Función Cuadrática y Ecuación de Segundo Grado Prof. Isaías Correa M.
Ecuaciones cuadráticas Lección 3. Definición Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que...
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Ecuaciones cuadráticas
Lección 3
Definición
• Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que se puede escribir de la forma
ax2 + bx + c = 0 , donde a ≠ 0 .• Ejemplos:
4x2 = 8 – 11x x(3 + x) = 5 4x = x2
Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.
• Producto
• Factorización
𝑥2+9𝑥+18=𝑥2+3𝑥+6 𝑥+18=(𝑥+3)(𝑥+6)
(𝑥+3 ) (𝑥+6 )=𝑥 (𝑥+6 )+3(𝑥+6)
Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.
• Producto
• Factorización
𝑥2−5 𝑥−14=𝑥2+2 𝑥−7 𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2)
(𝑥−7 ) (𝑥+2 )=𝑥 (𝑥+2 )−7 (𝑥+2)
Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.
• Producto
• Factorización
𝑥2−5 𝑥−14=𝑥2+2 𝑥−7 𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2)
(𝑥−7 ) (𝑥+2 )=𝑥 (𝑥+2 )−7 (𝑥+2)
Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.
• Producto
• Factorización
¿ (2𝑥−3)(3 𝑥+5)
(2 𝑥−3 ) (3 𝑥+5 )=¿2 𝑥 (3 𝑥+5 )−3(3𝑥+5)
6 𝑥2+𝑥−15=6 𝑥2+10𝑥−9 𝑥−15¿2 𝑥 (3 𝑥+5 )−3(3𝑥+5)
Resolver mediante factorización
• Si ax2 + bx + c se puede escribir como el producto de dos expresiones lineales, entonces la solución de la ecuación se puede encontrar igualando cada factor a cero y resolviendo cada ecuación lineal.
Resolver ecuaciones cuadráticas
Usando el ejemplo anterior:• Resolver: =0
6 𝑥2+𝑥−15=0❑
(2 𝑥−3 ) (3 𝑥+5 )=0
(2 𝑥−3 )=0(3 𝑥+5 )=02 𝑥=3𝑥=
32
3 𝑥=−5𝑥=
−53
Ejemplo
• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .
El método AC• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo
ax2 + bx + c = 0 con a=3 b = 1 y c = -10.• La ecuación se puede factorizar si existen factores
de AC = -30 que sumen b = 1. • Los factores son 6 y – 5 .
Ejemplo
• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .
Usando los factores son 6 y – 5 .
Ejemplo
• Resolver la ecuación 8x2 – 12= 4x .
El método AC• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo
ax2 + bx + c = 0 con a = 2 b = -1 y c = - 3 . • La ecuación se puede factorizar si existen factores
de AC = -6 que sumen b = -1. • Los factores son 2 y – 3 .
Notar que primeramente debemos el factor común de 4.
Ejemplo
•
Usando los factores son 2 y – 3 .
Ejemplo• Resolver la ecuación x2 + 16 = 8x .
• Cómo x – 4 aparece como factor , llamamos a 4 una raiz doble o raiz de multiplicidad 2 de esta ecuación.
Una Ecuación CuadráticaEspecial
• Si x2 = d , entonces la factorización de x2 – d gives
• Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática x2 = 5 son
• Resolver: (x + 3)2 = 5
.x d
5.x
3 5 ,x 3 5.x
Una Ecuación CuadráticaEspecial
• Resolver: 2 (x + 5)2 = 32
(x + 5)2 = 16
La Fórmula Cuadrática
• Para resolver la ecuación cuadrática general: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 .
• Fórmula cuadrática:
2 4.
2b b ac
xa
El Discriminante
• El número representado por la expresión b2 – 4ac .
• El discriminante indica de qué tipo son las raices de una ecuación cuadrática.
Fórmula CuadráticaResolver:
2 4.
2b b ac
xa
𝒙=¿
𝒙=¿
𝒙=¿
Ejemplo• Resolver la ecuación 2x2 – 1 = 3x.
• Método AC: a=2, b= - 3 , c = -1 La ecuación factoriza si existen factores de ac
= -2 que sumen b= -3 Los factores de -2 son (-2 x 1) ó (2 x -1) NO existen factores de -2 que sumen -3 La ecuación no factoriza como el producto de
dos factores lineales con coeficientes racionales NO existe una solución RACIONAL.
Ejemplo• Encontrar todos los ceros reales de:
2x2 – 1 = 3x.• Resolver:
a=2, b= - 3 , c = -1• Usar la fórmula cuadrática.
2 4.
2b b ac
xa
𝑥=−(−3)±√(−3)2−4 ∙2 ∙−1
2(2)
𝑥=3±√9+84
𝑥=3±√174
Fórmula CuadráticaResolver:
2 4.
2b b ac
xa
2x2 – 4x – 3 = 0
La Fórmula Cuadrática
• Determinar si la ecuación dada tiene raices reales o no:
• 9x2 + 12x + 4 = 0• 3x2 + 4x + 2 = 0• x2 + 2x – 1 = 0
Ecuaciones de tipo cuadrático
• Una ecuación es del tipo cuadrático si se puede escribir de la forma
au2 + bu + c = 0 ,
donde a ≠ 0 y u es una expresión en alguna variable.
Ecuaciones de tipo cuadrático
• Por ejemplo:
se puede escribir
y resolver.• Resolver:
Ecuaciones de tipo cuadrático
• Resolver: • se puede escribir y resolver.
• u=4 u=1; resolvimos primero por u• u = 4 x2=4• u = 1 x2=1
Ecuaciones de tipo cuadrático
• Resolver: • se puede escribir y resolver.
• u=4 u=1; resolvimos primero por u• u = 4 x2=4• u = 1 x2=1
Ecuaciones de tipo cuadrático • Encontrar soluciones reales de
• se puede escribir
y resolver.
• u=25 u = -25; resolvimos primero por u• Si u= 2516 x2=25• u = -25 16x2= -25 NO es real.