Ecs No Lineales

Calculo NumericoCapıtulo 3: Ecuaciones no Lineales y Sistemas de

Ecuaciones no Lineales (1era parte)

Profesor: Gerardo Silva OelkerDepartamento Ingenierıa MecanicaUniversidad de Santiago de Chile

1 semestre 2015

1 Introduccion

2 Distribucion de Raices y Acotado

3 Metodo de la Biseccion

4 Metodo de Newton - Raphson

5 Metodo de la Secante

6 Punto Fijo

7 Velocidad de Convergencia

8 Referencias

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Problemas f (x) = 0

Uno de los problemas clasicos en ciencias e ingenierıa es resolverecuaciones de la forma:

f (x) = 0

donde f (x) es una funcion no lineal y, en la mayorıa de las ocasiones,difıcil de tratar algebraicamente.

EJEMPLO

Considere la siguiente ecuacion de segundo grado:

x2 + 4x − 5 = 0

¿Podemos determinar sus raıces?Si, las raıces vienen dadas por la conocida formula:

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−4±

√42 + 20

2→ x1 = 1, x2 = −5

Problemas f (x) = 0

f (x) = 0

EJEMPLO

x2 + 4x − 5 = 0

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−4±

√42 + 20

2→ x1 = 1, x2 = −5

Problemas f (x) = 0

f (x) = 0

EJEMPLO

x2 + 4x − 5 = 0

¿Podemos determinar sus raıces?

Si, las raıces vienen dadas por la conocida formula:

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−4±

√42 + 20

2→ x1 = 1, x2 = −5

Problemas f (x) = 0

f (x) = 0

EJEMPLO

x2 + 4x − 5 = 0

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−4±

√42 + 20

2→ x1 = 1, x2 = −5

EJEMPLO

El grafico de f (x) = x2 + 4x − 5 viene dado por:

−10 −5 5 10−20

Raıces x1 y x2

EJEMPLO

El grafico de f (x) = x2 + 4x − 5 viene dado por:

−10 −5 5 10−20

Raıces x1 y x2

MATHCAD

El caso anterior es un caso sencillo en el que conocemos las soluciones.

Consideren el siguiente ejemplo:

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

f (x)¿Cuantas raıces tiene?

¿Que raıces deseamosencontrar?

¿Conocemos alguna formulaque nos permita encontrarsus raıces?

Los metodos y procedimientos queestudiaremos permitiran darrespuesta a estas preguntas

El caso anterior es un caso sencillo en el que conocemos las soluciones.Consideren el siguiente ejemplo:

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

¿Cuantas raıces tiene?

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 −5 5 10

An Attempt towards the Improvement of the Method of Approximating, in theExtraction of the Roots of Equations in Numbers. By Brook Taylor, Secretary tothe Royal SocietyAuthor(s): Brook Taylor, Philosophical Transactions(1683-1775), Vol. 30 (1717 - 1719), pp. 610-622, Published by: The Royal Society

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Caracterısticas de f (x)

Para poder resolver un problema de raıces debemos recurrir a tecnicas decalculo diferencial:

Graficar la funcion con el fin de conocer el comportamiento de lafuncion

Conocer cuantas raıces posee la funcion

Conocer los puntos crıticos de la funcion

Decidir que raız vamos a encontrar→ dependera del problema

Con esto, podremos dar respuesta a las dos primeras preguntas

Decidir que raız vamos a encontrar

→ dependera del problema

Retomemos el ejemplo anterior y supongamos que queremos encontrar lamayor raız positiva

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

50 Mayor raız positiva

f (x) La mayor raız positiva seencuentra en el intervalo [35,40]

¡Pero en ese intervalo hay 2 raıces!

Debemos disminuir el intervalohasta encontrar un intervalo deprecision

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

La mayor raız positiva seencuentra en el intervalo [35,40]

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

EJEMPLO

f (x) = e4sin(x) − x − 12 = 0

−10 10 20 30 40

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Metodo de la Biseccion

El metodo de la biseccion en uno de los metodos mas sencillos y eficientepara la busqueda de raıces.

La idea basica del metodo es dividir secuencialmente intervalos en los quese pueda asegurar que existe una raız.

Teorema de Bolzano

Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b], con f (a)f (b) < 0,entonces, existe al menos un punto c en el intervalo [a, b], tal que,f (c) = 0.

La existencia de una unica raız en unintervalo de precision, queda garantizadapor las siguientes hipotesis:

f continua en [a, b]

f (a)f (b) < 0

f es diferenciable en [a, b]

Signo de f ′(x) es constante en (a, b)

Entonces, existe un unico valor a en (a, b),tal que, f (c) = 0.

EJEMPLO

Pruebe que la ecuacion f (x) = x2 + 4x − 5 posee una solucion en elitervalo [0,2].

Revisemos las condiciones una por una:

¿Es f continua en [0,2]?Si, es polinomio.

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

¿Es f diferenciable en [0,2]?Si, es un polinomio

¿Es el signo de f ′ constante?Si, el mınimo de la funcion seencuentra en x = −2

−4 −2 2 4

Por lo tanto, f posee una solucion en el intervalo [0,2]

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿Es f continua en [0,2]?

Si, es polinomio.

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?

a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

¿Es f diferenciable en [0,2]?

Si, es un polinomio

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

¿Es el signo de f ′ constante?

Si, el mınimo de la funcion seencuentra en x = −2

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

EJEMPLO

¿f (a)f (b) < o > 0?a = 0 y b = 2 ⇒ f (0)f (2) < 0

−4 −2 2 4

Algoritmo de la BiseccionLa idea es subdividir sucesivamente y de manera conveniente el intervalodonde se encuentra la raız buscada - Este procedimiento se utiliza muchasveces para encontrar un intervalo de precision.

1 Dividir por la mitad el intervaloque contiene la raız,

p1 =a + b

2 Localizar la mitad que contiene laraız buscada de la siguiente forma:

f (a)× f (p1) > o < 0

f (p1)× f (b) > o < 0

La raız se encuentra donde lamultiplicacion es negativa(Bolzano)

Figura: Numerical Analysis, 9th Edition,R. L. Burden & J. D. Faires

Error y Convergencia

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

Cotas de errorEl siguiente teorema permite calcular cotas de error.Supongamos que f pertenece a C [a, b] y que f (a)f (b) < 0. El metodo dela biseccion genera una sucesion pn que aproxima a un cero p de f tal que:

|p − pn| <b − a

Ventajas y Desventajas

Dado que el metodo busca las raıces, siempre converge.

La convergencia es muy lenta (lineal).

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

|p − pn| <b − a

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

|p − pn| <b − a

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

|p − pn| <b − a

EJEMPLO

Retomemos el problema: x2 + 4x − 5 = 0

−4 −2 2 4

f (x)a = 1; b = 3⇒ p1 = 1.5Primera iteracion:I = [1, 1.5]⇒ p2 = 0.75Segunda iteracion:I = [0.75, 1.5]⇒ p3 = 1.125

El metodo converge a pn = 1

EJEMPLO

−4 −2 2 4

a = 1; b = 3⇒ p1 = 1.5Primera iteracion:I = [1, 1.5]⇒ p2 = 0.75Segunda iteracion:I = [0.75, 1.5]⇒ p3 = 1.125

EJEMPLO

−4 −2 2 4

f (x)a = 1; b = 3⇒ p1 = 1.5Primera iteracion:I = [1, 1.5]⇒ p2 = 0.75Segunda iteracion:I = [0.75, 1.5]⇒ p3 = 1.125

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Metodo de Newton - RaphsonEl metodo de Newton Raphson es una de las tecnicas mas poderosas yconocidas para resolver un problema de busqueda de raıces

f (x) = 0

Se basa en una aproximacion de la funcion mediante la serie de Taylor.

Recordemos la serie de Taylor:Suponga que f pertenece a Cn[a, b],tal que f n+1 existe en [a, b] y x0pertenece a [a, b]

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)+

f ′′(x0)

2!(x − x0)2 + ...+

f n(x0)

n!(x − x0)n

Metodo de Newton - RaphsonEl metodo de Newton Raphson es una de las tecnicas mas poderosas yconocidas para resolver un problema de busqueda de raıces

f (x) = 0

Se basa en una aproximacion de la funcion mediante la serie de Taylor.

Recordemos la serie de Taylor:Suponga que f pertenece a Cn[a, b],tal que f n+1 existe en [a, b] y x0pertenece a [a, b]

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)+

f ′′(x0)

2!(x − x0)2 + ...+

f n(x0)

n!(x − x0)n

MATHCAD

Derivacion del Metodo de Newton - Raphson

Supongamos que f pertenece a C 2[a, b]. Sea p0 perteneciente a [a, b] unaaproximacion de p, tal que f ′(p0) 6= 0 y |p − p0| ∼ 0.Considere el polinomio de Taylor en torno a p0

f (p) = f (p0) + f ′(p0)(p − p0) +f ′′(ξ(p))

2!(p − p0)2

Donde ξ(p) se encuentra entre p y p0. Dado que f (p) = 0, entonces

f (p) = 0 = f (p0) + f ′(p0)(p − p0) +f ′′(ξ(p))

2!(p − p0)2

Ya que |p − p0| es pequeno, entonces (p − p0)2 es aun mas pequeno,entonces:

0 ≈ f (p0) + f ′(p0)(p − p0)

Metodo de Newton - Raphson

Resolviendo la ecuacion anterior para p

p ≈ p0 −f (p0)

f ′(p0)

De aquı podemos introducir el esquema iterativo:

pk+1 = pk −f (pk)

f ′(pk)

donde k indica el numero de la iteracion.

Para utilizar el esquema anterior ademas es necesario un valor incial x0.

Algoritmo Newton - Raphson

Figura: Numerical Analysis, 9th Edition, R. L.Burden & J. D. Faires

Para comenzar las iteracionestomamos el valor p0Luego al reemplazarrepetidamente en el esquemaiterativo, obtenemos:

p1 = p0 −f (p0)

f ′(p0)

p2 = p1 −f (p1)

f ′(p1)

p3 = p2 −f (p2)

f ′(p2)

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

Posee velocidad de convergencia cuadratica para raıces simples.

Debido a que es un metodo abierto puede diverger.

Debido a que posee la evaluacion de la derivada de la funcion, elmetodo es sensible a los puntos crıticos y a las raıces multiples.

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

Criterios de parada

|pn+1 − pn| < ε|pn+1−pn||pn+1| < ε

f (pn) < ε

EJEMPLO

−4 −2 2 4

p0 = 2.0

Primera iteracion:

p1 = p0 −f (p0)

f ′(p0)= 1.125

Segunda iteracion:

p2 = p1 −f (p1)

f ′(p1)= 1.002

EJEMPLO

−4 −2 2 4

p0 = 2.0

Primera iteracion:

p1 = p0 −f (p0)

f ′(p0)= 1.125

Segunda iteracion:

p2 = p1 −f (p1)

f ′(p1)= 1.002

EJEMPLO

Debemos fabricar una lata de forma cilındrica circular recta que contenga1000 cm3 . La tapa circular de la parte superior y del fondo deben tener unradio de 0.25 cm mas que el radio de la lata, para que el sobrante seutilice para sellar con la parte lateral. La hoja de material con la que seconstruye esta parte de la lata tambien debe ser 0.25 cm mas grande quela circunferencia de lata, de modo que pueda hacerse un sello. Calcule conuna exactitud ∼ 10−4 la cantidad mınima de material necesaria parafabricar la lata.

Figura: Numerical Analysis, 9th Edition, R. L. Burden & J. D. Faires

EJEMPLO

La funcion que describe la cantidad de material:

M(x) = 2π(x + 0.25)2 +1000

πx2(2πx + 0.25)

Para encontrar la cantidad mınima de material debemos resolver:

M ′(x) = f (x) = 2π(2x + 0.5) +2000

x2− 12566.37x + 500

πx3= 0

Aplicando Newton Raphson con x0 = 2, se obtiene:xk Ek

2 0.3122.906 0.2784.024 0.1924.977 0.0675.334 5.52×10−3

5.364 3.17×10−5

La cantidad mınima de material sera:

M(x5) = 573.65cm2

EJEMPLO

M(x) = 2π(x + 0.25)2 +1000

πx2(2πx + 0.25)

M ′(x) = f (x) = 2π(2x + 0.5) +2000

x2− 12566.37x + 500

πx3= 0

2 0.3122.906 0.2784.024 0.1924.977 0.0675.334 5.52×10−3

5.364 3.17×10−5

M(x5) = 573.65cm2

EJEMPLO

M(x) = 2π(x + 0.25)2 +1000

πx2(2πx + 0.25)

M ′(x) = f (x) = 2π(2x + 0.5) +2000

x2− 12566.37x + 500

πx3= 0

2 0.3122.906 0.2784.024 0.1924.977 0.0675.334 5.52×10−3

5.364 3.17×10−5

M(x5) = 573.65cm2

EJEMPLO

M(x) = 2π(x + 0.25)2 +1000

πx2(2πx + 0.25)

M ′(x) = f (x) = 2π(2x + 0.5) +2000

x2− 12566.37x + 500

πx3= 0

2 0.3122.906 0.2784.024 0.1924.977 0.0675.334 5.52×10−3

5.364 3.17×10−5

M(x5) = 573.65cm2

Mas sobre Convergencia

TEOREMA

Sea f perteneciente a C 2[a, b]. Si p pertenece a [a, b] es tal que f (p) = 0y f ′(p) 6= 0, entonces existe un δ > 0 tal que, el metodo de NewtonRaphson genera una sucesion pn que converge a p para cualquieraproximacion inicial p0 que pertenece al intervalo [p − δ, p + δ].

Multiplicidad de Raıces

De la definicion del metodo de Newton-Raphson es evidente que puedensurgir problemas si f ′(p) tiende a cero simultaneamente con f (p).

A continuacion veremos como poder enfrentar este tipo de dificultades.

TEOREMA

La funcion f perteneciente a Cm[a, b] tiene un cero de multiplicidad m enp, si y solo si:

f ′(p) = f ′′(p) = f ′′′(p) = ... = f m−1(p) = 0,

pero:f m(p) 6= 0

Ya que en los casos de raıces multiples la velocidad de convergencia delmetodo de Newton se reduce, existen modificaciones capaces de superareste tipo de problemas, por ejemplo:

xk+1 = xk −mf (xk)

f (xk)

Veamos otra forma de tratar con el problema de las raıces multiplesmediante el siguiente ejercicio:

EJEMPLO

Muestre que p es un cero simple de u(x) si:

u(x) =f (x)

f ′(x)y f (x) = (x − p)mh(x) h(x) 6= 0

EJEMPLO

Muestre que el metodo de Newton-Raphson se transforma en:

xk+1 = xk −f (xk)f ′(xk)

[f ′(xk)]2 − f (xk)f ′′(xk)

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Metodo de la Secante

El metodo de Newton es una herramienta poderosa, sin embargo, requiereconocer el valor de la derivada en cada iteracion y esto puedetransformarse en un problema.

Con el fin de evitar evaluar la derivada en cada iteracion se puede realizarla siguiente modificacion:

f ′(xk+1) ≈ f (xk)− f (xk−1)

xk − xk−1

Reemplazando en el metodo de Newton - Rapshon se obtiene:

xk+1 = xk −(xk − xk−1)f (xk)

f (xk)− f (xk−1)

Este metodo aunque, al igual que el metodo de biseccion, posee dosvalores iniciales, no asegura el acorralamiento de la raız.

Algoritmo de la Secante

Figura: Numerical Analysis, 9th Edition, R. L.Burden & J. D. Faires

Para comenzar las iteracionestomamos los valores p0 y p1

p2 = p1 −(x1 − x0)f (x1)

f (x1)− f (x0)

p3 = p2 −(x2 − x1)f (x2)

f (x2)− f (x1)

p4 = p3 −(x3 − x2)f (x3)

f (x3)− f (x2)

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Punto Fijo

Como ya hemos visto, queremos determinar la solucion de ecuaciones deltipo:

f (x) = 0

Los metodos para determinar raıces de la forma:

g(x) = x

Se denomina metodos de punto fijo o iteraciones sucesivas.A la funcion g(x) se le llama funcion de iteracion.

EJEMPLO

g(x) = x = x − f (x)

f ′(x)

Punto Fijo

Como ya hemos visto, queremos determinar la solucion de ecuaciones deltipo:

f (x) = 0

Los metodos para determinar raıces de la forma:

g(x) = x

Se denomina metodos de punto fijo o iteraciones sucesivas.A la funcion g(x) se le llama funcion de iteracion.

EJEMPLO

g(x) = x = x − f (x)

f ′(x)

Punto Fijo

De la definicion anterior, inmediatamente surgen algunas preguntas:

¿Que es un punto fijo?

¿Cuando g(x) tiene un punto fijo?

¿Cuantos puntos fijos tiene o es unico?

¿Como determinar un punto fijo?

A continuacion responderemos las preguntas 1 y 2.

Punto Fijo

Para responder la pregunta 1 consideremos lo siguiente:Un numero p es un punto fijo de g(x) si:

g(p) = p

Para un problema de busqueda de raıces f (x) = 0, tal como veremos masadelante, es posible encontrar una funcion g con un punto fijo p, es decir,un problema de punto fijo es equivalente a resolver un problema debusqueda de raıces.

EJEMPLO

Considere la funcion:

g(x) = x2 − 2

g posee dos puntos fijos en elintervalo [-2,3]

p = −1; p = 2

−4 −2 2 4

Punto FijoPara responder la pregunta 1 consideremos lo siguiente:Un numero p es un punto fijo de g(x) si:

g(p) = p

EJEMPLO

g(x) = x2 − 2

p = −1; p = 2

−4 −2 2 4

g(p) = p

EJEMPLO

g(x) = x2 − 2

p = −1; p = 2

−4 −2 2 4

g(p) = p

EJEMPLO

g(x) = x2 − 2

p = −1; p = 2

−4 −2 2 4

Existencia y Unicidad

TEOREMA

Teorema de existencia y unicidad

1 Si g(x) pertenece C [a, b] y g(x) pertenece a [a, b], para todo x quepertenece al intervalo [a, b]. Entonces g(x) tiene un punto fijo en[a, b].

2 Si ademas, g(x) es diferenciable en (a, b) y |g ′(x)| < k < 1 , paratodo x perteneciente al intervalo (a, b). Entonces , g(x) tiene ununico punto fijo en [a, b].

Existencia y Unicidad

TEOREMA

Teorema de existencia y unicidad

1 Si g(x) pertenece C [a, b] y g(x) pertenece a [a, b], para todo x quepertenece al intervalo [a, b]. Entonces g(x) tiene un punto fijo en[a, b].

2 Si ademas, g(x) es diferenciable en (a, b) y |g ′(x)| < k < 1 , paratodo x perteneciente al intervalo (a, b). Entonces , g(x) tiene ununico punto fijo en [a, b].

EJEMPLO

Considere la funcion:g(x) =

√1 + sin x

Demuestre que g tiene un unico punto fijo en el intervalo [0,2].

Primero comprobemos 1

g(x) es continua en [0,2]

g(x) pertenece a [0,2]para toda x en [0,2]

0.5 1 1.5 2

EJEMPLO

Considere la funcion:g(x) =

√1 + sin x

Demuestre que g tiene un unico punto fijo en el intervalo [0,2].

Primero comprobemos 1

g(x) es continua en [0,2]

g(x) pertenece a [0,2]para toda x en [0,2]

0.5 1 1.5 2

EJEMPLO

Ahora comprobemos 2

La derivada de g(x) existe en (0,2)

g ′(x) =cos x

1 + sin x

|g ′(x)| < k < 1 para toda x en [0,2]

0.5 1 1.5 2

|g ′(x)|

EJEMPLO

Ahora comprobemos 2

La derivada de g(x) existe en (0,2)

g ′(x) =cos x

1 + sin x

|g ′(x)| < k < 1 para toda x en [0,2]

0.5 1 1.5 2

|g ′(x)|

EJEMPLO

Considere la siguiente funcion definida en [0,1]:

g(x) = 3−x ⇒ g ′(x) = −3−x ln 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Existe un unico punto fijo, pero |g ′(x)| > 1. El teorema anterior es unacondicion suficiente, pero no necesaria.

EJEMPLO

Considere la siguiente funcion definida en [0,1]:

g(x) = 3−x ⇒ g ′(x) = −3−x ln 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Existe un unico punto fijo, pero |g ′(x)| > 1. El teorema anterior es unacondicion suficiente, pero no necesaria.

Algoritmo de Punto Fijo

Para una aproximacion incial x0 se genera una sucesion de la forma:

xk+1 = g(xk)

Como es posible observar el lado izquierdo de la ecuacion representa unarecta y el lado derecho una funcion, que cumple con las caracterısticas queya hemos estudiado.

Si escogemos un valor inicial p0 se genera una sucesion {pn} convergenteal punto fijo p

p = lımn→∞

pn = lımn→∞

g(pn−1) = g( lımn→∞

pn−1) = g(p)

Para una aproximacion incial x0 se genera una sucesion de la forma:

xk+1 = g(xk)

Como es posible observar el lado izquierdo de la ecuacion representa unarecta y el lado derecho una funcion, que cumple con las caracterısticas queya hemos estudiado.Si escogemos un valor inicial p0 se genera una sucesion {pn} convergenteal punto fijo p

p = lımn→∞

pn = lımn→∞

g(pn−1) = g( lımn→∞

pn−1) = g(p)

p1 = g(p0) p2 = g(p1) p2 = g(p1)...p = g(p)

EJEMPLO

0.5 1 1.5 2

g(x)Retomemos el ejemplo

g(x) =√

1 + sin x ,

y grafiquemos junto a g(x) = x

Las iteraciones convergen a 1.41.

1.3571.4061.4091.411.41

EJEMPLO

0.5 1 1.5 2

g(x)Retomemos el ejemplo

g(x) =√

1 + sin x ,

y grafiquemos junto a g(x) = x

Las iteraciones convergen a 1.41.

1.3571.4061.4091.411.41

En resumen...Tal como hemos mencionado, nosotros deseamos resolver una ecuacion dela forma:

f (x) = 0

La idea es encontrar un esquema iterativo de la forma x = g(x) a partir denuestro problema de raıces f (x) = 0.

Si nuevamente retomamos el ejemplo:

g(x) =√

1 + sin(x)

La funcion f asociada sera:

f (x) =√

1 + sin(x)− x

Cuya raız es: p = 1.40962... Es decir, nuestro esquema iterativo(g(x) = x) converge a la raız de f (x) = 0!

TEOREMA

Si g(x) es diferenciable en (a, b) y |g ′(x)| < k < 1 , para todo xperteneciente al intervalo (a, b). Entonces dado un p0 en [a, b] la sucesionpn converge al unico punto fijo p.

f (x) = 0

La idea es encontrar un esquema iterativo de la forma x = g(x) a partir denuestro problema de raıces f (x) = 0.Si nuevamente retomamos el ejemplo:

g(x) =√

1 + sin(x)

f (x) =√

1 + sin(x)− x

TEOREMA

f (x) = 0

g(x) =√

1 + sin(x)

f (x) =√

1 + sin(x)− x

TEOREMA

f (x) = 0

g(x) =√

1 + sin(x)

f (x) =√

1 + sin(x)− x

TEOREMA

f (x) = 0

g(x) =√

1 + sin(x)

f (x) =√

1 + sin(x)− x

TEOREMA

Algunos Problemas y Caos

x = µx(1− x) Funcion logıstica definda en[0,1]

Figura: Diagrama de bifurcion

Video Caos

1 Introduccion

6 Punto Fijo

8 Referencias

Velocidad de Convergencia

Si xi es una sucesion convergente a α.Se dice que la sucesion es convergente a α con orden p, si existen dosnumeros positivos p y β, tales que:

lımn→∞

xn+1 − α(xn − α)p

= lımn→∞

Si el metodo converge, entonces podemos escribir:

En+1 ≈ βEpn

Convergencia de Newton-Raphson

De la definicion anterior, es posible demostrar que para el metodo deNewton-Raphson se tiene que:

lımn→∞

xn+1 − α(xn − α)2

=f ′′(ξ)

2f ′(xn)= β

De aquı se deduce que Newton-Raphson tiene orden de convergencia de, almenos, 2.Algunas consideraciones:

Si f (x) tiene una raız simple entonces el metodo de NR converge, alo menos, cuadraticamente.

Si f (x) tiene una raız multiple entonces el metodo de NR converge, alo menos, linealmente.

Comparacion de Convergencia

Biseccion:

En+1 =1

Secante:En+1 = kE 1.62

Newton-Raphson:En+1 = kE 2

Convergencia para Punto Fijo

TEOREMA

Sea g(x) una funcion de clase Cp+2 tal que para un intervalo I admite ununico punto fijo α, tal que:

gk(α) = 0, k = 1, 2, 3, ..., p − 1 y gp(α) 6= 0

Si la sucesion generada por x = g(x) converge a un punto fijo α, entonceslo hace con velocidad de convergencia de, al menos, p

EJEMPLO

Demuestre que el algoritmo:

xk+1 =xk(x2k + 3R)

3x2k + R

1 Converge a√R (Suponga que lım

n→∞xn existe).

2 Tiene orden de convergencia 3.

Convergencia para Punto Fijo

TEOREMA

Sea g(x) una funcion de clase Cp+2 tal que para un intervalo I admite ununico punto fijo α, tal que:

gk(α) = 0, k = 1, 2, 3, ..., p − 1 y gp(α) 6= 0

Si la sucesion generada por x = g(x) converge a un punto fijo α, entonceslo hace con velocidad de convergencia de, al menos, p

EJEMPLO

Demuestre que el algoritmo:

xk+1 =xk(x2k + 3R)

3x2k + R

1 Converge a√R (Suponga que lım

n→∞xn existe).

2 Tiene orden de convergencia 3.

Referencias de Estudio

J. Douglas Faires; R. Burden, Analisis Numerico. 7ma edicion.

Capıtulo 2

S.C. Chapra y R. P. Canale, Metodos Numericos para Ingenieros, McGraw Hill. 6ta edicion.

Capıtulos 5 y 6

Ecs No Lineales

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