ECUACIONES FUNDAMENTALES EN MECNICA DE FLUIDOS

Principio de conservacin de masa 1.Este principio para un volumen de control se puede expresar como: la transferencia

neta de masa hacia dentro de un volumen de control o hacia fuera de ste durante un intervalo es igual al cambio neto (aumento o disminucin) en la masa total que est dentro de ese volumen en el transcurso de ; es decir:

Masa total que entraal VC durante Masa total que saledel VC durante = Cambio neto durante en lamasa que est dentro del VC o

ent sal = VC (1-1) donde VC es el cambio en la masa del volumen de control durante el proceso. Esto tambin se puede expresar por unidad de tiempo (tambin llamada forma de razn) como:

ent sal = VC (1-2) donde ent y sal son respectivamente los flujos de masa por unidad de tiempo (tambin llamados razones totales de flujo de masa, gastos msicos o simplemente flujos de masa) hacia dentro y hacia fuera del volumen de control y

es la variacin por unidad de

tiempo de la masa (tambin llamada razn de cambio de masa) que est dentro de las fronteras de ese volumen. Con frecuencia, se hace mencin de estas ecuaciones como el balance de masa y son aplicables a cualquier volumen de control que pase por alguna clase de proceso.

Considrese un volumen de control de forma arbitraria, como muestra la figura. La masa de un volumen diferencial que est dentro del volumen de control es = .

Por integracin se determina que la masa total dentro del volumen de control en cualquier instante es:

VC = VC (1-3) Entonces la razn de cambio de la cantidad de masa dentro del volumen de control

se puede expresar como

VC

=

VC (1-4) Para el caso especial en el que nada de masa cruce la superficie de control (es decir,

el volumen de control establece un sistema cerrado), el principio de conservacin de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar como:

VC

= 0 (1-5) Esta relacin es vlida tanto para un volumen de control que permanece fijo, como

para uno que se mueva o que se deforme.

Considrese ahora el flujo de masa hacia fuera o hacia dentro de un volumen de control fijo a travs de un rea diferencial sobre la superficie de control. Sea el vector unitario hacia fuera de , normal a sta y la velocidad del flujo en en relacin con un sistema fijo de coordenadas, como se muestra en la figura anterior. En general, forma un ngulo con y la razn de flujo de masa es proporcional a la componente normal de la velocidad . Esta componente se obtiene de la expresin:

= cos = (1-6) Por lo tanto, el flujo de masa por unidad de tiempo a travs de se expresa como:

= = ( ) (1-7) El flujo de masa por unidad de tiempo hacia adentro o hacia afuera del volumen de

control a travs de la superficie completa de control se obtiene cuando se integra sobre esa superficie completa de control.

sal ent = neto = SC = ( )SC (1-8) Un valor positivo de neto indica flujo neto hacia fuera y uno negativo indica flujo de

masa neto hacia dentro. Para un caso general en el que la superficie de control se mueva o deforme,

sal ent = neto = SC = ( )SC (1-9) donde es la velocidad relativa del fluido respecto a la superficie de control.

Si se reordena la ecuacin (1-2) como:

VC

+ sal ent = 0 y utilizando las ecuaciones (1-4) y (1-9), se puede expresar la relacin de conservacin de la masa para un volumen de control cualquiera como:

VC + ( )SC = 0 (1-10)

En el caso de que el volumen de control sea fijo, la expresin queda reducida a

VC + ( )SC = 0 (1-11)

ya que segn el teorema tridimensional de Leibnitz y el teorema de Gauss, aplicado al volumen de control fijo

VC = VC + = VC + ()VC = VC

pues la velocidad absoluta de la superficie de control es nula, mientras que = al tratarse de un volumen de control fijo.

Las ecuaciones (1-10) y (1-11) expresan que la razn de cambio respecto al tiempo de la masa que est dentro del volumen de control ms la razn neta de flujo de masa a travs de la superficie de control es igual a cero

La ecuacin (1-10) se aplica a cualquier volumen de control, sin importar el tamao. Para generar una ecuacin diferencial para la conservacin de masa, hay que imaginar que el volumen de control se encoge a tamao infinitesimal, con dimensiones , , . En el lmite, todo el volumen de control se encoge a un punto en el flujo.

La manera ms rpida y directa de deducir la forma diferencial de la conservacin de la masa es aplicar el teorema e la divergencia (tambin llamado teorema de Gauss) a la ecuacin (1-10). Este teorema permite transformar una integral de volumen de la divergencia de un vector en una

integral de rea sobre la superficie que define el volumen.

Para cualquier vector ,

=

(1-12)

Aplicando el teorema de Gauss a la ecuacin (1-10) para = , sta queda de la forma:

VC + ()VC = 0 (1-13)

Ahora se combinan en una las dos integrales de volumen:

+ () VC (1-14)

Como esta expresin debe sostenerse para cualquier volumen de control, sin importar su tamao y forma, el integrando es idnticamente cero. Por lo tanto, se tiene una ecuacin diferencial general para la conservacin de la masa, conocida como ecuacin de continuidad:

+ () = 0 (1-15)

Esta ecuacin es la forma general de la ecuacin de continuidad que es vlida inclusive para el flujo compresible porque no se ha supuesto flujo incompresible en el proceso de su deduccin. Es vlida en cualquier punto en el dominio de flujo.

Otro modo de deducir la ecuacin de continuidad es partiendo de un volumen de control infinitesimal. de forma prismtica, cuyos ejes son paralelos a los ejes cartesianos.

Las dimensiones de los lados de este volumen de control son , y , y su centro corresponde a un punto arbitrario que presenta una densidad y unas componentes de velocidad , y , tal y como muestra la figura.

En posiciones alejadas del centro de la caja, se usa un desarrollo de Taylor en torno al punto ()centro de la cara derecha = + () 2 + 12!2()2 2 2 +

Sin embargo, los trminos de segundo orden y de orden superior se vuelven despreciables por lo que las expresiones en cada una de las caras son: Centro de la cara derecha: ()centro de la cara derecha + () 2

Centro de la cara izquierda: ()centro de la cara izquierda () 2Centro de la cara anterior: ()centro de la cara anterior + () 2Centro de la cara posterior: ()centro de la cara posterior () 2Centro de la cara superior: ()centro de la cara superior + () 2Centro de la cara inferior: ()centro de la cara inferior () 2

Conforme el volumen de control se encoge a un punto,

VC

=

VC (1-16)

Por otra parte, segn la figura, la razn total de flujo que entra ent es: ent () 2 + () 2 + () 2

mientras que la razn total de flujo que sale sal sal + () 2 + + () 2 + + () 2

por lo que una vez sustituido en la ecuacin (1-2) y tras simplificar, se obtiene la expresin:

= ()

()

()

Despus de simplificar y reordenar se obtiene la ecuacin diferencial para la conservacin de masa en coordenadas cartesianas:

+ ()

+ ()

+ ()

= 0 (1-17)

Se puede escribir en forma ms compacta utilizando el operador nabla, con lo que se llega a la ecuacin (1-15) obtenida anteriormente.

+ () = 0

Desarrollando la divergencia del producto

+ () =

+ ( + ) = 0 (1-18)

que expresndolo en funcin de la derivada sustancial, queda

+ = 0 (1-19)

Principio de conservacin de la cantidad de movimiento 2.

2.1. Fuerzas que actan sobre un elemento de fluido diferencial Sobre un elemento de fluido diferencial se pueden aplicar dos tipos de fuerzas:

a) Fuerzas superficiales: Actan sobre la superficie del volumen de control y son ejercidas por un elemento exterior que est en contacto fsico con dicho volumen. Aqu hay que incluir las fuerzas de presin, las fuerzas viscosas y las fuerzas de reaccin en los puntos de contacto. En este tema nos vamos a centrar exclusivamente en las fuerzas de presin hidrosttica y las fuerzas viscosas. Estas fuerzas se definen a partir de un tensor de segundo orden (matriz de tres filas por tres columnas) simtrico: [] =

En el caso de la fuerza de presin hidrosttica, tal y como se vio en Elasticidad:

[] = 0 00 00 0 En el caso de la fuerza viscosa, el tensor toma la forma:

[] =

2

+

+

+

+ 2

+

+

+

+

2

+

Para la mayora de los lquidos y para gases monoatmicos, el segundo coeficiente de viscosidad est relacionado con la viscosidad mediante:

= 23 Para lquidos incompresibles = 0 por lo que el tensor se simplifica

[] =

2

+

+

+ 2

+

+

+

2

A continuacin se considera la fuerza de superficie neta en la direccin . El tensor de tensiones [] tiene unidades de presin. En consecuencia, para obtener una fuerza debe multiplicar cada componente de tensin por el rea superficial de la cara sobre la que acta. Es necesario considerar slo las componentes que apuntan en la direccin . Con desarrollos de Taylor truncados, aparecen las siguientes fuerzas

Cuando se suman todas las fuerzas de superficie se obtiene la siguiente expresin

,superficie + + Si se procede del mismo modo con las otras dos componentes:

,superficie + + ,superficie + +

b) Fuerzas volumtricas: Son proporcionales a la masa del elemento de fluido diferencial y son producidas por agentes externos al mismo. Ejemplo de estas fuerzas son las gravitatorias, las magnticas o las inerciales. En este tema nos vamos a centrar exclusivamente en las fuerzas gravitatorias. Para un caso general en el que el sistema coordenado no se puede alinear con el eje el vector gravedad se escribe como

= + + Por lo tanto en la componente en direccin al

eje de la fuerza volumtrica de gravedad es

, =

2.2. Deduccin a partir de la segunda ley de Newton Sea un elemento de fluido diferencial con una densidad que se mueve con una

aceleracin . Por la segunda ley de Newton aplicada a dicho elemento:

= =

=

Sustituyendo en la ecuacin anterior el valor de por el de las fuerzas superficiales y volumtricas obtenidas en el apartado 2.1, se llega a la expresin de la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento, que expresada en cada una de las tres componentes queda:

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

ECUACIONES FUNDAMENTALES EN MECNICA DE FLUIDOS1. Principio de conservacin de masa2. Principio de conservacin de la cantidad de movimiento2.1. Fuerzas que actan sobre un elemento de fluido diferencial2.2. Deduccin a partir de la segunda ley de Newton