ECUACIONES DE MAXWELL

Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenmenos electromagnticos, aqu se muestra la induccin magntica por medio de una corriente elctrica.Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenmenos electromagnticos. La gran contribucin de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos aos de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos elctricos y magnticos en un solo concepto: el campo electromagntico.[1]

Desarrollo histrico de las ecuaciones de MaxwellDesde finales del siglo XVIII diversos cientficos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos elctricos, los campos magnticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes estn la ley de Ampre, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograra unificar todas estas leyes en una descripcin coherente del campo electromagntico.Maxwell se dio cuenta que la conservacin de la carga elctrica pareca requerir introducir un trmino adicional en la ley de Ampre. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos ms importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el trmino que introdujo en la ley de Ampre; la derivada temporal de un campo elctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell public en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versin de la ley de Ampre con lo que se predeca la existencia de ondas electromagnticas propagndose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identific la luz como una onda electromagntica, unificando as la ptica con el electromagnetismo.[2]Exceptuando la modificacin a la ley de Ampre, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecnicos e hidrodinmicos usando su modelo de vrtices de lneas de fuerza de Faraday.En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrup estas ecuaciones y las reformul en la notacin vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside us derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuacin (54). Ello provoc que se perdiera el trmino que apareca en la ecuacin posterior del trabajo de Maxwell (nmero 77). En la actualidad, este trmino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.La historia es an confusa, debido a que el trmino ecuaciones de Maxwell se usa tambin para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacin de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusin se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, as se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incgnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del trmino eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.

DETALLE DE LAS ECUACIONESCONCEPTOS PREVIOSAntes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos matemticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicar de forma intuitiva el significado de los operadores diferenciales bsicos, con el mnimo posible de expresiones matemticas.OPERADOR NABLASe define como:

GRADIENTESi se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con mdulo y direccin, representado por una flecha en el espacio, segn la siguiente expresin:

El vector representa cunto vara el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente ser una fuerza.DIVERGENCIAEl concepto se entiende a partir del teorema de la divergencia o teorema de Gauss. La divergencia del vector representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada. Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se representa con vectores saliendo del punto que las genera (div > 0) o vectores entrando hacia un punto en el caso contrario (div < 0). Si en la unidad de volumen (imagnese una esfera) entra el mismo flujo que sale, representndose por los vectores que pasan a travs de dicho volumen, entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div = 0).ROTACIONALEl rotor se entiende a partir del teorema de Stokes. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con el significado de torbellinos. El vector rota en torno a un punto, se producen circulaciones en trayectorias cerradas del vector , en este caso el rot != 0. Rotor distinto de 0.

LEY DE GAUSS

Flujo elctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.La ley de Gauss explica la relacin entre el flujo del campo elctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo elctrico () a la cantidad de fluido elctrico que atraviesa una superficie dada. Anlogo al flujo de la mecnica de fluidos, este fluido elctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo elctrico () que pasa por una superficie S.[4] Matemticamente se expresa como:

La ley dice que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad elctrica en el vaco (), as:[5] [6]

La forma diferencial de la ley de Gauss es

donde es la densidad de carga en el vaco. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga , lo que se representa grficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convencin si el valor de la expresin es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo elctrico () y nuestra expresin obtiene la forma:

FLUJO DEL CAMPO ELECTRICO: LEY DE GAUSSCuando una distribucin de carga tiene una simetra sencilla, es posible calcular el campo elctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo elctrico.FLUJO DEL CAMPO ELCTRICOEl flujo del campo elctrico se define de manera anloga al flujo de masa. El flujo de masa a travs de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.

El campo elctrico puede representarse mediante unas lneas imaginarias denominadas lneas de campo y, por analoga con el flujo de masa, puede calcularse el nmero de lneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el caso del campo elctrico no hay nada material que realmente circule a travs de dicha superficie.

Como se aprecia en la figura anterior, el nmero de lneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la orientacin de esta ltima con respecto a las lneas de campo. Por tanto, el flujo del campo elctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho.Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de mdulo el rea de la superficie, direccin perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo elctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:

Cuando la superficie es paralela a las lneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo.Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es mximo, como tambin lo es el producto escalar de E y dS.

LEY DE GAUSSEl flujo del campo elctrico a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante 0.

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo elctrico se denomina superficie gaussiana.Matemticamente,

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y est relacionada con el teorema de la divergencia, conocido tambin como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la direccin y el sentido de las lneas de campo generadas por la distribucin de carga. La eleccin de la superficie gaussiana depender de cmo sean estas lneas.CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITOEl campo elctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss. En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga (= q/S) uniforme y positiva. Las lneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano ser uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus lneas irn hacia afuera de ambos lados del plano.

El flujo del campo elctrico a travs de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de clculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilndrica (representada en rojo en la figura).El flujo a travs de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna lnea de campo la atraviesa). Las nicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a travs de sus dos bases. El flujo del campo elctrico a travs del cilindro es entonces:

Como las dos bases del cilindro son iguales y el mdulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:

El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:

Y q/S es la densidad superficial de carga :

CAMPO EN EL INTERIOR DE UN CONDENSADORUn condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o lminas, separados por el vaco o por un material dielctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energa elctrica.La forma ms sencilla de un condensador consiste en dos placas metlicas muy cercanas entre s con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo. El mdulo del campo elctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:

Las lneas del campo elctrico creado por la placa cargada positivamente estn dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.

Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su mdulo es el doble del campo que creara una sola de las placas:

Los condensadores se utilizan en circuitos electrnicos como dispositivos para almacenar energa. El primer condensador fue fabricado en 1746, y estaba constituido por un recipiente de vidrio recubierto por una lmina metlica por dentro y por fuera. Se conoce comnmente como botella de Leiden.

CAMPO ELECTRICO: LINEAS DE CAMPOUna carga elctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una fuerza electrosttica. Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido algn tipo de perturbacin, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrir una fuerza.La perturbacin que crea en torno a ella la carga fuente se representa mediante un vector denominado campo elctrico. La direccin y sentido del vector campo elctrico en un punto vienen dados por la direccin y sentido de la fuerza que experimentara una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo elctrico generado ser un vector dirigido hacia afuera (a) y si es negativa, el campo estar dirigido hacia la carga (b):

Campo elctrico creado en el punto P por una carga de fuente q1 positiva (a) y por una otra negativa (b).

El campo elctrico E creado por la carga puntual q1 en un punto cualquiera P se define como:

donde q1 es la carga creadora del campo (carga fuente), K es la constante electrosttica, r es la distancia desde la carga fuente al punto P y ur es un vector unitario que va desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo elctrico (P). El campo elctrico depende nicamente de la carga fuente (carga creadora del campo) y en el Sistema Internacional se mide en N/C o V/m.Si en vez de cargas puntuales se tiene de una distribucin contina de carga (un objeto macroscpico cargado), el campo creado se calcula sumando el campo creado por cada elemento diferencial de carga, es decir:

Esta integral, salvo casos concretos, es difcil de calcular. Para hallar el campo creado por distribuciones contnuas de carga resulta ms prctico utilizar la Ley de Gauss. Una vez conocido el campo elctrico E en un punto P, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una carga de prueba q que se site en P ser:

Por tanto, si la carga de prueba es positiva, la fuerza que sufre ser paralela al campo elctrico en ese punto, y si es negativa la fuerza ser opuesta al campo, independientemente del signo de la carga fuente.En la siguiente figura se representa una carga fuente q1 positiva (campo elctrico hacia afuera) y la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b):

Fuerza que un campo elctrico E ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b).

El campo elctrico cumple el principio de superposicin, por lo que el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos elctricos creados en ese mismo punto por cada una de las cargas fuente.LNEAS DE CAMPOEl concepto de lneas de campo (o lneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Son lneas imaginarias que ayudan a visualizar cmo va variando la direccin del campo elctrico al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguira la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las lneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas:Las lneas de campo creadas por una carga positiva estn dirigidas hacia afuera; coincide con el sentido que tendra la fuerza electrosttica sobre otra carga positiva.

Adems, el campo elctrico ser un vector tangente a la lnea en cualquier punto considerado.

Lneas de campo causadas por una carga positiva y una negativa.

Las propiedades de las lneas de campo se pueden resumir en: El vector campo elctrico es tangente a las lneas de campo en cada punto. Las lneas de campo elctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas. El nmero de lneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga. La densidad de lneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo elctrico en dicho punto. Las lneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existiran dos vectores campos elctricos distintos.A grandes distancias de un sistema de cargas, las lneas estn igualmente espaciadas y son radiales, comportndose el sistema como una carga puntual.

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNTICO

Las lneas de campo magntico comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magntico.Experimentalmente se lleg al resultado de que los campos magnticos, a diferencia de los elctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las lneas de los campos magnticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magntico. AL encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magntico por lo tanto, el campo magntico no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero[7] Matemticamente esto se expresa as:[6]

donde es la densidad de flujo magntico, tambin llamada induccin magntica. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo elctrico, esta ecuacin slo funciona si la integral est definida en una superficie cerrada.

LEY DE FARADAY - LENZLa ley de Faraday nos habla sobre la induccin electromagntica, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magntico. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. Tambin se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubri esta induccin de manera separada a Faraday pero casi simultneamente.[8] Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (), si tenemos un campo magntico variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito elctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magntico, as: ,como el campo magntico es dependiente de la posicin tenemos que el flujo magntico es igual a:.Adems, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo elctrico que se representa como:

con lo que finalmente se obtiene la expresin de la ley de Faraday:

Lo que indica que un campo magntico que depende del tiempo implica la existencia de un campo elctrico, del que su circulacin por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magntico en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando as la variacin de flujo magntico (Ley de Lenz).La forma diferencial de esta ecuacin es:

Se interpreta como sigue: si existe una variacin de campo magntico B entonces este provoca un campo elctrico E o bien la existencia de un campo magntico no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de lneas cerradas. En presencia de cargas libres como los electrones el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente elctrica. Esta ecuacin relaciona los campos elctrico y magntico, y tiene otras aplicaciones prcticas cmo los motores elctricos y los generadores elctricos y explica su funcionamiento. Ms precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magntico que atraviesa una superficie dada.

LEY DE AMPRE GENERALIZADAAmpre formul una relacin para un campo magntico inmvil y una corriente elctrica que no vara en el tiempo. La ley de Ampre nos dice que la circulacin en un campo magntico () a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente () sobre la superficie encerrada en la curva C, matemticamente as:[6]

donde es la permeabilidad magntica en el vaco.Pero cuando esta relacin se la considera con campos que s varan a travs del tiempo llega a clculos errneos, como el de violar la conservacin de la carga.[10] Maxwell corrigi esta ecuacin para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.z. Maxwell reformul esta ley as:[6]

En el caso especfico estacionario esta relacin corresponde a la ley de Ampre, adems confirma que un campo elctrico que vara con el tiempo produce un campo magntico y adems es consecuente con el principio de conservacin de la carga. En forma diferencial, esta ecuacin toma la forma:

En forma sencilla esta ecuacin explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparicin de un campo magntico B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.EN MEDIOS MATERIALESPara el caso de que las cargas estn en medios materiales, y asumiendo que stos son lineales, homogneos, istropos y no dispersivos, podemos encontrar una relacin entre los vectores intensidad elctrica e induccin magntica a travs de dos parmetros conocidos como permitividad elctrica y la permeabilidad magntica:[11]

Pero estos valores tambin dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relacin entre E/D y B/H es lineal. Si esta relacin es lineal, matemticamente se puede decir que y estn representadas por una matriz 3x3. Si un medio es istropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una funcin ; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anistropo. Estos elementos tambin son llamados constantes dielctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posicin, el medio es homogneo.[12]Los valores de y en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estn en medios homogneos e istropos. Los medios heterogneos e istropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posicin. Los medios anistropos son tensores.[11] Finalmente, en el vaco tanto como son cero porque suponemos que no hay fuentes.En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vaco y en la forma ms general.[13]En el vacoCaso general

ECUACIONES DE MAXWELLLas ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:NombreForma diferencialForma integral

Ley de Gauss:

Ley de Gauss para el campo magntico:

Ley de Faraday:

Ley de Ampre generalizada:

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenmeno electromagntico. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Adems Maxwell descubri que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vaco, por lo que la luz es una forma de radiacin electromagntica. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magntica se resumen en la siguiente tabla:SmboloNombreValor numricoUnidad de medida SITipo

Velocidad de la luz en el vacometros por segundodefinido

Permitividadfaradios por metroderivado

Permeabilidad magnticahenrios por metrodefinido

POTENCIAL ESCALAR Y POTENCIAL VECTORComo consecuencia matemtica de las ecuaciones de Maxwell y adems con el objetivo de simplificar sus clculos se han introducido los conceptos de potencial vector () y potencial escalar (). Este potencial vector no es nico y no tiene significado fsico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribucin paralela a la corriente.[14] Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magntico, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, as:[15]

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar as:[13]

donde el signo menos () es por convencin. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetra gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.[13] El campo elctrico en funcin de los potenciales:

Hallamos que con la introduccin de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magntico y la ley de Faraday quedan satisfechas por definicin. As la ley de Gauss para el campo elctrico escrita en trminos de los potenciales:

y la ley de ampre generalizada

Ntese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada eleccin del gauge.CONSECUENCIAS FSICAS DE LAS ECUACIONESPrincipio de conservacin de la cargaLas ecuaciones de Maxwell llevan implcitas el principio de conservacin de la carga. El principio afirma que la carga elctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que nicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada est disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente satisfacen una ecuacin de continuidad.A partir de la forma diferencial de la ley de Ampre se tiene:

que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que (para cualquier vector ), se obtiene:

o bien en forma integral:

ECUACIONES ORIGINALES DE MAXWELLEn el captulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagntico", Maxwell formul ocho ecuaciones que nombr de la A a la H.[16] Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epteto lo reciben las ecuaciones que agrup Heaviside. La versin de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuacin de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sera la ecuacin G. Adems Heaviside fusion la ecuacin A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampre que en el trabajo de Maxwell era la ecuacin C. Esta fusin, que Maxwell por s mismo public en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampre para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial as:DenominacinNombreEcuacin

ALEY DE CORRIENTES TOTALES

BDEFINICIN DE VECTOR POTENCIAL MAGNTICO

CLEY CIRCUITAL DE AMPRE

DFUERZA DE LORENTZ

EECUACIN DE ELECTRICIDAD ELSTICA

FLEY DE OHM

GLEY DE GAUSS

HECUACIN DE CONTINUIDAD DE CARGA

donde: es el vector intensidad de campo magntico (llamado por Maxwell como intensidad magntica); es la densidad de corriente elctrica y es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento; es el campo desplazamiento (desplazamiento elctrico); es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); es el vector potencial magntico (impulso magntico); es el campo elctrico (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definicin de fuerza electromotriz]); es el potencial elctrico y es la conductividad elctrica (resistencia especfica, ahora solo resistencia).Maxwell no consider a los medios materiales en general, esta formulacin inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, istropos y no dispersos, a pesar que tambin se las puede usar en medios anistropos.Maxwell incluy el trmino en la expresin de la fuerza electromotriz de la ecuacin D, que corresponde a la fuerza magntica por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad . Esto significa que la ecuacin D es otra formulacin de la fuerza de Lorentz. Esta ecuacin primero apareci como la ecuacin 77 de la publicacin On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicacin de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuacin adicional fundamental en el electromagnetismo.EXPRESIN DE LAS ECUACIONES EN RELATIVIDADEn la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vaco se escriben mediante unas relaciones geomtricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. stas estn escritas en trminos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geomtricos definidos en M4. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomtricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagntico.La cuadricorriente est descrita por una 1-forma y lleva la informacin sobre la distribucin de cargas y corrientes. Sus componentes son:

Que debe cumplir la siguiente relacin geomtrica para que se cumpla la ecuacin de continuidad.

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la informacin del potencial elctrico y el potencial vector magntico.

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

Expresin que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnticos.La 1-forma A lleva la informacin sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

Para obtener el objeto geomtrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo electromagntico. En forma geomtrica podemos escribir:

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagntico.

PRIMER PAR DE ECUACIONES DE MAXWELLLas siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagntico mediante la forma geomtrica:

O bien en coordenadas Lorentz:

Obtencin de las ecuacionesPara un observable en S partiendo de expresin en coordenadas Lorentz podemos obtener: Para tenemos que: , entonces:

Por tanto:

Para podemos obtener de la misma forma que:

SEGUNDO PAR DE ECUACIONES DE MAXWELLCorresponden a las ecuaciones homogneas. Escritas en forma geomtrica tenemos que:

Que corresponde con la expresin en los sistemas coordenados Lorentz:

Donde el tensor es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.Obtencin de las ecuaciones Para :

Por tanto:

Para se obtiene la ecuacin vectorial:

La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como , que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagntico en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geomtricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripcin de la relacin y la ley que cumple.Forma GeomtricaCovariante LorentzDescripcin

Condicin/gauge de Lorenz (*)

Definicin de Campos Electromagnticos

Ecuaciones de Ondas

Ecuaciones de Maxwell

Ley de conservacin de la Carga

(*) Existe una confusin habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condicin (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho ms conocido Hendrik A. Lorentz. Finalmente el cuadrigradiente se define as:

Los ndices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacin de Einstein. De acuerdo con el clculo tensorial, los ndices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g.El primer tensor es una expresin de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampre generalizada; la segunda ecuacin es consecuentemente una expresin de las otras dos leyes.Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga elctrica. EXPRESIN DE LAS ECUACIONES PARA UNA FRECUENCIA CONSTANTEEn las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posicin, en general son funciones de la posicin y del tiempo, como por ejemplo . Para la resolucin de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la prctica, la resolucin de dichas ecuaciones pueden contener una solucin armnica (sinusoidal).Con ayuda de la notacin compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armnicos, eliminando as el factor complejo de la expresin . Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, adems de no ser solo funcin de la posicin. En lugar de la derivacin parcial en el tiempo se tiene la multiplicacin del factor imaginario , donde es la frecuencia angular.En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:

LEY DE AMPREUna corriente elctrica produce un campo magntico, siguiendo la Ley de Ampre.En fsica del magnetismo, la ley de Ampre, modelada por Andr-Marie Ampre en 1831,[1] relaciona un campo magntico esttico con la causa que la produce, es decir, una corriente elctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigi posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la fsica clsica.La ley de Ampre explica, que la circulacin de la intensidad del campo magntico en un contorno cerrado es igual a la corriente que lo recorre en ese contorno.El campo magntico es un campo angular con forma circular, cuyas lneas encierran la corriente. La direccin del campo en un punto es tangencial al crculo que encierra la corriente.El campo magntico disminuye inversamente con la distancia al conductor.AMPLIACIN DE LA LEY ORIGINAL: LEY DE AMPRE-MAXWELLLa ley de Ampre-Maxwell o ley de Ampre generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell que introdujo la corriente de desplazamiento, creando una versin generalizada de la ley e incorporndola a las ecuaciones de Maxwell.FORMA INTEGRAL

siendo el ltimo trmino la corriente de desplazamiento. siempre y cuando la corriente sea constante y directamente proporcional al campo magntico, y su integral (E) por su masa relativa.FORMA DIFERENCIALEsta ley tambin se puede expresar de forma diferencial, para el vaco:

o para medios material

EJEMPLOS DE APLICACINHILO CONDUCTOR INFINITOCampo magntico creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente , en el vaco.El objetivo es determinar el valor de los campos , y en todo el espacio.Escribimos la Ley de Ampre:. Utilizamos coordenadas cilndricas por las caractersticas de simetra del sistema. Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio . El diferencial de longitud de la curva ser entonces Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor: . Como el sistema posee simetra radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia de otro que est en otro ngulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo y el radio son independientes de la coordenada . Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a .. La integral que queda no es ms que el permetro de la circunferencia: . Despejamos y nos queda en funcin de . La direccin es en , por la regla de la mano derecha:

Como estamos trabajando en el vaco, , por lo tanto:

Y por la misma razn, en ausencia de materiales magnticos:

Forma del ngulo slidoSi c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y es el ngulo slido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intensidad de campo magntico est dada por: CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTOEjemplo mostrando dos superficies S1 y S2 que comparten la misma delimitacin de contorno S. Sin embargo, S1 es atravesado por una corriente de conduccin, mientras que S2 es atravesada por una corriente de desplazamiento.Una corriente de desplazamiento es una cantidad que est relacionada con un campo elctrico que cambia o vara en el tiempo. Esto puede ocurrir en el vaco o en un dielctrico donde existe el campo elctrico. No es una corriente fsica, en un sentido estricto, que ocurre cuando una carga se encuentra en movimiento o cuando la carga se transporta de un sitio a otro. Sin embargo, tiene las unidades de corriente elctrica y tiene asociado un campo magntico. La corriente de desplazamiento fue postulada en 1865 por James Clerk Maxwell cuando formulaba lo que ahora se denominan ecuaciones de Maxwell. Matemticamente se define como el flujo del campo elctrico a travs de la superficie:

Est incorporada en la ley de Ampre, cuya forma original funcionaba slo en superficies que estaban bien definidas (continuas y existentes) en trminos de corriente. Una superficie S1 elegida tal que incluya nicamente una placa de un condensador debera tener la misma corriente que la de una superficie S2 elegida tal que incluya ambas placas del condensador. Sin embargo, como la carga termina en la primera placa, la Ley de Ampre concluye que no existe carga encerrada en S1. Para compensar esta diferencia, Maxwell razon que esta carga se encontraba en el flujo elctrico, la carga en el campo elctrico, y mientras que la corriente de desplazamiento no es una corriente de carga elctrica, produce el mismo resultado que aquella generando un campo magntico.Pese a que hay gente que afirma que la corriente de desplazamiento no existe realmente, se puede pensar en ella como la respuesta de un material dielctrico a un campo elctrico variante. La corriente de desplazamiento es la nica corriente que atraviesa un dielctrico perfecto.La densidad de corriente se puede hallar suponiendo y utilizando , llegando a:

Combinando estas formulaciones, el campo mangntico se corresponde al la forma integral de la ley de Ampre con una eleccin arbitraria del contorno proporcionado el trmino de la densidad de corriente de desplazamiento (la ecuacin de Ampre-Maxwell):[1]

Aqu, la expresin en trminos del campo de desplazamiento es ms general, ya que la permitividad del resultado de la derecha supone que el medio es no dispersivo.REGLA DE LA MANO DERECHADeterminacin de la direccin de rotacin mediante la regla de la mano derecha.

Al girar el sacacorchos hacia la derecha, este avanza.La regla de la mano derecha o del sacacorchos es un mtodo para determinar direcciones vectoriales, y tiene como base los planos cartesianos. Se emplea prcticamente en dos maneras; para direcciones y movimientos vectoriales lineales, y para movimientos y direcciones rotacionales.As, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza", y viceversa, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retroceden".Direccin para un producto vectorialLa aplicacin ms comn es para determinar la direccin de un vector resultado de un producto vectorial, as:

La direccin del vector "c" estara definida por la direccin del pulgar, cerrando los dems dedos en torno al vector "a" primero y siguiendo con el vector "b". Un caso especifico en que tiene gran importancia la aplicacin de esta forma vectorial de la Ley de la mano derecha es en la determinacin de la fuerza electromotriz (FEM) inducida en un conductor que se mueve dentro de un campo magntico en esta aplicacin el pulgar representa el movimiento del conductor elctrico dentro del campo magntico, cortando las lineas de fuerza, el ndice representa la direccin de las lineas de fuerza del campo magntico de Norte a Sur y el dedo del medio representa la direccin de la FEM inducida.[1]DIRECCIN ASOCIADA A UN GIROEl pulgar apunta en la misma direccin que la corriente elctrica y los dems dedos siguen la direccin del campo magntico.La segunda aplicacin, est relacionada con el movimiento rotacional; el pulgar apunta hacia arriba siguiendo la direccin del vector, el vector corriente por ejemplo, mientras que los dems dedos se van cerrando en torno a la palma, lo cual describira la direccin de rotacin. Por ejemplo si el pulgar apunta hacia arriba, como en la imagen, entonces la direccin de rotacin es de forma anti-horaria.APLICACIONESMuchas mquinas y procesos industriales observan este orden para ejes, vectores y movimientos axiales, incluyendo la robtica, pues sus 12 movimientos fundamentales se adhieren a esta regla.[citarequerida]Se la utiliza en general en todas las definiciones y descripciones basadas en un producto vectorial. Por ejemplo: El producto vectorial. Sea el producto . Cuando el sacacorchos gira de hacia (llevando la punta de A hacia la punta de B, por la rotacin menor que media vuelta o radianes), el sacacorchos avanza (o retrocede) en la direccin de Momento de fuerzas o torque. El vector asociado a la velocidad angular. Cuando el sacacorchos gira como el objeto, la direccin de avance del sacacorchos indica la direccin del vector asociado a la velocidad angular. El vector asociado al momento angular. Direccin del campo magntico producido por una corriente. Cuando el sacacorchos avanza en la direccin de la corriente, l gira en la direccin del campo magntico. Direccin de la corriente que produce un campo magntico. Fuerza ejercida por un campo magntico sobre una carga elctrica en movimiento. Fuerza ejercida por un campo magntico sobre un conductor que conduce una corriente. La fuerza tiene la direccin del avance del sacacorchos cuando se ste gira en el sentido de la corriente hacia el campo magntico. Para definir la orientacin de los ejes de un triedro rectngulo. Cuando el sacacorchos gira del eje x positivo al eje y positivo, l avanza en la direccin del eje z positivo.

LEY DE FARADAY

Experimento de Faraday que muestra la induccin entre dos espiras de cable: La batera (derecha) aporta la corriente elctrica que fluye a travs de una pequea espira (A), creando un campo magntico. Cuando las espiras son estacionarias, no aparece ninguna corriente inducida. Pero cuando la pequea espira se mueve dentro o fuera de la espira grande (B), el flujo magntico a travs de la espira mayor cambia, inducindose una corriente que es detectada por el galvanmetro (G).[1]La ley de induccin electromagntica de Faraday (o simplemente ley de Faraday) establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magntico que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:[2]

Donde es el campo elctrico, es el elemento infinitesimal del contorno C, es la densidad de campo magntico y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del contorno C y de estn dadas por la regla de la mano derecha.Esta ley fue formulada a partir de los experimentos que Michael Faraday realiz en 1831. Esta ley tiene importantes aplicaciones en la generacin de electricidad.FORMAS ALTERNATIVASNtese que la frmula (*) permite intercambiar el orden de la integral de superficie y la derivada temporal siempre y cuando la superficie de integracin no cambie con el tiempo. Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:

sta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando as al electromagnetismo.En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la frmula anterior se transforma en:

Donde V es el voltaje inducido y d/dt es la tasa de variacin temporal del flujo magntico . El sentido del voltaje inducido (el signo negativo en la frmula) se debe a la ley de Lenz.SIGNIFICADO FSICOLa ley de Lenz plantea que las tensiones inducidas sern de un sentido tal que se opongan a la variacin del flujo magntico que las produjo. Esta ley es una consecuencia del principio de conservacin de la energa.La polaridad de una tensin inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magntico se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.El flujo de un campo magntico uniforme a travs de un circuito plano viene dado por un campo magntico generado en una tensin disponible con una circunstancia totalmente proporcional al nivel de corriente y al nivel de amperios disponible en el campo elctrico.Cuando un voltaje es generado por una batera, o por la fuerza magntica de acuerdo con la ley de Faraday, este voltaje generado, se llama tradicionalmente fuerza electromotriz o fem. La fem representa energa por unidad de carga (voltaje), generada por un mecanismo y disponible para su uso. Estos voltajes generados son los cambios de voltaje que ocurren en un circuito, como resultado de una disipacin de energa, como por ejemplo en una resistencia.

TEOREMA DE STOKESEl teorema de Stokes en geometra diferencial es una proposicin sobre la integracin de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del clculo vectorial. Se nombra as por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes.INTRODUCCINEl teorema fundamental del clculo establece que la integral de una funcin f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalizacin de este teorema en el siguiente sentido: Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x)dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una funcin) F: dF = fdx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F. En un lenguaje matemtico, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemtica unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemtica de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones tcnicas: la variedad matemtica debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida. Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Ms genricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera M de M es una variedad en s misma y hereda la orientacin natural de M. Por ejemplo, la orientacin natural del intervalo da una orientacin de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientacin opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b)F(a).Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una funcin sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la funcin en los lmites que encierran dicho intervalo:

Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinacin de derivadas sobre un rea limitada por la curva simple:

Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una funcin sobre una superficie con la integral de una combinacin de derivadas sobre el interior del conjunto:

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una funcin "derivada" sobre el interior de la regin limitada por la frontera.FORMULACIN GENERALSea M una variedad de dimensin n diferenciable por trozos orientada compacta y sea una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C. Si M denota el lmite de M con su orientacin inducida, entonces

aqu d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalizacin del teorema fundamental del clculo y, de hecho, se prueba fcilmente usando este teorema.El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad ms grande en la cual la forma se define.El teorema se extiende fcilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, as llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas mdulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas mdulo borde. sta es la base para el apareamiento entre los grupos de homologa y la cohomologa de de Rham.El clsico teorema de Kelvin-Stokes

que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie en el 3-espacio euclidiano a la integral de lnea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la mtrica en el 3-espacio euclidiano.Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:

Es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.El teorema fundamental del clculo y el teorema de Green son tambin casos especiales del teorema de Stokes generalizado.La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de ms alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los ltimos son ms accesibles y a menudo son considerados ms convenientes por fsicos e ingenieros.Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

Donde es un campo vectorial cualquiera.Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilnea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.

VOLTAJE INDUCIDOEl voltaje inducido[1] [2] [3] [4] (mal llamado fuerza electromotriz: FEM) (representado V) es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente elctrica en un circuito cerrado. Es una caracterstica de cada generador elctrico. Con carcter general puede explicarse por la existencia de un campo electromotor V cuya circulacin, V , define el voltaje inducido del generador.UNIDADES DE MEDIDAEl voltaje (tambin llamado diferencia de potencial o tensin) se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga negativa del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Culombios de dicha carga, esto es: Julios/Culombio. Normalmente se mide en voltios (V) que equivale a julios por culombio (J/C), pero estas son unidades derivadas del sistema internacional. En el sistema internacional sus unidades bsicas son metro cuadrado por kilogramo partido por segundo al cubo por amperio: m2kgs-3A-1JUSTIFICACIN Y CAUSAEsto se justifica en el hecho de que cuando circula esta unidad de carga por el circuito exterior al generador, desde el polo positivo al negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de energa (mecnica, qumica, etctera) para transportarla por el interior desde un punto de menor potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo por el cual sale).Por lo que queda que:

RELACIN CON OTRAS PARTES DE LA FSICASe relaciona con la diferencia de potencial entre los bornes y la resistencia interna del generador mediante la frmula (el producto es la cada de potencial que se produce en el interior del generador a causa de la resistencia ohmica que ofrece al paso de la corriente). El V de un generador coincide con la diferencia de potencial en circuito abierto.FRMULAS MATEMTICASEl voltaje inducido (o de induccin) en un circuito cerrado es igual a la variacin del flujo de induccin del campo magntico que lo atraviesa en la unidad de tiempo, lo que se expresa por la frmula V (Ley de Faraday). A esta ley se le aade un signo "-" que indica que el sentido del V inducido es tal que se opone al descrito por la ley de Faraday. A pesar de que lo nico que cambia es el signo, esta "nueva" ley recibe el nombre de Ley de Lenz: (V ).Cuando los cambios en el flujo son infinitamente pequeos y suceden en intervalos de tiempo tambin infinitamente pequeos tenemos que la Ley de Faraday es:V Y por consiguiente la Ley de Lenz queda como:V APLICACIONES PRCTICASLa aplicacin ms importante del movimiento relativo se ve en los generadores elctricos. En un generador de corriente, los electroimanes estn dispuestos en una carcasa cilndrica. Los conductores, en forma de bobinas, se rotan sobre un ncleo de tal manera que las bobinas continuamente cortan las lneas de campo magntico. El resultado es un voltaje inducido en cada uno de los conductores. Estos conductores estn conectados en serie, y los voltajes inducidos se suman para producir voltaje de salida del generador.Toda central capaz de producir energa elctrica, independientemente de la fuente de la que provenga, utiliza estas leyes fsicas. Tambin, la ley es til a la inversa, es decir, a partir de energa elctrica se puede producir movimiento, un claro ejemplo son los motores elctricos. Esto es posible debido a la simple relacin entre la diferencia de potencia y el trabajo.W = - VabEsta ley no es especfica del V. Cualquier cambio en el voltaje, ya sea inducido o no, puede generar trabajo. Y cualquier trabajo puede generar una diferencia de potencial (recurdese que diferencia de potencial, voltaje y tensin son sinnimos).Por qu el trmino FEM ya no se usa?La palabra "fuerza" en el nombre "fuerza electromotriz" es una palabra inapropiada:"Fuerza electromotriz" result ser una eleccin desafortunada de palabras que an hoy est con nosotros 160 aos despus de su aparicin. En toda la fsica el trmino fuerza est reservado a la accin mecnica en la materia ponderable y se mide en unidades llamadas Newton. Por fortuna este trmino, ya en desuso y obsoleto est desapareciendo. En vigor el voltaje inducido se mide en unidades de voltios y causa la separacin de carga.

LEY DE LENZLa ley de Lenz para el campo electromagntico relaciona cambios producidos en el campo elctrico en un conductor con la variacin de flujo magntico en dicho conductor, y afirma que las tensiones o voltajes inducidos sobre un conductor y los campos elctricos asociados son de un sentido tal que se oponen a la variacin del flujo magntico que las induce. Esta ley se llama as en honor del fsico germano-bltico Heinrich Lenz, quien la formul en el ao 1834. En un contexto ms general que el usado por Lenz, se conoce que dicha ley es una consecuencia ms del principio de conservacin de la energa aplicado a la energa del campo electromagntico.FormulacinLa polaridad de una tensin inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magntico se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.El flujo de un campo magntico uniforme a travs de un circuito plano viene dado por:

donde:= Flujo magntico. La unidad en el SI es el weber (Wb).= Induccin magntica. La unidad en el SI es el tesla (T).= Superficie definida por el conductor.= ngulo que forman el vector perpendicular a la superficie definida por el conductor y la direccin del campo.Si el conductor est en movimiento el valor del flujo ser:

A su vez, el valor del flujo puede variar debido a un cambio en el valor del campo magntico:

En este caso la Ley de Faraday afirma que la tensin inducida en cada instante tiene por valor:

Donde es el voltaje inducido y d/dt es la tasa de variacin temporal del flujo magntico . La direccin voltaje inducido(el signo negativo en la frmula) se debe a la oposicin al cambio de flujo magntico

CAMPO ELECTROMAGNTICOUn campo electromagntico es un campo fsico, de tipo tensorial, producido por aquellos elementos cargados elctricamente, que afecta a partculas con carga elctrica.Convencionalmente, dado un sistema de referencia, el campo electromagntico se divide en una "parte elctrica" y en una "parte magntica". Sin embargo, esta distincin no puede ser universal sino dependiente del observador. As un observador en movimiento relativo respecto al sistema de referencia medir efectos elctricos y magnticos diferentes, que un observador en reposo respecto a dicho sistema. Esto ilustra la relatividad de lo que se denomina "parte elctrica" y "parte magntica" del campo electromagntico. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo elctrico ni el "vector" de induccin magntica se comportan genuinamente como magnitudes fsicas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que s existen leyes de transformacin fsicamente esperables.Campo electromagntico en teora de la relatividadEn electrodinmica clsica y sobre todo en teora de la relatividad el campo electromagntico se representa por un tensor 2-covariante y antisimtrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte elctrica y parte magntica del campo:FUERZA ELECTROMAGNTICA

La fuerza de Lorentz puede escribirse de forma mucho ms sencilla gracias al tensor de campo electromagntico que en su escritura vectorial clsica:(Expresin vectorial)(Expresin tensorial relativista)ECUACIONES DE MAXWELLLas ecuaciones de Maxwell tambin toman formas muy sencillas en trminos del tensor de campo electromagntico:

Donde en la ltima expresin se ha usado el convenio de sumacin de Einstein y donde la magnitud J es el cuadrivector de corriente que viene dado por:

POTENCIAL VECTORLa forma de las ecuaciones de Maxwell permite que sobre un dominio simplemente conexo (estrellado) el campo electromagntico puede expresarse como la derivada exterior de un potencial vector, lo cual facilita enormemente la resolucin de dichas ecuaciones. Usando el convenio de sumacin de Einstein tenemos:

Relacin que escrita ms explcitamente en componentes es:

CAMPO ELECTROMAGNTICO CUNTICOMatemticamente el campo electromagntico en el contexto cuntica se trata de un campo de Yang-Mills cuyo grupo de gauge es el grupo abeliano U(1). Esto aadido a las pecualiaridades de la teora cuntica de campos llevan a representar el campo electromagntico mediante una aplicacin que asigna a cada regin del espacio-tiempo un operador autoadjunto (que se transformar de forma apropiada bajo transformaciones de gauge). El campo electromagntico promedio de una regin se modeliza por un operador autoadjunto, as cada una de las componentes del potencial vector:

El valor del campo en un punto no est necesariamente definido. Si se considera un punto del espacio tiempo y se considera una regin arbitrariamente pequea en torno a l, puede calcularse el lmite de la expresin anterior a medida que la regin tiende a cero. Si el lmite existe puede identificarse el operador con el campo electromagntico en dicho punto, sin embargo, para muchas formas del campo el lmite no puede existir. Esto se corresponde con el hecho de que en general debido al principio de incertidumbre no es posible determinar el valor del campo en un nico punto, sino slo su promedio en una pequea regin.Cuando dos regiones del espacio-tiempo A y B estn desconectadas causalmente, es decir, ninguna pertence al futuro causal de la otra, entonces sus respectivos operadores de campo electromagntico conmutan:

CAMPO ELCTRICO

Campo elctrico producido por un conjunto de cargas puntuales. Se muestra en rosa la suma vectorial de los campos de las cargas individuales; .El campo elctrico es un campo fsico que es representado mediante un modelo que describe la interaccin entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza elctrica.[1] Se describe como un campo vectorial en el cual una carga elctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza elctrica dada por la siguiente ecuacin: (1)En los modelos relativistas actuales, el campo elctrico se incorpora, junto con el campo magntico, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagntico F.[2]Los campos elctricos pueden tener su origen tanto en cargas elctricas como en campos magnticos variables. Las primeras descripciones de los fenmenos elctricos, como la ley de Coulomb, slo tenan en cuenta las cargas elctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que tambin se tiene en cuenta la variacin del campo magntico.Esta definicin general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo elctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de induccin electromagntica en el ao 1832.La unidad del campo elctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades bsicas, kgms3A1 y la ecuacin dimensional es MLT-3I-1.DEFINICINLa presencia de carga elctrica en una regin del espacio modifica las caractersticas de dicho espacio dando lugar a un campo elctrico. As pues, podemos considerar un campo elctrico como una regin del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga elctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo elctrico una nueva carga elctrica, sta experimentar una fuerza.El campo elctrico se representa matemticamente mediante el vector campo elctrico, definido como el cociente entre la fuerza elctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).La definicin ms intuitiva del campo elctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definicin ms formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mnima accin. A continuacin se describen ambas.Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definicin de campo elctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre s medirn campos elctricos o "partes elctricas" del campo electromagntico diferentes, por lo que el campo elctrico medido depender del sistema de referencia escogido.DEFINICIN MEDIANTE LA LEY DE COULOMB

Campo elctrico de una distribucin lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en direccin radial por una distribucin de carga en forma de diferencial de lnea (), lo que produce un campo elctrico .Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemticamente es igual a:[1]

Donde:es la permisividad elctrica del vaco, constante definida en el sistema internacional,son las cargas que interactan,es la distancia entre ambas cargas,, es el vector de posicin relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.y es el unitario en la direccin . Ntese que en la frmula se est usando , esta es la permitividad en el vaco. Para calcular la interaccin en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ()La ley anterior presupona que la posicin de una partcula en un instante dado, hace que su campo elctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partculas parece depender slo de la posicin de la partcula causante sin importar la distancia entre las partculas se denomina en fsica accin a distancia. Si bien la nocin de accin a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos ms cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha nocin como no-realista. En ese contexto se pens que el campo elctrico no slo era un artificio matemtico sino un ente fsico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partculas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teora de la relatividad y dotar de entidad fsica al campo elctrico.[1] As, el campo elctrico es una distorsin electromagntica que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresin del campo elctrico cuando este slo depende de la distancia entre las cargas:

Donde claramente se tiene que , la que es una de las definiciones ms conocidas acerca del campo elctrico.DEFINICIN FORMALLa definicin ms formal de campo elctrico, vlida tambin para cargas movindose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la accin de una partcula cargada en movimiento a travs de un campo electromagntico.[2] Este campo forma parte de un nico campo electromagntico tensorial definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:[1] (1)donde es el potencial escalar y es el potencial vectorial tridimensional. As, de acuerdo al principio de mnima accin, se plantea para una partcula en movimiento en un espacio cuadridimensional: (2) donde es la carga de la partcula, es su masa y la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que , donde es el diferencial de la posicin definida y es la velocidad de la partcula, se obtiene: (3) El trmino dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresin con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partcula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variacin temporal de la cantidad de movimiento de la partcula es: (4)De donde se obtiene la fuerza total de la partcula. Los dos primeros trminos son independientes de la velocidad de la partcula, mientras que el ltimo depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo elctrico y al tercero el campo magntico. As se encuentra la definicin ms general para el campo elctrico:[2] (5)La ecuacin (5) brinda mucha informacin acerca del campo elctrico. Por un lado, el primer trmino indica que un campo elctrico es producido por la variacin temporal de un potencial vectorial descrito como donde es el campo magntico; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripcin del campo como el gradiente de un potencial.[2]DESCRIPCIN DEL CAMPO ELCTRICOMatemticamente un campo se lo describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuacin que describe la divergencia del campo elctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.[1]LEY DE GAUSSPara conocer una de las propiedades del campo elctrico se estudia que ocurre con el flujo de ste al atravesar una superficie. El flujo de un campo se obtiene de la siguiente manera: (8) donde es el diferencial de rea en direccin normal a la superficie. Aplicando la ecuacin (7) en (8) y analizando el flujo a travs de una superficie cerrada se encuentra que: (9) donde es la carga encerrada en esa superficie. La ecuacin (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es: (10) donde es la densidad volumtrica de carga. Esto indica que el campo elctrico diverge hacia una distribucin de carga; en otras palabras, que el campo elctrico comienza en una carga y termina en otra.[1]Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de lneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo elctrico estara dirigido hacia la otra carga.LEY DE FARADAYEn 1801, Michael Faraday realiz una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magntico inducen un campo elctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a travs de un diferencial de lnea est determinado por: (11) donde el signo menos indica la Ley de Lenz y es el flujo magntico en una superficie, determinada por: (12) reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuacin integral de la ley de Faraday: (13) Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial: 14) La ecuacin (14) completa la descripcin del campo elctrico, indicando que la variacin temporal del campo magntico induce un campo elctrico.[1]EXPRESIONES DEL CAMPO ELCTRICOCAMPO ELECTROSTTICO (CARGAS EN REPOSO)Un caso especial del campo elctrico es el denominado electrosttico. Un campo electrosttico no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todava tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideracin temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuacin (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula: (15) Esta ecuacin junto con (10) definen un campo electrosttico. Adems, por el clculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una funcin escalar , conocida como potencial elctrico: (16) La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo elctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposicin a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo elctrico como la suma vectorial de sus campos individuales: (17)entonces (18)LNEAS DE CAMPO

Lneas de campo elctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas, respectivamente.Un campo elctrico esttico puede ser representado geomtricamente con lneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas lneas, a estas lneas se las conoce como "lneas de campo". Matemticamente las lneas de campo son las curvas integrales del campo vectorial. Las lneas de campo se utilizan para crear una representacin grfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar.Las lneas de campo son lneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geomtrica en un punto coincide con la direccin del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variacin direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo elctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numrico. En el caso esttico al ser el campo elctrico un campo irrotacional las lneas de campo nunca sern cerradas (cosa que s puede suceder en el caso dinmico, donde el rotacional del campo elctrico es igual a la variacin temporal del campo magntico cambiada de signo, por tanto una lnea de campo elctrico cerrado requiere un campo magntico variable, cosa imposible en el caso esttico).En el caso dinmico pueden definirse igualmente las lneas slo que el patrn de lneas variar de un instante a otro del tiempo, es decir, las lneas de campo al igual que las cargas sern mviles.CAMPO ELECTRODINMICO (MOVIMIENTO UNIFORME)El campo elctrico creado por una carga puntual presenta isotropa espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo ms intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teora de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la direccin del movimiento de la carga sern menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contraccin de Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendramos la siguiente relacin de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga y el observador en reposo respecto a la carga :

Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, as la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplir que:

Y por tanto el campo elctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga ser: (19)Donde es el ngulo formado por el vector de posicin del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta ltima expresin se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es ms intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la interaseccin de la esfera con la trayectoria de la partcula, puede verse que el campo sobre la esfera vara entre un mximo y un mnimo dados por: (20)Esta prdida de simetra esfrica es poco notoria para velocidades pequeas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.CAMPO ELECTRODINMICO (MOVIMIENTO ACELERADO)El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si adems de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por: (21)El primer miembro slo depende de la velocidad y coincide con el campo elctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias vara segn una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto, no supone emisin de energa, el segundo miembro depende de la aceleracin y tiene una variacin 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esfrica de radiacin electromagntica, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiacin.ENERGA DEL CAMPO ELCTRICOUn campo en general almacena energa y en el caso de cargas aceleradas puede transmitir tambin energa (principio aprovechado en antenas de telecomunicaciones). La densidad volumtrica de energa de un campo elctrico est dada por la expresin siguiente:[1] (22) Por lo que la energa total en un volumen V est dada por: (23) donde es el diferencial de volumen.

LEY DE COULOMB

Ley de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del mismo signo.La ley de Coulomb puede expresarse como:La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la direccin de la lnea que las une. La fuerza es de repulsin si las cargas son de igual signo, y de atraccin si son de signo contrario.La constante de proporcionalidad depende de la constante dielctrica del medio en el que se encuentran las cargas.DESARROLLO DE LA LEYCharles-Augustin de Coulomb desarroll la balanza de torsin con la que determin las propiedades de la fuerza electrosttica. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla regresar a su posicin original, con lo que conociendo la fuerza de torsin que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb tambin conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas elctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas.

Variacin de la Fuerza de Coulomb en funcin de la distancia.En la barra de la balanza, Coulomb coloc una pequea esfera cargada y a continuacin, a diferentes distancias, posicion otra esfera tambin cargada. Luego midi la fuerza entre ellas observando el ngulo que giraba la barra.Dichas mediciones permitieron determinar que: La fuerza de interaccin entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y as sucesivamente. Concluy entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas: y en consecuencia:

Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interaccin disminuye en un factor de 4 (2); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4). En consecuencia, la fuerza de interaccin entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

Asociando ambas relaciones:

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relacin anterior en una igualdad:

ENUNCIADO DE LA LEYLa ley de Coulomb es vlida slo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximacin cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrosttica.En trminos matemticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se expresa como:

Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vaco, se atraen o repelen entre s con una fuerza cuya magnitud est dada por:

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

donde es un vector unitario, siendo su direccin desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.Al aplicar esta frmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, segn sean stas positivas o negativas.El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en da, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces .

Representacin grfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.Obsrvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuacin vectorial e incluye el hecho de que la fuerza acta a lo largo de la lnea de unin entre las cargas.CONSTANTE DE COULOMBLa constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es Nm/C.A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y F/m es la permitividad del medio en el vaco.Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vaco hay que tener en cuenta la constante dielctrica y la permitividad del material.La ecuacin de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:

La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado ser en sistema MKS (). En cambio, si la unidad de las cargas estn en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma y su resultado estar en las unidades CGS ().

POTENCIAL DE COULOMBLa ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparicin de un campo de fuerzas que decae segn la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas elctricas puntuales estticas puede usarse el principio de superposicin dada la aditividad de las fuerzas sobre una partcula. Sin embargo, matemticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta ms sencillo definir un potencial elctrico. Para ello a una carga puntual se le asigna una funcin escalar o potencial de Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:

De la ley de Coulomb se deduce que la funcin escalar que satisface la anterior ecuacin es:

Donde:, es el vector posicin genrico de un punto donde se pretende definir el potencial de Coulomb y, es el vector de posicin de la carga elctrica cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial.LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB La expresin matemtica solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casos estticos ms complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial elctrico. Cuando las cargas elctricas estn en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Linard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partculas son grandes comparadas con la velocidad de la luz.VERIFICACIN EXPERIMENTAL DE LA LEY DE COULOMB

Montaje experimental para verificar la ley de Coulomb.Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considrense dos pequeas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura adjunta. Sobre cada esfera actan tres fuerzas: el peso mg, la tensin de la cuerda T y la fuerza de repulsin elctrica entre las bolitas. En el equilibrio: (1)y tambin: (2)Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene:

Siendo la separacin de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsin entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: (3)Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuacin, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separacin ser y la fuerza de repulsn entre las mismas estar dada por:

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo ms arriba: . Y de modo similar se obtiene: (4)Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad: (5)Midiendo los ngulos y y las separaciones entre las cargas y es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental. En la prctica, los ngulos pueden resultar difciles de medir, as que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ngulos resultarn lo bastante pequeos como para hacer la siguiente aproximacin:

Con esta aproximacin, la relacin (5) se transforma en otra mucho ms simple:

De esta forma, la verificacin se reduce a medir la separacin entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.COMPARACIN ENTRE LA LEY DE COULOMB Y LA LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSALEsta comparacin es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemticas cuya similitud es notoria.La ley de la gravitacin universal establece que la fuerza de atraccin entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresndolo matemticamente:

Siendo:la constante de gravitacin universal,las masas de los cuerpos en cuestin yla distancia entre los centros de las masas.A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes. La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas elctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los rdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza elctrica. Para aclararlo analizaremos como actan ambas entre un protn y un electrn en el tomo de hidrgeno. La separacin promedio entre el electrn y el protn es de 5,310-11 m. La carga del electrn y la del protn valen y respectivamente y sus masas son y . Sustituyendo los datos:

.Al comparar resultados se observa que la fuerza elctrica es de unos 39 rdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 C equivale a la carga que pasa en 1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domsticas de 120 Vrms).Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separacin de 1 metro, la fuerza de interaccin sera:

o sea, 916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un milln de toneladas (un teragramo)!. Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada ms arriba, se alejaran bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta hipottica disposicin de cargas resultan fuerzas tan enormes, por qu no se observan despliegues dramticos debidos a las fuerzas elctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad elctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto.CARGA ELCTRICA

Interacciones entre cargas de igual y distinta naturaleza.La carga elctrica es una propiedad fsica intrnseca de algunas partculas subatmicas que se manifiesta mediante fuerzas de atraccin y repulsin entre ellas. La materia cargada elctricamente es influida por los campos electromagnticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La denominada interaccin electromagntica entre carga y campo elctrico es una de las cuatro interacciones fundamentales de la fsica. Desde el punto de vista del modelo estndar la carga elctrica es una medida de la capacidad que posee una partcula para intercambiar fotones.Una de las principales caractersticas de la carga elctrica es que, en cualquier proceso fsico, la carga total de un sistema aislado siempre se conserva. Es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas no vara en el tiempo. Qi=QfLa carga elctrica es de naturaleza discreta, fenmeno demostrado experimentalmente por Robert Millikan. Por razones histricas, a los electrones se les asign carga negativa: 1, tambin expresada e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria: 1/3 o 2/3, aunque no se los ha podido observar libres en la naturaleza.[1]UNIDADESEn el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga elctrica se denomina culombio o coulomb (smbolo C). Se define como la cantidad de carga que pasa por la seccin transversal de un conductor elctrico en un segundo, cuando la corriente elctrica es de un amperio, y se corresponde con la carga de 6,241509 electrones aproximadamente.[2]HistoriaDesde la Antigua Grecia se conoce que al frotar mbar con una piel, sta adquiere la propiedad de atraer cuerpos ligeros tales como trozos de paja y plumas pequeas. Su descubrimiento se le atribuye al filsofo griego Tales de Mileto (ca. 639-547 a.C.), quin vivi hace unos 2500 aos.[3]El mdico ingls William Gilbert (1540-1603) observ que algunos materiales se comportan como el mbar al frotarlos y que la atraccin que ejercen se manifiesta sobre cualquier cuerpo, aun cuando no fuera ligero. Como el nombre griego correspondiente al mbar es elektron, Gilbert comenz a utilizar el trmino elctrico para referirse a todo material que se comportaba como aqul, lo que origin los trminos electricidad y carga elctrica. Adems, en los estudios de Gilbert se puede encontrar la diferenciacin de los fenmenos elctricos y magnticos.[3]El descubrimiento de la atraccin y repulsin de elementos al conectarlos con materiales elctricos se atribuye a Stephen Gray. El primero en proponer la existencia de dos tipos de carga es Charles du Fay, aunque fue Benjamin Franklin quin al estudiar estos fenmenos descubri como la electricidad de los cuerpos, despus de ser frotados, se distribua en ciertos lugares donde haba ms atraccin; por eso los denomin (+) y (-).[3]Sin embargo, fue solo hacia mediados del siglo XIX cuando estas observaciones fueron planteadas formalmente, gracias a los experimentos sobre la electrlisis que realiz Michael Faraday, hacia 1833, y que le permitieron descubrir la relacin entre la electricidad y la materia; acompaado de la completa descripcin de los fenmenos electromagnticos por James Clerk Maxwell.Posteriormente, los trabajos de Joseph John Thomson al descubrir el electrn y de Robert Millikan al medir su carga, fueron de gran ayuda para conocer la naturaleza discreta de la carga.[3]NATURALEZA DE LA CARGALa carga elctrica es una propiedad intrnseca de la materia que se presenta en dos tipos. stas llevan ahora el nombre con las que Benjamin Franklin las denomin: cargas positivas y negativas.[4] Cuando cargas del mismo tipo se encuentran se repelen y cuando son diferentes se atraen. Con el advenimiento de la teora cuntica relativista, se pudo demostrar formalmente que las partculas, adems de presentar carga elctrica (sea nula o no), presentan un momento magntico intrnseco, denominado espn, que surge como consecuencia de aplicar la teora de la relatividad especial a la mecnica cuntica.CARGA ELCTRICA ELEMENTALLas investigaciones actuales de la fsica apuntan a que la carga elctrica es una propiedad cuantizada. La unidad ms elemental de carga se encontr que es la carga que tiene el electrn, es decir alrededor de 1,602 176 487(40) 10-19 culombios y es conocida como carga elemental.[5] El valor de la carga elctrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide segn el nmero de electrones que posea en exceso o en defecto.[6]Esta propiedad se conoce como cuantizacin de la carga y el valor fundamental corresponde al valor de carga elctrica que posee el electrn y al cual se lo representa como e. Cualquier carga q que exista fsicamente, puede escribirse como siendo N un nmero entero, positivo o negativo.Por convencin se representa a la carga del electrn como -e, para el protn +e y para el neutrn, 0. La fsica de partculas postula que la carga de los quarks, partculas que componen a protones y neutrones toman valores fraccionarios de esta carga elemental. Sin embargo, nunca se han observado quarks libres y el valor de su carga en conjunto, en el caso del protn suma +e y en el neutrn suma 0.[7]Aunque no tenemos una explicacin suficientemente completa de porqu la carga e