ECUACIÓN LOGÍSTICA

POBLACIONES

KAREN YULIETH RAYO-20132025231

JULIÁN RICARDO RODRIGUEZ-20122025114

KEVIN FERNANDO ROJAS-20122025050

DINÁMICA POBLACIONAL

• UNO DE LOS PRIMEROS INTENTOS PARA MODELAR EL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN HUMANA POR MEDIO DE LAS MATEMÁTICAS FUE REALIZADO EN 1798 POR EL ECONOMISTA INGLÉS THOMAS MALTHUS.

• BÁSICAMENTE LA IDEA DETRÁS DEL MODELO DE MALTHUS ES LA SUPOSICIÓN DE QUE LA RAZÓN CON LA QUE LA POBLACIÓN DE UN PAÍS EN UN CIERTO TIEMPO ES PROPORCIONAL A LA POBLACIÓN TOTAL DEL PAÍS EN ESE TIEMPO.

DINÁMICA POBLACIONAL

• EN OTRAS PALABRAS, ENTRE MÁS PERSONAS ESTÉN PRESENTES AL TIEMPO t, HABRÁ MÁS EN EL FUTURO. EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS, SI P (t) DENOTA LA POBLACIÓN AL TIEMPO t, ENTONCES ESTA SUPOSICIÓN SE PUEDE EXPRESAR COMO:

• DONDE K ES UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.

DINÁMICA POBLACIONAL

• ESTE MODELO SIMPLE, FALLA SI SE CONSIDERAN MUCHOS OTROS FACTORES QUE PUEDEN INFLUIR EN EL CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO (POR EJEMPLO, INMIGRACIÓN Y EMIGRACIÓN), RESULTÓ, SIN EMBARGO, BASTANTE EXACTO EN PREDECIR LA POBLACIÓN DE LOS ESTADOS UNIDOS, DURANTE 1790-1860.

• LAS POBLACIONES QUE CRECEN CON UNA RAZÓN DESCRITA POR LA ECUACIÓN ANTERIOR SON RARAS; SIN EMBARGO, AÚN SE USA PARA MODELAR EL CRECIMIENTO DE PEQUEÑAS POBLACIONES EN INTERVALOS DE TIEMPO CORTOS (POR EJEMPLO, CRECIMIENTO DE BACTERIAS EN UNA CAJA DE PETRI).

DINÁMICA POBLACIONAL

• THOMAS MALTHUS NO CREÍA QUE LA POBLACIÓN CRECÍA DE MANERA ASINTÓTICA PERFECTA, ÉL PENSABA QUE CUANDO SE LLEGABA A UN LÍMITE POBLACIONAL OCURRIRÍAN EVENTOS COMO CATÁSTROFES Y POR ESTO LA POBLACIÓN OSCILARÍA ALREDEDOR DEL LÍMITE, DANDO PASO A ESTAS CATÁSTROFES.

DINÁMICA POBLACIONAL

• PIERRE FRANÇOIS VERHULST, FUE UN MATEMÁTICO BELGA EL CUAL LEYÓ EL TRABAJO DE THOMAS MALTHUS E INTENTO MODELAR LA IDEA DE LA CUAL HABLABA MALTHUS.

• SI NO CONSIDERAMOS LAS RESTRICCIONES DEL AMBIENTE ENTONCES LA POBLACIÓN PUEDE CRECER DE MANERA EXPONENCIAL, MIENTRAS QUE SI NOS ACERCAMOS A LOS LÍMITES DADOS POR EL AMBIENTE ENTONCES LA POBLACIÓN VA A CRECER DE UNA MANERA ASINTÓTICA HACIA ALGÚN TIPO DE POBLACIÓN.

DINÁMICA POBLACIONAL

Series1

COMPARACIÓN DE MODELOS

MODELO INICIAL MODELO IDEAL

N

t

INTUICIÓN SOBRE LA ED

LOGÍSTICA

𝑑𝑁𝑑𝑡

=𝑟𝑁 ()

𝑁≪𝑘≈1

𝑁→𝐾(1− 𝑁𝑘 )≈ 0

𝑑𝑁𝑑𝑡

=𝑟𝑁 (1− 𝑁𝑘 )Ecuación Diferencial logística

r=Const proporción a NK=Capacidad MáximaN= Población

RESOLVIENDO ED LOGÍSTICA𝑑𝑁𝑑𝑡

=𝑟𝑁 (1−𝑁𝑘 )1

𝑁 (1− 𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=𝑟𝑑𝑡

∫ 1𝑁

+

1𝑘

1−(𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=∫ 𝑟 ∙𝑑𝑡

∫ 1𝑁∙𝑑𝑁−∫

−1𝑘

1−(𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=∫𝑟 ∙𝑑𝑡

𝐿𝑛|𝑁|− 𝐿𝑛|1− 𝑁𝑘 |+𝐶1=𝑟𝑡+𝐶 2

Con 0<N(t)<k y aplicando propiedades de los logaritmos

𝐿𝑛( 𝑁

1−𝑁𝑘 )=rt+C 3

4

Multiplicando a ambos lados por e:

Tomando el reciproco:

5

FUNCIÓN LOGISTICA

5

5

Pasando -1/k al otro lado y tomando el reciproco

𝑁 (𝑇 )= 1

𝐶 5   ∙𝑒− 𝑟𝑡+1𝑘

Asumiendo Población inicial N0 en un tiempo=0N0 C𝑁 (𝑇 )= 1

( 1𝑁 0

−1𝑘 ) ∙𝑒− 𝑟𝑡+ 1

𝑘

k  k  

.

𝑵 (𝑻 )=k

(𝒌−𝑵 0𝑵 0 )∙𝒆−𝒓𝒕+𝟏

EJERCICIO DE APLICACIÓN

• Utilizando un modelo logístico con capacidad sustentable k=100*, una población mundial

(humana) de 5 * en 1986 y una razón de crecimiento de 2% anual, hacer una predicción de la

población mundial para el año 2010.¿En que tiempo será esta población de 32*?

• Tenemos:

k=100 =5(en miles de millones de habitantes del planeta) en 1986 y r=0.02

N(t)=

N(t)=

N(t)=

en miles de millones de habitantes.

en el año 2010 tendremos t=24; entonces:

N(24)=

• la población será de 32* en el tiempo

N()=

Þ608*

Þ=>=