ECUACIONES DIFERENCIALES - aliat.org.mx · PDF file2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42...
-
Upload
truongxuyen -
Category
Documents
-
view
260 -
download
0
Transcript of ECUACIONES DIFERENCIALES - aliat.org.mx · PDF file2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42...
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES
ENRIQUE RAFAEL ESPINOSA SANCHEZ
RED TERCER MILENIO
AVISO LEGAL
Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.
Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de
los derechos.
Datos para catalogación bibliográfica
Enrique Rafael Espinosa Sánchez
Ecuaciones diferenciales
ISBN 978-607-733-115-5
Primera edición: 2012
DIRECTORIO
Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo
Jesús Andrés Carranza Castellanos Director Corporativo de Administración Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos
2
INDICE
Introducción
Mapa conceptual
UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales
OBJETIVO 9
TEMARIO 9
MAPA CONCEPTUAL 10
INTRODUCCIÓN 11
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 16
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 19
AUTOEVALUACION 20
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
OBJETIVO 27
TEMARIO 27
3
MAPA CONCEPTUAL 28
INTRODUCCION 29
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 32
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
33
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 35
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 38
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 42
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 43
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN 43
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 46
AUTOEVALUACION 47
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 48
UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVO 54
TEMARIO 54
4
MAPA CONCEPTUAL 55
INTRODUCCION 56
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 58
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA
SOLUCIÓN CONOCIDA 58
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 60
3.3 EL WRONSKIANO 60
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 61
3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 62
3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 64
3.6 SERIES DE POTENCIA 65
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 67
AUTOEVALUACION 68
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 69
UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
OBJETIVO 72
TEMARIO 72
MAPA CONCEPTUAL 73
5
INTRODUCCION 74
4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 76
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 80
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 80
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 82
AUTOEVALUACION 83
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 84
Bibliografía 86
Glosario 87
6
INTRODUCCION
La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de Ecuaciones
Diferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptos
generales.
Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigaciones
bibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar el
aprendizaje de la materia.
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar
situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.
Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que
dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el
desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.
El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades que
abarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje las
Ecuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a su
carrera profesional.
El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales,
en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para no
crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se
retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales
desde Arquímedes hasta Newton.
Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de las
ecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer orden
hasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversos
métodos de solución.
La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que los
conocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logrado
construir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables para
estudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a la
esencia de la representación de una función en su forma algebraica.
7
Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso
el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional
que estudia.
8
MAPA CONCEPTUAL
9
UNIDAD 1
ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVO
Explicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales
TEMARIO
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
10
MAPA CONCEPTUAL
11
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y
la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven
implicadas las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos,
químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de
forma matemática.
El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican
según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a
plantear problemas con diferente grado de dificultad.
12
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una
función desconocida de una o más variables.
En cálculo se aprende que la derivada dxdy / (se lee derivada de y con
respecto a x ) de la función )(xy es otra función de x , por ejemplo:
2xey
la derivada de esta función es
2
2 xxedx
dy
en ecuaciones diferenciales, al remplazar
2xe por y se obtiene la ecuación
diferencial
xydx
dy2
La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integración
de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las
ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que
ahora dada la función
xydx
dy2
hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtener
la función desconocida )(xy .
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y
linealidad.
Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo de
una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación
se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:
yxdx
dy 2 o yxy 2´ 06
2
2
ydx
dy
dx
yd
13
Normalmente escribimos )(xfy y llamamos a x la variable
independiente, y a y la variable dependientes de x . Para sintetizar la
denotación de y en x en una función )(xfy , simplemente podemos escribir
)(xy y sus derivadas sucesivas por )(),...,(''),(' xyxyxy n , o también
únicamente nyyy ,...,'',' .
En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable,
es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama
ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:
Vy
V
x
V
2
2
2
2
2
V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una
ecuación diferencial parcial. Se escribe ),( yxFV para hacer más claro que x
y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de
manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencial
parcial, denotamos el valor de V en x y y por ),( yxV .
Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial ya
sea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la
ecuación. Por ejemplo:
yxy 2´
El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólo
tiene una derivada de y con respecto a x.
062
2
ydx
dy
dx
yd
El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con
respecto a x .
Vy
V
x
V
2
2
2
2
2
Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de
segundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial de
segundo orden.
14
Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal
cuando puede ser escrita de la forma
)()(')(..)()()()( 1
1
10 xFyxayxayxayxa nn
nn
donde )(xF y los coeficientes
)(,),..,(),(, 1 xaxaxa son funciones dadas de x y )(, xa no es idéntica a cero.
Por ejemplo:
04)( xdydxxy 0´2´´ yyy
Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma
anterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:
xeyyy 2´)1( 02
4
4
2
2
ydx
ydsen
dx
yd
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales
1. 212´ xyyy
2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx
3. 0)(2 dxxexyydyx x
4. 22
2
r
k
dt
rd
5. 0)1( 2 xdydxy
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustos
a cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al
15
principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobre
la caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para dar
paso a la Mecánica celeste.
La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años,
Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVII
Fermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes
a la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa de
estos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinación
límite de sumas.
El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis
páginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples
reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.
El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se
presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.
Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676
para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x y
y . Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la
aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton
publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las
fluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de primer orden.
Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión
geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago y
estaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron las
bases del cálculo moderno.
En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos de
integrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables de
una ecuación diferencial.
Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuaciones
diferenciales ordinarias, la expresión dxdy / significa para Euler un cociente
entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.
16
Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de
las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del
péndulo.
Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de
físicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de las
ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y
tratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina
las aportaciones de algunos matemáticos.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones
Diferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayores
referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber
omitido en este trabajo.
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la
ecuación, esto es, la reduce a una identidad.
Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una
ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es
una solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuación
diferencial ordinaria como la ecuación
0)´,...,,,( )( nyyyxF
es una función con al menos n derivadas y
0))(),...,´(),(,( )( xxxxF n
para todo x en I .
17
Se dice que )(xy satisface la ecuación diferencial. El intervalo
I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito ),( a , etcétera.
Ejemplo 1. Sea la función xxey una solución de la ecuación lineal
0'2'' yyy
en el intervalo ),( .
Solución: sustituyendo
xx exey ´
y
xx exey 2´´
obtenemos
0)(2)2(´2´´ xxxxx xeexeexeyyy
Ejemplo 2. La ecuación
01522
2
xdt
dx
dt
xd
Sean las funciones tex 5 y tex 3 soluciones de la ecuación ya que al
sustituir dan por resultado:
015)5(225 555 ttt eee
015)3(29 333 ttt eee
Ejemplo 3. La función definida por:
yseneV x 23
es una solución de la ecuación
Vy
V
x
V
2
2
2
2
2
debido a que sustituyendo encontramos la identidad:
yseneyseneysene xxx 2)24(229 333
La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones
explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variable
dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y
constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación
18
diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface la
educación dentro de un intervalo.
Solución implícita: Sea la ecuación diferencial
y
x
dx
dy
su solución implícita es la función
0422 yx
dentro del intervalo 22 x , derivado la función obtenemos
022 dx
dyyx
despejando
dx
dy
se obtiene la ecuación diferencial.
El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica
únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuaciones
no lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que se
encuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posibles
de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o más
ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones
desconocidas de una variable independiente.
El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a
una ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la función
desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable
independiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
El problema de valor de frontera busca determinar la solución de la
ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida
especificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estas
condiciones se les denomina condiciones de frontera.
19
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.
1. 2;0´2x
eyyy
2. xxx eeyeydx
dy 233 10;2
3. 2
2 1;02
xyxydxdyx
4. 0,ln;11
´ xxxyyx
y
5. xx ececyyyy 4
2
3
1;012´´´
20
AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.
1. 0)(2 dxxexyydyx x
2. 22
2
r
k
dt
rd
3. xyxyyx cos5´4´´)1(
4. 212' xyyy
5.
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. xx xeeyydx
dy
dx
yd 22
2
2
;044
7. senhxxyyy cosh;´´
21
8. 0,;02 1
212
2
xxccydx
dy
dx
ydx
9. 21
2 ln;0´)(´´ ccxyyy
10. xcyyy 5cos;025´´ 1
22
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.
1. 0)(2 dxxexyydyx x
Respuesta:
0)(2 dxxexyydyx x
xxeyxdx
dyx )1(2
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.
2. 22
2
r
k
dt
rd
Respuesta:
022
2
22
2
r
k
dt
rd
r
k
dt
rd
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
3. xyxyyx cos5´4´´)1(
Respuesta:
xyxyyx cos5´4´´)1(
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.
4. 212' xyyy
Respuesta:
212' xyyy
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.
5.
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
23
Respuesta:
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
01
2
2
2
dx
dy
dx
yd
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. xx xeeyydx
dy
dx
yd 22
2
2
;044
Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencial
para realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que
xx xeey 22
calculando la primera derivada
xxx xeeedx
dy 222 22
es igual a
xx xeedx
dy 22 23
calculando la segunda derivada
xxx xeeedx
dy 222 426
es igual a
xx xeedx
dy 22 48
sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuación
diferencial que se desea comprobar, se obtiene
0)(4)23(448 222222 xxxxxx xeexeexee
04481248 222222 xxxxxx xeexeexee
24
0881212 2222 xxxx xexeee
7. senhxxyyy cosh;´´
Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma que
represente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento se
obtiene:
0´´´´ yyyy
dónde
0´´ yy
es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y
senhxxy cosh
la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera y
segunda derivada se obtiene
senhxxy cosh´
senhxxy cosh´´
sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivada
en la ecuación diferencial inicial se concluye que
0)(coshcosh senhxxsenhxx
8. 0,;02 1
212
2
xxccydx
dy
dx
ydx
Respuesta: siendo la ecuación diferencial
022
2
dx
dy
dx
ydx
que se desea comprobar con la función
1
21
xccy
se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada
igual a
2
2
xcdx
dy
25
segunda derivada
3
22
2
2 xcdx
yd
sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:
0)(2)2( 2
2
3
2 xcxcx
por lo tanto
022 2
2
2
2 xcxc
9. 21
2 ln;0´)(´´ ccxyyy
Respuesta: siendo la ecuación diferencial
0´)(´´ 2 yy
que se desea comprobar con la función
21ln ccxy
se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada
igual a
1
1´
cxy
segunda derivada
2
1 )(
1´´
cxy
sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación
diferencial, se obtiene:
01
)(
12
1
2
1
cxcx
concluyendo
0)(
1
)(
12
1
2
1
cxcx
26
10. xcyyy 5cos;025´´ 1
Respuesta: siendo la ecuación diferencial
025´´ yy
que se desea comprobar con la función
xcy 5cos1
se requiere la segunda derivada de dicha función
xsency 55´ 1
como primera derivada y como segunda derivada
xcy 5cos25´´ 1
sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación
diferencial, se obtiene:
05cos255cos25 11 xcxc
27
UNIDAD 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
OBJETIVO
Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos métodos.
TEMARIO
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
28
MAPA CONCEPTUAL
29
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden,
pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de las
ecuaciones diferenciales en problemas reales.
La solución general de una ecuación diferencial de variables separables
debe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumno
debe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferenciales
que no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables y
para resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar las
variables de la ecuación.
30
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
El matemático y físico Leonhard Paul Euler1 en el siglo XVIII se encargo de
sistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a la
primera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones de
primer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables,
homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.
Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en
fenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estos
fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su
comportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática no
queda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la
transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos,
todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual.
La ecuación diferencial de primer orden
),( yxFdx
dy
considere a
dx
dy
como cociente de diferenciales, puede expresarse también como
0),(),( dyyxNdxyxM
para dar paso a la siguiente expresión
dyyxNdxyxM ),(),(
Ejemplo:
xy
yx
dx
dy
52
3
puede ser escrita como
0)25()3( dyyxdxyx
donde
yxNyxM 25,3
1 http://www.eulersociety.org/
31
La solución general de una ecuación diferencial de variables separables
se puede representar de la forma siguiente:
0)()( dyygdxxf
donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a la
variable y, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la
solución general
cdyygdxxf )()(
donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a la
ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así
eliminar a la constante c, siendo de la siguiente manera:
cdyygddxxfd )()(
igual a
0)()( dyygdxxf
El método de variables separables consiste en separar en dos términos
la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha
ecuación.
Sea la ecuación diferencial de variables separables
0)1( ydxdyx
tenemos
ydxdyx )1(
)1( x
dx
y
dy
integrando
)1( x
dx
y
dy
11lnln cxy
11ln cxey
11ln 1 ccxeey
11c
exy
32
)1(1 xeyc
1),1(1
1,11
xxx
xxx
si la constante c se puede escribir como 1ce tenemos que
)1( xcy
La solución general de
y
x
dx
dy
2
12
pasando la ecuación a función
0)2()1( 2 dyydxx
donde se requiere integrar ambas partes
cdyydxx )2()1( 2
obtenemos
cyy
xx
223
23
ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3,
sustituyendo en la solución general obtenemos que
12)4(22
4)3(
3
3 23
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Resuelva la ecuación diferencial por variables separables.
1. xsendx
dy5
2. 2)1( xdx
dy
33
3. 03 dyedx x
4. 02 dyxdx
5. xdx
dye x 2
6. x
y
dx
dy 1
7. x
yx
dx
dy
1
22
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poder
resolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variables
separables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variables
separables es
x
yf
dx
dy
llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe y
aquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Para
cambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de
vx
y
o también
vxy
lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v
conservando la variable independiente x, teniendo entonces
dx
dvxv
dx
dy
34
para que
x
yf
dx
dy
se transforme en
)(vfdx
dvxv
de tal manera que
vvf
dv
x
dx
)(
obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas.
Ejemplo: Sea la ecuación
yx
yx
dx
dy
el lado derecho es una función x
y, por tanto es una ecuación homogénea,
haciendo vxy , se tiene
v
v
dx
dvxv
1
1
v
vv
dx
dvx
1
221
221
)1(
vv
dvv
x
dx
aplicando las reglas de lo logaritmos
1
2 )21ln(2
1ln cvvx
o
2
22 )]21(ln[ cvvx
de tal manera que
cvvx )21( 22
reemplazando v por x
y se obtiene
cyxyx 22 2
35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuaciones
diferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada para
tener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que las
ecuaciones diferenciales no sean separables las variables.
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominada
ecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones
denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que al
aplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puede
seguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán el
concepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de las
ecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, suponga
que se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señal
inalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los
2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial la
transmisión y distorsión es igual dentro de este rango.
Una ecuación diferencial
),(),( yxNyxM
es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la
diferencial de alguna función
),( yxf
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
0),(),( dyyxNdxyxM
es una ecuación diferencial exacta, si
dyyxNdxyxM ),(),(
es una diferencial exacta.
36
Si son continuas
),( yxM
y
),( yxN ,
con derivadas parciales continúas en una región rectangular R , definida por los
intervalos
bxa ,
dyc
para las variables y y x , la condición única y necesaria para que
dyyxNdxyxM ),(),(
sea una diferencial exacta es que
x
N
y
M
.
Ejemplo 1: La ecuación
02332 dyyxdxyx
es exacta, por que
dyyxdxyxyxd 233233
3
1
aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exacta
dyyxNdxyxM ),(),(
tenemos que
32),( yxyxM
y
23),( yxyxN
aplicando la diferencial se tiene que
223 yxdy
M
que es igual a
223 yxdx
N
37
Ejemplo 2: La ecuación
0)1(2 2 dyxxydx
se resuelve igualando primero
xyyxM 2),(
y
1),( 2 xyxN
realizando las diferenciales respecto a y y x tenemos
xy
M2
y
xx
N2
por lo tanto
x
N
y
M
con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio para
determinar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función
),( yxf tal que
xyx
f2
y
12
x
y
f
al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que
)(),( 2 ygyxyxf
determinando la derivada parcial con respecto a y
)´(2 ygxy
f
igualando con ),( yxN se tiene
1)´( 22 xygx
despejando )´(yg obtenemos
38
1)´( 22 xxyg
1)´( yg
y
yyg )(
la solución es entonces
cyxf ),(
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.
1. 0)73()12( dyydxx
2. 0)6()2( dyyxdxyx
3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx
4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny
5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE
El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de una
ecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta,
para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por el
método de ecuaciones diferenciales exactas.
Si la ecuación
0 NdyMdx
no cumple con la condición de que
39
X
N
y
M
entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requiere
multiplicarla por un factor integrante apropiado , de tal manera que la
ecuación que se obtenga sea de la forma
0 NdyMdx
será exacta, debido a que
)()( Nx
My
Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el más
común es el de separación de variables.
Ejemplo. Sea
yxY
xyx
dx
dy2
23
, si 3)1( y .
Solución:
0)()3( 22 dyyxydxxyx
se obtiene M y N quedando de la siguiente manera
23 xyxM y yxyN 2
aplicando la diferencial obtenemos que
xyy
M2
y xy
x
N2
la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas como
producto de una fundón con respecto a y y x , esto es
0)1()3( 22 dyxydxyx
un factor integrante es
)1)(3(
122 xy
que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta la
función
40
031 22
dyy
ydx
x
x
que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos
cyx )3ln(2
1)1ln(
2
1 22 ó )3()1( 22 yAx
puesto que 3y cuando 1x , encontramos 6
1A .
Por lo tanto, la solución es
)3(6
1)1( 22 yx
o
36 22 xy
El método de inspección considera que 0 NdyMdx no es separable o
exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante para
volver la ecuación exacta, que dando de la forma:
)()( Nx
My
Considerando dos casos en particular, cuando es una función sólo de
x que dando la ecuación como
)(1
xfx
N
y
M
N
entonces
dxxf
e)(
es un factor integrante y cuando es una función sólo de y tomando la función
como
)(1
ygy
M
x
N
M
entonces
dyyg
e)(
es un factor integrante.
41
Ejemplo: resolver
0)33( dyyxydx
primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo M
y N de lo que resulta que
yM
y
yxN 33
aplicando la diferencial
1
y
M
y
3
x
N
la ecuación no es exacta.
Ahora
yx
33
31
no es una función sólo de x. Pero
YY
213
es una función sólo de y. por lo tanto
2lnln2)2( 2
yeee yydy
y
es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por
2y
la solución que se obtiene es
cy
yxy 4
433
42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factor
integrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, como
resultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama de
flujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferenciales
no exactas a través del uso del factor integrante.
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la
energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli,
quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica, donde trata de la
mecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual la
ecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando 0n y 1n la
ecuación
nyxfyxPdx
dy)()(
es lineal. Cuando 0n y 1n , la sustitución ny 1 reduce cualquier ecuación
de la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.
Ejemplo: Resolver 22 yxydx
dyx .
Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:
21xyy
xdx
dy
dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con 2n ,
1 uy
y
dx
duu
dx
dy 2
en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos
43
xuxdx
du
1
el factor integrante para esta ecuación en el intervalo ),0( , es
1lnln 1
xeee xxx
dx
integrando
1][ 1 uxdx
d
donde se obtiene
cxux 1
despejando u
cxxu 2
como 1 uy , sustituyendo u , la solución de la ecuación es
cxxy
2
1
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo se
aplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de la
altura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por el
disipador del procesador interno de una computadora.
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
El problema de valor inicial con la ecuación diferencial kxdt
dx , 00 )( xtx en
donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos de
distintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera donde
interviene el crecimiento o decrecimiento.
44
Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial 0N de bacterias. Cuando
1t , la cantidad medida de bacterias es 02
3N . Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario
para triplicar la cantidad inicial de bacterias.
Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendo
las variables iniciales del problema se obtiene
kNdt
dN
sujeta de acuerdo a 00 )( xtx será igual a 0)0( NN . Donde la condición queda
02
3)1( NN
para hallar la constante de proporcionalidad k .
Al escribir la ecuación
kNdt
dN
de manera lineal para que sea separable obtenemos
0 kNdt
dN
que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante es
kte , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma
0 Nedt
d kt
al integrar, se llega a la solución general
cNe kt
despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema,
la ecuación se puede escribir como
ktcetN )(
Cuando 0t , cceN 0
0 , por consiguiente kteNtN 0)(
45
El caso cuando 1t , keNN 002
3 , o bien
2
3ke para obtener
4055.02
3ln k , Así teNtN 4055.0
0)( .
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,
hay que despejar t de t
oo eNN 4055.03 ; por consiguiente 3ln4055.0 t , así
ht 71.24055.0
3ln
Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con
una inductancia de henry2
1y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente
i, si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe la
corriente
)(tERidt
diL
se tiene que
12102
1 i
dt
di
sujeta a 0)0( i . Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el
factor integrante sea te20 , que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como
tt eiedt
d 2020 24
al integrar cada lado y despejar i se obtiene
tcei 20
5
6
si 0)0( i , entonces c5
60 , o bien
5
6c , la respuesta es
teti 20
5
6
5
6)(
a partir de la ecuación
dxxfeeceypycydxxPdxxPdxxP
)()()()(
se puede formular una solución general de
46
tLRtLR ecdttEeL
tLReti )/()/( )(
)/()(
Cuando 0)( EtE es una constante, la ecuación anterior queda como
tLRceR
Eti )/(0)(
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemas
cotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones
diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde los
relacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus de
la influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerar
problemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México del
año 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no un
modelo matemático que ayude a determinar tales cifras.
47
AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. xdx
dye x 2
2. x
y
dx
dy 1
3. x
yx
dx
dy
1
22
4. yxyx eedx
dyye 2
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas
5. 0)73()12( dyydxx
6. 0)6()2( dyyxdxyx
7. 03343cos1
2 3
2
xysenx
x
y
dx
dyx
xy
48
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. xdx
dye x 2
Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuación
inicial
xdx
dye x 2
despejando
dxxedy x 2
ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuación
dxxedy x
2
integrando se obtiene
cxexey xx 22
2. x
y
dx
dy 1
Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial
x
y
dx
dy 1
se obtiene
dxx
dyy
1
1
1
aplicando la integral en ambos miembros
dxx
dyy
1
1
1
integrando
cxy lnln1ln
es igual a
cxy ln1ln
49
obteniendo
cxy 1
por lo tanto
1 cxy
3. x
yx
dx
dy
1
22
Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tenga
la forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:
x
yx
dx
dy
1
22
dyydxx
x 2
2
1
dxx
xdyy
2
2 1
aplicando la integral en ambos miembros de la función
dxx
xdyy
2
2 1
dxxxdyy )( 122
integrando la ecuación
1
13 ln3
1cxxy
por lo tanto
1
13 ln33 cxxy
4. yxyx eedx
dyye 2
Respuesta: De la ecuación
yxyx eedx
dyye 2
realizando los despejes
)1( 2xyx eedx
dyye
50
dxeedyye xxy )1( 2
separando las variables
dxeedyye xxy )( 3
aplicando la integral en ambos miembros
dxeedyye xxy )( 3
integrando
ceeeye xxyy 3
3
1
por lo tanto
ceeyee xxyy 3
3
1
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas
5. 0)73()12( dyydxx
Respuesta: Sea la ecuación inicial
0)73()12( dyydxx
que se compone de
12),( xyxM
y
73),( yyxN
con
0)12(
y
x
y
M
y
0)73(
x
y
x
N
esto es igual a tener
x
N
y
M
51
debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función
),( yxf
para la que
12
x
x
f
y
73
y
y
f
con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene
)(),( 2 ygxxyxf
entonces
)´(ygy
f
al igualar con
73),( yyxN
se obtiene
73)´( yyg
donde
yyyg 72
3)( 2
que al sustituir en
)(),( 2 ygxxyxf
se tiene
yyxxyxf 72
3),( 22
por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:
cyyxx 72
3 22
6. 0)6()2( dyyxdxyx
Respuesta: De la ecuación diferencial inicial
52
0)6()2( dyyxdxyx
se tiene
yxyxM 2),(
y
)6(),( yxyxN
quedando como
yxyxN 6),(
con
1)2(
y
yx
y
M
y
1)6(
x
yx
x
N
esto es igual a tener
x
N
y
M
con esto se concluye que la ecuación no es exacta.
7. 03343cos1
2 3
2
xysenx
x
y
dx
dyx
xy
Respuesta: De la ecuación diferencial inicial
03343cos1
2 3
2
xysenx
x
y
dx
dyx
xy
al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene
03cos1
2334 3
2
dyx
xydxxysenx
x
y
para esta ecuación se tiene
xysenxx
yyxM 334),( 3
2
y
xx
yyxN 3cos1
2),(
53
con
xsenxy
xysenxx
y
y
M33
1334
2
3
2
y
xsenxx
xx
y
x
N33
13cos
12
2
esto es igual a tener
x
N
y
M
con esto se concluye que la ecuación no es exacta.
54
UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVO
Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversos
métodos.
TEMARIO
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA
SOLUCIÓN CONOCIDA
3.3 EL WRONSKIANO
3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS
3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER
3.6 SERIES DE POTENCIA
55
MAPA CONCEPTUAL
56
INTRODUCCIÓN
En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas de
orden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
para aplicarlas en problemas de modelamiento.
Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que se
categorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen ese
requisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevan
a que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a una
solución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendrán
que aprender.
57
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
Una ecuación lineal de orden n de la forma
0)()(...)()( 011
1
1
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
Se llama homogénea, mientras que una ecuación
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
donde )(xg no es idénticamente cero, se llama no homogénea.
Toda función py libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
se llama solución particular de la ecuación no homogénea.
Por ejemplo:
0532 yyy
es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras
que
xeyyyx 1063
es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea.
Sean
kyyy ,...,, 21
soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación
0)()(...)()( 011
1
1
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
donde x esta en un intervalo I . La combinación lineal
)(...)()( 2211 xycxycxycY kk
en donde las
ic , ki ,...,2,1
son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el
intervalo.
58
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. xyxyx /2 43
2. )34( yxyx
3. 442 yxy
x
4. yx
x
2
cos
5. yx
xsen
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA
Sea el caso 2k , donde L sea el operador diferencial, )(1 xy y )(2 xy
soluciones de la ecuación homogénea 0)( yL , definiendo
)()( 2211 xycxycy
aplicando la linealidad de L , resulta
)()()}()({)( 22112211 yLcyLcxycxycLyL
)()()( 2211 yLcyLcyL
00)( 21 ccyL
0)( yL
Las funciones 2
1 xy y xxy ln2
2 son soluciones de la ecuación lineal
homogénea
59
0423 yyxyx
para x en el intervalo ),0( , la combinación lineal es
xxcxcy ln2
2
2
1
es una solución de la ecuación en el intervalo.
Sea L el operador diferencial, )(xY y )(xy p soluciones particulares de
la ecuación no homogénea )()( xgyL . Definiendo )()()( xyxYxu p , por la
linealidad de L se debe cumplir
0)()()(())(()}()({)( xgxgxyLxLLxyxYLuL pp
se demuestra que )(xu es una solución de la ecuación homogénea 0)( yL
Utilizando la sustitución para la función
xy p2
1
12
11
es una solución particular de la ecuación no homogénea
xydx
dy
dx
yd
dx
yd36116
2
2
3
3
Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolver
la ecuación homogénea asociada
061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
la cual tiene como solución
xxx
c ecececy 3
3
2
21
en el intervalo ),( ; por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en
el intervalo es
pc yyy
xecececy xxx
12
11
12
113
3
2
21
60
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengan
soluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida para
que el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.
3.3 EL WRONSKIANO
El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a el
matemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuación
tiene una solución algebraica.
Suponga que cada una de las funciones
)(),...,(),( 21 xfxfxf n
posee
1n
derivadas al menos.
El determinante
)1()1(
2
)1(
1
21
21
21
...
'''
...
),...,,(
n
n
nn
n
n
n
fff
fff
fff
fffW
en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las
funciones.
Sean n soluciones nyyy ,...,, 21 de la ecuación
0)()(...)()( 011
1
1
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I , si y solo si
0,...,,( 21 nyyyW
para toda x en el intervalo.
61
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en la
solución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínate
correspondiente.
3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS
La solución particular de una ecuación de diferencial lineal de primer orden
)()( xfyxPdx
dy
en un intervalo, se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar
el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo
orden
)()()()( 012 xgyxayxayxa
es necesario manejar la ecuación diferencial de la forma reducida
)()( xfyxQYWY
Para hallar una solución particular de la ecuación )()( xfyxPdx
dy para
la ecuación )()()()( 012 xgyxayxayxa , se debe buscar una solución de la
forma:
)()()()( 2211 xyxuxyxuy p
para que 1y y 2y formen un conjunto de soluciones en I .
Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar py obtenemos
22221111 uyyuuyyuy p
22222221111111 ; yuuyuyyuyuuyuyyuy p
sustituyendo las ecuaciones obtenidas en )()()()( 012 xgyxayxayxa y
agrupando los términos:
22221111)()( QyyPyuQyyPyuyxQyxPy ppp
2211221122221111 uyuyuyuyPyuuyyuuy
62
221122112211 uyuyuyuyPuydx
duy
dx
d
)(221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydx
d
Es necesario determinar dos funciones desconocidas 1u y 2u , estas
funciones satisfacen a 02211 uyuy , reduciendo la ecuación
)(221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydx
d
a
)(2211 xfuyuy
se Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de
Cramer y la solución del sistema
02211 uyuy
)(2211 xfuyuy
se puede expresar en términos de los determinantes
W
Wu 1
1 y W
Wu 2
2
en donde
)(
0,
)(
0,
1
1
2
2
2
1
21
21
xfy
yW
yxf
yW
yy
yyW
Las funciones 1u y 2u se determinan integrando los resultados
W
Wu 1
1 y W
Wu 2
2
donde el determinante W es el wronskiano de 1y y 2y , que por la independencia
linean entre 1y y 2y en I , que 0))(),(( 21 xyxyW para toda x en el intervalo.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.
63
1. xyy sec´´
2. senxyy ´´
3. x
eyy
x2
4´´
4. xseneyyy 2´3´´
5. xeyyy x ln´2´´
3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER
Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor de
integración que transforma ecuaciones diferenciales que no son lineales a
ecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.
Toda ecuación diferencial lineal de la forma
)(... 011
11
1 xgyadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
nn
nn
nn
n
donde los coeficientes 01,...,, aaa nn son constantes, tienen los nombres de
ecuación de Cauchy-Euler ó Euler-Cauchy.
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado
0.....1, nnk
de los coeficientes nominales kx coincide con el orden k de la diferenciación
kk dxyd / .
Solución de la forma
mxy
donde m esta por determinar. La primera y segunda derivadas son,
respectivamente
64
1 mmxdx
dy
y
2
2
2
)1( mxmmdx
yd
en consecuencia
mmm cxmxbxxmmaxcydx
dybx
dx
ydax 122
2
22 )1(
mm bmxxmam )1(
))1(( cbmmamxm
así,
mxy
es una solución de la ecuación diferencial siempre m que sea una solución de
la ecuación auxiliar
0)1( cbmmam
ó
0)(2 cmabam
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental del empleo de la ecuación de Cauchy
Euler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar los
conocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis del
algoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales a través de la ecuación de
Cauchy-Euler.
65
3.6 SERIES DE POTENCIA
Determinar la solución de
02 xydx
dy
como una serie de potencias en x . Suponiendo que la solución de la ecuación
existe y tiene la forma
0n
n
nxcy
aplicando una derivación a la educación da como resultado
1
1
0
1
n
n
n
n
n
n xncxncdx
dy
tomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos
0
1
1
1 22n
n
n
n
n
n xcxncxydx
dy
Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de las
sumatorias comiencen con el mismo número y las potencias comiencen igual.
Entonces es necesario identificar que en la primera serie 1 nk y en la
segunda serie 1 nk , la anterior ecuación el lado derecho se transforma en
1
1
1
11 2)1(k
k
k
k
k
k xcxckc
Después de sumar término a término las series, se sigue que
0]2)1[(2 1
1
11
k
k
k
k
k xcxckcxydx
dy
para que esta ecuación sea idéntica a 0 , los coeficientes de la potencias iguales
de x deben ser cero; es decir,
01 c
y
,...3,2,1,02)1( 11 kk ckck
siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que
determina las kc . Dado que
01k
66
para todos los valores indicados de
k
se puede expresar la siguiente ecuación
1
2 11
k
cc k
k
por interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados:
0022
2,1 ccck
03
2,2 13 cck
0024!2
1
2
1
4
2,3 cccck
05
2,4 35 cck
0046!3
1
!23
1
6
2,5 cccck
07
2,6 57 cck
0068!4
1
!34
1
8
2,7 cccck
y así sucesivamente para que de la ecuación
0n
n
nxcy
se obtenga que
'''6
6
5
5
4
4
3
3
2
210
0
xcxcxcxcxcxccxcyn
n
n
'''0!3
10
!2
100 6
0
4
0
2
00 xcxcxcc
...
!3
1
!2
11 642
0 xxxc
0
2
0!n
n
n
xc
67
esta es la solución general ya que la interacción ha dejado a 0c totalmente
indeterminado.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental para reforzar los conocimientos
obtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la solución
de ecuaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumno
será capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción que
requiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo para
comprender si la ecuación diferencial en estudio será convergente o divergente
para el intervalo en que se estudie.
68
AUTOEVALUACIÓN
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. xyxyx /2 43
2. )34( yxyx
3. 442 yxy
x
4. yx
x
2
cos
5. yx
xsen
69
RESPUESTAS AUTOEVALUACION
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. xyxyx /2 43
Respuesta: Sea
xyxyxyxf /2),( 43
xtytytxtxtytxf /)())((2)(),( 423
txytyttxtytx /)(2 442233
xytxytxt /2 432333
)/2(),( 4233 xyxyxttytxf
por lo tanto
xyxyxyxfyxfttytxf /2),(:),(),( 4233
resultando ser una función homogénea de tercer grado.
2. )34( yxyx
Respuesta:
)34(),( yxyxyxf
)34())(3)(4(),( 2
1
yxtyxttytxtytxtytxf
)34(),( 2
3
yxtyxttytxf
por lo tanto
)34(),(:),(),( 2
3
yxtyxyxfyxfttytxf
función homogénea de grado 2
3
3. 442 yxy
x
Respuesta:
70
442),(
yxy
xyxf
442 )()()(),(
tytxty
txtytxf
444422),(
ytxtyt
txtytxf
)(),(
44422 yxtyt
txtytxf
)(),(
44222 yxtyt
txtytxf
))((),(
4422 yxyt
txtytxf
))((),(
442 yxyt
xtytxf
))((),(
442
1
yxy
xttytxf
por lo tanto
442
1 ),(:),(),(yxy
xyxfyxfttytxf
es una función homogénea de grado -1
4. yx
x
2
cos
Respuesta:
yx
xyxf
2
cos),(
tytx
txtytxf
2)(cos),(
)(cos),(
22
yxt
xttytxf
71
yx
xttytxf
2
cos),(
entonces
yx
xt
yx
xt
22
coscos
por lo tanto
yx
xyxf
2
cos),(
función no homogénea.
5. yx
xsen
Respuesta:
yx
xsenyxf
),(
entonces
tytx
txsentytxf
),(
)(),(
yxt
txsentytxf
yx
xsentytxf
),(
yx
xsentytxf
1),(
yx
xsenttytxf
0),(
por lo tanto
),(),( 0 yxftyxf
función homogénea de grado 0.
72
UNIDAD 4
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
OBJETIVO
Aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales
TEMARIO
4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
73
MAPA CONCEPTUAL
74
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método que
tiene la finalidad de convertir una ecuación diferencial para su solución a forma
algebraica.
La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de una
ecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuaciones
diferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya sea en
su forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.
75
4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea
0),( ttF
dada. La transformada de Laplace de
)(tF
se define como
0
)()}({)( dttFetFsf stL
donde s es un parámetro real. El símbolo L se llama operador de la
transformada de Laplace.
La integral impropia de la ecuación anterior se define como
Mst
MdttFelím
0)(
y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límite
existe o no. Si
Mst
MdttFelím
0)(
existe decimos que la integral converge.
Ejemplo 1. Encontrar }1{L , solución:
0 0
)1()}1{b
st
b
st dtelímdteL
s
elím
s
elím
st
b
b
o
st
b
1|
s
1)}1{ L
si 0s ya que el exponente sb es negativo, 0sbe cuando b . Cuando
0s se dice que integral es divergente.
Ejemplo2. Encontrar }{ ateL , solución:
0 0
)()(}{M
tas
M
atstat dtelímdteeeL
as
elím
as
elím
Mas
M
M
o
tass
M
11
)(
)()(
|
76
as
eat
1}{L
La transformada de Laplace existe si as pero no existe si as .
En general para las funciones donde as , existirá también para as ,
aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningún
valor de s , por ejemplo la integral de
dtee tstx 2
0
no converge para ningún valor de s , la transformada de Laplace de 2te no
existe.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Aplique la transformada de Laplace para determinar )}({ tfL para los casos
cuando )(tf este condicionada por los valores.
1.
11
10,1)(
rt
ttf
2.
11
10,)(
rt
tttf
3.
t
tsenttf
0
0,)(
4.
20
20,4)(
t
ttf
77
5.
lrt
tttf
0
20,12)(
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE
La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función
)(tf
se transforma en otra función
)(sF
a través de la integral
dttfest
)(0
representada de forma general por
)()}({ sftf L
Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:
a) s
1}1{ L
b) ,...3,2,1,!
}{1
ns
nt
n
nL
c) as
eat
1}{L
d) 22
)}{ks
ksenkt
L
e) 22
)}{cosks
skt
L
f) 22
)}{ks
ksenhkt
L
g) 22
)}{coshks
skt
L
78
La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, es
decir, dada
)(sF
hallar la función
)(tf
que corresponde a esa transformación.
Se considera que
)(tf
es la transformada inversa de Laplace de
)(sF
expresada como
)}({)( 1 sftf L
Algunas transformadas inversas de Laplace de funciones básicas son
a)
s
11 1-L
b) ,...3,2,1,!1
ns
nt
n
n 1-L
c)
aseat 11-L
d)
22 ks
ksenkt 1-L
e)
22cos
ks
skt 1-L
f)
22 ks
ksenhkt 1-L
g)
22cosh
ks
skt 1-L
1-L es una transformación lineal. La transformada de Laplace es una
transformación lineal si y son constantes, esto es
)()()()( sGsFgsF 1-1-1- LLL
79
donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser
única. Es posible que
)}({)}({ 21 tftf LL
y
21 ff ,
pero si 1f y 2f son continuas en el intervalo ),0[ , entonces 21 ff en dicho
intervalo
Ejemplo 1: Evalúe
5
1
s
1-L ,
para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma
1
!n
n
s
nt 1-L ,
donde se determina que 4n , para después multiplicar y dividir la ecuación por
!4 , resolviendo la ecuación de la siguiente manera.
tss 24
1!4
!4
1155
1-1- LL
ts 24
1151-L
Ejemplo 2: Evalúe
64
12s
1-L
Solución: como 642 k , utilizando
22 ks
ksenkt 1-L
se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando resulta de la siguiente
forma:
64
8
8
1
64
122 ss
1-1- LL
80
tsens
88
1
64
12
1-L
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental respecto a la transformada directa e
inversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y poder
solucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que la
Transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que
puede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta
investigación las condiciones necesarias para la existencia de la transformada
de Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada de
La place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial,
funciones acotadas, además, debe investigar el teorema de la existencia de la
transformada de Laplace y su linealidad.
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de
ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas
para las funciones transformadas.
Ejemplo: Resolver
2
2
tyx
tyyx
sujetas a 0)0(,1)0( yx .
Solución: Si )}({)( txsX L y )}({)( tysY L , entonces después de
transformar cada ecuación se obtiene:
2
1)()0()()]0()([2
ssYyssYxssX
81
3
2)0()()0()(
syssYxssX
es decir
2
12)()1()(2
ssYsssX
3
21)()(
sssYssX
Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtiene
32
41)()1(
sssYs
es decir
)1(
4)(
3
ss
ssY
que al desarrollarlo en fracciones parciales da
1
5455)(
32
sssssY
aplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en
1
15
!25
15
15)(
32 ssssry 1-1-1-1- LLLL
tettry 5255)( 2
De acuerdo a la ecuación
3
21)()(
sssYssX
4
21)()(
sssYsX
en consecuencia
4
!3
!3
21)}({)(
sssYtx 1-1-1- LLL
tettttx 53
1254)( 32
se concluye que la solución del sistema
82
2
2
tyx
tyyx
es
tettttx 53
1254)( 32
tettty 5255)( 2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de
ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dicha
investigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama de
flujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de los
sistemas de ecuaciones.
83
AUTOEVALUACIÓN
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de
Laplace para determinar )}({ tfL .
1. ottf ,1)(
2. }{ ateL
3. ktsenhtf )(
4. kttf cos)(
5. tsentf 2)(
84
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de
Laplace para determinar )}({ tfL .
1. ottf ,1)(
Respuesta:
dte
st
0
}1{L
0,1
}1{ ss
L
2. }{ ateL
Respuesta:
0 0
)()(}{M
tas
M
atstat dtelímdteeeL
as
elím
as
elím
Mas
M
M
o
tass
M
11
)(
)()(
|
as
eat
1}{L
3. ktsenhtf )(
Respuesta
22 ks
ksenkt 1-L
4. kttf cos)(
Respuesta:
22cos
ks
skt 1-L
85
5. tsentf 2)(
Respuesta:
dtetsen
st
0
}2{L
tdtess
tsenetsen
stst
2cos22
}2{00
L
0,2cos2
}2{0
stdtes
tsenst
L
86
BIBLIOGRAFIA
Blanchard, Paul, Ecuaciones Diferenciales, México, Thomson, 1999.
Braun, Martín, Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones, México,
Iberoaméricana, 2000.
Rainville, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales, México, Pearson,
2000.
Richard, Bronson, Ecuaciones diferenciales, México, McGraw-Hill, 2008
Simmons, George, Ecuaciones diferenciales teoría y práctica, México,
McGrawHill, 2007.
Spiegel, Murray R., Ecuaciones diferenciales, México, Prentice Hall, 2000.
Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, México,
Iberoamérica, 2001.
87
GLOSARIO
ÁLGEBRA: Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más
elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
ARITMÉTICA: Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental de
los números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización de
operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación,
radicación y logaritmos.
BASE: Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces como
lo indica el exponente.
COEFICIENTE: Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.
Si el coeficiente es la unidad, se omite.
CONSTANTE: Valor de tipo permanente
DERIVADA: La derivada de una función es la representación de un valor sobre
la pendiente de la recta tangente que cambia su valor.
ECUACIÓN: Igualdad entre dos expresiones algebraicas.
EXPONENTE: Un exponente es un número que indica cuántas veces debe
usarse la base como factor.
FACTORIZACIÓN: Es la transformación de una expresión algebraica racional
entera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.
88
FUNCIÓN: Usada en matemáticas para modelar situaciones de la dependencia
de una variable sobre otra.
IGUALDAD: Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el
mismo valor.
INTEGRACIÓN: Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.
INTERVALO: Conjunto de números reales comprendidos entre otros dos
números reales.
LIMITE: Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.
LOGARITMO: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que
hay que elevar la base para obtener dicho número.
NÚMERO DECIMAL: Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal
que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.
NÚMERO NATURAL: Denota una cantidad entera y positiva de una especie. El
conjunto de los naturales se denomina N, excluye al cero y se expresa: N= {1,
2, 3, 4, ...}
NÚMERO RACIONAL: Comprende las cantidades numéricas expresables en
forma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q e
incluye a los números enteros y naturales.
NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos números que solo son divisibles por sí
mismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dos
divisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.).
89
POTENCIA: Representación de un producto de factores iguales entre sí.
RELACION: Conjunto de pares ordenados.
SISTEMA DE ECUACIONES: Conjunto de ecuaciones que presentan
soluciones comunes.
TRANSFORMACIONES: Cambios de escala con el propósito de conseguir
linealidad, normalidad en los datos
VALOR ABSOLUTO: Siendo x un número real cualquiera, se llama valor
absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientes
condiciones: | x |=x; sí y solo sí x>0 ó x=0; | x |=-x; sí y solo sí x<0. El valor
absoluto de un número distinto de cero siempre es un número positivo.
VARIABLE: Objeto matemático que puede tomar diferentes valores.
Generalmente asociado a propiedades o características de las unidades de la
muestra. Lo contrario de variable es constante.
ALFABETO GRIEGO
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Épsilon
Eta
Zeta
Iota
Kappa
90
Lambda
Mi
Ni
Xi
Ómicron
Pi
Ro
Sigma
Tau
Ípsilon
Fi
Ji
Psi
Omega