano: D1 = R!(#%, 0) yD2 = R!(0,%).Las soluciones con graficas contenidas en D1 o en D2 vienen dadas implıcitamente por ecuacionesdel tipo

(+)!

1

x2dt =

!2t dt+ C, equivalentemente, # 1

x= t2 + C.

Esto nos lleva a considerar tres casos:


Caso C > 0. En este las funciones derivables que vienen dadas por (+) son las definidas por

xC (t) = # 1

t2 + C,

que, ademas, estan definidas en R. El procedimiento nos asegura que estas son solucionesde la ecuacion diferencial en R pero, no obstante, lo comprobamos. Sus graficas estan en laregion D1 y todas tienen a la solucion constante nula como asıntota horizontal. Observeseque son decrecientes en I = (#%, 0) y crecientes en I = (0,%), lo que tambien se puedededucir directamente de la ecuacion diferencial (sin necesidad de conocer las soluciones).

Caso C = 0. En este caso la funcion resultante de (+) es x(t) = # 1t2 , que solo esta definida y es

derivable en los intervalos I = (#%, 0) e I = (0,%). En estos intervalos es solucion de laecuacion diferencial. Tambien tiene la grafica en D1 y tiene a la grafica de la solucion nulacomo asıntota horizontal (tiene una asıntota vertical que es el eje de ordenadas).

Caso C < 0. Aquı la expresion t2 + C se anula en los dos puntos t = ±-#C y, por tanto, las

funciones derivables que se definen a partir de (+) tienen la misma expresion que en los

casos anteriores, es decir, xC = # 1t2+C , solo que ahora hay tres intervalos maximales donde

estan definidas: I = (#%,#-#C), I = (#

-#C,

-#C), I = (

-#C,%). Sobre dos de ellos

(los no acotados) tienen las graficas en D1 y todas tienen a la grafica de la solucion nulacomo asıntota horizontal (tambien tienen un asıntota vertical). Sobre los intervalos acotadosI = (#

-#C,

-#C) tienen las graficas en la region D2 y poseen dos asıntotas verticales.

En resumen, tenemos las siguiente familia de soluciones validas en los intervalos indicados:

x(t) = 0 I = RxC (t) = # 1

t2+C C > 0 I = Rx(t) = # 1

t2 (C = 0) I = (#%, 0), I = (#%, 0)

xC (t) = # 1t2+C C < 0 I = (#%,#

-#C), I = (#

-#C,

-#C), I = (

-#C,%)

Como se puede comprobar los intervalos de definicion de las soluciones son muy variados adiferencia del caso lineal. Comparese con el caso lineal x! = 2tx en el que todas las soluciones estandefinidas en R. Sin embargo, a diferencia del ejemplo 3.6, en este caso, para cada constante C $ Rtenemos una solucion xC de la ecuacion diferencial.

Al no haber cortes entre las graficas de las soluciones obtenidas y la nula, da la impresion deque no puede haber mas soluciones. De hecho se puede demostrar (con herramientas que aun nose pueden explicar) que hemos obtenido todas las soluciones de la ecuacion diferencial. Observeseque, en el caso que hemos tratado aquı, la funcion h es derivable y con derivada continua en R.

Vease que Mathematica, al resolver esta ecuacion, no proporciona la solucion nula. De hecho,la soluciones que da son las que tienen las graficas contenidas en D1 2D2 .

DSolve-x![t] == 2tx2[t], x[t], t

.,

//x[t] " 1

#t2 # C[1]

00




!1.5 !1.0 !0.5 0.5 1.0 1.5

!6

!4

!2

2

4

6

C = - 1/2

C = - 1

C = 1

C = 1/2

C = 0

C = - 1

C = 0

C = -1

Figura 3.3: Graficas de las soluciones xC para C = 1/2, 1, 0,#1/2 y #1.

Ejemplo 3.8. Soluciones de una ecuacion diferencial lineal homogenea x!(t) = a(t)x(t).

Suponemos que la funcion a es continua en un intervalo I de R.

Observese que x!(t) = 2tx(t) es un caso particular y es una ecuacion muy parecida a la vistaen el ejemplo anterior; la unica diferencia radica en que, en este caso, la funcion incognita x noaparece elevada al cuadrado.

Si intentamos resolver la ecuacion lineal como ecuacion de variables separables darıa lugar aun caso analogo al anterior. Tenemos una unica solucion constante, que es la funcion nula, y lassoluciones con graficas contenidas en las regiones D1 = R ! (#%, 0) o D2 = R ! (0,%) vendrıandadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

#1x dx =

#a(t) dt+ C,

equivalentemente,

log |x | =#a(t) dt+ C &' |x | = eCe

!a(t) dt &' x = Ke

!a(t) dt, con K .= 0

y ası obtenemos las funciones definidas por xK (t) = Ke!a(t) dt con K .= 0. Estas junto con la

solucion nula, se podrıan englobar en la expresion:

xC (t) = Ce!a(t) dt donde C $ R.

Observese que las graficas de las xK no cortan a la de la funcion nula y, de hecho, el estudio que sehizo en el tema anterior nos confirma que, en este caso, el metodo nos ha proporcionado todas las


soluciones. La gran diferencia con el caso anterior es que aquı todas las soluciones estan definidasen I. En el caso concreto de x! = 2tx todas las soluciones estan definidas en R.

Ejemplo 3.9. Soluciones de la ecuacion diferencial autonoma x! = 3x2/3.

Antes de empezar observese que todas las soluciones de esta ecuacion son monotonas crecientespues sus derivadas siempre verifican x!(t) ) 0 en sus intervalos de definicion.

Aquı tenemos unicamente una solucion constante, que es la funcion nula. Procediendo como enlos dos casos anteriores se llega a que las soluciones con graficasD1 = R!(#%, 0) oD2 = R!(0,%)viene definidas implıcitamente por ecuaciones del tipo

!1

3x2/3dx =

!1 dt+ C,

equivalentemente, x1/3 = t+ C, de donde se obtienen las funciones derivables definidas por

xC (t) = (t+ C)3.

Podemos ahora comprobar que para cada C $ R la funcion xC es solucion de la ecuacion diferencialen todo R, pero nos encontramos ahora con dos novedades:

1. Las funciones xC : R " R, xC = (t + C)3 no tienen las graficas contenidas en D1 o en D2 ;esto solo sucede si las restringimos a ciertos intervalos; concretamente, xC : (#%,#C) " Rtiene la grafica contenida en D1 y xC : (#C,%) " R la tiene en D2 .

2. Las graficas de todas las soluciones xC : R " R cortan a la grafica de la solucion nula.

Esbozando las graficas de las soluciones obtenidas, advertimos que, en este caso, con el procedi-miento llevado a cabo no hemos obtenido todas las soluciones de la ecuacion diferencial. Vemos quese pueden obtener muchas mas empalmando graficas de las xC con la funcion nula, dando lugar afunciones definidas a trozos y definidas en R como son:

x(t) =

"0 si t ( #C

(t+ C)3 si t ) #Cx(t) =

"(t+ C)3 si t ( #C

0 si t ) #Cx(t) =

123

24

(t# #)3 si t ( #

0 si # ( t ( $

(t# $)3 si t ) $

.

!10 !5 5 10

!500

500

1000

!10 !5 5 10

50

100

150

200

!10 !5 5 10

!200

!150

!100

!50

!10 !5 5 10

!300

!200

!100

100

200

300

" #

!C

!C

Figura 3.4: Graficas de algunas soluciones definidas en R.




(en el ultimo caso se considera # < $). Todas las funciones anteriores son derivables en los puntosde empalmes (esto siempre sucedera como veremos mas adelante). De esta forma hemos obtenidoinfinitas soluciones, todas validas en R, que directamente el metodo no da, pues no vienen dadasen sus intervalos de definicion por ecuaciones del tipo

#13x

"2/3 dt =#dt+ C,

pero, sin embargo, todas ellas las hemos construidos a trozos mediante las dadas por el metodo.

Observese la respuesta de Mathematica a esta ecuacion diferencial:

DSolve*x![t]==3 3

&(x[t])2, x[t], t

+ //x[t] " 1

27

$27t3 + 27t2C[1] + 9tC[1]2 + C[1]3

%00

En este caso, igual que en el ejemplo 3.7, hemos introducido en Mathematica la ecuacion diferencialmediante una paleta de caracteres que nos hace mas agradable su expresion, en lugar de usar laprimitiva instruccion: DSolve[x’[t] == 3 (x[t])^(2/3), x[t], t]. Podemos apreciar que elprograma no proporciona la solucion nula ni las soluciones definidas a trozos que hemos obtenidoanteriormente y no da directamente la familia de soluciones x(t) = (t+C)3 = t3+3t2C+3tC2+C3,aunque la que da es equivalente a la anterior.

La situacion dada con la ecuacion diferencial anterior se suele dar con otras ecuaciones autonomascomo x! = x1/3, x! =

&|x | y las del tipo x! = xa, donde la constante a verifica 0 < a < 1. Mas

generalmente, con ecuaciones de variables separables del tipo x! = g(t)xa, donde 0 < a < 1. Enestos casos y en el que hemos tratado aquı: h(x) = x2/3, la funcion h no es derivable en x = 0.Se podra probar, cuando se conozcan ciertos resultados generales, que si la funcion h es de claseuno, las graficas de las soluciones de la ecuacion de variables separables x! = g(t)h(x) no puedencortarse y, ası, el metodo proporciona todas las soluciones.

Observacion Cada vez que hemos definido una funcion a trozos mediante soluciones de unaecuacion diferencial, la funcion resultante ha sido derivable en su intervalo de definicion y en esteintervalo ha sido solucion de la ecuacion diferencial. Vamos a comprobar que esto siempre sucedecon las soluciones de cualquier ecuacion diferencial de primer orden x!(t) = f(t, x(t)). Ası pues, lasgraficas de las soluciones de una EDO de primer orden explıcita se pueden cortar pero los corteshan de ser tangenciales (cuando veamos el tema 6, comprobaremos que las graficas de las solucionesde la mayorıa de las ecuaciones diferenciales de primer orden no se cortan).

En efecto, sean x : I " R e y : J " R dos soluciones de x! = f(t, x) tales que existe un punto t0

interior a I 3 J donde x(t0) = y(t0) y consideramos la funcion definida por z(t) =

"x(t) si t ( t0y(t) si t ) t0

en el intervalo I 3 J . Veamos que z es solucion de la ecuacion diferencial.

Si t < t0 se tiene z!(t) = x!(t) y si t > t0 se verifica z!(t) = y!(t), por lo que z!(t) = f(t, z(t)) sit .= t0 . Veamos que z es derivable en t0 y verifica z!(t0) = f(t0 , z(t0)).

Se verifica que la derivada por la izquierda de z en t0 existe y coincide con la derivada por laizquierda de x en t0 ya que

z!"(t0) = limt$t0 , t<t0

z(t)# z(t0)

t# t0= lim

t$t0 , t<t0

x(t)# x(t0)

t# t0= x!"(t0).

Analogamente se ve que existe la derivada por la derecha de z en t0 y verifica z!+(t0) = y!+(t0). Deesta forma, se obtiene

z!"(t0) = x!"(t0) = x!(t0) = f(t0 , x(t0)) = f(t0 , y(t0)) = y!(t0) = z!+(t0).

De lo anterior se deduce que las derivadas laterales de z en el punto t0 coinciden, por lo que z esderivable en ese punto y, ademas, z!(t0) = f(t0 , z(t0)).


t0

xy

x

y

3.3.2 Problemas de Cauchy asociados a ecuaciones de variables separables

En la seccion anterior hemos visto un resultado sobre existencia y unicidad local para un problemade valor inicial asociado a una ecuacion de variables separables, pero es en un caso donde laecuacion es equivalente a una de variables separadas (pues suponıamos que la funcion h no seanula) y podıamos aplicar directamente el teorema 3.1. Tratamos en esta seccion un caso general.

Los ejemplos vistos anteriormente, especialmente el de la ecuacion x! = 3x2/3, van a ser muyutiles para clarificar e ilustrar las situaciones que pueden darse. Todo va a depender de que severifique la condicion h(x0) = 0 o la condicion h(x0) .= 0.

Teorema 3.2. Sea el problema de valor inicial

(P ) :

"x!(t) = g(t)h(x(t))

x(t0) = x0

,

donde g y h son funciones definidas en los intervalos It e Ix respectivamente y t0 $ It y x0 $ Ix.Se verifica lo siguiente:

I) (Existencia sin unicidad) Si h(x0) = 0 la funcion constante x : It " R, t 1" x(t) = x0 es

solucion de (P ), pero (P ) puede tener mas de una solucion definida en el intervalo It.

II) (Existencia y unicidad local) Si g es continua en It, h es continua en Ix, t0 $#It, x0 $

#Ix y

h(x0) .= 0 , entonces existe un intervalo abierto I tal que t0 $ I / It y tal que el problema

(P ) posee una unica solucion (de clase uno) definida en I. Dicha solucion viene definidaimplıcitamente en I por la ecuacion:

(3.11)

! x

x0

1

h(s)ds =

! t

t0

g(s) ds.

En un intervalo I ! ! I no esta asegurada la existencia de solucion y, en el caso de que existasolucion x : I ! " R de (P ), esta no tiene porque ser la unica ni tiene porque venir definidaimplıcitamente en I ! por la ecuacion (3.11).

Prueba. I) Supuesto h(x0) = 0 es trivial comprobar que la funcion constante x : It " R, t 1" x(t) =




x0 es solucion de (P ). Para ver que no esta asegurada la unicidad, recordamos el caso de la ecuacionx! = 3x2/3.

El problema de Cauchy (P ) :

"x! = 3x2/3

x(0) = 0, a parte de la solucion nula, tiene como solucion la

funcion definida por x(t) = t3 en cualquier intervalo abierto I , 0 (por pequeno que sea). Pero, dehecho, tal problema tiene infinitas soluciones definidas en R y en cualquier intervalo abierto I , 0,que serıan soluciones definidas ası:

x(t) =

123

24

(t# #)3 si t ( #

0 si # ( t ( $

(t# $)3 si t ) $

donde #,$ $ I y # < 0 < $.

II) El segundo caso (existencia y unicidad local) se sigue del teorema 3.1 visto para ecuacionesde variables separadas, aunque la cuestion no es tan simple como parece (para asegurar la unicidad).

En efecto, como h(x0) .= 0, x0 $#Ix y h es continua en Ix, existe un intervalo abierto Jx tal que

x0 $ Jx 4 Ix y tal que h(x) .= 0 para cada x $ Jx. De esta forma, podemos escribir 1h(x(t)) siempre

que x(t) $ Jx, es decir, siempre que la grafica de de la funcion t 1" x(t) se encuentre en It!Jx. Portanto, x : I " R, con grafica en It ! Jx es solucion de (P ) si, y solo si, es solucion del problema devariables separadas

(Q) :

"1

h(x(t))x!(t) = g(t)

x(t0) = x0

(el que x sea solucion de (Q) lleva ımplıcito que grafx / It ! Jx). El problema (Q) reune todaslas hipotesis del teorema 3.1 y, por tanto, podemos asegurar que existe un intervalo abierto I talque t0 $ I 4 It y tal que existe una unica funcion x $ C1

(I,R) que es solucion del problema(Q) en el intervalo I. En consecuencia, esta funcion es solucion en el intervalo I del problema(P ), obteniendose ası la existencia de solucion para (P ). Segun el razonamiento anterior tambienserıa la unica solucion de (P ) definida en I y con grafica contenida en It ! Jx. Lo que no quedaclaro con este razonamiento es el que x sea la unica solucion de (P ) definida en I. En mi opinionel razonamiento que nos puede llevar a esta conclusion no es simple y lo vamos a evitar (habrıaque probar que existe un intervalo I%, como el solicitado, posiblemente I% " I, tal que cualquiersolucion de (P ) definida en I% posee la grafica en It ! Jx; de esta forma, sı se podrıa concluir launicidad de solucion definida en el intervalo I%).

Una vez probada la existencia y unicidad, el que dicha solucion venga definida implıcitamenteen I por la ecuacion ! x

x0

1

h(s)ds =

! t

t0

g(s) ds

es tambien consecuencia del teorema 3.1, o mas precisamente de la proposicion 3.2.

Aportamos ahora un par de ejemplos de problemas de Cauchy asociados a dos ecuaciones vistasen la seccion anterior, para confirmar las dos afirmaciones que se dan en la segunda parte delteorema. Estos son

(P ) :

"x! = 2tx2

x(0) = 1y (P ) :

"x! = 3x2/3

x(1) = 1

En ambos casos estamos en una situacion considerada en la segunda parte del teorema pues lasfunciones g y h son continuas en R ( It = Ix = R) y h(x0) .= 0. Por tanto, se puede asegurar la


existencia de un intervalo abierto I, conteniendo al punto t0 = 0 en el primer caso y a t0 = 1 en elsegundo, donde el problema (P ) posee una unica solucion. Ciertamente podrıamos encontrar estassoluciones a partir de las resoluciones de las ecuaciones diferenciales x! = 2tx2 y x! = 3x2/3, vistasen la seccion anterior, pero, para mayor claridad, conviene obtenerlas directamente, tal como seindica en (3.11).

En el primer caso, la solucion viene definida implıcitamente por! x

1

1

s2ds =

! t

02s ds

de donde se obtiene trivialmente la expresion x(t) = 11"t2 . En principio, el resultado afirma que

existe un intervalo abierto I , 0 donde esta es la unica solucion de (P ). Por otra parte, observamosque x(t) = 1

1"t2 esta bien definida y es solucion del problema en el intervalo (#1, 1). El teorema 3.2no asegura que sea I = (#1, 1), pero, se puede demostrar que en el intervalo (#1, 1) es la unicasolucion del problema. Para intuir porque sucede esto, vease que la solucion obtenida tiene su graficacontenida en el dominio D = R! (0,%) y, por tanto, verifica x2(t) .= 0 para cada t $ I = (#1, 1).De esta forma, x es solucion en I del problema de variables separadas:

"1

x2(t) x!(t) = 2t

x(0) = 1

y sabemos, por la proposicion 3.2, que la unicas posibles soluciones de este problema debenvenir definidas implıcitamente por la ecuacion

# x1

1s2 ds =

# t0 2s ds; pero esta ecuacion solo de-

fine implıcitamente la funcion derivable: x(t) = 11"t2 . Por tanto, esta es la unica solucion de (P )

definida en (#1, 1) y con la grafica contenida en D.

Si consideramos un intervalo I ! ! I, vemos que (P ) no tiene solucion definida en I !, ya que lasolucion obtenida no posee lımites finitos cuando t tiende a los extremos del intervalo I.

!0, 1"

x!t"! 1

1"t2

D! !"!0, ##I ! !$1, 1"$1 1

D! !"!0, #"I ! !0, ##

x!t"! t3!1, 1#

x!t" ! 0

En el segundo caso, la solucion viene definida implıcitamente por! x

1

1

3s2/3ds =

! t

1ds

de donde se obtiene trivialmente la expresion x(t) = t3. Vemos que esta solucion es valida en todo

R, pero el teorema no asegura que haya solucion unica definida en R; asegura la existencia y unicidaden algun intervalo abierto I , 1. Vease que si t $ I = (0,%) se tiene (t, x(t)) $ D = R ! (0,%)




y, por tanto, 3(x(t))2/3 > 0. De esta forma x : (0,%) " R, x(t) = t3, es solucion del problema devariables separadas: "

13x2/3x

! = 1

x(1) = 1

y, razonando de la misma forma que en el caso anterior, se concluye que es la unica solucion delproblema (P ) definida en (0,%) y con la grafica en D. Se puede demostrar que x(t) = t3 es la unicasolucion de (P ) definida en I = [0,%). No obstante, en un intervalo I ! # I, como por ejemplo R,hay definidas infinitas soluciones de (P ). Una de ellas es x : R " R dada por

x(t) =

"0 si t ( 0

t3 si t ) 0

y vease que no se obtiene implıcitamente en su intervalo de definicion por# x1

13s2/3

ds =# t1 ds. De

esta forma tenemos asegurada la existencia y unicidad de solucion en cierto intervalo pero no encualquier intervalo y, ademas, en ciertos intervalos la solucion no viene dada por (3.11), de ahı quedigamos que hemos obtenido un resultado de existencia y unicidad local.

Del teorema 3.2 se sigue el siguiente resultado sobre existencia de soluciones (cuya simplısimacomprobacion dejamos como ejercicio).

Corolario 3.2.1 (Existencia de soluciones). Si g y h son funciones continuas en los intervalos

It e Ix respectivamente y t0 $#It y x0 $

#Ix, el problema de valor inicial

(P ) :

"x!(t) = g(t)h(x(t))

x(t0) = x0

posee al menos una solucion.

Observese que las hipotesis impuestas en el corolario anterior se traducen en que la funciondefinida por f(t, x) = g(t)h(x) es continua en cierta region del plano y eso nos permite asegurarque el problema

(P ) :

"x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

tiene al menos una solucion. Ya se comento en la introduccion de la asignatura (tema 1) que parala existencia de soluciones iba a ser suficiente con la continuidad de f en cierta region.

Llegado aquı, queremos hacer una advertencia sobre el uso de programas informaticos parala resolucion de problemas matematicos. En general, no podemos fiarnos plenamente de estosprogramas pues hay situaciones, ciertamente peculiares, en que dan soluciones incorrectas u omitensoluciones validas. Esto ultimo es lo que sucede con el Mathematica y las ecuaciones diferenciales.Por ejemplo, hemos visto que el problema

(P ) :

"x! = 3x2/3

x(0) = 0

posee infinitas soluciones definidas en R y en cualquier intervalo que contenga a t0 = 0. Sin embargo,si le proponemos a Mathematica que resuelva el problema (P ) mediante la instruccion

DSolve*)

x![t] == 3(x[t])23 , x[0] == 0

,, x[t], t

+


la respuesta que nos da es: x[t] " t3; es decir solo nos da una solucion, ni siquiera nos da la solucionnula. Por otra parte, si le damos instrucciones a Mathematica para que resuelva el problema

(Q) :

"x! = x2

x(0) = 0

nos contesta diciendo que le es imposible encontrar una solucion.

¿Porque sucede eso cuando trivialmente la funcion nula es solucion de (P ) y de (Q)?; de hecho,en el caso de (Q), es la unica solucion definida en R o en cualquier intervalo que contenga a t0 = 0.Porque Mathematica determina primero todas las soluciones de la ecuacion diferencial (comousualmente hacemos nosotros) y despues busca una solucion que verifique la condicion inicial.Pero, el programa no determina la solucion nula (en general, no determina las posibles solucionesconstantes de una ecuacion de variables separables) ya que procede de la forma poco rigurosa queexplicamos al principio del tema, en la que la manipulacion de la ecuacion diferencial lleva a dividirpor valores que pueden anularse:

1

3x2/3x! = 1

1

x2x! = 1.

Por esta razon pierde la solucion nula; en el primer caso no puede dar la nula ni las que se obtienen,definidas a trozos, mediante la nula y, en el segundo caso es incapaz de dar una solucion.

Se completa esta seccion dando un ejemplo de un problema de valor inicial asociado a unaecuacion de variables separables, que se encuentra en la segunda situacion del teorema anterior,con el objetivo de hacer ver que en ciertos casos (mas de los que uno cree) no es posible obtenerexplıcitamente las expresiones de las soluciones y, en consecuencia, tampoco podemos inspeccionarintervalos de existencia para tales soluciones. Este tipo de situacion no se da con las ecuacionesdiferenciales lineales.

Ejemplo 3.10. Estudio y resolucion del problema (P ) :

13

4x!(t) =

x(t) cos t

1 + 2x2(t)x(0) = 1

La funciones definidas por g(t) = cos t y h(x) = x1+2x2 son continuas en R y h(1) .= 0. Por

tanto, existe un intervalo abierto I , 0 donde (P ) posee una unica solucion que viene definidaimplıcitamente por la ecuacion

! x

1

1 + 2s2

sds =

! t

0cos s ds.

Los calculos de primitivas son inmediatos y, finalmente, la ecuacion resultante es

log x+ x2 = 1 + sen t.

Desgraciadamente, tenemos que dejar el problema ası pues no sabemos como despejar x de laexpresion anterior. Por otra parte, al no saber despejar x tampoco podemos inspeccionar unintervalo de existencia para tal solucion. No obstante, haciendo uso del teorema de la funcionimplıcita, podemos confirmar el resultado obtenido (esto no es necesario, pero es una forma decomprobar que todo es correcto y no nos hemos equivocado en los calculos).

Consideremos el abierto en R2dado por D = R ! (0,%) y la funcion f : D " R definida por

f(t, x) = log x + x2 # 1 # sen t. Observese que nuestra ecuacion se puede scribir ası: f(t, x) = 0.

Se verifica lo siguiente:




1. f(0, 1) = 0

2. f $ C1(D,R) y concretamente !f

!t (t, x) = # cos t, !f!x (t, x) =

1x + 2x.

3. !f!x (0, 1) .= 0.

Por tanto, se tiene asegurado la existencia de un intervalo abierto I , 0 y una unica funcion declase uno x : I " R (con grafica contenida en D), tal que x(0) = 1 y tal que f(t, x(t)) = 0 paracada t $ I, es decir,

(+) log x(t) + (x(t))2 = 1 + sen t para cada t $ I.

El mismo teorema de la funcion implıcita nos da tambien el calculo de la derivada x! de la funciondefinida implıcitamente ası:

x!(t) = #!f!t (t, x(t))!f!x (t, x(t))

=cos t

1x(t) + 2x(t)

=x(t) cos t

1 + 2x2(t),

lo cual confirma que tal funcion x es solucion del problema (P ).

Si olvidamos la formula de la derivada de x usada anteriormente, solo hay que derivar miembroa miembro en la igualdad

f(t, x(t)) = 0 para cada t $ I,

usando la regla de la cadena, para obtener

"f

"t(t, x(t)) +

"f

"x(t, x(t))x!(t) = 0 para cada t $ I.

De cualquier forma, para confirmar que una funcion derivable x, dada por (+), es solucion de laecuacion diferencial, unicamente tendrıamos que derivar miembro a miembro en tal expresion ası:

x!(t)

x(t)+ 2x(t)x!(t) = cos t,

de donde se deduce' 1

x(t)+ 2x(t)

(x!(t) = cos t y, por tanto, x!(t) =

cos t1

x(t) + 2x(t)=

x(t) cos t

1 + 2x2(t).

Insisto en que todo lo visto al final no es necesario realizarlo en cada caso que nos encontremos,analogo a este, si hemos usado correctamente el resultado del teorema 3.2 y hemos realizado bienlos calculos. Es simplemente una comprobacion.

Observese la respuesta del programa Mathematica a este problema. Damos el problema ası:

DSolve

5/x![t] ==

x[t]Cos[t]

1 + 2x[t]2, x[0]==1

0, x[t], t

6

y nos responde: 13

4

13

4x[t] "

7ProductLog

-2e2+2Sin[t]

.

-2

89

:

89

:

(¿que indica ProductLog ?) con las siguientes advertencias:


InverseFunction::ifun: Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued

inverses. >>

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;

use Reduce for complete solution information. >>

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;

use Reduce for complete solution information. >>

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use

Reduce for complete solution information. >>

General::stop: Further output of Solve::ifun will be suppressed during this calculation. >>

DSolve::bvnul: For some branches of the general solution, the given boundary conditions

lead to an empty solution. >>

3.4 Algunos modelos matematicos basados en ecuaciones autonomas:Modelos sobre poblaciones

El modelo de poblacion mas antiguo y usado durante cierto tiempo fue el modelo malthusiano(Malthus, 1798), que fue expuesto en el primer tema. Este dio lugar a una ecuacion lineal homogeneamuy simple: x!(t) = rx(t), que, como tal, es tambien una ecuacion de variables separables, en estecaso autonoma. El modelo malthusiano, que supone que el ritmo (velocidad) de variacion de unapoblacion en un instante t es directamente proporcional al numero de individuos que hay en eseinstante, se ha comprobado que solo resulta adecuado para predicciones a corto plazo pues estemodelo supone un crecimiento ilimitado (de tipo exponencial) de la poblacion, lo cual no es realistay solo sucede con cierto tipo de colonias de bacterias.

Modelo de poblacion de crecimiento limitado (modelo logıstico o de Verhulst)

Parece mas razonable suponer las siguientes hipotesis sobre una poblacion de personas o ani-males que viven en un medio sin competencias con otras personas o especies.

1. Supongamos que la tasa de natalidad n es superior a la de mortandad m, de manera que vaa aparecer en nuestro modelo una constante r = n #m > 0, que va a ser una caracterısticade la poblacion (la misma constante r que aparece en el modelo malthusiano).

2. La poblacion no puede crecer de forma ilimitada y, por tanto, debe existir un tamano maximoM para la poblacion (0 < M < %), que puede entenderse como un indicador de la capacidadmaxima del medio en que vive esa poblacion. En muchas ocasiones este tamano maximo esdesconocido y hay que estimarlo.

3. Al comienzo, cuando la poblacion es aun pequena, esta crece casi exponencialmente, como enel modelo malthusiano.

4. Cuando la poblacion va aumentando (siempre que no haya catastrofes, guerras u otros acon-tecimientos que puedan alterar significativamente el numero de habitantes), en el transcursodel tiempo la poblacion se va aproximando al tamano maximo M . A medida que se aproximaa este valor, la poblacion sigue creciendo pero a un ritmo cada vez mas lento (el crecimientose va amortiguando).

5. Si en algun momento sucede que la poblacion supera el tamano maximo M , por ejemplo, sirecibe una fuerte inmigracion en muy poco tiempo, el numero de habitantes debera decrecerhasta aproximarse al valor de M .



3.4. Algunos modelos sobre poblaciones 65

Teniendo en cuenta estas consideraciones, el modelo matematico que propuso el matematico ybiologo belga Verhulst en 1838 fue el siguiente:

(3.12) x!(t) = rx(t)'1# x(t)

M

(

donde x(t) indica el numero de individuos existente en la poblacion en el instante t. La ecuacionanterior es una ecuacion de variables separables, mas concretamente autonoma, que posiblementese entienda mejor si se escribe ası:

(3.13) x!(t) = rM x(t)

$M # x(t)

%.

La ecuacion diferencial autonoma (3.13) deja bien claro que el ritmo (velocidad) de variacion dela poblacion en cada instante t es directamente proporcional, tanto al numero de individuos x(t)que hay en ese momento como a la diferencia entre la poblacion maxima y la existente: M # x(t).Por otra parte vease que si en un intervalo de tiempo la poblacion x(t) es inferior al valor de M(lo usual) la derivada x!(t) es positiva por lo que la funcion poblacion t 1" x(t) es estrictamentecreciente en ese intervalo de tiempo. Si por alguna razon sucede que en un intervalo de tiempo losvalores de x(t) son superiores a M (una fuerte inmigracion) la derivada x!(t) serıa negativa y, ası,la funcion t 1" x(t) serıa, en este caso, estrictamente decreciente.

En 1760 el matematico Daniel Bernoulli propuso el modelo

(3.14) x!(t) = k x(t)(M # x(t)) donde k > 0 y M > 0,

para explicar la propagacion de una enfermedad contagiosa (como el virus de la gripe). En estemodeloM representa el numero de habitantes de la ciudad y x(t) el numero de personas contagiadasen el instante t, por lo que su modelo expresaba que la velocidad con la que la enfermedad sepropaga no solo es proporcional al numero de personas contagiadas: x(t), sino ademas, al numerode personas que aun no se habıan expuesto al contagio: M # x(t). Observese la similitud entre elmodelo de poblacion de Verhulst y el de Bernoulli (por lo que se piensa que el modelo de Verhulstesta inspirado en el de Bernoulli).

Vease que la ecuacion de Verhulst (y tambien la de Bernoulli) es un caso especial de ecuacionautonoma del tipo

(3.15) x! = ax# bx2 donde a, b son constantes,

concretamente a = r y b = rM . Observese que a

b = M. Esta claro que podemos suponer b .= 0 puessi b = 0 la ecuacion (3.15) resultante es la simple ecuacion lineal homogenea x! = ax que se usaen el modelo malthusiano. Las ecuaciones del tipo (3.15) son llamadas ecuaciones logısticas. Dehecho, es usual llamar modelo de poblacion logıstico al modelo de poblacion dado por Verhulst.

A la vista de lo anterior vamos a determinar las soluciones de la ecuacion logıstica (3.15) ycomo caso particular obtendremos las soluciones de (3.13). Vamos a suponer que en la ecuacionlogıstica las constantes a y b son positivas tal como sucede en la ecuacion de Verhulst. Si escribimosla ecuacion logıstica como

x! = x(a# bx)

apreciamos que esta ecuacion posee dos, y solamente dos, soluciones constantes validas en R, queson las dadas por las funciones x : R " R, t 1" x(t) = 0 y x : R " R, t 1" x(t) = a

b .

Siguiendo el metodo dado para ecuaciones de variables separables, podemos afirmar que lassoluciones con graficas contenidas en alguno de los tres dominios del plano que determinan las


graficas de estas dos soluciones constantes: D1 = R!(#%, 0), D2 = R!(0, a/b), D3 = R!(a/b,%),vienen dadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

(3.16)

!1

x(a# bx)dx = t+K, donde K $ R.

La primitiva que aparece en el primer miembro de (3.16) se determina descomponiendo la fraccion1

x(a"bx) en fracciones simples:

1

x(a# bx)=

A

x+

B

a# bx=' A =

1

ay B =

b

a,

y, por tanto, !1

x(a# bx)dx =

1

alog |x |# 1

alog | a# bx | = 1

alog

;;;x

a# bx

;;;.

De esta forma, la ecuacion resultante queda ası:

log;;;

x

a# bx

;;; = at+ aK, o equivalentemente,x

a# bx= Ceat, donde C .= 0.

Despejando x de la ecuacion anterior se obtiene x = aCeat

1+bCeat y, por tanto, las funciones derivablesque se obtienen de (3.16) son las definidas por

xC (t) =aCeat

1 + bCeatcon C .= 0.

Como b .= 0 podemos escribir la expresion anterior de una forma mas adecuada; concretamente:

(3.17) xC (t) =a/b

1 + 1bC e

"atC .= 0.

Estas soluciones xC junto con las dos soluciones constantes son las unicas soluciones de la ecuaciondiferencial (no tenemos aun herramientas matematicas para probar esta afirmacion, al igual que hasucedido con otros ejemplos vistos en este tema; pero vease que la funcion h : R " R, x 1" h(x) =x(a# bx) es de clase uno.)

Si C > 0 , al ser b > 0, las funciones anteriores estan definidas en R y, de hecho, son solucionesde la ecuacion logıstica en R. Obviamente estas funciones verifican 0 < xC (t) <

ab para cada t $ R

y son estrictamente crecientes. Esto ultimo es mejor comprobarlo directamente desde la ecuaciondiferencial, pues al ser xC (t) <

ab se tiene que xC (t)(a # bxC (t)) > 0 y ası x!

C(t) > 0 para cada t.

Por otra parte, sus graficas tienen a las graficas de las dos soluciones constantes como asıntotashorizontales:

limt$"&

xC (t) = 0 y limt$&

xC (t) =a

b.

Si C < 0 las funciones ya no estan definidas en R, son estrictamente decrecientes y sus graficastambien tienen como asıntota horizontal una de las soluciones constantes, aparte de que tienen unaasıntota vertical, de ecuacion t = t0 , siendo t0 = # 1

a log(#bC) el unico punto donde el denominadorse anula en la expresion (3.17). Concretamente si t < t0 es xC (t) < 0 y de la propia ecuaciondiferencial se deduce que xC es estrictamente decreciente. Por otra parte verifica:

limt$"&

xC (t) = 0 y limt$t0

xC (t) = #%.

La situacion anterior no tiene sentido en nuestro modelo de poblacion pues la poblacion x(t) nopuede ser negativa.




Si t > t0 es xC (t) > a/b y de la expresion de la ecuacion diferencial se deduce que xC esestrictamente decreciente. Por otra parte verifica:

limt$t0

xC (t) = % y limt$&

xC (t) = a/b.

Esta situacion reflejada en nuestro modelo de poblacion sı puede tener sentido y se correspondecon el caso en que hay una fuerte inmigracion y la poblacion supera el valor lımite M = a/b.

2.77

2

C < 0

C < 0

C > 0

a/b = 2

Solución nula

Solución constante x(t) =

Figura 3.5: Graficas de cinco soluciones de la ecuacion logıstica x! = 0.5x# 0.25x2 (aquı a/b = 2.)

Llevado todo esto al modelo de poblacion (3.13) (a = r y b = rM ), obtenemos dos soluciones

constantesx : R " R, t 1" x(t) = 0, x : R " R, t 1" x(t) = M

(que darıan lugar a dos situaciones lımites para la poblacion, poco realistas) y las otras solucionesserıan las definidas por

(3.18) xC (t) =M

1 + MrC e

"rtcon C .= 0.

Lo usual es conocer el valor x0 de la poblacion en un instante determinado t0 . Suponemoslogicamente que x0 > 0 y que x0 .= M. El problema de valor inicial correspondiente

(P ) :

"x!(t) = r

M x(t)$M # x(t)

%

x(t0) = x0

posee, en algun intervalo, una unica solucion que vamos a determinar a partir de (3.18). Imponiendoque xC (t0) = x0 , obtenemos

MrC =

'Mx0

# 1(ert0 ,

lo que llevado a la expresion (3.18) nos da la solucion:

(3.19) x(t) =M

1 +$Mx0

# 1%e"r(t"t0 )

.

(Aunque suponemos x0 .= M, vease que en la expresion anterior se obtiene x(t) = M cuandox0 = M.) En el caso 0 < x0 < M (caso usual), la solucion esta definida en todo R, es estrictamente

creciente y que verifica limt$&

x(t) = M. Si x0 > M, la solucion esta definida en el intervalo [t0 ,%),

es estrictamente decreciente y tambien verifica limt$&

x(t) = M.


A continuacion ponemos en practica este modelo en un caso real, comparandolo con el modelomalthusiano.

Comparacion entre la poblacion real en EE.UU y los datos proporcionados pordos modelos de poblacion

Ano Censo de EE.UU Modelo malthusiano Modelo logıstico

1790 3.93 3.93 3.93

1800 5.31 5.19 5.30

1810 7,24 6.48 7.13

1820 9.64 9.03 9.58

1830 12.87 11.92 12.82

1840 17.07 15.73 17.07

1850 23.19 20.76 22.60

1860 31.44 23.40 29.70

1870 39.83 36.15 38.65

1880 50.16 47.70 49.69

1890 62.95 62.95 62.95

1900 75.99 83.07 78.37

1910 91.97 109.63 95.64

1920 105.71 144.67 114.21

1930 122.78 190.91 133.28

1940 131.67 251.94 152.00

1950 151.33 332.47 169.56

1960 179.32 438.75 185.35

1970 203.21 579.00 199.01

1980 226.50 764.08 210.46

Tabla 3.1: El censo de los EE.UU. (en millones de habitantes) de acuerdo con los modelos malthu-siano y logıstico (modelo de Verhulst).

Para el modelo logıstico: x(t) =M

1 +$Mx0

# 1%e"r(t"t0 )

se ha tomado, logicamente, t0 = 1790

y x0 = 3.93 y, para estimar los valores de los parametros M y r se han usado los valores de lapoblacion en los anos 1840 y 1890, obteniendo ası los valores M = 250 y r = 0.03. De esta forma,el modelo logıstico usado ha sido:

(3.20) x(t) =250

1 + 62.5 e"0.03(t"1790)

Esto explica que los valores obtenidos para el modelo logıstico en los anos 1840 y 1890 sean exactos.

Para el modelo malthusiano: x(t) = x0 er(t"t0 ) se ha tomado t0 = 1790 y x0 = 3.93 y, para

estimar el valor del parametro r se ha usado el valor de la poblacion en el ano 1890, obteniendo




ası: r = 0.027737. De esta forma, tomando como r el valor 0.028, el modelo aplicado ha sido:

(3.21) x(t) = 3.93 e0.028(t"1790)

Esto explica que el valor obtenido por el modelo malthusiano en el ano 1890 sea exacto.

Como muestra la tabla 3.1 la capacidad de prediccion del modelo logıstico es sorprendente,incluso a un siglo vista, sobre todo si se tiene en consideracion la enorme complejidad demografica(inmigraciones, guerras,etc) de la poblacion norteamericana. La guerra civil americana, tambienllamada guerra de Secesion americana, transcurrio entre 1861 y 1865. La guerra con Mejico, quetuvo como consecuencia la anexion de Texas, mitad del territorio mejicano, transcurrio entre 1846y 1848. El modelo logıstico funciona tambien con enorme precision con cultivos de bacterias y conciertas poblaciones de parasitos de las frutas.

Por otra parte, en el ano 1990, la poblacion residente en EE.UU era aproximadamente de 249millones de habitantes. A principios del ano 2011 era aproximadamente de 310 millones. Obser-vese que el modelo logıstico usado tambien predice una poblacion maxima M de 250 millones dehabitantes, prediccion que se cumple hasta el ano 1990.

Sin embargo, como se puede apreciar, el modelo malthusiano solo resulta adecuado en los 110primeros anos (¡no esta mal!) pero vease que a partir de 1920 los valores se disparan y son mas deldoble o del triple de los valores reales.

1790 1840 18901930 1980

3.93

17.07

62.95

133.28

210.46

250

Figura 3.6: Una grafica del modelo logıstico (3.20) usado para la poblacion de EE.UU.

1790 1840 1890 1930 1980

17.07

62.95

190.91

250

438.75

579

Figura 3.7: Una grafica del modelo malthusiano (3.21) usado para la poblacion de EE.UU.


Ejercicios propuestos :

1. Prueba que existe un intervalo donde el problema de valor inicial

"xx! = et

1+et

x(0) = 1posee una unica

solucion y determina tal solucion. ¿Puedes precisar cual es el mayor intervalo donde sucede lo anterior?.

2. Comprueba que el problema

"(x# 1)x! = log t

t

x(1) = 1posee unicamente dos soluciones en el intervalo

I = (0,%), hallando, a la vez, estas dos soluciones.

3. Determina todas las soluciones de la ecuacion diferencial: xx! + (1 + x2) sen t = 0.

4. Comprueba que en cualquier intervalo que contenga al 0 el problema de Cauchy

"x! = 2 t"x

x(0) = 1tiene

una unica solucion y halla tal solucion.

5. Comprueba que el problema

"x! = x2

x(0) = 1posee solucion en algun intervalo abierto I , 0 pero no posee

solucion definida en R.6. Resuelve la ecuacion diferencial x! = x2 # 4 y, en particular, halla la solucion que verifica x(0) = 0.

Comprueba que esta solucion es valida en R y estudia su comportamiento cuando t " #% y cuandot " %. Comprueba que su grafica tiene dos asıntotas horizontales, que son las graficas de las dossoluciones constantes de la ecuacion.

7. Determina, si es posible, una solucion x : R " R de la ecuacion diferencial x! = 3x2/3 que verifique:x(#3) = #1 y x(2) = 27.

8. Comprueba que el problema de valor inicial

"x! = x2/3

x(1) = 127

tiene una unica solucion en un determinado

intervalo y, sin embargo, posee infinitas soluciones definidas en R.9. Determina una solucion, valida en R, para cada uno de los siguientes problemas

"x! = 2

&|x |

x(1) = 1

"x! = 2

&|x |

x(1) = #1.

10. Comprueba que el problema de valor inicial:

"x! = 3

23-x

x(1) = #1posee una unica solucion en algun intervalo

abierto I , 1 y determina tal solucion. Estudia si existe alguna solucion de este problema que seavalida en R y, en caso afirmativo, da una solucion.

11. (La ecuacion diferencial de Gompertz) Un modelo alternativo al modelo de poblacion logıstico (decrecimiento limitado) se basa en la ecuacion diferencial de Gompertz :

x! = k x (logM # log x) donde k y M son constantes positivas.

Esta ecuacion se usa en modelos de poblacion, ha sido utilizada para la simulacion de crecimientosde tumores en animales y tambien se usa en ciertos modelos de la Economıa. En cualquiera de estoscasos M tambien indica un valor lımite. Determina las soluciones de dicha ecuacion y estudia elcomportamiento de estas en los extremos de sus intervalos maximales de definicion. [Indicacion: serecomienda escribir la ecuacion diferencial ası: x! = k x log

$Mx

%.]

!



Ecuaciones diferenciales de variables separables · Tema 3 Ecuaciones diferenciales de variables...

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