複素関数の基礎1

吉田伸生 2

z1

z2 z3

m1m2

m3

12021年 7月 26日.2[e-mail] noby@math.nagoya-u.ac.jp, [URL] http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ ˜ noby, [ツイッ

ター] @noby−noby

1

序本書は，名古屋大学理学部数理学科２年生を対象とした「複素関数論」の講義内容をもとに加筆した複素関数入門である．複素数の定義からはじめ，正則関数の基本性質 (コーシー・リーマン方程式，コーシーの定理，コーシーの積分表示，テイラー展開，一致の定理)，ローラン展開, 留数解析 (定積分計算，留数定理，偏角原理，ルーシェの定理，開写像定理)を主な内容とする．本書第一の特色として� 内容は根幹に絞り，枝葉への言及は最小限に留める．　

これは，最初に学ぶべき基本を明確に提示すると同時に, 読者の負担を最小化するためである．例えば，大学院修士課程の入試準備には，本書の内容が必要にして十分である．仮に本書の内容を超える出題がなされたなら，それは悪問であると断言する．入試問題は枝葉ではなく根幹に関わる知識・能力を問うべきだからである．一方，上で述べた「枝葉」が知的興味を喚起し，学習を動機付ける場合もある．その一部については例や問などで触れた．例えば交流回路に対するオームの法則への言及 (例 2.2.3)もそのひとつである．本書第二の特色として� 十分に一般的仮定のもとで定理を述べ，厳密に証明する．　

複素関数論の教科書で，内容を基本事項に限ったものは，定理の仮定が一般性を欠いたり，証明が厳密でなかったりするという理由で，例えば数学専攻の学生諸君を失望させかねないものもある．これに対し本書は，上記方針により，数学専攻の学生諸君の期するところにも応えた．一方で，数学は厳密論理の探求者だけのものではない．特に複素関数論には応用系を含め広い需要がある．本書でも，

� 全ての論理を辿らずとも，十分に複素関数論の世界を探索できる「近道」を随所に用意した．

例えば本書では，内容を必修部分と，より進んだ内容とに区分し，後者には (⋆)印をつけた．分かりやすい「近道」は (⋆)印つき項目を飛ばす読み方である．これ以外の近道も各所で案内する．例えば 4章冒頭の解説後半をご覧頂きたい．こうした近道により，応用系を含め，多様な目的で複素関数論を必要とする方々の需要に応えた．よく言われるように，数学の学習を登山にたとえるなら，複素関数論で学ぶ正則関数の顕著な諸性質は，長い登坂の後，木々の切れ間から思いがけず現れる絶景になぞらえることができる．本書の登山路は，可能な限り歩きやすく整備し，景色はできるだけ美しく見えるように工夫した．本書を介し，読者の方々と複素関数論の美しい世界を共に探索するのを楽しみにしている．

本書の読み方予備知識：集合や論理に関する基本的用語，学部一年生程度の微分積分学の知識を仮定する.

(⋆)印について：本書の内容を必修部分と，より進んだ内容とに区分し，後者には (⋆)

印をつけた．応用を主目的とする読者，手早く概要を知りたい読者は (⋆)印つきの項目は飛ばして読んで頂いて差し支えない．

2

証明について：証明は，できるだけ論理の流れを追いやすいように，かつ細部も丁寧に述べ，いわゆる「行間」を作らないよう努めた．さらに，多くの式変形や評価に，その根拠を式の番号などで説明した．例えばA

(1.1)= B と書いてあれば，A = Bとなる理由

を (1.1)式に求めることができることを意味する．また，「証明終わり」は，\(∧2∧)/ で

表す．「問」について： 本書には多くの練習問題（「問」）を収めた．易しいものから, 少し手ごわいものまで様々である. (⋆)印なしの問は比較的標準的, (⋆)印付きの問は,やや発展的である.

謝辞：濱田昌隆氏は本書原稿を通読の上，多数の誤植をご指摘下さいました．感謝致します．

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目 次

0 準備 60.1 論理・集合・写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 複素数 91.1 複素数・複素平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 複素数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 関数の極限と連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 べき級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 複素平面の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 初等関数 352.1 指数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 双曲・三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 偏角・対数の主値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 べき乗の主値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 (⋆)逆三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 複素微分 563.1 定義と基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 逆関数の複素微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 べき級数の複素微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 (⋆)一般二項展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 コーシー・リーマン方程式 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6 (⋆)コーシー・リーマン方程式 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 コーシーの定理 824.1 曲線に関する用語 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 複素線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 初等的コーシーの定理とその応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4 原始関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5 星形領域に対するコーシーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.6 (⋆) 命題 4.5.2の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.7 (⋆)単連結領域に対するコーシーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 正則関数の基本性質 1195.1 コーシーの積分表示とテーラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 (⋆) 定理 5.1.1証明中の補題の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3 リューヴィルの定理とその周辺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4 一致の定理とその周辺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5 正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6 (⋆)無限積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 孤立特異点 1416.1 孤立特異点と留数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2 (⋆)孤立特異点続論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.3 留数を応用した計算例 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4 留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.5 留数を応用した計算例 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.6 ローラン展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.7 偏角原理とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4

7 (⋆)留数定理の証明 1767.1 回転数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.2 命題 7.1.8の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3 定理 7.1.10の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.4 留数定理の一般化とその証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8 問の略解 189

9 メモ 2109.1 (⋆)多価関数としての偏角・対数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.2 (⋆)定理 6.6.1の証明 (留数定理を使わない方法) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.3 その他雑多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

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0 準備

(2021年 7月 26日更新)

0.1 論理・集合・写像

論理・集合・写像に関する若干の用語・記号について簡単に説明する.

定義 0.1.1 (論理記号) 命題 P , Qに対し▶ P =⇒ Q は「P が成立するならQも成立する」を意味し，Q⇐= P も同義である.

▶ P ⇐⇒ Qは「P =⇒ Qかつ P ⇐= Q」を意味する.

▶ ∀は「全ての」を意味する. 例えば, ∀x, ...は「全ての xに対し ... が成立する」を意味する.

▶ ∃は「存在する」を意味する. 例えば, ∃x, .... は「.... を満たす xが存在する」を意味する.

▶ ∃1 は「唯一つ存在する」を意味する. 例えば, ∃1x, ....は「.... を満たす xが唯一つ存在する」を意味する.

なお, しばしば次の記号も用いる：▶ P

def.⇐⇒ Q は「P という新たな記号, 或いは概念をQ によって定義する」を意味し，P

def.= Q も同義である.

注：数学の命題を記述する際, ∀, ∃, ∃1 等の論理記号は, 言葉よりも簡潔なため，本書でもよく用いる．音楽を本格的に学ぶためには，音符の読み書きが不可欠であるように，数学を学ぶためには，論理記号の読み書きが不可欠である．

定義 0.1.2 (集合とその演算) 集合とその演算に関しては，高校の教科書とほぼ同じ記号を用いる，例えば▶ 集合X,Y に対し集合X ∪ Y , X ∩ Y , X\Y を以下のように定める：

X ∪ Y = {z ; z ∈ X または z ∈ Y }, X ∩ Y = {z ; z ∈ X かつ z ∈ Y },

X\Y = {z ; z ∈ X かつ z 6∈ Y }.

また，空集合は ∅と記す．

定義 0.1.3 (写像) X,Y を集合とする.

▶ ある規則 f により, 任意の x ∈ Xに対し Y の元 f(x)がひとつ定まるとき, この規則f をXから Y への写像 という. f がXから Y への写像であることを次のように記す：

f : X → Y.

また, xに f(x) が対応することを次のように記す（矢印の左端に短い縦線がある）：

x 7→ f(x).

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▶ 写像 f : X −→ Y , A ⊂ Xに対し, 次の f(A) ⊂ Y を，f によるAの像と呼ぶ：

f(A)def= {f(x) ; x ∈ A}. (0.1)

また，B ⊂ Y に対し, 次の f−1(B) ⊂ Xを，f によるBの逆像と呼ぶ：

f−1(B)def= {x ∈ X ; f(x) ∈ B}. (0.2)

▶ f(X) = Y なら f は全射 であると言う (下記 (0.4)参照):

▶ 次が成立するとき，f は単射，または一対一であると言う:

x, x′ ∈ X, f(x) = f(x′) =⇒ x = x′.

▶ f が全射かつ単射なら f は全単射 であると言う (下記 (0.5)参照):

▶ f が単射, y ∈ f(X)なら y = f(x) をみたす x ∈ X が唯一存在する．このとき，x = f−1(y)と記し, 次の写像を f の逆写像と呼ぶ.：

f−1 : f(X) −→ X (y 7→ f−1(y)).

▶ Zを集合, g : Y −→ Z を写像とする. 次の写像を f と gの合成と呼び, g ◦ f と記す：

g ◦ f : X −→ Z (x 7→ g(f(x))).

注: 上記 f(A)の定義 (0.1)より，

y ∈ f(A) ⇐⇒ ∃x ∈ A, y = f(x). (0.3)

従って,

f が全射 ⇐⇒ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x), (0.4)

f が全単射 ⇐⇒ ∀y ∈ Y, ∃1x ∈ X, y = f(x). (0.5)

例 0.1.4 (a) X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2},

f(x1) = y1, f(x2) = f(x3) = y2

と定めれば, f : X → Y は全射だが単射でない.

(b) X = {x1, x2}, Y = {y1, y2, y3},

f(x1) = y1, f(x2) = y2

と定めれば, f : X → Y は単射だが全射でない.

(c) X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3},

f(xj) = yj, j = 1, 2, 3

と定めれば, f : X → Y は全単射である. また, f の逆写像は:

f−1(yj) = xj, j = 1, 2, 3.

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定義 0.1.5 （直積）▶ dを正整数, A1, ..., Adを集合とする. A1, ..., Adから, この順序で要素 aj ∈ Aj (j =

1, .., d) を取り出して並べたもの全体の集合:

A1 × · · · × Addef= {(aj)dj=1 ; aj ∈ Aj, j = 1, ..., d} (0.6)

をA1, ..., Adの直積と呼ぶ. 上記 aj を第 j座標あるいは第 j成分と呼ぶ. 特に Aj = A

(j = 1, ..., d)の場合の直積はAdとも書く:

Ad def= {(aj)dj=1 ; aj ∈ A, j = 1, ..., d}. (0.7)

定義 0.1.6 （同値関係・同値類）集合Aに対し, 2AをAの部分集合全体を要素とする集合，C ⊂ 2Aとする．C が次の二条件をみたすとき，C を Aの非交差分解 と言う．(i) C1 6= C2 =⇒ C1 ∩ C2 = ∅, かつ (ii) A =

⋃C∈C C. C を Aの非交差分解とし，

(a, b)　 ∈ A×Aに対し，あるC ∈ C が存在し a, b ∈ Cとなることを，記号 a ∼ bで表すことにする．このとき，任意の a, b, c ∈ Aに対し，(i) a ∼ a, (ii) a ∼ b ⇐⇒ b ∼ a,

(iii) a ∼ b, b ∼ c =⇒ a ∼ c. 一般に，(a, b) ∈ A × Aに関する命題 a ∼ bが上の三条件をみたすとき，この命題は集合Aに同値関係 を定めると言う. 集合Aに同値関係a ∼ bが与えられたとき，各 a ∈ Aに対し次のCa ⊂ Aを，aを含む同値類 と言う．

Ca = {x ∈ A ; a ∼ x}.

容易に分かるように，(i) Ca 6= Cb =⇒ Ca ∩Cb = ∅, かつ (ii) A =⋃

a∈A Ca．したがって，Ca (a ∈ A)のうち相異なるもの全体はAの非交差分解を与える．

定義 0.1.7 ▶ 実数全体の集合を Rで表し, Rの部分集合 N, Z, Q を以下のように定める：

N = {0, 1, 2, ...}, (自然数全体)

Z = {a− b ; a, b ∈ N}, (整数全体)

Q = {a/b ; a ∈ Z, b ∈ N, b 6= 0}. (有理数全体)

注：自然数Nを {1, 2, ..}とする流儀もあるが，本書では 0も含める．

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1 複素数

(2021年 7月 26日更新)

本章ではハミルトンの流儀による複素数の導入 (定義 1.1.1) を手始めに，複素数の演算・絶対値に関する基本性質，複素数列，さらに複素関数の極限，連続性へと話を進める．複素数の演算・絶対値は実数の場合の自然な拡張なので本章で述べる事柄の多くが実数，実数列，実変数関数の場合と同様な形で成立する．

1.1 複素数・複素平面

複素数とは,

i2 = −1 (1.1)

をみたす実数でない「数」iを用い次のように表される「数」全体である:

z = x+ iy (x, y は実数). (1.2)

これはおなじみの複素数の導入方法である．一方，著者は高校生の頃，この説明に釈然としなかった．条件 (1.1)をみたす「数」というが，その正体不明の概念に困惑した上に，そんな「数」が本当に存在するのかさえ当時の筆者には不明だった．その後，その疑問を自分なりに解決することもないまま大学に進み，次に述べるハミルトン による複素数の定義 (定義 1.1.1)に出会った時は溜飲の下がる思いがした．後に知ったところによると，似た経験を持つ方は少なくないようだ．さて，早速そのハミルトンによる定義を述べよう．なお，虚数単位を i と書くのはオイラー以来の伝統だが，本書では 添字などに使う iと紛れないように太字 iで記す．定義 1.1.1 （複素数）▶ i

def= (0, 1) ∈ R2とし，R2の元 z = (x, y)を記号 (1.2) で書くとき，これを複素数と

呼び，複素数全体をCと記す．(1.2)のように表示された z ∈ Cに対し，以下の記号・用語を定める：

Re zdef= x, Im z

def= y (zの実部 ・虚部), (1.3)

zdef= x− iy (zの共役), (1.4)

|z| def=

√x2 + y2, (zの長さ). (1.5)

▶ 次の集合をそれぞれ実軸, 虚軸 と呼ぶ.

{x+ i0 ; x ∈ R}, {0 + iy ; y ∈ R}

実軸上の点 x + i0と実数 xを同一視しR ⊂ Cと見做す. これに伴い，x + i0は xと記す．また，0 + iyは iyと書く.

▶ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈ Cに対し, それらの加減乗除を以下のように定める：

z1 ± z2def= (x1 ± x2) + i(y1 ± y2), (複号同順), (1.6)

z1z2def= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

z1z2

def=

z1z2|z2|2

, (1.7)

9

ただし商 z1z2は z2 6= 0の場合に限り定義する．

③

❘�③

■✁③

注：定義 1.1.1のもとでは (1.1)は天下り的に与えられるのではなく，定義の帰結である．実際，(1.7)における積の定義を z1 = z2 = iの場合に適用すれば (1.1)を得る．一方，演算 (1.6)–(1.7)で，特に y1 = y2 = 0の場合は，実数 x1, x1に対する通常の加減乗除に他ならない．複素数の長さ (1.5)，および加減法 (1.6)は平面R2において通常定義されるものをそのまま受け継いでいる．したがって，平面R2に関する幾何学的性質をそのまま複素数の性質として用いることができる．例えば，z, w ∈ Cに対し，z, w, z+wは三角形をなすので，

|z + w| ≤ |z|+ |w|, (三角不等式) (1.8)

特に，z ∈ C,およびRe z, Im zは zを斜辺とする直角三角形をなすので，

|Re z|| Im z|

}≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|. (1.9)

積の定義 (1.7)は次のように幾何学的に解釈することもできる．zj ∈ C (j = 1, 2)をzj = rj cos θj + irj sin θj (rj ≥ 0, θj ∈ R)と表すと,三角関数の加法定理より，

z1z2(1.7)= r1r2(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + ir1r2(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)

= r1r2 cos(θ1 + θ2) + ir1r2 sin(θ1 + θ2).

よって，積の定義 (1.7)は r1, r2については掛け算，θ1, θ2については足し算することになる．

複素数の実部, 虚部, 共役，絶対値の性質について，今後特に頻繁に用いる性質をまとめておこう．

命題 1.1.2 z, w ∈ Cに対し,

|z|2 = zz, (1.10)

Re z =z + z

2, Im z =

z − z

2i, (1.11)

z + w = z + w, zw = z w, (1.12)

|zw| = |z||w|, (1.13)

また，z 6= 0なら,

1/z = 1/z, |1/z| = 1/|z|. (1.14)

10

証明：単純計算なので省略する． \(∧2∧)/

複素数の四則演算や絶対値の性質は，実数の場合の自然な拡張である．ゆえに次の例で述べるように実数の場合と同様な等式・不等式が複素数の場合にも成り立つ例は多い．例 1.1.3 z, w ∈ C, n = 1, 2, .. とするとき，

zn − wn = (z − w)n−1∑k=0

zkwn−1−k, (1.15)

(z + w)n =n∑

k=0

(nk

)zkwn−k. (1.16)

また，|z|, |w| ≤ rなら,

|zn − wn| ≤ nrn−1|z − w|. (1.17)

証明：実数の場合と同様である． \(∧2∧)/

Cの部分集合に対しても，有界性の概念が自然に定義される：命題 1.1.4 (有界性) A ⊂ Cに対し以下の命題は同値である：(a) {Re z ; z ∈ A}, {Im z ; z ∈ A}が共に有界．

(b) {|z| ; z ∈ A}が有界．

(c) {|z − w| ; z, w ∈ A}が有界．上記 (a)–(c)のいずれか（従って全て）が成立するときAは有界であると言う.

証明：(a) ⇔ (b): (1.9)による．(b) ⇒ (c): |z − w|

(1.8)

≤ |z|+ |w|による．(b) ⇐ (c): M を {|z − w| ; z, w ∈ A}の上界とする．一点 a ∈ Aをひとつ固定すると任意の z ∈ Aに対し，|z|

(1.8)

≤ |z − a|+ |a| ≤M + |a| <∞. \(∧2∧)/

注：集合A ⊂ Cに対し, その直径を次のように定める：diam(A)

def= sup

z,w∈A|z − w|. (1.18)

命題 1.1.4よりAの有界性と diam(A) <∞は同値である.

問 1.1.1 z, w ∈ Cに対し以下を示せ．Re z = Re z, Im z = − Im z, (1.19)

Re(zw) = Re(zw), Im(zw) = − Im(zw), (1.20)

Re(iz) = − Im z, Im(iz) = Re z, (1.21)

|z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2, (1.22)

|z + iw|2 = |z|2 + 2 Im(zw) + |w|2, (1.23)

||z|+ z| =√

2|z|(|z|+Re z). (1.24)

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問 1.1.2 z ∈ C, p ∈ [1,∞)に対し次を示せ: 21−p|z| ≤ |Re z|p + | Im z|p ≤ 2|z|p.

問 1.1.3 以下を示せ．i) a1, a2 ∈ R, a = a1 + a2i 6= 0, r ∈ [0,∞)とするとき，

a1Re z + a2 Im z = r/2 ⇐⇒ az + az = r. (1.25)

ii) a ∈ C, r ∈ (0,∞)とするとき，

|z − a| = r ⇐⇒ |z|2 − az − az + |a|2 = r2. (1.26)

iii)方程式 (1.25)が表す直線をL(a, r)，また方程式 (1.26)が表す円周をC(a, r)と記す.

このとき，c ∈ C\{0}, f : z 7→ cz (C→ C) に対し

f(L(a, r)) = L(ca, |c|2r), f(C(a, r)) = L(ca, |c|r).

また，g : z 7→ 1/z (C\{0} → C\{0}) に対し

g(L(a, r)\{0}) =

{C(a

r, |a|

r)\{0}, r > 0なら,

L(a, 0)\{0}, r = 0なら.

g(C(a, r)\{0}) =

C( a

|a|2−r2, r|a|2−r2

), |a| > rなら,

L(a, 1), |a| = rなら,

C( −ar2−|a|2 ,

rr2−|a|2 ), |a| < rなら.

問 1.1.4 a, b, c, d, z ∈ C, ad 6= bc, cz+ d 6= 0, f(z)def= (az+ b)/(cz+ d)とする．f(z)を

一次分数変換，またはメビウス変換 と言う．以下を示せ．i) c = 0 (したがって ad 6= 0)

なら, 任意の z ∈ Cに対し f(z) = (az + b)/d. したがって f は Cから Cへの全単射である．また f により直線は直線に，円周は円周に写される．ii) c 6= 0なら, 任意のz ∈ C\{−d/c}に対し

f(z) =1

c

(a− ad− bc

cz + d

).

したがって f はC\{−d/c}からC\{a/c}への全単射である．また f によりC\{−d/c}における直線または円周は，C\{a/c}における直線または円周に写される．

補足：複素数の歴史について3．1545年，イタリアの数学者カルダーノは著書「偉大なる術 (アルス・マグナ)」において，従来「解なし」とされてきた代数方程式の解が，負の実数の平方根を用いて表されることを指摘した．これが数学史上，複素数の登場とされている．その後，例えばデカルト, オイラー もそれぞれの研究に複素数を用い, その中でデカルトは「虚」(imaginary)

という言葉を，オイラーは記号 i をもたらした．「複素数」(独：Komplex Zahl)という呼び名はずっと後にガウス により命名された (1831)．複素数を平面上の点として表す考え方は，数学を独学したノルウェーの測量技師ヴェッセル が最初に提唱した (1799). この提唱は長い年月と紆余曲折を経た後，ガウスによる再発見 (1831)を通じ, ようやく広く世に知られた．現在，複素平面はガウス平面とも呼ばれる．

3出典はウィキペディアなど雑多．

12

1.2 複素数列

数列とその収束の概念は次のような自然な形で複素数に一般化される：

定義 1.2.1 （複素数列の収束・有界性）▶ NからCへの写像 n 7→ anを複素数列 と呼ぶ. 実数列の場合同様, 複素数列を次のように記す：

(an)∞n=0, (an)n≥0, あるいは単に an.

▶ a ∈ C, および複素数列 anに対し,

anは aに収束する def⇐⇒ limn→∞

|an − a| = 0.

またこのとき，実数列の場合と同様に次のように記す：

limn→∞

an = a, an −→ a, または ann→∞−→ a.

▶ 集合 {an ; n ∈ N}が有界なら点列 anは有界と言う.

注：複素数列を複素点列 と呼ぶこともある．複素数列，複素点列を単に「数列」，「点列」と略して呼ぶこともある．また，anの定義域はN全体でなく,適当な n0 = 1, 2, ..

に対しN ∩ [n0,∞)を定義域とすることもある.

例 1.2.2 z ∈ C に対し |z| < 1 なら zn −→ 0. 実際, |zn| = |z|n −→ 0.

以後, a, b ∈ C, an, bn を複素数列とする.

まず次に述べるように, 複素数列の収束 (有界性)は実部・虚部が共に収束する (有界である)ことと同値である．

命題 1.2.3

an → a ⇐⇒ Re an → Re a かつ Im an → Im a ⇐⇒ an → a. (1.27)

anが有界 ⇐⇒ Re an, Im an が共に有界 (1.28)

証明: (1.9)より,

|Re z|| Im z|

}≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|.

上式で z = an − aとして (1.27), また，z = anとして (1.28)を得る． \(∧2∧)/

系 1.2.4 (収束列は有界) 収束する複素数列は有界である.

証明：命題 1.2.3より,実数列の場合 [吉田 1, p.28,命題 3.2.4] に帰着する． \(∧2∧)/

13

命題 1.2.5 (演算の連続性) an −→ a, bn −→ bとするとき,

an + bn −→ a+ b, anbn −→ ab.

特に bn 6= 0, b 6= 0 を仮定すると，

an/bn −→ a/b.

証明: 実数列の場合の証明 [吉田 1, p.29,命題 3.2.5] をCの絶対値を用いて繰り返せばよい. \(∧2

∧)/

問 1.2.1 z ∈ C, n ∈ Nに対し, (1− z)∏n

j=1(1 + z2j−1

) = 1− z2n, 更に |z| < 1のとき,∏n

j=1(1 + z2j−1

)n→∞−→ 1/(1− z)を示せ.

1.3 関数の極限と連続性

複素関数，すなわち複素変数の複素数値関数の極限と連続性について述べる．定義，性質ともに実変数関数の場合と全く同じであるが，用語の確認のため一通り説明する．

定義 1.3.1 （関数の極限）A ⊂ D ⊂ C, f : D −→ C, a, ℓ ∈ Cとする．▶ 次の条件が成り立てば，f は点 aでAからの極限 ℓを持つと言う：

A内の点列 anに対し an → aなら f(an)→ ℓ.

また，このことを次のように記す：

limz→az∈A

f(z) = ℓ あるいは f(z)z→az∈A−→ ℓ.

特にA = Dなら f は点 a で極限 ℓを持つと言い, 次のように記す：

limz→a

f(z) = ℓ あるいは f(z)z→a−→ ℓ.

命題 1.3.2 (演算の連続性) A ⊂ D ⊂ C, a, ℓ1, ℓ2 ∈ C,

fi : D −→ C, fi(z)z→az∈A−→ ℓi, (i = 1, 2)

とする.このとき，

f1(z) + f2(z)z→az∈A−→ ℓ1 + ℓ2 (1.29)

f1(z)f2(z)z→az∈A−→ ℓ1ℓ2 (1.30)

特に，ℓ1 6= 0かつ全ての z ∈ Aに対し f1(z) 6= 0なら1

f1(z)

z→az∈A−→ 1

ℓ1. (1.31)

14

証明: A 内の点列 anであり an → a なるものを任意にとる. このとき, 点列 fi(an),

f(an) を考えることにより, 示すべきことは点列に関する命題（命題 1.2.5）に帰着する. \(∧2

∧)/

命題 1.3.3 (合成関数の極限) 記号は定義 1.3.1の通りとし，更に以下を仮定する：

(a) f(z)z→az∈A−→ ℓ

(b) g : f(D) −→ C, g(y) y→ℓ−→ ℓ′ ∈ C.

このとき,

g ◦ f(z)z→az∈A−→ ℓ′.

証明: A内の点列 anであり an → aなるものを任意にとる. このとき, 仮定 (a) よりf(an) −→ ℓ. 従って仮定 (b) より g ◦ f(an) −→ ℓ′. \(∧2

∧)/

a ∈ C に対し，

D(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| < r}, r ∈ (0,∞], (1.32)

D(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| ≤ r}, r ∈ [0,∞). (1.33)

D(a, r)を開円板, D(a, r)を閉円板, また，aを中心, rを半径と呼ぶ．半径∞の開円板は全複素平面，また半径 0の閉円板は中心のみからなる一点集合である．収束点列は有界だった (命題 1.2.3). 関数の極限の場合, これに対応するのが次の事実である：

命題 1.3.4 記号は定義 1.3.1の通り, f(z)z→az∈A−→ ℓ ∈ Cとする．このとき，ある r ∈ (0,∞)

が存在し，f はA ∩D(a, r)の上で有界となる.

証明：背理法による．結論を否定すると，任意の n = 1, 2, ..に対し, f はA∩D(a, 1/n)

上で非有界である．従って次のような点列 anが存在する：

an ∈ A, |a− an| < 1/n, |f(an)| ≥ n.

この an ∈ Aについて，an → aかつ f(an) 6−→ ℓ. これは仮定に反する． \(∧2∧)/

定義 1.3.5 (関数の連続性) D ⊂ C, f : D −→ Cとする.

▶ a ∈ Dに対し次が成り立つなら, f は点 aで連続であると言う.

f(z)z→a−→ f(a). (1.34)

▶ f が全ての a ∈ Dで連続なら f はD で連続という. 特に Dのとり方が了解ずみの場合は, 単に連続とも言う.

▶ Dを定義域とする複素数値関数でD上連続なもの全体の集合を C(D), あるいはより正確にC(D → C)と記す.

15

注：(1.34)は次のように言い換えることができる (定義 1.3.1 参照).

D内の点列 anに対し, an → aなら f(an)→ f(a).

命題 1.3.6 a ∈ D ⊂ Cとする.

(a) fi : D → C (i = 1, 2)がともに aで連続なら, f1 + f2, f1f2も aで連続である．

(b) (合成関数の連続性) f : D −→ C,g : f(D) −→ Cとする. このとき, f が aで連続,

かつ gが f(a)で連続なら g ◦ f は aで連続である．

証明: (a)は 命題 1.3.2, (b) は 命題 1.3.3 に帰着する. \(∧2∧)/

例 1.3.7 (有理式)

▶ n ∈ N, c ∈ C とする. 次の形に表せる関数 f : C −→ Cを単項式と呼ぶ：

f(z) = czn.

更に, 単項式の有限和で表される関数を多項式と呼ぶ.

▶ 多項式 f, gに対しD = {z ∈ C ; g(z) 6= 0}を定義域とする関数:

h(z) = f(z)/g(z)

を有理式と呼ぶ. このとき, h ∈ C(D → C).

証明: 命題 1.3.6(a)を繰り返し用いることにより,多項式,有理式の連続性を得る. \(∧2∧)/

定義 1.3.8 D ⊂ C に対し fn : D → C (n ∈ N) は全て有界とする．次が成立するとき，fn (n ≥ 1) は f0 に D 上一様収束 するという：

supz∈D|fn(z)− f0(z)|

n→∞−→ 0.

命題 1.3.9 D ⊂ C に対し, f0 : D → C は有界，fn : D → C (n ∈ N\{0}) は全て有界かつ連続とする．fn (n ≥ 1) が f0 に D 上一様収束すれば，f0 は連続である．

証明: z, zm ∈ D, zm → z, gn(z) = fn(z)− f0(z), δn = supz∈D |gn(z)|とする. このとき，f(z) = fn(z) + gn(z) より，

1)

{|f(z)− f(zm)| ≤ |fn(z)− fn(zm)|+ |gn(z)− gn(zm)|

≤ |fn(z)− fn(zm)|+ 2δn.

今，ε > 0を任意とする．δn → 0より，δn < ε/4なる nをとれる．この nに対し fnは連続である．ゆえに，

2) ∃m0 ∈ N, ∀m ≥ m0, |fn(z)− fn(zm)| < ε/2.

16

以上から，m ≥ m0なら，

|f(z)− f(zm)|1),2)

≤ ε/2 + 2 · ε/4 = ε.

したがって，|f(z)− f(zm)|m→∞−→ 0. \(∧2

∧)/

問 1.3.1 連続関数 f : C→ Rに対し次の命題 a),b)は同値であることを示せ．a) あるr > 0および a ∈ D(0, r)に対し，inf |z|>r f(z) ≥ f(a). b) f は最小値を持つ．

問 1.3.2 a0, ..., am ∈ C (am 6= 0)とし，複素多項式 f(z) = a0+a1z+ ...+amzm (z ∈ C)

に対し以下を示せ．i) |z| → ∞なら |f(z)| → ∞．ii) |f |は最小値を持つ．

問 1.3.3 S2 = {(X,Y, Z) ∈ R3 ; X2 + Y 2 + Z2 = 1}, N = (0, 0, 1)とする．次式が定める写像 s : C→ S2\{N} を立体射影 という：

s(z) =1

|z|2 + 1

(2Re z, 2 Im z, |z|2 − 1

).

複素平面 C を {(X,Y, 0) ; X,Y ∈ R} ⊂ R3 と同一視するとき，z と N を結ぶ線分と S2\{N}の交点が s(z)である．以下を示せ．i) 立体射影は全単射であり，逆写像はs−1(X,Y, Z) = X+iY

1−Z. ii) z →∞ ⇔ s(z)→ N．

z

s(z)

N

1.4 級数

本節では複素数列を一般項とする級数について述べる．ここでも多くの事柄が実数列を一般項とする級数と同様である.

定義 1.4.1 an ∈ C (n ∈ N)とする.

17

▶ 次の形の数列Anを, anを一般項とする級数, あるいは anの部分和と呼ぶ：

An =n∑

j=0

aj. (1.35)

▶ (1.35)に対し次の極限が存在すればAを級数の和と呼ぶ：

A = limn→∞

An. (1.36)

また，Aを次のように記す：∞∑n=0

an. (1.37)

Anが収束するとき，級数Anは収束すると言う．一方 anが実数値かつAnが発散するとき，級数Anは発散すると言う.

注 1：「級数」は本来数列 (1.35)の呼び名であり，その極限 (1.37)と区別すべきだが，級数自体を記号 (1.37)でし, 例えば「級数Anが収束 (発散)する」という意味で「級数∑∞

n=0 anが収束 (発散)する」と言う語法が習慣化している．言葉の乱用と言えなくもない一方，部分和に対し改めて記号を用意する必要もなく簡潔な語法である．本書でも，この語法に従うことにする．注 2：数列 anに対し, anを一般項とする級数も数列である. 一方, 任意の数列 anはan = a0 +

∑nj=1(aj − aj−1) と書くことで, 級数として表示される. この意味では, 「数

列 」と「級数」は同じものに対する別の見方とも言える.

最初に簡単な一般論をいくつか述べる．まず，命題 1.2.3の特別な場合として次が成立する．

命題 1.4.2 複素数列 anに対し次の級数を考える．

Adef=

∞∑n=0

an, Rdef=

∞∑n=0

Re an, Idef=

∞∑n=0

Im an, Cdef=

∞∑n=0

an

このとき，

Aが収束 ⇐⇒ R, Iが共に収束 ⇐⇒ Cが収束 (1.38)

=⇒ A = R + iI, A = C. (1.39)

また，演算の連続性（命題 1.2.5）から次の命題を得る．

命題 1.4.3 (線形性) 複素数列 an, bnに対し級数A =∞∑n=0

an, B =∞∑n=0

bnの収束を仮定する．このとき，c1, c2 ∈ Cに対し

∞∑n=0

(c1an + c2bn)が収束し= c1A+ c2B. (1.40)

18

命題 1.4.4 (収束級数の必要条件) 複素数列 anに対し級数A =∞∑n=0

anの収束を仮定する．このとき,

pn ∈ N, qn ∈ N ∪ {∞}, pn ≤ qn, n = 0, 1, 2, ..., pn −→∞

なら,qn∑

j=pn

ajn→∞−→ 0. (1.41)

特に, pn = qn = n, 及び pn = n, qn ≡ ∞ の場合の (1.41)より，

an −→ 0,∞∑j=n

ajn→∞−→ 0. (1.42)

証明：n =∞の場合も含めAn =∑n

j=0 ajと書くと，Apn−1 −→ A∞, Aqn −→ A∞より,

qn∑j=pn

aj = Aqn − Apn−1 −→ A∞ − A∞ = 0.

\(∧2∧)/

級数のうち，一般項が非負のもの（非負項級数）は基本的である．この場合は∞を許す極限は常に存在する．

命題 1.4.5 (非負項級数の収束と有界性は同値) 級数 A =∞∑n=0

anにおいて an ∈ [0,∞)

なら，Aは収束する (A ∈ [0,∞))か，∞に発散する (A =∞)かのどちらかである．さらに，

Aが収束する ⇐⇒ 部分和AN =N∑

n=0

an (N ∈ N) が有界.

証明： [吉田 1, p.67, 定理 5.1.4] 参照 \(∧2∧)/

命題 1.4.6 (三角不等式) 複素数列 anに対し級数A =∞∑n=0

anの収束を仮定する．このとき，

|A| ≤∞∑n=0

|an|. (1.43)

(命題 1.4.5より, 上式右辺の級数の値は [0,∞]内に確定する)

証明：有限和に対し， ∣∣∣∣∣N∑

n=0

an

∣∣∣∣∣ ≤N∑

n=0

|an|.

N ↗∞ の極限をとると, 極限が順序を保つことから結論を得る. \(∧2∧)/

級数の収束は，次のように絶対収束と条件収束に分類される．

19

定義 1.4.7 (絶対収束・条件収束) 複素数列 anに対し，級数 Adef=

∞∑n=0

an, A′ def=

∞∑n=0

|an|

を考える．▶ A′ <∞ ならAは絶対収束するという. 次に述べる命題 1.4.8より, 絶対収束する級数は収束する.

▶ Aが収束し, かつA′ =∞ ならA は条件収束 すると言う．

命題 1.4.8 (絶対収束⇒収束) m ∈ N, an ∈ C, bn ≥ 0, |an| ≤ bn (n ≥ m)とし，次の級数を考える．

Adef=

∞∑n=0

an, A′ def=

∞∑n=0

|an|, Bdef=

∞∑n=0

bn.

このとき，

(a) B <∞ =⇒ A, A′ はともに収束する．

(b) A′ <∞ =⇒ Aは収束する.

証明：(a) (i) anが実数値の場合: a±ndef= (|an| ± an)/2 ≥ 0に対し，

n∑j=m

a±j ≤n∑

j=m

|aj| ≤n∑

j=m

|bj| ≤∞∑

j=m

|bj| <∞.

従って,n∑

j=0

a±j =m−1∑j=0

a±j +n∑

j=m

a±j

は有界である．非負項級数の収束と有界性は同値 (命題 1.4.5)だから，

(1)∞∑n=0

a±n は収束する．

また，

(2) an = a+n − a−n , 　 |an| = a+n + a−n .

(1)–(2)と命題 1.4.3より∑∞n=0 an,

∑∞n=0 |an|は収束する．

(ii) anが複素数値の場合: Re an, Im an, |an|は実数値,

|Re an|| Im an|

}≤ |an| ≤ bn.

以上と (i)より∞∑n=0

Re an,∞∑n=0

Im an

∞∑n=0

|an|

が収束する．これと命題 1.4.2より∑∞n=0 an,

∑∞n=0 |an|はともに収束する．

(b): (a) の特別な場合 (bn = |an|)である. \(∧2∧)/

20

例 1.4.9 (指数級数) z ∈ Cに対し,∞∑n=0

znは |z| < 1なら絶対収束し 1/(1 − z)に等しい．また |z| ≥ 1なら収束しない.

証明：1− zn

(1.15)= (1− z)

n−1∑j=0

zj.

|z| < 1のとき，上式と zn → 0（例 1.2.2）より∑∞n=0 z

n = 1/(1− z). また，zを |z|に置き換えて∑∞

n=0 |z|n = 1/(1− |z|) <∞. |z| ≥ 1のとき，|zn| = |z|n ≥ 1. よって命題1.4.4の条件が満たされず，収束しない． \(∧2

∧)/

例 1.4.10 a) Spdef=

∞∑n=1

1

npは 0 ≤ p ≤ 1なら∞に発散し，p > 1なら収束する．

b) Apdef=

∞∑n=1

(−1)n−1

npは 0 < p ≤ 1なら条件収束，p > 1なら絶対収束する．

証明：a): 0 ≤ p ≤ 1のとき， 1np ≥ 1

nより S1 =∞を言えればよい．ところが，

S1 ≥n∑

j=1

1

j≥

n∑j=1

∫ j+1

j

dx

x=

n∑j=1

(log(j + 1)− log j) = log(n+ 1).

n→∞とし，S1 =∞を得る．p > 1のとき,

n∑j=2

1

jp≤

n∑j=2

∫ j

j−1

dx

xp=

∫ n

1

dx

xp<

1

p− 1.

上式左辺が有界であることと命題 1.4.5より Sp <∞.

b): 0 < p ≤ 1に対する条件収束は a)および交代級数の収束定理 ([吉田 1, p.73, 命題5.3.5])による．p > 1に対する絶対収束は a)による． \(∧2

∧)/

次の一般論は，等式 (2.2), 補題 5.5.1の証明に応用される：

命題 1.4.11 (級数の積) an, bn ∈ C, cndef=∑n

j=0 ajbn−jに対し以下の級数を考える:

A =∞∑n=0

an, B =∞∑n=0

bn, C =∞∑n=0

cn

このとき，A,Bがともに絶対収束すればCも絶対収束し，C = ABが成立する．

証明: jn = bn2c, kn = n− jnと定めると jn →∞, kn →∞.

δndef=

n∑ℓ=0

cℓ −jn∑j=0

aj

kn∑k=0

bk =∑j,k≥0j+k≤n

ajbk −jn∑j=0

aj

kn∑k=0

bk︸ ︷︷ ︸(1)

とし，δn → 0 を言う．j + k ≤ n をみたす j, k ≥ 0 を次のように三分割する：

21

(1)

(3)

(2)

jn

kn

j

k

(1) j ≤ jn, k ≤ kn,

(2) jn < j,

(3) j ≤ jn, kn < k.

このとき，

δn =n∑

j=jn+1

aj

n−j∑k=0

bk︸ ︷︷ ︸(2)

+

jn∑j=0

aj

n−j∑k=kn+1

bk︸ ︷︷ ︸(3)

.

上式で，

|(2)| ≤n∑

j=jn+1

|aj|n−j∑k=0

|bk| ≤n∑

j=jn+1

|aj|∞∑k=0

|bk|命題 1.4.4−→ 0,

|(3)| ≤jn∑j=0

|aj|n−j∑

k=kn+1

|bk| ≤∞∑j=0

|aj|n∑

k=kn+1

|bk|命題 1.4.4−→ 0.

以上より δn → 0．したがって，(4) Cが収束し，C = AB.

今，an, bnのかわりに |an|, |bn|に対し (4)を適用すると,

∞∑n=0

(n∑

j=0

|aj||bn−j|

)=

(∞∑n=0

|an|

)(∞∑n=0

|bn|

)<∞.

|cn| ≤∑n

j=0 |aj||bn−j|と上式からCの絶対収束を得る． \(∧2∧)/

問 1.4.1 数列 an, bn ∈ Cが anbn → 0をみたし，級数：s =∑∞

n=1 an(bn − bn−1), t =∑∞n=1(an−an+1)bnの一方が収束するとする．このとき，s, tは共に収束し，s = t−a1b0

をみたすことを示せ．

問 1.4.2 複素数列xnに対する以下の条件に対し (a)⇒ (b)⇒ (c)を示せ：(a): r ∈ [0, 1)

かつ有限個の nを除き, |xn+1 − xn| ≤ r|xn − xn−1|. (b):∑∞

n=0 |xn+1 − xn| <∞. (c):xn

は収束する.

問 1.4.3 (⋆) f : C −→ Cとする. ある r ∈ [0, 1) が次を満たすとき, f を縮小写像と呼ぶ：任意の x, y ∈ Cに対し |f(x)− f(y)| ≤ r|x− y|. f が縮小写像なら, f(x) = xを満たす点 x ∈ C が唯一つ存在することを示せ. [存在証明のヒント： x0 ∈ Cを任意とし,

xn ∈ C, n = 1, 2, .. を xn = f(xn−1)と定める. このとき, xnが 問 1.4.2 の条件を満たすこと, 更に x = limn→∞ xnが不動点となることを示す. ]

問 1.4.4 複素数列 an, bnに関する以下の命題について，正しければ証明，正しくなければ反例をあげよ．(i)

∑∞n=0 anが絶対収束し, bnが有界なら，

∑∞n=0 anbnは絶対収束

する. (ii)∑∞

n=0 anが収束し, bn → 0なら，∑∞n=0 anbnは収束する.

22

1.5 べき級数

an ∈ C (n ∈ N), z ∈ Cに対し次の形の級数をべき級数と言う：

f(z) =∞∑n=0

anzn. (1.44)

指数関数をはじめとする初等関数は，べき級数で書き表せる. 従って，べき級数の性質を理解することは，初等関数を理解する上でも有用である．より一般に，複素関数論の主役でもある正則関数 (定義 3.1.1)は定義域に含まれる開円板内でべき級数に展開される (定理 5.1.1). このことから，正則関数の多くの性質がべき級数の性質を通じて理解される (5.1節, 5.4節参照).

まず，容易に証明できる性質を述べる：

命題 1.5.1 (べき級数の偶部・奇部・共役) べき級数 (1.44)について，

a) f(±z) が共に収束するとき,

f(z) + f(−z)2

=∞∑n=0

a2nz2n,

f(z)− f(−z)2

=∞∑n=0

a2n+1z2n+1. (1.45)

b) anが実数列かつ, f(z)が収束するとき, f(z)も収束し, f(z) = f(z).

証明: a):

f(z) + f(−z) (1.40)=

∞∑0

an(1 + (−1)n)zn = 2∞∑0

a2nz2n.

となり, (1.45)の一方を得る. 他方も同様である.

b):命題 1.4.2による. \(∧2∧)/

次に，べき級数の標準的収束判定法を述べる．

命題 1.5.2 （べき級数の収束判定) r ∈ (0,∞]とする．次が成立すれば，べき級数 (1.44)

は |z| < rの範囲で絶対収束する. 十分大きな全ての n ∈ Nに対し an 6= 0かつ|an+1||an|

n→∞−→ 1

r. (1.46)

証明：bn = |anzn|に対し∑∞

n=0 bn < ∞ならよい (命題 1.4.8). |z|r< 1より |z|

r< ρ < 1

をみたす ρをとれる．このとき,

bn+1

bn=|an+1||z||an|

n→∞−→ |z|r

< ρ.

ゆえに∃m ∈ N, ∀n ≥ m, bn+1/bn < ρ. したがってn ≥ m+1なら bn ≤ ρn−mbm. よって∞∑n=0

bn ≤m−1∑n=0

bn +bmρ

1− ρ<∞.

\(∧2∧)/

23

例 1.5.3 以下の an, rに対し (1.46)が成立する：

(a) p ∈ Z, an = np, r = 1.

(b) an = 1n!, r =∞.

証明：(a):

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = (n+ 1

n

)pn→∞−→ 1 =

1

1.

(b):

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1

n+ 1

n→∞−→ 0 =1

∞. \(∧2

∧)/

次に絶対収束べき級数の連続性について述べる．

命題 1.5.4 (べき級数の連続性 I) 0 < r <∞, an ∈ Cに対し次を仮定する：∞∑n=0

|an|rn <∞.

このとき，(1.44)のべき級数 f(z)は |z| ≤ rの範囲で絶対かつ一様に収束し，かつこの範囲の zについて連続である．

証明：|z| ≤ rとする．|anzn| ≤ |an|rnより，べき級数 (1.44)は絶対収束する．また，fN(z) =

∑Nn=0 anz

n とするとき，

|f(z)− fN(z)| =

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

anzn

∣∣∣∣∣ (1.43)≤∞∑

n=N+1

|an|rnN→∞−→ 0.

よって，連続関数列 fN は f に |z| ≤ r の範囲で一様収束する．ゆえに，命題 1.3.9より f はこの範囲で連続である． \(∧2

∧)/

系 1.5.5 0 < r0 ≤ ∞に対し，べき級数 (1.44)が |z| < r0の範囲で絶対収束するなら，f(z)は |z| < r0の範囲で連続である．

証明：任意の r < r0に対し，f(z)が |z| ≤ rの範囲で連続なら十分である．ところが，f(z)は |z| ≤ rの範囲で絶対収束するので，命題 1.5.4より結論を得る． \(∧2

∧)/

(1.44)のべき級数f(z)は収束円 (問 1.5.1参照)の内部においては絶対収束し命題 1.5.4

が適用されるが，収束円周上の点 zにおいては条件収束する場合がある．このような場合でも適切な条件下で f(z)は zにおいて連続となりうる．例えば次の命題は幾つかの初等関数のべき級数展開に適用できる（例 3.3.5,例 3.3.7）．

命題 1.5.6 (⋆)(べき級数の連続性 II) anは非負↘数列で，an −→ 0とする．このとき，(1.44)のべき級数 f(z) は |z| ≤ 1, z 6= 1の範囲で収束し，かつこの範囲の zについて連続である．

証明：ε > 0を任意とし，f(z)が |z| ≤ 1かつ |z− 1| ≥ εの範囲で収束し，この範囲の z

について連続であることを言えばよい．そこで以下，zはこの範囲とする．このとき，

24

(1) gn(z)def= 1 + z + ...+ zn = 1−zn+1

1−zに対し |gn(z)| ≤ 2

ε.

よって，N ≥ 0に対し，

(2)∞∑

n=N+1

(an − an+1)|gn(z)|(1)

≤ 2

ε

∞∑n=N+1

(an − an+1) ≤2aN+1

ε.

さらに，zn = gn(z)− gn−1(z)に注意すると，M > N に対し，

(3)

M∑n=N+1

anzn =

M∑n=N+1

angn(z)−M∑

n=N+1

angn−1(z)

= aMgM(z) +M−1∑

n=N+1

(an − an+1)gn(z)− aN+1gN(z).

(2)と命題 1.4.8より，(3)の最右辺第二項はM →∞で収束する．そこで，(3)でM →∞とすると，

(4)∞∑

n=N+1

anzn =

∞∑n=N+1

(an − an+1)gn(z)− aN+1gN(z).

特に，f(z)の収束を得る．また，∣∣∣∣∣f(z)−N∑

n=0

anzn

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

anzn

∣∣∣∣∣(4)

≤∞∑

n=N+1

(an − an+1)|gn(z)|+ aN+1|gN(z)|

(1), (2)

≤ 4aN+1

ε

N→∞−→ 0. (1.47)

よって，連続関数列 fN(z)def=∑N

n=0 anzn は f に, |z| ≤ 1かつ |z − 1| ≥ ε の範囲で一

様収束する．ゆえに，命題 1.3.9より f はこの範囲で連続である． \(∧2∧)/

注: 命題 1.5.6の条件下で，f(z) は |z| < 1 の範囲では絶対収束する．実際，仮定より0 ≤ an ≤ a0. したがって |z| < 1なら，

∞∑n=0

|anzn| ≤ a0

∞∑n=0

|z|n =a0

1− |z|.

したがって |z| < 1 の範囲での f(z) の連続性は系 1.5.5 から従う．

命題 1.5.7 (因数定理) べき級数 (1.44)が |z| < r (0 < r ≤ ∞)の範囲で絶対収束するとする．このとき，任意のm ∈ N\{0}に対し次のべき級数 g(z)も |z| < rの範囲で絶対収束する．

g(z) =∞∑n=0

am+nzn.

また，|z| < rの範囲で，f(z) =

m−1∑n=0

anzn + zmg(z). (1.48)

25

特に，ak = 0 (0 ≤ k ≤ m− 1)なら，

f(z) = zmg(z). (1.49)

証明: g(z)の絶対収束は次のようにしてわかる．z 6= 0としてよいので，∞∑

n=m

|am+nzn| = |z|−m

∞∑n=m

|am+nzm+n| ≤ |z|−m

∞∑n=0

|anzn| <∞.

また，zmg(z) =

∞∑n=0

am+nzm+n =

∞∑n=m

anzn = f(z)−

m−1∑n=0

anzn.

よって (1.48) を得る． \(∧2∧)/

系 1.5.8 べき級数 (1.44)が |z| < r (0 < r ≤ ∞) の範囲で絶対収束するとする．

a) (零点の非集積性) f(0) = a0 = 0, an 6≡ 0とする．このとき，次のような δ ∈ (0, r)

が存在する．0 < |z| < δ ⇒ f(z) 6= 0. (1.50)

b) (係数の一意性) 次の条件をみたす点列 zm ∈ Cが存在するなら，an ≡ 0 (n ∈ N)：

0 < |zm| < r, f(zm) = 0 (m ∈ N), zmm→∞−→ 0. (1.51)

証明: a):an 6= 0をみたす最小の n ≥ 1をmとし，命題 1.5.7の gを考える．このとき，g(0) = am 6= 0. よってgの連続性より，ある δ ∈ (0, r)に対し，0 < |z| < δ ⇒ g(z) 6= 0.

これと (1.49)より結論を得る．b): (1.51)をみたす zmが存在すれば，f の連続性から f(0) = a0 = 0. さらに (1.50)をみたす δ ∈ (0, r)は存在しない．したがって，an ≡ 0．

\(∧2∧)/

問 1.5.1 べき級数 (1.44)に対し以下を示せ．i) z ∈ C, 0 < r < |z|, かつ f(z)が収束するなら，C

def=∑∞

n=0 |an|rn <∞．したがって, 任意の n ∈ Nに対し |an| ≤ Cr−n. ii) (⋆)

z ∈ C, r0def= sup{r ≥ 0 ;

∑∞n=0 |an|rn < ∞} に対し，|z| < r0なら f(z)は絶対収束し，

|z| > r0なら f(z)は収束しない．この r0を f(z)の収束半径, また，D(0, r0)を収束円と呼ぶ．

問 1.5.2 べき級数 (1.44)が |z| < r (0 < r ≤ ∞)の範囲で絶対収束するとき，以下を示せ：i) f が偶関数 ⇔ a2n+1 = 0 (n ∈ N). ii) f が奇関数 ⇔ a2n = 0 (n ∈ N).

問 1.5.3 0 < r < ∞, an ∈ Cに対し∑∞n=0 |an|r−n < ∞を仮定する. このとき，

g(z)def=∑∞

n=0 anz−nは |z| ≥ rの範囲で絶対かつ一様に収束し，かつこの範囲の zにつ

いて連続であることを示せ．．

26

問 1.5.4 (⋆) (1.44)のべき級数 f(z)に対し f(1)の収束を仮定する. 以下を示せ：i) f(z)は |z| < 1の範囲で絶対収束し，この範囲で連続である．ii) fN(z) =

∑Nn=0 anz

n (N ≥ 1)

とすると，|f(z)− fN(z)| ≤ 2 sup

n≥N|f(1)− fn(1)|, z ∈ [0, 1]. (1.52)

[ヒント：命題 1.5.6の証明では zn = gn(z)−gn−1(z)に着目した．ここではan = (fn(1)−f(1))− (fn−1(1)− f(1))に着目する．] (iii) f ∈ C([0, 1]) (アーベルの定理) .

問 1.5.5 (⋆) z ∈ C, b, c ∈ C\{0}, |z| < min{|b|, |c|}とする．このとき，f(z) = bc(b−z)(c−z)

を絶対収束するべき級数 f(z) =∑∞

n=0 anzn で表せることを示し anを求めよ．[ヒント：

命題 1.4.11]

1.6 複素平面の位相

本節では，複素平面の位相に関する基本概念，特に開集合，閉集合，連結性について述べる．本節の内容が実際に必要となるのは 3章以後なので，必要が生じた時点で適宜参照されたい．本節を通じて，開円板 D(a, r), 閉円板 D(a, r) をそれぞれ (1.32), (1.33) で定め，さらに C(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r}とする．このとき，

� 開円板 D(a, r) はその境界点，すなわちC(a, r) 上の点を含まない．

� 一方，閉円板 D(a, r)は境界点, すなわちC(a, r) 上のを全て含む．

次に複素平面内の集合について，開集合・閉集合の概念を定義する．直感的には，開集合は開円板 D(a, r)のように「境界点を含まない」集合，また，閉集合は閉円板 D(a, r)

のように「境界点を全て含む」集合である (例 1.6.2参照)．

A A

∂A ∂A

開集合のイメージ 閉集合のイメージ

定義 1.6.1 (開集合・閉集合) A ⊂ Cとする.

▶ z ∈ Cに対し, D(z, r) ⊂ A をみたす r > 0が存在するとき，zをAの内点と呼ぶ. また，Aの内点全体の集合をA◦と記し，Aの開核と呼ぶ.

▶ 次のような z ∈ C全体の集合をAと記し, Aの閉包と呼ぶ:

点列 zn ∈ Aで，zn → zとなるものが存在する．

27

また，次の集合 ∂AをAの境界と呼ぶ:

∂Adef= A\A◦. (1.53)

▶ A = A◦, 即ちAの全ての点がAの内点なら, Aは開であると言う. また，A = AならAは閉であると言う.

注：1) 任意の A ⊂ C に対し A◦ ⊂ A．実際，A 6= ∅ のとき，Aの内点は定義により A

に属する．また，空集合はいかなる開円板も含まないから ∅◦ = ∅.2) 任意の A ⊂ C に対し A ⊂ A. 実際，A 6= ∅ のとき，任意の z ∈ Aに対し zn ≡ zとすれば，zn ∈ Aかつ zn → z. また，空集合は点列を含まないから ∅ = ∅.

次の例で，f(z) = |z|/r (r ∈ (0,∞))とすれば，D(0, r)は開，D(0, r)は閉，またD(0, r) ⊂ A ⊂ D(0, r) に対し，A◦ = D(0, r), A = D(0, r), ∂A = C(0, r) が分かる．また，これらの性質は平行移動不変なので円板の中心を変えても同様である．

例 1.6.2 f : C→ R は連続とする．

a) Bdef= {z ∈ C ; f(z) < 1} は開，C

def= {z ∈ C ; f(z) ≤ 1} は閉である．

b) 任意の z ∈ C, c ∈ (1,∞) に対し，f(z) < f(cz) を仮定するとき，B ⊂ A ⊂ Cなら，A◦ = B, A = C. したがって，∂A = {z ∈ C ; f(z) = 1}.

証明: • B は開：任意の z ∈ B に対し f(z) < 1. f の連続性より r > 0 が十分小さければ，任意の w ∈ D(z, r)に対し f(w) < 1. よって，D(z, r) ⊂ B.

• C は閉：C 内の任意の収束点列 (zn)n∈Nに対し，その極限 z が C に属せばよい．ところが，任意の n ∈ N に対し f(zn) ≤ 1 であることと f の連続性より f(z) ≤ 1, すなわち z ∈ C が従う．• A◦ ⊂ B: z ∈ A◦ なら D(z, r) ⊂ Aをみたす r > 0が存在する．そこで，ε ∈ (0,∞)をε|z| < r なるようにとると，|(1 + ε)z− z| = ε|z| < r より (1 + ε)z ∈ D(z, r) ⊂ A ⊂ C.

ゆえにf(z) < f((1 + ε)z) ≤ 1, したがって z ∈ B.

• A◦ ⊃ B: B は開なので，任意の z ∈ B に対しD(z, r) ⊂ B をみたす r > 0 が存在する．ゆえに，D(z, r) ⊂ B ⊂ A.

• A ⊂ C: z ∈ Aなら点列 zn ∈ Aで，zn → zとなるものが存在する．このとき，zn ∈ C

かつ C は閉だから，z ∈ C.

• A ⊃ C: z ∈ C を任意, zndef=(1− 1

n+1

)z とするとき，f(zn) < f(z) ≤ 1 より

zn ∈ B ⊂ A. さらに zn → z より z ∈ A. \(∧2∧)/

次の命題で，有界閉集合の重要な性質を二つ述べる．

命題 1.6.3 集合A ⊂ Cは有界, 閉, かつ空でないとするとき，

a) (ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 )任意の点列 zn ∈ Aに対し，ある z ∈ A

および自然数列 k(1) < k(2) < ... が存在し，zk(n)n→∞−→ z.

28

b) (最大・最小値存在定理) f : A → R が連続なら，ある a, b ∈ A が存在し，任意のz ∈ Aに対し f(a) ≤ f(z) ≤ f(b).

証明: a) xn = Re zn, yn = Im zn とし，まず次を示す．1) ある x ∈ R および自然数列 p(1) < p(2) < ... が存在し，xp(n)

n→∞−→ x.

ℓdef= infz∈A Re z, r

def= supz∈A Re z に対し {xp}p∈N ⊂ [ℓ, r]．区間 [ℓn, rn], n = 0, 1, ...を以

下のように定める：[ℓ0, r0] = [ℓ, r]. 更にmn = (ℓn + rn)/2に対し,

[ℓn+1, rn+1] =

{[ℓn,mn], xp ∈ [ℓn,mn]となる pが無限個あるとき,

[mn, rn], xp ∈ [ℓn,mn]となる pが有限個であるとき.

このとき, 任意の n ∈ Nに対し, xp ∈ [ℓn, rn] となる pが無限個存在する. 特に,xp(1) ∈[ℓ1, r1]となる p(1) > 0を任意に選ぶとき，この p(1)に対し p(2) > p(1)を xp(2) ∈ [ℓ2, r2]

となるように選ぶことができる．これを繰り返し，自然数列 0 < p(1) < ...を次のように選ぶことができる：2) xp(n) ∈ [ℓn, rn], ∀n ∈ N.

一方,

ℓnは↗, rnは↘, rn − ℓn = 2−n(r − ℓ)n→∞−→ 0.

従って, 区間縮小法 [吉田 1, p.45, 系 3.5.2] より x ∈ [ℓ, r]が存在し3) ℓn −→ x, rn −→ x.

更に, 2),3)とはさみうちの原理より 1) を得る．次に y′n

def= yp(n) (n ∈ N)に対し 1) と同様に次を得る．

4) ある y ∈ R および自然数列 q(1) < q(2) < ... が存在し，y′q(n)n→∞−→ y.

そこで，z = x + yi とする．1)，4) より k(n)def= p(q(n)) に対し，xk(n)

n→∞−→ x, かつyk(n)

n→∞−→ y, したがって，zk(n)n→∞−→ z. さらに，A は閉，zk(n) ∈ A より z ∈ A.

b) aの存在を示す (bについても同様である). an ∈ Aを f(an)n→∞−→ m

def= inf

z∈Af(z)とな

るようにとる．このとき，a)より, ある a ∈ Aおよび自然数列 k(1) < k(2) < ...が存在し，ak(n)

n→∞−→ a. このとき，f の連続性より，f(ak(n))n→∞−→ f(a) したがって f(a) = m.

\(∧2∧)/

命題 1.6.3から，問 1.6.9を介して次の補題が示される．この補題は本書中幾度か用いられる (例えば，命題 4.7.3, 補題 5.1.4, 定理 7.1.10 の証明).

補題 1.6.4 A,B ⊂ Cに対し，

ρ(A,B)def=

{inf

(a,b)∈A×B|a− b|, A 6= ∅, B 6= ∅のとき,

∞, A = ∅ または B = ∅のとき.

Aが閉，Bが有界かつ閉, A 6= ∅, B 6= ∅なら，次をみたす (a0, b0) ∈ A×Bが存在する．ρ(A,B) = inf

(a,b)∈A×B|a− b| = |a0 − b0|.

したがって，上の仮定に加えA ∩B = ∅ なら，ρ(A,B) > 0.

29

証明：βdef= supb∈B |b|とし，有界閉集合A0を次のように定める．

A0 = {a ∈ A ; |a| ≤ ρ(A,B) + β + 1}.

このとき，次が成立する．

1) A0 6= ∅, かつ ρ(A,B) = ρ(A0, B).

ひとまずこれを認める．すると A0 × B ⊂ C × Cは有界，閉，かつ空でないなので，A0×B上の連続関数 (a, b) 7→ |a−b|はある (a0, b0) ∈ A0×Bで最小値をとる (問 1.6.9)．ゆえに

ρ(A0, B) = |a0 − b0|.

これと 1)より結論を得る．1)は以下のように示される．ρ(A,B)の定義から次のような (a1, b1) ∈ A × B が存在する．

|a1 − b1| ≤ ρ(A,B) + 1.

この a1に対し |a1| ≤ ρ(A,B) + β + 1. よってA0 6= ∅. また，z 6∈ A0, b ∈ Bなら

|z − b| ≥ |z| − β ≥ ρ(A,B) + 1.

ゆえに ρ(A\A0, B) ≥ ρ(A,B) + 1. したがって

ρ(A,B) = min{ρ(A0, B), ρ(A\A0, B)} = ρ(A0, B).

以上で 1)を得る． \(∧2∧)/

開集合 D 上の正則関数の重要な性質のひとつは，零点がD内に集積しないことである (系 5.4.5). この性質に関連する定義と補題を述べる．

定義 1.6.5 (集積点・孤立点) A ⊂ Cとする.

▶ 点 z ∈ Aが次の条件をみたすとき，z はAの集積点であるという:

点列 zn ∈ A\{z}で，zn → zとなるものが存在する．

また，z ∈ A が A の集積点でなければ，z はAの孤立点であるという:

補題 1.6.6 D ⊂ C を開とするとき，A ⊂ Dに対し，以下の三条件は同値である：

a) A は D 内に集積点を持たない．

b) D\A は閉，かつ A の各点は A の孤立点である．

c) 有界集合B ⊂ Cが B ⊂ D をみたせば，A ∩Bは有限集合である．

30

証明: a)⇒ b): AはD 内に集積点を持たないから，特にAの各点は Aの集積点ではない，すなわち A の孤立点である．次に z ∈ D\Aとする．D は開だから, ∃r1 ∈ (0,∞),

D(z, r1) ⊂ D. また，zはA の集積点でないので，∃r ∈ (0, r1), D(z, r) ∩ A = ∅. ゆえに D(z, r) ⊂ D\A. 以上より，D\A は開である．a)⇐ b): Aの各点は Aの各点は Aの孤立点なので，Aの集積点ではない，一方，D\Aは開なので，z ∈ D\A に対し ∃r ∈ (0,∞), D(z, r) ⊂ D\A.　ゆえに A は D\A 内に集積点を持たない．以上より，A は D 内に集積点を持たない．a) ⇒ c): 対偶を示す．A ∩Bが無限個の相異なる点 an (n ∈ N)を含むと仮定する．有界閉集合Bに対するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 (命題 1.6.3)より，部分列 ak(n)および z ∈ Bが存在し ak(n)

n→∞−→ z. B ⊂ D より z ∈ D. また，{ak(n)}n∈N は全て相異なるので，∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, ak(n) 6= z, かつ ak(n)

n→∞−→ z. 以上から z ∈ D はA の集積点である．a) ⇐ c): 対偶を示す．z ∈ D が A の集積点とする．D は開なので ∃r ∈ (0,∞),

D(z, r) ⊂ D. このときA ∩D(z, r) は無限集合である (問 1.6.10). \(∧2∧)/

次に述べる，集合の連結性の概念は，正則関数の性質を議論する上でも重要な役割を果たす (例えば，命題 3.1.8, および 5.4節の諸結果)．複素関数論では，開集合の連結性が特に重要である．そこで開集合の場合に，集合の連結性を定義する．

定義 1.6.7 (連結性)

▶ 開集合A ⊂ Cが次の条件をみたすとき，Aは連結であると言う.

A1, A2 ⊂ Cが開，A1 6= ∅, A2 6= ∅, A = A1 ∪ A2 =⇒ A1 ∩ A2 6= ∅. (1.54)

連結な開集合を領域と呼ぶ．

注：A ⊂ C が開と限らない場合には連結性の定義 (1.54) は次のように一般化される：

A1, A2 ⊂ Cが開，A ∩ A1 6= ∅, A ∩ A2 6= ∅, A ⊂ A1 ∪ A2

=⇒ A ∩ A1 ∩ A2 6= ∅. (1.55)

具体的な集合の連結性を判定するには，次の命題 1.6.10を用いるとよい．まず命題中で用いる用語を意味を明確にする．記号は定義 1.6.1のとおりとする．点 z, w ∈ Cに対し z, wを結ぶ線分 を [z, w]で表す．

[z, w]def= {(1− t)z + tw ; t ∈ [0, 1]}. (1.56)

また，点 z0, ..., zn ∈ C (n ∈ N\{0}) に対し，次の集合C ⊂ Cを，z0, znを結ぶ折れ線と呼ぶ．

C =n⋃

j=1

[zj−1, zj].

31

z0

z1

z2

z3

z4

z5

有界閉区間 I = [α, β] (−∞ < α < β <∞)で定義された連続関数 g : I → Cを曲線と呼ぶ．折れ線Cは適当な曲線 g : I → Cを用い，C = g(I)と表せるという意味で，折れ線は曲線の特別な場合である．集合A ⊂ C, 点 z, w ∈ Aについて g(I) ⊂ A, g(α) = z,

g(β) = wなら，曲線 gはA内で z, wを結ぶと言う．A内の任意の二点が，曲線によってA内で結ばれるとき，Aは弧状連結 であるという．補題 1.6.8 開集合A ⊂ Cが弧状連結なら連結である．証明: A1, A2 ⊂ Cが開，A1 6= ∅, A2 6= ∅, A = A1 ∪ A2と仮定しA1 ∩ A2 6= ∅を言う．z ∈ A1, w ∈ A2をとる．仮定より連続な g : [0, 1]→ Aで g(0) = z, g(1) = wなるものが存在する．そこで，

s = sup{t ∈ [0, 1] ; g(t) ∈ A1}

とする．A1は開, gは連続だから s > 0. また,

1) 0 < ∀t < s, A1 ∩ g((t, s]) 6= ∅.

これは sの定義による．2) g(s) ∈ A2.

s = 1なら g(1) = w ∈ A2より 2)を得る．そこで s < 1とする．2)は g(s) 6∈ A1と同値である．ところが s < 1かつ g(s) ∈ A1なら A1が開かつ gが連続より，s < ∃t1 ≤ 1,

g([s, t1)) ⊂ A1. これは sの定義に反する．以上で 2)を得る．3) 0 < ∃t0 < s, g((t0, s]) ⊂ A2.

A2は開かつ gは連続．ゆえに 2)より 3)を得る．1)で特に t = t0とすると，次のようにして結論 (A1 ∩ A2 6= ∅) を得る．

∅1)

6= A1 ∩ g((t0, s])3)⊂ A1 ∩ A2.

\(∧2∧)/

注：A ⊂ C が開と限らない場合の連結性は条件 (1.55)により定められる．このときも補題 1.6.8と同様に「弧状連結 ⇒ 連結」だが，逆は正しくない [松阪, pp. 205–206]．

32

補題 1.6.9 開集合A ⊂ C, および a ∈ A に対しCa ⊂ Aを次のように定めるとき，Ca,

A\Ca は共に開である：

Ca = {z ∈ A ; a, zはA内の折れ線で結べる }.

また，Ca 内の任意の二点は Ca 内の折れ線で結ばれる．特に Ca は弧状連結 (したがって 補題 1.6.8より連結)である．証明: • Caが開であること．任意の c ∈ A1 に対し, Aは開だから D(c, r)

def= {z ∈ C ; |z − c| < r} ⊂ A をみた

す r > 0が存在する．a, cはA内の折れ線Cで結べ，一方，任意の z ∈ D(c, r)に対し[c, z] ⊂ D(c, r) ⊂ A. よってa, zはA内の折れ線C∪[c, z]で結べる. ゆえにD(c, r) ⊂ Ca．以上よりCaは開である．• A\Caが開であること．任意の c ∈ A\Caに対し, Aは開だからD(c, r) ⊂ A をみたす r > 0が存在する．任意のz ∈ D(c, r)に対し [z, c] ⊂ D(c, r) ⊂ A. もし z ∈ Caなら a, zはA内の折れ線Cで結べる．すると a, cがA内の折れ線C ∪ [z, c]で結べることになり，不合理である．ゆえにz ∈ A\Ca，したがってD(c, r) ⊂ A\Caを得る．以上よりA\Caは開である．• Ca 内の任意の二点は Ca 内の折れ線で結ばれること．z1, z2 ∈ Ca を任意とする．このとき，j = 1, 2に対し折れ線 gj : [0, 1]→ Aで gj(0) = a,

gj(1) = zj をみたすものが存在する. gj 上の任意の点 gj(t) (0 ≤ t ≤ 1) は折れ線gj : [0, t] → A で a と結ばれているので gj([0, 1]) ⊂ Ca. したがって，次の折れ線g : [0, 2]→ Ca が g(0) = z1, g(2) = z2 をみたす:

g(t) =

{g1(1− t), t ∈ [0, 1],

g2(t− 1), t ∈ [1, 2].

\(∧2∧)/

次の命題より，開集合の連結性と弧状連結性は同値である．また，この命題は命題3.1.8の証明にも用いられる．命題 1.6.10 開集合A ⊂ Cに対し次の命題は同値である．a) Aは連結である．

b) 任意の z, w ∈ Aに対しA内で z, wを結ぶ折れ線が存在する．

c) Aは弧状連結である．証明: a) ⇒ b): a ∈ Aを任意に固定し，Ca ⊂ Aを補題 1.6.9のとおりとするときCa = A を言う．そうすれば，Ca 内の任意の二点は Ca 内の折れ線で結ばれることから結論を得る．補題 1.6.9よりCa, A\Caは共に開である. 明らかにA = Ca ∪ (A\Ca),

Ca ∩ (A\Ca) = ∅. また，a ∈ Caより，Ca 6= ∅．よって，Aの連結性からA\Ca = ∅, すなわち A = Ca．b) ⇒ c): 折れ線は曲線の特別な場合である．c) ⇒ a): 補題 1.6.8による． \(∧2

∧)/

33

問 1.6.1 A ⊂ C に対し以下を示せ：i) A◦ = A\∂A. ii) A = A ∪ ∂A. iii) A が開 ⇔A ∩ ∂A = ∅. iv) A が閉 ⇔ ∂A ⊂ A.

問 1.6.2 A,B ⊂ C に対し以下を示せ：i) A ⊂ B なら A◦ ⊂ B◦. したがって，特にA ⊂ BかつAが開ならA ⊂ B◦. ii) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦. iii) (A ∪ B)◦ ⊃ A◦ ∪ B◦. また, (A ∪B)◦ 6= A◦ ∪B◦となる例を挙げよ. iv) A,Bが開なら, A ∪B, A ∩B も開.

問 1.6.3 Λは集合，各 λ ∈ Λに対しAλ ⊂ Cは開とする．i)⋃

λ∈ΛAλは開であることを示せ. ii)

⋂λ∈Λ Aλが開でない例をあげよ.

問 1.6.4 A,B ⊂ C に対し以下を示せ：i) Aは閉. ii) A ⊂ BならA ⊂ B. したがって，特にA ⊂ BかつBが閉ならA ⊂ B. iii) A ∪B = A ∪ B. iv) A ∩B ⊂ A ∩ B. また,

A ∩B 6= A ∩B となる例を挙げよ. v) A,B が閉なら, A ∪B, A ∩B も閉.

問 1.6.5 A ⊂ Cに対し以下を示せ：i) C\A◦ = C\A. ii) A が開 ⇔ C\Aは閉.

問 1.6.6 Λは集合，各 λ ∈ Λに対しAλ ⊂ Cは閉とする．i)⋂

λ∈ΛAλが閉であることを示せ. ii)

⋃λ∈Λ Aλが閉でない例をあげよ.

問 1.6.7 A,B ⊂ C，A ∪B = Cとする．このとき，∂A ⊂ Bを示せ．

問 1.6.8 A,B ⊂ C，f : A→ Cは連続，f−1(B)def= {z ∈ A ; f(z) ∈ B} とする．以下

を示せ. i) A,Bが開なら f−1(B)は開である. ii) A,Bが閉なら f−1(B)は閉である.

問 1.6.9 A,B ⊂ C が共に有界, 閉, かつ空でないとする．以下を示せ．i) 点列 an ∈ A,

bn ∈ B に対しある a ∈ A, b ∈ B および自然数列 k(1) < k(2) < ... が存在し，ak(n)

n→∞−→ a, bk(n)n→∞−→ b. ii) f : A × B → R が連続なら，ある (zj, wj) ∈ A × B

(j = 0, 1) が存在し，任意の (z, w) ∈ A×B に対し f(z0, w0) ≤ f(z, w) ≤ f(z1, w1).

問 1.6.10 A ⊂ Cとする．z ∈ A が A の集積点なら, |an − z| < |an−1 − z|/2 (∀n ≥ 1)

をみたす点列 an ∈ A\{z} の存在を示せ (このとき，an −→ z, かつ an は全て相異なるので，任意の r > 0 に対しA ∩ (D(z, r)\{z}) は無限集合であることもわかる).

問 1.6.11 D ⊂ Cは開，f : D → Cは連続とし，次を仮定する．

δdef= inf{|f(z)− f(w)| ; z, w ∈ D, f(z) 6= f(w)} > 0.

以下をを示せ．i) ∀a ∈ D に対し {z ∈ D ; f(z) = f(a)}は開．ii) Dが連結なら f は定数である.

問 1.6.12 Dj ⊂ C (j = 1, 2)が開, D1 ∩ D2 = ∅ とするとき，∂Dj ∩ (D1 ∪ D2) = ∅(j = 1, 2)を示せ．

34

2 初等関数

(2021年 7月 26日更新)

指数, 対数, 三角比といった概念は古くから「計算手段」として知られていた. 18 世紀, スイスの数学者オイラー はこれらを初めて「関数」として捉えただけでなく, 複素変数へも拡張した. 初等関数に関する記号の中にはオイラーの足跡が数多くうかがえる. 関数を f(x)と表記したのも彼が最初で, その他, 足し算の∑, 虚数単位 i, 自然対数の底 e, sin, cos等の記号も彼が最初に用いたと言われる. また, 指数関数と三角関数の関係を示すオイラーの等式 (2.14)は複素関数論の発展を促した.

2.1 指数関数

指数関数 ex (x ∈ R)の素朴な理解は「eを x乗したもの」であるが，ここでは別の方法（べき級数）を用い指数関数を定義する．これは複素変数の場合も含む統一的な方法である．これにより，指数関数と三角関数の間の自然な関係も明らかとなる (命題 2.2.2)．

命題 2.1.1 (指数関数) 次の級数は，全ての z ∈ Cに対し絶対収束する：

exp zdef=

∞∑n=0

zn

n!. (2.1)

また，関数 exp : C→ C (z 7→ exp z)は連続である. この関数を指数関数と呼ぶ.

証明：例 1.5.3より級数 (2.1)は全ての z ∈ Cに対し絶対収束する．従って系 1.5.5より関数 exp : C→ C (z 7→ exp z)は連続である. \(∧2

∧)/

注：z ∈ Rなら，(2.1)は実変数の指数関数に対するテイラー展開に他ならない．したがって，実変数の指数関数は，(2.1)により定まる複素変数の指数関数の特別な場合である．

次に指数関数の主な性質を述べる.中でも指数法則が基本的役割を果たす．

命題 2.1.2 (指数関数の性質 I) z, w ∈ Cに対し,

exp(z + w) = exp z expw (指数法則), (2.2)

exp z = exp z, (2.3)

exp z 6= 0, (2.4)

| exp z| = exp(Re z). (2.5)

証明：(2.2): an = zn

n!, bn = wn

n!とすると，

(1) cndef=

n∑j=0

ajbn−j =1

n!

n∑j=0

n!

j!(n− j)!zjwn−j (1.16)

=1

n!(z + w)n.

35

従って,

exp(z + w)(1)=

∞∑n=0

cn命題 1.4.11

=∞∑n=0

an

∞∑n=0

bn(2.1)= exp z expw.

(2.3):命題 1.5.1(b)を (2.1)に適用.

(2.4):z ∈ Cに対し,

1(2.1)= exp 0

(2.2)= exp(−z) exp z, よって exp z 6= 0.

(2.5):

| exp z|2 = exp z exp z(2.3)= exp z exp z

(2.2)= exp (z + z) = exp(2Re z)

(2.2)= (exp(Re z))2 .

また，Re z ∈ Rより exp(Re z) > 0. これと上式より (2.5)を得る． \(∧2∧)/

2.2 双曲・三角関数

命題 2.2.1 (双曲関数) z ∈ C に対し,

cosh zdef=

exp(z) + exp(−z)2

(双曲余弦) ,

sinh zdef=

exp(z)− exp(−z)2

(双曲正弦) .(2.6)

このとき，cosh : C → Cは偶関数, sinh : C → Cは奇関数で共に連続である．また，z, w ∈ Cに対し,

cosh z =∞∑n=0

z2n

(2n)!, sinh z =

∞∑n=0

z2n+1

(2n+ 1)!(べき級数表示) (2.7)

cosh (z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w,

sinh (z + w) = cosh z sinh w + cosh w sinh z.(加法定理) (2.8)

exp z = cosh z + sinh z. (2.9)

証明：(2.6)より，cosh , sinh は，それぞれ偶関数，奇関数である．それらの連続性はexp : C→ Cの連続性 (命題 2.1.1)による．(2.7): 命題 1.5.1と (2.1)による.

(2.8): 指数関数の指数法則を用い，容易に示せる．(2.9): (2.6)から明らかである． \(∧2

∧)/

注 (2.8)第一式でw = −zとすると，

cosh 2z − sinh 2z = 1, z ∈ C. (2.10)

cosh , sinh はそれぞれ hyperbolic cosine, hyperbolic sine の略である．

36

命題 2.2.2 (三角関数) z ∈ C に対し,

cos zdef= cosh (iz) =

exp(iz) + exp(−iz)2

(余弦),

sin zdef= sinh (iz)/i =

exp(iz)− exp(−iz)2i

(正弦).(2.11)

cos : C→ Cは偶関数, sin : C→ Cは奇関数で共に連続である．また z, w ∈ Cに対し，

cos z =∞∑n=0

(iz)2n

(2n)!=

∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!,

sin z =1

i

∞∑n=0

(iz)2n+1

(2n+ 1)!=

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!.

(べき級数表示) (2.12)

cos(z + w) = cos z cosw − sin z sinw,

sin(z + w) = cos z sinw + cosw sin z.(加法定理) (2.13)

exp iz = cos z + i sin z (オイラーの等式). (2.14)

証明：双曲関数に対する結果に帰着する.　 \(∧2∧)/

注：z ∈ Rなら，(2.12)は実変数の三角関数に対するテイラー展開に他ならない．したがって，実変数の三角関数は，(2.11)により定まる複素変数の三角関数の特別な場合である．なお，(2.12)のうち，cosの (sinの)べき級数は，expのべき級数の偶数項 (奇数項)のみを取り出して，符号を+,−,+,−...と変えたものである．また，(2.13)第一式でw = −zとすると，

cos2 z + sin2 z = 1, z ∈ C. (2.15)

電気工学では複素数，特にオイラーの等式 (2.14)が応用される．その典型例を紹介する．

例 2.2.3 (⋆)(交流回路に対するオームの法則) 直流電圧 V の電源と強さR (オーム) の抵抗をつないだ回路に流れる電流の強さ Iはオームの法則 V = RIをみたす4．交流回路においてはその類似が，複素数の世界で成立していることを示す．次の供給電圧を持つ交流電源を考える：

V (t) = V0 sin(ωt), (t ∈ [0,∞)は時刻).

ここで V0 ∈ (0,∞)は振幅，ω ∈ (0,∞)は角速度 (=周波数×2π) を表す．この交流電源に，強さR (オーム)の抵抗，誘導係数 L (ヘンリー) のコイル, および容量 C (ファラッド) のコンデンサーを直列につなぐ (R,L,C ∈ [0,∞)).

4直流回路には (少なくとも理論上)，コイルやコンデンサーはつながない．直流電流はコイルを素通りするのでつなぐ意味がない．また，コンデンサーは直流電流を通さないので，これまたつなぐ意味がない．

37

E

R

L

C

そうすると次式で表される電流が流れる．1) I(t) = I0 sin(ωt− ϕ).

電流は電圧 V (t)と同じ周波数を持つが，一般には電圧とは異なる振幅 I0 ∈ (0,∞)と位相差 ϕ ∈ [−π/2, π/2]を伴う (問 2.2.3参照)．また，回路内の電圧増減の釣り合い (キルヒホッフ第二法則)より，I(t)と V (t)の間には次の微分方程式が成立することが知られている．2) V ′(t) = RI ′(t) + LI ′′(t) + C−1I(t).

オームの法則の類似を説明するために，複素電圧 V(t), 複素電流 I(t)を導入する．V(t) def

= V0 exp(iωt)(2.14)= V0 cos(ωt) + iV0 sin(ωt)

= V(t+

π

2ω

)+ iV (t),

I(t) def= I0 exp(i(ωt− ϕ))

(2.14)= I0 cos(ωt− ϕ) + iV0 sin(ωt− ϕ)

= I(t+

π

2ω

)+ iI(t).

すぐ後で説明するように．オームの法則が次の形で成立することが 2) から導かれる．3) V(t) = ZI(t) ここで，Z

def= R + i

(Lω − 1

Cω

).

Zは複素インピーダンスと呼ばれる．以下，2)から 3)を導く．2)は，V(t), I(t)の虚部 V (t), I(t)に関する微分方程式であるが．2)は，tを t+ (π/2ω)におきかえても成立するので，V(t), I(t) の実部も同じ微分方程式をみたす．したがって，

V′(t) = RI′(t) + LI′′(t) + C−1I(t).

V(t), I(t)の定義より，V′(t) = iωV(t), I′(t) = iωI(t), I′′(t) = −ω2I(t). これを上式に代入すると，

iωV(t) = iωRI(t)− ω2LI(t) + C−1I(t)

= iω

(R + i

(Lω − 1

Cω

)).

両辺を iω で割って 3)を得る.

38

命題 2.2.4 z, w ∈ Cに対し,

exp z = expw ⇐⇒ z − w ∈ 2πiZ.

証明：exp z = expw(2.2)⇐⇒ exp(z − w) = 1. そこで, z − wを改めて zと書くことによ

りw = 0の場合に帰着する. 以下，x = Re z, y = Im zとする．=⇒: exp z = 1なら expx

(2.5)= | exp z| = 1,よってx = 0. また cos y

(2.14)= Re(exp(iy))

x=0=

Re(exp z) = 1. よって y ∈ 2πZ. 以上より z = x+ iy = iy ∈ 2πiZ.⇐=：z = 2πin (n ∈ Z)なら，

exp z = exp(2πin)(2.14)= cos(2πn) + i sin(2πn) = 1.

\(∧2∧)/

次の系は，例えば正接・双曲正接の定義（定義 2.2.8）にも必要である：

系 2.2.5 (双曲・三角関数の零点) z ∈ C に対し,

cosh z = 0 ⇐⇒ z ∈ πi

2+ πiZ,

cos z = 0 ⇐⇒ z ∈ π

2+ πZ,

sinh z = 0 ⇐⇒ z ∈ πiZ,

sin z = 0 ⇐⇒ z ∈ πZ.

証明：cosh zについては次のようにして分かる：cosh z = 0 ⇐⇒ exp z + exp(−z) = 0 ⇐⇒ exp(2z) = −1

⇐⇒ exp(2z) = exp(iπ)命題 2.2.4⇐⇒ 2z ∈ πi+ 2πiZ.

cos z については，cos z = cosh (iz)より，cosh zに帰着する．sinh z, sin zも同様である． \(∧2

∧)/

オイラーの等式 (2.14) により，R2\{0} での極座標表示は，複素平面では極形式表示におきかわる．命題 2.2.6 (極形式) c ∈ R, I = c+ [−π, π), または I = c+ (−π, π]とするとき，次の写像は全単射である：

(r, θ) 7→ r exp(iθ) : (0,∞)× I −→ C\{0}. (2.16)

また，C(0, 1) = {z ∈ C ; |z| = 1} とするとき，次の写像は全単射である：

θ 7→ exp(iθ) : I −→ C(0, 1). (2.17)

証明: f(x, y) = x+ iy ((x, y) ∈ R2) と定めると f : R2 → C は全単射である．一方，次の写像 (極座標)が全単射であることはよく知られている5：

g : (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) : (0,∞)× I −→ R2\{0}.5例えば [吉田 1, p.108, 系 6.5.7].

39

さらに，(r, θ) ∈ (0,∞)× I に対し，

(f ◦ g)(r, θ) = r cos θ + ir sin θ(2.14)= r exp(iθ).

以上から写像 (2.16)は全単射である．全単射 (2.16)を r = 1に制限して，全単射 (2.17)

を得る． \(∧2∧)/

系 2.2.7 (1のべき根) m ∈ N\{0}に対し，

{w ∈ C ; wm = 1} = {exp(2πki/m) ; k = 0, 1, ...,m− 1}

証明: ⊃は明らかなので⊂を示す．w ∈ C, wm = 1とする．命題 2.2.6よりw = r exp(iθ)

をみたす (r, θ) ∈ (0,∞)× [0, 2π)が唯一存在する．この (r, θ) に対し，

1) rm exp(imθ) = wm = 1

1) 両辺の絶対値をとると，rm = 1. ゆえに r = 1. これと 1)より exp(imθ) = 1. したがって命題 2.2.4よりmθ ∈ 2πZ. 更に θ ∈ [0, 2π)より θ = 2kπ/m, (k = 0, 1, ...,m− 1).

以上より，w = exp(2πki/m) (k = 0, 1, ...,m− 1). \(∧2∧)/

定義 2.2.8 (正接・双曲正接)

▶ z ∈ C\(π2+ πZ

)に対し,

tan zdef=

sin z

cos z(正接) (2.18)

(上の zに対し系 2.2.5より cos z 6= 0).

▶ z ∈ C\(πi2+ πiZ

) に対し,

tanh zdef=

sinh z

cosh z(双曲正接) (2.19)

(上の zに対し系 2.2.5より cosh z 6= 0).

注 z ∈ Rなら，(2.18)は実変数の正接の定義と一致する．したがって，実変数の正接は，(2.18)により定まる複素変数の正接の特別な場合である．同様に，実変数の双曲正接は，(2.18)により定まる複素変数の双曲正接の特別な場合である．

問 2.2.1 以下を示せ．

2sinh (|Re z|) ≤ | exp(z)± exp(−z)| ≤ 2cosh (|Re z|), z ∈ C,

2sinh (| Im z|) ≤ | exp(iz)± exp(−iz)| ≤ 2cosh (| Im z|), z ∈ C.

問 2.2.2 ρ, z ∈ Cは (1 − ρ exp(iz))(1 − ρ exp(−iz)) = 1 − 2ρ cos z + ρ2 6= 0 をみたすとする．以下を示せ：

n∑k=0

ρk cos kz =1− ρ cos z + ρn+1(ρ cosnz − cos(n+ 1)z)

1− 2ρ cos z + ρ2, (2.20)

n∑k=0

ρk sin kz =ρ sin z + ρn+1(ρ sinnx− sin(n+ 1)z)

1− 2ρ cos z + ρ2. (2.21)

40

特に |ρ| exp(| Im z|) < 1なら，∞∑k=0

ρk cos kz =1− ρ cos z

1− 2ρ cos z + ρ2,

∞∑k=0

ρk sin kz =ρ sin z

1− 2ρ cos z + ρ2. (2.22)

問 2.2.3 例 2.2.3で述べた, 交流回路に対するオームの法則から，電流の振幅 I0, および位相差 ϕを次のように表すことができることを示せ．

I0 = V0/|Z|, exp(iϕ) = Z/|Z|.

問 2.2.4 m ∈ N\{0}, w = exp(2πi/m)とする. 以下を示せ：(i) n ∈ Nに対し，

m−1∑j=0

wnj =

{m, n ∈ mN,0, n 6∈ mN.

(ii) べき級数 f(z) =∞∑n=0

anznについて，

ある z ∈ Cに対し, f(wjz) (j = 0, 1, ..,m− 1)が全て収束するとき，∞∑n=0

amnzmnも収束

し， 1

m

m−1∑j=0

f(wjz)に等しい.

問 2.2.5 (正接の加法定理) z, w ∈ C\(π2+ πZ)に対し以下を示せ．(i) tan z tanw =

1 ⇐⇒ z + w ∈ π2+ πZ. (ii) z + w 6∈ π

2+ πZ なら tan(z + w) =

tan z + tanw

1− tan z tanw.

問 2.2.6 以下を示せ．(i) z ∈ C\πiZ に対し，

coth zdef= cosh z/sinh z =

1

2tanh

z

2+

1

2tanh z2

=1

z+

∞∑n=1

1

2ntanh

z

2n.

(ii) z ∈ C\πZ に対し，

cot zdef= cos z/ sin z =

1

2tan

z

2+

1

2 tan z2

=1

z+

∞∑n=1

1

2ntan

z

2n.

2.3 偏角・対数の主値

定義 2.3.1 (偏角の主値)

▶ z ∈ C\{0}とする．命題 2.2.6より，次をみたす θ ∈ (−π, π]が唯一つ存在する．

z = |z| exp(iθ).

上の θをArg zと記し，偏角の主値と呼ぶ．

③

❆�✁③

41

注 z ∈ C\{0}に対し，Arg zは zが正の実軸となす角を (−π, π]の範囲で表す実数である．Arg zの定義より，

θ = Arg z ⇐⇒ θ ∈ (−π, π]かつ z = |z| exp(iθ). (2.23)

次の命題では，関数 Arg : C\{0} → (−π, π] (z 7→ Arg z) の連続性について述べる．命題 2.3.2 (偏角の主値の連続性)

a) Arg はC\(−∞, 0]上連続である．

b) x0 ∈ (−∞, 0)に対し，

limz→x0Im z>0

Arg z = π, limz→x0Im z<0

Arg z = −π. (2.24)

特にArg は (−∞, 0)上の全ての点で不連続である．証明：準備として，逆三角関数 (Arcsin , Arccos ) について簡単に説明する．

� 連続な狭義単調増加関数 sin : [−π2, π2] → [−1, 1] の逆関数を Arcsin : [−1, 1] →

[−π2, π2] と記す．

� 連続な狭義単調減少関数　 cos : [0, π]　→ [−1, 1]の逆関数を Arccos : [−1, 1]→[0, π] と記す．

一般に，連続な狭義単調増加 (減少) 関数の逆関数は連続である [吉田 1, p.41, 定理3.4.7]. したがって Arcsin , Arccos は共に連続である．a) いま，z = x+ iy (x, y ∈ R)とし，さらに

G+def= {z ∈ C ; x > 0}, H+

def= {z ∈ C ; y > 0}, H−

def= {z ∈ C ; y < 0}

(G+, H+, H−は右半平面，上半平面，下半平面を表す）．このとき，逆三角関数の定め方より，

Arg z =

Arcsin y

|z| , (z ∈ G+),

Arccos x|z| , (z ∈ H+),

−Arccos x|z| , (z ∈ H−).

(2.25)

(2.25)第一・二・三式より，Arg はそれぞれ，G+, H+, H−で連続である. したがって，Arg はC\(−∞, 0] = G+ ∪H+ ∪H−で連続である．b) x0 ∈ (−∞, 0), z → x0 なら x/|z| → x0/|x0| = −1. したがって，特に z が Im z > 0

を満たしつつ x0 に近づく場合は，(2.25)第二式より，

Arg z = Arccosx

|z|−→ Arccos (−1) = π.

一方，z が Im z < 0 を満たしつつ x0 に近づく場合は，(2.25)第三式より，

Arg z = −Arccos x

|z|−→ −Arccos (−1) = −π.

\(∧2∧)/

次に偏角の主値に関する代数的性質として，加法定理を述べる．

42

命題 2.3.3 (偏角の主値に関する加法定理) z ∈ C\{0}に対し，

Arg cz = Arg z, c > 0. (2.26)

Arg1

z=

{−Arg z, z ∈ C\(−∞, 0)なら,

π, z ∈ (−∞, 0)なら.(2.27)

また，z, w ∈ C\{0}, Arg z +Arg w − 2nπ ∈ (−π, π] (n = 0,±1)なら，

Arg zw = Arg z +Arg w − 2nπ. (2.28)

証明：(2.26): (2.23)から明らかである．(2.27): z ∈ C\{0}に対し，z

(2.23)= |z| exp(iArg z). 両辺の逆数をとると，

1) 1/z = |1/z| exp(−iArg z).

今，z ∈ C\(−∞, 0)とする．このとき，Arg z ∈ (−π, π) より−Arg z ∈ (−π, π)．よって，1)および (2.23)よりArg (1/z) = −Arg z.一方，z ∈ (−∞, 0)なら 1/z ∈ (−∞, 0)よりArg (1/z) = π.

(2.28): 等式 z = |z| exp(iArg z), w = |w| exp(iArg w) を掛け合わせ，

zw = |zw| exp(i(Arg z +Arg w)) = |zw| exp(i(Arg z +Arg w − 2πn))

また仮定よりArg z +Arg w− 2πn ∈ (−π, π]. よって (2.23)より (2.28)を得る. \(∧2∧)/

定義 2.3.4 (対数の主値)

▶ z ∈ (0,∞)に対し log zは通常の対数を表すものとする．▶ z ∈ C\{0}に対し Log z ∈ Cを次のように定め，対数の主値と呼ぶ．

Log zdef= log |z|+ iArg z. (2.29)

次の命題では，関数 Log : C\{0} → C (z 7→ Log z) の連続性について述べる．

命題 2.3.5 (対数の主値の連続性)

a) Log はC\(−∞, 0]上連続である．

b) x0 ∈ (−∞, 0)に対し，

limz→x0Im z>0

Log z = log |x0|+ πi, limz→x0Im z<0

Log z = log |x0| − πi. (2.30)

特に Log は (−∞, 0)上の全ての点で不連続である．

証明：命題 2.3.2に帰着する． \(∧2∧)/

次に対数の主値に関する代数的性質として，加法定理を述べる．

43

命題 2.3.6 (対数の主値に関する加法定理) z ∈ C\{0}に対し，

Log cz = log c+ Log z, c > 0. (2.31)

Log1

z=

{−Log z, z ∈ C\(−∞, 0)なら,

2πi− Log z, z ∈ (−∞, 0)なら.(2.32)

また，z, w ∈ C\{0}, Arg z +Arg w − 2nπ ∈ (−π, π] (n = 0,±1)なら，

Log zw = Log z + Log w − 2nπi. (2.33)

証明：Log zの定義式中のArg zに命題 2.3.3を適用すればよい． \(∧2∧)/

複素変数の指数関数と対数の主値は, 次に述べる意味で互いに逆関数の関係にある．

命題 2.3.7 S2πn = {z ∈ C ; Im z ∈ 2πn+ (−π, π]} (n ∈ Z)とするとき，

z ∈ S2πn =⇒ exp z ∈ C\{0}, Arg exp z = Im z − 2πn, (2.34)

z ∈ S2πn =⇒ exp z ∈ C\{0}, Log exp z = z − 2πni, (2.35)

z ∈ C\{0} =⇒ Log z ∈ S0, expLog z = z. (2.36)

特に (2.35), (2.36)で n = 0 とすると，次の写像が共に全単射かつ互いに逆写像であることが分かる:

exp : S0 → C\{0}, Log : C\{0} → S0.

証明：(2.34)：(2.4)より任意の z ∈ C に対し exp z ∈ C\{0},

exp z(2.2)= exp(Re z) exp(i Im z)

(2.5)= | exp z| exp(i Im z)

= | exp z| exp(i(Im z − 2πn)).

特に z ∈ S2πn なら上式と Im z − 2πn ∈ (−π, π] より (2.34) を得る．(2.35)：| exp z| (2.5)= exp(Re z) より，

Log exp z(2.29)= log | exp z|+ iArg exp z

(2.5),(2.34)= Re z + i(Im z − 2πn)

= z − 2πni.

(2.36): z ∈ C\{0}に対し ImLog z(2.29)= Arg z ∈ (−π, π]. ゆえに Log z ∈ S0．また，

expLog z(2.29)= exp(log |z|) exp(iArg z) (2.23)

= |z| · z

|z|= z.

\(∧2∧)/

系 2.3.8 z ∈ C\{0} に対し,

{w ∈ C ; expw = z} = {Log z + 2πni ; n ∈ Z}.

44

証明：z(2.36)= expLog z より，

w ∈ C, expw = z ⇐⇒ w ∈ C, expw = expLog z命題 2.2.4⇐⇒ ∃n ∈ Z, w = Log z + 2πni.

\(∧2∧)/

問 2.3.1 z, w ∈ C\{0}とするとき，次を示せ．

|z + w|2 − |z − w|2 = 4|z||w| cos (Arg z − Arg w) .

問 2.3.2 c, z, w ∈ C\{0}, m,n ∈ {0,±1}が Arg c + Arg z − 2mπ ∈ (−π, π], Arg c +Arg w − 2nπ ∈ (−π, π] をみたすとするとき，次を示せ．

Arg (cz)− Arg (cw) = Arg z − Arg w + 2(m− n)πi.

問 2.3.3 z, w ∈ C\{0}, Arg z ∈ (−π, π/2] Arg (w/z) ∈ (0, π/2]とする. 以下を示せ：i) r ∈ (0,∞) に対し，0 < Arg

(r + w

z

)< Arg w

z. ii) Arg z < Arg (z + w) < Arg w.

問 2.3.4 θ ∈ (0, 2π)に対し次を示せ．Log (1− exp(iθ)) = log 2 + log sin θ2+ i θ−π

2.

なお，問 2.3.4の結果は例 3.3.6に応用される．

問 2.3.5 z ∈ C\{0}, α ∈ R, Arg z − π < α ≤ Arg z + πとするとき，次を示せ．

Log z + Log (eiα/z) = iα.

問 2.3.6 c ∈ R,

Sc = {z ∈ C ; Im z ∈ c+ (−π, π]},

Log cz = Log (exp(−ci)z) + ci, z ∈ C\{0}

とするとき，以下の写像は共に全単射であり, 互いに逆写像であることを示せ．

exp : Sc → C\{0}, Log c : C\{0} → Sc.

問 2.3.7 n ∈ N, f(z) =∑n

j=0 c2j+1z2j+1 + c0 (c0, c2n+1 ∈ (0,∞), c1, ..., c2n−1 ∈ R) とす

る．y ∈ Rに対し以下を示せ．i) Re f(iy) = c0, Im f(iy) = − Im f(−iy) y→∞−→ (−1)n ×∞.

ii) Arg f(iy) = −Arg f(−iy) y→∞−→ (−1)nπ/2.iii) Log f(iy)− Log f(−iy) y→∞−→ (−1)nπi.なお，問 2.3.7の結果は例 6.7.3に応用される．

45

2.4 べき乗の主値

定義 2.4.1 (べき乗) z ∈ C\{0}, α ∈ Cとする．

zαdef= exp(αLog z) (2.37)

を，べき乗の主値と呼ぶ．特に z1/2は√zとも記す．

注 1) (2.37)で特に z = e = exp(1)とすると，eα = expαとなり，指数関数 expαがべき乗 eαに等しいことがわかる．2) α ∈ Zとする．このとき，(2.37)の zαは通常のべき関数と一致する．実際 α ∈ Nなら

exp(αLog z) = exp(Log z + ...+ Log z︸ ︷︷ ︸α

)(2.2)= (exp(Log z))α

(2.36)= z · · · z︸ ︷︷ ︸

α

.

αが負の整数の場合も同様に

exp(αLog z) = z−1 · · · z−1︸ ︷︷ ︸|α|

.

3) 今後，本書では特にことわらない限り，z ∈ C\{0}, α ∈ Cに対し zα (あるいは√z)は (2.37)で定めた主値とする．一方，文献によっては記号 zαで次の集合を表す場合もある：

{exp(α(Log z + 2πni)) ; n ∈ Z}. (2.38)

(2.37)で定めた主値は集合 (2.38)の元のうち n = 0のものである．次の命題では，関数 z 7→ zα の連続性について述べる．

命題 2.4.2 (べき乗の主値の連続性) α ∈ Cに対し

a) z 7→ zαはC\(−∞, 0]上連続である．

b) x0 ∈ (−∞, 0)に対し，

limz→x0Im z>0

zα = |x0|α exp(απi), limz→x0Im z<0

zα = |x0|α exp(−απi). (2.39)

特に α 6∈ Zなら z 7→ zαは (−∞, 0)上の全ての点で不連続である．

c)

|zα| = |z|Reα exp(− Imα Arg z)z→0z =0−→

{0, Reα > 0なら，∞, Reα < 0なら.

(2.40)

特にReα > 0なら，0α = 0と定めることで，z 7→ zαは z = 0で連続，したがってC\(−∞, 0)で連続である．

46

証明：a): f : z 7→ exp zはC上連続 (命題 2.1.1), g : z 7→ αLog zはC\(−∞, 0]上連続(命題 2.3.5)である．ゆえに f ◦ g : z 7→ zαはC\(−∞, 0]上連続である．b): Im z > 0 かつ z → x0 とするとき，(2.30) より, Log z → log |x0|+ πi. よって，

zα(2.37)= exp(αLog z) −→ exp(α log |x0|+ απi) = |x0|α exp(απi).

よって (2.39)第一式を得る．第二式も同様である．また，α 6∈ Zなら命題 2.2.4より，(2.39)の二つの極限は一致しない．従って α 6∈ Zなら z 7→ zαは (−∞, 0)上の全ての点で不連続である．c): Reα = α1, Imα = α2とすると，

1)

{αLog z

(2.29)= (α1 + iα2)(log |z|+ iArg z)

= α1 log |z| − α2Arg z + i(α1Arg z + α2 log |z|).

したがって，

|zα| (2.37)= | exp(αLog z)| (2.5)= exp(Re(αLog z))1)= exp(α1 log |z| − α2Arg z) = |z|α1 exp(−α2Arg z).

これで，(2.40)の左側の等式を得る．また，これとArg z ∈ (−π, π]より

|z|α1 exp(−|α2|π) ≤ |zα| ≤ |z|α1 exp(|α2|π).

上の不等式より (2.40)右側の極限式を得る． \(∧2∧)/

注: Reα = 0, Arg z = θ ∈ (−π, π]とする. このとき，(2.40)より，|zα| = exp(−θ Imα).

このことから，Reα = 0, Imα 6= 0のとき，|zα| は (従って zα は) z → 0において極限を持たない．

次に，べき乗の主値に関する演算法則を述べる．z, w ∈ (0,∞), α, β ∈ Rに対し，

zα+β = zαzβ, log zα = α log z, (zα)β = zαβ, (zw)α = zαwα. (2.41)

これらは z, w ∈ C\{0}, α, β ∈ Cに対し次のように一般化される.

命題 2.4.3 (べき乗の主値に関する演算) z, w ∈ C\{0}, α, β ∈ Cとする. このとき，

zα+β = zαzβ. (2.42)

n ∈ Z, Im(αLog z) ∈ 2πn+ (−π, π]なら，

Log zα = αLog z − 2πni, (2.43)

Arg zα = Im(αLog z)− 2πn, (2.44)

(zα)β = zαβ exp(−2πnβi). (2.45)

また，n = 0,±1に対し

Arg z +Arg w − 2nπ ∈ (−π, π] =⇒ (zw)α = zαwα exp(−2πnαi). (2.46)

特に c > 0に対し(cz)α = cαzα. (2.47)

47

証明：(2.42)

zα+β (2.37)= exp((α + β)Log z)

(2.2)= exp(αLog z) exp(βLog z)

(2.37)= zαzβ.

(2.43): wdef= αLog z に対し，Imw ∈ 2πn+ (−π, π] より，

Log zα(2.37)= Log expw

(2.35)= w − 2πni.

(2.44): (2.43)の虚部をとればよい．(2.45):

(zα)β(2.37)= exp(βLog zα)

(2.43)= exp(αβLog z − 2πnβi) = zαβ exp(−2πnβi).

(2.46):

(zw)α(2.37)= exp(αLog (zw))

(2.33)= exp(αLog z + αLog w − 2πnαi)

(2.37)= zαwα exp(−2πnαi).

(2.47): (2.46)で w = cとするとArg z + Arg c = Arg z ∈ (−π, π]より n = 0の場合になる． \(∧2

∧)/

注：(2.42)より (2.41)第一式（指数法則）は z ∈ C\[0,∞)の場合にも成立する．一方，(2.43), (2.45), (2.46) より (2.41)第二式以後は修正を伴った上で z ∈ C\{0}の場合に拡張される．例えば一般には (zα)β = zαβは成立しないばかりか (zα)β = (zβ)αさえも不成立である (問 2.4.6)．

例 2.4.4 a, b, c, z ∈ C, a 6= 0,

s± =−b±

√b2 − 4ac

2a, σ± =

−b± i√4ac− b2

2a

とする (ただし√0 def= 0). このとき，

az2 + bz + c = a(z − s+)(z − s−) = a(z − σ+)(z − σ−).

実際，s±について，s+ + s− = − baは明らかである．また次の計算により s+s− = c

aも

分かる．4a2s+s− = (−b+

√b2 − 4ac)(−b+

√b2 − 4ac) = b2 − (

√b2 − 4ac)2

(2.45)= b2 − (b2 − 4ac) = 4ac.

以上より，a(z − s+)(z − s−) = az2 − a(s+ + s−) + as+s− = az2 + bz + c.

σ±についても同様である．以上から s±, σ± は共に方程式 az2 + bz + c = 0の二根の対である．どちらの対を採用してもよいが，目的に応じ両者を使い分けることもある (例2.4.5,問 2.4.3,補題 2.5.1, 問 2.5.1)．注：問 2.4.1より，

s± =

{σ±, Arg (b2 − 4ac) > 0なら,

σ∓, Arg (b2 − 4ac) ≤ 0なら.

48

例 2.4.5 b, c ∈ Cに対し，方程式 z2 − 2bz + c2 = 0の二根 s±def= b±

√b2 − c2 (例 2.4.4

参照)は s+s− = c2をみたすので，次の三通りの可能性がある6．

|s±| = |c|, |s−| < |c| < |s+|, |s+| < |c| < |s−|.

係数 b, cに応じ，上記可能性のどれが成立するかを調べる．この考察は後述の幾つかの場面で応用される (例 6.5.1, 例 6.5.2)．b, c ∈ C\{0}, b2 6= c2, n = 0,±1,

Arg c ∈ (−π/2, π/2], 2Arg c+Arg

(b2

c2− 1

)∈ 2πn+ (−π, π] (2.48)

とする．このとき，

(−1)n(|s+| − |s−|)

= 0, b/c ∈ [−1, 1]なら,

> 0, b/c 6∈ [−1, 1], Arg (b/c) ∈ (−π/2, π/2]なら,

< 0, b/c 6∈ [−1, 1], Arg (b/c) 6∈ (−π/2, π/2]なら.

証明：sb,c,± = s±, δb,cdef= |sb,c,+|2 − |sb,c,−|2と書く．まず次を示す．

1) δb,c = (−1)n|c|2δb/c,1.√b2 − c2

問 2.4.1= (−1)nc

√(b2/c2)− 1.

よって|sb,c,+||sb,c,−| = |c|2|sb/c,1,+||sb/c,1,−|.

また，Arg c+Arg bc∈ 2πm+ (−π, π] (m = 0,±1)とすると

θb,cdef= Arg b− Arg

√b2 − c2

問 2.4.5= Arg b− 1

2Arg (b2 − c2)

(2.28)= Arg c+Arg (b/c)− 2πm− 1

2

(2Arg c+Arg

((b2/c2)− 1

)− 2πn

)= θb/c,1 − (2m− n)π.

ゆえに，

δb,c問 2.3.1= 4|sb,c,+||sb,c,−| cos θb,c= 4|c|2|sb/c,1,+||sb/c,1,−| cos(θb/c,1 − (2m− n)π)

= (−1)n|c|2δb/c,1.

以上で 1)を得る．1)より，c = 1の場合，すなわち次を示せばよい．

2) δb,1

= 0, b ∈ [−1, 1]なら,

> 0, b 6∈ [−1, 1], Arg b ∈ (−π/2, π/2]なら,

< 0, b 6∈ [−1, 1], Arg b 6∈ (−π/2, π/2]なら.

6二次式定数項を敢えて cではなく，c2 という形にした．任意の z ∈ Cは z = (√z)2 (

√0 = 0)と表

せるので，これにより一般性は失われない．また，そうすることで，その後の計算中の b, cの次数をそろえ, 式を見やすくできる．

49

• b ∈ [−1, 1]なら sb,1,±問 2.4.1= b ± i

√1− b2 より |sb,1,±|2 = 1. ゆえに δb,1 = 0 でありこ

の場合に 2)は正しい．• b 6∈ [−1, 1]かつ b2 ∈ (−∞, 1]なら b2 ∈ (−∞,−1). ゆえに, b = it (t ∈ R, |t| = |b|) したがって sb,1,± = i(t±

√1 + t2). ゆえに δb,1 = 4t

√1 + t2 でありこの場合に 2)は正しい．

• b2 6∈ (−∞, 1]なら√b2 − 1

問 2.4.2=

|b2 − 1|+ b2 − 1√2(|b2 − 1|+Re(b2 − 1))

.

一方，δb,1 = 4Re(b√b2 − 1)). したがって，δb,1は δb,1

def= Re(b(|b2− 1|+ b2− 1))の正数

倍である．さらに，

b(|b2 − 1|+ b2 − 1) = b|1− b2|+ b|b2| − b

よりδb,1 = (Re b)(|1− b2|+ |b2| − 1).

上式と |1− b2|+ |b2| ≥ 1 (等号 ⇔ b ∈ [−1, 1])より δb,1はRe bの正数倍である．以上より，b2 − 1 6∈ (−∞, 0]の場合に 2)は正しい． \(∧2

∧)/

問 2.4.1 以下を示せ．i)√−1 = i. ii) z, w ∈ C\{0}に対し

√zw =

{ √z√w, Arg z +Arg w ∈ (−π, π]なら,

−√z√w, Arg z +Arg w 6∈ (−π, π]なら.

√−z =

{i√z, Arg z ≤ 0なら,

−i√z, Arg z > 0なら.

問 2.4.2 α ∈ (0, 1), z ∈ C\(−∞, 0]とする．以下を示せ．i) fα(z)

def=

{Im zα/ Im z, z ∈ C\(0,∞)なら,

α, z ∈ (0,∞)なら

}∈ (0,∞).

ii) θ ∈ R に対し，sin θ exp(iαθ) = sin((1− α)θ) + sin(αθ) exp(iθ).

iii) zα = |z|α f1−α(z)|z|+ fα(z)z

|f1−α(z)|z|+ fα(z)z|.

iv)√z =

√|z| |z|+ z

||z|+ z|=

|z|+ z√2(|z|+Re z)

, 特に，Re√z =

√|z|+Re z

2.

問 2.4.3 b ∈ C, c ∈ (0,∞)とする．2次方程式 z2−2bz+c2 = 0の解σ± = b± i√c2 − b2

(例 2.4.4参照)に対し以下を示せ．i)

b ∈ R\(−c, c) なら σ± = b∓√b2 − c2 ∈ [0,∞),

b 6∈ R\(−c, c) なら Imσ− < 0 < Imσ+.

[ヒント：b 6∈ R\(−c, c)の場合に問 2.4.2を用いよ ]

ii) 特に b ∈ (−c, c)なら，√σ± =√

c+b2± i√

c−b2.

なお，問 2.4.3は補題 2.5.1, 問 6.5.2, 問 6.5.3 に応用される．

50

問 2.4.4 an ∈ C (n ∈ N)に関する次の漸化式を解け．a0 = i, an+1 = ain.

問 2.4.5 z ∈ C\{0}, α ∈ (−1, 1)に対しLog (zα) = αLog z, Arg (zα) = αArg z を示せ．

問 2.4.6 0 < α < β, z ∈ C\{0}, π/α < Arg z < 2π/β とする．以下を示せ. β 6∈ Zなら (zα)β 6= zαβ. また，β − α 6∈ Zなら (zα)β 6= (zβ)α. 特に，1 < α < β < 2なら((−1)α)β,((−1)β)α,(−1)αβ は全て相異なる．

問 2.4.7 α, z, w ∈ C\{0}に対し次を示せ．

z ∈ {wα exp (2πnαi) ; n ∈ Z} ⇐⇒ w ∈{z1/α exp

(2πni

α

); n ∈ Z

}.

問 2.4.8 m ∈ N\{0}, w, z ∈ C\{0}に対し，

wm = z ⇐⇒ w ∈{z1/m exp

(2πji

m

); j = 0, 1, ...,m− 1

}. (2.49)

また，j ∈ {0, 1, ...,m− 1}, n ∈ {0, 1}， 1m(Arg z + 2πj) ∈ 2πn+ (−π, π]とするとき，

wm = z, Arg w ∈ 2πj

m− 2πn+

(− π

m,π

m

]⇐⇒ w = z1/m exp

(2πji

m

). (2.50)

問 2.4.9 s ∈ C, Re s > 1とする．以下を示せ．i) 有界複素数列 anに対し級数∑∞

n=1anns

は絶対収束する．この級数をディリクレ級数 , 特に ζ(s)def=

∞∑n=1

1

nsをリーマンのゼータ

関数 と言う. ii)

∞∑n=0

1

(2n+ 1)s=

(1− 1

2s

)ζ(s),

∞∑n=1

(−1)n−1

ns=

(1− 1

2s−1

)ζ(s) (2.51)

したがって ζ(s),∑∞

n=01

(2n+1)s,∑∞

n=1(−1)n−1

ns のいずれか一つから残り二つが求められる．なお，例 3.3.6で ζ(2) = π2/6を示す．また問 6.3.3で ζ(2k) (k ∈ N\{0})の値を求める．

問 2.4.10 s ∈ C, Re s > 0に対し次のように定まる Γ(s)をガンマ関数と呼ぶ.

Γ(s)def=

∫ ∞

0

xs−1 exp(−x) dx. (2.52)

上式右辺の広義積分の絶対収束，および n ∈ Nに対し以下を示せ．

Γ(s+ 1) = sΓ(s), (2.53)

Γ(n+ s) = (s+ n− 1)(s+ n− 2) · · · (s+ 1)sΓ(s), (2.54)

Γ(n+ 1) = n!, (2.55)

Γ(s) = cs∫ ∞

0

xs−1 exp(−cx) dx, c > 0. (2.56)

51

注: 一般に s ∈ C, Re s > 0, および連続関数 f : (0,∞) → Cに対し, 次の積分 F (s)が収束するとき，F (s)を f のメリン変換という.　

F (s)def=

∫ ∞

0

f(x)xs−1dx.

ガンマ関数は f(x) = exp(−x)のメリン変換である．更なるメリン変換の例として，(2.57)–(2.59)を参照されたい．

問 2.4.11 s ∈ C, Re s > 1とする．リーマンのゼータ関数 ζ(s), ガンマ関数 Γ(s) (問2.4.9, 問 2.4.10 参照)に対し以下の等式を示せ．∫ ∞

0

xs−1

expx− 1dx = Γ(s)ζ(s), (2.57)∫ ∞

0

xs−1

sinh xdx = 2

(1− 1

2s

)Γ(s)ζ(s), (2.58)∫ ∞

0

xs−1

cosh xdx = 2Γ(s)

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)s. (2.59)

s = 2k (k ∈ N)の場合の (2.58)の値については (6.22)，s = 2k + 1 (k ∈ N)の場合の(2.59)の値については (6.43) を参照されたい．

2.5 (⋆)逆三角関数

以下，z ∈ C\{0}に対し√zは z1/2の主値，すなわち exp(12Log z)を表すものとする．

また，√0 = 0とする．このとき z 7→√zはC\(−∞, 0)上連続である (命題 2.4.2)．

逆余弦・逆正弦関数の導入に先立ち補題を準備する．

補題 2.5.1

f(z)def=

z + z−1

2, (z ∈ C\{0}), σ±(z)

def= z ± i

√1− z2, (z ∈ C),

f をジュウコフスキー変換 と呼ぶ．さらに，J = R\[−1, 1], J = R\(−1, 1),

H± = {z ∈ C ; ± Im z > 0}.

とする．このとき，

a) f : H± ∪{−1, 1} → C\Jは全単射，σ± : C\J → H± ∪{−1, 1}はその逆写像である．また，σ±はC\J 上連続である．

b) f(H±) = C\J .

証明: a):f : H+ ∪ {−1, 1} → C\J は全単射，σ+ : C\J → H+ ∪ {−1, 1}はその逆写像，および σ+がC\J 上連続であることを示す（σ+, H+を σ−, H−で置き換えても証明は同様である)．数段階に分けて示す．

1) z ∈ Cに対し, σ+(z) 6= 0, σ+(z)−1 = σ−(z), f ◦ σ±(z) = z.

52

σ+(z)σ−(z) = z2 − (i√1− z2)2 = z2 + (1− z2) = 1.

よって σ+(z) 6= 0，σ+(z)−1 = σ−(z). よって

f ◦ σ±(z) = (σ+(z) + σ−(z))/2 = z.

2) σ+はC\J 上連続．

簡単な計算で,z ∈ Cに対し次が分かる：「z ∈ J ⇐⇒ 1 − z2 ∈ (−∞, 0)」．ゆえに「z ∈ C\J ⇐⇒ 1 − z2 ∈ C\(−∞, 0)」．したがって，z 7→ 1 − z2 は C\J からC\(−∞, 0)への連続写像である．一方，z 7→

√zはC\(−∞, 0)上連続 (命題 2.4.2)なの

で，z 7→√1− z2はC\J 上連続である．以上から σ+はC\J 上連続である．

3) σ+(±1) = ±1, σ+(C\J) ⊂ H+．したがって，σ+(C\J) ⊂ H+ ∪ {−1,+1}．

σ+(±1) = ±1は明らか．また，問 2.4.3より σ+(C\J) ⊂ H+．

4) f : H+ ∪ {−1, 1} → C\J は全単射.

σ+(±1) = ±1より，f : H+ → C\J が全単射ならよい．(全射性)：z ∈ C\J を任意とする．このとき σ+(z)

3)∈ H+. さらに f ◦ σ+(z)

1)= z.　

(単射性)：z ∈ H+, f(z) = w ∈ C\J とし，z = σ+(w)を言う．f(z) = wから z2 −

2wz + 1 = 0を得るが，この 2次方程式の解は z = σ±(w)．w ∈ C\Jより σ+(w)3)∈ H+,

σ−(w)1)= σ+(w)

−1 ∈ H− (一般に z ∈ H+ ⇐⇒ z−1 ∈ H−). ゆえに z ∈ H+をみたす解は z = σ+(w)のみである．b):上記 4)の証明中に既に示した． \(∧2

∧)/

命題 2.5.2 (逆正弦) D = {z ∈ C ; |Re z| < π2}, J = R\[−1, 1], J = R\(−1, 1)とする．

a) z 7→ sin zはD ∪ {−π2, π2}からC\J への全単射である．また，逆写像は次のように

表せ, これを逆正弦関数と呼ぶ．

Arcsin zdef=

1

iLog (

√1− z2 + iz). (2.60)

また，Arcsin はC\J 上連続である．

b) {sin z ; z ∈ D} = C\J .

証明: a):補題 2.5.1の記号を用いると，sin z = f(exp(iz)/i). 命題 2.3.7より exp は集合 {| Im z| < π

2} ∪ {−πi

2, πi

2} から {Re z > 0} ∪ {−i, i}への全単射であることが

分かる．また，f : H− ∪ {−1, 1} → C\J は全単射である (補題 2.5.1). 以上より，sin : D ∪ {−π

2, π2} → C\J は次の四写像の合成であり，各段階が全単射である．

D ∪ {−π

2,π

2} ×i−→ {| Im z| < π

2} ∪ {−πi

2,πi

2} exp−→ {Re z > 0} ∪ {−i, i}

×(1/i)−→ H− ∪ {−i, i}f−→ C\J. (2.61)

53

また，上記 exp の逆写像は Log (命題 2.3.7), f の逆写像は σ−である (補題 2.5.1). そこで，(2.61)の合成を逆に辿ると，次のようになり，各段階が連続である．

D ∪ {−π

2,π

2} ×(1/i)←− {| Im z| < π

2} ∪ {−πi

2,πi

2} Log←− {Re z > 0} ∪ {−i, i}

×i←− H− ∪ {−i, i}σ−←− C\J. (2.62)

以上より，sin z = f(eiz/i)の逆写像は 1iLog (iσ−(z))と表され，連続である．

b): a) の結果と対応関係 sin(±π/2) = ±1による． \(∧2∧)/

逆正接関数の導入に先立ち補題を準備する．補題 2.5.3 f(z) = i1+z

1−z(z ∈ C\{1}), J = R\(−1, 1)とする．このとき，

a) f : C\{1} → C\{−i}は全単射であり，g(z)def= −1+iz

1−izはその逆写像である．gをケ

イリー変換 と呼ぶ．

b) f(C\[0,∞)) = C\iJ .

証明: a): 容易に分かる．b): 容易に分かるように，f([0, 1)) = i[1,∞), f((1,∞)) = i(−∞,−1). よって

f(C\[0,∞)) = f(C\{1})\ (f([0, 1)) ∪ f((1,∞))

= (C\{−i})\ (i[1,∞) ∪ i(−∞,−1)) = C\iJ.

\(∧2∧)/

命題 2.5.4 (逆正接) J = R\(−1, 1)とする．z 7→ tan zは集合 |Re z| < π2からC\iJへ

の全単射である．また，逆写像は次のように表せ, これを逆正接関数と呼ぶ．

Arctan zdef=

1

2iLog

1 + iz

1− iz. (2.63)

また，Arctan はC\iJ 上連続である．証明: 補題 2.5.3の記号を用いると，tan z = f(− exp(2iz)). 命題 2.3.7より expは集合| Im z| < π からC\[0,∞)への全単射であることが分かる．また，f : C\[0,∞)→ C\iJは全単射である (補題 2.5.3). 以上より，tan : {|Re z| < π

2} → C\iJ は次の四写像の合

成であり，各段階が全単射である．{|Re z| < π

2} ×2i−→ {| Im z| < π} exp−→ C\(−∞, 0]

×(−1)−→ C\[0,∞)f−→ C\iJ. (2.64)

よって，z 7→ tan zは集合 |Re z| < π/2からC\iJ への全単射である．また，(2.64)において expの逆写像は Log (命題 2.3.7), f の逆写像は gである (補題 2.5.3). そこで，(2.64)を逆に辿ると次のようになり，各段階が連続である．

{|Re z| < π

2} ×(1/2i)←− {| Im z| < π} Log←− C\(−∞, 0]

×(−1)←− C\[0,∞)g←− C\iJ. (2.65)

以上より，tan z = f(−e2iz)の逆写像は 12iLog (−g(z))と表され，連続である． \(∧2

∧)/

54

問 2.5.1 f(z) = z+z−1

2, (z ∈ C\{0}), s±(z) = z ±

√z2 − 1, (z ∈ C), J = R\(−1, 1) と

する．以下を示せ．(i) f : J → Jは全単射，その逆写像は [1,∞)上で s+, (−∞,−1]上で s−で与えられる．(ii)f : [−1, 1]\{0} → J は全単射，その逆写像は [1,∞)上で s−, (−∞,−1]上で s−で与えられる．(iii) f : iJ → iRは全単射，その逆写像は i[0,∞)上で s+, i(−∞, 0]上で s−で与えられる．(iv) f : i[−1, 1]\{0} → iRは全単射，その逆写像は i[0,∞)上で s−, i(−∞, 0]上で s+で与えられる．(v) C±(0, 1)

def= {z ∈ C ; |z| = 1 ; ± Im z ≥ 0} に対し，f : C±(0, 1) → [−1, 1]は全単

射，その逆写像は s±で与えられる．

問 2.5.2 f(z) = z+z−1

2, (z ∈ C\{0}), s±(z) = z±

√z2 − 1, (z ∈ C),また，I = (−1, 1),

G+ = {z ∈ C ; Re z > 0}, G− = {z ∈ C ; Re z < 0}, D+ = {z ∈ C ; |z| > 1},D− = {z ∈ C ; 0 < |z| < 1}, とする．以下を示せ．(i) f : (G+ ∩D±) ∪ {−1, 1} → G+\Iは全単射，その逆写像は s±で与えられる．また，s±はG+\I上連続である．(ii) f : (G− ∩D±)∪ {−1, 1} → G−\Iは全単射，その逆写像は s∓で与えられる．また，s∓はG−\I上連続である．

問 2.5.3 J = R\[−1, 1]とする．以下を示せ．(i) z 7→ cos zは集合 {z ∈ C ; 0 < Re z <

π} ∪ {0, π} からC\J への全単射であり，逆写像は次のように表せる.

z 7→ Arccos zdef=

π

2− Arcsin z

問 2.3.5=

1

iLog (z + i

√1− z2).

Arccos を逆余弦関数と呼ぶ．[ヒント：cos z = sin(π2− z)] (ii) z 7→ sinh zは集合 {z ∈

C ; | Im z| < π/2} ∪ {−πi/2, πi/2} からC\iJ への全単射であり，逆写像は次のように表せる.

z 7→ iArcsin (z/i) = Log (z +√1 + z2).

[ヒント：sinh z = i sin(z/i)]

問 2.5.4 J = R\(−1, 1)とする．次を示せ．z 7→ tanh zは集合 | Im z| < π/2からC\Jへの全単射であり，逆写像は次のように表せる.

z 7→ iArctan (z/i) =1

2Log

1 + z

1− z.

[ヒント：tanh z = i tan(z/i)]

問 2.5.5 J = R\[−1, 1], J = R\(−1, 1)とする．以下の等式を示せ. (i) cos(Arcsin z) =√1− z2, z ∈ C\J . (ii) cos2(Arctan z) = 1

1+z2, z ∈ C\iJ .

55

3 複素微分

(2021年 7月 26日更新)

本章では複素関数に対する微分，すなわち複素微分を論じる．開集合D ⊂ Cで定義された関数 f : D → Cに対し，次のような γ ∈ Cが存在するとき, f は zで複素微分可能であるという：

w ∈ D\{z}, w → z =⇒ f(w)− f(z)

w − z−→ γ (3.1)

(より詳しくは定義 3.1.1参照)．なお，開集合を定義域とし，その各点で複素微分可能な関数は正則関数と呼ばれ，複素関数論の主役を演じる．本書でも本章以降の全体を通じその性質を探求する．複素微分の定義 (3.1) は見かけ上，実一変数関数の微分と同じである．したがって複素微分には実一変数関数の微分と同様の性質も多い.　これらの性質については主に 3.1節で述べる．一方で，3.5節以降で次第に明らかになるように，微分可能な実変数関数と複素微分可能な複素関数の性質は大きく異なる．x, y ∈ R,f の実部・虚部をそれぞれ u, vとし次の実二変数関数を考える．

(x, y) 7→ f(x+ iy) = u(x+ iy) + iv(x+ iy). (3.2)

実二変数関数 (3.2)が微分可能であるためには，u, vがそれぞれ x, yについて滑らかであればよく，u, vの間に特別な関係は必要ない．一方，複素関数 f が点 z = x + iy

(x, y ∈ R)において複素微分可能なら，u, vは次の等式をみたす (命題 3.5.2)．

ux(z) = vy(z), uy(z) = −vx(z) (コーシー・リーマン方程式)

(下付き添え字 x, yはそれぞれ x, yでの偏微分をあらわす)．上式が表す，f の実部・虚部の密接な関係は，複素関数 f の複素微分可能性が実二変数関数 (3.2) の微分可能性と大きく異なることを示している．また，適切な仮定のもとで f の複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式は同値である (定理 3.6.4)．その意味でコーシー・リーマン方程式は fの複素微分可能性を特徴づける．なお，コーシー・リーマン方程式は次のようにひとつの式にまとめることもできて，この形の方が使いやすい局面も少なくない．

fx(z) + ify(z) = 0.

正則関数の持つ著しい諸性質は 4章以降でより明らかとなるが，本章においても既にその一側面が現れる．

3.1 定義と基本的性質

複素関数に対し，その複素微分を次のように定める．定義 3.1.1 (複素微分) D ⊂ Cは開，f : D −→ C, z ∈ Dとする．▶ 次のような γ ∈ Cが存在するとき, f は zで複素微分可能であるという：

w ∈ D\{z}, w → z =⇒ f(w)− f(z)

w − z−→ γ. (3.3)

56

このとき γを，f の zにおける複素微分係数といい，f ′(z)と記す．▶ f がDの各点で複素微分可能なら，f はD上正則 であると言う．

定義 3.1.1を見る限り, 複素微分の定義は，実一変数関数の微分の定義における変数を形式的に複素数に一般化したものに過ぎない．正則関数が，微分可能な実一変数関数とは全く異なる顕著な性質を持つこと (本節冒頭の説明参照)がこの定義だけからは信じ難いくらいである．実一変数関数とは全く異なる顕著な性質の探求はもう少し先の楽しみにとっておくこととし，本節ではむしろ複素微分と実一変数関数の微分の類似性を用い，複素微分が実一変数関数の微分と同様の性質を持つという側面を見ていく．

命題 3.1.2 f : D → Cは定義 3.1.1のとおり, f が zで複素微分可能とする. このとき，f は zで連続である.

証明: w ∈ D\{z}, w → z で

f(w)− f(z) =f(w)− f(z)

w − z(w − z)

(3.3)−→ f ′(z) · 0 = 0.

\(∧2∧)/

命題 3.1.3 Dは定義 3.1.1のとおり, f, g : D → Cが zで複素微分可能とする.

a) f + gは zで複素微分可能かつ

(f + g)′(z) = f ′(z) + g′(z). (3.4)

b) fgは zで複素微分可能かつ,

(fg)′(z) = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z). (3.5)

c) g(z) 6= 0なら f/g は zで複素微分可能かつ,(f

g

)′

(z) =f ′(z)g(z)− f(z)g′(z)

g(z)2. (3.6)

証明: 実変数関数の場合と同様である． \(∧2∧)/

例 3.1.4 n ∈ N\{0}とする．このとき，

a) znはC上正則かつ (zn)′ = nzn−1, z ∈ C.

b) z−nはC\{0}上正則かつ (z−n)′ = −nz−n−1, z ∈ C\{0}

証明：a): 複素微分の定義より，全ての z ∈ Cで zは複素微分可能かつ z′ = 1.　これと，命題 3.1.3b を用いた帰納法より結論を得る．b): 全ての z ∈ Cで zは複素微分可能かつ z′ = 1.　これと，命題 3.1.3c より，z−1は全ての z ∈ C\{0}で複素微分可能かつ (z−1)′ = −z−2.さらに命題 3.1.3b を用いた帰納法より結論を得る． \(∧2

∧)/ またつまらぬ関数を微分してしまった．

57

例 3.1.5 （初等関数の微分）

a) 定数 c ∈ Cに対し z 7→ exp(cz)はC上正則かつ，z ∈ C に対し，

(exp(cz))′ = c exp(cz). (3.7)

b) cosh , sinh , cos, sinはC上正則かつ

cosh ′ = sinh , sinh ′ = cosh , cos′ = − sin, sin′ = cos . (3.8)

c) tanh はD1def= C\

(iπ2+ πiZ

) 上正則かつ，tanh ′ = 1/cosh 2. (3.9)

d) tanはD2def= C\

(π2+ πZ

)上正則かつ，tan′ = 1/ cos2 . (3.10)

証明: a): まず次に注意する．h ∈ Cに対し，

| exph− 1− h|(2.1)

≤∞∑n=2

|h|n

n!= |h|2

∞∑n=0

|h|n

(n+ 2)!≤ |h|

2

2

∞∑n=0

|h|n

n!=|h|2

2exp |h|.

ゆえに，h ∈ C\{0}, h→ 0なら

1)

∣∣∣∣exph− 1

h− 1

∣∣∣∣ ≤ |h|2 exp |h| −→ 0.

c 6= 0の場合に a)を示せば十分である．このとき，w ∈ C\{z}, w → z なら hdef=

c(w − z) 6= 0, h→ 0. よってexp(cw)− exp(cz)

w − z= c exp(cz)

exph− 1

h

1)−→ c exp(cz).

b):cosh , sinh , cos, sin を exp で書き表す定義式（命題 2.2.1, 命題 2.2.2）と a)による.

c): b) より cosh , sinh は C 上正則である. また，系 2.2.5 より，D1 上 cosh 6= 0. よって，命題 3.1.3c より，tanh = sinh /cosh はは D1 上正則であり，

tanh ′ =

(sinh

cosh

)′(3.6)=

cosh︷ ︸︸ ︷sinh ′ ·cosh − sinh z ·

sinh︷ ︸︸ ︷cosh ′

cosh 2

(2.10)=

1

cosh 2 .

d):b) より cos, sin は C 上正則である. また，系 2.2.5 より，D2 上 cos 6= 0. よって，命題 3.1.3c より，tan = sin / cos はは D2 上正則であり，

tan′ =

(sin

cos

)′(3.6)=

cos z︷︸︸︷sin′ · cos− sin z ·

− sin z︷︸︸︷cos′

cos2(2.15)=

1

cos2.

\(∧2∧)/ またつまらぬ関数を微分してしまった．

58

次に正則関数の合成に対する連鎖律を述べる．この連鎖律は例えば例 3.2.2, 例 3.2.3

で応用される．

命題 3.1.6 (連鎖律 I) D1, D2 ⊂ Cは開，f : D1 −→ C, g : D2 −→ D1, z ∈ D2とし，次を仮定する．

gが点 zで複素微分可能かつ f が点 g(z)で複素微分可能.

このとき，f ◦ gは点 zで複素微分可能かつ,

(f ◦ g)′(z) = f ′ (g(z)) g′(z). (3.11)

特に，f がD1上正則かつ gがD2上正則なら f ◦ gはD2上正則かつ全ての点 z ∈ D2で(3.11)が成立する．

証明: 実変数関数の場合と同様である． \(∧2∧)/

本節における以後の目標は命題 3.1.8である．そのために補題を用意する．この補題は今後も度々応用される．

補題 3.1.7 (連鎖律 II) I ⊂ Rを区間，D ⊂ Cを開集合，t ∈◦I, g : I → D, f : D → C,

gは tで微分可能かつ f は g(t)で複素微分可能とする．このとき，f ◦ g, f ◦ gは tで微分可能かつ,

(f ◦ g)′(t) = f ′ (g(t)) g′(t), (f ◦ g)′(t) = f ′ (g(t)) g′(t). (3.12)

証明: 実変数関数の場合と同様に，

(f ◦ g)′(t) = f ′ (g(t)) g′(t).

一方，一般に h : I → Cが tで微分可能とするとき，容易に分かるように，(h(t)

)′=

h′(t).これを h = f ◦ gに適用し，

(f ◦ g)′(t) = f ′ (g(t)) g′(t).

\(∧2∧)/

命題 3.1.8 D ⊂ Cが領域, f : D → Cが正則，かつ全ての z ∈ Dで f ′(z) = 0なら fはD上定数である．

証明: 次を言えばよい：

1) 任意の z, w ∈ Dに対し f(z) = f(w)．

59

ところが，命題 1.6.10より，z, wをD内で結ぶ折れ線 C が存在する．C を次のように表す：

C =n⋃

j=1

[zj−1, zj], (z0 = z, zn = w).

したがって，各 j = 1, ..., nに対し f(zj−1) = f(zj)なら 1)が言える．そこで j = 1, ..., n

を任意，g(t) = (1− t)zj−1+ tzj (t ∈ [0, 1])とするとき，f ◦gは [0, 1]上連続.また，f ◦gは補題 3.1.7 より (0, 1)上で可微分かつ全ての t ∈ (0, 1)に対し

(f ◦ g)′(t) (3.12)= f ′(g(t))g′(t) = 0.

以上より f ◦ gは [0, 1]上定数である．特に f(zj−1) = (f ◦ g)(0) = (f ◦ g)(1) = f(zj).

\(∧2∧)/

問 3.1.1 記号は定義 3.1.1のとおり，D∗ def= {z ∈ C ; z ∈ D}，g(z)

def= f(z) (z ∈ D∗)

とする．このとき，z ∈ D∗に対し f が zで複素微分可能なら，gは zで複素微分可能かつ g′(z) = f ′(z)であることを示せ．特に f がD上正則なら，gもD∗上正則である．

問 3.1.2 D ⊂ Cは領域 f, g : D → Cは正則, かつD上 g 6= 0, f ′g = fg′とする．このとき，f/gは定数であることを示せ．

問 3.1.3 命題 3.1.8の別証明 (命題 1.6.10を用いない) を,次の方針に沿って与えよ．i)

まずDが凸である（D内の任意の二点を端点とする線分がDに含まれる）場合に示す．ii) Dが一般の領域である場合に f はD上定数でないと仮定する．このとき，a, b ∈ D

であり f(a) 6= f(b)なるものが存在する．そこで，次により定めるD1, D2は共に開であることを示し，Dの連結性との矛盾を導く．

D1 = {z ∈ D ; f(z) = f(a)}, D2 = {z ∈ D ; f(z) 6= f(a)}.

3.2 逆関数の複素微分

次の定理 3.2.1は今後，対数関数・逆三角関数などの具体例に応用される．

定理 3.2.1 (逆関数の複素微分) D1, D2 ⊂ Cは開，f : D1 → D2は全単射，g : D2 → D1

をその逆関数, z ∈ D2とし，次を仮定する．

f が点 g(z)で複素微分可能，f ′(g(z)) 6= 0, かつ gが点 zで連続. (3.13)

このとき，gは点 zで複素微分可能かつ，

g′(z) =1

f ′(g(z)). (3.14)

特に，次の仮定のもとで gはD2上正則, かつ全ての点 z ∈ D2で (3.14)が成立する．

f がD1上正則, f ′がD1内に零点を持たない, かつ gがD2上連続. (3.15)

60

証明: w 6= z, w −→ z とすると, g(w) 6= g(z), g(w) −→ g(z). 従って,

g(w)− g(z)

w − z=

g(w)− g(z)

f(g(w))− f(g(z))−→ 1

f ′(g(z)).

\(∧2∧)/

注：仮定 (3.15)のうち，gの連続性はその他の仮定から自動的に従う [杉浦, II, p. 310,

定理 8.9]．ここでは，簡単のため仮定に含めた．

例 3.2.2 (対数の主値・べき関数の主値の微分)

a) Log zはC\(−∞, 0]上正則かつ(Log z)′ =

1

z. (3.16)

b) α ∈ C, z ∈ C\{0}に対し zα ((2.37)参照) はC\(−∞, 0]上正則かつ

(zα)′ = αzα−1. (3.17)

証明：a): D = {z ∈ C ; | Im z| < π}とすると，exp : D → C\(−∞, 0], Log :

C\(−∞, 0]→ Dは互いに逆関数であり，共に連続である (命題 2.3.7)．また，expはD

上で正則かつexp′ = exp 6= 0 (例 3.1.5). よって，定理 3.2.1より，Log : C\(−∞, 0]→ D

は正則である．更に，

1) (exp)′(Log z) = exp(Log z) = z.

よって，(Log z)′

(3.14)=

1

(exp)′(Log z)

1)=

1

z.

b):zα(2.37)= exp(αLog z) = f ◦ g(z), 但し f(z) = exp(αz), g(z) = Log z. よって,

(zα)′(3.11)= f ′ (g(z)) g′(z)

(3.7), (3.16)= α exp(αLog z)

1

z= αzα−1.

\(∧2∧)/ またつまらぬ関数を微分してしまった．

例 3.2.3 (⋆)(逆三角関数の微分) J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．

a) Arcsin zはC\J 上正則かつ，

(Arcsin z)′ =1√

1− z2. (3.18)

b) Arctan zはC\iJ 上正則かつ，

(Arctan z)′ =1

1 + z2. (3.19)

61

証明：D = {z ∈ C ; |Re z| < π/2}とする.

a): sin : D → C\J , Arcsin : C\J → Dは互いに逆関数であり共に連続である (命題2.5.2)．また，sinはD上で正則かつ sin′ = cos 6= 0 (系 2.2.5,例 3.1.5). よって，定理3.2.1より，Arcsin : C\J → Dは正則である．(Arcsin z)′は (3.14)と問 2.5.5を用いて求めることもできるが (問 3.2.1)，ここでは (2.60)から直接計算する．

1) (Arcsin z)′(2.60)=

1

i(Log (

√1− z2 + iz))′

(3.16),(3.11)=

1

i

1√1− z2 + iz

(√1− z2 + iz)′.

さらに

(√1− z2 + iz)′

(3.17),(3.11)=

−z√1− z2

+ i =−z + i

√1− z2√

1− z2= i

√1− z2 + iz√

1− z2.

上式と 1)より (3.18)を得る．b):　 tan : D → C\iJ , Arctan : C\iJ → Dは互いに逆関数であり共に連続である (命題 2.5.4)．また，tanはD上で正則かつ tan′ = 1/ cos2 6= 0 (系 2.2.5,例 3.1.5). よって，定理 3.2.1より，Arctan : C\iJ → Dは正則である．(Arctan z)′は (3.14)と問 2.5.5を用いて求めることもできるが (問 3.2.1)，ここでは (2.63)から直接計算する．

(Arctan z)′(2.63)=

1

2i

(Log

1 + iz

1− iz

)′(3.16),(3.11)

=1

2i

1− iz

1 + iz

(1 + iz

1− iz

)′

(3.6)=

1

2i

1− iz

1 + iz

2i

(1− iz)2=

1

1 + iz

1

1− iz=

1

1 + z2.

\(∧2∧)/ またつまらぬ関数を微分してしまった．

問 3.2.1 (3.14)と問 2.5.5を用い (Arcsin z)′, (Arctan z)′を求めよ．

問 3.2.2 D1 = {z ∈ C ; | Im z| < π2}, D2 = {z ∈ C ; |Re z| < π

2}, H = {z ∈

C ; Re z > 0}とする. 以下を示せ．(i)f(z) = z+z−1

2, (z ∈ C\{0}) に対し f(H) ⊂ H.

(ii) {cosh z ; z ∈ D1} ⊂ H, {cos z ; z ∈ D2} ⊂ H．(iii) Log cosh z は領域 D1

上で, 正則かつ (Log cosh z)′ = tanh z. また，Log cos z は領域 D2 上で, 正則かつ(Log cos z)′ = − tan z.

3.3 べき級数の複素微分

r ∈ (0,∞], an ∈ C (n ∈ N)とし，次のべき級数を考える：

f(z) =∞∑n=0

anzn, z ∈ D(0, r)

def= {z ∈ C ; |z| < r}. (3.20)

本節では，べき級数 (3.20)が全ての z ∈ D(0, r)に対し絶対収束すれば, f はD(0, r)上正則かつ導関数 f ′(z) は次のように表示されることを示す (命題 3.3.1)．

f ′(z) =∞∑n=1

nanzn−1 (右辺は絶対収束). (3.21)

62

この事実から帰納的に, fはD(0, r)上で任意回複素微分可能であることが従う (系 3.3.2)．命題 3.3.1から，多くの初等関数のべき級数展開が得られる (例 3.3.5, 例 3.3.7, 命題

3.4.3, 例 3.4.6). さらに，　正則関数は定義域内の開円板においてべき級数に展開されることと系 3.3.2を併せると，任意の正則関数が任意回複素微分可能であることが従う(定理 5.1.1)．

命題 3.3.1 (べき級数の正則性) べき級数 (3.20)が全ての z ∈ D(0, r)に対し絶対収束するとする. このとき, f はD(0, r)上正則かつ z ∈ D(0, r)に対し, (3.21)が成立する．

命題 3.3.1の証明に先立ち，その重要な系を述べる．

系 3.3.2 命題 3.3.1と同じ仮定のもとで，f はD(0, r)上で任意回複素微分可能である．そこで，f のm階導関数を f (m)と記すとき，z ∈ D(0, r),m = 1, 2, ...に対し

f (m)(z) =∞∑

n=m

n(n− 1) · · · (n−m+ 1)anzn−m (右辺は絶対収束). (3.22)

特に,

f (m)(0) = m!am (べき級数の係数と微分の関係). (3.23)

証明：命題 3.3.1から帰納的に結論を得る． \(∧2∧)/

注: 正則関数は定義域に含まれる開円板内でべき級数に展開される (定理 5.1.1). この事実と系 3.3.2より，正則関数は無限回複素微分可能であり，したがってその任意階の導関数も正則であることが従う．

以下命題 3.3.1を示す．そのために補題を準備する：

補題 3.3.3 z, w ∈ C, ρ(z, w) def= max{|z|, |w|}, n ∈ N\{0} とするとき，

|wn − zn − nzn−1(w − z)| ≤ 12n(n− 1)|w − z|2ρ(z, w)n−2.

証明：n = 1なら示すべき式は自明（両辺は共に 0）なので n ≥ 2としてよい．まず次を示す:

1) c ∈ C に対し |cn − 1− n(c− 1)| ≤ 12n(n− 1)|c− 1|2ρ(c, 1)n−2.

左辺の絶対値の中身を次のように変形する：

cn − 1− n(c− 1) = (c− 1)n−1∑m=0

(cm − 1) = (c− 1)2n−1∑m=0

m−1∑j=0

cj.

0 ≤ j ≤ n− 2 に対し，|cj| ≤ ρ(c, 1)j ≤ ρ(c, 1)n−2. ゆえに上式より，

|cn − 1− n(c− 1)| ≤ |c− 1|2ρ(c, 1)n−2

n−1∑m=0

m−1∑j=0

1.

63

さらに，n−1∑m=0

m−1∑j=0

1 =n−1∑m=0

m = 12n(n− 1).

以上より 1) を得る．次に補題の不等式を示す．z = 0なら所期不等式は自明なので z 6= 0 としてよい．このとき，c

def= w/z に対し 1) を適用し，

|(w/z)n − 1− n((w/z)− 1)| ≤ 12n(n− 1)|(w/z)− 1|2ρ(w/z, 1)n−2.

上式両辺に |z|n をかけて，所期不等式を得る． \(∧2∧)/

補題 3.3.4 べき級数 (3.20)が, 全ての z ∈ D(0, r)に対し絶対収束するとする. また,

pn ∈ C (n ∈ N)が任意の δ ∈ (0, 1)に対し pnδn n→∞−→ 0をみたすとする．このとき，次

のべき級数も全ての z ∈ D(0, r)に対し絶対収束する.

∞∑n=0

pnanzn.

証明：z ∈ D(0, r)に対し |z| < ρ < rとなる ρをとる. このとき仮定より

1)∞∑n=0

|an|ρn <∞.

一方，|pn| (|z|/ρ)n

n→∞−→ 0.

よって,

∃n1 ∈ N, ∀n ≥ n1, |pn|(|z|/ρ)n ≤ 1.

従って n ≥ n1に対し |pnan||z|n ≤ |an|ρn．これと 1)より結論を得る. \(∧2∧)/

命題 3.3.1の証明：z ∈ D(0, r)とし, |z| < ρ < rとなるρをとる. w → zのとき, |w| < ρ

としてよい. このとき, 補題 3.3.3より,

1) |wn − zn − nzn−1(w − z)| ≤ 12n(n− 1)|w − z|2ρn−2.

従って, w 6= z, w → zなら,∣∣∣∣∣f(w)− f(z)

w − z−

∞∑n=1

nanzn−1

∣∣∣∣∣ (3.20)=

∣∣∣∣∣∞∑n=1

an

(wn − zn

w − z− nzn−1

)∣∣∣∣∣≤

∞∑n=1

|an|∣∣∣∣wn − zn

w − z− nzn−1

∣∣∣∣1)

≤ |w − z|∞∑n=1

n(n− 1)|an|ρn−2

︸ ︷︷ ︸補題 3.3.4 より有限

−→ 0.

以上より, (3.21)を得る. また補題 3.3.4より (3.21)右辺は D(0, r)上絶対収束する．\(∧2

∧)/

64

例 3.3.5 (対数の主値のべき級数) z ∈ C\{1}, |z| ≤ 1なら,

−Log (1− z) =∞∑n=1

zn

n. (3.24)

特に z = −1とすれば,

log 2 =∞∑n=1

(−1)n−1

n.

証明：(3.24)右辺を f(z)とおく. f(z)は |z| ≤ 1, z 6= 1の範囲で収束し，連続である（命題 1.5.6）. また，−Log (1− z)もこの範囲で連続である（命題 2.3.5）．まず |z| < 1の範囲で (3.24)を示す．この範囲で f(z)は絶対収束するので, べき級数の正則性（命題 3.3.1）より, f(z)は |z| < 1の範囲で正則かつ,

f ′(z)(3.21)=

∞∑n=1

zn−1 例 1.4.9=

1

1− z= (−Log (1− z))′.

従って, 命題 3.1.8より f(z) = −Log (1− z) + c (cは定数). 更に z = 0とし，c = 0.以上より |z| < 1の範囲で (3.24)を得る．次に |z| = 1, z 6= 1とする．|zn| < 1, zn → z なる点列に対し，−Log (1−zn) = f(zn)．そこで n→∞とすれば, (3.24)両辺の zにおける連続性より (3.24)を得る． \(∧2

∧)/

例 3.3.6 (⋆) 以下の等式が成立する．

π − θ

2=

∞∑n=1

sinnθ

n, θ ∈ (0, 2π), (3.25)

(2π − θ)θ

4=

∞∑n=1

1− cosnθ

n2, θ ∈ [0, 2π]. (3.26)

(3.25)で θ = π/2として，

π

4=

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1(ライプニッツの級数). (3.27)

(3.26)で θ = πとして，

π2

8=

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2,

π2

6=

∞∑n=1

1

n2,

π2

12=

∞∑n=1

(−1)n−1

n2. (3.28)

証明：(3.25):

π − θ

2問 2.3.4= − ImLog (1− exp(iθ))

(3.24)=

∞∑n=1

sinnθ

n.

(3.26): θ = 0, 2πなら等式両辺は共に= 0. ゆえに θ ∈ (0, 2π) の場合に示せば十分である．そこで ε > 0を ε < θ < 2π − εなるようにとる．(3.25)右辺の級数を f(θ)と書く．

65

このとき，命題 1.5.6の証明より，級数 f(θ)は θ ∈ [ε, 2π − ε] について一様収束する．よって項別積分により∫ θ

ε

f(t)dt =∞∑n=1

1

n

∫ θ

ε

sin(nt)dt

=∞∑n=1

cosnε− cosnθ

n2

ε→0−→∞∑n=1

1− cosnθ

n2.

一方，(3.25)左辺について，∫ θ

ε

π − t

2dt =

[(2π − t)t

4

]θε

ε→0−→ (2π − θ)θ

4.

以上で (3.26)を得る．(3.27): (3.25)で θ = π/2とすると，左辺 = π/4. また，

右辺 =∞∑n=1

sin(nπ/2)

n=∑n:奇数

sin(nπ/2)

n=

∞∑n=0

sin(nπ + π

2

)2n+ 1

=∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1.

(3.28): (3.28)の三式右辺を順にS1, S2, S3とする．S1を求めれば (2.51)よりS2, S3も求まる．(3.26)で θ = πとして

π2

4=

∞∑n=1

1− (−1)n

n2=∑n:奇数

2

n2+

∑n≥2:偶数

0

n2= 2S1,

よって S1 =π2

8. \(∧2

∧)/

注: 等式 (3.25)は θ = 0, 2π では成立しない（左辺 6= 0, 右辺=0）. 従って右辺はθ = 0, 2πで不連続である．この例は，連続関数列の極限が不連続な例として，アーベル が提示したことでよく知られている（1826年）．等式 (3.28)はオイラーによる (1735

年). オイラーは更に∑∞n=1

1nk , k = 4, 6, 8, 10, 12も求めた (問 6.3.3参照).

例 3.3.7 (⋆)(逆正接のべき級数) z ∈ C\{±i}, |z| ≤ 1なら,

Arctan z =∞∑n=0

(−1)nz2n+1

2n+ 1. (3.29)

特に z = 1として (3.27)を得る．証明：g(z)

def=∑∞

n=0zn

2n+1は z ∈ C\{1}, |z| ≤ 1 の範囲で収束し，連続である（命題

1.5.6）. そこで (3.29)右辺を f(z)とおくと，f(z) = zg(−z2)は z ∈ C\{±i}, |z| ≤ 1 の範囲で収束し，連続である. また，Arctan zもこの範囲で連続である（命題 2.5.4）. ゆえに両者が |z| < 1の範囲で一致すれば十分である (例 3.3.5の証明参照)．f(z)は |z| < 1

の範囲で絶対収束するので, べき級数の正則性（命題 3.3.1）より, f(z)は |z| < 1の範囲で正則かつ,

1) f ′(z)(3.21)=

∞∑n=0

(−1)nz2n.

66

ゆえに,

(Arctan z)′(3.19)=

1

1 + z2=

∞∑n=0

(−1)nz2n 1)= f ′(z).

従って, 命題 3.1.8よりArctan z = f(z)+ c (cは定数). 更に z = 0とし，c = 0. \(∧2∧)/

問 3.3.1 (負べきのべき級数) r ∈ (0,∞] とする．級数 g(z)def=

∞∑n=0

anznが |z| > 1/r の

範囲で絶対収束すれば，この範囲で正則であることを示せ．

問 3.3.2 (⋆) (3.24)から以下を導け．(i) θ ∈ (0, 2π)に対し，log 2 + log sin

θ

2= −

∞∑n=1

cosnθ

n.

(ii) θ ∈ [0, 2π]に対し，θ log 2 + 2

∫ θ/2

0

log sin tdt = −∞∑n=1

sinnθ

n2.

(iii)

∫ π2

0

log sin tdt = −π

2log 2.

問 3.3.3 (⋆) (3.26), (3.28)から以下を導け．(i) θ ∈ [0, 2π]に対し，θ(π − θ)(2π − θ)

12=

∞∑n=1

sinnθ

n3. (ii)

π3

32=

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)3.

注: 問 3.3.3(ii)の一般化については (6.45)を参照されたい．

問 3.3.4 (⋆) x ∈ [−1, 1]に対し次を示せ:∫ x

0Arctan y

ydy =

∑∞n=0

(−1)nx2n+1

(2n+1)2. 特に x = 1

のとき, この級数（積分）の値をカタラン定数 と言う. カタラン定数は近似値 0.9159...

を持つが正確な値は知られていない．一方，各項分母の 2乗を 3乗におきかえた級数は,一見するとより複雑であるにもかかわらず正確な値が知られている（問 3.3.3）.

3.4 (⋆)一般二項展開

複素数 α ∈ C, z ∈ C\(−∞,−1]に対しべき乗の主値 (1 + z)αは zを変数とし正則である (例 3.2.2)．本節では，(1 + z)αに対し |z| < 1の範囲でのべき級数展開を求める (命題 3.4.3). このべき級数展開は二項展開 (α ∈ Nの場合)の一般化であることから一般二項展開と呼ばれる．さらに，一般二項展開 (α = −1/2の場合)の応用として，逆正弦関数のべき級数展開を求める (例 3.4.6)．技術的補題から始める．

補題 3.4.1 p ∈ R, m ∈ N, m ≥ 2とし，rn > 0 (n ∈ N)が次をみたすとする．rnrn−1

≤ 1 +p

n, ∀n ≥ m. (3.30)

このとき，m, pのみに依存する定数Cが存在し，∀n ∈ Nに対し，

rn ≤ Cnp.

証明：x ∈ [0, 1)に対し，次の初等的不等式に注意する．

67

1) 1 + px ≤ (1− x)−p.

n ≥ mに対し，

2)rnrn−1

≤ 1 +p

n

1)

≤(1− 1

n

)−p

=

(n

n− 1

)p

.

ゆえに，rn = rm−1

n∏j=m

rjrj−1

2)

≤ rm−1

n∏j=m

(j

j − 1

)p

= rm−1

(n

m− 1

)p

.

\(∧2∧)/

α ∈ C, n ∈ N に対し一般二項係数 (αn

) を次で定める：(αn

)=

{α(α− 1) · · · (α− n+ 1)/n!, n ≥ 1,

1, n = 0.(3.31)

補題 3.4.2 an =(αn

)(α ∈ C\N, n ∈ N), p = | Imα| − Reα− 1,

m = min{n ∈ N ∩ [2,∞) ; n ≥ Reα + 1}

とする.

a) n ≥ mなら，∣∣∣∣ anan−1

∣∣∣∣ ≤ 1 +p

n

b) αのみに依存する定数Cが存在し，∀n ∈ Nに対し，|an| ≤ Cnp.

c) α ∈ [−1,∞), n ≥ mなら, an = (−1)n|an|, |an| ≤ |an−1|.

証明：a):

1)anan−1

=α + 1− n

n=

α + 1

n− 1.

n ≥ mとする．このとき，

2)

∣∣∣∣Re(α + 1

n− 1

)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣Reα + 1

n− 1

∣∣∣∣ = 1− Reα + 1

n

ゆえに， ∣∣∣∣ anan−1

∣∣∣∣ 1)

≤∣∣∣∣Re(α + 1

n− 1

)∣∣∣∣+ ∣∣∣∣Im(α + 1

n− 1

)∣∣∣∣2)= 1− Reα + 1

n+| Imα|

n= 1 +

p

n.

b): a) および 補題 3.4.1による．c): n ≥ mなら，1) より an

an−1∈ [−1, 0]. \(∧2

∧)/

命題 3.4.3 (一般二項展開) |z| < 1なら，

(1 + z)α =∞∑n=0

(αn

)zn (右辺は絶対収束). (3.32)

68

証明：z ∈ Ddef= {z ∈ C ; |z| < 1}に対し，示すべき等式の左辺，右辺をそれぞれ

g(z)，f(z)とおく．補題 3.3.4, 補題 3.4.1 b)より f(z)は |z| < 1で絶対収束する．以下,

f(z) = g(z)を言う．べき関数の微分（例 3.2.2）より,

1) g′(z) = α(1 + z)α−1, 従って (1 + z)g′(z) = αg(z).

また,

2) (1 + z)f ′(z) = αf(z).

実際,

(1 + z)f ′(z)命題 3.3.1

= (1 + z)∞∑n=0

(αn

)nzn−1

=∞∑n=0

(αn

)nzn−1 +

∞∑n=0

(αn

)nzn

=∞∑n=0

{(α

n+ 1

)(n+ 1) +

(αn

)n

}zn

問 3.4.1=

∞∑n=0

α(αn

)zn = αf(z).

よって，f ′(z)g(z)− g′(z)f(z)

1),2)=

αf(z)g(z)− αg(z)f(z)

1 + z= 0.

∀z ∈ C に対し ez 6= 0 なので g(z) = exp(αLog (1 + z)) 6= 0. 従って, 問 3.1.2より D上f/g = c (定数) . さらに，c = (f/g)(0) = 1/1 = 1. \(∧2

∧)/

ニュートンは, 遅くとも 1665年には一般二項展開が α ∈ Qの場合に成立することを発見し, 最初の何項かを具体的に書き下した．

命題 3.4.4 a) Reα > | Imα|なら，等式 (3.32)の右辺は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束し，この範囲で等式が成立する．

b) α ∈ [−1,∞)なら，等式 (3.32)の右辺は |z| ≤ 1, z 6= −1の範囲で収束し，この範囲で等式が成立する．

証明：等式 (3.32)の左辺，右辺をそれぞれ g(z)，f(z)とおく．a): Reα > | Imα| ≥ 0より，g は C\(−∞,−1)で連続である．一方，p = | Imα| −Reα − 1 < −1に対し |an| ≤ Cnp (n ≥ m) より級数 f(z)は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束する．よって命題 1.5.4より，f(z)は |z| ≤ 1の範囲で連続である．さらに，命題 3.4.3

より，|z| < 1なら g(z) = f(z). 以上を併せて結論を得る．b): gはC\(−∞,−1]で連続である．一方，級数 f(z)で，n ≥ mの部分を取り出すと，補題 3.4.2c)より，

∞∑n=m

anzn =

∞∑n=m

|an|(−z)n.

69

命題 1.5.6より，上記級数は {z ∈ C ; |z| ≤ 1, z 6= −1}の範囲で収束し，この範囲で連続である．さらに，命題 3.4.3より，|z| < 1なら g(z) = f(z). 以上を併せて結論を得る． \(∧2

∧)/

例 3.4.5 n ∈ N に対し, 二重階乗を次のように定める：

(2n−1)!! =

{1, (n = 0)

1 · 3 · · · (2n− 1), (n ≥ 1),(2n)!! =

{1, (n = 0)

2 · 4 · · · (2n), (n ≥ 1).

(3.33)

次は容易に分かる：

bndef= (−1)n

(−1/2n

)=

(2n− 1)!!

(2n)!!=

1

22n

(2n

n

), n ∈ N.

上記数列 bnは, 硬貨を 2n回投げて丁度 n回表が出る確率を表し，Arcsin のべき級数展開にも登場する（例 3.4.6）. |z| ≤ 1, z 6= −1なら，命題 3.4.4より，

1√1 + z

=∞∑n=0

(−1)nbnzn. (3.34)

例 3.4.6 (Arcsin のべき級数) bnを例 3.4.5のとおり, z ∈ C, |z| ≤ 1とするとき，

Arcsin z =∞∑n=0

bnz2n+1

2n+ 1(右辺は絶対収束). (3.35)

証明：(3.35)の右辺と書く．補題 3.4.2より |bn| ≤ Cn−1/2 (n ≥ 0, C は定数). よってf(z)は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束する．よって命題 1.5.4より，f(z)は |z| ≤ 1の範囲で連続である．一方，Arcsin もこの範囲で連続である (命題 2.5.2)．以上より |z| < 1に対し f(z) = Arcsin zを言えばよい．|z| < 1なら,

f ′(z)命題 3.3.1

=∞∑n=0

bnz2n (3.34)

=1√

1− z2(3.18)= (Arcsin z)′

以上と命題 3.1.8より |z| < 1ならArcsin z−f(z) = c (定数). 更に c = Arcsin 0−f(0) =0. \(∧2

∧)/

問 3.4.1 一般二項係数 (3.31)について以下を示せ：(i)(α−1n−1

)+(α−1n

)=(αn

). (ii)(

αn+1

)(n+ 1) +

(αn

)n = α

(αn

). (iii)

(−αn

)= (−1)n

(α+n−1

n

).

問 3.4.2 (負の二項展開) z ∈ C, |z| < 1, m ∈ Nとし，次を示せ：

1

(1 + z)m=

∞∑n=0

(−1)n(m+ n− 1

n

)zn (右辺は絶対収束).

係数に現れる mHndef=(m+n−1

n

)は n個の物をm種類に分ける（あるいは，m種類の物から重複を許しn個選ぶ）方法の総数で，負の二項係数, または重複組合せとよばれる．

70

3.5 コーシー・リーマン方程式 I

本節では，本章冒頭で紹介したコーシー・リーマン方程式を論じる．コーシー・リーマン方程式 (命題 3.5.2)は，ダランベール (1752年), 次いでオイラー

(1797年)により，2次元流体の速度場に対する偏微分方程式として導出された．19世紀になると，コーシー により，この偏微分方程式と複素関数の複素微分可能性との関係が認識された (1825–1851年にわたる複数の著作)．さらにリーマン はその学位論文(1851年)において，コーシー・リーマン方程式を，複素関数論の基礎方程式と位置づけた．まず，複素変数 z = x+ iy (x, y ∈ R)を持つ関数の，変数 x, yについて偏微分の意味を, 以下のように自然に規約する．定義 3.5.1 D ⊂ Cは開，h : D −→ C, c = a+ ib ∈ D (a, b ∈ R),

U = {(x, y) ∈ R2 ; x+ iy ∈ D}

とする．実二変数関数(x, y) 7→ h(x+ iy) : U → C (3.36)

が点 (a, b)において変数 xについて偏微分可能であるとき，複素変数関数 h : D −→ Cは点 cにおいて xについて偏微分可能であるといい，その偏微分係数を次のように定める：

hx(c) =∂

∂xh(c)

def=

∂

∂xh(x+ iy)

∣∣∣∣(x,y)=(a,b)

. (3.37)

同様に，関数 (3.36)が点 (a, b)において変数 yについて偏微分可能であるとき，複素変数関数 h : D −→ Cは点 cにおいて yについて偏微分可能であるといい，その偏微分係数を次のように定める：

hy(c) =∂

∂yh(c)

def=

∂

∂yh(x+ iy)

∣∣∣∣(x,y)=(a,b)

. (3.38)

また，複素変数関数 h : D −→ Cからなる集合C1(D)を次のように定める．

h ∈ C1(D)def⇐⇒ 関数 (3.36) がC1(U)に属する．

命題 3.5.2 D ⊂ Cは開，f : D −→ C, u = Re f , v = Im f , z ∈ Dとする.

a) fが zにおいてx, yについて偏微分可能なら，以下の等式 (3.39)と，等式の組 (3.40)

は同値である．fx(z) + ify(z) = 0, (3.39)

ux(z) = vy(z), uy(z) = −vx(z). (3.40)

等式 (3.39), または等式の組 (3.40)をコーシー・リーマン方程式 と呼ぶ．

b) f が zで複素微分可能なら, f は zにおいて x, yについて偏微分可能かつ

fx(z) = f ′(z), fy(z) = if ′(z). (3.41)

特に，f は zにおいてコーシー・リーマン方程式をみたす．

71

証明: a) 微分の線形性より，

1) fx(z) = ux(z) + ivx(z), fy(z) = uy(z) + ivy(z).

ゆえにfx(z) + ify(z)

1)= ux(z)− vy(z) + i(vx(z) + uy(z)).

よって (3.39)と (3.40)は同値である．b) x = Re z, y = Im zとする．Dは開なので，r > 0が十分小なら全ての t ∈ (x−r, x+r)

に対し g(t)def= t+ iy ∈ D. よって補題 3.1.7より，t 7→ f(t+ iy)は t = xで微分可能で

ある．したがって，f は zにおいて xについて偏微分可能である．g′(t) = 1より，

2) fx(z) =ddtf(t+ iy)

∣∣t=x

(3.12)= f ′(x+ iy)g′(x) = f ′(z).

Dは開なので，r > 0が十分小なら全ての t ∈ (y − r, y + r)に対し h(t)def= x + it ∈ D.

そこで補題 3.1.7を用いると上と同様に，f は zにおいて yについて偏微分可能であることが分かる．h′(t) = iより，

3) fy(z) =ddtf(x+ it)

∣∣t=y

(3.12)= f ′(x+ iy)h′(y) = if ′(z).

2),3) より (3.41)を得る．また，(3.41)より (3.39)を得る:

fx(z) + ify(z) = f ′(z)− f ′(z) = 0.

\(∧2∧)/

注: 命題 3.5.2において，b)の逆は正しくない (例 3.5.4). 一方，f に全微分可能性 (定義 3.6.1)を仮定すると，b)の逆が成立する (定理 3.6.4).

命題 3.5.2の系として，f が cで複素微分可能とするとき，Re f , Im f , f は多くの場合 cで複素微分不可能であることが分かる．例えば f(z) = zは全ての zで複素微分可能だが，次の系 3.5.3より，Re z, Im z, z は全ての zで複素微分不可能である．

系 3.5.3 記号は命題 3.5.2のとおり，fは zで複素微分可能, fα,β = αf +βf (α, β ∈ C)とする．このとき，

fα,βが zで複素微分可能⇐⇒ β = 0, または f ′(z) = 0. (3.42)

特に，Dが領域，β 6= 0, f, fα,βが共にD上正則なら, f はD上定数である．

証明: ⇒: fα,βが zで複素微分可能なら, fα,βに対するコーシー・リーマン方程式 (3.39)

より

1) 0 = (fα,β)x(z) + i(fα,β)y(z) = αfx(z) + βfx(z) + iαfy(z) + iβfy(z).

一方，f に対する (3.39)より ify(z) = −fx(z), ify(z) = fx(z). これを 1)右辺の第三・四項に代入し，

1)右辺 = αfx(z) + βfx(z)− αfx(z) + βfx(z) = 2βfx(z)(3.41)= 2βf ′(z).

72

よって，β = 0 または f ′(z) = 0．⇐: β = 0なら，fα,β = αfは zで複素微分可能である．そこで，f ′(z) = 0とする．fα,β

は f, fの複素線形結合なので，fが zで複素微分可能ならよい．w ∈ D\{z}とする．このとき |w−z

w−z| = 1. ゆえにw → zのとき，

f(w)− f(z)

w − z=

w − z

w − z

(f(w)− f(z)

w − z

)−→ 0.

特に，Dが領域，β 6= 0, f, fα,βが共にD上正則なら, (3.42)と命題 3.1.8より fはD上定数である． \(∧2

∧)/

次の例の f : C → C は原点で複素微分不可能だが，原点を含め，全ての点でコーシー・リーマン方程式をみたす (命題 3.5.2b の逆に対する反例)．

例 3.5.4 f : C→ Cを次のように定める．

f(z) =

{exp (−1/z4) , z 6= 0なら,

0, z = 0なら.

このとき，

a) f は全ての z ∈ Cで x, yについて偏微分可能かつコーシー・リーマン方程式をみたす．

b) f は原点で不連続である，特に原点で複素微分不可能である．

証明: a) 例 3.1.4, 例 3.1.5, および 命題 3.1.6より，f はC\{0}上正則である．ゆえにf はC\{0}上で x, yについて偏微分可能かつコーシー・リーマン方程式をみたす (命題3.5.2). さらに, i4 = 1より t ∈ Rに対し，

f(t) = f(it) =

{exp (−1/t4) , t 6= 0なら,

0, t = 0なら.

ゆえに f(t), f(it)は共に t = 0で無限回微分可能かつ微分係数= 0 ([吉田 1, p. 180, 例8.9.3]参照). よって f は原点で x, yについて偏微分可能かつ fx(0) = fy(0) = 0, 特に原点でコーシー・リーマン方程式をみたす．b) ω = exp(iπ/4)に対し ω4 = −1. ゆえに t ∈ R\{0}に対し f(ωt) = exp(1/t4)

t→0−→ ∞.

　したがって，fは原点で不連続，特に原点で複素微分不可能である (命題 3.1.2). \(∧2∧)/

例 3.5.5 (正則多項式の特徴づけ) 多項式 p : C2 → Cに対し，

p(z, z)が z ∈ Cについて正則 ⇐⇒ p(z, w) = p(z, 0), ∀z, ∀w ∈ C. (3.43)

証明: ⇐は明らかなので⇒を示す．高々n次の多項式 p(z, w)は次のように表される．

1) p(z, w) =∑

ℓ+m≤n

cℓ,mzℓwm, cℓ,m ∈ C.

73

z = x+ iy (x, y ∈ R), ℓ,m ∈ N とするとき

2)(

∂∂x

+ i ∂∂y

)(zℓzm) =

{2mzℓzm−1, m ≥ 1なら,

0, m = 0なら.

実際，q = zℓzmに対し，

qx = ℓzℓ−1zm +mzℓzm−1, qy = iℓzℓ−1zm − imzℓzm−1.

( またつまらぬ関数を微分してしまった) よって，

qx + iqy = ℓzℓ−1zm +mzℓzm−1 − ℓzℓ−1zm +mzℓzm−1 = 2mzℓzm−1.

以上で 2)を得る.

p(z, z)が正則なら，

0(3.39)= p(z, z)x + ip(z, z)y

1),2)= 2

∑ℓ+m≤n,m≥1

mcℓ,mzℓzm−1.

{zℓzm}はC上一次独立なので, m ≥ 1なら cℓ,m = 0. 以上から

p(z, w)1)=

n∑ℓ=0

cℓ,0zℓ = p(z, 0).

\(∧2∧)/

注：例 3.5.5では簡単のため pを多項式としたが，それは本質的ではない．適切な条件を仮定すれば，pがより一般の関数の場合にも (3.43)が成立する．

定義 3.5.6 D ⊂ Cは開，

U = {(x, y) ∈ R2 ; x+ iy ∈ D}

とする．m ∈ Nに対し，関数 h : D → Cの集合Cm(D)を次のように定める．

h ∈ Cm(D)def⇐⇒ 関数 (x, y) 7→ h(x+ iy)がCm(U)の元. (3.44)

また，h ∈ Cm(D), z ∈ Dに対し，偏導関数 ∂m

∂xmh : D → Cを次のように定める．∂m

∂xmh(z)

def=

∂m

∂xmh(x+ iy)

∣∣∣∣(x,y)=(Re z,Im z)

. (3.45)

さらに， ∂m

∂ymh, ∂m

∂xk∂yℓh (k, ℓ ≥ 1, k + ℓ = m) も同様に定める．

注: h ∈ C2(D)に対する偏導関数 ∂2

∂x2h,∂2

∂y2h, ∂2

∂x∂yh をそれぞれ hx,x, hy,y, hy,x とも書

く．このとき，hx,y = hy,x [吉田 1, p.300, 命題 13.3.3].

定義 3.5.7 D ⊂ Cは開，h : D → Cとする．h ∈ C2(D)かつD上で次が成立するとき，hは U 上調和であるという．

4hdef= hxx + hyy = 0. (3.46)

また，作用素 4 : h 7→ 4hをラプラシアンという．

74

命題 3.5.8 D ⊂ Cを開とするとき，f ∈ C2(D)に対し

4f =

(∂

∂x− i

∂

∂y

)(fx + ify) =

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)(fx − ify) . (3.47)

特に f ∈ C2(D)がD上正則なら，f, f はD上調和である．

証明: (∂

∂x− i

∂

∂y

)(fx + ify) = (fx + ify)x − i (fx + ify)y

= fx,x + ify,x − ifx,y + fy,y = 4f.

同様に, (∂

∂x+ i

∂

∂y

)(fx − ify) = 4f.

特に f ∈ C2(D)がD上正則なら，

fx + ify(3.39)= 0, fx − if y = (fx + ify)

(3.39)= 0.

これと (3.47)より4f = 4f = 0. \(∧2∧)/

例 3.5.9 (⋆) (調和多項式の特徴づけ) 多項式 p : C2 → Cに対し，

p(z, z)が z ∈ Cについて調和⇐⇒ p(z, w) = p(z, 0) + p(0, w)− p(0, 0), ∀z, ∀w ∈ C.

証明: pを高々n次の多項式とすると，p(z, w)は次のように表される．

1) p(z, w) =∑

ℓ+m≤n

cℓ,mzℓwm cℓ,m ∈ C.

一方，ℓ,m ∈ Nに対し

2) 4(zℓzm) =

{4ℓmzℓ−1zm−1, ℓ,m ≥ 1なら,

0, ℓ = 0, またはm = 0なら.

実際，q = zℓzmに対し，

qx = ℓzℓ−1zm +mzℓzm−1,

qxx = ℓ(ℓ− 1)zℓ−2zm + 2ℓmzℓ−1zm−1 +m(m− 1)zℓzm−2,

qy = iℓzℓ−1zm − imzℓzm−1,

qyy = −ℓ(ℓ− 1)zℓ−2zm + 2ℓmzℓ−1zm−1 −m(m− 1)zℓzm−2.

よって 2)を得る.

⇒:

0 = 4p(z, z)1),2)= 4

∑ℓ+m≤n,ℓ,m≥1

ℓmcℓ,mzℓ−1zm−1.

75

{zℓzm}はC上一次独立なので, ℓ,m ≥ 1なら cℓ,m = 0. 以上から

p(z, w) = c0,0 +n∑

ℓ=1

cℓ,0zℓ +

n∑m=1

c0,mwm

= p(0, 0) + (p(z, 0)− p(0, 0)) + (p(0, w)− p(0, 0))

= p(z, 0) + p(0, w)− p(0, 0).

⇐ : zk (k = 0, 1, ..., n)はC上正則かつC2なので命題 3.5.8より zk, zk (k = 0, 1, ..., n)

の複素線形和は調和である． \(∧2∧)/

注: 例 3.5.9は問 4.4.4（後述）の特別な場合である．

問 3.5.1 D ⊂ Cを開, f : D → C, u = Re f , v = Im f , c ∈ D, f は cで複素微分可能とする．次を示せ．

|f ′(c)|2 = det

(ux(c) uy(c)

vx(c) vy(c)

).

問 3.5.2 D ⊂ Cを開, f : D → C, c ∈ D, f は cで複素微分可能とする．次を示せ．

|f |2が cで複素微分可能⇐⇒ f(c) = 0, または f ′(c) = 0.

注：問 3.5.2の結果は，命題 5.4.6に応用される．

問 3.5.3 D ⊂ Cを領域, f : D → Cを正則とする．以下を示せ．(i) |f(z)|がD上定数なら，f は定数である．(ii) λ, µ ∈ R, λ 6= µ, かつ λRe f + iµ Im f がD上定数なら，f

は定数である．注：開写像定理 (命題 6.7.8)を認めれば, 問 3.5.3の結果は明らかとなる．

問 3.5.4 Arg : C\(−∞, 0] → (−π, π) が x, yについて偏微分可能であることを示し，(Arg )x, (Arg )yを求めよ．

3.6 (⋆)コーシー・リーマン方程式 II

複素変数関数は複素微分可能点でコーシー・リーマン方程式をみたす（命題 3.5.2）．本節では，全微分可能性という仮定（定義 3.6.1）の下で複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式が同値であることを示す（定理 3.6.4）．また，その応用として複素微分可能性と等角性の関係を論じる (命題 3.6.8)．簡単な注意から始める．(α1, α2), (β1, β2) ∈ R2, α = α1 + iα2, β = β1 + iβ2とするとき，

Re(αβ) = Re(αβ) = α1β1 + α2β2. (3.48)

したがって，Re(αβ)は, α, β ∈ Cを (α1, α2), (β1, β2) ∈ R2と同一視した上での，それらの内積である．等式 (3.48)に注意すると，実二変数関数の全微分 [吉田 1, p.282, 定義 13.1.2]を，複素変数関数の場合に次のように翻訳できる．

76

定義 3.6.1 (全微分) D ⊂ Cは開，z ∈ Dとする.

▶ u : D → Rに対し次のような α ∈ Cが存在するとき, uは点 zで全微分可能であるという：w ∈ D\{z}, w → zのとき，

u(w)− u(z)− Re(α(w − z))

w − z−→ 0. (3.49)

このとき αを，uの点 zにおける微分係数という.

▶ f : D → Cに対し, Re f , Im f が共に点 zで全微分可能なら，f は点 zで全微分可能であるという.

注: u ∈ C1(D)なら，uは各点 z ∈ Dで全微分可能である [吉田 1, p.284, 命題 13.1.6]．

まず全微分可能性から，全方向への方向微分可能性を導く．

命題 3.6.2 D ⊂ Cは開，z ∈ D, u : D → Rは zにおいて全微分可能かつ微分係数 α

を持つとする．このとき，任意の λ ∈ Cに対し

(−ε, ε) 3 t 7→ u(z + λt) (ε > 0は十分小)

は t = 0で微分可能かつd

dtu(z + λt)

∣∣∣∣t=0

= Re(αλ). (3.50)

特に uは zにおいて各座標で偏微分可能かつ

α = ux(z) + iuy(z). (3.51)

証明: λ = 0なら (3.50)の両辺は 0.よって λ 6= 0としてよい．(3.49)で特にw = z+λt

(t ∈ R\{0}, t −→ 0)とすると，

1)u(z + λt)− u(z)

t− Re(αλ) = λ

u(w)− u(z)− Re(α(w − z))

w − z

(3.49)−→ 0.

よって (3.50)左辺の微分係数が存在し, 右辺に等しい．1) で λ = 1とすることで，偏微分係数 ux(z)の存在，および ux(z) = Reα = Reαを得る．また，1)で λ = iとすることで，偏微分係数uy(z)の存在，およびuy(z) = Re(αi) = Imαを得る．以上から (3.51)

が従う． \(∧2∧)/

系 3.6.3 D ⊂ Cは開，z ∈ D, f : D → Cは点 zで全微分可能とする. このとき，Re f ,

Im f の微分係数 α, βに対し

α + iβ = fx(z) + ify(z).

特に，

α + iβ = 0 ⇐⇒ f は点 zでコーシー・リーマン方程式 (3.39)をみたす．

77

証明: udef= Re f , v

def= Im f とする，等式 (3.51) を vに対し適用し，β = vx(z) + ivy(z).

これと (3.51)を併せ，

α + iβ = ux(z) + iuy(z) + ivx(z)− vy(z) = fx(z) + ify(z).

上式より結論を得る． \(∧2∧)/

定理 3.6.4 (複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式の同値性) D ⊂ Cは開，f :

D −→ C, z ∈ Dとする．このとき以下は同値である．

a) f は zで複素微分可能である．

b) f は zで全微分可能かつコーシー・リーマン方程式 (3.39)をみたす．

さらに，a),b)を共に仮定し，Re f , Im f の zにおける微分係数をそれぞれ α, β, また f

の zにおける複素微分係数を γとするとき，

α = γ, β = iγ. (3.52)

証明: u = Re f , v = Im f とする．a)⇒ b): fは zで複素微分可能かつ，複素微分係数 γを持つとする. w ∈ D\{z}, w → z

とすると，

1)f(w)− f(z)− γ(w − z)

w − z=

f(w)− f(z)

w − z− γ

(3.3)−→ 0.

よって，1

|w − z||u(w)− u(z)− Re(γ(w − z))| ≤ 1

|w − z||f(w)− f(z)− γ(w − z)| 1)−→ 0.

したがって，

2) uは zで全微分可能かつ，微分係数 γを持つ.

また，Re(−ic) = Im c (c ∈ C)に注意し，1

|w − z||v(w)− v(z)− Re(−iγ(w − z))| =

1

|w − z||v(w)− v(z)− Im(γ(w − z))|

≤ 1

|w − z||f(w)− f(z)− γ(w − z)| 1)−→ 0.

よって，

3) vは zにおいて全微分可能かつ，微分係数−iγ = iγを持つ．

2), 3)より特に (3.52)を得る．これと系 3.6.3よりコーシー・リーマン方程式 (3.39)を得る．a) ⇐ b): u, vが zで全微分可能，それぞれの微分係数を α, βとする．このとき，コーシー・リーマン方程式 (3.39)と系 3.6.3より

78

4) α + iβ = 0.

ゆえに α = iβ. これと Im(ic) = Re c (c ∈ C)より，5) Im(α(w − z)) = Im(iβ(w − z)) = Re(β(w − z)).

w ∈ D\{z}, w → zとすると，

δ1(z, w)def=

u(w)− u(z)− Re(α(w − z))

w − z

(3.49)−→ 0,

δ2(z, w)def=

v(w)− v(z)− Im(α(w − z))

w − z

5)=

v(w)− v(z)− Re(β(w − z))

w − z

(3.49)−→ 0.

以上から，f(w)− f(z)

w − z− α = δ1(z, w) + iδ2(z, w) −→ 0.

よって，6) f は zで複素微分可能かつ，複素微分係数 αを持つ．4), 6) より (3.52)を得る． \(∧2

∧)/

注：定理 3.6.4から f : D → Cが正則であることと，条件 b)が任意の z ∈ Dに対し成立することは同値である．これがさらに次の条件と同値であることも知られている(ルーマン・メンショフの定理).

c) f はD上連続，Dの各点で偏微分可能かつコーシー・リーマン方程式 (3.39)をみたす．

例 3.6.5 D ⊂ Cは開，h : D → Cは調和とする（定義 3.5.7参照）．このとき，

fdef= (Reh)x − i(Reh)y, g

def= (Imh)y + i(Imh)x

は共にD上正則である．証明: h ∈ C2(D)より f ∈ C1(D). したがって f はD上全微分可能である．一方，

fx + ify = (Reh)xx − i(Reh)yx + i ((Reh)xy − i(Reh)yy)

= (Reh)xx + (Reh)yy + i ((Reh)xy − (Reh)yx) = 0.

ゆえに f はコーシー・リーマン方程式 fx + ify = 0をみたす. 以上と定理 3.6.4より f

はD上正則である．同様に gもD上正則である． \(∧2∧)/

以下では，複素微分可能性と等角性の関係を論じる．定義 3.6.6 D ⊂ Cは開，z ∈ D, f : D −→ Cは点 zで全微分可能とする．また λ ∈ Cに対し Vf : C→ Cを次のように定める.

Vf (λ) =d

dtf(z + λt)

∣∣∣∣t=0

.

次の条件がみたされるとき，f は点 zにおいて等角であると言う．

Vf は単射, かつ ArgVf (λ1)

Vf (λ2)= Arg

λ1

λ2

, ∀λ1,∀λ2 ∈ C\{0}. (3.53)

79

zf(z)

z + λ1t

z + λ2tf(z + λ2t)

f(z + λ1t)

f

等角性の定義 (3.53)において，Arg λ1

λ2は, 直線 z+ λjt (j = 1, 2, t ∈ R)が，点 zにおい

てなす角を表す．一方，ArgVf (λ1)

Vf (λ2)は，線分の像 f(z + λjt) (j = 1, 2, t ∈ (−ε, ε), ε > 0

は十分小)の t = 0における接線が点 f(z)においてなす角を表す．この意味で，(3.53)

の等式は f が「角度を変えない」ことを表す．定義 3.6.6において Re f , Im f それぞれの zにおける微分係数を α, βとする．このとき，

Vf (λ) =12(α + iβ)λ+ 1

2(α + iβ)λ. (3.54)

実際，

Vf (λ)(3.50)= Re(αλ) + iRe(βλ)

(1.11)= 1

2

(αλ+ αλ+ iβλ+ iβλ

)= 1

2(α + iβ)λ+ 1

2(α + iβ)λ.

一方，特に f が zで複素微分可能であると仮定すると，連鎖律 (補題 3.1.7)より

Vf (λ) = f ′(z)λ. (3.55)

したがって，さらに f ′(z) 6= 0を仮定すれば，f は点 zにおいて等角である．実は，この逆も成立する (命題 3.6.8). それを示すために次の補題を準備する．

補題 3.6.7 (3.54)を一般化して，A,B ∈ Cに対し V : C→ Cを次のように定める．

V (λ) = Aλ+Bλ, λ ∈ C.

このとき，

A 6= 0 かつ B = 0

⇐⇒ V は単射, かつ ArgV (λ1)

V (λ2)= Arg

λ1

λ2

, ∀λ1,∀λ2 ∈ C\{0}.

証明⇒は明らかなので逆を示す．λ1 = t + i (t ∈ {0, 1}), λ2 = 1とする．V (λ1) =

t(A+B) + i(A−B), V (1) = A+B. V の単射性より特にA+B 6= 0. よって

1) Arg

(t+ i

A−B

A+B

)= Arg

V (λ1)

V (λ2)= Arg

λ1

λ2

= Arg (t+ i).

80

まずA 6= 0を示す．A = 0と仮定し，1)で t = 0とする. このとき，

1)の左辺 = Arg (−i) = −π/2, 1)の右辺 = Arg i = π/2.

これは不合理である．よってA 6= 0.

次にB = 0を示す．1)で t = 1とする. このとき，

1)の左辺 = Arctan

(A−B

A+B

), 1)の右辺 = Arctan 1.

Arctan の単射性より A−BA+B

= 1, よってB = 0． \(∧2∧)/

定理 3.6.4, 補題 3.6.7より次の命題を得る．

命題 3.6.8 D ⊂ Cは開，f : D −→ C, z ∈ Dとする．このとき，以下の条件は同値である．

a) f は点 zで複素微分可能かつ f ′(z) 6= 0.

b) f は点 zで全微分可能かつ等角である．

証明: a) ⇒ b):　定理 3.6.4より，f は点 zで全微分可能かつコーシー・リーマン方程式をみたす．また，(3.55)と f ′(z) 6= 0より，f は点 zで等角である．a) ⇐ b):　Re f , Im f の点 zにおける微分係数を α, βとする．f は点 zで等角なので(3.54)と補題 3.6.7より

1) α + iβ 6= 0, α + iβ = 0.

fx(z) + ify(z)系 3.6.3= α+ iβ

1)= 0．ゆえに定理 3.6.4より，f は zで複素微分可能である．

また (3.52)より，f ′(z) = α = iβ. よって

f ′(z) = 12(α + iβ)

1)

6= 0.

\(∧2∧)/

81

4 コーシーの定理

(2021年 7月 26日更新)

本章の主題はコーシーの定理である．コーシーの定理は複素関数論における最も基本的な定理であり，本書でも 5章以降の内容の基盤となる．準備としてまず 4.1節で複素平面内の曲線に関する基本的用語を定義した後，4.2節で区分的 C1曲線 C ⊂ C に沿った複素関数 f の線積分 (複素線積分)

∫Cf を定義する．コーシーの定理は，ごく大

雑把には次のように述べることができる．U ⊂ Cが開，f : U → Cが正則とするとき，区分的C1閉曲線C ⊂ U に対し，

「Cが U に属さない点を囲まない」 (4.1)

=⇒∫C

f = 0. (4.2)

より厳密には「」つきの条件 (4.1)の定式化が問題となり，この部分の定式化に応じ，コーシーの定理にもいくつかの種類がある (系 4.3.3, 定理 4.5.5,定理 4.7.4)．本章では証明が比較的簡単なものから次のように段階を追いつつ述べる．

� 初等的コーシーの定理 (系 4.3.3)

� 星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)

� 単連結領域に対するコーシーの定理 (定理 4.7.4)

コーシーは 1825年，コーシーの定理の原型を提示し，後にグリーンの定理に基づく証明を与えた (1846年, 系 4.3.3の証明参照)．この方法では被積分関数 fの導関数 f ′の連続性を仮定する必要があったが，この仮定は後にグールサ, プリングスハイム による新しい証明により取り除かれた (命題 4.5.2の証明参照)．本章も図らずしてこの歴史に沿って展開する．読者諸氏は上記段階を辿ることで，少しずつ上がってゆく証明の難度に慣れながら進むことができる．一方，場合によっては，必ずしも上記全段階を辿ることなく適宜途中下車し，5章以降に進むこともできる．途中下車の方法をいくつか紹介する．

� 単連結領域に対するコーシーの定理 (定理 4.7.4)は理論的重要性ゆえに (⋆)付きで述べるが，5章以降では星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)のみを用い，定理 4.7.4は用いない．したがって定理 4.7.4は飛ばすことができる．

� また定理 4.5.5の証明は読まず, その結果を認め 5章以降に進むこともできる (補題 5.1.2の証明を除けば，5章以降を読むために定理 4.5.5の証明は必要ない)．

� さらに初等的コーシーの定理 (系 4.3.3)は，証明が比較的容易な上に多くの具体的応用に有効である．厳密な論理の立場からは 5章以降の内容は定理 4.5.5に基づくが，論理の細部を無視すれば系 4.3.3をそれらの代用物と考え，5章以降を読み進むこともできる．特に，応用が主目的であったり，手早く概要を知りたい読者諸氏にとってはそのような読み方も選択肢となりうる．

82

4.1 曲線に関する用語

本節では，次節以降の準備として複素平面内の曲線に関する用語の意味を定める．本節を通じ I = [α, β] (−∞ < α < β <∞)とする.

▶ 連続関数 g : I → C を曲線,あるいはC0曲線と呼び，g(α) をその始点, g(β) をその終点, また，集合 g(I) ⊂ Cをその跡と呼ぶ．特に g(α) = g(β)なら g を閉曲線という．また，次の i) または ii) をみたすとき，gを単純曲線 という：

i) g は閉曲線ではなく，g : I → Cは単射,

ii) g は閉曲線であり，g : [α, β)→ Cは単射.

曲線には始点 g(α) から終点 g(β) に向かう向きがついているとし，向きを含めて図示するときには，g(I)上に, g(α) から g(β) に向かう向きの矢印を描くことにする．曲線gに対し次で定める h : I → Cを逆向き曲線という：

h(t) = g(α + (β − t)), t ∈ I.

このとき，g(I) = h(I)だが，両者を図示すると，矢印の向きが逆になる．曲線を大文字のCなどの記号で書くことも多く，その場合Cの逆向き曲線は−Cと書く．後に C

上の線積分を考える際に，C上の線積分と−C上の線積分とは符号が逆になる ((4.11)

参照). その意味でも両者の区別が必要である．

曲線 単純曲線

閉曲線 単純閉曲線

曲線 C 逆向き曲線 −C

83

▶ 曲線 gが連続な導関数 g′ : I → Cを持つとき，gは C1曲線であると言う．ここで,

g′(α)は右微分，g′(β)は左微分とする．

ここで簡単な例を二つ挙げる．実は今後現れるほとんどの具体例は，この二つのいずれか，あるいはそれらの継ぎ足し（(4.4)参照）で尽くされる．

例 4.1.1 a) (線分) z0, z1 ∈ C (z0 6= z1)に対し g : [0, 1] → Cを g(t) = (1 − t)z0 + tz1

と定めると，gは C1曲線であり，その始点は z0, 終点は z1，跡は線分 [z0, z1]である．

b) (円弧) a ∈ C, r > 0, 0 ≤ θ0 < θ1 ≤ θ0 + 2π, zj = a + r exp(iθj), (j = 0, 1)とし，g : [θ0, θ1]→ Cを g(t) = a+ r exp(it)と定めると，gはC1曲線であり，その始点は z0, 終点は z1である．跡は円周

C(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| = r} (4.3)

上で, 中心 a を左手に見て z0から z1に至る円弧である．この円弧に対し，gの定める向きを反時計回り の向きという．特に θ1 = θ0 + 2πなら gは円周C(a, r)を反時計回りに一周するC1単純閉曲線である．

a

z0

z1

� 以後，特にことわらない限り円弧，円周の向きは反時計回りとする．

▶ g : I → Cを曲線とする．ある分点

α = γ0 < γ1 < ... < γn−1 < γn = β

をとるとき，各 j = 1, ..., nに対し g : [γj−1, γj]→ CがC1曲線なら gは区分的C1曲線であると言う．▶ j = 1, 2に対し，gj : [αj, βj] → C (−∞ < αj < βj < ∞)を曲線, g1(β1) = g2(α2)とする．このとき，g : [α1, β1 + (β2 − α2)] → Cを次のように定め，これを g1, g2の継ぎ足し と呼ぶ：

g(t) =

{g1(t), t ∈ [α1, β1],

g2(α2 + (t− β1)), t ∈ [β1, β1 + (β2 − α2)].

84

より一般に j = 1, ..., nに対し，gj : [αj, βj]→ C (−∞ < αj < βj <∞)を曲線, gj(βj) =

gj+1(αj+1) (j = 1, ..., n − 1)とする．このとき，γ0 < γ1 < ... < γn, g : [γ0, γn] → Cを次のように定め，gを g1, ..., gnの継ぎ足し と呼ぶ：

γ0 = α1, γj = γj−1 + βj − αj (j = 1, ..., n),

g(t) = gj(αj + (t− γj−1)), t ∈ [γj−1, γj], (j = 1, ..., n). (4.4)

曲線C1, ..., Cnをこの順番で継ぎ足して得られる曲線Cを次のように表す．

C = C1 + . . .+ Cn. (4.5)

このとき，例えばC1 + C2とC2 + C1は同義でないことに注意されたい．

例 4.1.2 a) (折れ線) z0, ..., zn ∈ Cは相異なる点，gj(t) = (1− t)zj−1 + tzj (t ∈ [0, 1],

j = 1, ..., n) とするとき，g1, ..., gnの継ぎ足しは，z0, znを結ぶ折れ線である．

z0

z1

z2

z3

z4

z5

b) （扇形の周）a ∈ C, r > 0, 0 ≤ θ0 < θ1 ≤ θ0 + 2π, zj = a+ r exp(iθj), (j = 0, 1)とし，曲線 g1, g2, g3を次のように定める．

g1(t) = (1− t)z1 + ta, (t ∈ [0, 1]),

g2(t) = (1− t)a+ tz0, (t ∈ [0, 1]),

g3(t) = a+ r exp(it), (t ∈ [θ0, θ1]).

このとき，g1, g2, g3の継ぎ足しは，扇形

{a+ ρ exp(it) ; ρ ∈ [0, r], t ∈ [θ0, θ1]}

の周を反時計回り (z1 → a→ z0 → z1)に回る，区分的C1単純閉曲線である．

85

a

z0

z1

補足（「径数づけられた曲線」の同値類としての「曲線」）今後必要とされる曲線に対する理解は，以上で述べただけで十分である．この補足では「曲線」のさらに厳密な定義を紹介する．まず，ここまで「曲線」と呼んできたものは，より厳密には径数づけられた曲線 と呼ぶべきものであり，この補足ではそう呼ぶことにする．その上で，径数づけられた曲線全体に適切な同値関係を定め，その同値類を「曲線」とする考え方が以下の内容である．▶ J = [σ, τ ] ⊂ R (σ < τ)とする．φ : J → Iが連続，狭義単調増加，φ(σ) = a, φ(τ) = b

なら，φを Jから IへのC0変数変換と言う．Jから IへのC0変数変換φがC1級，かつ全ての t ∈ J で φ′(t) > 0なら，φを J から IへのC1変数変換と言う．r = 0, 1に対し, φが Jから IへのCr変数変換なら，逆関数φ−1は Iから JへのCr変数変換である．また，径数づけられたCr曲線 g : I → C, h : J → C, およびCr変数変換 φ : J → Iに対し

h = g ◦ φ ⇐⇒ h ◦ φ−1 = g.

g, hが上の関係にあるとき，両者はCr変数変換で移りあうと言う．

▶ 径数づけられたCr曲線 g, hに対し，これらがCr変数変換で移りあうという関係は，径数づけられた区分的Cr曲線全体の中での同値関係 (定義 0.1.6) である．そこで，この同値関係による各同値類を（「径数づけられた」という形容詞を外して）Cr曲線と呼び，大文字C等の記号で表す．

▶ 径数づけられたC1曲線 g1, ..., gnに対し gを (4.4)で定めたとおりとする．一方，j =

1, ..., nに対し，hj : [σj, τj]→ C (−∞ < σj < τj <∞)を径数づけられたC1曲線，hをh1, ..., hnの継ぎ足しとする．各 j = 1, ..., nに対し，gj, hjがC1変数変換で移りあうとき，g, hは区分的にC1変数変換で移りあうと言う．

▶ 径数づけられた区分的C1曲線 g, hに対し，これらが区分的にC1変数変換で移りあうという関係は，径数づけられた区分的C1曲線全体の中での同値関係 (定義 0.1.6) である．そこで，この同値関係による各同値類を（「径数づけられた」という形容詞を外して）区分的C1曲線と呼び，大文字C等の記号で表す．

86

4.2 複素線積分

[α, β] ⊂ R, h : [α, β] → C は区分的に連続，すなわちある分点 α = γ0 < γ1 < ... <

γn−1 < γn = β (n ∈ N\{0}) に対し hは各小区間 [γj−1, γj](j = 1, ..., n)上で連続とする.

このとき，h : [α, β]→ Cの積分を次のように定める．∫ β

α

h(t)dt =n∑

j=1

∫ γj

γj−1

h(t)dt. (4.6)

定義 4.2.1 (複素線積分) I = [α, β] ⊂ R，g : I → Cを区分的C1曲線とし， g を大文字 C であらわす．▶ Cの跡 g(I) に対し，関数 f : g(I)→ Cが連続なら, 「f : C → Cは連続である」あるいは「f はC上連続である」という．▶ 連続関数 f : C → Cの, 曲線Cに沿った複素線積分 ∫

Cf (∫Cf(z)dzとも記す) を次

のように定める． ∫C

f =

∫C

f(z)dzdef=

∫ β

α

f(g(t))g′(t)dt. (4.7)

ここで，関数 f(g(t))g′(t)は区分的に連続なので，(4.7)右辺の積分は (4.6)により定まる．▶ 連続関数 f : C → Cの, 曲線Cに沿った弧長積分 ∫

Cf(z)|dz|を次のように定める．∫

C

f(z)|dz| def=∫ β

α

f(g(t))|g′(t)|dt. (4.8)

特に，次の定積分をCの弧長 と呼ぶ．

ℓ(C)def=

∫C

|dz| =∫ β

α

|g′(t)|dt. (4.9)

注: 定義 4.2.1において複素線積分 (4.7), 弧長積分 (4.8) の値は，区分的 C1変換で移りあう範囲において径数づけの仕方によらない．そのことを確かめる．C が C1曲線C1, ..., Cnの継ぎ足しとすれば，各Cj (j = 1, ..., n)上での積分が径数づけの仕方によらないことを言えばよい．したがって始めからCがC1曲線の場合を考えればよい．Cの径数づけ g : [α, β]→ C, h : [σ, τ ]→ CおよびC1変数変換φ : [σ, τ ]→ [α, β]がh = g◦φをみたすとする．まず，複素線積分 (4.7)について，∫ τ

σ

f(h(s))h′(s)ds =

∫ τ

σ

f(g(φ(s)))g′(φ(s))φ′(s)ds

=

∫ β

α

f(g(t))g′(t)dt (積分変数の変換 t = φ(s)).

弧長積分 (4.8)についても同様である．

複素線積分 (4.7)は複素数値実一変数関数の積分の特別な場合に過ぎないので，積分が持つ通常の性質の反映として，以下の補題を得る．

87

補題 4.2.2 CをC内の区分的C1曲線，−Cをその逆向き曲線，f, f1, f2 : C → Cを連続とする．このとき以下が成立する．∫

C

(af1 + bf2) = a

∫C

f1 + b

∫C

f2, (a, b ∈ C), (4.10)∫−C

f = −∫C

f, (4.11)∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ ≤ ∫C

|f(z)||dz|. (4.12)

また，C1, C2をD内の区分的C1曲線とするとき，∫C1+C2

f =

∫C1

f +

∫C2

f. (4.13)

補題 4.2.3 CをC内の区分的C1曲線，f, fn : C → C (n ∈ N) は連続とする，

a) fnが f にC上一様収束するとき, ∫C

fnn→∞−→

∫C

f. (4.14)

b) 関数項級数 f =∑∞

n=0 fn がC上一様収束するとき,∫C

f =∞∑n=0

∫C

fn. (4.15)

次の等式は容易に示すことができるが，今後具体例に度々登場する．n ∈ Zに対し，∫ 2π

0

exp(int)dt =

{2π, (n = 0),

[exp(int)/(in)]2π0 = 0, (n 6= 0).(4.16)

∫ π

0

exp(int)dt =

π, (n = 0),

[exp(int)/(in)]π0 = 0, (nが偶数かつ n 6= 0),

[exp(int)/(in)]π0 = 2i/n, (nが奇数).

(4.17)

例 4.2.4 a ∈ C, r > 0, n ∈ Zに対し，∫C(a,r)

(z − a)n−1dz =

{2πi, (n = 0),

0, (n 6= 0).(4.18)

証明: 円周C(a, r)を g(t) = a+ r exp(it) (t ∈ [0, 2π])と表すと，g′(t) = ir exp(it)より，∫C(a,r)

(z − a)n−1 dz(4.7)=

∫ 2π

0

(g(t)− a)n−1 g′(t)dt

= irn∫ 2π

0

exp(int)dt(4.16)=

{2πi, (n = 0),

0, (n 6= 0).

\(∧2∧)/

88

補題 4.2.3 および 例 4.2.4を用い，ローラン展開 (定理 6.6.1) の係数に対する積分表示 (特に係数の一意性) を得る：

例 4.2.5 (ローラン係数の積分表示・一意性) r ∈ (0,∞), cn ∈ C (n ∈ Z) に次を仮定する：

∞∑n=0

|cn|rn +∞∑n=1

|c−n|r−n <∞.

このとき，任意の a ∈ Cに対し次の級数 f(z) は z ∈ C(a, r)に対し絶対かつ一様に収束し，C(a, r)上で連続である：

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n +∞∑n=1

c−n(z − a)−n.

また，任意の n ∈ Z, r ∈ (ρ,R) に対し

cn =1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)n+1dz.

証明: f(z) = f+(z) + f−(z), ここで

f+(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, f−(z) =∞∑n=1

c−n(z − a)−n.

f±(z) はそれぞれ命題 1.5.4, 問 1.5.3 より，z ∈ C(a, r)に対し絶対かつ一様に収束し，C(a, r)上で連続である. したがって，f(z) は z ∈ C(a, r)に対し絶対かつ一様に収束し，C(a, r)上で連続である.　さらに，gn(z)

def= (z − a)n (n ∈ Z) に対し，補題 4.2.3

および 例 4.2.4 より，∫C

fg−(n+1) =

∫C

∑m∈Z

cmgm−n−1(4.15)=

∑m∈Z

cm

∫C

gm−n−1(4.18)= 2πicn.

\(∧2∧)/

問 4.2.1 Cは区分的C1曲線，f : C → Cは連続とするとき，一次関数 φ(z) = az + b

(a, b ∈ C, a 6= 0) に対し次を示せ．∫φ(C)

f ◦ φ−1 = a

∫C

f.

問 4.2.2 r ∈ (0,∞), f : C(0, r)→ Cは連続とするとき，次を示せ．∫C(0,r)

f =

∫C(0,1/r)

f(1/z)z−2dz.

問 4.2.3 閉曲線C ⊂ Cが区分的C1関数 g : [0, 2γ]→ C (γ > 0)により径数づけられ，かつ gは g(t) = −g(t − γ), ∀t ∈ [γ, 2γ]をみたすとする．また f : C → Cは連続かつ∀z ∈ Cに対し f(z) = f(−z)をみたすとする. このとき，∫

Cf = 0を示せ．

89

問 4.2.4 区分的C1閉曲線C, および n ∈ N\{0}に対し，Cを n回継ぎ足した閉曲線をnC, −Cを n回継ぎ足した閉曲線を−nCとする (nCは Cを，Cと同じ向きに n周する. また−nCはCを，Cと逆向きに n周する)．このとき，連続関数 f : C → C, および n ∈ Z\{0}に対し，∫

nCf = n

∫Cf を示せ．

問 4.2.5 an, bn ∈ C,　∞∑n=0

|an| <∞,∞∑n=0

|bn| <∞ とする. べき級数 f(z) =∞∑n=0

anzn,

g(z) =∞∑n=0

bnzn に対し次を示せ．

∫C(0,1)

f(z)g(z)

zdz = 2πi

∞∑n=0

anbn.

4.3 初等的コーシーの定理とその応用例

コーシーの定理は，領域D上の正則関数 f がD内の区分的C1閉曲線Cに対し，領域D, 閉曲線Cに対する適切な条件下で次をみたすことを主張する．∫

C

f = 0. (4.19)

今後，定理 4.5.5 (さらに一般に定理 4.7.4)で，複素関数論を厳密に展開するために十分一般的な条件下のコーシーの定理を述べるが，それらの証明はやや技巧的である．そこで本節では f ∈ C1(D)という条件を付加し，複素型グリーンの定理を経由することにより，(4.19)をより平易に導出する（初等的コーシーの定理:系 4.3.3）．初等的コーシーの定理の魅力は証明の平易さに加え，多くの具体的応用を持つ点である．

複素平面内の領域の形状に関する条件を提示する．具体例に現れる多くの領域がこの条件をみたす．

定義 4.3.1 (縦線型・横線型領域) D ⊂ Cを領域とする．▶ 有界閉区間 [x1, x2]および区分的C1関数 h1, h2 : [x1, x2]→ Rで次のようなものが存在するとき，Dを縦線型であると言う．

x ∈ (x1, x2)なら h1(x) < h2(x),

D = {z = x+ iy ; x ∈ (x1, x2), y ∈ (h1(x), h2(x))}.(4.20)

90

Dの境界 ∂Dは区分的C1閉曲線である．∂Dの向きであり，{(x, h1(x))}x∈[x1,x2]上で x

が増加する向きを反時計回り の向きと呼ぶ．▶ 有界閉区間 [y1, y2]および区分的 C1関数 g1, g2 : [y1, y2] → Rで次のようなものが存在するとき，Dは横線型であると言う．

y ∈ (y1, y2)なら g1(y) < g2(y),

D = {z = x+ iy ; y ∈ (y1, y2), x ∈ (g1(y), g2(y))}.(4.21)

Dの境界 ∂Dは区分的C1閉曲線である．∂Dの向きであり，{(g2(y), y)}y∈[y1,y2]上で y

が増加する向きを反時計回り の向きと呼ぶ．

領域Dが縦線型であるとは，Dが h2,h1のグラフによって上下から挟まれた図形であることを意味する．同様に，領域Dが横線型であるとは，Dが g1,g2のグラフによって左右から挟まれた図形であることを意味する．

定理 4.3.2 (複素型グリーンの定理) 有界領域 Dは縦線型かつ横線型とする．また，U ⊂ Cは開, D ⊂ U , f ∈ C1(U → C)なら，∫

∂D

f = i

∫D

(fx + ify) dxdy, (4.22)

ここで ∂Dの向きは反時計まわりとする．

定理 4.3.2の証明には，複素線積分の実軸・虚軸方向への分解 (4.23)を用いる．区分的C1曲線 g : [α, β]→ CをCで表す．連続関数 f : C → Cの実軸方向の線積分∫

CfdRe =

∫Cf(z)dRe z, 虚軸方向の線積分 ∫

Cfd Im =

∫Cf(z)d Im z を次のように定

める: ∫C

fdRe =

∫C

f(z)dRe zdef=

∫ β

α

f(g(t))(Re g)′(t)dt,∫C

fd Im =

∫C

f(z)d Im zdef=

∫ β

α

f(g(t))(Im g)′(t)dt.

(4.23)

定義から明らかに ∫C

f =

∫C

fdRe+i

∫C

fd Im . (4.24)

(4.23)の線積分に対しても，それらの値は，区分的C1変換で移りあう範囲において径数づけの仕方によらないことが，複素線積分 ∫

Cfの場合と同様にして分かる．また，複

91

素線積分の基本性質 (補題 4.2.2, 補題 4.2.3) は (4.23)の線積分に対しても同様に成立する．

定理 4.3.2の証明: 関数 gj, hj (j = 1, 2)を (4.20), (4.21)のようにとる．曲線 H1, H2,

線分 J1, J2を次のように定める．

H1 = {x+ ih1(x) ; x ∈ [x1, x2]}, H2 = {x+ ih2(x) ; x ∈ [x1, x2]},J1 = {x1 + iy ; y ∈ [h1(x1), h2(x1)]}, J2 = {x2 + iy ; y ∈ [h1(x2), h2(x2)]}.

このとき，閉曲線 ∂DはH1, J2, −H2, −J1をこの順で継ぎ足して得られる．また，J1,

J2 は虚軸に平行なので， ∫J1

fdRe =

∫J2

fdRe = 0.

よって

1)

∫∂D

fdRe =

(∫H1

+

∫J2

−∫H2

−∫J1

)fdRe =

(∫H1

−∫H2

)fdRe .

また，x ∈ (x1, x2)を任意に固定するとき，D ⊂ U より，

{x+ iy ; y ∈ [h1(x), h2(x)]} ⊂ U.

さらに f ∈ C1(U → C)より y 7→ fy(x + iy) は区間 [h1(x), h2(x)] 上 C1である．したがって，微積分の基本公式 [吉田 1, p.226, 定理 11.2]より

2)

∫ h2(x)

h1(x)

fy(x+ iy)dy = f(x+ ih2(x))− f(x+ ih1(x)).

よって，

−∫D

fydxdy = −∫ x2

x1

(∫ h2(x)

h1(x)

fydy

)dx

2)= −

∫ x2

x1

(f(x+ ih2(x))− f(x+ ih1(x))) dx

(4.23)=

(∫H1

−∫H2

)fdRe

1)=

∫∂D

fdRe . (4.25)

一方,曲線 G1, G2, 線分 I1, I2を次のように定める．

G1 = {g1(y) + iy ; y ∈ [y1, y2]}, G2 = {g2(y) + iy ; x ∈ [y1, y2]},I1 = {x+ iy1 ; x ∈ [g1(y1), g2(y1)]}, I2 = {x+ iy2 ; x ∈ [g1(y2), g2(y2)]}.

92

このとき，閉曲線 ∂Dは I1, G2,−I2, −G1を, この順で継ぎ足して得られる．また，I1,

I2 は実軸に平行なので， ∫I1

fd Im =

∫I2

fd Im = 0.

よって

3)

∫∂D

fd Im =

(∫I1

+

∫G2

−∫I2

−∫G1

)fd Im =

(∫G2

−∫G1

)fd Im .

また，y ∈ (y1, y2)を任意に固定するとき，D ⊂ U より，

{x+ iy ; x ∈ [g1(y), g2(y)]} ⊂ U.

さらに f ∈ C1(U → C)より x 7→ fx(x + iy)は区間 [g1(y), g2(y)] 上 C1である．したがって，微積分の基本公式 [吉田 1, p.226, 定理 11.2]より

4)

∫ g2(y)

g1(y)

fx(x+ iy)dx = f(g2(y) + iy)− f(g1(y) + iy).

よって， ∫D

fxdxdy =

∫ y2

y1

(∫ g2(y)

g1(y)

fxdx

)dy

4)=

∫ y2

y1

(f(g2(y) + iy)− f(g1(y) + iy)) dy

(4.23)=

(∫G2

−∫G1

)fd Im

3)=

∫∂D

fd Im . (4.26)

よって ∫D

(−fy + ifx) dxdy(4.25),(4.26)

=

∫∂D

fdRe+i

∫∂D

fd Im(4.24)=

∫∂D

f.

以上で (4.22)を得る． \(∧2∧)/

注: 定理 4.3.2の証明中で得られた等式 (4.25), (4.26) より，f, g ∈ C1(U → C)なら，∫∂D

fdRe+

∫∂D

gd Im =

∫D

(−fy + gx) dxdy. (4.27)

複素型グリーンの定理 (4.22)に対し，上の等式 (4.27)を単に，グリーンの定理 と呼ぶ．ここでは，領域Dが縦線型かつ横線型という簡単な場合を考えた. より一般的な条件

93

下でのグリーンの定理については，[杉浦, II, pp.175–176]を参照されたい．

次の系は，本節後半で述べる様々な応用例の基礎となる．

系 4.3.3 (初等的コーシーの定理) 有界領域Dは縦線型かつ横線型とする．また，U ⊂ Cは開, D ⊂ U , f ∈ C1(U → C), f はD上正則なら，∫

∂D

f = 0, (4.28)

ここで ∂Dの向きは反時計まわりとする．

証明: f がD上正則なら，(4.22)右辺において，fx + ify(3.39)= 0. \(∧2

∧)/

系 4.3.3の応用例として次の補題 4.3.5, さらにその具体例として例 4.3.6を述べる．まず，実 1変数関数の広義積分についてよく知られた事実 [吉田 1, p. 261, 例 12.3.2]

を引用する.

補題 4.3.4 連続関数 f : R→ C，および a ∈ Rに対し，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい:∫ ∞

−∞f(x)dx,

∫ ∞

−∞f(x+ a)dx.

この類似として，次の補題が成立する．

補題 4.3.5 c ∈ C, b = Im c 6= 0とし，以下を仮定する．

� D ⊂ C は開，かつ次をみたす：

D ⊃

{{z ∈ C ; 0 ≤ Im z ≤ b} b > 0 なら,

{z ∈ C ; b ≤ Im z ≤ 0} b < 0 なら.

� f : D → Cは正則, C1, かつ次をみたす：

lim|x|→∞

∫ 1

0

f(x+ bti)dt = 0. (4.29)

このとき，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい：∫ ∞

−∞f(x)dx,

∫ ∞

−∞f(x+ c)dx.

証明：ℓ, r > 0とし，−ℓ, r, r + bi,−ℓ + biを頂点とする長方形の積分路に系 4.3.3を適用し7，

7条件 (4.29) は長方形の縦の辺に沿った線積分が, ℓ, r →∞の極限において消えるための条件である．

94

−ℓ r

r + bi−ℓ+ bi

1)

∫[−ℓ,r]

f +

∫[r,r+ib]

f +

∫[r+ib,−ℓ+ib]

f +

∫[−ℓ+ib,−ℓ]

f = 0.

ℓ, r →∞とすると，∫ r

−ℓ

f(x)dx−∫ r

−ℓ

f(x+ ib)dx =

∫[−ℓ,r]

f +

∫[r+ib,−ℓ+ib]

f

1)= −

∫[−ℓ+ib,−ℓ]

f −∫[r,r+ib]

f

= ib

∫ 1

0

f(−ℓ+ ibt)dt− ib

∫ b

0

f(r + ibt)dt(4.29)−→ 0.

以上より，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい．∫ ∞

−∞f(x)dx,

∫ ∞

−∞f(x+ bi)dx.

さらに，連続関数 x 7→ f(x+ bi) に補題 4.3.5を適用することにより，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい．∫ ∞

−∞f(x+ bi)dx,

∫ ∞

−∞f(x+ a+ bi)dx.

以上より補題の結論を得る． \(∧2∧)/

以下の応用例では，次のよく知られた定積分を用いる．c ∈ R\{0}に対し，∫ ∞

0

exp(−c2x2

)dx =

√π

2|c|. (4.30)

証明は，例えば [吉田 1, p.261,例 12.3.4]を参照されたい．

例 4.3.6 c ∈ Cに対し，

F (c)def=

∫ ∞

−∞exp

(−x2 − 2cx

)dx =

√π exp

(−|c|2

).

F (0)(4.30)=√πは既知とし，c 6= 0の場合を示す. 次の正則関数 f に補題 4.3.5を応用

する:

f(z)def= exp(−z2), z ∈ C.

95

この f に対し， ∫ ∞

−∞f(x)dx

(4.30)=

√π,∫ ∞

−∞f(x+ c)dx = exp(|c|2)

∫ ∞

−∞exp(−x2 − 2cx)dx.

よって次を言えればよい．

1)

∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ ∞

−∞f(x+ c)dx.

今，b = Im c とするとき，x ∈ R, t ∈ [0, 1]なら，

|f(x+ bti)| = | exp(−(x2 − b2t2)− 2ibtx)| = exp(−(x2 − b2t2)) ≤ exp(−x2 + b2).

よって |x| → ∞で，∣∣∣∣∫ 1

0

f(x+ bti)dy

∣∣∣∣ ≤ ∫ 1

0

|f(x+ bti)|dy ≤ exp(−x2 + b2) −→ 0.

これと補題 4.3.5より，1) を得る． \(∧2∧)/

関数 f : [0,∞)→ C が広義可積分なら，c > 0に対し，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい．∫ ∞

0

f(x)dx, c

∫ ∞

0

f(cx)dx.

この類似として，次の補題が成立する．

補題 4.3.7 D ⊂ Cを領域, a, b ∈ (0,∞) とし，以下を仮定する．

{z ∈ C ; Im z ≥ 0, a Im z ≤ bRe z} ⊂ D, (4.31)

f : D → Cは正則かつC1, また，∫ br

0

f(ar + iy)dyr→∞−→ 0. (4.32)

このとき，c = a+ ib に対し次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい． ∫ ∞

0

f(x)dx, c

∫ ∞

0

f(cx)dx.

証明：頂点 0, ar, crを持つ三角形の積分路に系 4.3.3を適用し8，

1)

∫[0,ar]

f +

∫[ar,cr]

f +

∫[cr,0]

f = 0.

8条件 (4.32) は三角形の縦の辺に沿った線積分が, r →∞の極限において消えるための条件である．

96

0 ar

cr

r →∞とすると，∫ ar

0

f(x)dx− c

∫ r

0

f(cx)dx

=

∫[0,ar]

f +

∫[cr,0]

f1)= −

∫[ar,cr]

f = −∫ br

0

f(ar + iy)dy(4.32)−→ 0.

\(∧2∧)/

注: 補題 4.3.7証明中の議論により，補題 4.3.7を以下のように変形できることも分かる．1) a, b ∈ (0,∞) のかわりに a ∈ (0,∞), b ∈ (−∞, 0) を仮定する場合は，(4.31) の代わりに次を仮定することにより，補題はそのまま成立する．

{z ∈ C ; Im z ≤ 0 ≤ Re z, a Im z ≤ bRe z} ⊂ D.

2) a, b ∈ (0,∞) のかわりに a ∈ (−∞, 0), b ∈ (0,∞) を仮定する場合は，(4.31) の代わりに次を仮定する．

{z ∈ C ; Re z ≤ 0 ≤ Im z, |a| Im z ≤ b|Re z|} ⊂ D.

さらに，(4.32)を仮定するとき，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束し，両者は等しい． ∫ 0

−∞f(x)dx, −c

∫ ∞

0

f(cx)dx.

次の例より，等式 (4.30)は cが適切な範囲の複素数の場合に拡張される．

例 4.3.8 c ∈ C, Re c 6= 0, | Im c| ≤ |Re c| なら，

F (c)def=

∫ ∞

0

exp(−c2x2

)dx =

{ √π

2c, Re c > 0なら,

−√π

2c, Re c < 0なら.

特に c = (1 ± i)/√2 (したがって c2 = ±i)のとき，広義積分 F (c)をフレネル積分 と

呼ぶ．証明: a = Re c, b = Im c とする．b = 0 の場合は (4.30)そのものなので b 6= 0とする．また b > 0の場合に等式が示せれば，その共役をとることにより b < 0の場合を得る．

97

そこで以下，0 < b ≤ |a|とする．まず a > 0の場合を考える．次の関数 f に補題 4.3.7

を応用する．f(z)

def= exp(−z2), z ∈ C.

このとき，もし補題 4.3.7の条件 (4.32)が成り立てば，次のようにして結論を得る．

c

∫ ∞

0

exp(−cx2)dx = c

∫ ∞

0

f(cx)dx補題 4.3.7

=

∫ ∞

0

f(x)dx(4.30)=

√π

2.

以下,条件 (4.32)の成立を示す．r > 0, y ≥ 0に対し

1) |f(ar + iy)| = | exp(−a2r2 + y2 + 2iary)| = exp(−a2r2 + y2).

また 問 4.3.1より，

2)

∫ r

0

exp(y2)dt ≤ exp(r2)− 1

r.

次のようにして (4.32)を得る．∣∣∣∣∫ br

0

f(ar + iy)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ br

0

|f(ar + iy)|dt

1)= exp(−a2r2)

∫ br

0

exp(y2)dt2)

≤ exp(−(a2 − b2)r2)

br

r→∞−→ 0.

a < 0の場合は，−c = |a| − biと F (c) = F (−c)より，

F (c) = F (−c) =√π

2(−c)= −√π

2c.

\(∧2∧)/

注: Re(c2) = (Re c)2 − (Im c)2 より広義積分 F (c)は |Re c| > | Im c|なら絶対収束，|Re c| = | Im c|なら条件収束する．また，以下で示すように |Re c| < | Im c| なら広義積分 F (c)は収束しない．α

def= Re(−c2) = (Im c)2 − (Re c)2 > 0, β

def= Im(−c2) に対

し β = 0なら，exp(−c2x2) = exp(αx2)は明らかに (0,∞)上広義可積分でない．次にβ > 0とする．cn = nπ/βに対し∫ √

c2n+1

√c2n

exp(αx2) sin(βx2)dx ≥ exp(αc2n)

∫ √c2n+1

√c2n

sin(βx2)dx

=exp(αc2n)

2

∫ c2n+1

c2n

sin(βx)√x

dx

≥ exp(αc2n)

2√c2n+1

∫ c2n+1

c2n

sin(βx)dx =π exp(αc2n)

β√c2n+1

n→∞−→ ∞.

これと，Im exp(−c2x2) = exp(αx2) sin(βx2)より，exp(−c2x2)は (0,∞)上広義可積分でない．β < 0でも同様である．

問 4.3.1 r > 0に対し ∫ r

0exp(t2)dt ≤ (exp(r2)− 1)/r を示せ．

98

問 4.3.2 0 < p < 1に対し次を示せ9．I(p)def=

∫ ∞

0

sinx

xpdx =

1

1− p

∫ ∞

0

sin(x1

1−p )dx.

問 4.3.3 c ∈ C, Re c > 0, n ∈ Nとする．以下を示せ．i)

∫ ∞

0

xn exp(−cx)dx = n!/cn+1.

ヒント：f(z) = zn exp(−z) (z ∈ C)に補題 4.3.7を適用.

ii)

∫ ∞

0

xn exp(−x1/4) sin(x1/4)dx = 0.

注：i) で c ∈ (0,∞)の場合を考える．このとき i)の等式は平均 1/cの指数分布 （密度 c exp(−cx)をもつ (0,∞)上の確率分布）に従う確率変数Xに対する等式E[Xn] =

(n+ 1)!/cnに他ならない．i) よりこの等式は Re c > 0をみたす複素数に拡張できる．ii) の関数 exp(−x1/4) sin(x1/4)は，次のような g ∈ C([0,∞))の例としてスチルチェスが提示した．「全ての n ∈ Nに対し ∫∞

0xng(x)dx = 0 (左辺の広義積分は絶対収束)かつ

g 6≡ 0」(モーメント問題に対する反例, 1894年).

4.4 原始関数

本章における次の目標は星形領域に対するコーシーの定理（定理 4.5.5）を示すことである．その過程において正則関数に対する原始関数という概念,特に以下で述べる命題4.4.6が重要な役割を果たす．関数 f, F : I → C (I = [a, b] ⊂ R)に対し，F が I 上微分可能かつ全ての t ∈ I に対し F ′(t) = f(t)なら F を f の原始関数と言う．F が f の原始関数でありかつ f が I 上連続なら，次の「微積分の基本公式」が成立する．

F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(t)dt. (4.33)

4.4節では，原始関数の概念および微積分の基本公式 (4.33)を複素変数関数に拡張する．

以下，D ⊂ Cを領域とする．

定義 4.4.1 (原始関数) D上の複素数値関数 F, f について次の条件がみたされるとき,

F を f の原始関数と言う：

F はD上正則かつ全ての z ∈ Dに対し F ′(z) = f(z). (4.34)

命題 4.4.2 D上の複素数値関数 f, F,Gについて,

a) F を f の原始関数とするとき,

Gが f の原始関数 ⇐⇒ G− F = c (定数)

b) f が原始関数を持つとする．このとき，任意の a ∈ D, b ∈ Cに対し f の原始関数F

で F (a) = bをみたすものが唯一つ存在する．9この問と例 4.3.8より，I(1/2) =

√π/2を得る．また，関連した広義積分については問 6.3.4を参照

されたい．

99

証明：a) ⇒: (G− F )′ = f − f = 0. 従って命題 3.1.8よりG− F = c（定数).

⇐ 明らか.

b) F0を任意の原始関数とする.

(F の存在): F (z)def= F0(z)− F0(a) + bは所期のものである．

(Fの一意性): a)より所期のFはF (z) = F0(z)+c (cは定数)と表せる. さらにF (a) = b

より c = −F0(a) + b. \(∧2∧)/

例 4.4.3 f : D → C,及びその原始関数Fの具体例を列挙する (J = (−∞,−1]∪[1,∞))：D, f = F ′, f の原始関数 F

C zn (n ∈ N) zn+1/(n+ 1)

C\{0} zn (n ∈ Z, n ≤ −2) zn+1/(n+ 1)

C exp(cz) (c ∈ C\{0}) exp(cz)/c

C cosh z sinh z

C sinh z cosh z

C cos z sin z

C sin z − cos z

C\(−∞, 0] 1/z Log z

C\(−∞, 0] Log z zLog z − z,

C\(−∞, 0] zα (α ∈ C\{−1}) zα+1/(α + 1)

| Im z| < π2

tanh z Log cosh z

|Re z| < π2

tan z −Log cos z

C\iJ 1z2+1

Arctan z

C\J , 1√1−z2

Arcsin z

証明：各例について F はD上正則かつ F ′ = f が確認できる. \(∧2∧)/

以下で，z, w ∈ C (z 6= w)に対し，線分 [z, w]の向きは，zを始点，wを終点となる（zからwに至る）ようにとる．

補題 4.4.4 f : D → Cが連続，z ∈ Dとする．このとき，w ∈ D\{z}, w → zなら，1

w − z

∫[z,w]

f −→ f(z).

証明： 1w−z

∫[z,w]

dζ = 1に注意して，

1)

(1

w − z

∫[z,w]

f

)− f(z) =

1

w − z

∫[z,w]

(f(ζ)− f(z))dζ.

f は zで連続なので, ∀ε > 0に対し次のような δ > 0が存在する：

2) ζ ∈ D, |z − ζ| < δ =⇒ |f(ζ)− f(z)| < ε.

今，|z − w| < δ とする. このとき, ζ ∈ [z, w]についても |z − ζ| < δなので,

3) |1)右辺 |(4.12)

≤ 1

|w − z|

∫[z,w]

|f(ζ)− f(z)||dζ|2)

≤ ε.

100

1),3)より, w → zで,1

w − z

∫[z,w]

f −→ f(z).

\(∧2∧)/

次の命題は，微積分の基本公式 (4.33)を複素変数関数に拡張したものである．

命題 4.4.5 D上の複素数値関数 F, f について f は連続とする．以下は同値である．

a) F は f の原始関数である．

b) D内の区分的C1曲線Cが始点 z,終点wを持つとき，∫C

f = F (w)− F (z). (4.35)

c) 任意の z ∈ Dに対し次をみたす r > 0が存在する．D(z, r) ⊂ Dかつ任意の w ∈D(z, r)に対し， ∫

[z,w]

f = F (w)− F (z). (4.36)

証明：a) ⇒ b) g : [a, b] → Cを C の径数づけとする．gは区分的に C1なので，分点a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = bを適切にとれば gは各小区間 [tj−1, tj](j = 1, ..., n)上C1である．このとき，

1)

∫ tj

tj−1

f (g(t)) g′(t)dt =

∫ tj

tj−1

F ′ (g(t)) g′(t)dt

(3.12)=

∫ tj

tj−1

(F ◦ g)′(t)dt (4.33)= (F ◦ g)(tj)− (F ◦ g)(tj−1).

ゆえに， ∫C

f(4.7)=

∫ b

a

f (g(t)) g′(t)dt =n∑

j=1

∫ tj

tj−1

f (g(t)) g′(t)dt

1)=

n∑j=1

((F ◦ g)(tj)− (F ◦ g)(tj−1))

= (F ◦ g)(b)− (F ◦ g)(a) = F (w)− F (z).

b) ⇒ c):自明．c) ⇒ a): w ∈ D(z, r)\{z}, w → zとすると，

F (w)− F (z)

w − z

(4.36)=

1

w − z

∫[z,w]

f補題 4.4.4−→ f(z).

よって F は f の原始関数である． \(∧2∧)/

命題 4.4.6 f : D → Cが連続なら以下は同値である．

a) f はD上で原始関数を持つ．

101

b) D内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，∫C

f = 0.

c) D内の区分的C1曲線C0, C1が始点，終点を共有するなら∫C0

f =

∫C1

f .

証明：a)⇒ b) fが原始関数F を持てば (4.35)が成立する．特にCが閉曲線なら z = w

より∫C

f = 0.

b) ⇒ c) D内の区分的C1曲線C0, C1が始点，終点を共有するとき，C0に−C1を継ぎ足した曲線C ⊂ Dは区分的C1閉曲線である．

z

w

C0

−C1

C1

したがって，0

b)=

∫C

f(4.13)=

∫C0

f +

∫−C1

f(4.11)=

∫C0

f −∫C1

f.

c) ⇒ a) F : D → Cを適切に定め，それが命題 4.4.5の条件 c)をみたすことを言う．F の定義：a ∈ Dを任意に固定する．また，z ∈ Dに対しD内でaから zに至る折れ線全体の集合をC (a, z)とする．このとき命題 1.6.10より，任意の z ∈ Dに対しC (a, z) 6= ∅.そこで z ∈ Dに対しC ∈ C (a, z)を任意にとり次のように定める．

F (z) =

∫C

f.

仮定より任意のC0, C1 ∈ C (a, z)に対し ∫C0

f =∫C1

f．よってF (z)の値はC ∈ C (a, z)

の選び方に依らず定まる．F が命題 4.4.5の条件 c)をみたすこと: z ∈ Dを任意とする．このとき，D(z, r) ⊂ D

となる r > 0が存在する．さらに任意の w ∈ D(z, r)に対し [z, w] ⊂ D(z, r) ⊂ D.

ゆえに，C ∈ C (a, z)に対し，C に [z, w]を継ぎ足した折れ線 C + [z, w]を考えるとC + [z, w] ∈ C (a, w). したがって，F (w) =

∫C+[z,w]

f . 以上より，

102

a

z

w

F (w)− F (z) =

∫C+[z,w]

f −∫C

f(4.13)=

∫[z,w]

f.

以上より命題 4.4.5の条件 c)がみたされる． \(∧2∧)/

注：領域Dが星形 (より一般に単連結)，かつ f : D → Cが正則なら命題 4.4.6の a),b),c)

が全て成立する (定理 4.5.5, 定理 4.7.4).

例 4.4.7 n ∈ Z, D = C\{0}とすると fn(z)def= znはD上正則である．さらに，n 6= −1

ならFn(z)def= zn+1/(n+1)がDにおいて fnの原始関数である．一方，f−1はD上で原

始関数を持たない．実際，単位円周C(0, 1)に対し例 4.2.4より∫C(0,1)

f−1 =

∫C(0,1)

dz

z= 2πi.

よって，命題 4.4.6の条件 b)が満たされない．一方，θ ∈ (−π, π]を任意に固定し

Dθ = C\{exp(iθ)t ; t ≥ 0}, F−1(z) = Log (− exp(−iθ)z), (z ∈ Dθ)

とする．このとき F−1はDθにおいて f−1の原始関数である．実際，F−1は次の二つの正則関数の合成なので正則である．

z 7→ − exp(−iθ)z : Dθ −→ C\(−∞, 0],

z 7→ Log z : C\(−∞, 0] −→ C.

また，z ∈ Dθとし，上記合成に連鎖律 (命題 3.1.6) を適用すると，

F ′−1(z) = (Log )′(− exp(−iθ)z)× (− exp(−iθ))

=1

− exp(−iθ)z× (− exp(−iθ)) = 1

z.

ゆえに F−1はDθにおいて f−1の原始関数である．

103

問 4.4.1 (部分積分公式) D ⊂ Cは開，f, g : D → Cは正則かつ C1, C ⊂ Dは区分的C1曲線で始点 a, 終点 bを持つとする．以下を示せ．∫

C

f ′g = [fg]ba −∫C

fg′. (4.37)

[ヒント：fgは f ′g + fg′の原始関数.] 特にCが閉曲線なら，∫C

f ′g = −∫C

fg′. (4.38)

問 4.4.2 r ∈ (0,∞], D = {z ∈ C ; |z| < r}, an ∈ C (n ∈ N)とし，次のべき級数 f(z)

が全ての z ∈ Dに対し絶対収束するとする．

f(z) =∞∑n=0

anzn.

このとき，次のべき級数F (z)が全ての z ∈ Dに対し絶対収束し，F は f の原始関数であることを示せ．

F (z) =∞∑n=0

ann+ 1

zn+1.

問 4.4.3 D ⊂ Cは領域, f : D → C\{0}は正則とする. 以下を示せ．i) 正則関数 g : D → Cであり f(z) = exp g(z) (∀z ∈ D) をみたすものが存在すれば，g

はD上 f ′/f の原始関数である．ii) a ∈ D, b ∈ C, f(a) = exp bとする. f ′/f がD上で原始関数をもつとき，正則関数g : D → Cであり f(z) = exp g(z) (∀z ∈ D), g(a) = bをみたすものが唯一つ存在する．

問 4.4.4 D ⊂ Cは領域，h : D → Cは調和とする（定義 3.5.7参照）．例 3.6.5よりf

def= (Reh)x− i(Reh)y, g

def= (Imh)y+ i(Imh)x は共にD上正則である．さらに f, gが共

にD上で原始関数をもつなら，正則関数 hj : D → C (j = 1, 2)でありD上 h = h1+h2

をみたすものが存在することを示せ．

問 4.4.5 D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則かつC1とする．D内の区分的C1曲線Cが始点 z,終点wを持ち，f(C)∩(−∞, 0] = ∅をみたすとき，次を示せ：Log f(w)−Log f(z) =∫C

f ′

f.

4.5 星形領域に対するコーシーの定理

本節では星形領域に対するコーシーの定理（定理 4.5.5）を示す．既に述べた初等的コーシーの定理 (系 4.3.3)とは異なり，定理 4.5.5では被積分関数 f の導関数 f ′の連続性を仮定しないことが大きな理論的利点である．導関数 f ′の連続性を仮定することなくコーシーの定理を示す研究はグールサ によって始められた (1884年)．本節で述べる証明はプリングスハイム による (1903年).

定理 4.5.5の証明に重要な役割を果たすのが，多角形積分路に対するコーシーの定理（命題 4.5.2）である．

104

定義 4.5.1 相異なる n個の点 z1, ..., zn ∈ C (n ≥ 3) が，ある a ∈ Cおよび 0 ≤ θ1 <

... < θn < 2πを用い，zj = a+ |zj − a| exp(iθj), j = 1, ..., n (4.39)

と表されるとする．このとき，次の折れ線Cを n角形と呼ぶ．C = [z1, z2] ∪ [z2, z3] ∪ .... ∪ [zn−1, zn] ∪ [zn, z1].

z1

z2z3

z4

z5

z6 z7

a

Cの向きは反時計回り (z1 → z2 → ...→ zn → z1)と規約する．

命題 4.5.2 (多角形積分路に対するコーシーの定理) 開集合D ⊂ Cはn角形C (n ≥ 3)

の周および内部を含むとする．このとき，f : D → Cが正則なら∫C

f = 0. (4.40)

注：命題 4.5.2の n = 3の場合を定理 4.5.5の証明に，n = 4の場合を補題 5.1.2の証明に用いる．

命題 4.5.2の証明は後回しにし，まず命題 4.5.2から星形領域に対するコーシーの定理を示す．定義 4.5.3 a ∈ D ⊂ Cとする．任意の z ∈ Dに対し [a, z] ⊂ DならDは aに関し星形であるという．

az

105

例 4.5.4 D ⊂ Cとする．任意の a, b ∈ Dに対し [a, b] ⊂ DならDは凸 であるという.

Dが凸ならDは星形でもある．円板，三角形の内部，長方形の内部は凸である．

定理 4.5.5 (星形領域に対するコーシーの定理) 領域D ⊂ Cは星形, かつ f : D → Cは正則とする．このとき，

a) f はD上で原始関数を持つ．

b) D内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，∫C

f = 0.

c) D内の区分的C1曲線C0, C1が始点，終点を共有するなら∫C0

f =

∫C1

f .

証明：命題 4.4.6より a),b),c)は同値，したがって a)を示せば十分である．Dはあるa ∈ Dに関し星形なので，任意の z ∈ Dに対し，[a, z] ⊂ D. そこで次のように定めたF が f の原始関数であることを言う．

1) F (z)def=

∫[a,z]

f.

そのために次に注意する．

2) 任意の z ∈ Dに対し r > 0が存在し，任意の w ∈ D(z, r)に対し，4azwの周と内部がDに含まれる.

　

az

w

実際，Dは開なのでD(z, r) ⊂ Dをみたす r > 0が存在する．このとき，D(z, r)は開円板なので任意の w ∈ D(z, r)に対し，[z, w] ⊂ D(z, r) ⊂ D. 特に任意の b ∈ [z, w]

に対し，b ∈ D. さらに，Dは aに関し星形なので, [a, b] ⊂ D. これは，4azwの周と内部がDに含まれることを意味する．よって 2)が示された．2)で，4azwの周をCとすると，命題 4.5.2より，

106

3)

∫C

f = 0.

ゆえに

03)=

∫C

f(4.13)=

∫[a,z]

f +

∫[z,w]

f +

∫[w,a]

f

1), (4.11)= F (z)−

∫[w,z]

f − F (w).

したがって，F (w)− F (z) =

∫[z,w]

f.

以上より命題 4.4.5の条件 c)がみたされる．ゆえに F は f の原始関数である．\(∧2∧)/

注：上記証明では，多角形積分路に対するコーシーの定理 (命題 4.5.2) から，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) を導いた．逆に星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)から，多角形積分路に対するコーシーの定理 (命題 4.5.2) を導くこともできる (問 4.5.3).

問 4.5.1 i) 領域 D ⊂ C は, a ∈ D に関し星形であるとする．b ∈ D\{a}, L = {a +

t(b − a) ; t ≥ 1} とするとき，D\L は a ∈ D に関し星形であることを示せ. ii) 領域D ⊂ C は凸であるとする．a, b ∈ D, a 6= b, L = {a + t(b − a) ; t ≥ 1} とするとき，D\L は a ∈ D に関し星形であることを示せ.

問 4.5.2 (⋆) D ⊂ C は領域, a ∈ D とする．Dが aに関し星形であるためには，次の性質を持つ関数 R : (−π, π]→ (0,∞] の存在が必要十分であることを示せ：

infθ∈(−π,π]

R(θ) > 0, かつ D = {a+ r exp(iθ) ; θ ∈ (−π, π], r ∈ [0, R(θ))}. (4.41)

問 4.5.3 (⋆) U ⊂ C は開，D はD ⊂ U をみたす有界な星形領域とする．i) D ⊂ V ⊂ U をみたす有界な星形領域 V の存在を示せ．ii) f : U → Cが正則かつ，Dの境界 ∂D が区分的 C1閉曲線とする．星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) を用い ∫

∂Df = 0 を示せ.

4.6 (⋆) 命題 4.5.2の証明

以下で命題 4.5.2を示す．そのために補題を二つ準備する．一つ目の補題は，区間縮小法の二次元への拡張である．

補題 4.6.1 空でない有界閉集合の列Kn ⊂ C (n ∈ N)が次をみたすとする．

K0 ⊃ K1 ⊃ ... かつ δndef= diam(Kn) −→ 0,

((1.18)参照)．このとき，ある a ∈ Cが存在し，任意の n ∈ Nに対し，

a ∈ Kn ⊂ D(a, δn).

107

証明：Knから任意に anを選び，次を示す．

1) anがある a ∈ Cに収束する．

bn, cn ∈ Rを次のように定める10.

Kn

bn cn

bn = inf{Re z ; z ∈ Kn}, cn = sup{Re z ; z ∈ Kn}.

このとき，Kn ⊃ Kn+1により，bnは↗, cnは↘, さらに，

cn − bn ≤ diam(Kn) −→ 0.

以上と，区間縮小法 ([吉田 1, p.45, 系 3.5.2])より bn, cnはともにある b ∈ R に収束する．これと bn ≤ Re an ≤ cnより，Re an → b. 同様の議論より，Im anも収束し，結果として anが収束する．次に 1)から結論を導く．n ∈ Nを任意に固定するとき，m ≥ nなら am ∈ Km ⊂ Kn．ここでm → ∞とするとKnは閉なので a ∈ Kn. また，a ∈ Knより，任意の x ∈ Kn

に対し |x− a| ≤ diam(Kn) = δn. よってKn ⊂ D(a, δn). \(∧2∧)/

補題 4.6.2 a ∈ C, R > 0，f : D(a,R)→ Cは連続かつ点 aで複素微分可能とする．このとき，任意の ε > 0に対しある δ ∈ (0, R)が存在し，D(a, δ)内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し ∣∣∣∣∫

C

f

∣∣∣∣ ≤ εℓ(C) supz∈C|z − a|. (4.42)

証明：1次関数 g(z)def= f(a) + f ′(a)(z − a)は原始関数 f(a)z + f ′(a)(z − a)2/2を持つ．

ゆえに命題 4.4.6より，任意の区分的C1閉曲線Cに対し

1)

∫C

g = 0.

一方，f の aにおける複素微分可能性より，任意の ε > 0に対し δ > 0が十分小さければ，z ∈ D(a, δ)に対し

2) |f(z)− g(z)| = |f(z)− f(a)− f ′(a)(z − a)| ≤ ε|z − a|.

10Kn は有界かつ閉，z 7→ Re zは連続なので inf, supは実際にはそれぞれmin, maxである．

108

よってC ⊂ D(a, δ)なら∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ 1)=

∣∣∣∣∫C

(f − g)

∣∣∣∣ (4.12)≤ ∫C

|f(z)− g(z)||dz|

2)

≤ ε

∫C

|z − a||dz| ≤ εℓ(C) supz∈C|z − a|.

\(∧2∧)/

以上の補題を用い，命題 4.5.2を示す．命題 4.5.2の証明：まず n = 3の場合に帰着させる．Cの頂点 z1, ..., znが (4.39)のように表せるとする．Cを n個の三角形 Cj = 4azjzj+1 (j = 1, ..., n, zn+1

def= z1)に分解

し，各Cjの向きを反時計まわりとする．

z1

z2z3

z4

z5

z6 z7

a

C1

C2

このとき，CjとCj+1 の向きが共有する辺 [a, zj+1]上で打ち消しあうことから，∫C

f =n∑

j=1

∫Cj

f.

ゆえに，各 j = 1, ..., nに対し ∫Cj

f = 0ならよい．そこで，以下では n = 3の場合を示す．

109

Ldef= diam(C)なら ℓ(C) ≤ 3L．Cの頂点を反時計回りの順に z1, z2, z3とする. また，

Cの辺 [z3, z1], [z1, z2], [z2, z3]の中点を順にm1,m2,m3とする. 4m1m2m3の三辺により三角形Cは以下の四つの合同三角形 Γj (j = 1, .., 4)に分解される．

Γ1 = 4z1m2m1, Γ2 = 4z2m3m2, Γ3 = 4z3m1m3, Γ4 = 4m1m2m3,

z1

z2 z3

m1m2

m3

各 Γjに反時計回りの向きをつけると，辺 [mj,mj+1] (j = 1, 2, 3, m4def= m1)上でこの

辺を共有する三角形 Γj, Γ4の向きが相殺され,∫C

f =4∑

j=1

∫Γj

f.

そこで，| ∫Γjf |が最大になる三角形 ΓjをC1と名付けると，

diam(C1) = L/2 , ℓ(C1) ≤ 3L/2,∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ ≤ 4∑j=1

∣∣∣∣∣∫Γj

f

∣∣∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣∣∫C1

f

∣∣∣∣ .三角形C1は三辺の中点を結ぶ三本の線分により四つの合同三角形に分解される．これらから上と同様にC2を選ぶと，

diam(C2) = L/4, ℓ(C2) ≤ 3L/4,

∣∣∣∣∫C1

f

∣∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣∣∫C2

f

∣∣∣∣ .以下，同様の手続きにより三角形の列Cn (n = 1, 2, ...)が選ばれ，

1) diam(Cn) = L/2n, ℓ(Cn) ≤ 3L/2n,

∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ ≤ 4n∣∣∣∣∫

Cn

f

∣∣∣∣ .Cnにその内部を加えた閉集合をKnとすると，K1 ⊃ K2 ⊃ ...かつ

diam(Kn) = diam(Cn) = L/2n −→ 0.

ゆえに補題 4.6.1より，ある a ∈ Cが存在し，

2) 任意の n ∈ Nに対し, a ∈ Kn ⊂ D(a, L/2n).

110

今，f は点 aで複素微分可能である．そこで任意の ε > 0に対し δを補題 4.6.2のようにとる. L/2n < δをみたす nに対し, Cn

2)⊂ D(a, δ). そこで閉曲線Cnに補題 4.6.2を適

用すると，

3)

∣∣∣∣∫Cn

f

∣∣∣∣ (4.42)≤ εℓ(Cn) supz∈Cn

|z − a|1),2)

≤ 3εL2/4n.

1),3)より ∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ ≤ 3εL2.

ε > 0は任意なので結論を得る． \(∧2∧)/

4.7 (⋆)単連結領域に対するコーシーの定理

定義 4.7.1 ▶曲線C0, C1 ⊂ Cは始点 a，終点 bを共有し，それぞれ関数 gj : [α, β]→ C(j = 0, 1)により径数づけられるとする．集合D ⊂ C,および連続関数h : [0, 1]×[α, β]→Dが次をみたすとき，C0はC1にD内で連続可変, あるいはホモトピー同値 であると言い，C0

a,b,D∼ C1と記す．

h(0, t) = g0(t), h(1, t) = g1(t), ∀t ∈ [α, β],

h(s, α) = a, h(s, β) = b, ∀s ∈ [0, 1].(4.43)

C0

C1

z

w

また，関数 hをC0からC1へのホモトピー と呼ぶ．▶ 集合D ⊂ C内の任意の閉曲線CがC上の一点 a (一点を定値曲線とみなす) にD内で連続可変であるとき，Dは単連結 であると言う．

注 1: C0a,b,D∼ C1が始点 a, 終点 bの曲線の同値関係であることは容易に確かめられる．

特に，曲線Cj ⊂ D (j = 0, 1, 2)の始点は a, 終点は bとするとき，

C0a,b,D∼ C1, C1

a,b,D∼ C2 =⇒ C0a,b,D∼ C2. (4.44)

111

a ∈ Dとし，D内の閉曲線Cで始点・終点が aであるもの全体をΠ1(a,D)とする．このとき，Π1(a,D)の同値関係C0

a,a,D∼ C1による同値類全体 π1(a,D)は曲線の継ぎ足しに関し群構造を持つ（本節末の補足, 補題 4.7.7参照）．群 π1(a,D)は基本群 と呼ばれる．特にDが弧状連結なら π1(a,D)は aのとり方によらず ((4.50)参照), π1(D)と書かれる．注 2: 領域D ⊂ Cが単連結, D 6= Cなら，ある全単射正則関数 f : D → D(0, 1)であって逆関数 f−1 : D(0, 1)→ Dが正則であるものの存在が知られている (リーマンの写像定理 ,1851年)．特に任意の単連結領域は単位開円板D(0, 1)と同相である．

「単連結」は直感的には「穴が開いていない」ことである．次の事実 (例 4.7.2)により，単連結集合の具体例を数多く見出すことができる．この事実の証明は見た目ほど簡単ではない．話の流れを止めないために，証明は本節末の補足で述べる．例 4.7.2 a) 星形集合は単連結である．

b) 縦線型領域，横線型領域は共に単連結である．次の命題は定理 4.7.4の証明に決定的な役割を果たす．命題 4.7.3 (連続可変積分路に対する線積分不変性) D ⊂ Cは開，f : D → Cは正則とする．また，C0, C1 ⊂ Dは始点，終点を共有する区分的C1曲線,　C0はC1にD内で連続可変とする．このとき， ∫

C0

f =

∫C1

f.

命題 4.7.3の証明は後回しとし，その重要な帰結 (定理 4.7.4)を述べる．系 4.3.3と異なり，定理 4.7.4では fの導関数 f ′の連続性を仮定しない．この点は，正則関数の理論構築に本質的である．定理 4.7.4 (単連結領域に対するコーシーの定理) 領域D ⊂ Cが単連結，f : D → Cが正則なら以下が成立する．a) f はD上で原始関数を持つ．

b) D内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，∫C

f = 0.

c) D内の区分的C1曲線C0, C1が始点，終点を共有するなら∫C0

f =

∫C1

f .

証明：命題 4.4.6により，a),b),c) は同値である．そこで b) を示す．Dは単連結なので，特にD内の任意の区分的 C1閉曲線 C が一点 aに連続可変である．一点 a上の f

の線積分は零であることと，命題 4.7.3から上記 b)を得る． \(∧2∧)/

注：領域Dに対し，定理 4.7.4 a)の性質が任意の正則関数 f : D → C に対し成立すればDは単連結であることが知られている．また，これは性質 b),c) についても同様である [Rudin, p.274, 13.11].

定理 4.7.4の応用例を幾つか挙げる．

112

例 4.7.5 (縦/横線型領域を囲む積分路に対するコーシーの定理) 区分的C1単純閉曲線C ⊂ Cが有界領域Dを囲み，Dは縦線型あるいは横線型とする．また，U ⊂ Cは開,

D ⊂ U , f は U 上正則なら， ∫C

f = 0, (4.45)

ここでCの向きは反時計まわりとする．証明: Dが縦線型の場合に示すが，横線型でも同様である．Dは (4.20)で与えられるとする．Dは有界なので，D ⊂ D(0, R)をみたすR > 0が存在する．DはU ∩D(0, R)

内の有界閉集合なので補題 1.6.4(本節末，補足 2)より，

ε1def= inf{|z − w| ; z ∈ D, w ∈ (U ∩D(0, R))c} ∈ (0,∞).

そこで，ε = ε1/2とし，h1,ε, h2,ε : [x1 − ε, x2 + ε]→ R を次のように定める．

h1,ε(x) =

h1(x1)− ε, x ∈ [x1 − ε, x1],

h1(x)− ε, x ∈ [x1, x2],

h1(x2)− ε, x ∈ [x2, x2 + ε],

h2,ε(x) =

h2(x1) + ε, x ∈ [x1 − ε, x1],

h2(x) + ε, x ∈ [x1, x2],

h2(x2) + ε, x ∈ [x2, x2 + ε].

このとき，任意の x ∈ [x1 − ε, x2 + ε]に対し，h1,ε(x) < h2,ε(x). そこでDε ⊂ Cを次のように定める．

Dε = {z = x+ iy ; x ∈ (x1 − ε, x2 + ε), y ∈ (h1,ε(x), h2,ε(x))}.

このとき，Dεは縦線型領域，したがって単連結領域である（例 4.7.2）. また ε のとり方からC ⊂ Dε ⊂ U . よって定理 4.7.4より結論を得る． \(∧2

∧)/

例 4.7.6 K ⊂ D ⊂ C, Dは開, Kは閉, D\Kは連結，また，ある a ∈ K, r ∈ (0,∞)が次をみたすとする．

K ⊂ {z ∈ C ; |z − a| < r} ⊂ {z ∈ C ; |z − a| ≤ r} ⊂ D.

a

K

D

このとき，領域D\Kは単連結でない．証明：C(a, r) = {z ∈ C ; |z− a| = r}(向きは反時計回り)は領域D\K 内のC1閉曲線，1/(z − a)はD\K上正則. ところが，∫

C(a,r)

1

z − adz

(4.18)= 2πi 6= 0.

これと定理 4.7.4b)よりD\Kは単連結でない． \(∧2∧)/

113

命題 4.7.3の証明：Dが星形領域の場合は，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)

より直ちに結論を得る．よってDは星形領域でない (特にD 6= C)としてよい．Cj ⊂ D

(j = 0, 1)の径数づけ gj : [α, β]→ C, C0からC1へのホモトピー h : [0, 1]× [α, β]→ D

に定義 4.7.1の記号をそのまま使う．

C0

C1

z

w

I = [0, 1]× [α, β]に対し，h(I)は有界かつ閉，Dcは閉，h(I) 6= ∅, Dc 6= ∅, h(I)∩Dc =

∅. よって補題 1.6.4より

1) ρdef= inf{|z − w| ; z ∈ h(I), w ∈ Dc} > 0.

次に，1)で定めた ρに対し, h : I → Cの一様連続性より次のような δ > 0が存在する．

2) (s, t), (s′, t′) ∈ I, |(s, t)− (s′, t′)| < δ =⇒ |h(s, t)− h(s′, t′)| < ρ.

このとき，[0, 1], [α, β]それぞれの n等分割

0 = s0 < s1 < ... < sn = 1, α = t0 < t1 < ... < tn = β,

を考え, hj,k = h(sj, tk), Ij,kdef= [sj, sj+1]× [tk, tk+1]とする．nを

δ >√1 + (β − α)2/n = (Ij,kの対角線の長さ)

となるようにとると,

3) h(Ij,k)2)⊂ D(hj,k, ρ)

1)⊂ D, j, k = 0, ..., n− 1.

区分的C1曲線H→j,k (0 ≤ j < n, 0 ≤ k ≤ n), H↑

j,k (0 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k < n)を次のように定める．

H→j,k

def=

{a}, k = 0,

[hj,k, hj+1,k], k 6= 0, n,

{b}, k = n,

H↑j,k

def=

(g0(t))t∈[tk,tk+1], j = 0,

[hj,k, hj,k+1], j 6= 0, n,

(g1(t))t∈[tk,tk+1], j = n.

114

H→j,kは曲線 h(s, tk) (s ∈ [sj, sj+1])を線分に置き換えたものである．この際，k = 0, n

に対する定義は h(s, t0) = a, h(s, tn) = bに由来する．線分に置き換える理由は C1

にするためである (s 7→ h(s, tk)は区分的 C1とは限らない)．またH↑j,k は曲線 h(sj, t)

(t ∈ [tk, tk+1])に対応するが，j 6= 0, nなら線分で置き換え (j 6= 0, nなら t 7→ h(sj, t)は区分的C1とは限らない)，j = 0, nなら曲線のままとする．このとき，

4) C0 = H↑0,0 + ...+H↑

0,n−1, C1 = H↑n,0 + ...+H↑

n,n−1.

hj,k

hj+1,k

hj+1,k+1

hj,k+1

H→j,k

H→j,k+1

H↑j+1,k

H↑j,k

3)よりH→

j,k, H↑j,k, H

↑j+1,k, H

→j,k+1 ⊂ D(hj,k, ρ).

f : D → Cは正則なので，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)より，開円板D(hj,k, ρ) ⊂ D内の区分的C1曲線 Γ1,Γ2が始点, 終点を共有するとき，

5)

∫Γ1

f =

∫Γ2

f.

特にD(hj,k, ρ)内の区分的C1曲線

H→j,k +H↑

j+1,k, H↑j,k +H→

j,k+1

は始点 hj,k, 終点 hj+1,k+1 を共有するので，

6)

(∫H→

j,k

+

∫H↑

j+1,k

)f

5)=

(∫H↑

j,k

+

∫H→

j,k+1

)f.

今，

7)n−1∑k=0

n−1∑j=0

(∫H↑

j+1,k

−∫H↑

j,k

)f =

n−1∑k=0

(∫H↑

n,k

−∫H↑

0,k

)f

4)=

∫C1

f −∫C0

f.

また，H→j,0 = {a}, H→

j,n = {b} (0 ≤ j < n)より，

8)n−1∑j=0

n−1∑k=0

(∫H→

j,k

−∫H→

j,k+1

)f =

n−1∑j=0

(∫H→

j,0

−∫H→

j,n

)f = 0.

115

よって∫C1

f −∫C0

f7),8)=

n−1∑k=0

n−1∑j=0

(∫H↑

j+1,k

−∫H↑

j,k

)f +

n−1∑j=0

n−1∑k=0

(∫H→

j,k

−∫H→

j,k+1

)f

=n−1∑j,k=0

(∫H→

j,k

+

∫H↑

j+1,k

−∫H↑

j,k

−∫H→

j,k+1

)f

6)= 0

\(∧2∧)/

問 4.7.1 D,D′ ⊂ Cは集合, φ : D → D′は連続とする. 以下を示せ．i)始点・終点を共有する曲線 g0, g1 : [α, β]→ DがD内で連続可変なら曲線φ◦g0, φ◦g1 :[α, β]→ D′はD′内で連続可変である．ii) φを同相写像 (φは全単射，連続, かつ逆写像 φ−1 : D′ → Dが連続)とするとき，D,D′の一方が単連結なら，他方も単連結である．

補足 1:

補題 4.7.7 D ⊂ C とし, 曲線C0,Γ0 ⊂ Dの始点は a, 終点は b, 曲線C1,Γ1 ⊂ Dの始点は b, 終点は cとする．またCの各点は定値曲線ともみなす．このとき，

a+ C0a,b,D∼ C0 + b

a,b,D∼ C0, (4.46)

C0 + (−C0)a,a,D∼ a, (−C0) + C0

b,b,D∼ b, (4.47)

C0a,b,D∼ Γ0, C1

b,c,D∼ Γ1 =⇒ C0 + C1a,c,D∼ Γ0 + Γ1. (4.48)

さらに b = c, Cdef= C0 + C1 + (−C0), Γ

def= C0 + Γ1 + (−C0)とすると，

C1b,b,D∼ (−C0) + C + C0, (4.49)

C1b,b,D∼ Γ1 ⇐⇒ C

a,a,D∼ Γ, (4.50)

C1b,b,D∼ b ⇐⇒ C

a,a,D∼ a. (4.51)

証明：(4.46): 曲線C0が関数 g0 : [0, 2]→ Dにより径数づけられるとするとき，a+C0

は次の g1 : [0, 2]→ Dにより径数づけられる.

g1(t) =

{a, t ∈ [0, 1],

g0(2t− 2), t ∈ [1, 2].

そこで連続関数 h : [0, 1]× [0, 2]→ Dを次のように定める．

h(s, t) =

{a, 0 ≤ t ≤ s,

g0(

22−s

(t− s)), t ≥ s.

このとき，h(0, t) = g0(t), h(1, t) = g1(t), ∀t ∈ [0, 2],

h(s, 0) = a, h(s, 2) = a, ∀s ∈ [0, 1].

116

よってhはC0から a+C0へのホモトピーである．ゆえに a+C0a,b,D∼ C0. C0+ b

a,b,D∼ C0

も同様である．(4.47): 曲線C0が関数 g : [0, 1]→ Dにより径数づけられるとするとき，C0 + (−C0)は次の g0 : [0, 2]→ Dにより径数づけられる.

g0(t) =

{g(t), t ∈ [0, 1],

g(2− t), t ∈ [1, 2].

そこで連続関数 h : [0, 1]× [0, 2]→ Dを次のように定める．

h(s, t) =

{g((1− s)t), t ∈ [0, 1],

g((1− s)(2− t)), t ∈ [1, 2].

このとき，h(0, t) = g0(t), h(1, t) = a, ∀t ∈ [0, 2],

h(s, 0) = a, h(s, 2) = b, ∀s ∈ [0, 1].

よってhはC0+(−C0)から定値曲線aへのホモトピーである．ゆえにC0+(−C0)a,a,D∼ a.

(−C0) + C0b,b,D∼ bも同様である．

(4.48): j = 0, 1に対し，曲線 Cj, Γj はそれぞれ gj, γj : [0, 1] → Dにより径数づけられ, また，hj : [0, 1]× [0, 1]→ DがCjから Γjへのホモトピーであるとする．連続関数h : [0, 1]× [0, 2]→ Dを次のように定める．

h(s, t) =

{h0(s, t), t ∈ [0, 1],

h1(s, t− 1), t ∈ [1, 2].

このとき，

h(0, t) =

{g0(t), t ∈ [0, 1],

g1(t− 1), t ∈ [1, 2],h(1, t) =

{γ0(t), t ∈ [0, 1],

γ1(t− 1), t ∈ [1, 2],

h(s, 0) = a, h(s, 2) = c,∀s ∈ [0, 1]. よって hはC0 + C1から Γ0 + Γ1へのホモトピーである．(4.49): (4.47)より，(−C0) + C0

b,b,D∼ b. これと，(4.48), (4.46)より，

(−C0) + C + C0 = (−C0) + C0 + C1 + (−C0) + C0

b,b,D∼ b+ C1 + bb,b,D∼ C1.

(4.50): (⇒):(4.48)から直ちに得られる．(⇐):

Ca,a,D∼ Γ

(4.48)=⇒ (−C0) + C + C0

b,b,D∼ (−C0) + Γ + C0

(4.44),(4.49)=⇒ C1

b,b,D∼ Γ1.

(4.51): (4.46)よりC0 + ba,b,D∼ C0. これと，(4.48), (4.47) より，

C0 + b+ (−C0)a,a,D∼ C0 + (−C0)

a,a,D∼ a.

117

したがって Γ1 = bなら Γa,a,D∼ a. ゆえに (4.50)で Γ1 = bとして (4.51)を得る．\(∧2

∧)/

例 4.7.2の証明：a) CをD内の任意の閉曲線とする．Dは aに関し星形なので任意のc ∈ Cに対し [a, c] ⊂ D. さらに (4.51)より

Cc,c,D∼ c ⇐⇒ C1

def= [a, c] + C + [c, a]

a,a,D∼ a.

よってC1a,a,D∼ aであればよい．g : [0, 1]→ DをC1の径数づけとしh : [0, 1]×[0, 1]→ C

をつぎのように定める．

h(s, t) = (1− s)g(t) + sa, (s, t) ∈ [0, 1]× [0, 1].

Dは aに関し星形なので h([0, 1]× [0, 1]) ⊂ D. また，

h(0, t) = g(t), h(1, t) = a, ∀t ∈ [0, 1],

h(s, 0) = a, h(s, 1) = a, ∀s ∈ [0, 1].

よって hはC1から一点 aへのホモトピーである．b) 縦線型の場合に示すが，横線型でも同様である．Dが，(4.20)で与えられるとするとき

φ : D → D′ def= (x0, x1)× (0, 1)

を次のように定める．φ(x+ iy) = x+ i

y − h1(x)

h2(x)− h1(x).

このとき，φが同相写像 (問 4.7.1)であることは容易にわかる．一方D′は星形なので単連結である．したがってDも単連結である (問 4.7.1)． \(∧2

∧)/

118

5 正則関数の基本性質

本章では, 正則関数の顕著な性質が次々と明らかとなるという意味において, 本書一番の絶景を目にすることができる．まず星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)から, コーシーの積分表示 (5.1) を導き，さらにそこから，任意の正則関数が定義域に含まれる開円板内で, べき級数に展開できることを示す (テーラー展開, (5.2))．テーラー展開のもたらす魔法のひとつは，正則関数，すなわち複素微分可能な関数が，実は自動的に無限回複素微分可能であるという, 一見不思議な性質である．さらに，ある領域を定義域とする正則関数は，定義域内のごく小さな集合上での値から，定義域全体での値が決まってしまうという際立った性質を持つ (一致の定理，系 5.4.5). この性質もテーラー展開と，領域の連結性がもたらす魔法である．なお，本章を読むために 4章を読了している必要は必ずしもない．4章冒頭の解説後半で，4章の「途中下車方法」を紹介したので, 必要に応じて参考にされたい．本章を通じ，

� 開円板 D(a, r), 閉円板 D(a, r) をそれぞれ (1.32), (1.33) で定める．また，

� 円周 C(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r}の向きは常に反時計回りとする．

5.1 コーシーの積分表示とテーラー展開

本章で我々は正則関数の数多くの顕著な性質を目の当たりにすることになるが，その全ての基本は，次の定理で述べるコーシーの積分表示とテーラー展開である．

定理 5.1.1 D ⊂ Cが開，f : D → Cが連続なら以下の命題 a), b), c)は同値である．

a) f : D → Cは正則である．

b) (円板に対するコーシーの積分表示) a ∈ D, r > 0, D(a, r) ⊂ D なら, 任意のb ∈ D(a, r) に対し，

f(b) =1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz. (5.1)

c) (任意回複素微分可能性・テイラー展開) fはD上で任意回複素微分可能である．したがって任意のn ∈ Nに対し導関数 f (n)はD上正則である．さらに, a ∈ D, R > 0,

D(a,R) ⊂ D なら, 任意の z ∈ D(a,R) に対し f(z) は次のようにテイラー展開できる：

f(z) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n (右辺は絶対収束). (5.2)

以下，定理 5.1.1証明の概略を述べる．ここでは，全体像の把握を目的とし，幾つかの補題の証明は 5.2節に先送りする．定理 5.1.1のうち，c)⇒a)は自明である．以下では a)⇒b)⇒c)を示す．a)⇒b)の証明では，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) からコーシーの積分表示 (5.1)を

119

導く．また，b)⇒c)の証明では，コーシーの積分表示 (5.1) から補題 5.1.5を経由し任意回複素微分可能性, テイラー展開 (5.2)を導く．したがって定理 5.1.1の証明の流れは次のように要約できる．

星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)

=⇒ コーシーの積分表示 (5.1)

=⇒ 任意回複素微分可能性, テイラー展開 (5.2).

まず星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)からコーシーの積分表示 (5.1)を導く．等式 (5.1)右辺の被積分関数 f(z)/(z − b)は z = bにおいて正則ではない．この問題に対する処方として次の補題を用意する (証明は 5.2節で述べる)．

補題 5.1.2 命題 4.5.2, 定理 4.5.5, 定理 4.7.4において，fに関する仮定を，「f : D → Cは連続かつ一点 a ∈ Dを除き正則である」に変更しても，結論はそのまま成り立つ．

次の補題は補題 5.1.2と共に (5.1)を示すための鍵となる (証明は 5.2節で述べる)．

補題 5.1.3 a, b ∈ C, r, ρ ∈ (0,∞)は．D(b, ρ) ⊂ D(a, r)をみたすとする. また，U ⊂ Cは凸領域，D(a, r) ⊂ U . f : U\{b} → Cは正則とする．このとき，∫

C(a,r)

f =

∫C(b,ρ)

f. (5.3)

(5.1)の証明に先立ち，簡単な補題をもうひとつ準備する．

補題 5.1.4 D ⊂ Cは開，a ∈ D, r > 0, D(a, r) ⊂ Dとする．このとき，D(a,R) ⊂ D

をみたすR > rが存在する．

証明：D = Cなら自明なので，D 6= Cとする．このとき補題 1.6.4より

ρdef= inf{|z − w| ; z ∈ D(a, r), w ∈ Dc} ∈ (0,∞).

Rdef= r+ ρ/2, z ∈ D(a,R)なら，ある z0 ∈ D(a, r)に対し |z0 − z| ≤ ρ/2. ゆえに任意の

w ∈ Dcに対し

|w − z| ≥ |w − z0| − |z0 − z| ≥ ρ− (ρ/2) = ρ/2 > 0.

以上よりD(a,R) ⊂ D. \(∧2∧)/

コーシーの積分表示の証明 (定理 5.1.1 a)⇒ b))：まず概略を述べる．目標は次式である．

1)

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz = 2πif(b).

一方，例 4.2.4より任意の ρ > 0 に対し，

120

2)

∫C(b,ρ)

1

z − bdz = 2πi.

まず補題 5.1.2より，1)左辺の f(z)を定数 f(b)に置き換えて次式を得る (詳細は後述):

3)

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz = f(b)

∫C(a,r)

1

z − bdz.

次に補題 5.1.3より，C(a, r)上の線積分を，bを中心とした円周 C(b, ρ)の線積分に置き換えて次式を得る (詳細は後述)：

4)

∫C(a,r)

1

z − bdz =

∫C(b,ρ)

1

z − bdz.

2), 3), 4) から次のようにして 1) を得る．∫C(a,r)

f(z)

z − bdz

3)= f(b)

∫C(a,r)

1

z − bdz

4)= f(b)

∫C(b,ρ)

1

z − bdz

2)= 2πif(b).

以下で, 3), 4) の証明を詳しく述べる．3) 補題 5.1.4よりD(a, r) ⊂ D(a,R) ⊂ D をみたすR > rが存在する．そこで，次の関数 gb(z) (z ∈ D(a,R))を考える．

gb(z) =

f(z)− f(b)

z − b, z ∈ D(a,R)\{b}なら,

f ′(b), z = bなら.

gb : D(a,R)→ Cは連続かつ一点 bを除き正則である．また，C(a, r)は星形領域D(a,R)

内の閉曲線である．ゆえに，補題 5.1.2より∫C(a,r)

gb = 0.

これは 3) と同値である．4) z 7→ 1/(z− b)はC\{b}上正則である．そこでD(b, ρ) ⊂ D(a, r)をみたす ρ > 0をとれば，補題 5.1.3 より 4) を得る． \(∧2

∧)/

注：補題 5.1.3証明直後の注で述べるように，長方形 I がD(b, ρ) ⊂ I◦ をみたせば，積分路 C(a, r) を, I の周 ∂I にとりかえても等式 (5.3)が成立する．これと，上の証明より，コーシーの積分表示 (5.1)において，長方形 I ⊂ D が　D(b, ρ) ⊂ I◦ をみたせば，積分路 C(a, r) を, I の周 ∂I にとりかえても等式が成立する．

次にコーシーの積分表示 (5.1)から任意回複素微分可能性，テイラー展開 (5.2)を導く．次の補題より，一般に f : C(a, r)→ Cが連続なら，次の積分は，bの関数として a

を中心としたべき級数に展開できる：1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz.

この補題は，テイラー展開のみならず, ローラン展開 (定理 6.6.1)の証明にも再利用される．補題の証明は 5.2節で述べる．

121

補題 5.1.5 a ∈ C, r > 0, f : C(a, r)→ Cは連続，M(a, r) = maxw∈C(a,r)

|f(w)|とする．このとき，

cndef=

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)n+1dz, n ∈ Zに対し |cn| ≤M(a, r)r−n. (5.4)

また，b ∈ D(a, r)に対し次の等式が成立し，等式両辺はこの範囲の b について正則である：

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz =

∞∑n=0

cn(b− a)n, (右辺は絶対収束). (5.5)

一方，b ∈ C\D(a, r)に対し次の等式が成立し，等式両辺はこの範囲の b について正則である：

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz = −

∞∑n=1

c−n(b− a)−n, (右辺は絶対収束). (5.6)

任意回複素微分可能性・テイラー展開の証明 (定理 5.1.1 b⇒ c )：点 a ∈ Dは任意，R > 0

はD(a,R) ⊂ D をみたすとする．任意の r ∈ (0, R) に対し D(a, r) ⊂ D(a,R) ⊂ D.

よってコーシーの積分表示 (5.1)より，任意の z ∈ D(a, r) に対し,

1) f(z) =1

2πi

∫C(a,r)

f(w)

w − zdw.

一方,

cndef=

1

2πi

∫C(a,r)

f(w)

(w − a)n+1dw

に対し，補題 5.1.5より

2)1

2πi

∫C(a,r)

f(w)

w − zdw =

∞∑n=0

cn(z − a)n, (右辺は絶対収束).

1), 2) より,

3) f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, (右辺は絶対収束).

3)および, べき級数の任意回複素微分可能性 (系 3.3.2) より,

4) f は D(a, r)上で任意回複素微分可能かつ，cn = f (n)(a)/n!.

点 a ∈ D は任意だったので，3)，4) より c) を得る． \(∧2∧)/

問 5.1.1 (モレラの定理 , 1896年) D ⊂ Cは領域，f : D → Cは連続，またD内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，

∫C

f = 0 とする.このとき fは正則であることを示せ．ヒント：命題 4.4.6.

122

5.2 (⋆) 定理 5.1.1証明中の補題の証明

本節では，定理 5.1.1の証明で用いた補題 (補題 5.1.2, 補題 5.1.3, 補題 5.1.5) に証明を与える．補題 5.1.2の証明：命題 4.5.2, 定理 4.5.5, 定理 4.7.4の証明より，次を言えば十分である．

1) n = 3に対する命題 4.5.2が「f : D → Cは連続かつ一点 a ∈ Dを除き正則である」という仮定のもとでも成立する．

そこで以下では 1)を示す．4z1z2z3の周および内部をKと記す．i) a 6∈ Kの場合．このときK ⊂ D\{a}．したがって，DのかわりにD\{a}をとることで，命題 4.5.2がそのまま適用できる．ii) a ∈ {z1, z2, z3}の場合．例えば a = z1 とする．z′j

def= (1 − ε)z1 + εzj (j = 2, 3,

ε ∈ (0, 1))，4z1z′2z

′3の周をC1, z2, z3, z

′3, z

′2を頂点とする四角形の周をC2, 向きは共に

反時計回りとする．a

z2

z′2 z′3

z3

このとき，C1, C2は線分 [z′2, z′3] を共有するが，この線分上で両者の向きは逆なので，

線分 [z′2, z′3]上の線積分が相殺する．その結果，

2)

∫C

f =

∫C1

f +

∫C2

f .

一方，命題 4.5.2の n = 4の場合より

3)

∫C2

f = 0.

ここで，ℓ(C1) = εℓ(C)に注意する．また，f の連続性より，Mdef= maxK |f | < ∞. 以

上より， ∣∣∣∣∫C

f

∣∣∣∣ 2),3)=

∣∣∣∣∫C1

f

∣∣∣∣ (4.12)≤ ∫C1

|f(z)||dz| ≤Mℓ(C1) = εMℓ(C).

ε ∈ (0, 1)は任意なので，∫Cf = 0.

iii) a ∈ C\{z1, z2, z3}の場合．例えば，a ∈ [z1, z2]\{z1, z2}とする．

123

z1

z2

a

z3

このとき，4az3z1, 4az2z3の周をそれぞれ C1, C2，向きは共に反時計回りとする．C1, C2は線分 [a, z3] を共有するが，この線分上で両者の向きは逆なので，線分 [a, z3]上の線積分が相殺する．その結果，∫

C

f =

∫C1

f +

∫C2

f.

ところが，ii) の結果より ∫Cj

f = 0 (j = 1, 2). 以上より ∫Cf = 0.

iv) a ∈ K\Cの場合．このとき，4az3z1, 4az1z2, 4az2z3の周をそれぞれ C1, C2, C3

向きは全て反時計回りとする．z1

z2

a

z3

Ci, Cj (1 ≤ i < j ≤ 3)は一辺を共有するが，この辺上で両者の向きは逆なので，これらの辺上の線積分が相殺する．その結果，∫

C

f =

∫C1

f +

∫C2

f +

∫C3

f.

ところが，ii) の結果より ∫Cj

f = 0 (j = 1, 2, 3). 以上より ∫Cf = 0. \(∧2

∧)/

補題 5.1.3の証明：記号を簡単にするため，a, b ∈ R とする．直線 Re z = b と円周C(a, r)の交点を z1, z2 (Im z1 < 0 < Im z2),直線 Re z = bと円周C(b, ρ)の交点をw1, w2

(Imw1 < 0 < Imw2) とする．また，円弧 Cj(a, r), Cj(b, ρ) (j = 1, 2)を以下のように定める．

� C1(a, r)を z1から反時計回りに z2に向かうC(a, r)の弧，

124

� C2(a, r)を z2から反時計回りに z1に向かうC(a, r)の弧,

� C1(b, ρ)をw1から反時計回りにw2に向かうC(b, ρ)の弧，

� C2(b, ρ)をw2から反時計回りにw1に向かうC(b, ρ)の弧.

このとき，

1) C(a, r) = C1(a, r) + C2(a, r), C(b, ρ) = C1(b, ρ) + C2(b, ρ).

さらに閉曲線 Γ1,Γ2を次のように定める．

2)

{Γ1 = C1(a, r) + [z2, w2]− C1(b, ρ) + [w1, z1],

Γ2 = C2(a, r) + [z1, w1]− C2(b, ρ) + [w2, z2].

a b

w2

w1

z2

z1

[zj, wj] = −[wj, zj] より，2)において±[zj, wj] (j = 1, 2)がそれぞれ一度ずつ現れる．これによる線積分の相殺 ((4.11)参照) と 1)から，

3)

(∫

Γ1

+

∫Γ2

)f

2)=

(∫C1(a,r)

+

∫C2(a,r)

−∫C1(b,ρ)

−∫C2(b,ρ)

)f

1)=

(∫C(a,r)

−∫C(b,ρ)

)f.

領域 U1def= D\(−∞, b], U2

def= D\[b,∞) は共に星形である (問 4.5.1). また j = 1, 2 に

対し f はUj上正則かつ Γj ⊂ Uj. よって星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)

より，∫Γjf = 0. これと 3)より結論を得る． \(∧2

∧)/

注：補題 5.1.3において，等式 (5.3)左辺の積分路 C(a, r)を”少し”変えても等式は成立する．例えば，長方形

I = {z ∈ C ; ℓ1 ≤ Re z ≤ ℓ2, h1 ≤ Im z ≤ h2}

125

が I ⊂ D(a,R), D(b, ρ) ⊂ I◦ をみたせば，積分路C(a, r) を, I の周 ∂I にとりかえても等式 (5.3)が成立することは補題 5.1.3の証明から明らかである．実際，補題 7.2.1では (5.3)と同様の等式を，C(a, r) の代わりにより一般の閉曲線を積分路にとる．

補題 5.1.5の証明：(5.4):

|cn|(4.12)

≤ 1

2π

∫C(a,r)

∣∣∣∣ f(z)

(z − a)n+1

∣∣∣∣ |dz| ≤M(a, r)/rn.

(5.5): z ∈ C(a, r)なら，

1)

∣∣∣∣ b− a

z − a

∣∣∣∣ = |b− a|r

< 1.

ゆえに

2)1

z − b=

1

z − a− (b− a)=

1

z − a· 1

1− (b− a)/(z − a)=

∞∑n=0

(b− a)n

(z − a)n+1.

したがって

3)f(z)

z − b=

∞∑n=0

f(z)

(z − a)n+1(b− a)n.

2)右辺級数は z ∈ C(a, r)について一様に絶対収束する．f は C(a, r)上有界だから 3)

右辺級数も z ∈ C(a, r)について一様に絶対収束する．よって 3)と 補題 4.2.3より

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz

3)=

1

2πi

∫C(a,r)

(∞∑n=0

f(z)

(z − a)n+1(b− a)n

)dz

補題 4.2.3=

∞∑n=0

(1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)n+1dz

)(b− a)n =

∞∑n=0

cn(b− a)n.

また，(5.4)と1)より上式右辺の級数は絶対収束する．これより，(5.5)右辺は b ∈ D(a, r)

について正則である．(5.6): z ∈ C(a, r)に対し

1’)

∣∣∣∣z − a

b− a

∣∣∣∣ = r

b− a< 1.

よって，

2’)

1

z − b= − 1

b− a− (z − a)= − 1

b− a· 1

1− (z − a)/(b− a)

= − 1

b− a

∞∑n=0

(z − a

b− a

)n

= −∞∑n=1

1

(z − a)−n+1(b− a)n.

したがって，

3’)f(z)

z − b= −

∞∑n=1

f(z)

(z − a)−n+1(b− a)n.

126

2’)右辺級数は z ∈ C(a, r)について一様に絶対収束する．f はC(a, r)上有界だから 3’)

右辺級数も z ∈ C(a, r)について一様に絶対収束する．したがって 3’), 補題 4.2.3より，

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

z − bdz

3’)= − 1

2πi

∫C(a,r)

(∞∑n=1

f(z)

(z − a)−n+1(b− a)n

)dz

補題 4.2.3= −

∞∑n=1

(1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)−n+1dz

)(b− a)−n =

∞∑n=1

c−n(b− a)−n.

また，(5.4)と 1’)より上式右辺の級数は絶対収束する．これより，(5.6)右辺は b ∈C\D(a, r) について正則である (問 3.3.1). \(∧2

∧)/

5.3 リューヴィルの定理とその周辺

有界な正則関数 f : C → Cは定数に限られる (リューヴィルの定理, 系 5.3.3). 本節では，この事実の証明，および関連した話題について述べる．まず，コーシーの積分表示 (5.1)と任意回複素微分可能性を組み合わせ，次の命題を得る．

命題 5.3.1 (導関数の積分表示) D ⊂ Cが開，f : D → Cが正則なら以下が成立する．a, b ∈ D, r > 0がD(a, r) ⊂ D, b ∈ D(a, r)をみたすとき，任意の n ∈ Nに対し

f (n)(b) =n!

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − b)n+1dz. (5.7)

証明：定理 5.1.1より導関数 f (n) : D → Cは正則である．ゆえにコーシーの積分表示(5.1)より

1) 2πif (n)(b) =

∫C(a,r)

f (n)(z)

z − bdz.

よって，部分積分公式 (問 4.4.1)より，

2πif (n)(b)1)=

∫C(a,r)

f (n)(z)

z − bdz

(4.38)=

∫C(a,r)

f (n−1)(z)

(z − b)2dz.

さらに部分積分を n− 1回実行し (5.7)を得る． \(∧2∧)/

注：等式 (5.7) で b = a の場合は 定理 5.1.1 の証明中 (b ⇒ c の部分) でも得られている．

次の系のうち，評価式 (5.9)は実は定理 5.1.1の証明中 (補題 5.1.5)でも示されているが，その有用性ゆえにこの系でも述べる．評価式 (5.9)はリューヴィルの定理 (系 5.3.3)

の証明に応用される．また，(5.10)は代数学の基本定理 (問 5.3.2)の証明に応用される．また，最大値原理 (系 5.4.7)の根拠となる命題 5.4.6 の証明には (5.9), (5.10)を共に用いる．

127

系 5.3.2 D ⊂ Cが開，f : D → Cが正則, a, b ∈ D, r > 0がD(a, r) ⊂ D, b ∈ D(a, r)

をみたすとき，任意の n ∈ Nに対し

|f (n)(b)| ≤ n!rM(a, r)

(r − |a− b|)n+1, ここで M(a, r) = max

z∈C(a,r)|f(z)|. (5.8)

特に，|f (n)(a)| ≤ n!M(a, r)

rn(コーシーの評価式). (5.9)

また，D上 f 6= 0なら，

|f(b)| ≥ (r − |a− b|)m(a, r)

r, ここで m(a, r) = min

z∈C(a,r)|f(z)|. (5.10)

証明：(5.8): minz∈C(a,r)

|b− z| = r − |a− b|. よって，

1) z ∈ C(a, r) なら∣∣∣∣ f(z)

(z − b)n+1

∣∣∣∣ ≤ M(a, r)

(r − |a− b|)n+1.

ゆえに，

|f (n)(b)| (5.7)=

∣∣∣∣ n!2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − b)n+1dz

∣∣∣∣ (4.12)≤ n!

2π

∫C(a,r)

∣∣∣∣ f(z)

(z − b)n+1

∣∣∣∣ |dz|1)

≤ n!

2π· M(a, r)

(r − |a− b|)n+1· 2πr = n!rM(a, r)

(r − |a− b|)n+1.

(5.10): 正則関数 1/f に (5.8)の n = 0の場合を適用し，1

|f(b)|=

∣∣∣∣ 1

f(b)

∣∣∣∣ ≤ r

r − |a− b|max

z∈C(a,r)

∣∣∣∣ 1

f(z)

∣∣∣∣ = r

(r − |a− b|)m(a, r).

\(∧2∧)/

注：評価式 (5.8)で n = 0の場合は |f(b)| ≤ rr−|a−b|M(a, r)．実は最大値原理 (系 5.4.7)

より, これは |f(b)| ≤M(a, r)に改良される．同様に, 最大値原理から (5.10)も |f(b)| ≥m(a, r)に改良される．

コーシーの評価式 (5.9)より次の系を得る．系 5.3.3 正則関数 f : C→ Cがある n ∈ Nに対し次をみたすとする．

max|z|≤r|f(z)|/rn+1 r→∞−→ 0.

このとき，f は次数 n以下の多項式である．特に f が有界なら f は定数である (リューヴィルの定理, 1847年) ．証明：z ∈ Cを任意とする．また，r →∞ の極限を考えるので，r ≥ |z| とする．このとき，

|f (n+1)(z)|(5.9)

≤ (n+ 1)!

rn+1max

w∈C(z,r)|f(w)| ≤ (n+ 1)!

rn+1max|w|≤2r

|f(w)|

= (n+ 1)!2n+1max|w|≤2r |f(w)|(2r)n+1

r→∞−→ 0.

128

ゆえに f (n+1) ≡ 0. したがって f は次数 n以下の多項式である． \(∧2∧)/

注：f : C→ Cを正則かつ定数でないとする．このとき,リューヴィルの定理より fは非有界である．問 5.3.3で，これを精密化し f(C) = Cを示す．実はさらに強く，C\f(C)は高々一点であることが知られている (ピカールの小定理, 1879年).

問 5.3.1 D ⊂ Cが開，正則関数の列 fn : D → C (n ∈ N)が, ある f : D → Cに広義一様収束するとする (n→∞)，このとき，f は正則であること，また，全てのm ∈ Nに対し，f

(m)n は f (m)に広義一様収束する (n→∞)ことを示せ.

問 5.3.2 定数でない多項式 f : C→ Cは零点を持つ (代数学の基本定理, ガウスによる(1799)) ．これを，問 1.3.2の結果と (5.10)から導け．なお，別証明については問 5.4.6,

例 6.7.6 を参照されたい．

問 5.3.3 (リューヴィルの定理の精密化) f : C→ Cは正則かつ定数でないとする．以下を示せ．i) Re f, Im f : C→ Rはともに全射である．ii) f(C) = C.

問 5.3.4 以下の条件をみたす定数でない正則関数 f : C→ Cは存在するか？i) f(z + 1) = f(z), ∀z ∈ C. ii) f(z + 1) = f(z + i) = f(z), ∀z ∈ C.

5.4 一致の定理とその周辺

定義 5.4.1 D ⊂ Cは開，f : D → Cは正則，a ∈ D とする．m ∈ N\{0} が次の条件をみたすとき，a は f の m 次の (あるいは次数 m の )零点であるという：

f (n)(a) = 0 (0 ≤ ∀n ≤ m− 1)かつ f (m)(a) 6= 0.

補題 5.4.2 D ⊂ Cは開，f : D → Cは正則，a ∈ D, m ∈ N\{0}とする．次の関数g : D → Cは正則である:

g(z) =

(z − a)−m

(f(z)−

m−1∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n

), z ∈ D\{a},

f (m)(a)m!

, z = a.

また，任意の z ∈ Dに対し

f(z) =m−1∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n + (z − a)mg(z). (5.11)

証明：g は定義から (5.11) をみたす．さらに gはD\{a}上で複素微分可能である．したがって g が点 a で複素微分可能ならよい．今，R ∈ (0,∞], z ∈ D(a,R) ⊂ D ならf(z) は絶対収束するべき級数 (5.2)で表される (定理 5.1.1)．このべき級数に対し命題1.5.7を適用することにより, 次のべき級数 h(z) が絶対収束する：

h(z)def=

∞∑n=0

f (m+n)(a)

(m+ n)!(z − a)n, z ∈ D(a,R).

129

また，べき級数の正則性 (命題 3.3.1) より h : D(a,R)→ Cは正則である．今，h(a) =f (m)(a)

m!. 一方，z ∈ D(a,R)\{a} なら，

(z − a)−m

(f(z)−

m−1∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n

)=

∞∑n=m

f (n)(a)

n!(z − a)n−m = h(z).

よってD(a,R) 上 h = g. 特に，g は点 a で複素微分可能である． \(∧2∧)/

命題 5.4.3 (因数定理) D ⊂ Cは開，f : D → Cは正則，a ∈ D, m ∈ N\{0}とする．a) a が f の m 次の零点なら，次をみたす正則関数 g : D → Cが存在する：

g(a) =f (m)(a)

m!6= 0, f(z) = (z − a)mg(z), ∀z ∈ D. (5.12)

b) D(a,R) ⊂ DをみたすR > 0および次をみたす正則関数 g : D(a,R)→ Cが存在すれば, a は f の m 次の零点である．

g(a) 6= 0, f(z) = (z − a)mg(z), ∀z ∈ D(a,R). (5.13)

証明：a) 補題 5.4.2の gは (5.12) をみたす．b) 定理 5.1.1より，g は次のようにテイラー展開される：

g(z) =∞∑n=0

g(n)(a)

n!(z − a)n, z ∈ D(a,R).

これと (5.13) より，

f(z) = (z − a)mg(z) =∞∑

n=m

g(n−m)(a)

(n−m)!(z − a)n, z ∈ D(a,R).

上式右辺のべき級数に, べき級数の係数と微分の関係 (系 3.3.2) を用いると，

f (n)(a) =

{0, (n = 0, ...,m− 1),

m!g(a) 6= 0, (n = m).

よって a は f の m 次の零点である． \(∧2∧)/

ある領域を定義域とする正則関数は，領域内のごく小さな集合上での値から，領域全体での値が決まってしまうという際立った性質を持つ (一致の定理，系 5.4.5). この性質は次の命題からの帰結であり，その証明はテーラー展開と領域の連結性がもたらす魔法である．命題 5.4.4 (零点の次数有限性) D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則かつある一点 a ∈ D

において全ての n ∈ N に対し f (n)(a) = 0 なら f は D 上恒等的に零である．証明：Dは連結 (定義 1.6.7) なので，開集合 D1, D2が D = D1 ∪D2, D1 ∩D2 = ∅ をみたせば，D1 = ∅, または D2 = ∅ である．今，D1, D2 ⊂ Dを次のように定める．

D1 = {z ∈ D ; ∀n ∈ N に対し f (n)(z) = 0}, D2 = D\D1.

定義から，D = D1 ∪D2, D1 ∩D2 = ∅．さらに, すぐ後で示すように

130

1) D1は開, D1 6= ∅．

2) D2は開．

以上とDの連結性よりD2 = ∅,すなわちD1 = D. 特に,任意の z ∈ D に対し f(z) = 0.

• 1) の証明：b ∈ D1とする. このとき，∀n ∈ N に対し f (n)(b) = 0. D(b, r) ⊂ Dをみたす r > 0，および z ∈ D(b, r)に対し

f(z)(5.2)=

∞∑n=0

f (n)(b)

n!(z − b)n = 0.

したがって，∀n ∈ N に対し f (n)(z) = 0. ゆえにD(b, r) ⊂ D1. 以上よりD1は開である．また，D1 3 a よりD1 6= ∅．• 2) の証明：∀n ∈ N に対し, f (n) は連続なので，Gn

def= {z ∈ D ; f (n)(z) 6= 0}は開 (問

1.6.8)，また D2 =⋃

n∈N GnよりD2は開である (問 1.6.3). \(∧2∧)/

注：命題 5.4.4の証明では，一点 aに関する仮定 f (n)(a) = 0, ∀n ∈ NからD全体でf ≡ 0という結論に至る点が極めて特徴的である．

命題 5.4.4より，次の系を得る．

系 5.4.5 D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則とする．

a) (零点の非集積性) f 6≡ 0なら任意の a ∈ Dに対し次のような r > 0が存在する．

D(a, r) ⊂ D かつ任意の z ∈ D(a, r)\{a} に対し f(z) 6= 0. (5.14)

b) (一致の定理) 次のような a ∈ D, an ∈ D\{a}が存在すれば f ≡ 0である．

f(an) = 0, ∀n ∈ N, ann→∞−→ a. (5.15)

証明：a): f(a) 6= 0なら f の連続性から直ちに結論を得る．f(a) = 0なら零点の次数有限性 (命題 5.4.4)より, ある m ∈ N\{0} に対し a は f のm次の零点である. ゆえに命題 5.4.3より (5.12)をみたす正則関数 g : D → Cが存在する. このとき g(a) 6= 0 とg の連続性から，ある r ∈ (0,∞) に対し，gはD(a, r) ⊂ D内に零点を持たない．よって，この r に対し (5.14) が成立する．b):　条件 (5.15) をみたす a ∈ D, an ∈ D\{a}が存在すれば, この a に対し (5.14)をみたす r > 0 が存在しない．ゆえに a) より f ≡ 0である． \(∧2

∧)/

注：一致の定理より，恒等的に 0でない正則関数 f : D → Cに対し，その零点の列がD内に収束することはない．一方，零点の列がDの境界に収束することはある．実際f(z) = sin(1/z)はC\{0}上正則であり，その零点の列 1/(πn) は 0に収束する．

次の命題は最大値原理 (系 5.4.7)の根拠となる．

命題 5.4.6 D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則かつ定数ではないとする．このとき，|f | : D → [0,∞)は極大点を持たない．またその極小点は f の零点に限る．

131

証明：点 aが |f |の極値点かつ f(a) 6= 0と仮定し，矛盾を導く．そのために次を示す．

1) ある r > 0に対しD(a, 2r)上 f 6= 0かつ aはD(a, 2r)内において |f |の唯一の極値点である．

f, f ′は正則なので f, f ∈ C1(D). ゆえに |f |2 = ff ∈ C1(D). 仮定より aは |f |2の極値点でもある．よって

(|f |2)x(a) = (|f |2)y(a) = 0, 特に (|f |2)x(a) + i(|f |2)y(a) = 0.

よって |f |2は点 aでコーシー・リーマン方程式をみたす．以上より |f |2は点 aで複素微分可能である (定理 3.6.4)．これと問 3.5.2より f ′(a) = 0. f ′は正則なので零点の非集積性 (系 5.4.5)より，ある r > 0に対しD(a, 2r)\{a}上 f ′ 6= 0. また f(a) 6= 0なので，必要なら rを更に小さくとり，D(a, 2r)上 f 6= 0とできる．以上よりこの rに対し 1)が成立する．aが |f |の極大点なら，1)より aはD(a, 2r)上 |f |の唯一の最大点である．特に，

|f(a)| > maxz∈C(a,r)

|f(z)|.

一方，コーシーの評価式 (5.9)より |f(a)| ≤ maxz∈C(a,r) |f(z)|. これは矛盾である．aが |f |の極小点とする．1)より aはD(a, 2r)上 |f |の唯一の最小点である．特に，

|f(a)| < minz∈C(a,r)

|f(z)|.

一方，|f(a)|(5.10)

≥ minz∈C(a,r) |f(z)|. これは矛盾である． \(∧2∧)/

系 5.4.7 (最大値原理) D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則かつ定数ではない, また，a ∈ A ⊂ Dとする．このとき，

a) |f(a)| = maxz∈A |f |なら，a ∈ ∂Aである．

b) |f(a)| = minz∈A |f |なら，a ∈ ∂A, または f(a) = 0である．

証明：a): a ∈ A◦と仮定すると，ある r > 0が存在しD(a, r) ⊂ A. ゆえに |f(a)| =maxz∈D(a,r) |f |. よって aは |f | : D → [0,∞)の極大点となり命題 5.4.6に反する．ゆえに a ∈ ∂A.

b): a ∈ A◦かつ f(a) 6= 0と仮定する. このときある r > 0が存在しD(a, r) ⊂ A. ゆえに |f(a)| = minz∈D(a,r) |f |. よって aは |f | : D → [0,∞)の極小点となり命題 5.4.6に反する．ゆえに a ∈ ∂A. \(∧2

∧)/

最大値原理 (系 5.4.7)の有名な応用例を述べる．

例 5.4.8 (シュワルツの補題 ) 関数 f : D(0, r) → D(0, R) (r, R ∈ (0,∞) )は正則,

f(0) = 0とする．このとき，以下の a),b)いずれかが成立する．

a) ある定数 c ∈ Cに対し f(z) = cz, ∀z ∈ D(0, r).

132

b) |f(z)| < (R/r)|z|, ∀z ∈ D(0, r)\{0}かつ |f ′(0)| < R/r.

さらに，a)なら，|c| ≤ R/rである．したがって, いずれの場合も次が成立する．

c) |f(z)| ≤ (R/r)|z|, ∀z ∈ D(0, r)かつ |f ′(0)| ≤ R/r.

証明: 命題 5.4.3より f(z) = zg(z), ∀z ∈ D(0, r)をみたす正則関数 g : D(0, r) → Cが存在する．f ′(0) = g(0)より以下を言えばよい．次の a’),b’)いずれかが成立する．

a’) ある c ∈ Cに対し g(z) = c, ∀z ∈ D(0, r).

b’) |g(z)| < R/r, ∀z ∈ D(0, r).

さらに a’) なら |c| ≤ R/rである．まず a’)を仮定する．このとき，z 6= 0に対し |c| = |f(z)|/|z| ≤ R/|z|. ゆえに |z| → r

とし，|c| ≤ R/r.

次に，a’)でないと仮定する．z ∈ D(0, r)を任意とし，|z| < ρ < rをみたす ρをとる．最大値原理 (系 5.4.7)より |g|のD(0, ρ)上での最大点はC(0, ρ)上にある．したがって

|g(z)| ≤ maxw∈C(0,ρ)

|g(w)| = maxw∈C(0,ρ)

|f(w)|/ρ ≤ R/ρ.

ρ→ rとし，|g(z)| ≤ R/r, ∀z ∈ D(0, r). 再び最大値原理 (系 5.4.7)より |g| : D(0, r)→[0,∞)は最大値を持たない．ゆえに |g(z)| = R/rをみたす z ∈ D(0, r)は存在しない．以上より b’)を得る． \(∧2

∧)/

問 5.4.1 D ⊂ Cは開，f : D → C は正則, m,n ∈ N\{0} とする．このとき，a ∈ D がf の m 次の零点なら，a ∈ D は fn の mn 次の零点であることを示せ．

問 5.4.2 以下の正則関数 f : C → C の零点集合 A = {z ∈ C ; f(z) = 0}, および各零点の次数を求めよ．i) f(z) = (z − a)m+1(z − b)n+1 (a, b ∈ C, a 6= b, m,n ∈ N). ii)

f(z) = sin(cz) (c ∈ C\{0}). iii) f(z) = 1− cos(2cz) (c ∈ C\{0}).

問 5.4.3 D ⊂ Cは開，f : D → Cは正則, a ∈ D とするとき以下を示せ：f(z)− f(a)− f ′(a)(z − a)

(z − a)2

z→az =a−→ f ′′(a)

2,

(z − a)(f ′(z)− f ′(a))− 2(f(z)− f(a))

(z − a)3

z→az =a−→ f ′′′(a)

6.

問 5.4.4 D ⊂ Cは領域，f, g : D → Cは正則, D上 |f | ≤ |g|とする．以下を示せ．i) gの各零点 aに対しD(a, δ) ⊂ Dとなる δ > 0, および正則関数 ha,δ : D(a, δ)→ CでD(a, δ)\{a} 上 g 6= 0 かつD(a, δ)上 f = gha,δ, |ha,δ| ≤ 1をみたすものが存在する．ii) 正則関数 h : D → Cで，D上 f = gh, |h| ≤ 1をみたすものが存在する．iii) D = Cなら f は gの定数倍である．

133

問 5.4.5 D ⊂ Cは開，f : D → Cとする．任意の開集合U ⊂ Dに対し f(U)が開であるとき f を開写像 という．開写像は最大値原理 (系 5.4.7の結論)をみたすこと示せ．注：D ⊂ Cが領域，f : D → Cが正則かつ定数でなければ f は開写像である (開写像定理, 命題 6.7.8). 開写像定理と問 5.4.5より系 5.4.7の別証明が得られる．

問 5.4.6 問 1.3.2の結果と命題 5.4.6から代数学の基本定理 (問 5.3.2参照)を示せ．なお，代数学の基本定理の別証明については問 5.3.2, 例 6.7.6 を参照されたい．

問 5.4.7 例 5.4.8の仮定に加え，f : D(0, r) → D(0, R)が全単射，かつ逆写像 f−1も正則とする．このとき，ある定数 c ∈ C (|c| = R/r)に対し f(z) = cz, ∀z ∈ D(0, r) であることを示せ．

5.5 正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数

本節では，正則関数のテイラー展開 (定理 5.1.1)を介して，正接・双曲正接のべき級数を求め，その際の係数にベルヌーイ数が現れることを見る (例 5.5.2).

例 5.5.2のために，次の補題を準備する．

補題 5.5.1 数列 an ∈ C (n ∈ N, a0 6= 0)に対し bn ∈ C (n ∈ N)を次の漸化式で定める．

a0b0 = 1,n∑

j=0

an−jbj = 0, n ≥ 1. (5.16)

またある R ∈ (0,∞], および全ての z ∈ D(0, R)に対し次のべき級数 f(z)が絶対収束し, f(z) 6= 0 をみたすとする．

f(z) =∞∑n=0

anzn.

このとき，全ての z ∈ D(0, R)に対し

1

f(z)=

∞∑n=0

bnzn (右辺は絶対収束). (5.17)

証明：仮定より gdef= 1/f はD(0, R)上正則である．ゆえに定理 5.1.1より bn = g(n)(0)/n!

に対し (5.17) が成立する．漸化式 (5.16)は bnを一意に定めるので，bn = g(n)(0)/n!が(5.16)をみたすことを言えば証明が終わる．そこで，cn =

∑nj=0 an−jbj (n ∈ N) と定め

ると，命題 1.4.11より

1 = f(z)1

f(z)=

∞∑n=0

cnzn (右辺は絶対収束).

上式と，べき級数の係数の一意性 (系 1.5.8)より c0 = 1, cn = 0, n ≥ 1. よって bnは(5.16)をみたす． \(∧2

∧)/

134

例 5.5.2 (正接・双曲正接のべき級数) 数列 (bn)n≥0を次の漸化式よりに定める．

b0 = 1,n∑

j=0

bj(n+ 1− j)!

= 0, n ≥ 1. (5.18)

(b1 = −1/2, b2 = 1/12, b3 = 0, b4 = −1/360, ...). このとき，z ∈ D(0, π/2)に対し，

tanh z =∞∑n=1

22n(22n − 1)b2nz2n−1, (5.19)

tan z =∞∑n=1

(−1)n−122n(22n − 1)b2nz2n−1, (5.20)

(各等式右辺の級数は絶対収束).

証明：まず以下 (各等式右辺のべき級数は絶対収束)を示し，その後 (5.19), (5.20)を示す．

z

exp z − 1= 1− z

2+

∞∑n=1

b2nz2n, z ∈ D(0, 2π)\{0}, (5.21)

z

tanh z=

∞∑n=0

22nb2nz2n, z ∈ D(0, π)\{0}. (5.22)

(5.21): f(z)def= (exp z − 1)/zは f(0) = 1とすればC上正則 (補題 5.4.2) かつ z ∈ Cに

対しexp z − 1

z=

∞∑n=0

zn

(n+ 1)!.

また，exp z = 1 となるのは z = 2πin (n ∈ Z)のときに限るので z ∈ D(0, 2π) に対しf(z) 6= 0. これと，補題 5.5.1より z ∈ D(0, 2π) に対し

1)z

exp z − 1=

∞∑n=0

bnzn = 1− z

2+

∞∑n=2

bnzn (右辺は絶対収束).

さらに

2) 1 +∞∑n=2

bnzn 1)=

z

exp z − 1+

z

2=

z

2tanh z2

.

2) 右辺は偶関数なので b2n+1 ≡ 0, (n ≥ 1). これと 1)より (5.21)を得る．(5.22): 等式 2)より (5.21)に帰着する．(5.19): 次の等式より (5.22)に帰着する．tanh z = 2

tanh 2z− 1

tanh z.

(5.20): 等式 tan z = 1itanh (iz)より (5.19)に帰着する． \(∧2

∧)/

注: (5.19), (5.20)右辺べき級数の係数はベルヌーイ数

Bndef= (−1)n−1(2n)!b2n, n ≥ 1 (5.23)

で表すことができる．ベルヌーイ数Bnは正数であることが知られている (問 5.5.4). 例えばB1 = 1/6, B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30, B5 = 5/66. ベルヌーイ数は初等関数

135

のべき級数展開や,∑∞

n=11

n2k の値 (k = 1, 2, .., 問 6.3.3参照), 自然数のべき乗和の表示など, 色々な所に顔を出す. ベルヌーイ数はヤコブ ベルヌーイ が発見したと言われるが, 実は日本の関孝和は少なくとも出版年においてこれに先んじていた (ベルヌーイの　”Ars Conjectandi” は 1713年出版．一方，関の「括要算法」は 1712年出版).

問 5.5.1 例 5.5.2の bnに対し，以下を示せ (各等式右辺の級数は絶対収束):

z

tan z=

∞∑n=0

(−1)n22nb2nz2n, z ∈ D(0, π)\{0}, (5.24)

z

sin z=

∞∑n=0

(−1)n−1(22n − 2)b2nz2n, z ∈ D(0, π)\{0}, (5.25)

z

sinh z=

∞∑n=0

(22n − 2)b2nz2n, z ∈ D(0, π)\{0}. (5.26)

問 5.5.2 例 5.5.2の bnに対し，cn =∑n

j=0(22j − 2)(22n−2j − 2)b2jb2n−2j (n ∈ N)とす

る．z ∈ D(0, π)\{0} に対し次を示せ (右辺は共に絶対収束):( z

sinh z

)2=

∞∑n=0

cnz2n,

(1

sin z

)2

=∞∑n=0

(−1)ncnz2n.

問 5.5.3 数列 en (n ∈ N)を次の漸化式で定める.

e0 = 1,n∑

j=0

ej(2n− 2j)!

= 0, n ≥ 1.

z ∈ D(0, π/2) に対し次を示せ (両式とも右辺は絶対収束):

1

cosh z=

∞∑n=0

enz2n,

1

cos z=

∞∑n=0

(−1)nenz2n. (5.27)

(5.27)は問 6.5.4に応用される (すぐ後の注参照)．注: 問 5.5.3の enに対し数列En (n ∈ N)を次で定める:

Endef= (−1)n(2n)!en. (5.28)

En はオイラー数 と呼ばれ, 正の奇数であることが知られている (問 5.5.4). 例えば，E1 = 1, E2 = 5, E3 = 61, E4 = 1385, E5 = 50521, ...

問 5.5.4 (ベルヌーイ数, オイラー数の正値性) z ∈ D(0, π/2)に対し f(z) = tan z,

g(z) = 1/ cos z, n ∈ N とする．以下を示せ．i) f (n+2) = 2

n∑k=0

(nk

)f (k)f (n−k), g(n+1) =

n∑k=0

(nk

)f (k)g(n−k).

ii) ベルヌーイ数 Bn+1, オイラー数 En ((5.23), (5.28)参照)は正である．

136

5.6 (⋆)無限積

本節の目標は正則関数列の無限積に関する命題 5.6.4である．準備のためにひとまず複素関数論を離れ，無限積の一般論を述べる．

定義 5.6.1 ▶ 複素数列 qn, n ∈ Nが次の条件をみたすとする．

∃m ∈ N，∀n ≥ m, qn 6= 0, (5.29)

∃Qm,∞def= lim

N→∞

N∏n=m

qn ∈ C\{0}. (5.30)

このとき，複素数列 qnの無限積 が収束すると言い，無限積を次のように定める．∞∏n=0

qndef= q0 · · · qm−1Qm,∞. (5.31)

▶ Xを集合, 有界関数列 qn : X → C, n ∈ Nが次の条件をみたすとする．

∃m ∈ N，∀n ≥ m, ∀x ∈ X, qn(x) 6= 0, (5.32)

∀x ∈ X, ∃Qm,∞(x)def= lim

N→∞

N∏n=m

qn(x) ∈ C\{0}. (5.33)

このとき，関数列 qnの無限積 が収束すると言い，無限積を次のように定める．∞∏n=0

qn(x)def= q0(x) · · · qm−1(x)Qm,∞(x), x ∈ X. (5.34)

特に，(5.33)の収束がX上で一様なら，無限積 (5.34) は一様収束すると言う (下記, 注2参照)．

注: 1) 無限積の定義 (5.31)から∞∏n=0

qn = 0 ⇐⇒ ∃n ∈ N, qn = 0. (5.35)

2) 無限積 (5.34) が X 上一様収束する, すなわち (5.33)の収束が X 上で一様とする．QN(x)

def=∏N

n=0 qn(x) (N ≥ 1)とするとN ≥ mに対し，

QN(x)−∞∏n=0

qn(x) = q0(x) · · · qm(x) (Qm,N(x)−Qm,∞(x)) .

上式より，関数列QN(x) (N ≥ 1)はX上∏∞n=0 qn(x)に一様収束する．　

補題 5.6.2 (無限積に対する一様コーシー条件) 集合X上の有界関数列 qn : X → Cが条件 (5.32) をみたしかつ任意の ε > 0に対し次のようなm′ ∈ N ∩ [m,∞)が存在するとする．

m′ ≤ n < n′ =⇒ supx∈X

∣∣∣∣∣n′∏j=n

qj(x)− 1

∣∣∣∣∣ < ε.

このとき無限積 (5.34) はX上一様収束する．

137

証明：仮定より次のようなm1 ∈ N ∩ [m,∞)が存在する．

1) m1 ≤ n < n′ =⇒ supx∈X

∣∣∣∣∣n′∏j=n

qj(x)− 1

∣∣∣∣∣ < 1

2.

このとき，Mdef= supx∈X

∣∣∣∏m1

j=m qj(x)∣∣∣とすれば n > m1に対し

2) supx∈X

∣∣∣∣∣n∏

j=m

qj(x)

∣∣∣∣∣ = supx∈X

∣∣∣∣∣m1∏j=m

qj(x) ·n∏

j=m1+1

qj(x)

∣∣∣∣∣ 1)<

3M

2.

また，再び仮定より，任意の ε > 0に対し次のようなm2 ∈ N ∩ [m,∞)が存在する．

3) m2 ≤ n < n′ =⇒ supx∈X

∣∣∣∣∣n′∏j=n

qj(x)− 1

∣∣∣∣∣ < 2ε

3M.

そこでm3def= max{m1,m2} ≤ n < n′とすると，任意の x ∈ Xに対し∣∣∣∣∣

n′∏j=m

qj(x)−n∏

j=m

qj(x)

∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣n∏

j=m

qj(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n′∏j=n+1

qj(x)− 1

∣∣∣∣∣2),3)<

3M

2· 2ε

3M= ε.

以上より関数列∏nj=m qj(x), n ≥ m は X 上一様コーシー条件 ([吉田 1, p.434, 命題

A.2.5]参照)をみたす. したがってX上一様収束する． \(∧2∧)/

次の補題は，具体的に与えられた無限積の一様収束判定に便利である．

補題 5.6.3 集合X上の有界関数列 qn : X → Cが条件 (5.32) に加え次をみたすとする:

supx∈X

∞∑n=0

|qn(x)− 1| <∞.

このとき無限積 (5.34) はX上一様収束する．

証明：一般に z1, ..., zk ∈ C (k ∈ N\{0})に対し

1)

∣∣∣∣∣k∏

j=1

(1 + zj)− 1

∣∣∣∣∣ ≤k∏

j=1

(1 + |zj|)− 1.

実際，k∏

j=1

(1 + zj)− 1 =∑

n1,...,nk∈{0,1}n1+...+nk≥1

zn11 · · · z

nkk .

ゆえに三角不等式より，

1)左辺 =

∣∣∣∣∣∣∣∑

n1,...,nk∈{0,1}n1+...+nk≥1

zn11 · · · z

nkk

∣∣∣∣∣∣∣ ≤∑

n1,...,nk∈{0,1}n1+...+nk≥1

|z1|n1 · · · |zk|nk = 1)右辺.

仮定より次のようなm′ ∈ Nが存在する．

138

2) m′ ≤ n < n′ =⇒ supx∈X

n′∑j=n

|qj(x)− 1| < ε.

そこで x ∈ Xは任意，m′ ≤ n < n′とすると，1),2) および r ∈ [0,∞)に対する不等式1 + r ≤ exp rより，∣∣∣∣∣

n′∏j=n

qj(x)− 1

∣∣∣∣∣ 1)

≤n′∏j=n

(1 + |qj(x)− 1|)− 1

≤ exp

(n′∑j=n

|qj(x)− 1|

)− 1

2)

≤ exp ε− 1.

以上と無限積に対する一様コーシー条件 (補題 5.6.2)より結論を得る． \(∧2∧)/

命題 5.6.4 D ⊂ Cは開, 正則関数列 qn : D → C, n ∈ Nは任意の有界閉集合X ⊂ D上で条件 (5.32) をみたし，かつ次の無限積がX上で一様収束するとする．

Q(z)def=

∞∏n=0

qn(z).

このとき，Q : D → Cは正則である．また

D0def= {z ∈ D ; Q(z) = 0} =

⋃n∈N

{z ∈ D ; qn(z) = 0}. (5.36)

さらに，正則関数 f : D\D0 → Cに対し次は同値である．

ある c ∈ Cに対し，D\D0上 f = cQ. (5.37)

D\D0上，f ′ = f∞∑n=0

q′nqn

. (5.38)

証明：定義 5.6.1の後で注意したように，

1) 関数列QNdef=∏N

n=0 qn (N ≥ 1)はX上Qに一様収束する．

各QN は正則，XはD内の任意の有界閉集合である．よって問 5.3.1より

2) QはD上正則，かつD上広義一様にQ′N

N→∞−→ Q′.

また (5.35)より (5.36)を得る．(5.37)⇒ (5.38): f = Qに対し (5.38)を言えば十分である．z ∈ D\D0を任意とする．Qの連続性より r > 0をD(z, r) ⊂ D\D0 となるようにとれる．(5.36)より全ての n ∈ Nに対しD(z, r)上 qn 6= 0.　よって積の微分よりD(z, r)上，

Q′N

QN

=N∑

n=0

q′nqn

.

N →∞とすれば 1),2)よりQ′

Q=

∞∑n=0

q′nqn

.

139

以上より f = Qに対し (5.38)を得る．(5.37) ⇐ (5.38): f = Qの場合に (5.38)が成立することは既に上で述べた. これを用いると，一般に (5.38)をみたす正則関数 f : D\D0 → Cに対し, D\D0上，

fQ′ = fQ

∞∑n=0

q′nqn

= f ′Q.

ゆえに問 3.1.2より (5.37)を得る． \(∧2∧)/

例 5.6.5 z ∈ Cに対し,

sinh z = z

∞∏n=1

coshz

2n, sin z = z

∞∏n=1

cosz

2n. (5.39)

また，

coth zdef= cosh z/sinh z =

1

z+

∞∑n=1

1

2ntanh

z

2n, z ∈ C\πiZ,

cot zdef= cos z/ sin z =

1

z+

∞∑n=1

1

2ntan

z

2n, z ∈ C\πZ.

(5.40)

証明：(5.39): sin z = −isinh (iz)より第一式を示せば十分である．z = 0に対しては両辺=0 なので z 6= 0としてよい．双曲関数に対する加法定理 (2.8)より

sinh z = 2coshz

2sinh

z

2= ... = 2N

(N∏

n=1

coshz

2n

)sinh

z

2N.

また，lim

N→∞2Nsinh

z

2N=

d

dtsinh (tz)

∣∣∣∣t=0

= z.

以上より，N∏

n=1

coshz

2n=

sinh z

2Nsinh z2N

N→∞−→ sinh z/z.

これで (5.39)が分かった．(5.40): cot z = i coth(iz)より第一式を示せば十分である．R ∈ (0,∞)を任意，M =

sup|z|≤R |(cosh z − 1)/z| とすると |z| ≤ Rの範囲で∣∣cosh z

2n− 1∣∣ ≤ MR

2n. これと補題

5.6.3より無限積Q(z)def= z

∏∞n=1 cosh

z2nは C上広義一様収束する．ゆえに命題 5.6.4

より{z ∈ D ; Q(z) = 0} = {0} ∪

⋃n∈N\{0}

{z ∈ D ; coshz

2n= 0} = πiZ.

さらに z ∈ C\πiZに対し，

coth z =sinh ′z

sinh z

(5.39)=

Q′(z)

Q(z)

(5.38)=

1

z+

∞∑n=1

1

2ntanh

z

2n.

以上より，(5.40)を得る． \(∧2∧)/

140

6 孤立特異点

本章では「孤立した特異点を除き正則な関数」を考察の対象とする．一般に数学において「特異点」という言葉は否定的な印象を伴い，考察の対象から除外されがちである．ところが，正則関数の孤立特異点に関する限り, その近傍での関数の挙動の背後にある豊かな数学的構造は，むしろ積極的な考察に値する．特に留数 (命題 6.1.2)は特異点に由来し，定積分の計算などに利用される (6.3, 6.5節参照)．留数の恩恵は留数定理(定理 6.4.1) によりさらに顕著となる．本章を通じ，

� 開円板 D(a, r), 閉円板 D(a, r) をそれぞれ (1.32), (1.33) で定める．また，

� 円周 C(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r}の向きは常に反時計回りとする．

6.1 孤立特異点と留数

定義 6.1.1 (孤立特異点とその分類) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは正則とする (このとき，aを f の孤立特異点 という).

▶ 次の条件をみたす正則関数 h : D(a,R) → Cが存在するとき，孤立特異点 aは除去可能 であると言う：

f(z) = h(z), ∀z ∈ D(a,R)\{a}. (6.1)

▶ 次の条件をみたすm ∈ N\{0} および正則関数 h : D(a,R)→ Cが存在するとき，孤立特異点 aは極 であると言う：h(a) 6= 0 かつ，

f(z) = (z − a)−mh(z), ∀z ∈ D(a,R)\{a}. (6.2)

また，mを極 aの次数と言う．▶ 除去可能でも極でもない孤立特異点を真性特異点 と言う．

注: 1) 定義 6.1.1において, aは f の除去可能特異点とする．このとき，(6.1) より,

∃c ∈ C, limz→az =a

f(z) = c. (6.3)

また，この逆も成立する (命題 6.2.1参照)．一方，aは f の極とする．このとき，(6.2)

および h(a) 6= 0 より，limz→az =a

|f(z)| =∞. (6.4)

また，この逆も成立する (命題 6.2.3参照)．2) 孤立特異点の分類は，定義 6.1.1の方法の他，ローラン展開に基づく方法もある (命題 6.1.5).

141

命題 6.1.2 (留数) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは正則とする. このとき，次の線積分は r ∈ (0, R) について定数である：

Res(f, a)def=

1

2πi

∫C(a,r)

f. (6.5)

この線積分を，aにおける f の留数 と呼ぶ．特に aが f の除去可能特異点またはm次の極, n ≥ mなら，

Res(f, a) =1

(n− 1)!limz→az =a

(d

dz

)n−1

(z − a)nf(z). (6.6)

したがって，aが f の除去可能特異点または一次の極なら，

Res(f, a) = limz→az =a

(z − a)f(z). (6.7)

証明：0 < r1 < r2 < R に対し補題 5.1.3より，∫C(a,r1)

f =

∫C(a,r2)

f.

したがって，線積分 (6.5) は r ∈ (0, R) について定数である．aが f の除去可能特異点またはm次の極なら，次のような正則関数: h : D(a,R)→ C が存在する (除去可能特異点の場合は m = 0 とする)；

f(z) = (z − a)−mh(z), ∀z ∈ D(a,R)\{a}.

また定理 5.1.1より，h は z ∈ D(a,R) に対し次のようにテイラー展開される：

h(z) =∞∑k=0

bk(z − a)k,

bk =h(k)(a)

k!=

1

2πi

∫C(a,r)

h(z)

(z − a)k+1dz =

1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)k−m+1dz.

よって，n ≥ m なら，z ∈ D(a,R) に対し,

(z − a)n−mh(z) =∞∑k=0

ck(z − a)k+n−m.

上式右辺で，k = m− 1 の項は bm−1(z − a)n−1. これに注意すると，べき級数の係数と微分の関係 (系 3.3.2) より，

1

(n− 1)!

(d

dz

)n−1

(z − a)n−mh(z)

∣∣∣∣∣z=a

= bm−1 =1

2πi

∫C(a,r)

f = Res(f, a).

z ∈ D(a,R)\{a} に対し (z− a)nf(z) = (z− a)n−mh(z) なので，上式より (6.6)を得る．さらに (6.6)で m = 1として (6.7)を得る． \(∧2

∧)/

次の命題は，孤立特異点が除去可能あるいは極であることを，ローラン展開と呼ばれる表示式 (6.9)により特徴づける (定理 6.6.1の特別な場合)．等式 (6.11)により，留数の値をローラン展開から読み取ることもできる．

142

命題 6.1.3 (極に関するローラン展開) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cとする．このとき，以下の a),b)は同値である：

a) m ∈ N に対し，(6.2) をみたす正則関数 h : D(a,R)→ C の存在 (m = 0 なら，a はf の除去可能特異点，m ≥ 1 かつ h(a) 6= 0なら a は f の m 次の極).

b) 次の条件をみたす cn ∈ C (n ∈ Z, n ≥ −m) が存在する:

f+(z)def=

∞∑n=0

cn(z − a)n は ∀z ∈ D(a,R) に対し絶対収束, (6.8)

f(z) = f+(z) +m∑

n=1

c−n(z − a)−n, ∀z ∈ D(a,R)\{a}. (6.9)

また，a), b) を仮定するとき，n ≥ −m に対し cn = h(n+m)(a)(n+m)!

. 特に，

c−m = h(a), (6.10)

m ≥ 1 なら c−1 = Res(f, a). (6.11)

証明: a) ⇒ b): h : D(a,R) → C は正則かつ, (6.2) をみたすとする．定理 5.1.1より，h は z ∈ D(a,R) に対し次のようにテイラー展開される：

h(z) =∞∑n=0

h(n)(a)

n!(z − a)n.

よって，z ∈ D(a,R)\{a} に対し,

f(z) = (z − a)−mh(z) =∞∑n=0

h(n)(a)

n!(z − a)n−m =

∞∑n=−m

h(n+m)(a)

(n+m)!(z − a)n.

したがって，cn = h(n+m)(a)(n+m)!

が (6.8), (6.9)をみたす．a) ⇐ b): 逆に cn ∈ C (n ∈ Z, n ≥ −m) が (6.8), (6.9) をみたすとする．このとき，h(z)

def= (z − a)mg(z) +

∑mn=1 c−n(z − a)m−n は D(a,R) 上で正則かつ，(6.2) をみたす.

また，上の証明より n ≥ −m に対し cn = h(n+m)(a)(n+m)!

. 特に m ≥ 1のとき，c−1 =

h(m−1)(a)(m−1)!

(6.6)= Res(f, a). \(∧2

∧)/

次に，ローラン展開の例を挙げる．

例 6.1.4 数列 (bn)n≥0を次の漸化式よりに定める．

b0 = 1,n∑

j=0

bj(n+ 1− j)!

= 0, n ≥ 1.

(b1 = −1/2, b2 = 1/12, b3 = 0, b4 = −1/360, ...). このとき，以下の等式左辺の関数の，原点に関するローラン展開が右辺で与えられる (例 5.5.2, 問 5.5.1)．

1

exp z − 1=

1

z− 1

2+

∞∑n=1

b2nz2n−1, z ∈ D(0, 2π)\{0},

143

1

tanh z=

1

z+

∞∑n=1

22nb2nz2n−1, z ∈ D(0, π)\{0},

1

tan z=

1

z+

∞∑n=1

(−1)n22nb2nz2n, z ∈ D(0, π)\{0},

1

sinh z=

1

z+ 2

∞∑n=1

(22n−1 − 1)b2nz2n−1, z ∈ D(0, π)\{0},

1

sin z=

1

z+ 2

∞∑n=1

(−1)n−1(22n−1 − 1)b2nz2n−1, z ∈ D(0, π)\{0}.

これらの例に共通して，z = 0は 1次の極，z = 0での留数は 1 である．

a ∈ C, 0 < R ≤ ∞ に対し，f : D(a,R)\{a} が正則なら，f はローラン級数に展開できることは定理 6.6.1で示す．ここでは命題 6.1.3の応用として，ローラン級数として展開された関数に対し，その係数と孤立特異点 a の分類の関係を述べる：

命題 6.1.5 (⋆) (ローラン係数と孤立特異点の分類) a ∈ C, 0 ≤ ρ < R ≤ ∞, cn ∈ C(n ∈ Z) に対し以下を仮定する:

全ての z ∈ D(a,R)に対し f+(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n が絶対収束する.

全ての z ∈ C\D(a, ρ)に対し f−(z) =∞∑n=1

c−n(z − a)−n が絶対収束する.

このとき，fdef= f+ + f− は D(a,R)\D(a, ρ) 上正則である．また，特に ρ = 0 の場合，

m ∈ N\{0}に対し，

f の孤立特異点 aは

除去可能 ⇐⇒ c−n = 0, ∀n ≥ 1,

m次の極 ⇐⇒ c−m 6= 0, かつ c−n = 0, ∀n ≥ m+ 1,

真性 ⇐⇒ 無限個の n ≥ 1に対し c−n 6= 0.

(6.12)

また，Res(f, a) = c−1. (6.13)

証明：べき級数の正則性 (命題 3.3.1) より，f+ は D(a,R) 上正則，また，問 3.3.1 より，f− は C\D(a, ρ) 上正則である．ゆえに，f は D(a,R)\D(a, ρ) 上正則である．(6.12): 三つの ⇐⇒ の左側の三条件は，全ての場合を三つの背反な場合に分類しており，右側の三条件についても同様である．したがって，三つの ⇐⇒ について全て ⇒のみ示せば十分である．• a が除去可能とする．このとき，命題 6.1.3 より f は D(a,R)\{a} 上で m = 0

に対し表示式 (6.9) を持つ．したがって，ローラン展開係数の一意性 (例 4.2.5)よりc−n = 0, ∀n ≥ 1.

• a がm次の極とする．このとき，命題 6.1.3 より f は D(a,R)\{a} 上で表示式 (6.9)

を持つ．したがって，ローラン展開係数の一意性 (例 4.2.5)より c−m 6= 0,かつ c−n = 0,

144

∀n ≥ m+ 1.

• a が真性特異点とする．もし，∃m ∈ N, ∀n ∈ N, c−n = 0 なら，この命題の仮定より，f は (6.9) の形に表示される．すると 命題 6.1.3 より a は除去可能，あるいは極となり仮定に反する．(6.13): ローラン展開係数の積分表示 (例 4.2.5) と留数の定義 (6.5)による． \(∧2

∧)/

次の命題により，正則関数 g を用い，f = 1/gと表示された関数 f に対し，gの零点と f の極が次数も含めて対応する．この事実は，具体例で，極の次数を判定する際にも有効である．

命題 6.1.6 (分母の零点としての極) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R) → Cは正則かつD(a,R)\{a}内に零点を持たないとする．このとき，m ∈ N\{0}に対し以下の命題は同値である．

a) aは f のm次の零点である．

b) aは 1/f : D(a,R)\{a} → Cのm次の極である．

証明：a) ⇒ b): 命題 5.4.3より，正則関数 g : D(a,R)→ Cであり，次をみたすものが存在する:

g(a) 6= 0, f(z) = (z − a)mg(z), ∀z ∈ D(a,R).

fはD(a,R)\{a}内に零点をもたないので，gはD(a,R)内に零点をもたない. したがって h

def= 1/g : D(a,R) → Cは正則，h(a) = 1/g(a) 6= 0. さらに ∀z ∈ D(a,R)\{a}に対

し 1/f(z) = (z − a)−mh(z). したがって aは 1/f のm次の極である．a) ⇐ b): 正則関数 h : D(a,R)→ Cであり，次をみたすものが存在する:

h(a) 6= 0, 1/f(z) = (z − a)−mh(z), ∀z ∈ D(a,R)\{a}.

hの連続性より，ある r ∈ (0, R]に対し，hはD(a, r)内に零点をもたない. したがってg

def= 1/h : D(a, r) → Cは正則，g(a) = 1/h(a) 6= 0. さらに ∀z ∈ D(a, r)\{a}に対し

f(z) = (z − a)mg(z). これと命題 5.4.3より，a)を得る． \(∧2∧)/

問 6.1.1 a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R) → C は正則とする．次で定める ga :

D(a,R)\{a} → Cに対し，aは ga の除去可能特異点であることを示せ:

ga(z) =f(z)− f(a)

z − a.

問 6.1.2 a ∈ C, R ∈ (0,∞], m ∈ N\{0} f : D(a,R)\{a} → C は正則, かつ表示式 (6.9)において, m以下の全ての正の偶数 n に対し c−n = 0 とするとき，a はF (z)

def= f(z) + f(2a− z) の除去可能特異点であることを示せ．

問 6.1.3 D ⊂ Cは開，a ∈ D, g, h : D → Cは正則，かつ aは hのm次の零点とする(m ∈ N\{0})．以下を示せ．i) g(a) 6= 0 なら aは g/hのm次の極である．ii) m = 1なら，Res

(gh, a)=

g(a)

h′(a). iii) (⋆) m = 2なら，Res

(gh, a)=

g′(a)

h′′(a)− g(a)h′′′(a)

3h′′(a)2.

145

問 6.1.4 正則関数 g, h : C → C を以下のように定めるとき，h の零点集合 A = {z ∈C ; h(z) = 0}, および A の各点での g/h : C\A → C の留数を求めよ．i) g ≡ 1,

h(z) = (z − a)m+1(z − b)n+1 (a, b ∈ C, a 6= b, m,n ∈ N). ii) g は任意，h(z) = sin(cz)

(c ∈ C\{0}).

問 6.1.5 (⋆) f : C → Cは正則かつ多項式でないとする．このとき，g(z) = f(1/z),

(z ∈ C\{0}) は正則, かつ原点 0は gの真性特異点であることを示せ．

6.2 (⋆)孤立特異点続論

本節では, 孤立特異点 a を持つ正則関数 f に対し，孤立特異点 a の種別 (除去可能特異点，極，真性特異点) が，f(z) の z → a における挙動という観点から特徴づけられることを述べる (命題 6.2.1, 命題 6.2.2,命題 6.2.3). また無限遠点の近傍 (閉円板外部)

で正則な関数の無限遠点での挙動を分類し (命題 6.2.4, 命題 6.2.5)，その結果を「孤立特異点としての無限遠点」という視点から解釈する (定義 6.2.6)．

次の命題はリーマンの可除特異点定理 とも呼ばれる．

命題 6.2.1 (除去可能特異点の特徴づけ) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは正則とする．f のローラン展開 (定理 6.6.1参照)を次のように記す．このとき，以下の命題は同値である．

a) aは f の除去可能特異点である．

b) 極限 limz→az =a

f(z) が存在する．

c) ある r ∈ (0, R)に対し， sup0<|z−a|<r

|f(z)| <∞.

証明：a) ⇒ b): 仮定より，D(a,R) 上の正則関数 h が存在し，D(a,R)\{a} 上 f = h.

ゆえに limz→az =a

f(z) = h(a).

b) ⇒ c): 命題 1.3.4による．c) ⇒ a): g : D(a,R)→ C を次のように定める：

g(z) =

{(z − a)2f(z), z ∈ D(a,R),

0, z = a.

このとき，

1) g は D(a,R) 上正則かつ g′(a) = 0.

g が点 a で複素微分可能かつ g′(a) = 0 であればよい．ところが，z 6= a, z → a とするとき，仮定 c) より，

g(z)− g(a)

z − a=

g(z)

z − a= (z − a)f(z) −→ 0.

146

よって 1) を得る．1) と 定理 5.1.1 より z ∈ D(a,R) に対し,

g(z) =∞∑n=0

g(n+2)(a)

(n+ 2)!(z − a)n+2.

そこで，z ∈ D(a,R) に対し, h : D(a,R)→ C を次のように定める：

h(z) =∞∑n=0

g(n+2)(a)

(n+ 2)!(z − a)n.

このとき，h は D(a,R) 上正則かつ z ∈ D(a,R)\{a} に対し (z − a)2f(z) = g(z) =

(z − a)2h(z), よって f(z) = h(z). \(∧2∧)/

次の命題はカソラチ・ワイエルシュトラスの定理 とも呼ばれる (カソラチ, ワイエルシュトラスによる出版はそれぞれ，1868年，1876年).

命題 6.2.2 (真性特異点の特徴づけ) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは正則とする．このとき，以下の命題は同値である．a) aは f の真性特異点である．

b) 任意の b ∈ Cに対し，点列 zn ∈ D(a,R)\{a}で zn → a, f(zn)→ bをみたすものが存在する.

証明：a) ⇒ b): 背理法による．条件 b)を否定すると，ある b ∈ Cが次をみたす．∃ε > 0, ∃δ > 0, ∀z ∈ D(0, δ)\{a}, |f(z)− b| > ε.

このとき，次の g : D(0, δ)\{a} → Cは正則かつ有界である．

g(z) =1

f(z)− b.

これと命題 6.2.1より，aは gの除去可能特異点である．よって再び命題 6.2.1より極限 c

def= lim

z→az =a

g(z) が存在し，g(a) = cと定めれば g : D(0, δ)→ Cは正則である．もし c = 0なら，aは gの零点である．すると命題 6.1.6より aは f − bの極, したがって f の極である．これは仮定に反する．一方，c 6= 0なら，

f(z) = b+1

g(z)

z→az =a−→ b+

1

c.

ゆえに aは f の除去可能特異点である (命題 6.2.1)．ところがこれは仮定に反する．b) ⇒ a): aが f の除去可能特異点なら，極限 lim

z→az =a

f(z) が存在する (命題 6.2.1)．また，aが f の極なら，定義 6.1.1直後に注意したように ((6.4) 参照)，lim

z→az =a

|f(z)| =∞．よって b)なら, aは fの除去可能特異点でも極でもない．ゆえに真性特異点である．\(∧2

∧)/

注: 命題 6.2.2より，f(D(a,R)\{a})はCで稠密である．実はさらに強く，C\f(D(a,R)\{a})は高々二点であることが知られている (ピカールの大定理, 1879年).

命題 6.2.1, 命題 6.2.2を併せれば，極を次のように特徴づけることができる．

147

命題 6.2.3 (極の特徴づけ) a ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは正則とする．このとき，

aは f の極である ⇐⇒ limz→az =a

|f(z)| =∞.

証明：(⇒): 定義 6.1.1直後に注意した ((6.4) 参照).

(⇐): aは f の孤立特異点であるが，命題 6.2.1, 命題 6.2.2より，除去可能特異点でも真性特異点でもない．ゆえに極である． \(∧2

∧)/

命題 6.1.5, 命題 6.2.3, 命題 6.2.2から，全複素平面上正則な関数 f(z) の |z| → ∞　における挙動は二つの可能性に分類される：

命題 6.2.4 f : C→ Cは正則かつ定数でないとする．このとき，

f は多項式である ⇐⇒ lim|z|→∞

|f(z)| =∞. (6.14)

また，f が多項式でないとき，任意の b ∈ Cに対し，|zn| → ∞, f(zn)→ bをみたす点列 zn ∈ Cが存在する．

証明：(⇒): 問 1.3.2による．(⇐): f をテイラー展開する：f(z) =

∞∑n=0

cnzn. このとき任意の z ∈ C\{0} に対し

g(z)def= f(1/z) =

∞∑n=o

cnz−n は絶対収束し C\{0} 上正則である．また，仮定と 命題

6.2.3より原点 0 は g の極である．これと 命題 6.1.5 より，∃m ≥ 1, ∀n ≥ m + 1,

cn = 0. したがって f は多項式である．fが多項式でないとする．また，cn, g は上のとおりとする．このとき，仮定より無限個の n に対し cn 6= 0, したがって命題 6.1.5より原点 0 は g の真性特異点である．これと命題 6.2.2より，任意の b ∈ Cに対し，|wn| → 0, g(wn)→ bをみたす点列wn ∈ C\{0}が存在する．したがって zn = 1/wn が所期点列である． \(∧2

∧)/

ρ ∈ (0,∞), f : C\D(0, ρ)→ Cは正則とする．このとき，f(z) の |z| → ∞ における挙動は次の三つの可能性に分類できる (命題 6.2.4の一般化)．

命題 6.2.5 ρ ∈ (0,∞), f : C\D(0, ρ) → Cは正則とし，g : D(0, 1/ρ)\{0} → C を，g(z) = f(1/z) により定める．このとき，g は D(0, 1/ρ)\{0} 上正則である．さらに，

a) 0 が g の除去可能特異点なら, ∃c ∈ C, lim|z|→∞

f(z) = c.

b) 0 が g の極なら, lim|z|→∞

|f(z)| =∞.

c) 0 が g の真性特異点なら，任意の b ∈ Cに対し，点列 zn ∈ C\D(0, ρ)で |zn| → ∞,

f(zn)→ bをみたすものが存在する．

証明：g は正則関数 1/z (D(0, 1/ρ)\{0} −→ C\D(0, ρ)) と f の合成なので正則である．a): 仮定より正則関数 h : D(0, 1/ρ) → Cが存在し，D(0, 1/ρ)\{0}上 g = h. よって

148

|z| → ∞とするとき，f(z) = g(1/z) = h(1/z)→ h(0).

b): 定義 6.1.1直後に注意したように ((6.4) 参照), |z| → ∞とするとき，|f(z)| =|g(1/z)| → ∞.

c): 命題 6.2.2より任意の b ∈ Cに対し，点列wn ∈ D(0, 1/ρ)\{0}で, wn → 0, g(wn)→ b

をみたすものが存在する. このとき zn = 1/wn ∈ C\D(0, ρ) に対し |zn| → ∞, f(zn) =

g(wn)→ b. \(∧2∧)/

ρ ∈ (0,∞), f : C\D(0, ρ)→ Cは正則とする．命題 6.2.4, 命題 6.2.5 より，無限遠点は f の孤立特異点と解釈できる．この観点からの用語上の規約として，次の定義を紹介する．

定義 6.2.6 (孤立特異点としての無限遠点) 記号は 命題 6.2.5のとおりとする．▶ 原点 0 が g の除去可能特異点, すなわち，正則関数 h : D(0, 1/ρ) → C が存在し，D(0, 1/ρ)\{0}上 g = h なら，∞は f の除去可能特異点 であると言う．特に h(0) = 0

なら，∞は f の零点であると言う．またこのとき，hの零点 0 の次数を f の零点∞の次数と定める．▶ あるm ∈ N\{0}に対し，原点 0 が g のm次の極なら，∞は f のm次の極 であると言う．▶ 原点 0 が g の真性特異点なら, ∞は f の真性特異点 であると言う．

定義 6.2.6は，問 6.7.2, 問 6.7.3 で再登場する．問 6.7.3によれば，有限個の極を除きC上正則な関数の零点が有限個と仮定するとき，無限遠点も含めれば，(零点の総次数) =

(極の総次数)である．この例は，無限遠点を孤立特異点のひとつとみなす考え方に一定の合理性があることを示している．

6.3 留数を応用した計算例 I

4.3節で，初等的コーシーの定理を応用した定積分の計算例を述べた．4.3節の例では，積分路およびその内部で被積分関数が正則であることを利用し, コーシーの定理を適用した．これに対し本節では，本来想定される積分路上に被積分関数の特異点がある例を述べる．実際には，本来想定される積分路に対し, 特異点を迂回する修正を施した上でコーシーの定理を適用し，その後で迂回路を一点に縮める極限をとる．その際に次の補題が重要な役割を果たす．

補題 6.3.1 a, c ∈ C, R ∈ (0,∞], f : D(a,R)\{a} → Cは連続かつ次をみたすとする．

(z − a)f(z)z→az =a−→ c. (6.15)

またCr,α,β(a) (r ∈ (0, R), α < β ≤ α + 2π) を次のように定める．

Cr,α,β(a) = {a+ r exp(iθ) ; α ≤ θ ≤ β},

149

このとき， ∫Cr,α,β(a)

fr→0−→ i(β − α)c, (6.16)

(Cr,α,β(a)の向きは aを中心に反時計回り)．特に，f : D(a,R)\{a} → Cが正則, aが f

の除去可能特異点，または一次の極なら，c = Res(f, a)に対し (6.16)が成立する．

証明：

1)

∫Cr,α,β(a)

1

z − adz = i

∫ β

α

dθ = i(β − α),

2)

∫Cr,α,β(a)

1

|z − a||dz| =

∫ β

α

dθ = β − α,

3)

∫Cr,α,β(a)

f =

∫Cr,α,β(a)

(z − a)f(z)− c

z − adz + c

∫Cr,α,β(a)

1

z − adz.

以上より，∣∣∣∣∣∫Cr,α,β(a)

f − i(β − α)c

∣∣∣∣∣ 1),3)=

∣∣∣∣∣∫Cr,α,β(a)

(z − a)f(z)− c

z − adz

∣∣∣∣∣(4.12)

≤∫Cr,α,β(a)

|(z − a)f(z)− c||z − a|

|dz|

2)

≤ (β − α) supz∈Cr,α,β(a)

|(z − a)f(z)− c| r→0−→ 0.

特に，f : D(a,R)\{a} → Cが正則, aが f の除去可能特異点，または一次の極なら，(6.7)より c = Res(f, a)に対し (6.15)がみたされ，その結果 (6.16)が成立する．\(∧2

∧)/

以下では次の記号を用いる．a ∈ C, r > 0に対し，

C+(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r, Im z ≥ Im a},

C−(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r, Im z ≤ Im a}.

また，C±(a, r)の向きは aを中心に反時計まわりとする.

例 6.3.2

I1def=

∫ ∞

0

x

sinh xdx =

π2

4.

証明: f(z)def= z2/sinh zとする．πiは f の 1次の極であり，

Res(f, πi)問 6.1.3= (z2/cosh z)

∣∣z=πi

= −π2/ cosπ = π2.

よって補題 6.3.1より，

1)

∫C−(πi,ε)

fε→0−→ πiRes(f, πi) = π3i.

150

f は次の星形領域D上正則である．

Ddef= C\{iy ; y ∈ R, |y| ≥ π}.

そこで 0 < ε < r <∞とし，線分 Γ1, ...,Γ4 を次のように定める：

Γ1 = [r, r + πi], Γ2 = [ε+ πi, r + πi], Γ3 = [−r + πi,−ε+ πi], Γ4 = [−r + πi,−r].

星形領域Dに含まれる下図の積分路 (向きは反時計回り)に星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)を適用し，

−r r

−r + πi r + πi−ε+ πi ε+ πiπi

Γ1−Γ4

−Γ2−Γ3

2)

(∫[−r,r]

+

∫Γ1

−∫Γ2

−∫C−(πi,ε)

−∫Γ3

−∫Γ4

)f = 0.

f は奇関数なので，2)左辺第 1項は零である．∫[−r,r]

f = 0.

また，sinh (z + πi) = −sinh z より，2)左辺の ∫Γj

(j = 2, 3) について，(∫Γ2

+

∫Γ3

)f =

(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)(x+ πi)2

sinh (x+ πi)dx = −

(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)(x+ πi)2

sinh xdx

= −(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)x2 + 2πix− π2

sinh xdx = −4πi

∫ r

ε

x

sinh xdx.

なお，最後の等式は xp/sinh x が p = 1 で偶関数，p = 0, 2 で奇関数であることによる．一方，問 2.2.1より

|sinh z| ≥ sinh (|Re z|).

これから, 2)左辺の ∫Γj

(j = 1, 4)について,∫Γ1

fr→∞−→ 0,

∫Γ4

fr→∞−→ 0.

以上より，2)で r →∞とすることにより，

4πi

∫ ∞

ε

x

sinh xdx =

∫C−(πi,ε)

f.

上式で ε→ 0とし，1)に注意すれば結論を得る． \(∧2∧)/

151

注 1: 例 6.3.2と (2.58)より等式∑∞n=1

1n2 = π2

6(例 3.3.6)の別証明が得られる．

注 2: 例 6.3.2の I1に対し，積分変数の変換より∫ 1

0

log x

x2 − 1dx =

∫ ∞

1

log x

x2 − 1dx =

I12例 6.3.2=

π2

8. (6.17)

このように，logを含む広義積分の計算法のひとつとして，積分変数の変換により log

を含まない積分に書き換えた後, 留数を応用する方法がある ((6.24),(6.44) 参照)．一方，logを含む広義積分を，積分変数の変換を経由することなく，そのまま留数の応用に持ち込む方法もある [杉浦, II, pp.324–327].

次の例 (例 6.3.5)の前に補題を二つ準備する．

補題 6.3.3 ℓ, r ∈ (0,∞), h ∈ R\{0}に対し線分 Γj (j = 1, 2, 3), 折れ線 Γを次のように定める．

Γ1 = [r, r + ih], Γ2 = [−ℓ+ ih, r + ih], Γ3 = [−ℓ,−ℓ+ ih],

Γ = Γ1 + (−Γ2) + (−Γ3).

また，f : Γ→ Cは連続かつ，C, α, β > 0に対し次をみたすとする．

|f(z)| ≤ C

|Re z|α + | Im z|1+β, z ∈ Γ. (6.18)

このとき，γ = αβ/(1 + β), C1def= C

(1 + 1

β

)に対し，∣∣∣∣∫

Γ1

f

∣∣∣∣ ≤ C1

rγ,

∣∣∣∣∫Γ2

f

∣∣∣∣ ≤ C(ℓ+ r)

|h|1+β,

∣∣∣∣∫Γ3

f

∣∣∣∣ ≤ C1

ℓγ. (6.19)

−ℓ r

r + ih−ℓ+ ih

Γ1−Γ3

−Γ2

証明: h > 0の場合に示す (h < 0の場合も同様)．線分 Γ1を r + it (t ∈ [0, h])と表す.

δdef= α/(1 + β) = α− γ (したがって γ = α− δ = βδ) に対し∣∣∣∣∫

Γ1

f

∣∣∣∣ ≤ C

∫ h

0

dt

rα + t1+β≤ C

(∫ rδ

0

+

∫ ∞

rδ

)dt

rα + t1+β

≤ C

∫ rδ

0

dt

rα+ C

∫ ∞

rδ

dt

t1+β=

C

rα−δ+ C

[− 1

βtβ

]∞rδ

=C

rα−δ+

C

βrβδ=

C1

rγ.

152

∣∣∣∫Γ3f∣∣∣の評価も同様である．また，線分 Γ2を t+ ih (t ∈ [−ℓ, r])と表すと∣∣∣∣∫

Γ2

f

∣∣∣∣ ≤ C

∫ r

−ℓ

dt

tα + h1+β≤ C

∫ r

−ℓ

dt

h1+β=

C(ℓ+ r)

h1+β.

\(∧2∧)/

注: 条件 (6.18)が, α = 1 + β およびあるCに対し成立することは，次の条件と同値である：

z ∈ Γ =⇒ |f(z)| ≤ C0

|z|1+β.

実際，問 1.1.2より 2−β|z|1+β ≤ |Re z|1+β+ | Im z|1+β ≤ 2|z|1+β したがって，z 6= 0なら1

2|z|1+β≤ 1

|Re z|1+β + | Im z|1+β≤ 2β

|z|1+β.

次の例 (例 6.3.5) のために，さらに補題を用意する：

補題 6.3.4 f : C\{0} → Cは正則，0は f の除去可能特異点，または一次の極とする．さらに，あるC,R, α, β > 0に対し次を仮定する．

Im z ≥ 0, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C

|Re z|α + | Im z|1+β.

このとき，

広義積分 Idef=

∫ ∞

0

(f(x) + f(−x))dx が存在し，I = πiRes(f, 0). (6.20)

証明: r > R, 0 < ε < rとし，折れ線 Γを次のように定める．

Γ1 = [r, r + ri], Γ2 = [−r + ri, r + ri], Γ3 = [−r,−r + ri],

Γ = Γ1 + (−Γ2) + (−Γ3).

このとき，[−r,−ε], −C+(0, ε), [ε, r], Γ

をこの順で継ぎ足した閉曲線は星形領域Ddef= C\{iy ; y ≤ 0}に属し，f : D → Cは正

則である．したがって，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)より，

−r r

−r + ri r + ri

0−ε ε

1)

(∫ −ε

−r

−∫C+(0,ε)

+

∫ r

ε

+

∫Γ

)f = 0.

153

今，C 3 z 7→ f(z) + f(−z) は z = 0での値を適切に定めるれば正則 (問 6.1.2)，したがって連続である．ゆえに,

2)

(∫ −ε

−r

+

∫ r

ε

)f =

∫ r

ε

(f(x) + f(−x))dx ε→0−→∫ r

0

(f(x) + f(−x))dx.

また，補題 6.3.1より,

3)

∫C+(0,ε)

fε→0−→ πiRes(f, 0).

1) で ε→ 0とすると，2), 3) より，

4)

∫ r

0

(f(x) + f(−x))dx = πiRes(f, 0)−∫Γ

f.

さらに, z ∈ Γ ⇒ Im z ≥ 0, |z| ≥ R に注意すると，補題 6.3.3より，

5)

∣∣∣∣∫Γ

f

∣∣∣∣ ≤ 2C1

rγ+

2C

rβr→∞−→ 0.

4)で r →∞とすると, 5)より，∫ r

0

(f(x) + f(−x))dx r→∞−→ πiRes(f, 0).

以上で結論を得る． \(∧2∧)/

例 6.3.5 ∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2.

証明: f(z)def= exp(iz)/zに対し，

1)

∫ r

0

sinx

xdx =

1

2i

∫ r

0

(f(x) + f(−x))dx.

また，原点は f の 1 次の極，

2) Res(f, 0)(6.7)= lim

z→0z =0

zf(z) = 1.

また，|f(z)| = exp(− Im z)

|z|≤ 1

|z|(1 + Im z)≤ 1

|Re z|+ (Im z)2.

よって f は補題 6.3.4の条件をみたす．したがって，補題 6.3.4と 2) より

3)

∫ r

0

(f(x) + f(−x))dx r→∞−→ πiRes(f, 0) = πi.

1), 3) より， ∫ r

0

sinx

xdx

r→∞−→ 1

2i· πi = π

2.

\(∧2∧)/

154

問 6.3.1 γ ∈ C, ρ ∈ (0,∞), f : C\D(0, ρ)→ Cは連続かつ zf(z)z→∞−→ γをみたすとす

る．また r ∈ (ρ,∞), α < β ≤ α+ 2π に対しCr,α,β(0) = {r exp(iθ) ; α ≤ θ ≤ β} (向きは原点を中心に反時計回り)とする．このとき，次を示せ．

∫Cr,α,β(0)

fr→∞−→ i(β − α)γ．

問 6.3.2 次を示せ．∫ ∞

0

sinh θx

sinh xdx =

π

2tan

πθ

2, θ ∈ C, |Re θ| < 1.

ヒント：f(z)def= exp(θz)/sinh zを下図の積分路に沿って線積分する．

−r r

−r + πi r + πi−ε+ πi ε+ πiπi

0−ε ε

注: 問 6.3.2の等式両辺を θについて微分すると，∫ ∞

0

xcosh θx

sinh xdx =

π2

4 cos2 πθ2

, θ ∈ C, |Re θ| < 1. (6.21)

(積分記号下の微分については，例えば [吉田 1, p.424, 定理 16.5.5], あるいは [吉田 2,

p.57, 定理 2.5.1]を参照されたい.)　 (6.21)で θ = 0とすると例 6.3.2の等式が再現される．

問 6.3.3 以下を示せ．i) n ∈ N\{0}, Bnをベルヌーイ数 ((5.23)参照) とするとき，

Indef=

∫ ∞

0

x2n−1

sinh xdx =

(22n − 1)Bnπ2n

2n. (6.22)

上式で n = 1の場合が例 6.3.2の等式である．ヒント：tan のべき級数展開 (5.20)を用い，問 6.3.2の等式両辺を θのべき級数に展開せよ．ii) k ∈ N\{0}に対し

∞∑n=1

1

n2k=

22k−1Bkπ2k

(2k)!. (6.23)

ヒント：問 2.4.11.

注: (6.22)の Inに対し積分変数の変換より,∫ 1

0

(log x)2n−1

x2 − 1dx =

∫ ∞

1

(log x)2n−1

x2 − 1dx = In

(6.22)=

(22n − 1)Bnπ2n

2n. (6.24)

155

問 6.3.4 0 < p < 2, I(p) =

∫ ∞

0

sinx

xpdxとする11. 以下を示せ．

(i)

∫ ∞

0

1− cosx

xp+1dx =

1

pI(p).

(ii)

∫ ∞

0

cos ax− cos bx

xp+1dx =

bp − ap

pI(p) (0 ≤ a < b <∞).

(iii)

∫ ∞

0

sin2 x

xp+1dx =

2p−1

pI(p).

6.4 留数定理

本節で述べる留数定理 (定理 6.4.1) は，定積分の計算 (6.5節参照)を始め，偏角原理(命題 6.7.2)やルーシェの定理 (命題 6.7.5)を介し広い応用を持つ．本節では当面の応用に十分な形で留数定理を述べ，続く 6.5, 6.7節でその数々の応用を紹介する．留数定理の，より一般的かつ厳密な定式化とその証明は第 7章で改めて述べる．用語の規約: 留数定理 (定理 6.4.1)を述べるに先立ち，用語に関する規約を設ける．区分的 C1閉曲線 C ⊂ C および a ∈ C\C に対し，C が円周や多角形などの具体的な図形の場合，以下の命題の意味は明らかである：

C は a を (反)時計回りに一度囲む, (6.25)

C は a を囲まない. (6.26)

Cがある点 aを多重に囲む場合も含めたより一般の場合には，

n(C, a)def= (反時計回りに囲んだ回数)− (時計回りに囲んだ回数) (6.27)

に対し, (6.25)def⇐⇒ n(C, a) = 1，(6.26)

def⇐⇒ n(C, a) = 0と規約する．例えば，下図の閉曲線 C を考える：

z1 z2

点 a が大円外部にあれば，Cが aを囲まないことは明かである．また，a が大円と小円の間の円環部分にある場合，a は大円により反時計回りに一度囲まれ，小円には囲まれないので，結局 C は aを反時計回りに一度囲む．一方，a が小円内部の場合，a

11例 6.3.5より I(1) = π2 , 問 4.3.2より I(1/2) =

√π2 , 一般に I(p) = π

2Γ(p) sin pπ2

[吉田 1, p.395, 例15.7.10].

156

は小円により時計回りに一度囲まれ，その外側で大円により反時計回りに一度囲まれている．ゆえに規約により「Cは aを囲まない」ことになる．少なくとも本書内の具体的応用例では，条件 (6.25), (6.26) の成否は上記規約により判定できる．一方，Cを抽象概念としての区分的C1閉曲線と捉えた場合，上記規約だけでは (6.25), (6.26) の厳密な定義を与えたとは言えない．実際，用語 (6.25), (6.26)は定義 7.1.4で厳密に定義するが，それまでは上記で定めた規約により条件 (6.25), (6.26)

を理解することにする．これは，最小限の数学的準備で，留数定理，およびその応用を学べるようにするための方策である．これを良しとする読者はこのまま読み進まれたい．また，上記用語の厳密な定義を理解した上で進まれたい読者は，7.1節を定義 7.1.4

まで読み進み，改めてこの頁に戻られたい．次に述べる定理の原型はコーシーにより提示された (1825年).

定理 6.4.1 (留数定理) D ⊂ Cは開，A ⊂ DはD内に集積点を持たず，f : D\A→ Cは正則とする．また，区分的C1閉曲線 C ⊂ D\Aと 有限集合A1 ⊂ A に対し，次を仮定する：

� CはA1の各点を反時計回りに一度囲む．

� また，Cは C\D, およびA\A1 のどの点も囲まない．

このとき， ∫C

f = 2πi∑a∈A1

Res(f, a). (6.28)

証明の概略: A0def= A\A1 はD内に集積点を持たないのでU

def= D\A0は開である (補題

1.6.6). また，D\A = U\A1．よって D, A をそれぞれ U , A1 に置き換えても定理の仮定がみたされる．そこでこの置き換えにより，始めから，A1 = A としてよい．以下，A1 = A = {a1, ..., an}とする．また，r > 0を十分小さくとれば，開円板Dj

def= D(aj, r)

(j = 1, ..., n)は次ををみたす．

1) D1 ∪ ... ∪Dn ⊂ D\C, Dj ∩Dk = ∅, 1 ≤ j < k ≤ n.

Cj = C(aj, r) とするとき，

2)

∫Cj

f(6.5)= 2πiRes(f, aj).

一方，次の n+ 1 個の閉曲線からなる集合 Γ を考える：

Γdef= {C,−C1, ...,−Cn}.

このとき,

3) Γ は (C\D) ∪ A1 の点を囲まない.

その意味するところとは，

157

� z ∈ C\D とする．このとき z ∈ C\Dだから，仮定より C は z を囲まない．また，1) より各 j = 1, ..., n に対し z 6∈ Dj. ゆえに Cj は z を囲まない．以上よりΓ は z を囲まない．

� z = aj ∈ A1 なら −Cj が z を時計回りに一度囲み，さらにその外側でC が z を時計回りに一度囲む．これらの逆回転の相殺により，「Γ は z を囲まない」とみなす．

条件 3) より，D\A1上の正則関数 fと閉曲線の集合 Γ は一般化されたコーシーの定理(定理 7.1.10) の条件 (7.9) をみたし，その結果次を得る：

4)

∫C

f +n∑

j=1

∫−Cj

f = 0.

以上より，∫C

f − 2πin∑

j=1

Res(f, aj)2)=

∫C

f −n∑

j=1

∫Cj

f(4.11)=

∫C

f +n∑

j=1

∫−Cj

f4)= 0.

\(∧2∧)/

6.5 留数を応用した計算例 II

4.3節で，初等的コーシーの定理を応用した定積分の計算例を述べた．4.3節の例では，積分路およびその内部で被積分関数が正則であることを利用し, コーシーの定理を適用した．また，6.3節では，本来想定される積分路上に被積分関数の特異点がある例を述べた．

6.3節では，本来想定される積分路に対し,特異点を迂回する修正を施した上でコーシーの定理を適用し，その後で迂回路を一点に縮める極限をとった．これらに対し本節では積分路の内部に被積分関数の特異点がある例を述べる．これらの例では 4章で述べたコーシーの定理は直接適用できないので，かわりに留数定理(定理 6.4.1)を適用する．

例 6.5.1 b, c ∈ C\{0}, b/c 6∈ [−1, 1], n = 0,±1,

Arg c ∈ (−π/2, π/2], 2Arg c+Arg

(b2

c2− 1

)∈ 2πn+ (−π, π]

とする．さらに，D ⊂ Cは開, D ⊃ D(0, |c|), h : D → Cは正則とする．次の複素線積分を考える．

Ib,c =

∫C(0,|c|)

h(z)

z2 − 2bz + c2dz.

このとき s± = b±√b2 − c2に対し，

下記 i), iv)なら |s−| < |c| < |s+|, Ib,c = −πih(s−)/√b2 − c2,

下記 ii), iii)なら |s+| < |c| < |s−|, Ib,c = πih(s+)/√b2 − c2.

158

i) n = 0かつArg (b/c) ∈ (−π/2, π/2], ii) n = 0かつArg (b/c) 6∈ (−π/2, π/2],

iii) n 6= 0かつArg (b/c) ∈ (−π/2, π/2], iv) n 6= 0かつArg (b/c) 6∈ (−π/2, π/2].

証明: z ∈ D\{s+, s−} に対し，

f(z)def=

h(z)

z2 − 2bz + c2=

h(z)

(z − s+)(z − s−).

f : D\{s+, s−} → Cは正則, s±は 1次の極である．以下， i) の場合を考えるが，他の場合も同様である．このとき，例 2.4.5 より |s−| <|c| < |s+|. ゆえにD(0, |c|)内の極は s−のみである．よって，∫

C(a,|c|)f

(6.28)= 2πi Res(f, s−)

(6.7)=

2πih(s−)

s− − s+= − πih(s−)√

b2 − c2.

\(∧2∧)/

例 6.5.2 c ∈ C\[−1, 1], n = 0,±1,

φ ∈ (−π/2, π/2], 2φ+Arg (c2 − 1) ∈ 2nπ + (−π, π]

とする．さらに，D ⊂ Cは開, D ⊃ {z ∈ C ; |z| ≤ 1}, h : D → Cは正則とする．このとき，

Ic,φ =

∫ 2π

0

h(exp(iθ))

c− cosφ cos θ − sinφ sin θdθ, s± = (c±

√c2 − 1) exp(iφ)

に対し，

下記 i), iv) なら |s−| < 1 < |s+|, Ic,φ = 2πh(s−)/√c2 − 1,

下記 ii), iii) なら |s+| < 1 < |s−|, Ic,φ = −2πh(s+)/√c2 − 1.

ここで，

i) n = 0かつArg c ∈ (−π/2, π/2], ii) n = 0かつArg c 6∈ (−π/2, π/2],

iii) n 6= 0かつArg c ∈ (−π/2, π/2], iv) n 6= 0かつArg c 6∈ (−π/2, π/2].

証明: z ∈ D\{s+, s−} に対し，

f(z)def=

2i exp(iφ)h(z)

z2 − 2c exp(iφ)z + exp(2iφ)=

2i exp(iφ)h(z)

(z − s+)(z − s−).

f : D\{s+, s−} → Cは正則，s±は f の 1次の極である．また，

f(z) =2ih(z)

exp(−iφ)z2 − 2cz + exp(iφ)=

h(z)

c− cosφ2

(z + z−1)− sinφ2i

(z − z−1)· 1iz.

よって，

1) Ic,φ = i

∫ 2π

0

f(exp(iθ)) exp(iθ)dθ =

∫C(0,1)

f.

159

以下，i) の場合を考えるが，他の場合も同様である．このとき例 2.4.5より |s−| < 1 <

|s+|. ゆえにD(0, 1)内の極は s−のみである．よって，

2)

∫C(0,1)

f(6.28)= 2πi Res(f, s−)

(6.7)=−4π exp(iφ)h(s−)

s− − s+=

2πh(s−)√c2 − 1

.

1), 2) より結論を得る． \(∧2∧)/

注: Jc,φdef=∫ 2π

0h(exp(−iθ))

c−cosφ cos θ−sinφ sin θdθ に対し，積分変数の変換 θ 7→ −θより Jc,φ = Ic,−φ

補題 6.5.3 D ⊂ Cは領域, D ⊃ {z ∈ C ; Im z ≥ 0}, A ⊂ D\R は有限集合, f :

D\A→ Cは正則, A+ = {a ∈ A ; Im a > 0}とする．さらに，あるR > maxa∈A+

|a|, および C, α, β > 0 に対し次が成立するとする：

Im z ≥ 0, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C

|Re z|α + | Im z|1+β. (6.29)

このとき, 広義積分 I =∫∞−∞ f(x)dxが存在し，

I = 2πi∑a∈A+

Res(f, a).

−ℓ r

r + ih−ℓ+ ih

Γ1−Γ3

−Γ2

証明：ℓ, r, h ∈ [R,∞)とする．このとき，

A+ ⊂ {z ∈ C ; Re z ∈ (−ℓ, r), Im z ∈ (0, h)}.

そこで，線分 Γj (j = 1, 2, 3), 折れ線 Γを次のように定める．

Γ1 = [r, r + ih], Γ2 = [r + ih,−ℓ+ ih], Γ3 = [−ℓ+ ih,−ℓ],

Γ = Γ1 + Γ2 + Γ3.

このとき，長方形 [−ℓ, r]+Γ は A+ の各点を反時計回りに一度囲み，かつ C\D, A\A+

のどの点も囲まない．したがって留数定理より

1)

∫ r

−ℓ

f(x)dx+

∫Γ

f = 2πi∑a∈A+

Res(f, a).

160

以上と補題 6.3.3より∣∣∣∣∣∣∫ r

−ℓ

f(x)dx− 2πi∑a∈A+

Res(f, a)

∣∣∣∣∣∣ 1)=

∣∣∣∣∫Γ

f

∣∣∣∣ (6.19)≤ C1

rγ+

C1

ℓγ+

C(ℓ+ r)

h1+β.

h→∞とし， ∣∣∣∣∣∣∫ r

−ℓ

f(x)dx− 2πi∑a∈A+

Res(f, a)

∣∣∣∣∣∣ ≤ C1

rγ+

C1

ℓγ.

上式で ℓ, r →∞ とし結論を得る． \(∧2∧)/

補題 6.5.3と同様に次も成立する.

補題 6.5.4 D ⊂ Cは領域, D ⊃ {z ∈ C ; Im z ≤ 0}, A ⊂ D\R は有限集合, f :

D\A→ Cは正則, A− = {a ∈ A ; Im a < 0}とする．さらにあるR > maxa∈A−

|a|, およびC, α, β > 0に対し次が成立するとする：

Im z ≤ 0, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C

|Re z|α + | Im z|1+β. (6.30)

このとき, 広義積分 I =∫∞−∞ f(x)dxが存在し，

I = 2πi∑a∈A−

Res(f, a).

証明：補題 6.5.3と同様である． \(∧2∧)/

例 6.5.5 m,n ∈ Nに対し

Im,ndef=

∫ ∞

−∞

dx

(x− i)m+1(x+ i)n+1=

πim−n

2m+n

(m+ n

m

).

証明：f(z)

def=

1

(z − i)m+1(z + i)n+1, z ∈ C\{±i}.

このとき，f : C\{±i} → Cは正則. また，|z| ≥ 2なら，|z ± i| ≥ |z| − 1 ≥ |z|/2. ゆえに

Im z ≥ 0, |z| ≥ 2 =⇒ |f(z)| ≤ (2/|z|)m+n+2.

以上から f : C\{±i} → Cは補題 6.5.3の条件をみたす (補題 6.3.3直後の注参照). また a = ±i のうち，Im a > 0 をみたすのは a = i なので，補題 6.5.3の結果より，

1) Im,n = 2πiRes(f, i).

さらに，問 6.1.4より，

1) Res(f, i) = (−1)m(m+ n

n

)(2i)−(m+n+1) =

im−n−1

2m+n+1

(m+ n

n

).

161

1), 2) より結論を得る． \(∧2∧)/

注: 例 6.5.5より，特に

In,ndef=

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)n+1=

π

22n

(2n

n

).

これを用い，広義積分 ∫ ∞

−∞exp(−x2)dx =

√π (6.31)

および次の漸近公式 (ウォリスの公式) の一方から他方が導かれることが分かる．1

22n

(2n

n

)∼ 1√

πn, n→∞. (6.32)

(6.32)は，「硬貨を 2n回投げてちょうど n回表が出る確率は n →∞のとき，ほぼ 1√πn

である」ことを意味し，確率論における中心極限定理の片鱗でもある．まず (6.31)から (6.32)を導く．

(1 + x2

n

)nは nについて単調増加し exp(x2)に収束す

ることから，

1)√nIn,n =

∫ ∞

−∞

(1 +

x2

n

)−(n+1)

dxn→∞−→

∫ ∞

−∞exp(−x2)dx.

上式中の積分と極限の順序交換については例えば [吉田 1, p.423, 定理 16.5.3], あるいはルベーグ積分論の単調収束定理 [吉田 2, p.52, 定理 2.4.1]を参照されたい．上式と例6.5.5の結果, および (6.31)から (6.32)を得る．次に (6.32)から (6.31)を導く．例 6.5.5の結果と (6.32)から 1)左辺の n → ∞ での極限値は√πに等しい．よって 1)より (6.31)を得る．

例 6.5.7のために次の補題を準備する．これは補題 4.3.5の一般化である．

補題 6.5.6 D ⊂ Cを領域, h > 0, {z ∈ C ; 0 ≤ Im z ≤ h} ⊂ D, また，A ⊂ {z ∈C ; 0 < Im z < h}を有限集合，f : D\A→ Cは正則とし次を仮定する．

lim|x|→∞

∫ h

0

f(x+ iy)dy = 0. (6.33)

このとき，次の広義積分の一方が収束すれば他方も収束する．

I(0)def=

∫ ∞

−∞f(x)dx, I(h)

def=

∫ ∞

−∞f(x+ ih)dx.

また，I(0) = I(h) + 2πi

∑a∈A

Res(f, a). (6.34)

証明：ℓ, r > 0が十分大きければ，

A ⊂ {z ∈ C ; Re z ∈ (−ℓ, r), Im z ∈ (0, h)}.

162

−ℓ r

r + ih−ℓ+ ih

Γ1−Γ3

−Γ2

線分 Γj (j = 1, 2, 3)を次のように定める．

Γ1 = [r, r + ih], Γ2 = [r + ih,−ℓ+ ih], Γ3 = [−ℓ+ ih,−ℓ].

このとき，留数定理 (定理 6.4.1)より

1)

∫ r

−ℓ

f(x)dx+3∑

j=1

∫Γj

f = 2πi∑a∈A

Res(f, a).

ℓ, r →∞とすると，∫ r

−ℓ

f(x)dx−∫ r

−ℓ

f(x+ ih)dx− 2πi∑a∈A

Res(f, a)

=

∫ r

−ℓ

f(x)dx+

∫Γ2

f − 2πi∑a∈A

Res(f, a)

1)= −

∫Γ1

f −∫Γ3

f = −i∫ h

0

f(r + iy)dy + i

∫ h

0

f(−ℓ+ iy)dy(6.33)−→ 0.

\(∧2∧)/

例 6.5.7 α, β ∈ (0,∞), θ ∈ C, −β < Re θ < α とするとき，

Iα,β,θdef=

∫ ∞

−∞

exp(θx)

exp(αx) + exp(−βx)dx =

π

(α + β) sin(π(α− θ)/(α + β)).

証明：sdef= α/(α + β), t

def= β/(α + β), u

def= θ/(α + β)に対し，積分変数の変換より

Iα,β,θ = Is,t,u/(α + β). よって Is,t,u = π/ sin(π(s− u))を示せばよい．今，

g(z)def= exp(uz), h(z)

def= exp(sz) + exp(−tz), f(z)

def= g(z)/h(z).

以下は容易に確かめることができる．

1) h(z) = 0 ⇐⇒ z = (2n+ 1)πi, n ∈ Z.

2) h′(πi) = s exp(sπi)− t exp(−tπi) = exp(sπi) 6= 0.

3) g(z + 2πi) = exp(2uπi)g(z), h(z + 2πi) = exp(2sπi)h(z).

163

4) |h(z)| ≥

{exp(sRe z)− 1, Re z ≥ 0なら,

exp(t|Re z|)− 1, Re z ≤ 0なら.

1) より πiは 0 ≤ Im z ≤ 2πの範囲で hの唯一の零点で，2)よりその次数は 1である．ゆえに

5) Res(f, πi)問 6.1.3= (g/h′)(πi)

2)= exp((u− s)πi).

さらに x→∞なら，∫ 2π

0

f(x+ iy)dy4)

≤ 2π exp(xReu+ 2π| Imu|)exp(sx)− 1

−→ 0.

x→ −∞でも同様である．以上と補題 6.5.6より

Is,t,u =

∫ ∞

−∞f(x)dx

(6.34)=

∫ ∞

−∞f(x+ 2πi)dx+ 2πiRes(f, πi)

3),5)= exp(2(u− s)πi)Is,t,u + 2πi exp((u− s)πi).

よってIs,t,u =

2πi exp((u− s)πi)

1− exp(2(u− s)πi)= π/ sin(π(s− u)).

\(∧2∧)/

注: 例 6.5.7の Iα,β,θに対し，積分変数の変換より，

Iα,β,θ =

∫ ∞

0

xβ+θ−1

xα+β + 1dx. (6.35)

(6.35)および [吉田 1, p.269, 例 12.4.4 および p.275, 命題 12.5.5]より

Iα,β,0 =1

α + βΓ

(α

α + β

)Γ

(β

α + β

)ここで，Γはガンマ関数である．特にα ∈ (0, 1), β = 1−αとし, 上式と例 6.5.7の結果から次の相補公式 が導かれる．

Γ(α)Γ(1− α) =π

sin πα, α ∈ (0, 1). (6.36)

最後に定積分計算以外の留数定理の応用例を挙げる．この例でも留数定理の使い方は定積分計算の場合とよく似ている．

例 6.5.8 a) (余接・双曲余接の部分分数展開)

coth zdef=

cosh z

sinh z=

1

z−

∞∑n=1

2z

n2π2 + z2, z ∈ C\iπZ, (6.37)

cot zdef=

cos z

sin z=

1

z−

∞∑n=1

2z

n2π2 − z2, z ∈ C\πZ. (6.38)

164

b) (⋆) (正弦・双曲正弦の因数分解)

(6.39)

sinh z = z∞∏n=1

(1 +

z2

n2π2

), z ∈ C, (6.40)

sin z = z∞∏n=1

(1− z2

n2π2

), z ∈ C. (6.41)

証明: a) cot z = i coth(iz) に注意すれば (6.37)と (6.38) は同値である．そこで (6.38)

を示す．z ∈ C\πZを固定し，

f(w)def=

cotw

w − z, w ∈ C\({z} ∪ πZ)

とする. z, nπ (n ∈ Z)は f の一次の極，

1) Res(f, z)問 6.1.3= cot z, Res(f, nπ)

問 6.1.3= 1

nπ−z.

(N + 1)πNπ−Nπ−(N + 1)π 0

ℓN(1 + i)ℓN(−1 + i)

ℓN(1− i)ℓN(−1− i)

また，N ∈ N, ℓNdef= (N + 1

2)π ≥ 2|z|とし，さらにCN を，次の４頂点を持つ正方形の

周とする (向きは反時計回り)．

ℓN(1 + i), ℓN(−1 + i), ℓN(−1− i), ℓN(1− i).

このとき，CN により囲まれる f の極は z, nπ (|n| ≤ N)．したがって留数定理 (定理6.4.1)より

1

2πi

∫CN

f = Res(f, z) +N∑

n=−N

Res(f, nπ)

1)= cot z +

N∑n=−N

1

nπ − z= cot z − 1

z−

N∑n=1

2z

n2π2 − z2.

したがって次を言えばよい．

2)

∫CN

fN→∞−→ 0.

165

そのために以下に注意する．

3) f0(w)def=

cotw

w(w ∈ C\πZ) に対し

∫CN

f0 = 0.

4) supw∈CN

| cotw| ≤ coth ℓ1.

5) supw∈CN

|f(w)− f0(w)| ≤2|z| coth ℓ1

ℓ2N.

まず 3)について，正方形 CN のうち ℓN(1 + i)から反時計回りに ℓN(−1 − i) へ向かう折れ線を g : [0, 1]→ Cと径数づけると，ℓN(−1− i)から反時計回りに ℓN(1 + i)に戻る折れ線は−g(t− 1) (t ∈ [1, 2])と径数づけられる．また，f0は偶関数である．ゆえに問4.2.3より 3)を得る．次に 4)について，CN の虚軸に平行な辺上の点はw = ±ℓN + iy (y ∈ R)と書けるので，exp(iℓN) = (−1)N iに注意すると

| cotw| = |tanh y| ≤ 1.

また，CN の実軸に平行な辺上の点はw = x± iℓN (x ∈ R)と書けるので，問 2.2.1より

2sinh ℓN ≤ | exp(iw)± exp(−iw)| ≤ 2cosh ℓN .

ゆえに| cotw| ≤ coth ℓN ≤ coth ℓ1.

以上より 4)を得る．最後に 5)について，w ∈ CN なら

|w| ≥ ℓN , |w − z| ≥ ℓN − |z| ≥ ℓN/2.

よって|f(w)− f0(w)| =

∣∣∣∣ z cotw

w(w − z)

∣∣∣∣ 4) および上式≤ 2|z| coth ℓ1ℓ2N

.

以上から次のようにして 1)を得る．∣∣∣∣∫CN

f

∣∣∣∣ 3)=

∣∣∣∣∫CN

(f − f0)

∣∣∣∣ (4.12)≤ ∫CN

|f(w)− f0(w)||dw|

5)

≤ 2ℓ(CN)|z| coth ℓ1ℓ2N

=16|z| coth ℓ1

ℓN

N→∞−→ 0.

b) sin z = −isinh (iz) に注意すれば (6.40)と (6.41) は同値である．そこで (6.41)を示す．級数∑∞

n=1z2

n2π2 は z ∈ Cに関し広義一様収束する．したがって補題 5.6.3より (6.41)

右辺は z ∈ Cに関し広義一様収束する．(6.41)右辺をQ(z), q0(z) = z, qn(z) = 1− z2

n2π2

(n ∈ N\{0})とすると命題 5.6.4より

{z ∈ C ; Q(z) = 0} =⋃n∈N

{z ∈ C ; qn(z) = 0} = πZ.

166

かつ z ∈ C\πZに対し

sin′ z

sin z= cot z

(6.38)=

1

z−

∞∑n=1

2z

n2π2 − z2=

∞∑n=0

q′n(z)

qn(z).

従って, 命題 5.6.4より C\πZ上 sin = cQ (cは定数). ところが，

sin z

z=

cQ(z)

z= c

∞∏n=1

(1− z2

n2π2

).

上式で z → 0として c = 1を得る．以上より (6.41)が結論される． \(∧2∧)/

問 6.5.1 c ∈ C\[−1, 1]とする．以下を示せ．(i) I

def=

∫ π/2

−π/2

cos2 θ

c+ sin θdθ =

1

2

∫ π

−π

cos2 θ

c+ sin θdθ.

(ii) I =

∫ π

0

sin2 θ

c+ cos θdθ =

1

2

∫ π

−π

sin2 θ

c+ cos θdθ.

(iii) I =

{π(c−

√c2 − 1), Arg c ∈ (−π/2, π/2]なら,

π(c+√c2 − 1), Arg c 6∈ (−π/2, π/2]なら.

注: 変数変換 x = sin θより I =

∫ 1

−1

√1− x2

c+ xdxとも変形できる.

問 6.5.2 b ∈ C, c ∈ (0,∞), b 6∈ R\(−c, c)とするとき，次を示せ．

Idef=

∫ ∞

−∞

exp(iθx)

x2 − 2bx+ c2dx =

π√c2 − b2

×

{exp(iθσ+), θ ≥ 0なら,

exp(iθσ−), θ ≤ 0なら.

ここで，σ± = b± i√c2 − b2 (例 2.4.4,問 2.4.3参照). 特に∫ ∞

−∞

exp(iθx)

x2 + c2dx =

π exp(−|θ|c)c

.

問 6.5.3 b ∈ R, c ∈ (0,∞), |b| < cとするとき，次を示せ．

Idef=

∫ ∞

−∞

exp(iθx)

x4 − 2bx2 + c2dx

=π

2c√c2 − b2

×

{−τ− exp(iθτ+) + τ+ exp(−iθτ−), θ ≥ 0なら,

τ− exp(−iθτ+)− τ+ exp(iθτ−), θ ≤ 0なら.

ここで，τ± =√

c+b2± i√

c−b2

(問 2.4.3参照).

問 6.5.4 以下を示せ．i)∫ ∞

0

cosh θx

cosh xdx =

π

2 cos(πθ/2), θ ∈ C, |Re θ| < 1. (6.42)

ii) Enをオイラー数 ((5.28) 参照) とするとき，

Indef=

∫ ∞

0

x2n

cosh xdx = En(π/2)

2n+1, n ∈ N. (6.43)

167

注: (6.43)の Inに対し積分変数の変換より,∫ 1

0

(log x)2n

x2 + 1dx =

∫ ∞

1

(log x)2n

x2 + 1dx = In

(6.43)= En(π/2)

2n+1, n ∈ N. (6.44)

また，(2.59), (6.43)より，∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)2k+1=

Ekπ2k+1

22k+2(2k)!, k ∈ N. (6.45)

問 6.5.5 (⋆) 以下を示せ．

cosh z =∞∏n=1

(1 +

4z2

(2n− 1)2π2

), z ∈ C, (6.46)

cos z =∞∏n=1

(1− 4z2

(2n− 1)2π2

), z ∈ C, (6.47)

tanh z = 8∞∑n=1

z

(2n− 1)2π2 + 4z2, z ∈ C\(πi

2+ πiZ), (6.48)

tan z = 8∞∑n=1

z

(2n− 1)2π2 − 4z2, z ∈ C\(π

2+ πZ). (6.49)

(6.46)のヒント：sinh 2z = 2sinh z cosh z を用い，(6.40)に帰着させる．

6.6 ローラン展開

開円板D(a,R) (a ∈ C, R ∈ (0,∞])上の正則関数 f(z) は cn(z − a)n (n ≥ 0)という形の項を持つべき級数に展開できる (テーラー展開, 定理 5.1.1). 一方, フランスの数学者ローラン は，円環領域 D(a,R)\D(a, ρ) (0 ≤ ρ < R) 上の正則関数 f(z) が cn(z − a)n

(n ≥ 0)に加え，c−n(z − a)−n (n ≥ 1) という負べきの項を含む級数に展開できることを示した12 (1843年)．詳しくは次の定理 6.6.1述べるとおりである．定理 6.6.1は定理5.1.1の類似でもある．

定理 6.6.1 a ∈ C, R ∈ (0,∞], ρ ∈ [0, R), f : D(a,R)\D(a, ρ)→ Cを連続とするとき，以下の条件 a), b), c) は同値である．

a) f : D(a,R)\D(a, ρ)→ C は正則である.

b) (円環に対するコーシーの積分表示) ρ < r1 < r2 < R, b ∈ D(a, r2)\D(a, r1) なら，

f(b) =1

2πi

(∫C(a,r2)

−∫C(a,r1)

)f(z)

z − bdz. (6.50)

c) (円環に対するローラン展開)

D(a,R)\D(a, ρ) 上，f = f+ + f−, (6.51)

12実はコーシーも同じ頃に同様の結果を得ており，逸話によると，コーシーは，自分の方が先であると主張した.

168

ここで

f+(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, f−(z) =∞∑n=1

c−n(z − a)−n, (6.52)

cn =1

2πi

∫C(a,r)

f(z)

(z − a)n+1dz. (6.53)

級数 f+は D(a,R) 上絶対収束, f−は C\D(a, ρ) 上絶対収束する．また，係数 cn

(n ∈ Z) は r ∈ (ρ,R)について定数である.

証明: 定理 5.1.1と同じく，a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ a) の順で示す．b ∈ Ddef= D(a,R)\D(a, ρ)

とし，次の正則関数 gb : D\{b} → C を考える:

gb(z) =1

2πi

f(z)

z − b.

a)⇒ b): gbの定義から，点 bは gb の除去可能特異点，または一次の極である．ゆえに，

1) Res(gb, b)(6.7)=

f(b)

2πi.

次に，θ ∈ (−π, π]\{Arg (b−a)}, zj = a+ rj exp(iθ) (j = 1, 2), (したがって b 6∈ [z1, z2])

とし，円周 C(a, r2) (反時計回り)の始点 (=終点)を z2, −C(a, r1) (時計回り)の始点(=終点)を z1 にとる．その上で，区分的 C1 閉曲線 C は次の曲線をこの順で継ぎ足したものとする．

C(a, r2), −[z1, z2], −C(a, r1), [z1, z2].

z1 z2

このとき，

� C は 点 b を反時計まわりに一度囲む．

� また，C は C\D のどの点も囲まない (D(a, ρ) 内の点は逆の向きに一度ずつ囲まれることの相殺により「囲まれない」ことになる)．

したがって，留数定理 (定理 6.4.1)より，

2)

∫C

gb = 2πiRes(gb, b)1)= f(b).

169

ところが，2) 左辺で ±[z1, z2] 上の積分は相殺するので，

3)

∫C

gb =

(∫C(a,r2)

−∫C(a,r1)

)gb.

2),3) より (6.50)を得る．b) ⇒ c): ρ < r1 < r2 < R とする．z ∈ D(a, r2) に対し (5.5)より，

4)

∫C(a,r2)

gz = f+(z) (右辺は絶対収束).

また r2 は任意に R に近くとれるので，4) の右辺は任意の z ∈ D(0, R) に対し絶対収束する．また，z ∈ C\D(a, r1) に対し (5.6)より，

5)

∫C(a,r1)

gz = −f−(z) (右辺は絶対収束).

また r1 は任意に ρ に近くとれるので，5) の右辺は任意の z ∈ C\D(a, ρ) に対し絶対収束する．(6.50), 4), 5) より,

f(z) =

(∫C(a,r2)

−∫C(a,r1)

)gz = f+(z) + f−(z).

次に cnが r ∈ (ρ,R)について定数であることを示す．ρ < r1 < r2 < R, 閉曲線 C は a)

⇒ b) の証明と同じとする．h(z)def= f(z)/(z − a)n+1 (z ∈ D) は正則なので，留数定理

(定理 6.4.1; A1 = ∅ の場合)より，(∫C(a,r2)

−∫C(a,r1)

)h =

∫C

h = 0.

したがって cnは r ∈ (ρ,R)について定数である．c) ⇒ a): 命題 6.1.5で既に示した． \(∧2

∧)/

注: 定理 6.6.1で特に ρ = 0 (したがって，D(a,R)\D(a, ρ) = D(a,R)\{a}) の場合, 展開 (6.51) を孤立特異点 a に関するローラン展開 という．このとき，命題 6.1.5 より，ローラン展開の係数と孤立特異点の分類との対応関係 (6.12)が成立する．問 6.6.1 定理 6.6.1で，あるm ∈ N, ρ ∈ (0, R)に対しM

def= sup

0<|z−a|≤ρ

|z − a|m|f(z)| <∞

とする．このとき，c−n = 0, ∀n ≥ m+ 1 を示せ．

6.7 偏角原理とその応用

次の補題は留数定理と偏角原理 (命題 6.7.2)を結びつける役割を果たす．補題 6.7.1 a ∈ C, R ∈ (0,∞) f : D(a,R)\{a} → Cは正則, aは f の零点または極とする．m(f, a) ∈ Z\{0}を次のように定める．

aが f のm次の零点ならm(f, a) = m,

aが f のm次の極ならm(f, a) = −m.(6.54)

このとき，上記いずれの場合においても aは f ′/f : D(a,R)\{a} → Cの一次の極であり，

Res(f ′/f, a) = m(f, a). (6.55)

170

証明: a が f の零点または極，m(f, a) = m ∈ Z\{0}なら，ある r ∈ (0, R], および正則関数 g : D(a, r)→ C\{0}であり次をみたすものが存在する (命題 5.4.3, 定義 6.1.1)．

f(z) = (z − a)mg(z), z ∈ D(a, r)\{a}.

ゆえに z ∈ D(a, r)\{a}に対し，

f ′(z) = m(z − a)m−1g(z) + (z − a)mg′(z),

したがってf ′(z)

f(z)=

m

z − a+

g′(z)

g(z).

g′/gはD(a, r)上正則なので上式より (6.55)を得る． \(∧2∧)/

注: 補題 6.7.1において, aが f の零点，極いずれの場合においても, あるR0 ∈ (0, R]に対し f : D(a,R0)\{a} → Cは正則かつ零点を持たない．よって r ∈ (0, R0)に対し

m(f, a)(6.55)= Res(f ′/f, a)

(6.5)=

1

2πi

∫C(a,r)

f ′

f

=1

2πi

∫f(C(a,r))

1

zdz

(7.2)= n(f(C(a, r)), 0).

つまりm(f, a)は閉曲線 f(C(a, r))の，原点のまわりの回転数に等しい．

偏角原理を述べるために, さらにいくつかの記号を準備する．U ⊂ Cは開，A ⊂ U

はU 内に集積点を持たず, f : U\A→ Cは正則とする．c ∈ Cに対し関数 f − cの零点集合を f−1(c)と記す：

f−1(c)def= {z ∈ U\A ; f(z) = c}. (6.56)

このとき，零点の非集積性 (系 5.4.5)および 補題 1.6.6より,

D ⊂ U をみたす有界集合Dに対し f−1(c) ∩D, A ∩D は共に有限集合である.

(6.57)

点 a ∈ U が f の零点，または極であるとき，m(f, a) ∈ Z\{0}を (6.54)により定める．D ⊂ U をみたす有界集合Dに対しA∩Dの各点が f の極であるとき，(6.57)に注意して，D内における fの零点の総次数 N(f,D), 極の総次数 P (f,D)を次のように定める:

N(f,D) =∑

a∈f−1(0)∩D

m(f, a),

P (f,D) =∑

a∈A∩D

|m(f, a)|.(6.58)

次に述べる偏角原理は，これらの差N(f,D)−P (f,D)の積分表示式を与える．その証明は留数定理 (定理 6.4.1)と補題 6.7.1を組み合わせて得られる．用語の規約: 区分的C1閉曲線C ⊂ C, および a ∈ C\C に対し用語「C は a を反時計回りに一度囲む」,「C は a を囲まない」の理解は留数定理 (定理 6.4.1) 直前に規約し

171

た通りで，厳密には定義 7.1.4で定めるものとする．さらに，区分的C1閉曲線 C ⊂ Cおよび有界集合 D ⊂ C\C が以下をみたすとき，C は D を反時計回りに一度囲むという：

∂D ⊂ C,　 (6.59)

C は D の各点を反時計回りに一度囲む, (6.60)

また，C は C\D の点を囲まない. (6.61)

直感的には，Dは「Cの内部」である．

命題 6.7.2 (偏角原理) U ⊂ Cは開，A ⊂ U はU内に集積点を持たず, f : U\A→ Cは正則とする．また区分的C1閉曲線C ⊂ U は有界集合D ⊂ U\Cを反時計回りに一度囲むとする ((6.59)–(6.61)参照)．このとき，A∩Dの各点がfの極，かつ (f−1(0)∪A)∩C = ∅なら，

1

2πi

∫C

f ′

f= N(f,D)− P (f,D), (6.62)

ここでN(f,D), P (f,D)は (6.58)により定める．

証明：仮定と，零点の非集積性 (系 5.4.5)よりBdef= f−1(0) ∪ A は U 内に集積点を持

たず，f ′/f は U\B上正則である．(6.57) より B ∩D は有限集合かつ，(6.60) より C

は B ∩ D の各点を反時計まわりに一度囲む．また，(6.59) より D ⊂ D ∪ C. これとB ∩C = ∅ より B\D = B\(D ∪C) ⊂ B\D. よって，(6.61) より C はB\D のどの点も囲まない．以上と留数定理 (定理 6.4.1)より

1

2πi

∫C

f ′

f

(6.28)=

∑a∈B∩D

Res(f ′/f, a)(6.55)=

∑a∈B∩D

m(f, a)

=∑

a∈f−1(0)∩D

m(f, a) +∑

a∈A∩D

m(f, a)(6.58)= N(f,D)− P (f,D).

\(∧2∧)/

注: 補題 6.7.1直後の注と同様の考察より，(6.62)の両辺は閉曲線 f(C)の，原点のまわりの回転数に等しい．命題 6.7.2が「偏角原理」と呼ばれるのはこの事実に由来する．偏角原理もコーシーが示した (f が極を持たない場合は 1831年, f が極を持ちうる場合は 1855年).

例 6.7.3 n ∈ N, c0, c2n+1 ∈ (0,∞), c1, ..., c2n−1 ∈ R とし，次の多項式を考える．

f(z) =n∑

j=0

c2j+1z2j+1 + c0.

このとき，右半平面Re z > 0内の fの零点の総次数Nについて，nが偶数ならN = n,

nが奇数ならN = n+ 1である．証明: y ∈ Rに対し

f(iy) = in∑

j=0

(−1)jc2j+1y2j+1 + c0.

172

特にRe f(iy) = c0より，fは虚軸上に零点を持たない．したがって十分大きな r > 0に対し右半平面内の f の零点は半円板D = {z ∈ C ; Re z > 0, |z| < r} に含まれる．ゆえに偏角原理 (命題 6.7.2)より

1) N =1

2πi

∫∂D

f ′

f.

今，C+(r) = {z ∈ C ; Re z ≥ 0, |z| = r}とすると

2)

∫∂D

f ′

f=

∫C+(r)

f ′

f−∫[−ir,ir]

f ′

f.

今，z →∞のとき zf ′(z)/f(z)→ 2n+ 1. これと問 6.3.1より r →∞のとき

3)

∫C+(r)

f ′

f−→ (2n+ 1)πi.

同じく r →∞のとき

4)

∫[−ir,ir]

f ′

f

問 4.4.5= Log f(ir)− Log f(−ir) 問 2.3.7−→ (−1)nπi.

1)–4)からN =

1

2πi((2n+ 1)πi− (−1)nπi) = n+

1− (−1)n

2.

以上より結論を得る． \(∧2∧)/

次にルーシェの定理 (命題 6.7.5)を述べる. そのためにその証明の鍵になる部分を補題として準備する．

補題 6.7.4 V ⊂ Cは開，h : V → Cは正則，Cは V 内の区分的C1閉曲線, W ⊂ Cは星形領域，h(C) ⊂ W ⊂ C\{0}とする．このとき，∫

C

h′

h= 0. (6.63)

証明：h(C)はW 内の区分的C1閉曲線で，∫C

h′

h=

∫h(C)

1

zdz.

ここでW 3 z 7→ 1/zは正則なので星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) より上式右辺= 0. \(∧2

∧)/

命題 6.7.5 (ルーシェの定理, 1862年) U ⊂ Cは開, f, g : U → Cは正則，D ⊂ U は有界, 区分的 C1閉曲線 C ⊂ U\C はDを反時計回りに一度囲むとする ((6.59)–(6.61)参照)．さらに次の条件を仮定する．

C上 |f − g| < |g|. (6.64)

このとき，D内において f, gの零点の総次数は等しい, すなわち (6.58)の記号で，

N(f,D) = N(g,D). (6.65)

173

証明：零点の非集積性 (系 5.4.5)より Adef= f−1(0) ∪ g−1(0) は U 内に集積点を持たな

い. ゆえに 補題 1.6.6より U\A は開である. また，hdef= f/g は U\A 上正則であ

る．また仮定 (6.64)より C ⊂ U\A, C上 |h − 1| < 1. よって h(C) ⊂ D(1, 1). 以上から V = U\A, W = D(1, 1)として補題 6.7.4の仮定がみたされ, (6.63)を得る．一方，h′ = (f ′g − fg′)/g2. よって

1)h′

h=

f ′

f− g′

g.

また，偏角原理 (命題 6.7.2)より，

2)1

2πi

∫C

f ′

f= N(f,D),

1

2πi

∫C

g′

g= N(g,D).

以上より，

N(f,D)−N(g,D)2)=

1

2πi

(∫C

f ′

f−∫C

g′

g

)1)=

1

2πi

∫C

h′

h

(6.63)= 0.

\(∧2∧)/

例 6.7.6 c0, ..., cn ∈ Cに対しf(z)

def=

n∑j=0

cjzj.

今，ある r ∈ (0,∞), k = 0, .., nが次の条件をみたすとする．∑0≤j≤nj =k

|cj|rj < |ck|rk. (6.66)

このとき N(f,D(0, r)) = k．特に cn 6= 0なら十分大きい r に対し (6.66)が成立し,

N(f,D(0, r)) = n. これにより代数学の基本定理 (問 5.3.2)が再証明される．証明: 条件 (6.66)より ck 6= 0. また g(z)

def= ckz

kに対し円周 |z| = r上，

|f − g| ≤∑0≤j≤nj =k

|cj|rj < |ck|rk = |g|.

これとルーシェの定理よりN(f,D(0, r)) = N(g,D(0, r)). 一方，gのD(0, r)内の零点は 0のみで次数は k. ゆえにN(g,D(0, r)) = k. 以上より結論を得る． \(∧2

∧)/

最後に開写像定理 (命題 6.7.8)を述べる．そのために，その証明の鍵になる部分を補題として準備する．

補題 6.7.7 a ∈ C, R ∈ (0,∞), f : D(a,R) → Cは正則，f 6≡ f(a)とする．このとき,

ある r ∈ (0, R), および ε ∈ (0,∞)に対し，D(f(a), ε) ⊂ f(D(a, r)).

証明: f 6≡ f(a)と零点の孤立性より，ある r ∈ (0, R)に対し f(D(a, r)\{a}) 63 f(a).　特に |f − f(a)|は円周C(a, r)上で正の最小値 ε > 0 をとる．このとき，

174

1) N(f − b,D(a, r)) = N(f − f(a), D(a, r)), ∀b ∈ D(f(a), ε).

　実際，z ∈ C(a, r)に対し

|(f(z)− b)− (f(z)− f(a))| = |b− f(a)| < ε ≤ |f(z)− f(a)|.

ゆえにルーシェの定理 (命題 6.7.5)より, 1)を得る．次に，D(f(a), ε) ⊂ f(D(a, r))を示す．aはf−f(a)の零点なので，N(f−f(a), D(a, r)) ≥1. よって 1)より N(f − b,D(a, r)) ≥ 1. よってある c ∈ D(a, r)に対し b = f(c) ∈f(D(a, r)). b ∈ D(f(a), ε)は任意なので，D(f(a), ε) ⊂ f(D(a, r))． \(∧2

∧)/

命題 6.7.8 (開写像定理) D ⊂ Cを領域，f : D → Cを正則かつ定数ではないとする．このとき U ⊂ Dが開なら f(U)も開である．

証明: a ∈ U を任意とする．このとき，ある ε > 0に対しD(f(a), ε) ⊂ f(U)を言えばよい．D(a,R) ⊂ U となるR ∈ (0,∞)に対し，f が定数でないことと一致の定理よりD(a,R)上 f 6≡ f(a). そこで補題 6.7.7の r, εをとるとD(f(a), ε) ⊂ f(D(a, r)) ⊂ f(U).

\(∧2∧)/

注：命題 6.7.8と問 5.4.5より最大値原理 (系 5.4.7)の別証明が得られる．

問 6.7.1 U ⊂ Cは開, g : U → Cは正則, Dは有界かつ開でD ⊂ U をみたし区分的C1

閉曲線Cにより反時計回りに囲まれるとする．さらに g−1(0) ∩ C = ∅を仮定する．このとき，ある ε ∈ (0,∞)が存在し，maxz∈C |f(z)− g(z)| < ε をみたす任意の正則関数f : U → Cに対し (6.65) が成立すること示せ．

問 6.7.2 ρ ∈ (0,∞), f : C\D(0, ρ)→ Cを正則とする．また，無限遠点∞が定義 6.2.6

の意味で f の零点，または極であるとしm(f,∞)を補題 6.7.1と同じく定める. このとき，r ∈ (ρ,∞) に対し ∫

C(0,r)f ′/f = −m(f,∞)を示せ, ここで円周C(0, r)の向きは反

時計回りとする．ヒント：問 4.2.2より補題 6.7.1に帰着する．

問 6.7.3 (⋆) 有限集合A ⊂ Cに対し f : C\A → Cは正則, Aの各点は f の極，f の零点集合 f−1(0)は有限集合とする．また，無限遠点∞が定義 6.2.6の意味で f の零点，または極であるとしm(f,∞)を (6.54)と同じく定める. このとき，無限遠点∞を含めると，(零点の総次数)=(極の総次数), すなわちm(f,∞) +

∑a∈f−1(0)∪Am(f, a) = 0を

示せ．ヒント：問 6.7.2.

175

7 (⋆)留数定理の証明

7.1 回転数

留数定理 (定理 6.4.1)は本節で述べる定理 7.1.10から導かれる．定理 7.1.10は「回転数」という概念に基づいて定式化される. そこでまず回転数について述べる．回転数の定義を動機づける簡単な例から始める．

例 7.1.1 m ∈ N\{0}, r : [0, 2mπ] → (0,∞) は区分的に C1, r(0) = r(2mπ), a ∈ Cとし，C±を次のように径数づけられる閉曲線とする．

g±(t) = a+ r(t) exp(±it).

閉曲線C+は点 aの周りを反時計まわりにm周し，C−は点 aの周りを時計まわりにm

周する．C±に対し，1

2πi

∫C±

1

z − adz = ±m.

実際， ∫C±

1

z − adz =

∫ 2πm

0

(r′(t)± ir(t)) exp(±it)r(t) exp(±it)

dt

= log r(2mπ)− log r(0)± 2πim = ±2πim.

両辺を 2πiで割って結論を得る． \(∧2∧)/

例 7.1.1は，点 aを通らない区分的C1閉曲線Cに対し

「Cが aのまわりを反時計まわりに回った回数」 (7.1)

という概念が明確であるとすれば，それが次の線積分に等しいことを示唆する．

n(C, a)def=

1

2πi

∫C

1

z − adz. (7.2)

ところが，Cが複雑な閉曲線の場合 (7.1) の幾何学的定式化がむしろ非自明である．そこで我々は (7.1)の定義として上の線積分 n(C, a) を採用する方針をとる (命題 7.1.3).

その前に次の補題で，C が閉曲線と限らない場合も含め，線積分 n(C, a)の性質を調べる．

補題 7.1.2 区分的C1曲線C ⊂ C, および点 a ∈ C\Cに対し，n(C, a)を (7.2), さらにρ(C, a)を次のように定める．

ρ(C, a)def= inf

z∈C|z − a|.

このとき，a, b ∈ C\Cに対し，

|n(C, a)| ≤ ℓ(C)

2πρ(C, a), (7.3)

|n(C, a)− n(C, b)| ≤ |a− b|ℓ(C)

2πρ(C, a)ρ(C, b). (7.4)

176

また，Cの始点を z, 終点をwとすると，

exp(2πin(C, a)) =w − a

z − a. (7.5)

特に，Cが閉曲線なら n(C, a) ∈ Z.

証明：(7.3):

2π|n(C, a)| ≤∫C

1

|z − a||dz| ≤ ℓ(C)

ρ(C, a).

(7.4): ∣∣∣∣ 1

z − a− 1

z − b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a− b

(z − a)(z − b)

∣∣∣∣ ≤ |a− b|ρ(C, a)ρ(C, b)

.

これを用い，(7.3)と同様に積分を評価する．(7.5): Cを g : [α, β]→ Cにより径数づけ, G,H : [α, β]→ Cを次のように定める．

G(t) =

∫ t

α

g′(s)

g(s)− ads, H(t) = exp(−G(t))(g(t)− a).

gは区分的C1なので，t 7→ g′(t)/(g(t)− a)はある有限集合D = {t1 < t2 < ... < tn} ⊂[α, β] を除いて連続である．ゆえに，t ∈ [α, β]\Dに対し，

1) G′(t) =g′(t)

g(t)− a.

したがって，H ′(t) = exp(−G(t))(−G′(t)(g(t)− a) + g′(t))

1)= 0.

以上からH は各 [tj−1, tj]上定数である (j = 1, ..., n + 1, t0def= α, tn+1

def= β). ところが

Hは [α, β]上連続なのでHは [α, β]上定数である．その結果，

2) exp(G(t)) =g(t)− a

z − a, t ∈ [α, β].

2)で特に t = βとし，G(β) = 2πin(C, a), g(β) = wに注意すれば，(7.5)を得る．特に，Cが閉曲線なら z = wより exp(2πin(C, a)) = 1. よって n(C, a) ∈ Z. \(∧2

∧)/

命題 7.1.3 区分的C1閉曲線C ⊂ Cに対し，(7.2)で定まる整数 n(C, a)を，閉曲線C

の aに関する回転数 という．回転数 n(C, a)は以下の性質を持つ．

a) あるR ∈ (0,∞)が存在し全ての a 6∈ D(0, R)\Cに対し n(C, a) = 0.

b) Dmdef= {a ∈ C\C ; n(C, a) = m} (m ∈ N)とする. ∀m ∈ Nに対し Dm は開，

∂Dm ⊂ C. また，D0は非有界，Dm (m ≥ 1)は有界である．

c) 開集合A ⊂ C\Cが連結なら，∃m ∈ N, A ⊂ Dm.

証明：a): Rを十分大きくとれば全ての a 6∈ D(0, R)\Cが ℓ(C) < 2πρ(C, a)をみたす．このとき (7.3)より n(a, C) = 0.

b): 補題 7.1.2より a 7→ n(C, a) (C\C → Z)は連続．ゆえに問 1.6.11より各Dmは開で

177

ある．また，m ∈ Nを任意に固定し，Gm =⋃

n∈N\{m}Dn とすると，Dm, Gmは共に開，C\C = Dm ∪Gm, Dm ∩Gm = ∅. ゆえに問 1.6.12より ∂Dm ∩ (C\C) = ∅, すなわち ∂Dm ⊂ C. さらに a)よりD0は非有界，Dm (m ≥ 1)は有界である．c): 補題 7.1.2より a 7→ n(C, a) (C\C → Z)は連続．ゆえに問 1.6.11より A 3 a 7→n(C, a)は定数である． \(∧2

∧)/

注：命題 7.1.3の応用上での典型例は，Cが単純閉曲線，Cの外側がD0, 内部がD1であり, D0, D1はともに連結, ∂D0 = ∂D1 = Cという場合である．一方，一般には開集合Dmは連結とは限らない．下図左側では，小円内部，大円外部の合併がD0だが，このD0は連結ではない．また下図右側では隣接する円周内部の合併がD1であるが，このD1は連結ではない．

定義 7.1.4 C ⊂ Cは区分的C1閉曲線, a ∈ C\C とする．▶ n(C, a) = m なら，C は aを反時計回りに m 度囲む という．特に m = 0 の場合，Cは aを囲まないともいう．また，m < 0 の場合，Cは aを時計回りに |m| 度囲む とも言う．

注: C ⊂ Cは区分的C1閉曲線, a ∈ C\C とする．a) Cが a ∈ Dに関し，うまく分割できるなら，Cは aを反時計回りに一度囲む (定義

7.1.6,系 7.1.9).

b) aを端点として含む半直線Lであり，C ∩ L = ∅ をみたすものが存在すれば，Cはaを囲まない (例 7.1.5).

例 7.1.1で述べた閉曲線C±に対し n(C±, a) = ±m であるが，より抽象的条件から回転数が求まる例を述べる．例 7.1.5 U ⊂ Cは領域，f : U → Cは正則，C ⊂ U は区分的C1閉曲線, a ∈ U\Cとする．次の a) または b)を仮定すれば∫

C

f(z)

z − adz = 0.

特に U = C, f ≡ 1として n(C, a) = 0．

178

a) U は星形かつ，aを端点として含む半直線 Lであり，C ∩ L = ∅ をみたすものが存在する．

b) (⋆) C ⊂ D ⊂ U , Dは単連結領域，a 6∈ D.

証明：a): 領域U\Lは星形，C ⊂ U\LかつU\L 3 z 7→ f(z)/(z− a) は正則．したがって星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)より結論を得る．b): D 3 z 7→ 1/(z − a) は正則．したがって単連結領域に対するコーシーの定理 (定理4.7.4)より結論を得る． \(∧2

∧)/

注: 領域D ⊂ C, D 6= Cに対し，次が成立する．

Dは単連結 ⇐⇒ 任意の区分的C1閉曲線C ⊂ D, a 6∈ Dに対し n(C, a) = 0.

(⇒)は例 7.1.5 b)による．(⇐)は [杉浦, II, p.381,定理 13.4]を参照されたい．

回転数１を持つ閉曲線の例は例 7.1.1でも述べたが，より一般的かつ幾何的な十分条件を述べる (定義 7.1.6, 系 7.1.9)．また，その過程で，コーシーの積分表示 (5.1) を一般化する (命題 7.1.8).

定義 7.1.6 閉曲線 (g(t))t∈[α,β]を C と記す (Cの向きはgの始点から終点に向かう向き)．▶ α ≤ γ1 < γ2 < βとするとき，

� 曲線C1を (g(t))t∈[γ1,γ2]により定め，また

� 曲線C2を (g(t))t∈[γ2,β]と (g(t))t∈[α,γ1]の継ぎ足しとする．

閉曲線Cに対し上のような曲線C1, C2の組を，Cの分割と呼ぶ．▶ a ∈ C\Cとする．Cの分割 C1, C2および ℓ1, ℓ2 ∈ C\{0} が存在し，次の二条件をみたすとき，Cは aに関し, うまく分割できるという．

� 半直線 Lj = {a+ tℓj ; t ≥ 0} (j = 1, 2)に対し

Cj ∩ Lj = ∅, j = 1, 2. (7.6)

� zj をCjの始点，θj = Arg (zj − a) (j = 1, 2)とするとき，

0 < θ2 − θ1 < 2π, θ1 < Arg ℓ2 < θ2 < Arg ℓ1 < θ1 + 2π. (7.7)

179

z2

z1

L2

L1

a

C1

C2

「うまく分割できる」という条件は一見複雑だが，極めて適用範囲が広い13．まず簡単な例を挙げる．

例 7.1.7 r : [−π, π] → [0,∞) は区分的に C1, r(−π) = r(π)とし，閉曲線 g(t)def=

r(t) exp(it), (t ∈ [−π, π]) をCで表し，D ⊂ Cを次のように定める．

D = {r exp(it) ; t ∈ [−π, π], 0 ≤ r < r(t)}.

このとき，閉曲線Cは, 任意の点 a ∈ Dに関しうまく分割できる.

証明：点 aを通り虚軸に平行な直線とCの交点を z1, z2 (Im z1 < 0 < Im z2), z1から反時計回りに z2に向かう Cの弧を C1，z2から反時計回りに z1に向かう Cの弧を C2とする．このとき，z ∈ C1なら Re a ≤ Re z, z ∈ C2なら Re z ≤ Re a. 一方，ℓ1

def= −1,

ℓ2def= 1に対し，

L1 = {a− t ; t ≥ 0}, L2 = {a+ t ; t ≥ 0}.

よって (7.6)を得る．また，θ1 = Arg (z1 − a) = −π/2, θ2 = Arg (z2 − a) = π/2,

Arg ℓ2 = 0, Arg ℓ1 = π. よって (7.7)を得る． \(∧2∧)/

注: 例 7.1.7の D は連結とは限らない．例えば r(t) = | cos t|に対し，D1 = {z ∈D ; Re z > 0}, D2 = {z ∈ D ; Re z < 0} とすればD1 6= ∅, D2 6= ∅, D = D1 ∪ D2,

D1 ∩D2 = ∅.

次の命題の証明は 7.2節で与える．

命題 7.1.8 (うまく分割できる閉曲線に対するコーシーの積分表示) 区分的C1閉曲線C ⊂ Cが点 a ∈ C\C に関し, うまく分割できるとする (定義 7.1.6)．また，C ∪ {a} ⊂D ⊂ C, Dは開かつ aに関し星形，f : D → Cは正則とする．このとき，

f(a) =1

2πi

∫C

f(z)

z − adz. (7.8)

13[Ahl, p.116, Lemma 2]でもこの条件が使われている (ℓ2 = −ℓ1 = 1の場合).

180

系 7.1.9 区分的 C1閉曲線 C ⊂ Cが点 a ∈ C\C に関し, うまく分割できるとする (定義 7.1.6)．このとき，n(C, a) = 1.

証明：うまく分割できる閉曲線に対するコーシーの積分表示 (命題 7.1.8) でD = C,f ≡ 1とすればよい． \(∧2

∧)/

回転数を用いることにより，コーシーの定理を次のように一般化できる (定理 7.1.10,

証明は 7.3節で述べる)．定理 7.1.10 は非単連結領域にも適用できる利点を持ち，留数定理 (定理 6.4.1)を導く．定理 7.1.10 (一般化されたコーシーの定理) D ⊂ Cは開, f : D → Cは正則，区分的C1閉曲線C1, ..., Cn ⊂ D (n ≥ 1)は次の条件をみたすとする．

a 6∈ D =⇒ n(C1, a) + ...+ n(Cn, a) = 0. (7.9)

このとき， ∫C1

f + ...+

∫Cn

f = 0. (7.10)

注：定理 7.1.10において特にDが単連結なら，例 7.1.5より n(Cj, a) = 0 (j = 1, ..., n)

となり (7.9)が成立する．したがって定理 7.1.10は定理 4.7.4の一般化である．

7.2 命題 7.1.8の証明

次の補題は (7.8)を示すための鍵となる．補題 7.2.1 区分的 C1閉曲線 C ⊂ Cが点 a ∈ C\C に関し, うまく分割できるとする(定義 7.1.6)．また，f : C\{a} → Cは正則とする．このとき，D(a, r) ∩ C = ∅をみたす r > 0に対し ∫

C

f =

∫C(a,r)

f, (7.11)

ここで，円周C(a, r)の向きは反時計回りとする．

z2

z1

L2

L1

a

w2

w1

C1

C2

C1(a, r)

C2(a, r)

181

証明：Cの分割 C1, C2および ℓ1, ℓ2 ∈ C\{0}が (7.6), (7.7)をみたすとする．また，線分 [a, zj]と円周C(a, r)の交点をwjとする (j = 1, 2)．さらに，C1(a, r)をw1から反時計回りにw2に向かうC(a, r)の弧，C2(a, r)をw2から反時計回りにw1に向かうC(a, r)

の弧とする．閉曲線 Γ1,Γ2を次のように定める．

1)

{Γ1 = C1 + [z2, w2]− C1(a, r) + [w1, z1],

Γ2 = C2 + [z1, w1]− C2(a, r) + [w2, z2].

このとき，

2) Γj ∩ Lj = ∅ (j = 1, 2).

対称性より，j = 1の場合を示せば十分である．(7.6)よりC1∩L1 = ∅. 次に z ∈ C\{a},Arg (z − a) ∈ [θ1, θ2] とするとき，(7.7)よりArg (z − a) 6= Arg ℓ1, すなわち z 6∈ L1. 特に [zj, wj] ∩ L1 = ∅ (j = 1, 2), C1(a, r) ∩ L1 = ∅.また，次に注意する．

3) C = C1 + C2, C(a, r) = C1(a, r) + C2(a, r).

1)において±[wj, zj] (j = 1, 2)がそれぞれ一度ずつ現れることによる相殺と 3)から，

4)

(∫

Γ1

+

∫Γ2

)f

1)=

(∫C1

+

∫C2

−∫C1(a,r)

−∫C2(a,r)

)f

3)=

(∫C

−∫C(a,r)

)f.

f は星形領域C\L1上正則かつ 1)より Γ1 ⊂ D\L1. よって星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)より，∫

Γ1f = 0. 同様に ∫

Γ2f = 0. これらと 4)より結論を得る．

\(∧2∧)/

命題 7.1.8の証明：まず概略を述べる．目標は次式である．∫C

f(z)

z − adz = 2πif(a).

� まず星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) より，左辺の f(z)を定数 f(a)

に置き換える (証明中 1)参照)．

� 次に補題 7.2.1より，C上の線積分を，aを中心とした円周C(a, r)の線積分に置き換える (C(a, r) ∩ C = ∅, 証明中 2)参照)．

これら二段階の操作により，左辺の積分を例 4.2.4に帰着させる．以下でより詳しく述べる．補題 5.4.2より，次の関数 ga(z) (z ∈ D) は正則である：

ga(z) =

f(z)− f(a)

z − a, z ∈ D\{a}なら,

f ′(a), z = aなら.

ゆえに，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)より

182

1)

∫C

ga = 0.

一方 z 7→ 1/(z − a)はC\{a}上正則である．そこでC(a, r) ∩ C = ∅をみたす r > 0をとれば，補題 7.2.1, 例 4.2.4より

2)

∫C

1

z − adz

(7.11)=

∫C(a,r)

1

z − adz

(4.18)= 2πi.

したがって， ∫C

f(z)

z − adz

1)= f(a)

∫C

1

z − adz

2)= 2πif(a).

\(∧2∧)/

7.3 定理 7.1.10の証明

本節で定理 7.1.10を証明する．最初に簡単な場合に限定し，本質 (仮定 (7.9)から (7.10)

が導かれる仕組み) を理解することにする．幸い，この簡単な場合だけでも多くの応用例に適用できる．また，後に述べる一般の場合の証明は，技術的により煩雑ではあるが, 同じ考え方に基づく．したがって，ひとたび簡単な場合の証明を通じて考え方を理解すれば，一般の場合の証明も分かりやすくなる．定理 7.1.10の証明 (簡単な場合): Dが有界，境界 ∂Dは区分的C1閉曲線によって径数づけられ，かつ ∂Dは任意の z ∈ Dに関しうまく分割できる (定義 7.1.6) と仮定する．このとき，コーシーの積分表示 II(命題 7.1.8)より

f(z) =1

2πi

∫∂D

f(w)

w − zdw, ∀z ∈ D. (7.12)

よって，n∑

j=1

∫Cj

f(z)dz(7.12)=

1

2πi

n∑j=1

∫Cj

(∫∂D

f(w)

w − zdw

)dz

=1

2πi

n∑j=1

∫∂D

(f(w)

∫Cj

1

w − zdz

)dw

(7.2)= −

n∑j=1

∫∂D

f(w)n(Cj, w)dw

= −∫∂D

f(w)

(n∑

j=1

n(Cj, w)

)dw

(7.9)= 0.

なお，上式 2行目における積分順序交換は関数Cj × ∂D 3 (z, w) 7→ f(w)/(w− z) の連続性より正当化される [吉田 1, p.353,系 15.1.3]． \(∧2

∧)/

定理 7.1.10の証明 (一般の場合):

183

D

Dε

まずDを有界とする．このときの証明の道筋は先に述べた「簡単な場合」と同じだが，(7.12)は一般には成立しない．そこでDを，以下に述べるDε ⊂ Dの内点全体

◦Dε

に置き換えて考え，(7.12)の代用物として (7.13)を用意する．まずDε ⊂ Dを定義する．C

def=⋃n

j=1 Cjは有界閉，ゆえに補題 1.6.4より

ρ(C,Dc)def= inf

(z,w)∈C×Dc|z − w| > 0.

そこで 0 < ε < ρ(C,Dc)/√2とし，Iεを次の形の閉正方形全体とする．

I = {z ∈ C ; Re z ∈ [k1ε, (k1 + 1)ε], Im z ∈ [k2ε, (k2 + 1)ε]}, k1, k2 ∈ Z.

さらに，Dε ⊂ Dを次のように定める (図中，矢印つきの折れ線で囲まれた正方形の合併)．

Dε =⋃I∈IεI⊂D

I.

ここで，補題をふたつ述べる.

補題 7.3.1 z ∈◦Dε ⇐⇒ zを含む全ての I ∈ Iεに対し I ⊂ D.

次の補題を述べるために，∂Dεは折れ線Γ1, ...,Γm (図中，矢印つきの折れ線)の合併として表されることに注意する．また，各Γk (k = 1, ...,m)の向きは，進行方向左側がDε，進行方向右側がDc

εとなるようにとる (図中の矢印の向き)．このとき，

補題 7.3.2

f(z) =1

2πi

m∑k=1

∫Γk

f(w)

w − zdw, ∀z ∈

◦Dε . (7.13)

補題 7.3.1, 補題 7.3.2の証明はひとまず後回しとし，定理 7.1.10の証明を続ける．以下，1),2)を順次示し，その後それらと (7.13)を用い，(7.10)を導く．

1) C ⊂◦Dε.

184

εのとり方から，次を言えばよい．

z ∈ C, ρ(z,Dc) >√2ε =⇒ z ∈

◦Dε

上の対偶を示す．z 6∈◦Dεに対し, 補題 7.3.1よりある J ∈ Iεが z ∈ J 6⊂ Dをみたす．そ

こでw ∈ J\Dをとると ρ(z,Dc) ≤ |z − w| ≤√2ε.

2) w 6∈◦Dε =⇒ n(C1, w) + ...+ n(Cn, w) = 0.

w 6∈◦Dεに対し, 補題 7.3.1より, ある J ∈ Iεがw ∈ J 6⊂ D をみたす．そこで a ∈ J\D

をとる. a, wは J 内で線分によって結べ，1) よりC ∩ J = ∅. ゆえに a, wはC\C内で線分によって結べる．これと命題 7.1.3より n(Cj, a) = n(Cj, w) (j = 1, ..., n). これと(7.9)より 2)を得る．1), 2), (7.13)を用い，次のように (7.10)を得る．

n∑j=1

∫Cj

f(z)dz1),(7.13)=

1

2πi

n∑j=1

m∑k=1

∫Cj

(∫Γk

f(w)

w − zdw

)dz

=1

2πi

n∑j=1

m∑k=1

∫Γk

(f(w)

∫Cj

1

w − zdz

)dw

(7.2)= −

n∑j=1

m∑k=1

∫Γk

f(w)n(Cj, w)dw

= −m∑k=1

∫Γk

f(w)

(n∑

j=1

n(Cj, w)

)dw

2)= 0.

なお，上式 2行目における積分順序交換は関数Cj × Γk 3 (z, w) 7→ f(w)/(w − z) の連続性より正当化される [吉田 1, p.353,系 15.1.3]．次にDを非有界とする．命題 7.1.3より，あるR > 0に対し

3) C ⊂ D(0, R)かつ n(Cj, a) = 0 (∀a 6∈ D(0, R), j = 1, ..., n).

このRに対しD ∩D(0, R)は有界な開集合であり，a 6∈ D ∩D(0, R)に対し

4) n(C1, a) + ...+ n(Cn, a) = 0.

実際，a 6∈ D∩D(0, R)なら a 6∈ Dまたは a 6∈ D(0, R)であるが，前者なら (7.9)より,後者なら3)より，4)を得る．以上より定理の仮定がDについてみたされれば，D∩D(0, R)

についてもみたされる．よってDが有界な場合の結果から (7.10)を得る． \(∧2∧)/

補題 7.3.1の証明: Eε(z) ⊂ Cを次のように定める．

Eε(z)def=⋃I∈IεI∋z

I.

まずEε(z)が以下の三通りの場合に分類されることに注意する．i) zがただひとつの I ∈ Iεに含まれる場合. このとき，Eε(z) = I.

185

ii) zが, 隣接する I1, I2 ∈ Iεの共通の辺上にあり, どちらの頂点でもない場合. このとき，Eε(z) = I1 ∪ I2.

iii) zが I1, ..., I4 ∈ Iεに頂点として共有される場合. このとき，Eε(z) = I1 ∪ ... ∪ I4.

(⇒) i)の場合は I ⊂ Dを言えばよい．ところがこの場合，仮定から特に z ∈ Dεであることと，Dεの定義より I ⊂ Dが従う.

ii), iii) の場合は Ij ⊂ D (∀j = 1, ..., k, ii) なら k = 2, iii) なら k = 4)を言えばよい．もしある j = 1, ..., kに対し Ij 6⊂ Dなら，Ij はDεの定義式右辺に現われるどの I とも異なるので，それら全ての I に対し

◦Ij ∩I = ∅, したがって

◦Ij ∩Dε = ∅, すなわち

◦Ij⊂ (Dε)

c. これと z ∈ ∂Ij をあわせると zのいくらでも近くに (Dε)cの点が存在する．

これは z ∈◦Dεに反する. よって Ij ⊂ D (∀j = 1, ..., k).

(⇐) Eε(z)に関し，i), ii), iii) いずれの場合も z ∈ Eε(z)◦. 一方，仮定「zを含む全ての

I ∈ Iεに対し I ⊂ D」よりEε(z) ⊂ Dε. よって z ∈ Eε(z)◦ ⊂

◦Dε. \(∧2

∧)/

補題 7.3.2の証明: z ∈◦Dεに対し，Dεの定義から z ∈ Iz ⊂ Dをみたす Iz ∈ Iεをひと

つ選ぶことができる．この Izに対し z ∈◦Iz, または z ∈ ∂Iz\∂Dεである．

i) z ∈◦Izの場合．I ∈ Iε, I ⊂ Dなら

1

2πi

∫∂I

f(w)

w − zdw =

{f(z), I = Izなら,

0, I 6= Izなら.

実際，I = Izの場合は, コーシーの積分表示 (5.1) 証明直後の注より上式を得る．また，I 6= Izの場合は例 7.1.5より上式を得る．I ⊂ Dをみたす I ∈ Iεについて上式両辺それぞれの和をとることにより，

1

2πi

∑I∈IεI⊂D

∫∂I

f(w)

w − zdw = f(z).

ところが，上式右辺の積分において，I, I ′ ∈ Iεが辺を共有するとき，共有される辺上での I, I ′の向きが逆であることから辺上での積分は打ち消される．結果，∑

I∈IεI⊂D

∫∂I

f(w)

w − zdw =

m∑k=1

∫Γk

f(w)

w − zdw.

以上より (7.13)を得る．ii) z ∈ ∂Iz\∂Dεの場合．zn ∈

◦Iz, zn → zとする．このとき，上の i)で示したことから

f(zn) =1

2πi

m∑k=1

∫Γk

f(w)

w − zndw.

n→∞として (7.13)を得る. \(∧2∧)/

7.4 留数定理の一般化とその証明

定理 7.4.1 (一般化された留数定理) U ⊂ Cは開，A ⊂ Uは集積点を持たず, f : U\A→Cは正則とする．また，区分的C1閉曲線 C ⊂ U\Aと 有限集合A1 ⊂ A に対し，Cは

186

C\U , およびA\A1 のどの点も囲まないとする．このとき，∫C

f = 2πi∑a∈A1

n(C, a)Res(f, a). (7.14)

特に C が A1 の各点を反時計回りに一度囲むとするとき，∫C

f = 2πi∑a∈A1

Res(f, a). (7.15)

証明: A0def= A\A1 は集積点を持たないので閉である (補題 1.6.6). ゆえに U1

def= U\A0

は開である (問 1.6.2, 問 1.6.5). また，U\A = U1\A1．よって U , A をそれぞれ U1,

A1 に置き換えても定理の仮定がみたされる．そこでこの置き換えにより，始めから，A = A1 としてよい．以下，A = A1 = {a1, ..., an}とする．このとき r > 0を十分小さくとれば，開円板Dj

def= D(aj, r) (j = 1, ..., n)は次ををみたす．

D1 ∪ ... ∪Dn ⊂ U\C, Dj ∩Dk = ∅, 1 ≤ j < k ≤ n.

njdef= n(C, aj)に対し，閉曲線 Cj = njC(aj, r)を問 4.2.4のように定める (Cj は円周

C(aj, r)を反時計回りに nj周する)．次の 1), 2) を言う．

1)

∫Cj

f = 2njπiRes(f, aj),

2) n(C, z) +n∑

j=1

n(−Cj, z) = 0, ∀z ∈ (C\U) ∪ A.

これらを認めれば，定理 7.1.10から，次のように結論を得る．∫C

f − 2πin∑

j=1

njRes(f, aj)1)=

∫C

f −n∑

j=1

∫Cj

f(4.11)=

∫C

f +n∑

j=1

∫−Cj

f2), (7.10)

= 0.

1) は次のようにして得られる．∫Cj

f問 4.2.4= nj

∫C(aj ,r)

f(6.5)= 2njπiRes(f, aj).

次に 2)を示す．問 4.2.4, 例 7.1.1, 例 7.1.5より j = 1, ..., n に対し

3) n(Cj, z) =

{nj, z = ajのとき,

0, z 6∈ Djのとき.

z ∈ C\U なら, ∀j = 1, ..., n に対し z 6∈ Dj. よって仮定および 3)より

n(z, C) = 0, n(z,−Cj) = −n(z, Cj) = 0, ∀j = 1, ..., n.

よって 2)を得る．また，z = ak ∈ A なら ∀j ∈ {1, ..., n}\{k} に対し z 6∈ Dj. よって3)および nk の定義より

−n∑

j=1

n(−Cj, ak) =n∑

j=1

n(Cj, ak)3)= nk = n(ak, C).

よって 2)を得る． \(∧2∧)/

187

系 7.4.2 (一般化されたコーシーの積分表示) U ⊂ Cは開，a ∈ U , f : U → Cは正則,

区分的C1閉曲線C ⊂ U\{a}は n(C, z) = 0, ∀z 6∈ U をみたすとする．このとき，

n(C, a)f(a) =1

2πi

∫C

f(z)

z − adz. (7.16)

特に，Cが aを反時計回りに一度囲む (定義 7.1.4参照)とき，

f(a) =1

2πi

∫C

f(z)

z − adz. (7.17)

証明：U\{a} 3 z 7→ g(z)def= f(z)/(z − a)は正則．また，

Res(g, a)(6.7)= lim

z→az =a

(z − a)g(z) = f(a).

したがって，定理 6.4.1より，∫C

g = 2πin(C, a)Res(g, a) = 2πin(C, a)f(a).

\(∧2∧)/

188

8 問の略解

(2021年 7月 26日更新)

問 1.1.1 (1.19): 容易．(1.20): (1.19) で z のかわりに zwとする．(1.21): 容易．(1.22):|z +

w|2 (1.10)= (z + w)(z + w)

(1.10)= |z|2 + zw + zw + |w|2 (1.11)

= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2. (1.23):

|z+ iw|2 (1.22)= |z|2+2Re(−izw)+ |w|2 (1.21)

= |z|2+2 Im(izw)+ |w|2. (1.24): x = Re z, y = Im zとし，||z| ± z|2 = |(|z| ± x)± iy|2 = (|z| ± x)2 + y2 = 2|z|2 ± 2|z|x.問 1.1.2 x = |Re z|, y = | Im z|に対し x, y ≤ |z|より xp+yP ≤ |z|p. また，x2+y2 ≤ (x+y)2

と [0,∞) 3 t 7→ tp が凸関数であることから，|z|p = (x2 + y2)p/2 ≤ (x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yP ).問 1.1.3 i) (1.11)による．ii) (1.22)による．iii) f(L(a, r)\{0})を求めるには z ∈ C\{0}が(1.25)の方程式をみたすと仮定し f(z), g(z)のみたす方程式を求める．同様に，f(C(a, r)\{0})を求めるには z ∈ C\{0}が (1.26)の方程式をみたすと仮定し f(z), g(z)のみたす方程式を求める．これらの計算で (1.25), (1.26)のうち右側を使う方が見通しがよい場合がある．問 1.1.4: 問 1.1.3による．問 1.2.1 第一式は nに関する帰納法で分かる．|z| < 1の場合，|z2n | = |z|2n → 0より，第一式で n→∞とし，第二式を得る．問 1.3.1 a)⇒ b): fは連続なのでD(0, r)における最小値mを持つ．m ≤ |f(a)| ≤ inf |z|>r |f(z)|に注意すれば, 任意の z ∈ Cに対しm ≤ f(z). 以上よりmは f の最小値である．a) ⇐ b): f(a)が f の最小値なら，r = |a|として，条件 a)が成立する．問 1.3.2 i) |z|が十分大きければ ∑m−1

j=0 |ajz−(m−j)| < |am|/2. ゆえに,

|f(z)| = |z|m∣∣∣∣∣∣am +

m−1∑j=0

ajz−(m−j)

∣∣∣∣∣∣ ≥ |z|m|am| − m−1∑

j=0

∣∣∣ajz−(m−j)∣∣∣ ≥ |am||z|m/2.

この不等式より結論を得る．ii): i) より, r > 0が十分大きければ inf |z|>r |f(z)| ≥ |f(0)|. ゆえに問 1.3.1より |f |は最小値を持つ．問 1.3.3 i) 任意の (X,Y, Z) ∈ S2\{N}に対し, zについての方程式 s(z) = (X,Y, Z)は唯一の解 z = X+iY

1−Z をもつことが容易に分かる．ii) s, および s−1の具体形から明らか．問 1.4.1 s, tの部分和 sn =

∑nj=1 aj(bj − bj−1), tn =

∑n−1j=1 (aj − aj+1)bj に対し

sn − tn =n∑

j=1

aj(bj − bj−1) +n−1∑j=1

(aj+1 − aj)bj

= an(bn − bn−1) +n−1∑j=1

(aj(bj − bj−1) + (aj+1 − aj)bj)

= an(bn − bn−1) +

n−1∑j=1

(aj+1bj − ajbj−1)

= an(bn − bn−1) + anbn−1 − a1b0 = anbn − a1b0.

よって sn = tn + anbn − a1b0. この等式より結論を得る．問 1.4.2: (a) ⇒ (b): ∃m ∈ N, ∀n ≥ m, |xn+1 − xn| ≤ r|xn − xn−1|. よって n ≥ mなら|xn+1 − xn| ≤ rn−m|xm+1 − xm|. また, (b) ⇒ (c) は xn = x0 +

∑nj=1(xj − xj−1) と書くと, 右

辺の級数は絶対収束することによる.問 1.4.3：一意性：x, y ∈ S が不動点なら, |x − y| = |f(x) − f(y)| ≤ r|x − y|. これが, r < 1で成り立つには x = y が必要. 存在：xn はヒントのように定める. このとき, |xn+1 − xn| =|f(xn)− f(xn−1)| ≤ r|xn−xn−1|. 従って, 極限 x = limn→∞ xnが存在する (問 1.4.2). 更に, 縮小写像の定義式で y = xn, n → ∞とすれば, f(xn) → f(x). そこで, xn = f(xn−1)で n → ∞とし, x = f(x).問 1.4.4 (i)は正しい．実際，M ∈ [0,∞)を |bn|の上界とすると

∑∞n=0 |anbn| ≤M

∑∞n=0 |an| <

∞. (ii)は正しくない．実際，an = bn = (−1)n√n+1は反例である.

189

問 1.5.1 (i) anzn n→∞−→ 0 (命題 1.4.4). よって，∃M ∈ [0,∞), ∀n ∈ N, |anzn| ≤ M < ∞ (系

1.2.4). したがって，∑∞n=0 |an|rn ≤M

∑∞n=0(r/|z|)n

例 1.4.9< ∞. (ii) |z| < r0とする．このとき

r0の定義から, ∃r > |z|,∑∞

n=0 |an|rn < ∞. よって∑∞n=0 |an||z|n < ∞. 次に |z| > r0とする．

もし f(z)が収束するなら，(i)より r ∈ (r0, |z|)に対し∑∞

n=0 |an|rn < ∞. これは r0の定義に反するから，f(z)は収束しない．問 1.5.2 (i) ⇐ は明らかなので，⇒ のみ示す．f は偶関数だから f(z) = f(z)+f(−z)

2

(1.45)=∑∞

n=0 a2nz2n. これと，係数の一意性 (系 1.5.8)より結論を得る．(ii):(i)と同様．

問 1.5.3: 命題 1.5.4と同様である．問 1.5.4 (i): 問 1.5.1, 系 1.5.5による．(ii):

M∑n=N+1

anzn =

M∑n=N+1

(fn(1)− f(1))zn −M∑

n=N+1

(fn−1(1)− f(1))zn

= (fM (1)− f(1))zM +M−1∑

n=N+1

(fn(1)− f(1))(zn − zn+1)− (fN (1)− f(1))zN+1.

この式を用い，命題 1.5.6の証明と同様に議論する．(iii): (i)で示した不等式から連続関数列fN (z)

def=∑N

n=0 anzn は f に, z ∈ [0, 1]の範囲で一様収束する．ゆえに，命題 1.3.9より f は

この範囲で連続である．問 1.5.5 |z| < min{|b|, |c|} なら b

b−z =∑∞

n=0 b−nzn, c

c−z =∑∞

n=0 c−nzn (ともに絶対収

束). これと命題 1.4.11より f(z)は絶対収束するべき級数 f(z) =∑∞

n=0 anzn で表せ，an =∑n

k=0 b−(n−k)c−k =

{b−(n+1)−c−(n+1)

b−1−c−1 , b 6= c,

(n+ 1)b−n, b = c.なお，b 6= cの場合は命題 1.4.11の代わりに

1(b−z)(c−z) = 1

b−c

(1

c−z −1

b−z

)を用いてもよい．また b = cの場合は命題 1.4.11の代わりに

bb−z =

∑∞n=0 b

−nznの両辺を zについて微分してもよい (命題 3.3.1).

問 1.6.1 i) A◦ = A\∂A より A◦ = A◦ ∩ A = (A\∂A) ∩ A = A\∂A. ii) A = A◦ ∪ ∂A よりA = A∪A = A∪A◦ ∪ ∂A = A∪ ∂A. iii) i)より A が開 ⇔ A = A\∂A ⇔ A∩ ∂A = ∅. iv) ii)より A が閉 ⇔ A = A ∪ ∂A ⇔ ∂A ⊂ A.

問 1.6.2 (i): x ∈◦Aなら ∃r > 0, D(x, r) ⊂ A. よって，D(x, r) ⊂ B. (ii): (i)と同様に考えれば

よい．(iii): A ∪B ⊃ Aと (i)より (A ∪B)◦ ⊃◦A. 同様に (A ∪B)◦ ⊃

◦B. A = {z ∈ C ; |z| ≤ 1},

B = {z ∈ C ; |z| ≥ 1} に対し (A ∪B)◦ = C,◦A ∪

◦B= {z ∈ C ; |z| 6= 1}. (iv): A ∩Bについて

は (ii), A ∪Bについては (iii)からわかる．問 1.6.3 i) z ∈

⋃λ∈ΛAλなら ∃λ ∈ Λ, z ∈ Aλ. Aλは開なので ∃r > 0, D(z, r) ⊂ Aλ. よって

D(z, r) ⊂⋃

λ∈ΛAλ. ii) Λ = N, An = D(0, 1/(n+ 1)) とすると⋂n∈NAn = {0}.問 1.6.4 (i): xn ∈ A, xn → x と仮定し，x ∈ A を言えばよい．仮定から，各 xn に対しxn,k

k→∞→ xn となる {xn,k}k≥1 ⊂ Aが存在する．そこで，k(n)を |xn − xn,k(n)| < 1n となるよ

うにとると，|x − xn,k(n)| ≤ |x − xn| + 1n → 0. よって xn,k(n)

n→∞→ x. 以上から x ∈ A．(ii):

x ∈ Aなら xn → xとなる xn ∈ Aが存在する．このとき，xn ∈ Bでもあるから x ∈ B. (iii):“⊃”は (ii)からわかる．“⊂”の証明は次のとおり：x ∈ A ∪B なら xn → xとなる xn ∈ A ∪Bが存在する．このとき，(1) xn ∈ Aとなる nが無限個存在する，または, (2) xn ∈ Bとなる nが無限個存在する. (1)なら xk(n)

n→∞→ xなる xk(n) ∈ Aがとれる．したがって x ∈ A. 同様に(2)なら x ∈ B. (iv):“⊂”は (ii)からわかる．6=の例はA = [0, 1), B = [1, 2]. (v):A ∪Bについては (iii)を用いて，A ∩Bについては (iv)を用いて示せる．問 1.6.5 (i) (⊂): x ∈ S\

◦Aなら ∀n ≥ 1, ∃xn ∈ S\A, |x− xn| < 1/n. このとき，xn → xより

x ∈ S\A. (⊃): x ∈ S\Aなら, ∃xn ∈ S\A, xn → x. よって x ∈ S\◦A. (ii): (i)から容易にわか

る.問 1.6.6 i) {zn}n∈N ⊂

⋂λ∈ΛAλ, zn → z とする．∀λ ∈ Λ に対し {zn}n∈N ⊂ Aλかつ Aλは閉

なので z ∈ Aλ. よって z ∈⋂

λ∈ΛAλ. ii) ∀z ∈ Cに対し {z}は閉，D(0, 1) =⋃

z∈D(0,1){z}.

問 1.6.7 x ∈ ∂Aなら x 6∈◦Aより，∀n ≥ 1に対し ∃bn ∈ C\A ⊂ B, |x− bn| < 1/n. 特に bn → x.

190

よって x ∈ B.問 1.6.8 i) z ∈ f−1(B)とする．f(z) ∈ B かつ B は開なので ∃ε > 0, D(f(z), ε) ⊂ B. f の連続性からこの εに対し，∃δ > 0, f(D(z, δ)) ⊂ D(f(z), ε), よって f(D(z, δ)) ⊂ B. 以上からD(z, δ) ⊂ f−1(B). ii) zn ∈ f−1(B), zn → z とする．このとき，zn ∈ A かつ A は閉だからz ∈ A. また, f(zn) ∈ B, f(zn)→ f(z) かつ B は閉だから f(z) ∈ B. 以上より z ∈ f−1(B).問 1.6.9: i) ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 (命題 1.6.3) よりある a ∈ A および自然数列 p(1) < p(2) < ... が存在し，ap(n)

n→∞−→ a. 次に b′ndef= bp(n) (n ∈ N)に対しボルツァーノ・

ワイエルシュトラスの定理 (命題 1.6.3)を適用し，ある b ∈ B および自然数列 q(1) < q(2) < ...

が存在し，b′q(n)n→∞−→ b. 以上より k(n)

def= p(q(n)) に対し，ak(n)

n→∞−→ a, かつ bk(n)n→∞−→ b. ii):

i) を用い，最大・最小値存在定理 (命題 1.6.3) の証明と同様に示せる．問 1.6.10次のようにして, rn ∈ (0, r], an ∈ A∩(D(z, rn)\{z}) (n ∈ N)を, rn = |an−1−z|/2となるように構成する．ある点列 zn ∈ A\{z} が zn −→ z をみたすので，A∩ (D(z, 1)\{z}) 6= ∅.そこで, r0 = 1, a0 ∈ A ∩ (D(z, r0)\{z}) とする．rn−1 > 0, an−1 ∈ A ∩ (D(z, rn−1)\{z}) が定まったとき，rn = |an−1−z|/2に対しA∩(D(z, rn)\{z}) 6= ∅. そこで, an ∈ A∩(D(z, rn)\{z})とする．問 1.6.11 i) {z ∈ D ; f(z) = f(a)} = {z ∈ D ; |f(z) − f(a)| < δ/2} と問 1.6.8による．ii)∃{a2, a2} ⊂ D, f(a1) 6= f(a2)とする．このとき仮定より |f(a1)− f(a2)| ≥ δ. D1, D2を次のように定める．

D1 = {z ∈ D ; |f(z)− f(a1)| < δ/2}, D2 = {z ∈ D ; |f(z)− f(a1)| > δ/2}.

問 1.6.8よりD1, D2は共に開である．また，D1 3 a1, D2 3 a2, D1 ∩D2 = ∅. さらに仮定よりD = D1 ∪D2. これはDの連結性に反する．問 1.6.12 境界の定義より ∂Dj ∩Dj = ∅ (j = 1, 2). 今，a ∈ ∂D1 ∩D2と仮定する．このとき，D2は開なので ∃r > 0, D(a, r) ⊂ D2. したがってD(a, r)∩D1 = ∅. これは a ∈ ∂D1に反する．よって ∂D1 ∩D2 = ∅. 同様に ∂D2 ∩D1 = ∅. 以上より ∂Dj ∩ (D1 ∪D2) = ∅ (j = 1, 2).

問 2.2.1 | exp(±z)| (2.5)= exp(±Re z). これと三角不等式より

| exp(z)± exp(−z)|{≤ exp(Re z) + exp(−Re z) = 2cosh (|Re z|),≥ | exp(Re z)− exp(−Re z)| = 2sinh (|Re z|).

以上で第一式を得る．第二式も同様である．問 2.2.2等式 sn(ρ, z) =

∑nk=0 ρ

k exp(ikz) = 1−ρn+1 exp(i(n+1)z)1−ρ exp(iz) について，(sn(ρ, z)+sn(ρ,−z))/2,

(sn(ρ, z) − sn(ρ,−z))/(2i) を計算し，(2.20), (2.21) を得る．特に |ρ| exp(| Im z|) < 1 なら，ρn cosnz

n→∞−→ 0, ρn sinnzn→∞−→ 0. ゆえに (2.20), (2.21)から (2.22)を得る．

問 2.2.3 交流回路に対するオームの法則で特に t = 0として

V0 = ZI0 exp(−iϕ).

上式両辺の絶対値をとると，V0 = |Z|I0, すなわち I0 = V0/|Z|を得る．また V0 = |Z|I0を上式に代入し，|Z| = Z exp(−iϕ), すなわち exp(iϕ) = Z/|Z|を得る．問 2.2.4 (i) n ∈ mNならwn = 1より∑m−1

j=0 wnj = m. n 6∈ mNならwn 6= 1,∑m−1

j=0 wnj (1.15)=

wnm−1wn−1 = 0. (ii) N ∈ Nに対し，

m−1∑j=0

mN∑n=0

anwjnzn =

mN∑n=0

anznm−1∑j=0

wjn (i)= m

N∑n=0

amnzmn. N →

∞として結論を得る．問 2.2.5 (i)tan z tanw = 1 ⇐⇒ sin z sinw = cos z cosw

(2.13)⇐⇒ cos(z+w) = 0系 2.2.5⇐⇒ z+w ∈

π2 + πZ. (ii) tan(z + w) =

sin(z + w)

cos(z + w)

(2.13)=

cos z sinw + sin z cosw

cos z cosw − sin z sinw=

tan z + tanw

1− tan z tanw.

問 2.3.1 θ = Arg z, φ = Arg wとするとき，z = |z| exp(iθ), w = |w| exp(iφ) より，|z+w|2−|z − w|2 = 4Re(zw) = 4|z||w| cos(θ − φ).問 2.3.2 命題 2.3.3より，Arg (cz) = Arg c+Arg z+2mπi, Arg (cw) = Arg c+Arg w+2nπi.これらを辺々引き算し結論を得る．

191

問 2.3.3 i) c = w/z とする．Re c ≥ 0より，|r + c| = (r2 + 2rRe c+ |c|2)1/2 は r ≥ 0 について狭義単調増加である．よって |c| < |r + c|. これより，

Arg (r + c) = Arcsin

(Im c

|r + c|

){> 0,

< Arcsin(Im c|c|

)= Arg c.

ii): i), |Arg z| ≤ π2 , (2.28) よりArg (z +w) = Arg z +Arg (1 + c), Arg w = Arg z +Arg c. 以

上よりArg (z + w) = Arg z +Arg (1 + c)

{> Arg z,< Arg z +Arg c = Arg w.

問 2.3.4 |1 − exp(iθ)|2 = 2 − 2 cos θ = 4 sin2 θ2 . よって log |1 − exp(iθ)| = 1

2 log(4 sin2 θ2) =

log 2+log sin θ2 . 一方， sin θ

1−cos θ =2 cos

θ2 sin

θ2

2 sin2θ2

= 1/ tan θ2 = tan(π−θ

2 ). よってArg (1−exp(iθ)) =

−Arctan(

sin θ1−cos θ

)= θ−π

2 .

問 2.3.5: z = r exp(iθ) (r > 0, θ ∈ (−π, π])とすると，θ = Arg zより，α− θ ∈ (−π, π], またeiα/z = ei(α−θ)/r. よって

α−Arg z = α− θ = Arg (ei(α−θ)) = Arg (ei(α−θ)/r) = Arg (eiα/z).

これと Log z = log |z|+ iArg zより，所期等式を得る．問 2.3.6 次のふたつを示せばよい．1) z ∈ Scに対し，exp z ∈ C\{0}, かつ Log c exp z = z.

2) z ∈ C\{0} に対し Log cz ∈ Sc, かつ expLog cz = z.

1) について，z ∈ Scに対し, exp z(2.4)∈ C\{0}. また，

Log c exp z = Log exp(z − ci) + ci(2.35)= (z − ci) + ci = z.

2) について，z ∈ C\{0}に対し

ImLog cz(2.29)= Arg (exp(−ci)z) + c ∈ c+ (−π, π].

ゆえに Log cz ∈ Sc．また，

expLog cz = exp (Log (exp(−ci)z) + ci)

(2.2)= expLog (exp(−ci)z) exp(ci)

(2.36)= exp(−ci)z exp(ci) (2.2)

= z.

問 2.3.7 i)：f(iy) = i∑n

j=0(−1)jc2j+1y2j+1+c0より明らか．ii)：i)とArg f(iy) = Arctan (Im f(iy)/c0)

による．iii): |f(iy)| i)= |f(−iy)|. よって Log f(iy) − Log f(−iy) = iArg f(iy) − iArg f(−iy).

これと ii)より結論を得る．問 2.4.1 i)

√−1 (2.37)

= exp(12Log (−1))(2.29)= exp(12πi) = i. ii) n = 0,±1に対しArg z+Arg w−

2πn ∈ (−π, π]とすると，√zw (2.37)= exp(12Log (zw))

(2.33)= exp(12Log z + 1

2Log w − nπi)(2.37)=√

z√w(−1)n. ゆえに第一式を得る．i)と第一式より第二式を得る．

問 2.4.2 i) z ∈ C\Rに対し， Im zα = |z|α sin(αArg z) ∈ R\{0},かつこれは Im z ∈ R\{0}と同符号である．ii) sin((1−α)θ) = exp(i(1−α)θ)−exp(−i(1−α)θ)

2i , sin(αθ) = exp(iαθ)−exp(−iαθ)2i をそれぞ

れ右辺に代入すれば，容易に示すべき等式を得る．iii) |z| = 1の場合に示すべき等式が言えれば，任意の z ∈ C\(−∞, 0]に対し言える．一方，|z| = 1の場合は z = exp(iθ) (θ ∈ (−π, π))とすれば ii)に帰着する．iv) iii)でα = 1/2とし，第一式を得る．また ||z|+z| 問 1.1.1

=√2|z|(|z|+Re z)

192

より第二式を得る．問 2.4.3 b ∈ R\(−c, c)の場合．この場合, b2 − c2 ∈ [0,∞)より,

√c2 − b2

問 2.4.1= i

√b2 − c2. ゆ

えに σ± = b∓√b2 − c2 ∈ [0,∞).

b 6∈ R\(−c, c)の場合．この場合, b2 − c2 6∈ [0,∞), すなわち c2 − b2 6∈ (−∞, 0]より，問 2.4.2を用いて√c2 − b2を計算できる．そこで b1 = Re b, b2 = Im bとし，|b|2 ≤ |b2 − c2|+ c2 (等号⇔ b ∈ R\(−c, c)) に注意すると，

Im(i√c2 − b2

)= Re

√c2 − b2

問 2.4.2=

√|c2 − b2|+Re(c2 − b2)

2

=

√|c2 − b2|+ c2 − b21 + b22

2=

√b22 +

|c2 − b2|+ c2 − |b|22

> |b2|.

したがって± Imσ± = ±b2 + Im

(i√

c2 − b2)> ±b2 + |b2| ≥ 0.

よって，Imσ− < 0 < Imσ+．ii) |σ±| = c, Reσ± = b より，√σ± 問 2.4.2

= c+σ±√s(c+b)

=√

c+b2 ± i

√c−b2 .

問 2.4.4 an = exp(πin+1/2) (nmod 4≡ 0, 1, 2, 3に応じ，an = i, exp(−π/2),−i, exp(π/2)).

問 2.4.5 Im(αLog z) = α ImLog z = αArg z ∈ (−π, π). ゆえに (2.43), (2.44)より結論を得る．問 2.4.6 Im(βLog z) = βArg z ∈ (π, 2π]. したがって，(zα)β

(2.45)= zαβ exp(−2πβi). 同様に

(zβ)α = zαβ exp(−2παi). 特に β 6∈ Zなら (zα)β 6= zαβ. また β − α 6∈ Zなら (zα)β 6= (zβ)α.問 2.4.7：⇒: z = exp (α(Log w + 2πni)) (n ∈ Z)とする．このとき，

expLog z(2.36)= z = exp (α(Log w + 2πni)) .

よって命題 2.2.4より，1) ∃m ∈ Z, Log z = α(Log w + 2πni) + 2πmi.

ゆえに，

w(2.36)= expLog w

1)= exp( 1α(Log z − 2πmi)− 2πni) = exp( 1α(Log z − 2πmi)).

⇐も同様である．問 2.4.8：(2.49):

{wm exp (2πjmi) ; j ∈ Z} = {wm},{z1/m exp

(2πjm i)

; j ∈ Z}

={z1/m exp

(2πjm i)

; j = 0, 1, ...,m− 1}.

ゆえに問 2.4.7(α = m)より，(2.49)を得る．(2.50): (⇒) wm = z と (2.49)より，ある k = 0, 1, ...,m − 1に対し w = z1/m exp

(2πkim

)．すると，

1) w(2.37)= exp

(1mLog z + 2πki

m

) (2.29)= exp

(1m log |z|+ i

m(Arg z + 2πk)).

ここで 1m(Arg z + 2πk) ∈ 2πℓ+ (−π, π]をみたす ℓ ∈ {0, 1} をとると，

2πj

m− 2πn+

(− π

m,π

m

] 仮定3 Arg w

(2.35)=

1

mArg z +

2πk

m− 2πℓ.

よって，Arg z ∈ 2π(j − k −m(n− ℓ)) + (−π, π] .

Arg z ∈ (−π, π]により，j − k = m(n − ℓ). さらに j, k = 0, 1, ...,m − 1より k = j. 以上よりw = z1/m exp

(2πjim

).

193

(⇐) w = z1/m exp(2πjim

)とする．このとき，(2.49)よりwm = z. また，1) で k = jとした等

式が成立する．これと 1m(Arg z + 2πj) ∈ 2πn+ (−π, π] より，

Arg w(2.35)=

1

mArg z +

2πj

m− 2πn ∈ 2πj

m− 2πn+

(− π

m,π

m

].

問 2.4.9：i) M ∈ [0,∞)を |an|の上界とする．(2.40)より∑∞n=1

∣∣anns

∣∣ ≤ M∑∞

n=11

nRe s < ∞.

ii) ξ(s)def=∑∞

n=01

(2n+1)s , η(s)def=∑∞

n=1(−1)n−1

ns に対し，

ζ(s) =∑n:奇数

1

ns+

∑n≥2:偶数

1

ns= ξ(s) +

∞∑n=1

1

(2n)s= ξ(s) +

ζ(s)

2s.

よって (2.51)第一式を得る．また，

ζ(s) + η(s) =∞∑n=1

1− (−1)n

ns=∑n:奇数

2

ns+

∑n≥2:偶数

0

ns= 2ξ(s).

よってη(s) = 2ξ(s)− ζ(s) =

(1− 1

2s−1

)ζ(s).

問 2.4.10：(2.52) の収束：f(x) = xs−1e−x (x > 0)とする. n ∈ Nに対し e−x ≤ n!x−nだから,

1) |f(x) ≤ n!xRe s−1−n.

1)でn = 0とすればRe s−1 > −1より ∫ 10 f <∞. また, 1)でn > Re sとすれば, Re s−1−n <

−1より ∫∞1 f <∞. 以上より ∫∞

0 f <∞.

(2.53): Γ(s+ 1) =

∫ ∞

0xse−x dx = [−xse−x]∞0︸ ︷︷ ︸

=0

+s

∫ ∞

0xs−1e−x dx︸ ︷︷ ︸=Γ(s)

.

(2.54): (2.53) を繰り返し適用する．(2.55): Γ(1) =

∫ ∞

0e−x dx = 1. これと, (2.54) を併せればよい．

(2.56): 積分変数の変換による．問 2.4.11

xs−1

expx− 1=

2x2k−1 exp(−x)1− exp(−x)

=

∞∑n=0

xs−1 exp(−(n+ 1)x).

したがって， ∫ ∞

0

xs−1

expx− 1dx =

∫ ∞

0

( ∞∑n=0

xs−1 exp(−(n+ 1)x)

)dx

=

∞∑n=0

∫ ∞

0xs−1 exp(−(n+ 1)x)dx

(2.56)= Γ(s)

∞∑n=0

1

(n+ 1)s= Γ(s)ζ(s).

上式中の積分・無限和の順序交換については例えば [吉田 1, p.423, 定理 16.5.3], あるいはルベーグ積分論の単調収束定理 [吉田 2, p.52, 定理 2.4.1]を参照されたい．以上で (2.57)を得る．また，(2.57)と同様に ∫ ∞

0

xs−1

sinh xdx = 2Γ(s)

∞∑n=0

1

(2n+ 1)s.

194

これと (2.51)より (2.58)を得る．(2.59)も同様である．問 2.5.1 z ∈ C\{0}, w ∈ C に対し f(z) = wは zについての二次方程式 z2 − 2wz + 1 = 0 と同値，その二解が s±(w)でありこれらは s+(w)s−(w) = 1をみたす．(i),(ii): w ∈ [1,∞)に対し s+(w) = w +

√w2 + 1 ≥ 1, よって s−(w) ∈ (0, 1]. w ∈ (−∞, 0]

に対し s−(w) = −|w| −√w2 + 1 ≤ −1, よって s+(w) ∈ [−1, 0). (iii),(iv): y ≥ 0 に対

し s+(iy) = i(y +√y2 + 1) ∈ i[1,∞), よって s−(iy) ∈ i[−1, 0)．y ≤ 0 に対し s−(iy) =

i(−|y| −√

y2 + 1|) ∈ i(−∞,−1], よって s+(iy) ∈ i(0, 1]．(v): w ∈ [−1, 1]に対し s±(w) = w ± i

√1− w2 ∈ C±(0, 1)．

問 2.5.2: i):f : (G+ ∩D+) ∪ {−1, 1} → G+\I は全単射，s+ : G+\I → (G+ ∩D+) ∪ {−1, 1}はその逆写像，および s+がG+\I 上連続であることを示す（s+, G+を s−, G−で置き換えても証明は同様である)．数段階に分けて示す．1) z ∈ Cに対し, s+(z) 6= 0, s+(z)

−1 = s−(z), f ◦ s±(z) = z.

s+(z)s−(z) = z2 − (√z2 − 1)2 = z2 − (z2 − 1) = 1.

よって s+(z) 6= 0，s+(z)−1 = s−(z). よって

f ◦ s±(z) = (s+(z) + s−(z))/2 = z.

2) s+はG+\I 上連続．簡単な計算で,z ∈ C に対し次が分かる：「z ∈ I ∪ iR ⇐⇒ z2 − 1 ∈ (−∞, 0)」．ゆえに「z ∈ G+\I ⇒ z2 − 1 ∈ C\(−∞, 0)」．したがって，z 7→ z2 − 1はG+\I から C\(−∞, 0)への連続写像である．一方，z 7→

√zは C\(−∞, 0)上連続 (命題 2.4.2)なので，z 7→

√z2 − 1は

G+\I 上連続である．以上から s+はG+\I 上連続である．

3) |z| = 1問 2.5.1⇐⇒ f(z) ∈ I.

3’) z ∈ iR\{0} 問 2.5.1⇐⇒ f(z) ∈ iR.

4) z ∈ G+\I なら |s+(z)| 6= 1かつ s+(z) 6= iR.

z ∈ G+\I なら f ◦ s+(z)1)= z ∈ G+\I. これと 3),3’)より |s+(z)| 6= 1かつ s+(z) 6= iR.

5) s+(±1) = ±1, s+(G+\I) ⊂ G+ ∩D+．したがって，s+(C\J) ⊂ (G+ ∩D+) ∪ {−1,+1}．s+(±1) = ±1は明らか．そこで s+(G+\I) ⊂ G+ ∩D+を言う．2)より s+(z)はG+\I 上で連続,かつ 4)より |s+(z)| 6= 1かつRe s+(z) 6= 0．したがって，|s+(z)| − 1, Re s+(z)はG+\I 上定符号である．ところが，s+(2) = 2 +

√3よりG+\I 上 |s+(z)| − 1 > 0, Re s+(z) > 0.

6) f : (G+ ∩D+) ∪ {−1, 1} → G+\I は全単射.

s+(±1) = ±1より，f : G+ ∩D+ → G+\I が全単射ならよい．(全射性)：z ∈ G+\I を任意とする．このとき s+(z)

5)∈ G+ ∩D+. さらに f ◦ s+(z)

1)= z.　

(単射性)：z ∈ G+∩D+, f(z) = w ∈ G+\Iとし，z = s+(w)を言う．f(z) = wからz2−2wz+1 =

0. この 2次方程式の解は z = s±(w)．w ∈ G+\I より s+(w)5)∈ G+ ∩D+, s−(w)

1)= s+(w)

−1 ∈D− (一般に z ∈ D+ ⇐⇒ z−1 ∈ D−). ゆえに z ∈ G+ ∩D+をみたす解は z = s+(w)のみである．ii): i) と同様．問 2.5.3 (i),(ii)共にヒントにより命題 2.5.2に帰着する．問 2.5.4 ヒントにより命題 2.5.4に帰着する．問 2.5.5 (i),(ii)共に定義式 (2.11),(2.60),(2.63) を用いた単純計算．問 3.1.1 w ∈ D∗\{z}, w → zとするとき w ∈ D\{z}, w → z. ゆえに

g(w)− g(z)

w − z=

(f(w)− f(z)

w − z

)−→ f ′(z).

195

問 3.1.2 D上 (f/g)′ = f ′g−fg′

g2= 0. ゆえに命題 3.1.8より f/gは定数である．

問 3.1.3: i): a, b ∈ Dを任意，g(t) = (1− t)a+ tb (t ∈ [0, 1])とする．このとき，f ◦ gを考えることにより命題 3.1.8の証明と同様に f(a) = f(b)を得る.ii): a ∈ D1, b ∈ D2 より，D1 6= ∅, D2 6= ∅. また，明らかに D = D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 6= ∅.さらに，D1, D2 は共に開である．例えばD1 について見る．任意の c ∈ D1 に対し, Dは開だからD(c, r)

def= {z ∈ C ; |z − c| < r} ⊂ Dをみたす r > 0が存在する．さらに i)より，f は

D(c, r)上で定数である．したがって，任意の z ∈ D(c, r)に対し f(z) = f(c) = f(a). ゆえにD(c, r) ⊂ D1, よってD1は開である．同様の議論よりD2も開である．以上はDの連結性に反する．問 3.2.1

1) (sin)′(Arcsin z) = cos(Arcsin z)問 2.5.5=√1− z2.

(3.14)と 1)より，(Arcsin z)′(3.14)= 1

(sin)′(Arcsin z)

1)= 1√

1−z2. また，

(2) (tan)′(Arctan z) =1

cos2(Arctan z)

問 2.5.5= 1 + z2.

(3.14)と 2)より，(Arctan z)′(3.14)= 1

(tan)′(Arctan z)

(2)= 1

1+z2.

問 3.2.2 (i) (x, y) ∈ R2\{0}に対し f(x + iy) = x2

(1 + 1

|z|2

)+ iy

2

(1− 1

|z|2

)からわかる．(ii)

{exp z ; z ∈ D1} ⊂ H と (i)をあわせ，{cosh z ; z ∈ D1} ⊂ H を得る．cosについても同様．(iii) cosh , cos, Log の微分 (例 3.1.5,例 3.2.2) と連鎖律 (命題 3.1.6) を組み合わせる．問 3.3.1 |z| > 1/r ⇔ |1/z| < r．よって仮定よりべき級数 f(z) =

∞∑n=0

anzn は |z| < r の範囲で

絶対収束する．よってこの範囲で正則である (命題 3.3.1). また，|z| > 1/r なら g(z) = f(1/z).よって g は，二つの正則関数：z 7→ 1/z (C\D(0, 1/r) → D(0, r)), f : D(0, r) → C の合成なので，C\D(0, 1/r) 上で正則である (命題 3.1.6)．問 3.3.2 (i) log 2 + log sin

θ

2

問 2.3.4= ReLog (1− exp(iθ))

(3.24)= −

∞∑n=1

cosnθ

n. (ii) 示すべき等式

は θ ∈ [0, 2π] について連続なので θ ∈ (0, 2π)に対し示せばよい．このとき，ε > 0とし，(i)の等式を積分し，

(θ − ε) log 2 + 2

∫ θ/2

ε/2log sin tdt = −

∞∑n=1

sinnθ − sinnε

n2

ついで ε→ 0とし結論を得る．(iii) (ii)で θ = π.

問 3.3.3 (i) (3.26), (3.28)より，π2

6 −(2π−θ)θ

4 =∑∞

n=1cosnθn2 . 両辺を積分して結論を得る．(ii)

(i)で θ = π/2.問 3.3.4 示すべき等式の左辺，右辺をそれぞれ f(x), g(x)とする．命題 3.3.1, 例 3.3.7より f, gは [−1, 1]上連続かつ (−1, 1)上 C1である．また，f(0) = g(0) = 0かつ x ∈ (−1, 1)に対し

f ′(x) =Arctan x

x

(3.29)=

∞∑n=0

(−1)nx2n

2n+ 1= g′(x).

以上より [−1, 1]上 f = g.問 3.4.1 定義 (3.31)に従って単純計算すればよい．問 3.4.2: 命題 3.4.3 を α = −m として適用し,

(−mn

)= (−1)n

(m+n−1

n

) に注意する.

問 3.5.1 |f ′(c)|2 (3.41)= ux(c)

2 + vx(c)2 (3.40)

= ux(c)vy(c)− uy(c)vx(c).問 3.5.2 (⇒) |f |2 = ff が cで複素微分可能. ゆえに

0(3.39)= (ff)x(c) + i(ff)y(c) = fx(c)f(c) + f(c)fx(c) + ify(c)f(c) + if(c)fy(c)

(3.39)= fx(c)f(c) + f(c)fx(c)− fx(c)f(c) + f(c)fx(c)

= 2f(c)fx(c)(3.41)= 2f(c)f ′(c).

196

よって f(c) = 0, または f ′(c) = 0.(⇐) f ′(c) = 0なら，f は cで複素微分可能である (系 3.5.3). よって |f |2 = ff は cで複素微分可能である (命題 3.1.3). 一方，f(c) = 0なら, z ∈ D\{c}, z → cとするとき， |f(z)|2

z−c =

(z − c)∣∣∣f(z)z−c

∣∣∣2 −→ 0. よって |f |2は cで複素微分可能である.

問 3.5.3 (i) |f | ≡ 0 なら f ≡ 0なので |f | = k > 0(定数)とする．|f |2 = k2 は定数だから特に正則．よって k > 0と問 3.5.2より f ′ ≡ 0. 以上と命題 3.1.8より f は定数である．(ii)

gdef= 2λRe f + 2iµ Im f = (λ+ µ)f + (λ+ µ)f．λ 6= µなら f, gが共にD上正則であることと系 3.5.3より f は定数である．問 3.5.4 例 3.2.2より，Log : C\(−∞, 0] → Cは正則，u(z) = log |z|, v(z) = Arg zはその実部，虚部である．よって命題 3.5.2より，u, vは x, yについて偏微分可能である．また，コーシー・リーマン方程式より，vx = −uy = −y

x2+y2, vy = ux = x

x2+y2.

問 4.2.1 C を g : [α, β]→ Cにより径数づけて，∫φ(C)

f ◦ φ−1 =

∫ β

α(f ◦ φ−1)((φ ◦ g)(t))(φ ◦ g)′(t)dt = a

∫ β

αf(g(t))g′(t)dt = a

∫Cf.

問 4.2.2 C(0, 1/r)を exp(iθ)/r (θ ∈ [−π, π])と径数づけて，∫C(0,1/r)

f(1/z)z−2dz = ir

∫ π

−πf(r exp(−iθ)) exp(−iθ)dθ

= ir

∫ π

−πf(r exp(iθ)) exp(iθ)dθ =

∫C(0,r)

f.

問 4.2.3:∫ 2γ

γf(g(t))g′(t)dt = −

∫ 2γ

γf(−g(t− γ))g′(t− γ)dt

= −∫ 2γ

γf(g(t− γ))g′(t− γ)dt = −

∫ γ

0f(g(t))g′(t)dt.

問 4.2.4 n ∈ N\{0}に対し，∫nC f(4.13)= n

∫C f ,

∫−nC f

(4.13)= n

∫−C f

(4.11)= −n

∫C f .

問 4.2.5 C(0, 1)を単位円周，fn(z) =∑n

j=0 ajzj , gn(z) =

∑nk=0 bkz

k, hn(z) = fn(z)gn(z)/z,

h(z) = f(z)g(z)/z とする．fn → f , gn → gはC(0, 1)上一様収束するので，hn → hもC(0, 1)上一様収束する．また，∫

Chn = i

n∑j,k=0

ajbk

∫ 2π

0exp(2π(j − k)it)dt

(4.16)= 2πi

n∑j=0

ajbj .

n→∞として結論を得る．問 4.3.1 f(r) = exp(r2)− 1− r

∫ r0 exp(t2)dt に対し，f ′(r) = r exp(r2)−

∫ r0 exp(t2)dt ≥ 0. し

たがって f は単調増加である．ゆえに f(r) ≥ f(0) = 0,

問 4.3.2 x = y1

1−p とすると，I(p) = 11−p

∫∞0

sin(y1

1−p )

yp

1−py

p1−pdy = (右辺).

問 4.3.3 f(z) = zn exp(−z) (z ∈ C)とする．ガンマ関数に関し，よく知られた公式∫∞0 f(x)dx =

n!より，∫∞0 f(x)dx = c

∫∞0 f(cx)dxを言えばよい．そこで，条件 (4.32)(c = a + bi, a > 0,

b ∈ R)について，t ∈ [0, br]に対し，

|f(ar + ti)| = (a2r2 + t2)n/2 exp(−ar) ≤ (a2 + b2)n/2rn exp(−ar).

上式より条件 (4.32) が検証される．ii): i) で c = 1 + i, また n のかわりに 4n + 3 とし，∫∞0 x4n+3 exp(−x) sinxdx = 0.　さらに積分変数の変換で結論を得る．

197

問 4.4.1：fgは f ′g + fg′の原始関数なので命題 4.4.5より ∫C(f ′g + fg′) = [fg]ba.問 4.4.2：z ∈ Dに対し

∞∑n=0

∣∣∣∣ ann+ 1

zn+1

∣∣∣∣ ≤ |z| ∞∑n=0

|an||z|n <∞.

よって F (z)は全ての z ∈ Dに対し絶対収束する．したがって命題 3.3.1より z ∈ Dに対し

F ′(z) =

∞∑n=0

(n+ 1)an

n+ 1zn = f(z).

問 4.4.3 i) f = exp gなら，f ′ = g′ exp g = g′f . したがって gは f ′/f のD上での原始関数である．ii) (gの存在): f ′/fのD上での原始関数 gで g(a) = bをみたすものが存在する (命題 4.4.2)．このとき，(exp(−g)f)′ = exp(−g)(−g′f+f ′) = 0.よって exp(−g)f ≡ exp(−g(a))f(a) = 1. したがって f = exp g. (gの一意性):i)より gは f ′/f のD上での原始関数である．さらに g(a) = bより gは一意的である (命題 4.4.2)．問 4.4.4 F ,Gをそれぞれf ,gの原始関数とする．このとき，f = F ′ (3.41)= (ReF )x+i(ImF )x

(3.40)=

(ReF )x − i(ReF )y. ゆえに (Reh)x = (ReF )x, (Imh)y = (ReF )y. よって Reh = ReF + c1

(c1 ∈ R). g = G′ (3.41)= (ReG)x+ i(Im g)x(3.40)= (ImG)y − i(ImG)x. ゆえに (Imh)y = (ImG)y,

(Imh)x = (ImG)x. よって Imh = ImG + c2 (c2 ∈ R). そこで c = c1 + ic2 とすると，h = c+ReF + i ImG = c+ (F +G)/2 + (F −G)/2. 以上より正則関数 h1 = c+ (F +G)/2,h2 = (F −G)/2 に対しD上 h = h1 + h2.問 4.4.5 例 4.4.7の後半と同様にして Log f はDにおいて f ′/f の原始関数であることがわかる．ゆえに命題 4.4.5より結論を得る．問 4.5.1 i) を示すが，ii) も同様である．任意の z ∈ D\L に対し z(t)

def= (1− t)a+ tz ∈ D\L

(0 < ∀t < 1) を言えばよい. Dは aに関し星形なので z(t) ∈ [a, z] ⊂ D. よって z(t) 6∈ Lを言えばよい．まず z ∈M

def= {a+ t(b− a) ; 0 ≤ t < 1}とする．このとき, z(t) ∈M と L ∩M = ∅

より z(t) 6∈ L. 一方 z 6∈M とする．このとき z(t) Arg (z(t)− a) = Arg (z − a) 6= Arg (b− a)より z(t) 6∈ L.

問 4.5.2 (必要性) θ ∈ (−π, π] に対しR(θ)def= sup{r ∈ [0,∞) ; a+ r exp(iθ) ∈ D}. Dは開か

つ a ∈ D より, ある δ > 0 が D(a, δ) ⊂ D をみたす. よって，infθ∈(−π,π]R(θ) ≥ δ. (4.41)第二式を示すには, 任意に固定した θ ∈ (−π, π]に対し次を言えばよい．

a+ r exp(iθ) ∈ D ⇐⇒ r ∈ [0, R(θ)).

(⇒): a + r exp(iθ) ∈ D とする．Dは開なので，ある r1 ∈ (r,∞) に対し a + r1 exp(iθ) ∈ D.したがって，r < r1 ≤ R(θ).(⇐): r ∈ [0, R(θ))なら，R(θ)の定義よりある r1 ∈ (r,∞) に対し a+ r1 exp(iθ) ∈ D. よって，a+ r exp(iθ) ∈ [a, a+ r1 exp(iθ)] ⊂ D.(十分性) (4.41) 第二式より，任意の z ∈ D は θ0 ∈ (−π, π], r0 ∈ [0, R(θ0)) を用い，z =a+ r0 exp(iθ0)と表すことができ，かつ線分 [a, z] 上の任意の点 z = a+ r exp(iθ0) (r ∈ [0, r0])もDに属する．問 4.5.3 i) 補題 1.6.4より，δ = ρ(D,U c) > 0. Dが (4.41)のように表されるとき，V を次のようにとればよい．V = {a+ r exp(iθ) ; θ ∈ (−π, π], r ∈ [0, R(θ) + δ)}. ii)　 V は星形領域,f : V → Cは正則かつ，∂D は V 内の区分的 C1閉曲線である．したがって，星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5) より ∫∂D f = 0.問 4.7.1 i) hが g0から g1へのホモトピーとすると，φ ◦ hは φ ◦ g0から φ ◦ g1へのホモトピーである．ii)「Dが単連結 ⇒ D′が単連結」を示すが，逆も同様である．閉曲線 f : [α, β]→ D′

を任意にとると φ−1 ◦ f : [α, β] → D も閉曲線である．D は単連結なので φ−1 ◦ f から一点φ−1 ◦ f(α)へのホモトピー h が存在する．このとき，φ ◦ hは f から一点 f(α)へのホモトピーである．問 5.1.1 仮定と命題 4.4.6より，正則関数 F が存在し F ′ = f . ゆえに定理 5.1.1より f は正則

198

である.問 5.3.1：f は連続関数列 fn の広義一様収束極限なので連続である．今，a, b ∈ D, r > 0がD(a, r) ⊂ D, b ∈ D(a, r) をみたすとき，コーシーの積分公式 (5.1)より∫

C(a,r)

fn(z)

z − bdz = 2πifn(b),

n→∞として補題 4.2.3を用いると f がコーシーの積分公式 (5.1)をみたすことが分かる．これと定理 5.1.1より f は正則である．f

(m)n が f (m)に広義一様収束する (n→∞)ことを示すに

は次を言えば十分である．任意の a ∈ Dに対し r > 0が存在し，f(m)n は f (m)にD(a, r)上一様

収束する (n→∞)．今 a ∈ D, r > 0がD(a, 2r) ⊂ Dをみたすとする．このときコーシーの評価式 (5.9)より z ∈ D(a, r)に対し

|f (m)n (z)− f (m)(z)| ≤ m!r−m max

w∈C(z,r)|fn(w)− f(w)| ≤ m!r−m max

w∈D(a,2r)|fn(w)− f(w)|.

上式より f(m)n は f (m)にD(a, r)上一様収束する (n→∞)．

問 5.3.2：f : C → Cが零点を持たないと仮定する．このとき，(5.10)よりm(0, r) ≤ |f(0)|.一方問 1.3.2よりm(0, r)

r→∞−→ ∞ (矛盾).

注: 問 5.3.2の証明より，代数学の基本定理は見かけ上より一般な仮定「f : C→ Cが正則かつ|f(z)| |z|→∞−→ ∞」の下で成立する．ところが，この仮定をみたす関数は多項式に限られる (命題6.2.4).問 5.3.3 i) Im f = −Re(if) より，Re f について示せばよい．さらに Re f の連続性から(Re f)(C)は連結．ゆえに supRe f =∞かつ inf Re f = −∞なら十分である．exp(±f)は正則かつ定数でない．ゆえにリューヴィルの定理 (系 5.3.3)より sup exp(±Re f) = sup | exp(±f)| =∞.したがって supRe f =∞かつ inf Re f = −∞．ii) 対偶を示す．a 6∈ f(C) なら，ある r > 0に対し |f(z) − a| ≥ r, ∀z ∈ C. ゆえに 1/(f(z) − a)は C上正則かつ有界である．ゆえにリューヴィルの定理 (系 5.3.3)より 1/(f(z)− a)は定数，よって f も定数である．問 5.3.4 i) 存在する．例えば f(z) = exp(2πiz). ii) 存在しない．f が仮定をみたすとする．x, y ∈ R を任意，m,n ∈ Z を x ∈ [m,m + 1), y ∈ [n, n + 1) となるようにとるとf(x + iy) = f(x − m + i(y − m)). ゆえに sup

z∈C|f(z)| = sup

x,y∈[0,1)|f(x+ iy)| <∞ (最大・最

小値存在定理 (命題 1.6.3)参照). これとリューヴィルの定理 (系 5.3.3)より f は定数である．問 5.4.1: 命題 5.4.3による．問 5.4.2: i)明らかに A = {a, b}. また，命題 5.4.3より，a, bの次数はそれぞれm+1, n+1. ii)系2.2.5より，A = {nπ/c ; n ∈ Z}. また，n ∈ Zに対し f ′(nπ/c) = c cos(nπ) = (−1)nc 6= 0より各零点 nπ/cは次数 1である．iii) 1−cos(2cz) = sin2(cz)より，ii)と同じくA = {nπ/c ; n ∈ Z}.また，ii) の結果と問 5.4.1より各零点 nπ/c は次数 2 である．問 5.4.3: 補題 5.4.2より正則関数 g, h : D → C が存在し，∀z ∈ Dに対し次をみたす：

1) f(z) = f(a) + f ′(a)(z − a) + f ′′(a)2 (z − a)2 + f ′′′(a)

6 (z − a)3 + (z − a)4g(z),

2) f ′(z) = f ′(a) + f ′′(a)(z − a) + f ′′′(a)2 (z − a)2 + (z − a)3h(z).

よって，3) (z − a)(f ′(z)− f ′(a))− 2(f(z)− f(a)) = f ′′′(a)

6 (z − a)3 + (z − a)4(2h(z)− g(z)).

示すべき式の第一式は 1)より，第二式は 3)より従う．

問 5.4.4: i) |f | ≤ |g|より f(a) = 0. R > 0をD(a,R) ⊂ Dとなるようにとる．このとき，m,n ∈ N\{0} および正則関数 fm, gn : D(a,R) → Cを，fm(a) 6= 0, gn(a) 6= 0,

199

D(a,R)上 f(z) = (z − a)mfm(z), g(z) = (z − a)ngn(z) なるようにとれる (命題 5.4.3).

また |f | ≤ |g|よりm ≥ n. さらに，gn(a) 6= 0よりある δ ∈ (0, R]に対しD(a, δ)上gn 6= 0. したがってha,δ(z)

def= (z−a)m−nfm(z)/gn(z) (z ∈ D(a, δ))は正則，D(a, δ)\{a}

上 g 6= 0, D(a, δ)上 f = gha,δ. ここから |ha,δ| ≤ 1も従う．ii) D0def= {z ∈ D ; g(z) = 0},

h(z) = f(z)/g(z) (z ∈ D\D0), h(z) = hz,δ(z) (z ∈ D0)と定める．このとき i)よりD

上 f = gh, |h| ≤ 1. さらに hは正則である．実際 a ∈ D\D0なら, ある δ > 0に対しD(z, δ) ⊂ D\D0 かつD(a, δ)上 h = f/gより，hは aで複素微分可能である．またa ∈ D0なら, i)よりある δ > 0が存在し z ∈ D(a, δ)に対し h(z) = ha,δ(z). よって hはaで複素微分可能である．iii): ii)とリューヴィルの定理 (系 5.3.3)による．問 5.4.5 a ∈ A◦と仮定する. A◦は開なので仮定より f(A◦)は開．したがって r > 0が存在しD(f(a), r) ⊂ f(A◦). これと，|f(a)| < |z|をみたす z ∈ D(f(a), r)が必ず存在することから |f(a)| < maxz∈A |f |. また f(a) 6= 0なら |f(a)| > |z|をみたす z ∈ D(f(a), r)

が必ず存在することから, |f(a)| > minz∈A |f |.問 5.4.6 定数でない多項式 f に対し |f |は最小点を持つ (問 1.3.2). 最小点は極小点でもあるので，命題 5.4.6より零点である必要がある．問 5.4.7 f−1に対し例 5.4.8, c) を適用し，|f−1(z)| ≤ (r/R)|z|, ∀z ∈ D(0, R). ゆえに∀z ∈ D(0, r)に対し

|f(z)| ≤ (R/r)|z| = (R/r)|f−1 ◦ f(z)| ≤ (R/r)(r/R)|f(z)| = |f(z)|.

したがって |f(z)| = (R/r)|z|. これにより f に対する可能性 b)が否定され，a)が成立する．したがって，f(z) = cz, |c| ≤ R/r．このとき，f−1(z) = z/cであるが，f−1に例5.4.8を適用し，1/|c| ≤ r/R．以上より |c| = R/r.

問 5.5.1 等式 tan z = 1itanh (iz)と (5.22) より (5.24)を得る．また，等式 1

sin z= 1

tan z2−

1tan z

と (5.24)より (5.25)を得る．問 5.5.2: (5.26)に命題 1.4.11を適用し，第一式を得る．第一式と sin z = sinh (iz)/i

より第二式を得る．問 5.5.3 cosh のべき級数展開 (2.7)に補題 5.5.1を適用し第一式を得る．さらに第一式cos z = cosh (iz)より第二式を得る．問 5.5.4 i) f ′′ = 2ff ′と，積の微分に関するライプニッツの公式より，f (n+2)に関する等式を得る．同様に g′ = fgと，積の微分に関するライプニッツの公式より，g(n+1)に関する等式を得る．ii) (5.20)より，Bn+1は f (2n+1)(0)の正数倍である．また f (n+2)に関する i)の等式から帰納的に f (2n+1)(0) > 0を得る．また (5.27)より，Enは g(2n)(0)の正数倍である．また f (n+2)に関する i)の等式から帰納的に g(2n)(0) > 0を得る．問 6.1.1: 補題 5.4.2の証明より，

ga(z) =∞∑n=1

f (n)(a)

n!(z − a)n−1, z ∈ D(a,R)\{a}.

上式右辺のべき級数は z ∈ D(a,R)について正則である．したがって，点 aは gaの除去可能特異点である．

200

問 6.1.2 表示式 (6.9)より，z ∈ D(a,R)\{a}に対し

F (z) = g(z) + g(2a− z) +m∑

n=1

(1 + (−1)n)c−n(z − a)−n = g(z) + g(2a− z).

上式右辺は D(a,R) 上正則なので，a は F の除去可能特異点である.

問 6.1.3: i) g の連続性，h の零点の非集積性より，ある r ∈ (0, R]に対し, g(z) 6=0, ∀z ∈ D(a, r),かつ h(z) 6= 0, ∀z ∈ D(a, r)\{a}. よって，h/g : D(a, r)→ Cは正則かつ D(a, r)\{a}上に零点を持たない．また，a は h/g のm次の零点である．以上と 命題 6.1.6より結論を得る．ii) Res(g/h, a) (6.7)

= limz→az =a

(z − a)g(z)/(h(z)− h(a)) = g(a)/h′(a).

iii) Res(gh, a)

(6.6)=

1

2limz→az =a

(d

dz

)(z − a)2

g(z)

h(z). また，

(d

dz

)(z − a)2

g(z)

h(z)=

(z − a)2g′(z)

h(z)− (z − a)g(z) ((z − a)h′(z)− 2h(z))

h(z)2.

上式と 問 5.4.3より示すべき式を得る．

問 6.1.4: i) 問 5.4.2より, A = {a, b}, hの零点 a, b の次数はそれぞれ m+ 1, n+ 1 である. これと 命題 6.1.6より, a, b は 1/h の極であり，それぞれの次数は m+ 1, n+ 1

である．ゆえにRes(1/h, a)

(6.6)=

1

m!limz→az =a

(d

dz

)m(z − a)m+1

h(z).

また，1

m!

(d

dz

)m(z − a)m+1

h(z)=

1

m!

(d

dz

)m

(z − b)−(n+1)

=1

m!(−1)m(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+m)(z − b)−(m+n+1)

= (−1)m(m+ n

m

)(z − b)−(m+n+1).

以上より，Res(1/h, a) = (−1)m

(m+ n

m

)(a− b)−(m+n+1).

a と b, m と n を入れ替えて，Res(1/h, b) = (−1)n(m+nn

)(b− a)−(m+n+1).

ii) 問 5.4.2より A = {nπ/c ; n ∈ Z}, Aの各点は hの次数 1の零点である．これと 命題 6.1.6より, Aの各点は g/h の除去可能特異点，または 1 次の極である．ゆえにAの各点 nπ/c に対し

Res(gh,nπ

c

) 問 6.1.3=

g(nπ/c)

h′(nπ/c)=

(−1)ng(nπ/c)c

.

問 6.1.5：gは正則関数の合成 (C\{0} 1/z−→ C f−→ C) なので正則である．また，f の原点 0に関するテーラー展開を f(z) =

∑∞n=0 cnz

n とする．f は多項式でないので，無限

201

個の nに対し cn 6= 0. したがって任意の m ∈ Nに対し，pm(z)def=∑m

n=0 cm−nzn は多項

式，qm(z)def=∑∞

n=1 cm+nzn は定数でない正則関数である．以下，a が g の除去可能特

異点，または m次以下の極と仮定し，矛盾を導く．このとき，原点 0は h(z)def= zmg(z)

の除去可能特異点である．さらに z ∈ C\{0} に対し，

h(z) =m∑

n=0

cnzm−n +

∞∑n=m+1

cnzm−n = pm(z) + qm(1/z).

リューヴィルの定理より qm は非有界．したがって，点列 zk を |zk| k→∞−→ ∞ かつ|qm(zk)|

k→∞−→ ∞ をみたすようにとれ，

h(1/zk) = pm(1/zk) + qm(zk).

k →∞ で上式左辺は収束し，右辺は収束しない (矛盾).

問 6.3.1 補題 6.3.1と同様．問 6.3.2: f(z)

def= exp(θz)/sinh zとする．0, πiは f の 1次の極であり，

Res(f, a)問 6.1.3= exp(θz)/cosh z|z=a =

{1, a = 0,

− exp(θπi), a = πi.

よって補題 6.3.1より，

1)

∫C+(0,ε)

fε→0−→ πi,

∫C−(πi,ε)

fε→0−→ −πi exp(θπi).

0 < ε < r <∞に対し Ir,ε, Jr,εを次のように定める．

Ir,ε =

(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)f =

(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)sinh θx

sinh x,

Jr,ε =

(∫ r

ε

+

∫ −ε

−r

)f(x+ πi)dx.

f は次の星形領域D上正則である．

Ddef= C\{iy ; y ∈ R, |y| ≥ π}.

そこで 0 < ε < r <∞とし，Dに含まれる下図の積分路にコーシーの定理 (定理 4.5.5)

を適用し，

−r r

−r + πi r + πi−ε+ πi ε+ πiπi

0−ε ε

202

2) Ir,ε − Jr,ε +

(∫[−r+πi,−r]

+

∫[r,r+πi]

−∫C+(0,ε)

−∫C−(πi,ε)

)f = 0.

sinh (z + πi) = −sinh z より，

Jr,ε = − exp(θπi)Ir,ε.

さらに，|sinh z| ≥ exp(|Re z|)− 1.

これから容易に次を得る．∫[−r+πi,−r]

fr→∞−→ 0,

∫[r,r+πi]

fr→∞−→ 0.

以上より，2)で r →∞とすることにより，

(1 + exp(θπi))

(∫ ∞

ε

+

∫ −ε

−∞

)sinh θx

sinh xdx =

∫C+(0,ε)

f +

∫C−(πi,ε)

f.

上式で ε→ 0とし，1)に注意すれば,∫ ∞

0

sinh θx

sinh xdx = π tan

πθ

2.

これは示すべき等式と同値である．問 6.3.3: 問 6.3.2の等式両辺を θのべき級数に展開する．∫ ∞

0

sinh θx

sinh xdx

(2.7)=

∫ ∞

0

1

sinh x

(∞∑n=1

(θx)2n−1

(2n− 1)!

)dx

=∞∑n=1

θ2n−1

(2n− 1)!

∫ ∞

0

x2n−1

sinh xdx

上式中の積分・無限和の順序交換については例えば [吉田 1, p.423, 定理 16.5.3], あるいはルベーグ積分論の単調収束定理 [吉田 2, p.52, 定理 2.4.1]を参照されたい．一方，

π

2tan

πθ

2

(5.20)=

∞∑n=1

(−1)n−1π2n(22n − 1)b2nθ2n−1.

θ2n−1の係数を比較して (6.22)を得る．ii) i)と問 2.4.11による．問 6.3.4 (i) sin x = (1 − cosx)′に注意して部分積分する．(ii) cos ax − cos bx = (1 −cos bx)− (1− cos ax)より (i)に帰着．(iii) sin2 x = 1−cos 2x

2より (i)に帰着．

問 6.5.1 (i): 変数変換 φ = π − θより ∫ 3π/2

π/2cos2 θc+sin θ

dθ =∫ π/2

−π/2cos2 φc+sinφ

dφ. (ii): 変数変換 θ = φ + π

2より ∫ π

0sin2 θc+cos θ

dθ =∫ π/2

−π/2cos2 φc+sinφ

dφ. よって第一式を得る．また，変数変換 φ = −θより ∫ π

0sin2 θc+cos θ

dθ =∫ 0

−πsin2 φc+cosφ

dφ. よって第二式を得る．(iii): (i)の等式とcos2 θ = (e2iθ + e−2iθ + 2)/4 より，例 6.5.2(証明後の注も参照)を使える．問 6.5.2 g(z)

def= exp(iθz), h(z)

def= z2−2bz+c2. h(z) = 0の解はσ±, Im σ− < 0 < Imσ+

203

(問 2.4.3). よって σ± は g/hの一次の極，Res(g/h, σ±)問 6.1.3= (g/h′)(σ±).

θ ≥ 0なら g/hは補題 6.5.3の仮定をみたす．ゆえに

I = 2πi(g/h′)(σ+) =π√

c2 − b2exp(iθσ+).

θ ≤ 0なら g/hは補題 6.5.4の仮定をみたす．ゆえに

I = 2πi(g/h′)(σ−) =π√

c2 − b2exp(iθσ−).

問 6.5.3 g(z)def= exp(iθz), h(z)

def= z4−2bz2+c2. h(z) = 0の解は±τ+,±τ− (問 2.4.3). こ

れらは全て異なるので∀a ∈ {±τ+,±τ−}はg/hの一次の極，Res(g/h, a) 問 6.1.3= (g/h′)(a).

θ ≥ 0なら g/hは補題 6.5.3の仮定をみたす．これと Im τ− < 0 < Im τ+より

I = 2πi ((g/h′)(τ+) + (g/h′)(−τ−)) =π

2c√c2 − b2

(−τ− exp(iθτ+) + τ+ exp(−iθτ−)) .

θ ≤ 0なら g/hは補題 6.5.4の仮定をみたす．これと Im τ− < 0 < Im τ+より

I = 2πi ((g/h′)(−τ+) + (g/h′)(τ−)) =π

2c√c2 − b2

(τ− exp(−iθτ+)− τ+ exp(iθτ−)) .

問 6.5.4 i) 例 6.5.7から容易に分かる．ii) cosh , 1/ cosのべき級数展開 ((2.7), (5.27))

を用い等式 (6.42)両辺を θのべき級数で表し，係数を比較する (問 6.3.3参照).

問 6.5.5 まず (6.46)を示す．補題 5.6.3より右辺の無限積は z ∈ Cについて広義一様収束する．したがって両辺は z ∈ Cについて連続である．ゆえに z ∈ C\πiZ の場合に等式を示せば十分である．そこで以下，z ∈ C\πiZとする (これにより，以下の計算中の分数式で分母 6= 0)．このとき，

cosh z = sinh 2z/(2sinh z)(6.40)= lim

N→∞

2N∏n=1

(1 +

4z2

n2π2

)/

N∏n=1

(1 +

z2

n2π2

)

= limN→∞

N∏n=1

(1 +

4z2

(2n− 1)2π2

).

以上で (6.46)を得る．(6.46)と cos z = cosh (iz)より (6.47)を得る．(6.46)と命題 5.6.4

より (6.48)を得る．(6.48)と tan z = −itanh (iz)より (6.49)を得る．問 6.6.1 n ≥ m+ 1, 0 < r ≤ ρに対し

|c−n|(6.53)

≤ rn−1

2π

∫C(a,r)

|f(z)||dz| ≤ Mrn−m−1

2π

∫C(a,r)

|dz| = Mrn−m r→0−→ 0.

問 6.7.1 gは有界閉集合Cで連続かつ g−1(0) ∩ C = ∅より εdef= minz∈C |g(z)| > 0. し

たがってmaxz∈C |f(z)− g(z)| < εならC上 |f − g| < |g|. これとルーシェの定理 (命題6.7.5) より (6.65)を得る．問 6.7.2 F (z)

def= f(1/z) (z ∈ D(0, 1/ρ)\{0})に対し補題 6.7.1より ∫

C(0,1/r)F ′/F =

m(F, 0) = m(f,∞) (円周の向きは反時計回りとする). 一方，F ′(z)/F (z) = −f ′(1/z)/(z2f(1/z))

204

と問 4.2.2より ∫C(0,r)

f ′/f =∫C(0,1/r)

f ′(1/z)/(z2f(1/z))dz = −∫C(0,1/r)

F ′/F . 以上より結論を得る．問 6.7.3 r ∈ (0,∞)を f−1(0)∪A ⊂ D(0, r)となるようにとる．このとき，偏角の原理(命題 6.7.2)より ∫

C(0,r)f ′/f =

∑a∈f−1(0)∪Am(f, a). 一方，問 6.7.2より ∫

C(0,r)f ′/f =

−m(f,∞).

205

参考文献

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[今吉] 今吉洋一　「複素関数概説」サイエンス社[神保] 神保道夫　「複素関数入門」岩波書店[前原] Maehara, Ryuji: The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem.

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一次分数変換 (linear fractional transformation),12

一対一 (one to one), 7一致の定理 (unicity theorem), 127一般二項係数 (generalized binomial coefficient),

70一般二項展開 (generalized binomial expansion),

70

ヴェッセル (Caspar Wessel, 1745–1818), 12ウォリスの公式 (Wallis’ formula), 166うまく分割できる, 121

オイラー (Leonhard Euler, 1707–83), 9, 12,30, 32, 56, 68, 118

オイラー数 (Euler number), 118オイラーの等式 (Euler’s formula), 32オームの法則 (Ohm’s law), 32折れ線 (polygonal line), 27

開 (open), 27開円板 (open disc), 15開写像 (open mapping), 130開写像定理 (open mapping theorem), 176回転数 (winding number), 156ガウス (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855), 12,

117カソラチ (Felice Casorati, 1835–90), 150カソラチ・ワイエルシュトラスの定理 (The Casorati-

Weierstrass theorem), 150カタラン (Eugene Charles Catalan, 1814–94),

69カタラン定数 (Catalan’s constant), 69加法定理 (addition formulas), 31, 32カルダーノ (Gerolamo Cardano, 1501–76), 12ガンマ関数 (Gamma function), 47

基本群 (fundamental group), 105逆写像 (inverse map), 7逆正弦 (arc sine), 49逆正接 (arc tangent), 50逆像 (inverse image), 7逆余弦 (arc cosine), 51級数 （series), 17境界 (boundary) , 27共役 (conjugate) , 9極 (pole), 136, 153

極限 (limit) , 14極座標 (polar coordinates), 35虚軸 (imaginary axis), 9虚部 (imaginary part) , 9

グールサ (Edouard Jean-Baptiste Goursat, 1858–1936), 78, 98

区分的 (piecewise), 80グリーン (George Green, 1793–1841), 86, 88グリーンの定理 (Green’s formula), 86, 88

径数づけられた (parameterized), 81ケイリー変換 (Cayley transfomation), 50原始関数 (primitive function), 93

合成 （composition）, 7コーシー (Augustin Cauchy, 1789–1857), 56,

57, 88, 99, 105, 113, 123, 161, 195コーシーの積分表示 (Cauchy’s integral for-

mula), 113, 123, 161, 195コーシーの定理 (Cauchy’s theorem), 88, 99,

105コーシー・リーマン方程式 (Cauchy-Riemann

equation), 57弧長 (arc length), 82孤立特異点 (isolated singularity), 135孤立特異点集合 (set of isolated singularities),

135

最大値原理 (maximal modulus principle), 129三角関数 (trigonometric functions), 32三角不等式 (triangular inequality), 10

指数関数 (exponential function), 30次数 (極の)(degree), 136指数分布 (exponential distribution), 93指数法則 (exponential law), 30次数 (零点の) (degree), 128実軸 (real axis), 9実部 (real part), 9写像 (map), 6ジュウコフスキー変換 (Joukowski transfoma-

tion), 48収束 (convergence), 13, 17収束円 (circle of convergence), 26収束半径 (radius of convergence), 26縮小写像 (contraction map), 22シュワルツ (Hermann Schwarz, 1843–1921),

129シュワルツの補題 (Schwarz’ lemma), 129条件収束 (conditional convergence), 19

207

除去可能 (removable), 136, 153ジョルダンの曲線定理 (Jordan curve theorem),

160真性 (essential), 136, 153

スチルチェス (Thomas Joannes Stieltjes, 1856–94), 93

正弦 (sine), 32正接 (tangent), 36正則 (holomorphic), 54関孝和 (?–1708), 117絶対収束 (absolute convergence), 19全射 (surjective), 7全単射 （bijective), 7全微分 (total differentiation), 73線分 (line segment), 27

像 (image), 7双曲正弦 (hyperbolic sine), 31双曲正接 (hyperbolic tangent), 36双曲余弦 (hyperbolic cosine), 31相補公式 (complimentary formula), 168

対数 (logarithm), 52代数学の基本定理 (the fundamental theorem

of algebra), 117, 130, 175多項式 (polynomial), 16ダランベール (Jean Le Rond d’Alembert, 1717–

1783), 56単項式 (monomial), 16単射 (injective), 7単純曲線 (simple curve), 79単連結 (simply connected), 104

重複組合せ (combination with repetition), 72調和 (harmonic), 60直積 (direct product), 8直径 (diameter), 11

継ぎ足し (concatenation), 80

テイラー展開 (Taylor expansion), 113ディリクレ (Peter Gustav Lejeune-Dirichlet,

1805–59), 47ディリクレ級数 (Dirichlet series), 47デカルト (Rene Descartes, 1596–1650), 12

等角 (conformal), 76同相写像 (homeomorphism), 109同値関係 (equivalence relation), 8同値類 (equivalence class), 8時計回り (clockwise), 193

内点 (interior point), 27

二重階乗 (double factorial), 72任意回複素微分可能性, 113

ハミルトン (William Hamilton, 1805–65), 9反時計回り (counter-clockwise), 79, 81, 85, 86,

193反時計回りに囲む (enclose counter-clockwise),

159

ピカール (Emile Picard, 1856–1941), 115, 151ピカールの小定理, 115ピカールの大定理, 151非交差分解 (disjoint decomposition), 8微 (分)係数 (differential coefficient), 73

複素数 (complex number), 9複素数列 (complex sequence), 13複素線積分 (complex line integral), 82複素点列 (complex sequence), 13複素微分 (complex differentiation), 53複素微分係数 (differential coefficient), 54負の二項係数 (negative binomial coefficient),

72負の二項展開 (negative binomial expansion),

72部分和 (partial sum), 17プリングスハイム (Alfred Pringsheim, 1850–

1941), 78, 98フレネル (Augustin Jean Fresnel, 1788–1827),

92フレネル積分 (Fresnel integral), 92分割 (partition), 121

閉 (closed), 27閉円板 (closed disc), 15閉曲線 (closed curve), 79閉包 (closure) , 27べき級数 (power series), 22ベルヌーイ (Jakob Bernoulli, 1654–1705), 117ベルヌーイ数 (Bernoulli number), 117偏角 (argument), 37, 52偏角原理 (argument principle), 173

星形 (star-shaped), 99ホモトピー (homotopy), 104ホモトピー同値 (homotop), 104

無限遠点 (point at infinity), 152無限積 (infinite product), 131

メビウス変換 (Mobius transformation), 12メリン変換 (Mellin transform), 47

モーメント問題 (moment problem), 93モレラ (Giacinto Morera, 1856–1907), 117

208

モレラの定理 (Morera’ s theorem), 117

有界 (bounded), 11, 13有理式 (rational function), 16

余弦 (cosine), 32

ライプニッツ (Gottfried Leibniz, 1646–1716),67

ライプニッツの級数 (Leibniz series), 67ラプラシアン (Laplacian), 60

リーマン (Bernhard Riemann, 1826–66), 47,57, 105, 150, 153

リーマン球面 (Riemann sphere), 153リーマンの可除特異点定理 (Riemann’s remov-

able singularity theorem), 150リーマンの写像定理 (Riemann’s mapping the-

orem), 105リーマンのゼータ関数 (Riemann zeta func-

tion), 47立体射影 (stereographic projection), 16留数 (residue), 136留数定理 (residue theorem), 160リューヴィル (Joseph Liouville, 1809–82), 115リューヴィルの定理 (Liouville’s theorem), 115領域 (domain), 27

ルーシェ(Eugene Rouche, 1832–1910), 174ルーシェの定理 (Rouche’s theorem), 174ルーマン・メンショフの定理 (The Looman-

Menchoff theorem), 75

零点の孤立性 (isolation of zeros), 25, 127連結 (connected), 27連続 (continuous), 15連続可変 (homotop), 104

ローラン (Pierre Alphonse Laurent, 1813–54),136, 141

ローラン展開 (Laurent expansion), 136, 141

ワイエルシュトラス (Karl Weierstrass, 1815–97), 150

209

9 メモ

この章は執筆過程の備忘録．最終的には削除予定．

9.1 (⋆)多価関数としての偏角・対数定義 9.1.1 (偏角) z ∈ C\{0}に対し次の集合 arg z ⊂ Rを zの偏角と呼ぶ．

arg z = {Arg z + 2nπ, ; n ∈ Z}. (9.1)

注 1)偏角 arg zは集合として定めたが，剰余類 R/2πZ (Rにおいて x − y ∈ 2πZをみたす元x, yを同一視したもの) の一点と考えてもよい．2) z, w ∈ C\{0}とする．このとき，命題 2.3.3より次のような集合間の等式を得る．

arg1

z= − arg z

def= {−θ ; θ ∈ arg z}, (9.2)

arg zw = arg z + argwdef= {θ + φ ; θ ∈ arg z, φ ∈ argw}. (9.3)

実際，(2.27)より，Arg 1z −(−Arg z)は 0または 2πである．よって (9.2)を得る．同様に，(2.28)

より (9.3)を得る．(9.3)より，z 7→ arg zは乗法群 C\{0}から加群 R/2πZ への準同型である．定義 9.1.2 (対数) z ∈ C\{0}に対し次の集合 log z ⊂ Cを zの対数と呼ぶ．

log z = {Log z + 2nπi, ; n ∈ Z}. (9.4)

注 1) z ∈ C\{0}に対し log zは集合として定めたが，剰余類C/2πiZ (Cにおいて z−w ∈ 2πiZをみたす元 z, wを同一視したもの) の一点と考えてもよい．2) z, w ∈ C\{0}とする．このとき，次のような集合間の等式を得る．

log z = log |z|+ i arg zdef= {log |z|+ iθ ; θ ∈ arg z}, (9.5)

log1

z= − log z

def= {−s ; s ∈ log z}, (9.6)

log zw = log z + logwdef= {s+ t ; s ∈ log z, t ∈ logw}. (9.7)

実際，(9.1),(9.4) より，(9.5)を得る．また，(2.32)より，Log 1z − (−Log z)は 0または 2πiで

ある．よって (9.6)を得る．同様に，(2.33)より (9.7)を得る．(9.7)より，z 7→ log zは乗法群C\{0}から加群 C/2πiZ への準同型である．命題 9.1.3 z ∈ Cに対し，

arg exp z = {Im z + 2nπ ; n ∈ Z}, (9.8)

log exp z =

{Re z ∈ {z + 2nπi ; n ∈ Z}, Im z ∈ 2πZなら,{z + 2nπi ; n ∈ Z}, Im z 6∈ 2πZなら.

(9.9)

証明：(9.8): (9.1),(2.35)による．(9.9): Im z ∈ 2πZなら exp z = exp(Re z) ∈ (0,∞)．よって log exp z = log exp(Re z) = Re z.Im z 6∈ 2πZなら exp z ∈ C\[0,∞). よって (9.4),(2.35)より (9.9)を得る． \(∧2

∧)/

9.2 (⋆)定理 6.6.1の証明 (留数定理を使わない方法)

まず幾何的な補題を準備する．補題 9.2.1 φ ∈ (0, π/2), R ∈ (0,∞], 0 < ρ < R cosφ とする．このとき，次の領域 U ⊂ Cは,実軸上の点 a ∈ [ρ/ cosφ,R)に関し星形である．

U = {z ∈ C ; ρ < |z| < R, |Arg z| < φ}.

210

φ

ρ x

z

R

証明：任意の z ∈ U に対し z(t) = (1− t)a+ tz ∈ U (0 < t < 1)を言えばよい．まず，

|z(t)| ≤ (1− t)|a|+ t|z| < (1− t)R+ tR = R.

また， a cos(Arg z) > a cosφ ≥ ρ より，

|z(t)|2 = (1− t)2|a|2 + 2t(1− t)a|z| cos(Arg z) + t2|z|2

> (1− t)2ρ2 + 2t(1− t)ρ2 + t2ρ2 = ρ2.

さらに問 2.3.3より, |Arg z(t)| < |Arg z| < φ 以上より z(t) ∈ U . \(∧2∧)/

星形領域に対するコーシーの定理 (定理 4.5.5)と補題 9.2.1から次の補題を導く．

補題 9.2.2 0 < ρ < r1 < r2 < R ≤ ∞, a ∈ C, b ∈ D(a, r2)\D(a, r1), f : D(a,R)\(D(a, ρ) ∪{b})→ Cは正則とする. このとき，次のような ε > 0 が存在する．

D(b, ε) ⊂ D(a, r2)\D(a, r1), (9.10)∫C(a,r2)

f =

∫C(a,r1)

f +

∫C(b,ε)

f. (9.11)

特に f : D(a,R)\D(a, ρ)→ Cが正則なら∫C(a,r2)

f =

∫C(a,r1)

f. (9.12)

211

C(a, r1)

C(a, r2)

C(b, ε)

D0

D1

Dn−1

証明：φ ∈ (−π/2, π/2)を ρ < R cosφとなるようにとり，実数列

θ0 < θ1 < ... < θn < θn+1def= θ0 + 2π

を，θ0 = Arg (b− a)− φ4 , θ1 = Arg (b− a) + φ

4 , θj+1 − θj ≤ φ/2 (j = 1, ..., n) となるようにとる．さらに領域Dj , Uj (j = 0, 1, ..., n− 1) を次のように定める．

Dj = {a+ r exp(iθ) ; r ∈ (r1, r2), θ ∈ (θj , θj+1)},Uj = {a+ r exp(iθ) ; r ∈ (ρ,R), θ ∈ (θj − φ

8 , θj+1 +φ8 )}.

ε > 0が十分小なら，D(b, ε) ⊂ D0，特に (9.10)を得る．j = 0, 1, ..., n− 1に対し領域 Uj は星形 (補題 9.2.1), また，∂Dj は Uj 内の区分的 C1閉曲線である (向きは反時計回りとする)．特に j = 1, ..., n − 1に対し f : Uj → Cは正則なので，星形領域に対するコーシーの定理 (定理4.5.5)より，

1)

∫∂Dj

f = 0 (j = 1, ..., n− 1).

一方，f : U0\{b} → Cは正則なので，閉曲線 ∂D0に対し補題 5.1.3を適用し14，

2)

∫∂D0

f =

∫C(b,ε)

f (特に f : D(a,R)\D(a, ρ)→ Cが正則なら右辺=0).

閉曲線 ∂Dj と ∂Dj+1 (j = 0, 1, ..., n− 1, ∂Dndef= ∂D0) が共有する線分上で両者の向きが逆で

あることによる相殺により，

3)

n−1∑j=0

∫∂Dj

f =

∫C(a,r2)

f −∫C(a,r1)

f .

1),2),3)より (9.11)を得る. \(∧2∧)/

補題 9.2.2, コーシーの積分表示 (5.1), さらに補題 5.1.5を組み合わせ定理 6.6.1を示す．14補題 5.1.3の証明直後に注意したように，補題 5.1.3は，C(a, r)の代わりに，例えば ∂D0をとっても成立する

212

定理 6.6.1の証明：a) ⇒ b):

D(z, ε)

D(a, r1)

D(a, r2)

gz(w)def= 1

2πif(w)/(w − z) (w ∈ D(a,R)\(D(a, ρ) ∪ {z}))は正則．ゆえに補題 9.2.2より次のような ε > 0が存在する．

D(z, ε) ⊂ D(a, r2)\D(a, r1),∫C(a,r2)

gz =

∫C(a,r1)

gz +

∫C(z,ε)

gz.

また，コーシーの積分表示 (5.1)より，∫C(z,ε)

gz = f(z).

以上より，

1) f(z) =

(∫C(a,r2)

−∫C(a,r1)

)gz.

以上で b) を得る．b)⇒ c): (6.51) の導出は 定理 6.6.1 で述べたとおりである．そこで cnが r ∈ (ρ,R)について定数であることを示す．ρ < r1 < r2 < Rとする．g(z) = f(z)/(z − a)n+1 (z ∈ D(a,R)\D(a, ρ))は正則．ゆえに ∫

C(a,r1)g

(9.12)=

∫C(a,r2)

g.

したがって cnは r ∈ (ρ,R)について定数である．c) ⇒ a): 命題 6.1.5で既に示した． \(∧2

∧)/

9.3 その他雑多

我々は正弦・余弦関数を, 指数関数を用いて解析的に定義した（命題 2.2.2）. 一方, 正弦・余弦関数の幾何学的意味は, 単位円周上の点の座標を, 座標軸との角度 (=弧長)を変数とした関数として表すことである. 次の命題により，解析的定義と幾何学的意味づけが融合される：

213

命題 9.3.1 (円周の径数づけ) C(0, 1) = {z ∈ C ; |z| = 1}, c ∈ R, I = c + [−π, π), またはI = c+ (−π, π]とする. このとき，次の写像は全単射である：

θ 7→ exp(iθ) : I −→ C(0, 1). (9.13)

証明：I = c+ [−π, π)の場合に示すが，I = c+ (−π, π]でも同様である．1) (2.17)は単射である．c− π ≤ θ ≤ θ′ < c+ π, exp(iθ) = exp(iθ′)と仮定すると，命題 2.2.4より，θ′ − θ ∈ 2πZ. ところが 0 ≤ θ′ − θ < 2πより θ′ − θ = 0, すなわち θ = θ′.

2) θ 7→ cos θ : [0, π]→ [−1, 1]は全射である．cos 0 = 1, cosπ = −1. よって cosの連続性 (命題 2.2.2)と中間値定理より結論を得る．3) c = 0に対し (2.17)は全射である．exp(iπ) = −1 = exp(−iπ). 従って c = 0に対し (2.17)の定義域 [−π, π)を [−π, π]に拡げても値域は変わらないので，拡げて考える．z ∈ C(0, 1)を任意，x = Re z, y = Im z とする．x ∈ [−1, 1]と 2)より x = cos θなる θ ∈ [0, π]が存在する．sin θ ≥ 0に注意すると，

|y| =√1− x2 =

√1− cos2 θ = sin θ.

したがって±y ≥ 0なら，y = ± sin θ (複号同順), ゆえに,

z = x+ iy = cos θ ± i sin θ = exp(±iθ).

±θ ∈ [−π, π]より，所期の全射性を得る．4) (2.17)は全射である．

{exp(iθ) ; θ ∈ [−π, π)} 3)= C(0, 1). また，明らかに {exp(ic)z ; z ∈ C(0, 1)} = C(0, 1). よって

{exp(iθ) ; θ ∈ c+ [−π, π)} = {exp(ic) exp(iθ) ; θ ∈ [−π, π)}= {exp(ic)z ; z ∈ C(0, 1)} = C(0, 1).

\(∧2∧)/

系 9.3.2 (平面極座標) 　 c ∈ R, I = c+ [−π, π), または I = c+ (−π, π]とするとき，次の写像は全単射である：

(r, θ) 7→ r exp(iθ) : (0,∞)× I −→ C\{0}.

証明: この写像を f と書く．z ∈ C\{0}を任意, r = |z|とするとき， zr ∈ C(0, 1). ゆえに命題

2.2.6より，zr = exp(iθ), すなわち z = r exp(iθ)をみたす θ ∈ Iが存在する．従って f は全射で

ある．一方，(r, θ) ∈ (0,∞) × I, r exp(iθ) = zなら，両辺の絶対値をとり，r = |z|. また，両辺を rで割ると exp(iθ) = z/|z|となり，これをみたす θ ∈ Iは唯一である (命題 2.2.6). 従ってf は単射である． \(∧2

∧)/

命題 2.3.7の別証明：a) z ∈ C\{0}に対し ImLog z(2.29)= Arg z ∈ (−π, π]. ゆえに Log ∈ Sc．

また，expLog z

(2.29)= exp(log |z|) exp(iArg z) (2.23)

= |z| · z

|z|= z.

b) (2.4)より任意の z ∈ C に対し exp z ∈ C\{0},

exp z(2.2)= exp(Re z) exp(i Im z)

(2.5)= | exp z| exp(i Im z).

特に z ∈ S0 なら上式と Im z ∈ (−π, π] より

214

1) Arg exp z(2.23)= Im z.

さらに，Log exp z

(2.29)= log | exp z|+ iArg exp z

(2.5),1)= Re z + i Im z = z.

c): a), b) から分かる． \(∧2∧)/

全ての t ∈ I に対し g′(t) 6= 0. (9.14)

この条件 (9.14)により，単位接ベクトル g′(t)/|g′(t)|が定まる．

定義 9.3.3 C ⊂ Cは単純閉曲線,D ⊂ Cは有界領域とする．C = ∂Dかつ C\Dが連結であるとき，Dは C の内部領域であるという．

注：区分的 C1曲線 g : [α, β]→ Cが t ∈ [α, β]で微分可能なら，条件 (9.14)により，単位接ベク

トル g′(t)/|g′(t)|が定まる．また，v ∈ Cに対し，−ivは vを，時計回りに 90◦回転して得られることに注意する．

定義 9.3.4 C ⊂ Cは区分的 C1単純閉曲線で有界領域Dは C の内部領域であるとする (定義9.3.3) また，C 上の微分可能点 zに対し，C の zにおける単位接ベクトルを v(z)と記す．▶ 次の条件がみたされるとき C は反時計回り の向きを持つという．C 上の任意の微分可能点zに対し，δ > 0が存在し，

z − itv(z) ∈{

D, t ∈ (−δ, 0)なら,

C\D, t ∈ (0, δ)なら.(9.15)

また，C が時計回り の向きを持つとは，反時計回りと逆の向きをもつこととする．

(9.15)は，「C に沿って進むとき, Dが進行方向左手にある」ことを意味する．

215

補題 9.3.5 a ∈ C, r > 0, b ∈ D(a, r), n ∈ Zに対し，∫C(a,r)

(z − a)n

z − bdz =

{2πi(b− a)n, (n ≥ 0),0, (n < 0).

(9.16)

ここで，円周 C(a, r)の向きは反時計まわりとする．

証明: 補題 5.1.5より，

1)

∫C(a,r)

(z − a)n

z − bdz =

∞∑m=0

(b− a)m∫C(a,r)

(z − a)n−m−1 dz.

ところが， ∫C(a,r)

(z − a)n−m−1 dz(4.18)=

{2πi, (m = n),0, (m 6= n).

ゆえに n < 0なら 1)右辺の項は全て 0である．一方，n ≥ 0ならm = nの項のみが残り，

1)右辺 = (b− a)n × 2πi.

以上より結論を得る． \(∧2∧)/

例 9.3.6 D ⊂ Cは開, D ⊃ {z ∈ C ; Im z ≥ 0}, f : D → Cは正則かつ C1とする．∫ r

0

f(a+ x)− f(a− x)

xdx = πif(a)−

∫C+(a,r)

f(z)

z − adz, (9.17)

さらに，ある C,R, α, β > 0に対し次を仮定する．

z ∈ H, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C|z − a||Re z|α + | Im z|1+β

.

このとき，

広義積分 Idef=

∫ ∞

0

f(a+ x)− f(a− x)

xdx が存在し，I = πif(a). (9.18)

証明: a = 0に対する各等式・不等式を f(a+ z)に適用すれば，一般の a ∈ Rに対する各等式・不等式を得る．そこで以下，a = 0とする．半円周C+(0, r)を g(t) = r exp(it) (t ∈ [0, π])と径数づけると，g′(t) = ir exp(it)より，∫

C+(0,r)

f(z)

zdz

(4.7)=

∫ π

0

f(r exp(it))

r exp(it)· ir exp(it)dt = i

∫ π

0f(r exp(it))dt.

(9.17) t ∈ [0, π], x ∈ [0, r]に対しd

dxf(x exp(it)) = f ′(x exp(it)) exp(it).

よって

216

1) f(r exp(it)) = f(0) +

∫ r

0f ′(x exp(it)) exp(it)dx.

一方，

2)d

dt

f(x exp(it))

x=

f ′(x exp(it))ix exp(it)

x= if ′(x exp(it)) exp(it).

よって，

3) i

∫ π

0f ′(x exp(it)) exp(it)dt

2)=

[f(x exp(it))

x

]t=π

t=0

= −f(x)− f(−x)x

.

以上より，

i

∫ π

0f(r exp(it))dt

1)= πif(0) + i

∫ π

0

(∫ r

0f ′(x exp(it)) exp(it)dx

)dt

= πif(0) + i

∫ r

0

(∫ π

0f ′(x exp(it)) exp(it)dt

)dx (積分順序の交換)

3)= πif(0)−

∫ r

0

f(x)− f(−x)x

dx.

よって，a = 0に対する (9.17)を得る．(9.18): (9.17)と補題 9.3.16による． \(∧2

∧)/

注: f(a± x)/xが x ∈ [0, r]について可積分なら，∫ r

0

f(a+ x)− f(a− x)

xdx =

∫ r

−r

f(a+ x)

xdx =

∫ a+r

a−r

f(x)

x− adx.

例 9.3.7 ∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2. (9.19)

証明: 例 9.3.6でD = C, f(z) = exp(iz), a = 0とする．このとき，

f(0) = 1,

∫ r

0

f(x)− f(−x)x

dx = 2i

∫ r

0

sinx

xdx.

また，|f(z)| = exp(− Im z)より条件M(r)r→∞−→ 0 が任意の δ ∈ (0, 1) に対し成立する．よっ

て，(9.18) より結論を得る． \(∧2∧)/

例 9.3.8 D ⊂ Cは開, a ∈ C, r > 0, D ⊃ {z ∈ C ; |z − a| ≤ r}, f : D → Cは正則かつ C1とする．円周 C(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| = r} の向きは反時計まわりとするとき，∫

C(a,r)

f(z)

z − adz = 2πif(a). (9.20)

証明: 例 9.3.6の証明と同様の計算で，変数 tの積分区間が [0, π]のかわりに [0, 2π]になることに注意すれば直ちに結論を得る． \(∧2

∧)/

次の命題は，コーシーの積分公式あるいは留数定理の簡単な場合である．命題 9.3.9 (初等的コーシーの積分表示) 系 4.3.3と同じ仮定の下で a ∈ Dに対し∫

C

f(z)

z − adz = 2πif(a). (9.21)

ここで C の向きは反時計まわりとする．

217

証明: 関数 g(z)def= f(z)/(z− a)はD\{a}上正則かつC1である．Dは開なので，r > 0が十分

小さければD(a, r) = {z ∈ C ; |z − a| ≤ r} ⊂ D. 領域D\D(a, r)を次の小領域に分割する (簡単のため a1 = Re a, a2 = Im a, x = Re z, y = Im z)．

D1 = {z ∈ D\D(a, r) ; x > a1, y > a2}, D2 = {z ∈ D\D(a, r) ; x < a1, y > a2},D3 = {z ∈ D\D(a, r) ; x < a1, y < a2}, D4 = {z ∈ D\D(a, r) ; x > a1, y < a2}.

D1

D2

D3 D4

J1

J2

J3

J4

このとき，k = 1, 2, 3, 4に対し各Dk は縦線型かつ横線型，gはDk 上正則かつ C1である．したがって，Dkの境界 ∂Dk(向きは反時計回り)に対し

1)

∫∂Dk

g(4.28)= 0.

今，k = 1, ..., 4に対しCk = C ∩ ∂Dk, Ck(a, r) = C(a, r) ∩ ∂Dk

とし，さらに以下の線分を考える．J1はD4とD1の間の線分，Jk はDk−1とDk の間の線分である (k = 2, 3, 4)．

J1 = {z ∈ D\D(a, r) ; x > a1, y = a2}, J2 = {z ∈ D\D(a, r) ; x = a1, y > a2},J3 = {z ∈ D\D(a, r) ; x < a1, y = a2}, J4 = {z ∈ D\D(a, r) ; x = a1, y < a2}.

このとき，

2)

∂D1 = C1 − J2 − C1(a, r) + J1,∂D2 = C2 + J3 − C2(a, r) + J2,∂D3 = C3 + J4 − C3(a, r)− J3,∂D4 = C4 − J1 − C4(a, r)− J4.

これに注意し，次の線積分の和を考える (等式 1)より結果的には=0)．4∑

k=1

∫∂Dk

g.

上の和には 2) 右辺の Ck, −Ck(a, r), ±Jk (k = 1, ..., 4)がそれぞれ寄与する．このうち，±Jkからの寄与は　± ∫Jk gがそれぞれ一度ずつ現れ打ち消しあう結果 0になる．よって，

01)=

4∑k=1

∫∂Dk

g2)=

4∑k=1

(∫Ck

−∫Ck(a,r)

)g =

(∫C−∫C(a,r)

)g.

また， ∫C(a,r)

g(9.20)= 2πif(a).

以上より結論を得る． \(∧2∧)/

次の例は後に述べる補題 6.5.3の特別な場合である．

218

例 9.3.10 D ⊂ Cは開, f : D → Cは正則かつ C1とする．a) D ⊃ {z ∈ C ; Im z ≥ 0}, a ∈ C, Im a > 0，また，あるR > |a|, および C,α, β > 0に対し

次が成立するとする．

Im z ≥ 0, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C|z||Re z|α + | Im z|1+β

. (9.22)

このとき, 広義積分 I =∫∞−∞

f(x)x−adxが存在し，

I = 2πif(a).

b) D ⊃ {z ∈ C ; Im z ≤ 0}, a ∈ C, Im a < 0なら，(9.22)を次の (9.23)に置き換えることにより，a)と同じ結論を得る．

Im z ≤ 0, |z| ≥ R =⇒ |f(z)| ≤ C|z||Re z|α + | Im z|1+β

. (9.23)

証明: a),b)の証明は同様なので a)のみ示す．ℓ, r, h ∈ [2R,∞)に対し，ℓ, r, h ≥ 2|a|. また，g(z)

def= f(z)/(z − a)に対し，命題 9.3.9より

1)

(∫[−ℓ,r]

+

∫[r,r+ih]

−∫[−ℓ+ih,r+ih]

−∫[−ℓ,−ℓ+ih]

)g = 2πif(a).

さらに，|z| ≥ 2|a|なら，|z − a| ≥ |z| − |a| ≥ |z|/2. ゆえに

2) |z| ≥ 2|a|なら，|g(z)| ≤ 2|f(z)|/|z|(9.22)

≤ 2C

|Re z|α + | Im z|1+β.

以上と補題 6.3.3より∣∣∣∣∫ r

−ℓg(x)dx− 2πif(a)

∣∣∣∣ ≤ 2C1

rγ+

2C1

ℓγ+

2C(ℓ+ r)

h1+β.

h→∞とし， ∣∣∣∣∫ r

−ℓg(x)dx− 2πif(a)

∣∣∣∣ ≤ 2C1

rγ+

2C1

ℓγ.

上式より結論を得る． \(∧2∧)/

注: 上記証明中 1)の根拠を命題 9.3.9のかわりに留数定理 (定理 6.4.1)に求めてもよい (補題6.5.3参照)．

補題 9.3.11 有界領域 D ⊂ Cは縦線型あるいは横線型とする．また，U ⊂ Cは開, D ⊂ U ,K ⊂ Dは閉, f : U\K → Cは正則とする．このとき，K ⊂ D(a, r) ⊂ Dをみたす開円板D(a, r)に対し ∫

∂Df =

∫C(a,r)

f,

ここで，∂D, C(a, r)の向きは反時計回りとする．

証明：Dが縦線型の場合に示すが，横線型でも同様である．Dは (4.20)で与えられるとする．記号を簡単にするため，a ∈ Rとし，H1, H2, D±, C±(a, r)を次のように定める．

Hj = {x+ hj(x) ; x ∈ [x1, x2]}, j = 1, 2,

D± = {z ∈ D\D(a, r) ; ± Im z > 0},C±(a, r) = {z ∈ C(a, r) ; ± Im z ≥ 0}.

219

H2

H1

x1 x2

C+(a, r)

C−(a, r)

J2,+

J2,−

J1,+

J1,−

I1 I2a

また, 以下の線分を考える．I1 = [x1, a− r], I2 = [a+ r, x2],

J1,+ = [x1, ih2(x1)], J2,+ = [x2, ih2(x2)],

J1,− = [ih1(x1), x1], J2,− = [ih2(x2), x2].

このとき，閉曲線 ∂Dは以下の曲線をこの順で継ぎ足して得られる．1) J2,−, J2,+, −H2, −J1,+, −J1,−, H1.

また，閉曲線 ∂D+は以下の曲線をこの順で継ぎ足して得られる．2) J2,+, −H2, −J1,+, I1, −C+(a, r), I2.

さらに閉曲線 ∂D−は以下の曲線をこの順で継ぎ足して得られる．3) J2,−, −I2, −C−(a, r), −I1, −J1,−, H1.

C(a, r)が C±(aj , rj)の継ぎ足しであること，また 2),3) において±Ij (j = 1, 2)がそれぞれ一度ずつ現れることに注意すると，

4)

(∫∂D+

+

∫∂D−

)f

1),2),3)=

(∫∂D−∫C(a,r)

)f.

ところが，閉曲線 ∂D±は縦線型領域D±を囲み，D± ⊂ U\K, f : U\K → Cは正則なので縦/横線型領域を囲む積分路に対するコーシーの定理 (例 4.7.5)より，

5)

∫∂D±

f = 0.

4),5)より結論を得る． \(∧2∧)/

補題 9.3.12 開円板D(aj , rj) (j = 0, 1, 2), D(a0, R)を次のようにとる．D(a1, r1) ∪D(a2, r2) ⊂ D(a0, r0) ⊂ D(a0, R),

D(a1, r1) ∩D(a2, r2) = ∅.

また，Kj ⊂ D(aj , rj) (j = 1, 2)は閉，f : D(a0, R)\(K1 ∪K2)→ Cは正則とする. このとき，∫C(a0,r0)

f =2∑

j=1

∫C(aj ,rj)

f,

ここで，C(aj , rj) (j = 0, 1, 2)の向きは反時計回りとする．

220

証明：回転と平行移動により a1, a2 ∈ Rの場合に帰着する (問 4.2.1). さらに a1 < a2とし，D±,C±(aj , rj) (j = 0, 1, 2)を次のように定める．

D± = {z ∈ D(a0, r0)\(D(a1, r1) ∪D(a2, r2)) ; ± Im z > 0},C±(aj , rj) = {z ∈ C(aj , rj) ; ± Im z ≥ 0}.

221

また，[b0, b1]def= D(a0, r0) ∩ Rとし，実軸上に以下の線分を考える．

I0 = [b0, a1 − r], I1 = [a1 + r1, a2 − r2], I2 = [a2 + r2, b1].

a0

a1 a2

b0 a1 − r1 a1 + r1 a2 − r2 a2 + r2 b1

I0 I1 I2

D(a0, r0)

D(a1, r1) D(a2, r2)

D(a0, R)

このとき，閉曲線 ∂D+は以下の曲線をこの順で継ぎ足して得られる．1) C+(a0, r0), I0, −C+(a1, r1), I1, −C+(a2, r2), I2

また閉曲線 ∂D−は以下の曲線をこの順で継ぎ足して得られる．2) C−(a0, r0), −I2, −C−(a2, r2), −I1, −C−(a1, r1),−I0.

C(aj , rj) (j = 0, 1, 2)がC±(aj , rj)の継ぎ足しであること，また 1),2)において±Ij (j = 0, 1, 2)がそれぞれ一度ずつ現れることに注意すると，

3)

(∫∂D+

+

∫∂D−

)f

1),2)=

(∫C(a0,r0)

−∫C(a1,r1)

−∫C(a2,r2)

)f.

ところが，閉曲線∂D±は縦線型領域D±を囲み，D± ⊂ D(a0, R)\(K1∪K2), f : D(a0, R)\(K1∪K2)→ Cは正則なので縦/横線型領域を囲む積分路に対するコーシーの定理 (例 4.7.5)より，

4)

∫∂D±

f = 0.

3),4)より結論を得る． \(∧2∧)/

系 9.3.13 開円板D(aj , rj) (j = 0, 1), D(a0, R)を次のようにとる．

D(a1, r1) ⊂ D(a0, r0) ⊂ D(a0, R)

222

また，K1 ⊂ D(a1, r1)は閉，f : D(a0, R)\K1 → Cは正則とする. このとき，∫C(a0,r0)

f =

∫C(a1,r1)

f,

ここで，C(aj , rj) (j = 0, 1)の向きは反時計回りとする．

証明：補題 9.3.12よりさらに単純な仮定なので，同様の方法でより容易に証明できる．あるいは補題 9.3.12で K2 = ∅の場合，星形領域に対するコーシーの定理より ∫C(a2,r2)

f = 0が成り立つという論法でもよい． \(∧2

∧)/

例 9.3.14 m,n ∈ N, mは偶数，nは奇数, m ≥ n+ 1とするとき，

Im,ndef=

∫ ∞

−∞

xn−1

xm + 1dx =

2π

m sin(nπ/m).

証明：w = exp(πi/m)とする．z ∈ C, zm + 1 = 0 ⇔ z = w2j−1 (j = 1, ...,m). また，

Imw2j−1 = sin((2j − 1)π/m)

{> 0, j = 1, ...,m/2,< 0, j = (m/2) + 1, ...,m.

Ddef= C\{w2j−1}mj=(m/2)+1 ⊃ {z ∈ C ; Im z ≥ 0}.

f(z)def=

zn−1

zm + 1z ∈ D\{w2j−1}m/2

j=1 .

このとき，f : D\{w2j−1}m/2j=1 → Cは正則. また，|z| ≥ 21/mなら |zm + 1| ≥ |z|m/2, ゆえに

Im z ≥ 0, |z| ≥ 21/m =⇒ |f(z)| ≤ 2|z|n−1−m ≤ 2|z|2.

以上から f : D\{w2j−1}m/2j=1 → Cは補題 6.5.3の条件をみたすので，

1) Im,n = 2πi

m/2∑j=1

Res(f, w2j−1).

さらに，f の極 {w2j−1}m/2j=1 は全て 1次なので，

2) Res(f, w2j−1)問 6.1.3=

(w2j−1)n−1

m(w2j−1)m−1= −(w2j−1)n

m= −(wn)2j−1

m.

(第二の等式で，wm = −1, よって wm(2j−1) = −1であることを用いた) また，m/2∑j=1

(wn)2j−1 = wn

(m/2)−1∑j=0

w2nj = wnwmn − 1

w2n − 1=−2wn

w2n − 1

=−2

wn − w−n=

1

i sin(nπ/m).

以上より

Im,n1),2)= −2πi

m

m/2∑j=1

(wn)2j−1 =2π

m sin(nπ/m).

\(∧2∧)/

223

定理 9.3.15 (非単連結領域に対するコーシーの定理) 有界領域D0, D1, ..., Dn ⊂ C が次をみたすとする．

D0 ⊃ D1 ∪ ... ∪Dn, Dj ∩Dk = ∅, 1 ≤ j < k ≤ n. (9.24)

また，区分的 C1単純閉曲線 C0, C1, ..., CnはそれぞれD0, D1, ..., Dnを反時計回りに囲むとする (定義 7.1.4). このとき，V ⊂ Cが開，D0\(D1 ∪ ... ∪Dn) ⊂ V , f : V → Cが正則なら，∫

C0

f =

n∑j=1

∫Cj

f. (9.25)

D3

D1

D2

D0

(⋆)証明15: 定理 7.1.10を用いる．任意の a 6∈ V に対し次を言う．

1) n(C0, a) +

n∑j=1

n(−Cj , a) = 0.

これを認めれば，定理 7.1.10から，次のように結論を得る．∫C0

f −n∑

j=1

∫Cj

f =

∫C0

f +

n∑j=1

∫−Cj

f = 0.

今，仮定より j = 0, 1, ..., nに対し

n(Cj , a) =

{1, a ∈ Dj のとき,

0, a 6∈ Dj のとき.(9.26)

a 6∈ V なら次のいずれかである．2) a 6∈ D0 (したがって全ての j = 0, 1, ..., nに対し a 6∈ Dj)

3) ある k = 1, ..., nに対し a ∈ Dk\⋃

1≤j≤nj =k

Dj .

2) なら (9.26)より直ちに 1)を得る．また，3)なら再び (9.26)より

n(C0, a) +n∑

j=1

n(−Cj , a)

= n(C0, a) + n(−Ck, a) = n(C0, a)− n(Ck, a) = 1− 1 = 0.

\(∧2∧)/

15この証明は飛ばして留数定理に進んでも，その後の理解に支障はない.

224

補題 9.3.16 H = {z ∈ C ; Im z ≥ 0}, a ∈ R, R > 0 f : H\D(a,R) → Cは連続かつ，あるC,α, β > 0に対し次をみたすとする．

z ∈ H\D(a,R) =⇒ |f(z)| ≤ C

|Re z|α + | Im z|1+β. (9.27)

このとき, ∫C+(a,r)

fr→∞−→ 0.

証明: C+(a, r)を a+ r exp(it) (t ∈ [0, π])と径数づけると，∣∣∣∣∣∫C+(a,r)

f

∣∣∣∣∣ ≤∫C+(a,r)

|f(z)||dz|(9.27)

≤ C

∫C+(a,r)

|dz||Re z|α + | Im z|1+β

= Cr

∫ π

0

dt

|a+ r cos t|α + |r sin t|1+β

まず上記最後の積分のうち t ∈ [0, π/4], t ∈ [π/4, 3π/4], t ∈ [3π/4, π] の部分をそれぞれ I1, I2,I3とする．t ∈ [π/4, 3π/4]に対し sin t ≥ 1/

√2より

rI2 ≤ r

∫ 3π/4

π/4

dt

|r/√2|1+β

≤ (π/2)2(1+β)/2r−β r→∞−→ 0.

t ∈ [0, π/4]に対し sin t ≥ 2t/π, また cos t ≥ 1/√2より rが十分大きければ

|a+ r cos t| ≥ (r/√2)− |a| ≥ r/2.

よって適当な定数 C1, C2 > 0を用い，

rI1 ≤ C1r

∫ π/4

0

dt

rα + (rt)1+β

s=rt≤ C1

∫ ∞

0

ds

rα + s1+β

= C1

∫ rα/2

0

ds

rα+ C1

∫ ∞

rα/2

ds

s1+β≤ C1r

−α/2 + C2r−αβ/2 r→∞−→ 0.

t ∈ [3π/4, π]に対し sin t ≥ 2(π− t)/π, また | cos t| ≥ 1/√2. これらを用いると，I1に対する評

価と同様にrI3 ≤ C1r

−α/2 + C2r−αβ/2 r→∞−→ 0.

以上より結論を得る． \(∧2∧)/

a− r a+ ra+ εa− εa

C+(a, ε)

C+(a, r)

最後に，無限遠点について述べる．数直線Rに「任意の実数より大きい (小さい)数∞ (−∞)」を付加し，補完数直線 R = R ∪ {−∞,+∞}を考えることがある．同様に，複素平面 Cに「絶

225

対値無限大の点 」∞ (無限遠点)を付加し補完した集合C = C∪ {∞}を考えることがある．集合 Cは以下の理由からリーマン球面 と呼ばれる．

S2 = {(X,Y, Z) ∈ R3 ; X2 + Y 2 + Z2 = 1}, N = (0, 0, 1)

とするとき，立体射影 s : C→ S2\{N} (問 1.3.3)は同相写像であり

z →∞ ⇐⇒ s(z)→ N. (9.28)

そこで立体射影 sを s(∞) = N として拡張すると s : C → S2は全単射，かつ (9.28)の意味で∞とN の対応も含め連続となる．正則関数 f : C\D(0, ρ) → C (ρ > 0) に対し，無限遠点∞ ∈ Cは f の孤立特異点とみなせ,

次の定義に述べる方法により，除去可能特異点，極，真性特異点の三種類に分類される．

226