ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE
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ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE
BNIAICHE EL Amine
ITSMAERB
Département : « Gestion & Maîtrise de l’Eau »
2013
I-GÉNÉRALITÉS:
I.1- Caractéristiques d’un canal:
Section du canal: géométrie du canal dans un plan perpendiculaire à son axe.
Tirant d’eau (y): distance de la section libre /au point le plus bas de la section du canal
Section mouillée (S): la partie de la section limitée par les parois et la surface libre
Largeur au miroir (L): largeur de S au niveau de la surface libre.
Périmètre mouillé (Pm): périmètre de la section mouillée en contact avec les parois.
Rayon hydraulique (Rh): Rh=S/Pm
Vitesse moyenne (V): V=Q/S.
Pente du canal (I): géométrie du canal dans un plan perpendiculaire à son axe.
12
12
xxZZ
I ff
Zf1 et Zf2 cotes du fond aux points 1 et 2
Zf2
Z
Fond du canal
Zf1
x2x1
Pente I
Surface libre
Section mouillée
sindxdzIpente
Z
x
Radier = Fond du canal
LRayon hydraulique : P
SRh
Exemples calcul rayon hydraulique :
y
y
si infiniment large
yLyLRh .2
.
Le rayon hydraulique est le paramètre qui permet de prendre en compte l'influence du frottement du liquide sur les parois de la canalisation.Plus il est grand plus la section de passage est grande par rapport au périmètre "frottant".La perte de charge sera d'autant plus faible, que le rayon hydraulique sera grand.
Cas d’un canal rectangulaire:
b: largeur du fond du canalB: largeur au miroirY: tirant d’eauRev: revanche: angle des talusm: coefficient de pente de talus
ymybmybyS
Section
)(
mouillée 2
ymbPmmposons
mybP
Périmètre
m
'2'
2
12
12
mouillé
ymb
mybyPSR
Rayon
mh '
2
ehydrauliqu
EXEMPLE:
Déterminons le rayon hydraulique d’un canal
trapézoïdal si la largeur du canal de fond b= 8 m,
le tirant d’eau dans le canal y= 2,5 m, le
coefficient de la pente du talus m= 1,5.
24,295,2*)5,2*5,18()( mymybS
mmybPm 02,175,115,2*2812 22
mPSRm
h 73,102,174,29
y
b
B
a
m
Rev
1
Cas d’un canal trapézoïdal:
DDP
mouilléPérimète
m 22
:
sin8
sin*8
*8
2cos*
2sin*
4*
82cos*
2sin2*
21
2*
4
:
222
222
DDD
DDRRDS
mouilléeSurface
sin14
2
sin8
: ydraulique 2
D
D
D
PSR
hRayon
mh
Cas d’un canal partiellement plein:
I.2- Charge en un point, charge moyenne et charge spécifique:
Charge en un point:
gV
gPZH MM
MM 2
2
Charge moyenne dans une section:
)(:
:2
21
21
2
22
SLlibresurfaceladeCoteZ
moyennevitesseVavecgVZH
dSg
VS
Zg
VgPZ
SH MMM
M
12,11 pratiqueengVZHm 2
2
Z
x
MZM
Z
z
M
MM
gy
gyzyzgP
M
MM
Poù d' 1cos faible très
cosP cos
;
gVyZHAinsi M
MMM 2
2
yM
Patm
Charge spécifique dans une section:C’est la charge mesurée par rapport au radier au niveau de la section d’écoulement:
gVyzHH fs 2
2
Pente I
Surface libreLigne piézométrique
Types d’écoulement:Ecoulement permanent
Ecoulement transitoireRégime
uniformeRégime
variéRégime permanent
à Q variable
Q= Cste Q= Cste Q= Q (x) Q= Q(x,t)
v= v0 v= v(x) v= v (x) V= v (x,t)
Y=Y0 Y=Y (x) Y=Y (x) Y= Y (x,t)
Types d’écoulement
Variabilité dans le tempsOn parle d'un écoulement permanent si la profondeur hydraulique et les vitesses moyennes et ponctuelles de l'écoulement du canal ne varient pas dans le temps. l'écoulement est considéré non-permanent si la profondeur hydraulique varie dans le temps
Variabilité dans l'espaceL'écoulement d'un canal est uniforme si la profondeur hydraulique et la vitesse restent invariables dans les diverses sections du canal. L'écoulement d'un canal est non-uniforme si la profondeur hydraulique et la vitesse change d'une section à l'autre du canal.
1-Ecoulement Uniforme2-Ecoulement graduellement varié3-Ecoulement rapidement varié
Déversoir
Déversoir
Seuil du déversoir
Ressauts
Ecoulement uniforme dans un canal trapézoïdal
Ecoulement uniforme dans un canal semi circulaire
Chute Écoulement au-dessous d’une vanne
Ressauts hydrauliques
Ressauts hydrauliques
Ecoulement torrentiel
Ecoulement fluvial
y1
y2
II-ECOULEMENT UNIFORME:y, S, V, Q sont constants (géométrie, pente et nature de parois constantes)
II.1- Equation du régime uniforme:Considérons 2 section de fluide 1 et 2; d’après le théorème de Bernoulli, la perte de charge unitaire entre 1 et 2 est:
dxdH
xHHj
21
gVyZ
gVZHavec f 22
22
y= et V = Cstes
dxdZ
IordxdZ
dxdH ff
ChézydeFormuele
hRCVjI 2
2
C: coefficient de Chézy (nature de paroi)
)(
3/42
2
/1aleExpérimentStricklerManningdeFormuele
hRnVjI
n: Coefficient de rugosité)
IRSn
Q h3/21
StricklerManningdeéquationltrouveonRn
C h ' ,1 remplçant en ou 6/1
Ou 3/21hRIn
V et
x
Z
x
1
2
x1 x2
Pente I
Zf
y
ZSL
Ij Equation du régime uniforme
Nature des parois n 1/n Béton lisse 0.0133 75,19 Canal en terre, enherbé 0.02 50 Rivière de plaine, large, végétation; peu dense
0.033 30,3
Rivière à berges étroites très végétalisées
0.1-0.066 10-15,15
Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30 Lit majeur en forêt < 0.1 < 10
Problèmes de calculs hydrauliques des canux trapézoïdaux:VtiquesCaractéris m, y, b, I, n, Q, :
met y b, n, I,sachant et QDéfinir :èr type 1 de Problème V
:problèmes de typesPrincipaux
Solution:
222 3,505,3*25,15,3*10 mmybyS
mmybPm 2,2125,115,3*21012 22
mPSRm
h 37,22,213,50
smISRn
IkSRQ hh /6,500002,037,2*3,50*025,011 33/23/23/2
Exemple:Déterminer Q et V dans un canal trapézoïdal, si n=0,025, I= 0,0002, m = 1,25, b= 10 m, y = 3,5 m ?
y
b
B
m1
(estimé)
(estimé)m
k k quand succesives ionsapproximatpar résolution laarrêter
k ,P S, détermineon y;ou b de valeursles simulonset I
QK calcule
met y)b(ou n, I,Q,sachant et b)(ou y Définir : typeème 2 de Problème
etROn
V
h
Exemple:Déterminer la largeur b du fond d’un canal trapézoïdal et la vitesse moyenne v de l’eau, si Q= 5,2 m3/s, n=0,025, I= 0,0006, m = 1, y = 1,2 m ?
Solution:
smIQKkSRsi
IkSRQ
h
h
/2130006,02,5 K 33/2
3/2
b (m) S (m2) Pm (m) Rh (m) Rh2/3
(m) 1/n K (m3/s)
0 1,44 3,39 0,424 0,565 40 32,5220,5 2,04 3,89 0,524 0,650 40 53,0281 2,64 4,39 0,601 0,712 40 75,189
1,5 3,24 4,89 0,662 0,760 40 98,4432 3,84 5,39 0,712 0,797 40 122,461
2,5 4,44 5,89 0,753 0,828 40 147,0353 5,04 6,39 0,788 0,853 40 172,025
3,5 5,64 6,89 0,818 0,875 40 197,3364 6,24 7,39 0,844 0,893 40 222,900
En prenant une série de valeurs de b, on calcule
, ,
et K=1/n.
On dresse les résultats dans le tableau ci-contre.
D’après les données du tableau on trouve que b
recherché est égal à 3,8 m
ymybS )( 212 mybPm m
h PSR
y
b
B
m1
22 12QS :équations 2 de systèmeUn
met n, I,, Q,sachant bet y Définir : typeème 3 de Problème
mybRSPetmyby
V
V
hm
Exemple:Déterminer les paramètres de la section liquide du canal trapézoïdal, si Q= 19,6 m3/s, n=0,025, I= 0,0007, m = 1, V = 1,30 m/s ?
Solution:
mInV
IkVRet
smIVkRIkRV
h
hh
36,1
/13,49
2/32/3
3/23/2
1,1511,15QS 222 ybyouybymybyV
1,1182,222121,11 2 ybouybmybRSPh
m
Solution du système: b= 5,5 m et y= 2,02 m
II.3- Calcul de la section économique ou optimale:
y
L
La construction d’un canal pour transporter un débit Q, avec une pente I et uncoefficient de rugosité n, coûtera d’autant moins cher que la section, S, sera optimale càd correspondant à la valeur minimale du périmètre mouillé.
Une même section mouillée peut correspondre à des périmètres mouillés différents
mP
mS
m 5,2125,0
5,015,0
1
21
mP
mS
m 25,021
5,05,01
2
22
y = 1 m
b = 0,5 m
y = 0,5 m
b = 1 m
Connaissant I et α, d’un canal trapézoïdal quelle est de toutes les sections ayant la même surface celle qui donne Qmax ? Les variables étant b et y
min.max
3/2
3/53/211'
²12
1
21
21
21
32
m
mm
mHm
H
PQP
SISIPSQoùd
PSRmybPymybS
SIRQ
y
b
B
m1
mmymymybymybm
ymyb
dydbydbdymybdb
bSdy
ySdS
mdydbdbdymdb
bPdy
yPdP
dScsteSdPPm
²122²122²12
2020
²120²120
0;0min.
²122
²12²12²12P
économique mouillé Périmètre
²12²12
2²12
économique mouilléeSection
m
2
mmy
mymmymyb
mmyymymy
ymymymyymybS
2 ²122
²12:'2 y
mmymmy
PSRoùdm
H
Exemple
Trouver les caractéristiques de la section la plus avantageuse d’un canal rectangulaire transportant un débit de 10 m3/s sous une pente de 0,0001. Le coefficient de Manning est pris égal à 0,019.
my
mIQy
yIySIRQ
yA
mmybetmmyS
yR
H
H
54,577,222b0m irerectangulaSection
77,210
10019,022
22
11
20m irerectangulaSection
²12²122
83
318
33
1
32
32
4
2
2
2
Solution
Exemple
Trouver les caractéristiques de la section la plus avantageuse d’un canal trapézoïdal (m = 2) transportant un débit de 10 m3/s sous une pente de 0,0001. Le coefficient de Manning est pris égal à 0,019.
my
mIQy
yIySIRQ
ybetyS
mmybetmmyS
yR
H
H
20,155,2252252b
55,21015
10019,0215
2
1522
11
2521522m : apézoïdaleSection tr
²12²122
83
318
33
1
32
32
4
2
2
2
Solution
III-ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE:Q = constant ; S, V et y sont fonction de x ; Pente du fond pente de la surface libre
III.1- Equation du régime :
yn yc
FLUVIAL
TORRENTIEL
yn1y
dxdHj
sff HZgVyZ
gVZH
22
22
dxdHIj
dxdH
dxdZ
dxdH ssf
BdydSdSgSQdydH
gSQy
gVyH
s
s
3
2
2
22
223
2
1gSBQ
dydH s
Equation du régime graduellement varié
jIdxdH s (1)
(2)
(1)/(2) 3
2
1gSBQjI
dxdy
Relation permettant de suivre l’évolution de la profondeur de l’eau dans le canal (y) en fonction de (x)
III.2- Profondeur normale & profondeur critique:
III.2.1- Profondeur normale (yn):
Valeur de yn pour laquelle I - j = 0. Il correspond au tirant d’eau de l’écoulement uniforme
)(3/422
2
3/42
2
ynyn RSkQ
RkVjI
III.2.2- Profondeur critique (yc):
c)(
3
2
)(3
2
y critique valeur laoù d' ;101 ycyc
s
gSBQ
gSBQ
dydH
Valeur de y pour laquelle 0dydH s
Pour Q donné, c’est la valeur de y pour laquelle Hs est minimale
Hs
y
yc
0dydH s
0dydH s
yH s
)(2
22
22 yss gS
QyHougVyH
H0et ;01
0H;10
oblique
s2
verticlae
s2
asymptote
ss
asymptote
s
yyHHS
ysi
HS
ysi
d’où on peut tirer la valeur de yn
III.2.4- Pente critique (Icr):
Valeur de la pente I pour laquelle yn = ycr.
)(3/422
2
3/42
2
crcr yhyhcr RSk
QRkVjI
crcrh
cr
yc
cr
BRkgSgSBQtConnaissan
3/42)(
cr
)(3
2
I alors
critique régimeen 1
III.2.3- Nombre de Froude (régimes d’écoulement)
Posons: 23
2
1 FdydHF
gSBQ s
TorrentielRégimeyydydHFSi
fluvialRégimeyydydHFSi
critiqueRégimeyydydHFSi
cs
cs
cs
01
01
01
EXEMPLE
Un canal rectangulaire 12 m de large débite 14 m3/s sous une profondeur de 1,22 m.
1. Quel est le régime d’écoulement dans ces conditions si le coefficient de Manning est pris égal à 0,017?
2. Calculer la pente critique de ce canal.3. Quelle pente faut il donner à ce canal pour produire un écoulement uniforme sous
une profondeur de 1,22 m?
fluvial Régime128,0
1222,181,91412
:écoulementd' Régime-1
3
2
3
2
F
gSBQF
SOLUTION
4
2
2
105,2
22,11222,1212
22,112
14017,01
:uniforme Pente-3
32
32
32
SRQISIRQh
h
3
34
2
23
2
3
223
3
2
34
2
1095,312476,0
21,681,9017,0:'
476,052,0212
21,62
52,01221,6
21,681,9141211
:critique Pente-2
c
cc
ch
c
ccccc
cc
cc
c
c
c
cc
Ioùd
myB
SR
mBSyyBS
mgQBS
gQBS
gSQBF
BR
gSI
c
cH
FLUVIAL
TORRENTIEL
RESSAUT
Longueur du ressaut :
IV-ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE:
Le ressaut hydraulique est une surélévation brusque de la surface libre d’unécoulement permanent qui se produit lors du passage du régime torrentiel au régime fluvial. Il est accompagné d’une agitation marquée et de grandes pertes d’énergie.
Les hauteurs y1 et y2 sont appelées « profondeurs conjuguées du ressaut ». La perte de charge est représentée par Δh.
1y2yh
IV.1- Définition:
Section amont du ressaut
2V2pF
2y
1y 1pF 1V
Ressaut hydraulique
P
frF(faible) 1 2Section aval du ressaut
On ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli entre la section 1 et 2. La perte decharge n’est pas connue et les formules du régime uniforme ne sont pas applicables. C’est le théorème d’Euler qui permet de résoudre le problème.En raisonnant, suivant un tube de courant en régime permanent, les forces quiagissent sur cet élément sont :
IV.2- Détermination des profondeurs conjuguées:
En écrivant le théorème de la quantité de moment: )( 12 VVQF
)( 1221 VVQFFFP frpp
En négligeant la force de pesanteur et les forces de frottement, on a :
)( 122211 VVQygSygS GG
21
212
22
21
12
2
12
22
21
12
22
21
1222
11
yyyy2:'
y1
y1
yy22
:débit lepar vitessesles remplaçons
VV22
VV22
gqyyoùd
gqqq
gqyy
gqyy
bqbyygbyyg
Soit q: débit unitaire (l/h/m)
1
211
31
2111
31
21
2
12
2
221
221
2
1222
21
21
2
21
8112
8112
8112
y
: versaou vise )f(yy extrayons
02yy2yyyy12
gyVy
gyyVy
gyqy
gqyy
gqyy
gqyy
2
22
1 8112
y rFy 2
11
2 8112
y rFy
y1 et y2 sont appelées profondeurs conjuguées du ressaut.
et
Finalement on obtient:
D’après l’expérimentation, cette longueur (m) peut être calculée à partir de la formule de Miami:
22
21
22
21
2
2122
21
21
22
2
21
22
21
2
2122
221
2
2
2122
21
2
21
22
21
21
22
2
21
1
22
2
21
121
22
112
112
112
222222
yyyy
gqyy
yyyy
gqyyh
yygqyy
ybybgQyy
SSgQyyh
gV
gVyy
gVy
gVy
gVy
gVyHHh ss
12y6L y y1
y2
2g
21V
2g
22V
Ligne de chargeH
L
IV.3- Longueur du ressaut:
IV.4- Pertes de charge d’un ressaut:
21
221
2121
2122
21
21
21
212
22
21
2
2121
21
21
212
21
41
4
22yyyy
2
yyyyyy
yyyyyyyyh
yyyy
qyyg
gqyy
yyyy
gqyyh
21
312
y4yh yy
D’où:
EXEMPLE
Un canal rectangulaire 10 m de large se compose de 3 tronçons. Le premier a une pente I1 , le deuxième a une pente I2 = 0,02 et le fond du troisième est horizontal. Le canal est en béton avec un coefficient de rugosité de Manning de 0,0133. Le débit étant de 100 m3/s.
1. Calculer la profondeur et la pente critiques de ce canal.2. Si la profondeur uniforme dans le 1er tronçon est 5 m, Quel
est le régime d’écoulement dans ce tronçon? Calculer son nombre de Froude.
3. Quel est le régime d’écoulement dans le 2ème tronçon ? Calculer son nombre de Froude.
4. Calculer la profondeur à l’aval immédiat du ressaut qui se forme dans le tronçon horizontal.
5. Schématiser la ligne d’eau dans tout le canal.
SOLUTION
2232
2
2
32
2
3
2
2
223
1
l torrentieRégime02,0et1017,2
:2 tronçon le dans Froude de nombreet Régime-3
gyByQ
ygBQ
BygQB
gSQB
F
IIII
r
cc
3
34
2
34
2
32
2
32
23
23
2
3
2
1017,21051,1
17,21081,90133,0
51,117,2210
17,21022
et
17,281,910
1001
:canaldu critiques penteet Profondeur-1
c
c
c
cc
cH
c
cc
cc
I
myB
ByyB
SRBR
gSI
mgB
QyBygBQS
gBQ
gSBQ
c
cH
28,0
51081,910010
fluvial Régime5et17,2
:1 tronçon le dans Froude de nombreet Régime-2
3
2
3
2
1
11
gSQB
F
yymymy
r
cc
mFr 94,301,38112
1,048112yy
:ressautdu immédiat avall' à Profondeur-4
222
23
l torrentieEcoulement101,304,181,9
104,110
1001
2026,02027,0)(04,104,12026,02058,0)(05,1
2026,01907,0)( 1:équation cette de itérative résolution la à Procédons
2026,02
)(
21002,0
1000133,0
22
1
211
211
211
:Strickler -Manning de formule lapar y Calculons
222
2
22
222
22
32
2
35
22
32
2
35
2
35
21
32
2
35
2
35
21
2
35
21
232
2
35
2
35
221
2
32
2
35
221
2
32
222
1
2
32
2
222
1
232
2
2
rr FgyBy
QF
yfymyyfy
yfy
yB
yyf
yB
y
yB
y
BI
QBIyB
yQ
ByIyB
SIyB
SIyB
SSIRQH
Tronçon 1Tronçon 2
Tronçon 3
y2 = 1,04 my3 = 3,94 m
yc = 2,17 m
Ecoulement fluvial Ecoulement torrentiel
Ressaut hydraulique
y1 = 5 m
5- Schéma de la ligne d’eau: