Ecuacion de Bernoulli y Riccati
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C AP i7: TJ L C 1 . E C U ACI O¡T¿TS DIFE]Itr¡üCiA¿ES OEDI¡\TARI.L:
Resolr.er Ia ecuacién diferenciai ,t;' : y -l *2',,J2..,,! .,
Solución: La ecuaciótt '!¡' :'il*r2y2, se ¡ruede cscribir ccrru, t'¡ -: - 12. Hacieurlo; : l?l' lJ ',
,sc riene que;' : -* y por lo tanto la ecrra,cióri *-:: ,'2 se transforma en -z'-'z: r). :J_ !t- a ,_que es una ecu¿¡,ción iineal cle prirrrer orden. A<lerrrtís, la ecuacil¡ti ii * , : -r2, tiene col:-:
solucióu
v cOll]o
Y corno It : y*2, tenernos ?J :sohrciones son:
e\
geueral scrá,
-L/2, se obtiene que t¡ : *(.Ce-"¿a - 11-tlz. Todas l¿u
U:*{Ce-zr,*71-1i23/:0.
z : t- J,i,i, - { "t ,i,,.:¿r]: c-, i, { *2r,d,*1
iJILJ):
"- " iC -- §2e-o * 2re" - 2r"): -r2 l2¡; * 2 + C
11z : -! se st,Eue c{Lre } : - y ci} consecueircia la soluciónyz1
-:t:2 ¿* 2t: -- 2 * Ce*¡'
2. Resolver la ecuación de Bernorüi dad'a por 3ir - 23tari r':Z',fr)'
Solucién: Enestecaso,p(r) : -2tan r. q(:i)-.2 y n:f,. Laecuación yt-Zytanr:2.,fo/
se puede escribir como j7z *')'¡st¡2tan:r:2 (Sienipre *" ,l C). t{aciendo e: g1l2' sr
sigue que y : 22, luego g' : 22zt ,cou io qui: 1a ecuación dada se convierte en z'--(tartr)z : --
cuya solur:ión es:
z:,tl'ra¡r¡d¿ ic* l¿-f ran.r'dr¿rl : ' l"* ["orr¿rl :tanr r q .
L- J I cosrl J I cosr
y como , -- grl2 , se ct;nchrSre que ia s,¿iución generai de la, ccuación propuesta es
/ c \2 ¿U: (tan, *;#J u rarnl¡iért r7 -- ltatr ): + C secr)'
Como g : 0 es tarnbiérr solucién de la ecuación dada y ella no se puede otrtener a partir 'xla últirna explesión pnra algún valor de C. se dice que es tna saht,r:'ión s'ing'ular.
3. Elncontrar todas 1as soluciorres de la ecuación diferencial * : y + y'.ds
Solución: En este caso, tenemos uila cruación de Bernoulli con n : 3. Haciendo el cambio i¿
variable u * rJl-- 3 : U_2 , se obtiene ia ecuación diferencial (satisfecha por u ) ff + Zr, : -:Esta es una ecuacién lineal y un factor integrani,e es p(r) : expil 2dr) -- a'2". La soluciól
generai es dada por
-e2" + C n2t 1:lte -I.e'"
1.)
jI
Idoz:-
,LJ
c
\áNIAS
3ne corno
.,- q ñ;v!'
' Y112. se
rr)z : 1.
partir de
:arnbio de.-)., _ o
t sohición
- .3 ECIIACLON jIIFfIF.EIJCIAL DE R{ÜÜAI'I
Ejercicios
- Resoiver las sigriierttes c¡:uaci¿lnes dif'ex:nci¡tjes'
11I :J - i, )
J jr:,,
.,i nt,,",- ¡.',,t1'!211 - ;J'U -
1.; !:il
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rl:r x'!¡ * rJys'
i l' ':- itiutr I -''.r. rj y...-.. SCff29'
6. { + yt¿r,n :r -} ;,¡3 sen r : 0.
7. :l bzlts l- :rg) - ].
S. f,yzclr - r(,2r3 * Y'¡d'u : Ü
1.
2
3.
+.
P"esolvel l¿r ecuacirin diferencial r7¡2{t:11' * y) - a2' tr1'espuesta: 31(r'):
1.13. Ecuaciórr difev:encial de Riccati
-*. ,ritrd ecnación <iiferencial de Riccatl tod¿l ecuaciÓn de la for"ma
¡¡ : pyr)liZ * q(r:),.¡ r r(r),
-"..: -e p. g y 7'son firnciones ct¡nt'inuas {'lu un inlelvaio a'i¡ierto I'
6:egración de Ia ecuación de Riccati, La integr::rción cie rlicha ecua,ción difertilcial se rccluce
r -, ie una ecuación de Bernouili si se cor:r¡ce irna sr¡1ución parlicrilar. En efecto, supollgamos
L :- - :,ia ¿e anternari¡ una soiución parilr:ular 3'i (r) de la ecuación cie Riccati" Si hacerno:: ?S{.r) -:
: -- - !-tít:), la micva func..ión rlesconocirla z.(r) r,eriflca lii c'cuaciór:, diferencial
z' + ¡¡\ - p{n)lz* gr)2 + {tlr)(z* i¡r) * r(r)
: -r¡fo que yi == pl*)y? * q(r)yi + r(r). nos queda
7' : p(r)22 +- l2uúr'lp(x) + q{:r:'¡l z,
r -.: :j u¡a ecn¿ición clifel:encial ele Berncrilli. Dichra ecrtación se l,retlsfbrm¿i err tlna liiir:al con i:i
,:-,i¡ r1e vari¿r¡le ,-, : ;. Es decir qurr, la ecuación de lliccati se tra,rmfornla r.lirr:crlarletltr,t: '.ru tin¿
-: -,¡:ón <iiÍ'erencii:,1 iineai mc<.liante el ca,rnbio cle v¿rriabb d;r.iu poi: y: lJ, ,L'
fimpios
Laecuacióririiferenci¡rl { -1)'].2+(2x'_ 1'\u:r_' 1" esulraccuacióncie Riccati qiretielr:
conro r-ina solrrción partir:ular ay: l. Con el cambio de variable a:7+ l' t" sigue que
.iu tLt
#: - ,F 1' poi' ta,nto la ecr.ración d¿lrla se reciuce a
-,t /-+-,ii+
,lc- :,7{t-__l .-V r3 2r
,r2 ,/ 1\
:)ri2r-"('-;) =:"-1
Todas las
o lambién
CAI}ÍT'UT,O1.ECUACIONESDIFEREftCTALESORDI¡üARIAS
l¿ misnla que se recluce a
!!-*r,- -r.dr
queesunaecuaciónclifererrci¿rilirrealquetien'ecomosolrrcióngeneraltrl
-'r in - I c'rd.tl : i - :t *Ce'u: e l(- -.LJJ
- se slgue qln' 1uY
1..-liU - ¡ ' . , /'t--..r" I *fr+'L'e
Ejercicics
Resolver cacia una, d'e las eclraciones dil'erenciales que
particuiar de la correspondiente ecuación'
se i.ndical,' La funcién .q1 es una sr:iución
1. #:""+ (r+ 2,*)u+u';1-
gr(z) - - r"".
Z. U' : t7*r *2rzcass) - (1 *4rcos r)a +2g2casr; uÁr): r"
P*: *rr* r: * l'2) * (zn * 7)a - Y2; tn(i): -n'
,§'+:rtlf -2*2?.t+t::t: r* 1; :Vr(r): r-l'
4 - ("rn ¡)u2 + ' ,-¡ cos2 r : o: wk) :d,r " scll J cus 2'
?)' : sec2 r - (tan r)t¡ + l¡2; aÁr\ : La*r'
Cy ) 7 , r L , ' 1
fr- r', - i, *7- u¡t: atlr) = ; +tattr.
y, : *e.*',!i2 +zt:(e,' - 1)U+ 7+2t:2 -'i2e*' , At{r) : r.a-*'
Respuestar U\fr):JT;+C
diferenciales de PrimerL.LA. Integración de algunas ecllaciones
orden dadas en forma imPlícita
Consideremos ahora una ccuación ciifcrenciai rle primer orden que no est¿l darla en forma normal:
es decir una ecuación ct: la forlnaFlr,u,y') : a'
ycomode u-*7+diferencia,l da,ria es
,t],
4.
\).
t,.
7.
8.
!919sen f;
Supr:ngarnos que F(2,'g,3tl) mirada comr3 una función de rres Yariables indepenilientes' sea continua
en cierta región A d; ftí ; que tenga rleri'adas parciales cie primer orden contintras'