Ecuaciones de valor

Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u

otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea

en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados

en una sola fecha denominada fecha focal. Su cálculo se hace exactamente

igual a lo que acabamos de plantear en el ejercicio anterior. En la fecha focal

debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que

la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia

financiera.

Ejemplo 1: Una persona se comprometió a pagar $1.000.000 dentro de seis

meses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ocho

meses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicita el

siguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses y

el resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20? Suponga

que la tasa mensual es 1,5%.

Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo

( fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de las

cuotas positivas sea igual a la suma de las cuotas negativas. Planteemos como

fecha focal el instante cero:

1.000.000/1,0156 + 1.500.000/1,01512 + 2.000,000/1,01518 = 1.200.000 + 1.200.000/1,01510

+ X/1,01520

3.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520

1.500.00

0

0

6

0

1.200.

000

12 18

1.200.00

0

1.000.00

0

2.000.

000

X

10 20

X= 1.973.069,61

Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado

es el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación de

valor es la siguiente:

1.000.000*1,0156 + 1.500.000 + 2.000.000/1,0156 = 1.200.000 x 1,01512 +

1.200.000*1,0152 + X/1,0158

4.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158

X= 1.973.069,61

Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar de

haber cambiado la fecha focal para plantear la ecuación de valor.

Ejemplo 2: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses,

$1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona

desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres

obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada

mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.

La tasa de periódica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5%

Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:

Tomemos como fecha focal el instante cero:

n

3

1.000.00

0

10

1.500.00

0

4.500.00

0

12

2.000.00

0

0

1.000.000/1,0153+1.500.000/1,01510+2' 000.000/1,01512 = 4'

500,000 / 1,015n

3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n

1,015n = 4.500.000 / 3.921.592,69

1,015n = 1,14749296

log(1,015)n = 1,14749296

n x log 1,015 = log(1,14749296)

n = 9,240587619

Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si

reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x

30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de

nueve meses y siete días.

Ejemplo 3: Planteemos por último una ecuación de naturaleza muy diferente.

Una persona debe pagar $1.500.000 dentro de 4 meses, $1.500.000 dentro de

6 meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona le plantea al acreeedor la

posibilidad de efectuar un solo pago de $4.800.000 en el mes cinco. Si se

aceptan estas condiciones, que tasa de interés rendiría la deuda?

La ecuación de valor que se plantea con el instante cero como fecha focal es

la siguiente:

1.500.000/( 1 + i )4 + 1.500.000/( 1 + i )6 + 2.000.000/( 1+i )12 = 4.800.000/( 1 +

i )5

6

1.500.

00

2.000.00

0

4 12

5

1.500.

000

4.800.00

0

0

Si igualamos a cero y ordenamos los exponentes, la ecuación queda :

2.000.000/( 1+i )12 + 1.500.000/( 1 + i )6 – 4.800.000/( 1 + i )5 + 1.500.000/( 1 +

i )4 = 0

Para resolver esta ecuación polinómica de octavo grado, debemos utilizar un

método iterativo de prueba y error. Para cada valor supuesto de la tasa

periódica i calculamos el valor del polinomio. Vale la pena anotar que los

valores supuestos para i están dentro de un rango acorde a los valores

utilizados en el sistema financiero. Si los valores iniciales de i son muy

distantes de los buscados, el número iteraciones necesario puede ser muy alto.

Ya que buscamos que el valor del polinomio sea cero, debemos encontrar

inicialmente dos valores de i que hagan que el polinomio tenga signos

contrarios.

i P( i )0,00% 200.0000,50% 128.1801,00% 62.4021,50% 2.2152,00% -52.7962,50% -103.0183,00% -148.8053,50% -190.4904,00% -228.3784,50% -262.7525,00% -293.874

Vamos inicialmente a elaborar un gráfico del polinomio con el fin de establecer

los valores iniciales de i para el método de prueba y error. Para el gráfico,

partimos de valores de i entre 0 y 0,05 con incrementos de 0,005.

GRÁFICO DEL POLINOMIO DE LA ECUACIÓN DE VALOR

-400.000

-300.000

-200.000

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%

i

P (

i )

Observe los signos diferentes del polinomio entre los valores 0,01 y 0,02. Ya

que buscamos que el valor del polinomio sea cero, el valor buscado de i está

entre estos dos valores.

La siguiente tabla nos muestra el procedimiento de prueba y error que ya

mencionamos. El tercer valor que le damos a i es 0,015. El valor obtenido

para P( i ) es positivo, lo que indica que el valor buscado está entre

0,015 y 0,02. Con este criterio vamos cerrando el intervalo en el cual

buscamos la solución hasta llegar al nivel de aproximación que se

quiera.

i P ( i )

0,0200000 -52.796,3237

0,0100000 62.401,5196

0,0150000 2.214,9161

0,0160000 -9.188,5988

0,0152000 -82,2378

0,0151900 32,4238

0,0151930 -1,9769

0,0151928 0,3165

Podemos aceptar como una aproximación muy razonable una tasa de

0,0151928 = 1,51928% mensual ya que el valor del polinomio es

supremamente pequeño. Sin embargo, si desea mejorar el nivel de exactitud

podría continuarse con el procedimiento.