Ecuaciones Diferenciales [Borrelli, Coleman]

QA 371 B72002 ROBERT L. BORRELLI COURTNEY S. 1 1111 11 1111111111 11111 11111 11111 11111 11111 Illll 11111 1111 1111

0233003104 ECUACIONES DIFERENCIALES. UNA PERSPECTIVA DE MODELACION .

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ecuaciones diferenciales

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ecuaciones diferenciales Una perspectiva de modelacin

Robert L. Borrelli Courtney S. Coleman

Traduccin Yazmn Jurez Parra

Revisin tcnica 1 naca Barradas Bribesca '

OXFORD UNIVERSITY PRESS


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Antonio Caso 142, San Rafael, Delegacin Cuauhtmoc, c.p 06470, Mxico, D.E

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Divisin: Univers itaria rea: Matemticas

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Parlada: Jos Carlos Quezada Garca

ECUACIONES DIFERENCIALES Todos los derechos reservados 2002, respecto a la primera edic in en espaol por

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ISBN 970-613-6 11-8 Traducido de la primera edicin en ingls de

Differential equations: a modeling perspeclive Copyright 1998 by John Wiley & Sons, Inc

ISBN 0-47 1-04230-7 Alfaomega Grupo Editor es distribuidor exclusivo para todos los pases de habla hispana

de esta coedicin realizada entre Oxford University Press Mxico, SAo de C. V y Alfaomega Grupo Editor, SAo de C. V

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Pilgoras 1139, Co l. Del Valle, 03100, Mxico, D.E Impreso en Mxico

Primera reimpresin: septiembre de 2005 Esta obra se termin de imprimir en septiembre de 2005 en

Li togrfi ca Cozuga, SA de C. v., Calzada Tlati lco Nm. 78, Col. Tlatilco, 02860, Mx ico, D.F. ,

sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g. El tiraje fue de 2 000 ejemplares.


Agradecimientos Prefacio Perspectiva de los estudiantes

1.1 Una aventura de modelacin 1.2 Representacin visual de las curvas solucin 1.3 En busca de frmulas de solucin 1.4 Modelacin con EDO lineales 1.5 Introduccin a la modelacin y a los sistemas 1.6 Ecuaciones diferenciales separables 1.7 Sistemas planos y EDO de primer orden 1.8 Pldoras para el resfriado 1.9 Cambio de variables y modelos de persecucin

Tcnicas de frmulas de solucin en las que intervienen EDO de primer orden

IX XI XV

1

1 11 18 29 41 57 69 82 93

104

2.1 Existencia y unicidad 107 2.2 Extensin y comportamiento de largo plazo 117 2.3 Sensibilidad 131 2.4 Introduccin a las bifurcaciones 141 2.5 Soluciones aproximadas 149 2.6 Ejecucin en computadora 159 2.7 Mtodo de Euler, la EDO logstica y el caos 167

3.1 Resortes: modelos lineales y no lineales 3.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus propiedades 3.3 EDO lineales homogneas de coeficientes constantes, I 3.4 EDO lineales homogneas con coeficientes constantes, II 3.5 Soluciones peridicas y movimiento armnico simple 3.6 Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogneas

con coeficientes constantes 3.7 Teora general de las EDO lineales

179 191 202 214 223

228 242

Resumen de los operadores polinomiales con coeficientes constantes 254


VI

4.1 Leyes de Newton y el pndulo 4.2 Pulsaciones y resonancia 4.3 Modelacin de la respuesta de frecuencia 4.4 Circuitos elctricos

5.1 Sistemas de primer orden 5.2 Propiedades de los sistemas 5.3 Modelos de especies que interactan 5.4 Modelos depredador-presa 5.5 La plaga de zarigeyas: un modelo en potencia

6.1 Introduccin a la transformada de Laplace 6.2 Clculo de la transformada 6.3 Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automvi les 6.4 Convolucin 6.5 La convolucin y la funcin delta

Tablas de transformadas de Laplace

7.1 Rastreo de plomo a travs del organismo 7.2 Introduccin a los vectores y las matrices 7.3 Sistemas de ecuaciones lineales

ndice de contenido

257 269 278 289

303

303 317 332 343 352

539

539 368 380 392 397 404

407

407 414 421

7.4 Valores y vectores caractersticos de matrices 434 7.5 Sistemas lineales homogneos con coeficientes constantes 445 7.6 Sistemas lineales homogneos: valores caractersticos complejos 457 7.7 Retratos orbitales 466 7.8 Sistemas no homogneos y la matriz exponencial 480 7.9 Estados estacionarios de sistemas lineales no homogneos 490

7.10 Flujo de plomo, filtro de ruido: estados estacionarios 501 7.11 Teora general de sistemas lineales 509


ndice de contenido

-

'-~

8.1 Estabilidad de sistemas lineales 8.2 Estabilidad de un sistema casi lineal

Estabilidad de sistemas planos perturbados . 8.3 Sistemas conservativos 8.4 Funciones de Lyapunov

9.1 Ciclos 9.2 Comportamiento de largo plazo 9.3 Bifurcaciones 9.4 Caos

10.1 Vibraciones de una cuerda 10.2 Funciones ortogonales 10.3 Series de Fourier y aproximacin media 10.4 Serie trigonomtrica de Fourier 10.5 Semiintervalo y serie de Fourier exponencial 10.6 Problemas de Stuhn-Liouville 10.7 Separacin de variables 10.8 La ecuacin de 'calor: profundidad ptima para una cava 10.9 Ecuacin de Laplace

11. Se/Ue.d,~: ~ de Be&UJ If ~de.f~

11.1 Resortes deteriorados y temperaturas permanentes 11.2 Series solucin cerca de un punto ordinario 11.3 Polinomios de Legendre 11.4 Puntos singulares regulares 11.5 Series solucin cerca de puntos singulares regulares, 1 11.6 Funciones de Bessel 11.7 Series solucin cerca de puntos singulares regulares, 11 11.8 Temperaturas estables en esferas y cilindros

VII

517

VIII

A.l Vibraciones de una cuerda A.2 Proceso de Picard para resolver

un problema de valor inicial A.3 Extensin de soluciones A.4 Sensibilidad de las soluciones a los datos

B.l Funciones de ingeniera B.2 Series de potencias B.3 Nmeros complejos y funciones complejas-valuadas B.4 lgebra y funciones trigonomtricas tiles B.5 Resultados tiles del clculo B.6 Cambio de escala y unidades

ndice de contenido

771

771

773 781 783

789

790 792 795 798 799 803

809

821


Estamos en deuda con tres maravillosas personas que colaboraron con nosotros en esta obra. Tony Leneis es el autor principal de ODETooIkit, una poderosa interfaz interactiva constituida por una serie de instrucciones para el dispositivo de resolucin de ecuaciones diferenciales DEQSolve que se utiliz para crear todas las grficas. Dave Richards tiene una notable visin para la composicin y las ilustraciones, y en cada pgina se hace pa-tente su habilidad tipogrfica con BT0. Jenny Switkes nos ayud en todos los aspectos relacionados con el texto. Su buen humor, paciencia y notables aptitudes fueron de gran vala. Fue un verdadero placer trabajar con estos tres talentosos colegas.

Agradecemos tambin a muchas otras personas que contribuyeron para llevar a cabo esta obra. El profesor Beverly West nos hizo muchas sugerencias acertadas. Will Suckow se encarg del diseo de las simpticas computadoras animadas que pueblan todo el tex-to. Sally Arroyo aport excelentes ideas de diseo. Kevin Carosso, Ned Freed y Dan Newman son los autores de DEQSolve, que se basa en LSODA, que a su vez desciende de DIFFSUB, de C. W. Gear; DIFFSUB forma parte de ODEPACK, creacin de Alan Hindsmarsh en Lawrence Livermore National Laboratories. Asimismo, queremos agra-decer al departamento de matemticas y a la administracin del Harvey Mudd College por su apoyo y su estmulo.

Queremos extender de manera especial nuestra gratitud a Tiffany Amal, Claire Launay y Joel Miller, quienes contribuyeron de muchas maneras importantes en las fases finales del proyecto. Tambin queremos dar las gracias a los siguientes alumnos, que hicieron mucho para mejorar el libro y los problemas: Aron Archer, Patri Forwalter-Friedman, Mo-toya Kohtani, Aaron Lamb, Christie Lee, Dan Lpez, Susan McMains, Robert Prestegard, Justin Radick, Marie Snipes, Kal Wong, Xuemei Wu, Kaiqi Xiong y ~ob Zirpoli.

Los autores estamos en deuda con quienes revisaron las versiones anteriores de este texto; sus comentarios y sugerencias fueron de gran valor. En particular, queremos agra-decer a los profesores David Arnold, Ulrich Daepp, Steven R. Dunbar, Rahim Eighanrni, Richard. Elderkin, Mark Farris, Roland di Franco, Mark Fuller, Ben Fusaro, Matthias Kawski, David Kraines, David Lemer, Zhongyuan Li, Michael Montano, Michael Moody, Mike Pepe, Karl E. Petersen, Bhagat Singh, Ed Spitznagel, Kenneth Stolarsky, David Voss, Rich West y Christina M. Yuengling. Adems, agradecemos a los siguientes alum-nos revisores: Matthew Anderson, Shannon Holland, Kevin Huffenberger, ltai Seggev y Treasa Sweek. Por supuesto, la responsabilidad de los errores es nuestra.

Por ltimo, tenemos una deuda de gratitud con Barbara Holland, nuestra editora de ma-temticas en Wiley, por su generoso apoyq, consejos y estmulo durante la redaccin del libro. Te lo agradecemos de corazn, Barbara.

R. L. Borrelli C. S. Coleman

[email protected] [email protected]

Claremont, agosto de 1997


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1M~IfIM~cieun~~, G CiMIU:i.Ie cie ~ ~ un Hfa/I, cie ~ If' con !f, ~, ~ con eIIa4? MocieLca! p(Jl,~, ~: he aJ el ~!:

2ueel~Jei~~cie~ ...


Las ecuaciones diferenciales son una poderosa herramienta en la construccin de modelos matemticos para el mundo fsico. Su aplicacin en la industria y la ingeniera es muy ex-tensa y cumplen tan bien su cometido que se han convertido en uno de los instrumentos de modelacin ms fructferos. A ello debe agregarse que la actual es una poca sumamente propicia para estudiarlas porque los medios computarizados de resolucin interactiva pue-den generar con rapidez y sin problemas representaciones grficas sorprendentes muy pro-vechosas para entender las propiedades de los sistemas dinmicos.

(j~ Jei cwz.do. if rk la ~ ste es un libro introductorio para estudiantes de ciencias, matemticas e ingeniera; sus

temas centrales son la visualizacin grfica y la modelacin. Desde los primeros captulos se exponen los sistemas diferenciales y los mtodos numricos, y se alienta a los estudian-tes a que utilicen desde el principio medios numricos de resolucin. Nuestro objetivo es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar por qu y que les transmita nuestro entusiasmo y gus-to por el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Si bien se adopta la perspectiva moderna sobre los sistemas diferenciales como sistemas dinmicos en desarrollo, se conservan los temas y objetivos de un curso normal. Se exponen temas de suma actualidad, como sensibilidad, comportamiento de largo plazo, bifurcacin y caos, pero tambin las frmulas de solucin y la teora que se espera en un primer curso.

En esta obra se da por sentado que el estudiante tiene conocimientos de clculo de una va-riable. En pocas secciones (casi todas de los ltimos captulos) se requiere cierto conoci-miento bsico de derivacin parcial. Debido a que los conceptos lineales se presentan a medida que se necesitan, no se presupone un curso de lgebra lineal. Para aprovechar al mximo este texto los alumnos deben contar con medios numricos de resolucin, pero de igual modo pueden aprender bien incluso sin ningn medio de sos.

No se precisan conocimientos de programacin para utilizar este libro. En la actualidad existen numerosos medios de resolucin de ecuaciones diferenciales que no exigen que el usuario sea experto en computacin. Entre ellos se cuentan las calculadoras manuales, computadoras personales, estaciones de trabajo o grandes sistemas de cmputo. No se da preferencia a ninguno de ellos.


XII Prefacio

Mtodo de sistemas dinmicos. En el texto se adopta un mtodo de sistemas dinmicos por medio del cual se modelan los procesos naturales que evolucionan con el tiempo. Se abordan las cuestiones bsicas de existencia, unicidad, comportamiento de largo plazo y sensibilidad a los datos como temas recunentes.

Modelacin matemtica. Cada cuadro narra una historia: la elaboracin de un modelo es co-mo dibujar un cuadro del sistema, e interpretar la solucin de las ecuaciones del modelo es

. como contar una historia. Existe un gran nmero de modelos en el texto a partir de los cua-r-t~\;!~~~l'::s les se puede elegir. Algunas secciones estn dedicadas por completo a uno solo de ellos, pe-. \/. ~ ro en casi todo el libro los modelos comprenden nicamente una parte de una seccin. Por

. / tanto, el texto permite flexibilidad en el tratamiento de la modelacin . ~

www

nfasis en la visualizacin grfica. Las soluciones de una ecuacin diferencial ordinaria son funciones cuyas grficas conesponden a curvas, las cuales pueden generarse por compu-tadora y dar una prueba visual convincente de las deducciones matemticas, as como una clara comprensin de complicadas frmulas de resolucin. Cada grfica de este texto viene con la informacin necesaria para reproducirla. Estas grficas son el resultado real de un medio numrico de resolucin, no interpretaciones artsticas. El libro y los cientos de gr-ficas de soluciones destacan esta conexin visual con la teora.

Los medios numricos de resolucin se utilizan desde el principio. Con la gran disponibi-lidad de medios numticos de resolucin excelentes y econmicos, tiene sentido introdu-cir un mtodo de solucin numrica desde el principio, de modo que los estudiantes em-piecen a examinar la geometra de las soluciones y cmo cambian stas cuando se modi-fican los elementos de una ecuacin diferencial. La introduccin de las computadoras en el curso produce un marcado inters en la comprensin de los sistemas dinmicos . Las propiedades bsicas de los sistemas dinmicos son una valiosa henamienta para interpre-tar la presentacin visual de las soluciones de ecuaciones diferenciales.

Los sistemas se presentan desde el principio. Desde el comienzo se abordan los sistemas simples de ecuaciones diferenciales en forma directa durante el proceso de modelacin, ya que es natural hacerlo as. Esto no representa un problema porque los medios computari-zados de resolucin de ecuaciones pueden manejar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con la misma facilidad que resuelven una sola ecuacin diferencial.

Apndices. En el apndice A se encuentran las demostraciones de los fundamentos mate-mticos de las ecuaciones diferenciales . En el B se incluye material de apoyo til.

Conjuntos de problemas. Los problemas constituyen la parte central del libro. En la mayor parte de las secciones hay problemas para los que debe emplearse un medio numrico de resolucin (se indican con un icono de computadora). Numerosas secciones contienen pro-yectos abiertos apropiados para un equipo de alumnos (se destacan con un icono de saludo de manos). Las respuestas a los problemas con nmeros subrayados vienen al final ; las de los que estn marcados con el icono www se encuentran en el sitio web de Wiley, en

http://www.wilwy.comlcollege/bonelli.


Prefacio XIII

Son posibles muchos cursos basados en este libro; a continuacin se presenta un curso de un semestre para alumnos que por vez primera tienen contacto con las ecuaciones diferenciales.

Captulo 1: Captulo 2: Captulo 3: Captulo 4: Captulo 5: Captulo 7: Captulo 8: Captulo 9:

secciones 1.1 a 1.7 secciones 2.1 a 2.6 secciones 3.1 a 3.6 secciones 4.1, 4.2 o 4.3 secciones 5.1, 5.2 Y 5.3 o 5.4 secciones 7.1 a 7.7 secciones 8.1, 8.2 secciones 9.1, 9.2

Las secciones de los captulos 8 y 9 pueden sustituirse por material de los captulos 10 u 11 si es ms apropiado para el curso.

g~ En el Student Resource Manual (MRA; manual de recursos para el estudiante) se propor-

cionan las soluciones completas (junto con grficas) de cada inciso de los problemas pares (no se incluyen los problemas de equipo). Asimismo, donde es apropiado se dan amplias demostraciones de los teoremas que se presentan. En el sitio web de Wiley se encuentra una muestra de soluciones del MRA para los problemas marcados con www .

Los autores, junto con William Boyce, han creado un conjunto de experimentos con gr-ficas por computadora y proyectos de modelacin (tambin publicado por Wiley) con el t-tulo de Differential Equations Laboratory Workbook (libro de ejercicios para el laboratorio de ecuaciones diferenciales), con el que se complementa un curso de ecuaciones diferencia-les ordinarias. En el apndice de ese libro de ejercicios se ofrece un repaso casi telegrfico de tres ambientes de modelacin: procesos de tasa de cambio, circuitos elctricos y mec-nica. Tambin s'e incluyen muchas grficas de soluciones de ecuaciones diferenciales que sirven como referencia visual til. El libro que tiene usted en las manos es una parte inde-pendiente de ese libro de ejercicios, aunque ambos se complementan entre s.

Para conocer los suplementos el profesor debe recurrir a la editorial.

A mi esposa, Ursula Marie, cuya paciencia y comprensin a veces llegaron al lmite a cau-sa del programa de trabajo extraordinario que se necesit para crear este libro. Como bien lo expres Petrarca: Tu che dentro mi vedi e' 1 mio mal senti / et sola puoi finir tanto do-lore / con la tua ombra acqueta i miei lamenti. (RLB)

Este libro est dedicado a mi maravillosa y paciente esposa, Julia, y a nuestros hijos, sus esposas y nuestros nietos: David, Sally, Elizabeth, Brittany, Rebecca, Timothy, Mar-garet, Chuck, Erica, Katie, Diane, David y Christopher. (CSC)


Somos los estudiantes que ayudamos a que este libro quedara perfecto. Nuestra experien-cia con esta labor empez cuando tomamos el curso de ecuaciones diferenciales, en el que utilizamos la edicin preliminar. Luego, de algn modo (del cual sabemos poco) nos ab-sorbi el proyecto. Al empezar no tenamos la menor idea de en qu nos metamos. Hemos descubierto algo: es difcil escribir un libro de texto bueno y completo. Si hubisemos pre-visto la cantidad de trabajo que nos aguardaba, sobre todo en las etapas finales, habramos preferido unas buenas vacaciones de verano. Sin embargo, creemos que vali la pena.

Se nos asign una misin: aplicar nuestra propia experiencia con el texto a fin de me-jorarlo para el alumno. Lemos cada captulo con espritu crtico e hicimos sugerencias acerca de cmo podra facilitarse la comprensin de los ejemplos y explicaciones. Cono-camos bien algunos captulos, de modo que sabamos qu cambios los mejoraran. No obstante, desconocamos por completo otros y tuvimos que asumir nuestro papel de alum-nos para estudiar lo expuesto por primera vez (sin ayuda del profesor).

Cuando terminbamos un captulo, entregbamos pilas de sugerencias a los autores, quienes tomaban en cuenta todos los comentarios y los usaban para ponerse de acuerdo no slo entre ellos, sino tambin con nosotros, sobre cmo podra mejorarse el libro. Al-gunas secciones necesitaban cambios menores; otras tuvieron que ser escritas de nuevo. y podemos ver plasmados nuestros comentarios y sugerencias no slo en los cambios ligeros sino tambin en los de trascendencia. Consideramos que estos cambios han mejorado el libro.

Desde el principio esta obra fue un poco distinta de las dems, y sigue sindolo. Su nfa-sis en la modelacin da un propsito a las ecuaciones diferenciales. No se limita a ensear a los alumnos cmo resolver ecuaciones diferenciales que modelan una situacin; les muestra tambin cmo construir el modelo. El acento en el anlisis grfico y la visualizacin hace que los conceptos sean ms intuitivos. Los numerosos ejemplos contribuyen a lograr una me-jor comprensin. Con este nuevo enfoque se facilita el acceso a los conceptos relacionados con las ecuaciones diferenciales.

Esperamos que nuestro trabajo, que se fund en la ptica de los alumnos, sirva de apo-yo para los estudiantes que lo utilicen. Buena suerte!

Tyffany Amal Claire Launay Joel Miller

2000 2000 2000


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15

OO .0 0.5

CaptuloVelocidad inicial = 20 mis 1

1.0 1.5 2.0Tiempo (s)

2.5 3.0

Lance una pelota al aire. Le lleva mstiempo subir o bajar? Revise el ejemplo 1.5.5. Ecuaciones diferenciales de

primer orden y modelosCuntas toneladas de pescado pueden recogerse al ao sin exterminar la pobla-cin? Cuando duplica la dosis de medicamento contra el resfriado, se queda dor-mido en la clase de matemticas? Tardams en subir una pelota que en caer? Eneste captulo se modelan los procesos naturales por medio de ecuaciones diferen-ciales a fin de responder stas y muchas otras preguntas.

1.1 Una aventura de modelacinLas ecuaciones diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comporta-miento de procesos con cambios dinmicos. Utilizaremos tales herramientas para responderpreguntas acerca de procesos que de otra manera son difciles de contestar.

Considere, por ejemplo, la poblacin de peces de uno de los grandes lagos. Qu tasade pesca conserva en cantidades aceptables la poblacin de peces y la industria pesquera?Emplearemos ecuaciones diferenciales para determinar cmo cambia la poblacin de pe-ces a lo largo del tiempo con base en las tasas de nacimiento, muerte y captura.

La clave que indica que puede usarse una ecuacin diferencial para describir lo que su-cede radica en las palabras tasas de nacimiento, muerte y captura. La palabra clave estasas. Las tasas son una derivada con respecto del tiempo, pero qu cantidad va a deri-varse en este caso? Midamos la poblacin de peces vivos en el instante t entre el tonelaje


2

1& Si H es una constan-te positiva, entonces se trata de un modelo de captllra de tasa cOlIstante.

Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos

total y(t), con el tiempo en aos. Entonces la tasa de cambio neta de la poblacin de peces expresada en toneladas de pescado por ao es dy(t)/dt, que se escribe y'(t) o, simplemen-te, y' . En cualquier instante t, se tiene

y'(t) = tasa de nacimiento - tasa de muerte - tasa de captura (1)

donde cada tasa se mide en toneladas por ao. Supngase que las tasas de peces inmigran-tes y emigrantes de los ros que se comunican con el lago se anulan entre s, de modo que no es necesario escribirlas en (1) . De la observacin minuciosa de numerosas especies du-rante muchos aos se sabe que la cantidad de peces que nacen y mueren es proporcional al tamao de la poblacin:

Tasa de nacimiento en el instante t: by(t) Tasa de mortalidad en el instante t: (m + cy(t))y(t)

donde b, m y c son constantes de proporcionalidad no negativas. La dificultad radica en que al coeficiente de mortalidad natural, m, se suma el trmino cy(t), lo que explica la so-brepoblacin. A medida que crece la poblacin en un hbitat estable, la tasa de mortali-dad suele crecer mucho ms rpido de lo que puede explicarse con un solo coeficiente constante m. El trmino de "sobrepoblacin" es necesario para modelar este factor de mortalidad acelerado.

Unamos ahora todas las piezas y creemos un modelo.

Construccin del modelo matemtico

Sea H la tasa de captura. Entonces, con la ley que se expresa con (1) tenemos una ecua-cin diferencial para y(t):

y' = by - (m + cy)y - H

o bien,

y' = ay - cy2 - H (2)

donde a = b - m se supone positiva. Una ecuacin como la (2), con una funcin por determi-nar de una sola variable y sus derivadas, se denomina ecuacin diferencial ordinaria (EDO).

En relacin con el modelo de pesca, cabe sealar que la observacin de una poblacin real de peces da una idea muy precisa de las tasas de natalidad y mortalidad (por tanto, se supone que a y c son valores conocidos) y que la tasa de captura H est controlada. Enton-ces queda por determinar el tonelaje y(t) a partir de la EDO (2) . Una funcin y(t) para la que

y'(t) = ay(t) - c(y(t))2 - H


1.1 / Una aventura de modelaci6n 3

1& Suele decirse que y(t) satisface una EDO para indicar que y(t) es una solucin de la EDO.

para toda t en un intervalo se denomina solucin de la EDO (2). Puede calcularse el valor Yo de y(t) en cualquier instante to, Y con seguridad debe ser un factor fundamental para predecir valores posteriores de y(t). La condicin y(to) = Yo se llama condicin inicial.

Al medir el tiempo a partir de to hemos creado un problema cuya solucin y(t) son las toneladas de peces predichas para el futuro:

Modelo matemtico para la poblacin de peces a travs del tiempo

Dadas las constantes a y c, la tasa de captura H y los valores to Y Yo, calcule la funcin y(t) para la que

y' = ay- cy2-H, y(to) = Yo (3)

en algn intervalo t que contenga ato.

La EDO y la condicin inicial en (3) constituyen un problema de valor inicial (PVI) para y(t). En el captulo 2 veremos que el PVI general (3) tiene una solucin nica en al-gn intervalo t si la tasa de captura H es una constante, o si H es una funcin continua de tiempo. Es bueno saber que enfrentamos un problema que tiene exactamente una solucin, pese a que an no sabernos cmo obtenerla. Es corno saber de antemano que s embonan todas las piezas de un rompecabezas.

Cmo describiremos la solucin y(t) del PVI (3)? Con palabras, grficas o frmulas? Utilizaremos las tres cosas.

Frmula de solucin para el PVI (3) sin sobrepoblacin Hemos construido un modelo general de PVI para el tonelaje de peces. A fin de describir la resolucin, quiz sea mejor no atacar todo el problema de valor inicial, sino analizar primero los casos particulares.

Pensamos que no hay sobrepoblacin (entonces c = O) Y empecemos con un valor co-nocido Yo. Se obtiene entonces el siguiente PVI: obtenga y(t) de modo que

y' = ay -H, y(O) = Yo, t c. O (4)

Supngase que a, H y Yo son constantes no negativas. En seguida exponernos un mtodo para hallar una frmula de solucin para el PVI (4).

Digamos que y(t) es una solucin del PVI (4), es decir, y'(t) = ay(t) - H, y(O) = Yo (5)


4 Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos 7.1/

1& Explicamos estemtodo en la seccin1.3.

Al pasar los trminos de la EDO de (5) al miembro izquierdo y multiplicar por e-al se ob-tiene

e-at(y' - ay + H) = O (6)

En virtud de que (e-al)' = - ae:" y (e-aty(t))' = e-aly'U) - ae-at y(t), la EDO (6) se con-vierte en

(-al H -al)' Oe y--e =

aDel clculo sabemos que las funciones cuya derivada es cero son funciones constantes.Por tanto, para cierta constante C se tiene

-al () H =ate y t --e =ca

~ Fcin e:curva:

fica de

(7)

Si t = O en la frmula (7), entonces podemos resolver para C. Se obtieneH

yo--=Ca

(8)

ya que y(O) = yo. Por consiguiente, al multiplicar por e" cada miembro de la frmula (7),emplear el valor de C dado en (8) y reordenar los trminos, se observa que la solucin delPVI (4) tiene la forma

H ( H) aly(t) = ~ + Yo - ~ e , para t > O (9)

y' = y. o

7.7/ Una aventura de modelacin 5

lJf" Recuerde: una solu-ci" es una funcin; una curva solucilI es la gr-fica de una solucin.

lJf" Empiece la caliste-nia con su medio numrico de resolucin realizando usted solo la figura 1.1.3.

Para completar el proceso es conveniente comprobar que la funcin y(t) dada en (9) es en realidad una solucin del PVI (4).

Qu nos indica la frmula (9) sobre la poblacin de peces? Primero, si el tonelaje ini-cial Yo es exactamente H/a, entonces a partir de (9) se obtiene y(t) = H/a para toda t 2 O. Esta solucin constante y(t) = H/a se denomina solucin de equilibrio . Segundo, obsrve-se que si Yo es un poco mayor que H/a, entonces empieza el crecimiento exponencial; si es menor, se extingue la poblacin de peces debido a que hay un instante t* > O tal que y(t*) = O.

La grfica en el plano ty de una solucin y(t) de una EDO recibe el nombre de curva so-lucin . En la figura 1.1.1 se muestra el crecimiento exponencial de la poblacin cuando no hay pesca (H = O). En la figura 1.1.2 se observa tanto el crecimiento como el decrecimien-to exponencial a partir del equilibrio si hay pesca (H = 5/3 toneladas anuales). Estas dos grficas se obtienen directamente con la frmula (9) y software para trazar grficas.

Si Yo < H/a pronto se extinguir la poblacin, pero si Yo > H/a, entonces crece sin lmi-te (lo cual nunca sucede en la realidad). Por consiguiente, necesitamos un modelo mejor. Quiz sea indispensable tener en cuenta el trmino de la sobrepoblacin.

Sobrepoblacin sin captura de peces

Omitamos por el momento el trmino de la captura de la EDO y usemos otra vez el tr-mino de la sobrepoblacin para obtener el PVI

y' = ay- cy2, y(O) = Yo' t2 O (lO) donde a, c y Yo son constantes positivas. Aunque hay una frmula para resolver el PVI (lO) (vase el ejemplo 1.6.5), no es fcil obtenerla, por lo que se requiere otra forma de describir la solucin de tal problema. Hay programas de computadora denominados medios num-ricos de resolucin con los que se obtienen aproximaciones muy precisas de la solucin de un PVI como el (10), incluso cuando no hay frmula de solucin. Veamos qu puede hacer uno de esos medios con el PVI (lO).

En la figura 1.1.3 se ilustran curvas solucin aproximadas para el PVI (lO) con a = 1, e = 1/12:

y' = y-l / 12, y(O) = Yo' Yo = varios valores positivos, t 2 O (11) Hemos establecido el intervalo de tiempo de resolucin en la computadora en O::; t::; 10 a fin de predecir el tonelaje futuro y el intervalo de tonelaje en O::; y::; 20; los to-nelajes negativos carecen aqu de sentido.

Qu se sugiere en la figura 1.1.3 acerca del tonelaje de peces en evolucin a medida que transcurre el tiempo? Primero, al parecer hay dos niveles de equilibrio, y(t) = 12 pa-ra toda t 2 O Y y(t) = O para toda t 2 O. Son stas soluciones reales de la EDO de (11)? S, ya que las funciones constantes y(t) = 12 Y y(t) = O satisfacen la EDO, como puede comprobarse mediante sustitucin directa. Algo interesante es que al parecer el equili-brio superior atrae a las dems curvas solucin no constantes en el cuadrante de pobla-


6

20


cin y ~ 0, t ~ O. Por s sola, la poblacin de peces tiende al equilibrio sin importar cul sea la poblacin inicial.

Como utilizaremos con frecuencia algn medio numrico de resolucin, veamos cmo funcionan.

Algunas sugerencias para usar un medio numrico de resolucin

A travs del medio numrico de resolucin se obtiene el trazo de un valor aproximado de la solucin y(t) en cientos de instantes; luego estos puntos (instantes) se unen en la panta-lla de la computadora por medio de segmentos de recta. Cun bien se aproxime la grfica a la solucin real depende de la calidad del medio. Los analistas numricos han realizado un trabajo sobresaliente al construir medios de resolucin confiables; nosotros tenemos mucha confianza en los nuestros.

Por el momento, slo nos ocuparemos de los aspectos bsicos para usar el medio. Lo primero es escribir el PVI en la forma

y' = fU, y ), y(to) = Yo porque el medio debe conocer la funcinj(t, y) y el punto inicial (to, Yo). Puesto que dy/dt es la tasa de cambio con respecto al tiempo de la solucin y(t) del PVI, suele llamarse a f(t, y) funcin de cambio. A continuacin, debemos especificar un intervalo de tiempo de resolucin que abarque del punto inicial to al punto final ti . Se dice que el PVI se resol-ver hacia adelante si t) > to Y hacia atrs si t) < too

20 . y'=y -y2/ )2 -S/3, 0 :syo:S 20

y= 12

y = o

la 10 t (aos) t (aos)

Figura 1.1.3 Sobrepoblacin, sin captura: soluciones de equilibrio y = O, 12; PVI (11) .

Figura 1.1.4 Sobrepoblacin, captura: soluciones de equilibrio y = 2, 10; PVI (12).



lJZilf' En el manual de re-cursos para el estudiante se brinda ms informa-cin sobre cmo utilizar los medios numricos de resolucin.

20

Es indispensable indicar al medio cmo debe mostrar las curvas solucin. Para ello, an-tes de ordenarle que encuentre y trace las grficas de tales curvas, se establece el tamao de la pantalla (es decir, los intervalos de los ejes). Hay dos razones para hacerlo as:

Los medios bien diseados a menudo se desactivan automticamente cuando la curva solu-cin excede el rea de pantalla especificada debido a una mala seleccin del intervalo de tiem-po de resolucin. Esto evita que la computadora realice clculos intiles (y quiz que falle).

Algunos medios tienen valores preestablecidos que ajustan la dimensin de la pantalla de forma automtica para la curva solucin en el intervalo de tiempo de resolucin. En caso de tener una curva solucin demasiado grande no se ver mucho en la pantalla.

La eleccin del tamao de la pantalla correcto para obtener todas las caractersticas que se desean examinar es un arte y una ciencia al mismo tiempo. La habilidad para configu-rar la dimensin de la pantalla mejora con la experiencia.

Con lo visto hasta ahora estamos listos para volver al modelo de poblacin de peces. Abordemos nuevamente el tema de la industria pesquera para ver qu sucede.

Sobrepoblacin y captura de peces

Empecemos por incluir una pesca moderada, digamos, H = 5/3 toneladas por ao, de mo-do que el PVI (11) se convierte en

y' = y_l _1 = -J..-(y-2)(y-1O) y(O) = Yo ~ o, (12) 12 3 12 '

Con un medio numrico de resolucin se trazan las curvas solucin aproximadas del PVI (12) para los valores positivos de Yo (fig. 1.1.4). Hay dos soluciones de equilibrio: Y = 2 Y Y = 10, para toda t. La recta de equilibrio superior an atrae las curvas solucin, pero no

20 -y' = y - yl12 - 4, o < Yo < 20

15

10 t(aos)

y' = y- y2112 -H(/), o

8 Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos

a todas. Las que comienzan debajo de esa recta se curvan hacia abajo, hacia la extincin. Este modelo de una tasa de captura baja emite una seal de alerta amarilla: la pesca mo-derada no parece ser muy daina, al menos si el tonelaje inicial Yo es lo suficientemente alto; sin embargo, incluso una tasa de captura moderada podra causar la extincin si el nivel de poblacin inicial es bajo. No obstante, ste es un escenario en el que tanto la po-blacin de peces como la industria pesquera sobreviven bien.

Supngase ahora que no hay restricciones para los pescadores y que la tasa de captura es mucho ms alta; digamos que aumenta a 4 toneladas por ao. Se tiene entonces el si-guiente PVI con captura enorme:

2 I Y 4 Y =y- U - , y(O) = Yo, t~O (13)

Esta vez, si queremos obtener las soluciones de equilibrio con y' = O y utilizamos la fr-mula para la ecuacin cuadrtica a fin de calcular las races de Y - l /12 - 4, descubrire-mos que no hay ninguna. De hecho, y' siempre es negativa; en la figura 1.1.5 se observa la catstrofe que eso implica.

Prohibicin de pesca

No podemos permitir que se extinga la poblacin de peces. Veamos qu sucede con el mo-delo si despus de cinco aos de pesca a una tasa de 4 toneladas por ao se prohbe esa actividad durante cinco aos. Ahora la tasa de captura est dada por la funcin

y el PVI es 2

H() {4, O::;; t < 5 t = O, 5::;; t::;; 10

y' = y - ~2 - H(t), y(O) = Yo' O::;; t::;; 10 (14) Por fortuna, se sabe que aun cuando la tasa de pesca sea una funcin de activacin y de-sactivacin como H(t), un problema de valor inicial como el (14) tiene una solucin nica y(t) para todo valor de Yo. No tenemos una frmula para y(t), pero con el medio numrico de resolucin se obtiene una buena idea de su comportamiento.

Como era de esperarse, se rescata a la poblacin de peces de la extincin si Yo es grande. En la figura 1.1.6 se observa que luego de cinco aos de pesca intensa la poblacin sobreviviente se dirige al nivel de Y = 12. Hemos salvado a los peces, pero a costa de la industria pesquera.

En la figura 1.1.6 se muestra un rasgo extrao no visto en ninguna de las otras grfi-cas: esquinas en las curvas solucin. stas aparecen precisamente en t = 5, cuando la cap-tura se detiene de sbito. As, en las grficas se observa una discontinuidad en la tasa de captura como un cambio repentino en la pendiente de una curva solucin. No debe sor-prender, ya que la pendiente de una solucin y(t) es la derivada y'(t), y y'(t) en la EDO (14) se relaciona con la tasa de activacin y desactivacin de captura.



IBW El subrayado indica una respuesta al final del libro

IBW Los iconos de compu-tadora indican que debe usar un medio numrico de resolucin.

Comentarios

Hemos creado un modelo matemtico por medio de EDO para los cambios en el tamao de la poblacin, un modelo que incluye controles internos (el factor de sobrepoblacin) y externos (la tasa de pesca). Obtuvimos frmulas para las soluciones del modelo matemti-co en un caso simple; utilizamos un medio numrico de resolucin para trazar las grficas de las soluciones en los casos ms complejos, e interpretamos las soluciones en trminos de lo que sucede con la poblacin de peces. El modelo aqu presentado tiene sus defectos, como todos. Sin embargo, el proceso de modelacin nos ha permitido examinar las consecuencias de varias suposiciones acerca de la tasa de cambio de la poblacin de peces.

Hay muchos medios de resolucin buenos que exigen muy poca o ninguna habilidad de programacin. En esta obra no presuponemos un medio especfico.

Problemas _____________________ _

1. (Crecimiento exponencial.) Supngase que el PVI modelo para una poblacin de pe-ces est dado por y'(t) = ay(t), y(O) = Yo, donde a y Yo son constantes positivas (sin sobrepoblacin ni captura). (a) Obtenga una frmula de solucin para y(t). (b) Qu sucede con la poblacin a medida que transcurre el tiempo? Se trata de

un modelo objetivo? Explique por qu. 2. (Control por sobrepoblacin Y captura.) El PVI y' = y - y2/9 - 8/9, y(O) = Yo, donde

Yo es una constante positiva, es un caso especial del PVI (3). (a) Cul es el coeficiente de sobrepoblacin y sus unidades? Cul es la tasa de

captura? (b) Obtenga los dos niveles de equilibrio positivo. [Sugerencia: calcule las races

_ (e) de y - y2/9 - 8/9.] Trace las grficas de las curvas solucin del PVI para distintos valores de Yo. Utilice los intervalos O:::; t:::; 10, O:::; y:::; 15. Interprete lo que observa en tr-minos del futuro de la poblacin de peces.

3. (Reabastecimiento .) El reabastecimiento de la poblacin de peces con R toneladas de peces anuales da lugar a la EDO modelo y' = ay - cy2 + R, donde a y c son cons-tantes positivas. (a) Explique cada trmino de la EDO modelo. (b) Pruebe el modelo en el PVI y' = y - y2/12 + 7/3, y(to) = Yo para distintos valores

negativos de to Y Yo. Qu pasa con las curvas solucin si avanza o retrocede el tiempo? Utilice los intervalos O:::; t:::; 10, O:::; y:::; 25 para la pantalla. Interpre-te lo que observa.

(Captura y reabastecimiento peridicos.) Considere el PVI y' = y - y2 + 0.3 sen(21tt), y(to) = Yo (a) Explique el significado de la EDO en trminos de una poblacin de peces. Tra-

ce las curvas solucin para to = O y valores de Yo en el intervalo de O a 2. Utilice


10 Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos 1.2/

2020

1515

-;;;- 1&-;;;- '" consuos "O"O eeos " del n"'" 10 10g -=:- para,'" '"

t (aos) t (aos)

Figura 1.1.7 Temporada corta de captura de peces(problema 7).

www 5.

Figura 1.1.8 Temporada larga de captura de peces(problema 7).

los intervalos O ~ t ~ 10, O ~ Y ~ 2. Haga lo mismo para to = 1,2, ...,9 YYo=O. Interprete lo que observa en trminos de la poblacin de peces.

(b) Explique por qu se parecen las curvas solucin que comienzan en (to, Yo)Y(to+ 1, Yo). En el rectngulo O~ t ~ 10, -1 ~ Y ~ 2, trace la curva solucin quepasa por el punto to = 0.5, Yo = O. Por qu carece de sentido esta curva en tr-minos de la poblacin de peces?

(Captura con esfuerzo constante.) Los modelos de esta seccin sufren de un defecto.En niveles bajos de poblacin no puede mantenerse por mucho tiempo una tasa decaptura alta y fija porque se exterminara la poblacin. Un modelo ms seguro (paralos peces) es y' = ay - cy2 - Hoy, y(O) = Yo, donde a, e, Ho YYo son constantes posi-tivas. En este modelo, cuanto menor sea la poblacin menor ser la tasa de captura.(a) Interprete cada trmino de la EDO. Por qu se denomina captura con esfuer-

zo constante?(b) Para los valores de Ho menores que a, explique por qu con el modelo se ob-

tienen curvas solucin similares a las de la figura 1.1.3, pero posiblemente conuna poblacin de equilibrio diferente y estable.

(Captura intensa, captura moderada.) Qu sucede cuando tras un periodo de cap-tura intensa sigue otro de cinco aos de captura moderada? Combine los PVI (12) y(13) Y suponga que y' = y - y2/12 - H(t), donde

H(t) ={~i3,


10

1.2/ Representacin visual de las curvas solucin 11

Il@f Si se mete en losconsulte la seccin "Tips"del manual de recursospara el estudiante.

eces1.2

Yo =

y (faquetr-

ecto.a deparaosi-a.

cap-12) Y

Trace las curvas solucin para O:S; t :s; 10, O:S; Y :s; 20 e interprete lo que observa.Trace las rectas y = 10 YY = 2 en la grfica y explique su importancia para la pobla-cin para t e: 5.(Captura estaciona!.) Digamos que la captura es estacional, "activa" para los pri-meros meses del ao e "inactiva" para los restantes. La EDO es y' = ay - cy2 - H(t),donde H(t) tiene el valor Hi, durante la estacin activa y O durante la inactiva. Losprimeros dos meses de cada ao constituyen la estacin de captura en la figura1.1.7 y los primeros ocho meses en la figura 1.1.8; en ambas figuras a = 1, e =1/12, Ho = 4. Reproduzca las grficas de esas figuras. Explique lo que observa entrminos del comportamiento de la poblacin. [Sugerencia: pruebe H(t) = Ho oc(t, d,1), donde d = 100(2/12) = 50/3 para una estacin de dos meses y d = 100(8/12) pa-ra otra de ocho meses. En el apndice B.1 se ofrece ms informacin acerca de lafuncin oc.]

Representacin visual de las curvas solucin

En la seccin anterior utilizamos un medio numrico de resolucin para trazar las curvassolucin de algunas ecuaciones diferenciales y aceptamos los resultados sin objecin, locual representa una prctica arriesgada porque toda computadora y todo programa tienensus limitaciones. Siempre es bueno contar con ms de una forma de considerar las cosas demodo que sea posible comprobar los resultados de distintas maneras. En esta seccin semuestra cmo representar visualmente el comportamiento de una curva solucin con base enla ecuacin diferencial misma, en lugar de confiar nicamente en el resultado de la computa-dora como solucin. Sin embargo, es necesario hacer primero una breve digresin.

Existen buenas razones para haber escrito las ecuaciones diferenciales consideradashasta el momento en laforma normal

y' = f(t,y) (1)

dondef(t, y) es una funcin definida en cierta parte (o en todo) del plano ty. Por ejemplo,la mayor parte de los medios numricos de resolucin slo aceptan EDO escritas en la for-ma normal. Adems, la teora general de EDO slo se aplica a ecuaciones diferenciales deesta forma.

Definamos ahora lo que se entiende por una solucin de la EDO (1). Una funcin y(t)definida en un intervalo t de 1es una solucin de la EDO (1) si f(t, y(t)) est definida yy'(t) = f(t, y(t)) para toda t en I. Con esta definicin y la forma normal, es posible funda-mentar una explicacin general de la relacin que existe entre las soluciones y(t) de laEDO (1) y sus curvas solucin correspondientes.


12

1& De modo que no hay fnnula de solucin?

y

'" --0

y

y=y(t)

y'(I) = f(t, ji) = tan e

1& sta es una fonna prctica de reconocer geo-mtricamente curvas solu-cin.


Curvas solucin

En los ejemplos de la seccin anterior vimos que las EDO pueden tener muchas solucio-nes; tuvimos suerte de encontrar una frmula para una de las EDO ms simples. En la sec-cin 2.1 veremos que en ciertas condiciones favorables, las EDO tienen soluciones aun cuando no siempre sea posible hallarles frmulas explcitas. Con esta premisa, podemos usar un medio numrico de resolucin para trazar las curvas solucin aproximadas. A me-nudo recurriremos a la teora y a los mtodos geomtricos para examinar las propiedades de las soluciones sin la ventaja de las frmulas de solucin.

Considere la EDO normal y' = f(t, y), donde f(t, y) est definida en un rectngulo cerrado R, es decir, un rectngulo que contiene sus rectas frontera. Si (to, Yo) es algn punto R y sify la af/ay son continuas en R, entonces (como se mostr en la seccin 2.1) existe exactamente una solucin y(t) para el problema de valor inicial (PVI)

y' = f(t, y), y(to) = Yo (2)

El punto (to, Yo) en R se denomina punto inicial para el PVI. La curva solucin para y(t) comprende el lmite de R tanto para t > to como para t < too En otras palabras, la curva so-lucin no se detiene en forma repentina dentro de R. La nica posibilidad para resolver el PVI (2) para todo punto (to, Yo) en R implica que ningn par de curvas solucin de la EDO y' = f(t, y) puede intersecarse en R. Podemos considerar R cubierto por curvas solucin, con cada punto de R en exactamente una solucin.

Al saber que el PVI (2) tiene una solucin nica, podemos utilizar un medio numrico de resolucin para calcular y trazar curvas solucin aproximadas. En el captulo 2 veremos que los medios numricos de resolucin siguen un proceso paso por paso para generar los puntos aproximados en una curva solucin y luego graficar las soluciones aproxima-das uniendo esos puntos por medio de segmentos de recta.

Veamos ahora algunas interpretaciones geomtricas.

Geometra de las curvas solucin

Hay una forma de ver la posibilidad de resolver el PVI (2) que apela a la intuicin geo-mtrica y se presta a adoptar un enfoque grfico para hallar las curvas solucin. La EDO tiene como caracterstica que en cada punto (t, y) de R el nmero f(t, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva solucin que pasa-por ese punto (vase la-figura del margen).

Por otro lado, supngase que la grfica de una funcin y(t) se sita en R. Entonces y(t) define una curva solucin de y' = f(t, y) si en cada punto et, y) sobre su grfica la pen-diente de la recta tangente tiene el valor f(t, y). sta es la forma geomtrica de expresar que y'(t) = f (t, y(t)), es decir, y(t) es una sclucin para la EDO.

Este cambio de perspectiva nos ofrece una forma imaginativa de ver las curvas solucin de la EDO. Si se trazan segmentos de recta cortos con pendientesf(t, y) y centrados en una cuadrcula de puntos (t, y) en R obtenemos un diagrama denominado campo de direcciones.



Ejemplo 1.2.1

lI:ilf' La relacin de aspecto hace que los crculos trazados pa-rezcan elipses.

Un campo de direcciones sugiere curvas en R con la propiedad de que en cada punto so-bre cada curva la recta tangente a sta en ese punto apunta en la misma direccin que el segmento de recta del campo de direcciones en el punto. Este procedimiento revela cur-vas solucin de mar).era muy semejante a la forma en que la limadura de hierro esparcida sobre un papel y atrada por los polos de un imn deja ver lneas del campo magntico.

Dada la funcin de tasa de cambio f(t, y), es posible trazar a mano segmentos de rec-ta de un campo de direcciones, pero es mucho ms fcil hacerlo con un medio numrico de resolucin; la mayor parte de stos puede realizarlo, incluso muchos de ellos permi-ten al usuario elegir la densidad de los puntos de la cuadricula, as como la longitud de los segmentos.

En seguida se ilustran estas ideas por medio de un ejemplo.

Un campo de direcciones y una curva solucin

En la figura 1.2.1 se muestra un campo de direcciones para la EDO

y' = Y - t2

Casi pueden .verse las curvas solucin. Son ascendentes si y > t2 porque y' es positiva; son descendentes cuando y < t2 . Los segmentos de recta del campo en la figura tienen la mis-ma longitud, aunque a primera vista no parezca as. Esto se debe a que la longitud de una unidad vertical en la pantalla de la computadora no es la misma que la de una unidad ho-rizontal. La relacin de la primera respecto de la segunda es la relacin de aspecto de la pantalla.

Tracemos ahora la curva solucin que pasa por el punto inicial to = 0, Yo = 1. En la figura 1.1.2 se ilustra esta curva extendida hacia delante y hacia atrs con respecto al tiempo a partir de to = hasta que sale del rectngulo definido por la pantalla. Observe cun bien se ajusta la curva solucin al campo de direcciones.

Las isoclinas nulas, o curvas con inclinacin cero de y' = f(t, y) estn definidas por f(t, y) = O. Por ejemplo, en la EDO y' = Y - t2 se observa que f(t, y) = y - t2, as que la isocli-na nula es la curva definida por y = t2 (la curva discontinua de la figura 1.2.2). La isoclina nula divide el plano ty en la regin arriba de la parbola (y > t2), donde las curvas solucin ascienden, y la regin debajo de sta (y < t2), donde descienden. Las curvas solucin cor-tan la curva con pendiente cero porque el segmento de la recta de direccin con centro en un punto en la isoclina es horizontal.

En general, las isoclinas nulas no son curvas solucin. Sin embargo, si Yo es una raz de una funcinf(y), entonces la funcin constante y = Yo es una isoclina nula y una curva solucin para la EDO

y' = fu)


14 Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos 1.2 / RE

y' =y_t2, \ ,-" / I I I I I I I I I I I / " - , \ ,

\\'-///////////////-'\\'\\\'-/////////////-'\\\'\\\,-/////////////-'\\\'\\\'--///////////--'\\\'\\\\'-///////////-'\\\\'\\\\,--/////////--'\\\\'\ \ \ \,,-/////////-,,\ \ \ \ '\ \ \ \\,--///////--,\\ \ \ \ '\ \ \ \ \,,--/////--,,\ \ \ \ \'\ \.\ \\\,---///---,\\\ \ \ \'\\\\\\,,-------,,\\\\\\ '\ \ \ \ \ \ \"-----,, \ \ \ \ \ \ \ '\ \\\\\\",---",\\\\\\ \'\ \ \\\\\\""','\\\\\\ \ \'

Figura 1.2.1 Campo de direcciones (ejemplo 1.2.1).

2.0

1.5

1.0

0.5'"

0.0

-0.5

-1.0o

Figura 1.2.2 Curva solucin (lnea continua) que pasapor el punto (O, 1) (ejemplo 1.2.1); curva isoc1ina nula(lnea discontinua). Figur:

solucii

Por ejemplo, las rectas horizontales y = 1, y = 2 YY = 3 en el plano ty son al mismotiempo isoc1inas nulas y curvas solucin de la EDO

~ En la seccin 2.2 seanalizan de forma porme-norizada las soluciones deequilibrio.

Tales curvas reciben el nombre de curvas solucin de equilibrio; las soluciones que lasgeneran, el de soluciones de equilibrio.

y' = (y - 1)(y - 2)(y - 3)

Determinacin de las soluciones de equilibrio

I@' El

consideblacincaptura.

Para determinar las soluciones de equilibrio de la EDO y' = f(y), primero establezcaf(y) = OYresuelva para y. Si Yo es un nmero tal quef(yo) = Oentonces la funcin cons-tante y = Yo, para toda t, es una solucin de equilibrio.

Ejemplo 1.2.2 Soluciones de equilibrio

Considere la EDO y' = 12y - -; - 20, que modela una poblacin de peces capturada auna tasa constante. Ahoraf(y) = 12y - y2 - 20, Y como la ecuacin 12y - y2 - 20 = O tie-ne como races a Yo = 2 YYo = 10 se tienen dos soluciones de equilibrio: y = 2, para to-da t y Y = 10, tambin para toda t.

A continuacin se da otro ejemplo en el que el campo de direcciones sirve de gua a lolargo de las curvas solucin.


os

ala

o

las

eans-

1.2 / Representacin visual de las curvas solucin 15

y' =y- y2 - O.2sen t1.09

1.5

1.0

0.5~

0.0

-0.5

-1

Figura 1.2.3 Campo de direcciones y algunas curvassolucin para la EDO (3).

Figura 1.2.4 Amplificacin de una parte de la figura1.2.3 con centro en el punto (6.50, 1.07).

Ejemplo 1.2.3 Captura en funcin del tiempo

Considrese un modelo de EDO para una poblacin de peces cuya ecuacin de captura yreabastecimiento adopta la forma sinusoidal:

y' = y - y2_ 0.2 sent (3)I@" En la seccin 1.1consideramos la po-blacin logstica decaptura.

Con el medio numrico de resolucin obtuvimos el campo de direcciones y las curvas so-lucin de la figura 1.2.3 para esta EDO. Casi puede verse el trazo de las curvas solucina lo largo del campo de direcciones. Al parecer, si la poblacin inicial no es muy peque-a, entonces la curva de poblacin resultante cobra la forma de una curva sinusoidal conperiodo 2n, que no es sino el periodo de la funcin de captura y reabastecimiento H(t). Nolo hemos comprobado, pero las pruebas visuales son muy contundentes.

Compresin, expansin y ampliacin

Las curvas solucin de la figura 1.2.3 no son tan fciles de graficar como se podra su-poner. Cul punto inicial del eje de las abscisas elegira para que la curva solucin pa-se por el "punto objetivo" (7.5, -1)? La eleccin del punto inicial exacto es muy difcilporque muchas curvas solucin cortan el eje y muy cerca de la curva solucin deseada. Siel punto inicial elegido difiere ligeramente del correcto el resultado ser una curva solu-cin que se desviar del objetivo por un amplio margen.

Por qu es tan difcil dar en el blanco? Resulta evidente de la grfica que dos curvas so-lucin cualesquiera de la EDO se juntan o se apartan sin lmite cuando t --- +00. Para trazar


16

1& Comprubelo me-diante un acercamiento con su medio numrico de resolucin.

1& Intente repetir estas condiciones como una mantra.


la curva solucin que pasa por (7.5, -1), elija (7.5, -1) como punto inicial y resuelva hacia atrs con respecto al tiempo hasta que la curva solucin toque al eje de las y.

Las curvas solucin de la mitad superior de la figura 1.2.3 parecen confluir y tocarse den-tro del rectngulo R definido por la pantalla. No obstante, sabemos que esto no sucede por la siguiente razn: compare la EDO (3) con la EDO (2) para obtener la funcin de tasa

f(t, y) = y - y2 - 0.2 sen t

Las funcionesf(t, y) y af/ay = 1 - 2y son funciones continuas en todo el plano ty y en teo-ra nos indican que las curvas solucin de la EDO (3) nunca se tocarn. Por tanto, nuestro cmodo mundo de la teora se enfrenta con el problema prctico de mostrar los datos en la pantalla de una computadora. Como la pantalla tiene un nmero finito de pxeles, no es po-sible distinguir los puntos con una separacin menor de un pixel, lo que explica la eviden-te contradiccin. En la figura 1.2.4 separamos mediante una amplificacin las curvas que en apariencia se tocan. Cuando se hace un acercamiento del campo de direcciones y las curvas solucin, parece que los segmentos de recta del campo son paralelos y las curvas solucin son rectas paralelas muy cercanas entre s.

Comentarios

Hemos visto cmo reconocer geomtricamente las curvas solucin de y' = f(t, y) al obser-var el campo de direcciones determinado por la funcin de tasa de cambio f Asimismo, vimos que las isoc1inas nulas [dondef(t, y) es cero] dividen el plano ty en dos regiones, una donde las curvas solucin ascienden y otra donde descienden. Con todo lo anterior se observa la ntima relacin entre la funcin de tasa de cambio y el comportamiento de las curvas solucin.

Tambin explicamos las condiciones (la continuidad de f y afldy en un rectngulo R) en las que puede asegurarse que el PVI y' = f(t, y), y(to) = Yo tiene una curva solucin ni-ca en R, aun cuando no haya frmula de solucin conocida.

Problemas _____________________ _

(La prohibicin de pesca podra llegar demasiado tarde.) Supngase que una pobla-cin de peces se modela con el PVI y' = Y - i/12 - H(t) , y(O) = Yo donde H(t) = 4 para O:S; t:S; 5, H(t) = O para 5:S; t:S; 10. Estime el valor ms pequeo de Yo tal que la poblacin se recupere al trmino de la prohibicin. Explique las razones de su es-timacin. [Sugerencia: vase la figura 1.1.6.] (Soluciones de equilibrio.) Primero determine las soluciones de equilibrio para cada EDO. Luego explique con palabras cmo se comportan las curvas solucin en dese-



www 11 5. \lE Las www indican que la solucin de este pro-blema se encuentra en el sitio web de Wiley en www.wiley.comlcollege-/borrelli.

quilibrio en distintas regiones del plano ty. Despus grafique un campo de direccio-nes y las curvas solucin en el rectngulo. [Sugerencia: obtenga el signo de y' arriba y abajo de cada solucin de equilibrio.] (a) y' =i-lly +lO, Itl~l, - 5~y~15 (b) y'= lyl-i, Itl~5, IYI~2 (e) y'=sen(2ny/(1+y2)), Itl~5, I YI~2

Utilice un medio numrico de resolucin para trazar las curvas solucin de las EDO. Utilice las cuatro condiciones iniciales y(O) = -3, -1, 1, 3 Y los intervalos O

~ t ~ 4, -4 ~ Y ~ 4. Sombree (o describa con palabras) las regiones donde ascien-den las curvas solucin. [Sugerencia: grafique las isoclinas nulas para obtener los lmites de estas regiones. Antes de utilizar el medio numrico, escriba la EDO en forma normal.] (a) y' + y = 1 (b)y'+y=t (e) y' + y = t + 1 (d) y' = sen(3t) - y (Campos de direccin, isoclinas nulas y curvas solucin.) Utilice un medio numri-co que brinde la opcin de graficar campos de direcciones para trazar uno para cada EDO en el rectngulo, I t I ~ 2, I y I ~ 3. En la misma grfica trace las isoclinas nu-las. Utilice el medio para trazar las curvas solucin que pasan por los puntos t = O, Y = O, 2. Explique por qu cabe esperar que cada curva solucin pueda ir de una arista del rectngulo a otra. (a) y" = -y + 3t (b) y' = y + cos t (e) y' = sen(ty) (d) y' = sen t sen y (e) y' = sen t + sen y (1) y' = sen(t + y) (Ampliacin para separar las curvas solucin.) Utilice el medio numrico de reso-lucin y trace las curvas solucin del PVI y' = -2y + 3, y(O) = Yo, para Yo = -5, -4, ... , 4, 5 sobre el rectngulo ty O ~ t ~ 3, -5 ~ y ~ 20. Para separar las curvas solucin que en apariencia se juntan, ample la esquina superior derecha del rec-tngulo ty y observe si se separan las curvas. Describa e interprete lo que observa en cada grfica. (Por qu se detienen las curvas solucin?) Use el medio numrico de resolucin para graficar un campo de direcciones en el rectngulo indicado y trace las curvas solucin que pasan por los puntos iniciales indicados hasta donde sea posible en la direccin positiva del rectngulo. Si de pronto se detiene una curva solucin o si ya no responde el medio, explique qu sucede. En qu situacin las isoclinas nulas no son las nicas que separan la regin donde las curvas solucin son ascendentes de la regin donde son descendentes? [Sugerencia: Exprese cada EDO en la forma normal y' = f( t, y) Y localice los lugares del rectngulo donde f no es continua.] (a) 2yy' = -1, y(O) = 1; O ~ t ~ 1.5, -0.5 ~ y ~ 1.5 (b) 2yy' = -t, y(-2) = 1.4, 1.5; - 2 ~ t ~ 1, -1 ~ Y ~ 2



~. 7. (Construya sus propias EDO.) Elabore sus propias EDO de primer orden con cam-pos de direccin y curvas solucin atractivas, raras, hermosas. Luego cree una EDO que haga inoperante su medio de resolucin. Explique por qu ste tiene dificultades. lBf Con el saludo de

manos se indica un pro-yecto para trabajar en equipo.

1 .3 En busca de frmulas de solucin

Las soluciones de una EDO pueden buscarse en dos niveles: puede buscarse una frmula que describa una solucin, o bien, pueden buscarse curvas solucin con un medio num-rico de resolucin. El procedimiento de hallar soluciones de ecuaciones diferenciales en cualquiera de esos dos niveles se denomina resolucin de una ecuacin diferencial. En es-ta seccin el objetivo ser hallar frmulas de solucin.

Cmo pueden obtenerse frmulas de solucin para las EDO? Una forma es mediante una buena conjetura. La interferencia de una solucin tiene una larga y honrosa historia como mecanismo para determinar soluciones, pero ciertas ecuaciones diferenciales ponen a prueba el ingenio de cualquier persona para inferir una frmula de solucin. Muy pron-to veremos qu.e nuestra chistera de trucos (incluida la conjetura) para hallar frmulas de solucin es muy pequea. Es aqu donde viene bien un medio numrico de resolucin, con el que es posible encontrar y graficar soluciones numricas aproximadas aun cuando no haya frmula de solucin a la vista.

No obstante, un importante tipo de EDO s tiene frmulas de solucin, por lo que pri-mero daremos una descripcin de ese tipo.

EDO de primer orden: lineal o no lineal?

El orden de una EDO corresponde al de la derivada ms alta de la funcin por determi-nar incluida en las ecuaciones. Por ejemplo, y' = Y + sen t es una EDO de primer orden. Todas las EDO de las secciones anteriores son de primer orden. Ms adelante, en las sec-ciones 1.5 y 1.6 veremos algunas de segundo orden, como sta

yl! = - 9.8 + O.15y'

yen la seccin 1.7, como esta otra, tambin de segundo orden

- k , yl!

- (y+R)2 donde k y R son constantes positivas.

En seguida analizaremos con detalle un tipo de EDO de primer orden que suele encon-trarse al modelar los procesos naturales.

Una EDO de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma y' + p(t)y = q(t) (1)


7.3 / En busca de frmu las de solucin 19

1& El teorema B.5.5 del apndice B tiene forma tra-dicional del teorema fun-damental del clculo.

Teorema 1.3.1

donde p(t) y q(t) son funciones que no dependen de y, pero podran depender de t. Las EDO escritas como en (1) tienen laforma lineal normal . La EDO t2y' = el y + sen 3t es de primer orden y lineal porque al dividir entre t2 puede escribirse en la forma lineal

I el sen3t y --y=--

t 2 t 2

Las EDO de primer orden que no pueden escribirse en la forma (1) son no lineales . En la seccin 1.1 vimos la EDO de primer orden

y'-ay=-H (2) donde a y H son constantes. La EDO (2) es una EDO lineal de primer orden escrita en for-ma lineal normal. Ya vimos que las soluciones de la EDO (2) estn descritas por la frmula

H ( H) al y = ~ + Yo -~ e donde Yo es cualquier constante.

En la seccin 1.2 empleamos un medio numrico de resolucin para obtener las curvas solucin aproximadas de la EDO no lineal de primer orden

y' = y - i - O.2sent (3) En la figura 1.2.3 se ilustra el resultado. La EDO (3) es no lineal porque el trmino y2

impide que pueda escribirse en la forma lineal normal (1). Sin importar si la EDO es lineal o no, a menudo se recurre a la integracin para construir una frmula para las soluciones.

Obtencin de frmulas de solucin

El teorema fundamental del clculo es una herramienta bsica en la bsqueda de frmu-las de solucin para las EDO. El concepto bsico en el teorema es la antiderivacin: la antiderivada de una funcinftt) es una funcin F(t) tal que F'(t) = ftt).

Empecemos por obtener las soluciones de la EDO y' = ftt).

Teorema de la antiderivada. Supngase que F(t) es una antiderivada de una funcin continuaf(t) en un intervalo t. Entonces, todas las soluciones de la EDO

y' = f(t) estn dadas en el intervalo t por

y = F(t) + e, donde e es cualquier constante (4)


20

Ejemplo 1.3.1

Ejemplo 1.3.2


Para ver esto, supngase que y(t) es una solucin de y' = f(t), que F(t) es una anti-derivada de f(t) y que to es un punto en el intervalo t. Luego, al integrar desde to has-ta t y utilizar el teorema fundamental del clculo, se observa que

y(t) - y(to)::: st y'(s)ds :::st f(s)ds ::: F(t) - F(to) to to

para toda t en el intervalo, de modo que y(t) tiene la forma F(t) + una constante [la constante e en la frmula (4) es y(to) - F(to) en este caso]. Por otro lado, y = F(t) + e es una solucin de la EDO y' = f(t) para cualquier valor de la constante e, de ma-nera que hemos obtenido todas las soluciones de la EDO.

El teorema de la antiderivada es la fuente de muchos mtodos para obtener frmulas de solucin de las EDO. Podramos decir que es la madre de todos los mtodos. A continua-cin lo aplicaremos para determinar las soluciones de varias EDO.

Slo integre!

Puesto que (sen t)' ::: cos t, a partir del teorema"1.3.1 se observa que todas las soluciones para la EDO

y' ::: cost

estn dadas por la frmula

y(t) ::: sent + e, e es cualquier constante

En seguida presentamos un ejemplo de cmo se aplica el teorema de la antiderivada a fin de obtener una frmula de solucin para una EDO lineal de primer orden normal.

Prepare una EDO lineal para la integracin

Supngase que y(t) es una solucin de la EDO lineal en la forma lineal normal y'-2y ::: 2 (5)

Multiplique cada miembro de la EDO por la funcin e-2t para obtener la identidad

e-2t y'(t) _ 2e-2t y(t)::: 2e-2t (6) Como e-2t nunca es cero, toda solucin de la EDO (6) lo es tambin de la EDO (5), y vi-ceversa. La regla del producto para las derivadas establece que


7.3 / En busca de frmulas de solucin 21

~ En el teoremaB.5.7, apndice B.5, se da una explicacin ms amplia de la regla de la cadena.

y por tanto la identidad (6) puede escribirse como

(7)

El truco de multiplicar la EDO (6) por e-2t no es resultado del capricho. El objetivo fue obtener la EDO (7). Ahora aplicaremos el teorema 1.3.1 a la EDO (7) para obtener

donde e es cualquier constante. Multiplique la ecuacin anterior por e2t:

y=_1+e2t C, para toda t

Ahora tenemos una frmula para todas las soluciones de la EDO (5).

Multiplicar ambos miembros de la EDO (5) por e-2t result ser una buena estrategia. Se preguntar cmo dimos con el factor mgico e-2t. Ms adelante ver cmo elegir tales "factores de integracin" para las EDO como la (1).

Mtodo del factor de integracin para las EDO lineales

Considrese la EDO lineal normal de primer orden

y' + p(t)y = q(t) (8)

donde el c'o,eficiente p(t) y el trmino independiente o entrada q(t) son funciones conti-nuas en un intervalo t de l. Si q(t) = O para toda ten l , entonces se dice que la EDO (8) es homognea . De otro modo, la EDO (8) es inhomognea por la entrada q(t) . Obtengamos una frmula para todas las soluciones de la EDO (8).

Con el siguiente mtodo obtendremos una frmula para todas las soluciones. Supga-se que P(t) es cualquier antiderivada del coeficiente p(t) de la EDO (8) en el intervalo l ; es decir, P'(t) = p(t) en l . La funcin exponencial eP(t) se denomina facto r de integracin o factor integrante para la EDO (8). Por medio de la regla de la cadena se tiene que I (eP(t)'= eP(t) P'(t) = eP(t) p(t) y, por tanto, obtenemos la identidad

[eP(t)y(t) r = eP(t)y(t)' + eP(t) P'(t)y(t) = eP(t)y'(t) + eP(t) p(t)y(t) = eP(t) [y'(t) + p(t)y(t)] (9)


22

En el teorema B.5.7, apndice B.5, se da una explicacin ms amplia de la regla de la .cadena.

~ De otra forma, de-muestre directamente que y(t) en (11) resuelve la EDO(8).

~ Pasar por alto este primer paso puede ser fatal.


Emplearemos la identidad (9) para resolver la EDO (8). Supngase que y(t) es una solucin de la EDO (8) en el intervalo 1. Al multiplicar la

EDO (8) por el factor de integracin eP(tl, obtenemos la identidad

eP(t)[y'(t) + p(t)y(t)] = eP(t) q(t)

que, debido a la identidad (9), puede escribirse como

[eP(t)y(t) r = eP(t) q(t) (10) Supngase que R(t) es una antiderivada de eP(t)q(t). Como R'(t) = eP(t)q(t), tras aplicar el teorema 1.3.1 a la EDO (10) se obtiene

donde C es una constante. Despus de multiplicar cada miembro de la igualdad por e",P(t) , se tiene una frmula para la solucin y(t) de la EDO (8) que empezamos con:

y = Ce -P(t) + e -P(t) R(t) (11)

donde C es una constante. En virtud de que P(t) y R(t) estn definidas en el intervalo t de l , donde p(t) y q(t) son continuas, se observa que la solucin est definida en 1. As, hemos demostrado que toda solucin y(t) de la EDO (8) tiene la forma (11) para algn valor de la constante C. Pero, qu valores de C en la frmula (8) producen en realidad una solucin de la EDO (8)? Cualesquiera! Para verlo, empiece con cualquier constante C para definir una funcin y(t) por medio de la frmula (11) y luego invierta los pasos anteriores para comprobar que la funcin y(t) es una solucin de la EDO (8).

En resumen, stos son los pasos que seguimos para obtener la frmula (11):

Cmo resolver una EDO lineal de primer orden

1.

2. 3.

Escriba la EDO en la forma lineal normal y' + p(t)y = q(t) e identifique el coefi-ciente p(t) y el trmino independiente q(t). Calcule una antiderivada de P(t) para p(t); cualquiera servir. Multiplique la EDO por el factor de integracin eP(t) y escriba la nueva EDO como

4. Calcule una antiderivada de R(t) para eP(t)q(t); cualquiera servir. 5. Aplique el teorema de la antiderivada (1.3.1) a la nueva EDO, multiplique y reor-

dene los trminos para hallar la frmula de solucin general (11) .


7.3 / En busca de frmulas de solucin 23

Ejemplo 1.3.3

Puesto que la frmula (11) abarca todas las soluciones de la EDO (8), se denomina so-lucin general de la EDO. Una consecuencia de nuestro proceso constructivo de solucin es que despus de cualquier eleccin de las antiderivadas P(t) y R(t) como se describi antes, las soluciones de la EDO (8) siempre cobran la forma (11). En la frmula (11) es-to no resulta evidente, pero el proceso de construccin no miente.

Como la constante e en la frmula de solucin general (11) es arbitraria, se obser-va que la EDO (8) tiene infinidad de soluciones, una para cada valor de la constante C. Entonces, valorell distintos para la constante e en la frmula (11) producen curvas so-lucin que nunca se tocan en l. Para demostrarlo, introduzca dos constantes, el y e2, en la frmula (11) para obtener dos soluciones, YI(t) y Y2(t). Al restar, se obtiene

Pero las funciones exponenciales nunca tienen el valor O y el y e 2 son distintas. Por tanto, YI(t) y Y2(t) nunca son iguales para ningn valor de ten 1, y las dos curvas solucin jams se tocan.

Para adoptar el procedimiento anterior debe contarse con gran experiencia para hallar las antiderivadas. Si usted carece de prctica, a continuacin presentamos una tabla resu-mida de las antiderivadas que necesitar en este texto.

Tabla 1.3.1 Algunas antiderivadas tiles

Para cualquier constante a:#= o:

f eal te al dt = -;;'l(at -1), f eal t2eal dt =--;(a2t2 - 2at + 2) 11 ' ftcosatdt = -tsenat+ 2 cos at a a f 1 1 tsenatdt = --tcosat+ 2 senat, a a

Para cualesquier constantes a y b, donde ambas no pueden valer cero: al feal cosbtdt = 2e 2 (acosbt + bsenbt), a +b

al fealsenbtdt = 2e 2 (asenbt - bcosbt) a +b Utilice un factor de integracin y obtenga la solucin general

Considere la EDO del ejemplo 1.2.1: , 2 Y -y=-t (12)


24

Ejemplo 1.3.4


Esta EDO ya tiene la forma lineal normal con p(t) = -1 Y q(t) = -t2; estas funciones son con-tinuas en toda la recta real. Por medio de la notacin del procedimiento anterior se observa que P(t) = -t Y el factor de integracin es e-l. Al multiplicar la EDO (12) por e- I, se tiene

(13) As, por medio de la tabla 1.3.1 vemos que R(t) = e-I(? + 2t + 2) es una antiderivada de -t2e- l Al aplicar el teorema 1.3.1 a la EDO (13), obtenemos

(14) . donde C es cualquier constante. Al multiplicar la ecuacin (14) por , se observa que to-das las soluciones de la EDO (12) estn dadas por la frmula de solucin general

y = Ce l + t 2 + 2t + 2 donde C es cualquier constante.

Apliquemos ahora el mtodo de la solucin general para resolver un problema de valor inicial.

Resolucin de un problema de valor inicial La constante C de la frmula (11) cumple un papel importante en la resolucin del PVI.

Obtenga la solucin general, resuelva un PVI

La siguiente es una EDO en la forma lineal normal con p(t) = ? y q(t) = 3et: y' + 2y = 3e l (15)

Puesto que 2t es una antiderivada de 2, e21 es un factor de integracin. Multiplique cada miembro de la EDO (15) por e21 y aplique el teorema 1.3.1 para obtener

e21 y' + 2e21 y = 3e31

Entonces, como e2ly' + 2e21y = (e2Iy), por la frmula de la derivacin de un producto, se tiene

(e2I y)'=3e31

e2l y = C+e31

y = Ce -21 + el , para toda t (16)


7.3/ En busca de frmulas de solucin 25

Teorema 1.3.2

donde C es cualquier constante. Con la fnnula (16) se obtiene la solucin general de la EDO (15).

Al establecer una condicin general se determinar C. Por ejemplo, para hallar la so-lucin del PVI

y' +2y = 3et ,

establecemos y = -3 Y t = O en la fnnula (16): y(O) =-3

- 3 = e-2.OC + eO =C+ 1

(17)

y, por tanto, C = --4. Al sustituir C en la fnnula de solucin (16) por --4 obtenemos la so-lucin del PVI (17):

y = --4e-2t + et , -oo


donde P y R son las respectivas antiderivadas de p(t) y eP(llq(t) y e es una constan-te arbitraria. Para satisfacer la condicin y(to) = Yo, sustituyamos to Y Yo en la frmu-la de solucin; el resultado es

Esta ecuacin algebraica para e tiene la solucin nica e = yoeP(tol - R(to), lo que significa que el PVI (18) tiene una solucin nica.

El teorema de existencia y unicidad brinda los fundamentos para todas las aplicaciones de los PVI lineales de primer orden porque garantiza que el PVI tenga exactamente una so-lucin.

Comentarios

Nuestra bsqueda de frmulas de solucin ha rendido frutos en relacin con las EDO lineales de primer orden. La nica herramienta necesaria fue el teorema fundamental del clculo en la forma del teorema de la antiderivada (teorema 1.3.1). Por tanto, observamos que las EDO lineales de primer orden tienen frmulas de solucin explcitas. Sin embargo, hay un incon-veniente: es posible que no podamos hallar las antiderivadas requeridas; entonces podra no ser particularmente til la frmula de solucin. No obstante, siempre tenemos la posibilidad de usar un medio numrico de resolucin para trazar las curvas solucin aproximadas de una EDO aun cuando no deje ver nada nuevo la frmula de solucin.

Problemas _____________________ _

1. Determine el orden de cada EDO. Identifquelas como lineal o no lineal en Y y es-cnbalas en la forma lineal normal. [Sugerencia: para el inciso (d) obtenga dy/dt.]

(a) y' = sent - t3y

(d) dt/dy = 1I(t2 - ty) (e) y" - t2y = sent + (y/)2 (f) y' = (1+ t2)y" - cost

(g) y" + (sent)y' + 3y = 5 (h) (y"/)2 = y5

2. (Determinacin de soluciones.) Las funciones exponenciales simples como y = erl suelen ser soluciones de EDO. Obtenga todos los valores de la constante r de modo que y = ert sea una solucin. [Sugerencia: introduzca erl en la EDO y determine los


1.3/ En busca de frmulas de solucin 27

~ y'"' indica la n-sima derivada de y(t).

valores de r que produzcan una solucin. Por ejemplo, y = ert resuelve y' - y = O si rert - ert = (r - 1 )ert = O. Puesto que ert 7; O, se debe tener r = l. Por tanto, y = el es una solucin de la EDO.]

(a) y' + 3y = O (b) y" + 5y' + 6y = O

(e) y(5) - 3y(3) + 2y' = O (d) y" + 2y' + 2y = e-t

3. (Determinacin de soluciones.) A veces, los mltiplos de una potencia de t resuelven una EDO. Obtenga los valores de la constante r de modo que y = rt3 sea una solucin.

(a) t2y" + 6ty' + 5y = O (b) t2y" + 6ty' + 5y = 2t3 (e) t4y' = y2

4. _ (Determinacin de soluciones.) La eleccin correcta del valor para r podra aportar una solucin y = tr de una EDO. Obtenga todos los valores de la constante r de mo-do que y = tr sea una solucin.

(a) t2y" + 4ty' + Y = O (b) t4y(4) + 7tV" + 3t2y" - 6ty' + 6y = O

5. (Aplicacin del teorema de la antiderivada.) Utilice el teorema 1.3.1 para obtener to-das las soluciones de cada caso. [Sugerencia: escribay" como (y')' y y'" como (y")'.]

(a) y' = 5 + cost (e) y' = e-t cos 2t

(d) y" = O (e) y" = sent, y(O) = O, y'(O) = 1 J!2. y'" = 2 (g) y" + y' = el [Sugerencia: observe que (ely')' = ely" + ely'.]

6. (Determinacin defrmulas de solucin.) Por medio del teorema 1.3.1 obtenga to-das las soluciones. [Sugerencia: en los incisos (a) a (e) multiplique cada miembro de la EDO por el.]

(b)y'+y=t (e) y' + y = t + 1

(d) 2yy' = 1 [Sugerencia: obsrvese que .(y2), = 2yy'] (e) 2yy' = t

www 7. (Factores de integracin.) Obtenga la solucin general de cada EDO por medio de un factor de integracin.

(a) y' - 2ty = t (b) y' -y = e2t_l (e) y' = sen t - Y sen t

(d) 2y' + 3y = e-t (e) t(2y - 1) + 2y' = O (l) y' + y = te-t + 1



8. (Resolucin de un PVI, comportamiento de largo plazo.) Primero determine la solu-cin general de la EDO. Luego utilice la condicin inicial y determine la solucin del PVI. Por ltimo, explique el comportamiento de la solucin cuando t ~ + oo.

(a) y' + y = e-I, y(O) = 1 (b) y' + 2y = 3, y(O) = -1

(e) y' + 2ty = 2t, y(O) = 1 (d) y' + (cost)y = cost, y(n) = 2

Por medio de un medio numrico de resolucin trace la curva solucin de cada PVI del problema 8 .en el intervalo t dado y compare con la grfica de la solucin "verdadera".

(a) [-2,6] (b) [-1, 5] (e) [-5, 5] (d) [-8, 8]

10. (Uso de un factor de integracin.) Obtenga la solucin general de cada EDO en el intervalo t indicado por medio de un factor de integracin. Explique el comporta-miento de las soluciones cuando t ~ 0+. Explique el comportamiento de las EDO en los incisos (a), (b) y (d) cuando t ~ +00.

(a) ty' + 2y = t2, t > O (b) (3t - y) + 2ty' = O, t> O

(e) y' = (tant)y + t sen2t, I ti < 1TI2 (d) y' = ylt + t", t> O, n entero 11. (Resolucin de un PVI.) Determine la solucin general de la EDO en el intervalo t in-

dicado. Despus, utilice la condicin inicial para hallar la solucin del PVI. Por lti-mo, explique el comportamiento de la solucin cuando t tiende al valor especificado.

(a) ty' + 2y = sent, t> O; y(n) = 1/n; t ~ +00

(b) (sent)y' + (cost)y = 0,0< t < n; y(31li4) = 2; t ~ 0+

(e) y' + (cost)y = 2cos t, 0< t < n; y(1TI2) = 3; t ~ 0+

(d) y' + (2Jt)y = (cost)lt2, t> O y(n) = O; t ~ 0+, t ~ +00

11 12. Utilice un medio numrico de resolucin para trazar la solucin de cada PVI del pro-blema11 en el intervalo dado y compare con la solucin "verdadera".

~ 1I 13. (a) [0, 50] (b) [0,3] (e) [O, 3] (d) [0,4]

(Construya su propia EDO lineal.) Elabore varias EDO lineales para las cuales una frmula de solucin no sea til para decidir cmo se comportan las soluciones. Uti-lice el medio nmerico de resolucin para investigar qu sucede con stas si t au-menta o disminuye. Por ejemplo, pruebe con la EDO y' + 2ty = 1/(1 + t2) .


\,

7.4/ Modelacin con EDO lineales 29

1 .4 Modelacin con EDO lineales

Tasa de Tasa de

~ Ejemplo 1 .4.1

entrada lOc(t) Tasa del

Depsito

Tasa de salida O.ly(t)

Por medio de las EDO lineales de primer orden pueden representarse procesos de todo ti-po, desde cambios de concentracin de un contaminante en un depsito de agua hasta el aumento de temperatura cuando se trata de cocinar un huevo duro. En esta seccin mode-laremos uno de estos procesos y dejaremos los dems para los problemas. Despus abor-daremos desde otra perspectiva la frmula de solucin obtenida en la ltima seccin, la cual revela una estructura simple' para las soluciones de la EDO lineal de primer orden; emplearemos esa estructura para entender qu pasa con nuestros modelos.

Ley de equilibrio y un modelo compartamental

Las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen surgir en las aplicaciones como resultado de un principio fundamental: si y(t) denota el tamao de una poblacin o la cantidad de una sus-tancia en un compartimiento en el instante t, entonces la tasa de cambio y'(t) puede calcu-larse como el caudal de entrada menos el de salida del compartimiento. Este principio se formaliza como la ley de equilibrio.

Ley de equilibrio: tasa de cambio neta = tasa de entrada - tasa de salida.

Aplicaremos la ley de equilibrio a procesos de mezcla.

PVI modelo para la acumulacin de un contaminante

Un depsito contiene 100 galones de agua contaminada en los que estn disueltos Yo li-bras de contaminante. El agua contaminada empieza a fluir al depsito a una tasa de 10 gal por minuto. La concentracin del contaminante en esta corriente de entrada en el ins-tante tes c(t) libras por galn. La solucin del depsito se mezcla de manera uniforme y el agua contaminada fluye a una tasa de 10 gal por minuto. Obtenga el PVI para la canti-dad de contaminante y(t) en el depsito.

Imagine que el depsito es el compartimiento que ocupa el contaminante y aplique la ley de equilibrio a fin de obtener una expresin para y'(t). El tiempo inicial es O, de modo que Yo es la cantidad de contaminante en el agua en el instante t = O. El contaminante se vaca en el depsito con una tasa de entrada de

10-. . c(t)- = lOc(t)-. ( gal ) ( lb ) lb mm gal mm


30

Teorema 1.4.1


El contaminante sale del depsito a una tasa de

( 10 g~l ).(y(t)~) = O.ly(t)~ mm lQO gal mm en virtud de que el agua contaminada fluye a 10 ga1Jmin y la concentracin de contami-nante en el depsito y en la corriente de salida en el instante tes (y(t)/100) lb/gal. La ley de equilibrio establece que

y'(t) = tasa de entrada - tasa de salida = lOc(t) - O.ly(t)

El PVI correspondiente es

y'(t) + O.ly(t) = lOc(t) , t:2: O (1) que es nuestro modelo.

Las frmulas matemticas son abundantes, pero es necesario reflexionar y tener cono-cimientos tericos para entender su significado. Una forma de llevar a cabo lo anterior es fijarse con detenimiento e interpretar cada parte de una frmula. Antes de resolver el PVI (1), tomaremos un instante para examinar con mayor detalle la frmula de solucin de una EDO lineal de primer orden.

El resultado depende de los datos iniciales y de la entrada

El resultado de un proceso depende de los datos iniciales y de la entrada; en el contexto de una EDO lineal de primer orden, puede describirse tal dependencia de una forma muy precisa.

Respuesta a los datos y a la entrada. Supngase que p(t) y q(t) son continuas en un in-tervalo 1 que contiene a to Y que P(t) es cualquier antiderivada de p(t). Entonces el PVI

y ' + p(t)y = q(t), (2) tiene solucin nica, que puede escribirse como una frmula e interpretarse en trmi-nos de los datos iniciales y la entrada q(t):

y(t) = eP(lo)yoe-P(l ) + e-P(l ) f eP(s) q(s)ds, lO

ten 1 (3)

Respuesta total = respuesta a los datos iniciales + respuesta a la entrada

Para demostrar lo anterior, observe que la frmula de solucin general para y' + p(t)y = q(t) es

y = Ce-P(t) + e - P(t ) R(t) (4)


1.4 / Modelacin con EOO lineales 31

Ejemplo 1.4.2

donde e es cualquier constante y P(t) y R(t) son antiderivadas de p(t) y eP(t)q(t), respecti-vamente. Tomemos una antiderivada especfica de eP(I)q(t):

R(t) = SI eP(s) q(s)ds (5) lo

Ahora bien, sea y = Yo Y t = to:

Por tanto e = eP(to)yo y se deduce entonces la frmula de solucin (3).

Usaremos con frecuencia la interpretacin de respuesta, en particular en las aplicaciones, ya que a partir de la frmula (3) se ve exactamente cmo cambia el valor inicial Yo Y en la funcin independiente q(t) afectar la salida y(t).

Puesto que la frmula (3) define una solucin y(t) para el PVI (2) para cualquier op-cin de Yo Y q(t), observamos que

Respuesta inicial a los datos resuelve el PVI

y' + p(t)y = O,

[slo introduzca q(t) = O en la frmula (3)] y que Respuesta a la entrada

resuelve el PVI y' + p(t)y = q(t),

y(t) = e -P(t) SI eP(s) q(s )ds lo

(6)

(7)

(8)

(9) [slo introduzca Yo = O en la frmula (3)]. Al sumar los miembros derechos de (6) y (8) se obtiene la respuesta total.

Anlisis de la respuesta para el modelo de contaminante

Ahora que sabemos algo de la estructura de las soluciones para las EDO lineales de pri-mer orden volvamos al modelo de acumulacin de contaminante para analizar e interpre-tar sus soluciones.

Cunto contaminante hay en el depsito?

Resolvamos el PVI (1). Despus de multiplicar por el factor de integracin eO.11, la EDO en (1) se convierte en

eO. 1t [y'(t) + O.ly(t)] = [eO. 11 y(t)]' = e011 lOc(t)


32

~ Podra haberse usa-do tambin un paquete de software simblico.


25

15

(curva de lnea continua) y' + O.ly = 2 ,+ sen t, y(O) = 15 Cantidad total y(t) de contaminantli! en\ el depsito

,

,-, " /(~l;nes cortos) y' + O.ly = 2 + sen t, y(O) = O \ _ ;' Respuesta al flujo de entrada \\ // '-'

10 \: \/

/",- " , , , , , ,

! ", (guiones largos) y' + O. ly = 0, y(O) = 15 ! ", Respuesta a la cantidad inicial ..........................

, ..... _--------

10 20 30 40 50

t (min)

Figura 1.4.1 Acumulacin de contaminante en el depsito (ejemplo 1.4.2).

As, por el teorema 1.4.1

y(t) = Yoe-O 1t +e-O1t S; eo.1S[lOc(s)]ds, t 2>: O

60

Respuesta total = respuesta a la cantidad inicial + respuesta al flujo de entrada

(10)

En el primer trmino del miembro derecho de la frmula (10) se muestra la cantidad de contaminante-en descenso en el depsito si se agregara agua pura y saliera agua contami-nada a la misma tasa. El segundo trmino representa la cantidad de contaminante en el de-

ps~ instante t debida nicamente a la corriente de entrada de aguaco'ntaminada. A la larga se espera que domine el segundo trmi

Ecuaciones Diferenciales [Borrelli, Coleman]

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