ÉLET- ÉS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK

Kockázatok a biztosításokban

Tiszta kockázat (pure risk) – 2 lehetséges kimenetel: Változatlan állapot (pl. nem lesz tűz) Veszteség (kár) következik be (pl. tűz lesz) Tiszta kockázatot hordoz pl. a vihar, földrengés, földcsuszamlás, villámlás,

havazás, de balesetek és gépekben bekövetkezett meghibásodás is → ez a típus releváns a biztosításokban

Üzleti kockázat (speculative risk) – 3 lehetséges kimenetel: Veszteség Változatlan állapot (nem jellemző, lásd pl. részvénybefektetések, ritka az,

hogy a piacon nem történik semmi) Nyereség Az összetett (üzleti) kockázatok nem jellemzők a biztosításelméletben (az

ilyen jellegű kockázatot más típusú eszközökkel lehet kezelni – pl. opciók, határidős ügyletek, swapok, stb.)

Biztosítható kockázatok (I.)

Biztosítás definíciója: „Virtuális (veszély)közösség révén megvalósuló

kockázattranszfer” A veszélyközösség egy konkrét kockázat (veszély) kivédésére,

csökkentésére szervezett közösség A tagok befizetéseiből működik Célja, hogy a közösség egyes tagjait ért kárt kompenzálja Aki biztosítást köt az a közösség tagja lesz A kár bármelyik tagot érheti, de előre nem lehet tudni, hogy kit

és mikor Akit viszont sújt, önmagában nehezen tud megbirkózni vele,

ezért a veszélyközösség azt vállalja, hogy közösen fedezik a kárát

Biztosítható kockázatok (II.)

A biztosíthatóság kritériumai 1) Legyen nagyszámú megfigyelési egység, hogy a kockázat

valószínűségi alapon elemezhető legyen 2) Homogének legyenek a kockázatok

Az árazás során lényeges; a díjszabás megállapítása előtt homogén csoportokat képeznek

Pl. életbiztosítások esetén pl. nem és kor szerint Pl. kötelező gépjármű-felelősségbiztosításnál pl. életkor, nem, lakhely,

stb. szerint 3) A károk véletlenszerűen következzenek be

Szándékosság kizárása az általános szerződési feltételekben A biztosítás tervezése során kontraszelekció és morális kockázat

figyelembevétele

Biztosítható kockázatok (III.)

A biztosíthatóság kritériumai – folyt. 4) A károk legyenek egyértelműen becsülhetők, leírhatók

A biztosítási esemény oka, helye, ideje, szereplői legyenek egyértelműen meghatározhatók

A kár nagysága (nem-életbiztosítás esetén) legyen jellemezhető matematikai-statisztikai módszerekkel

5) A kár legyen korlátos, a biztosító szempontjából ne érjen el katasztrofális mértéket A biztosítók kizárják a vis major esetét, illetve a

felelősségbiztosításoknál ki szoktak kötni egy maximum összeget, aminél többet nem fizetnek

6) A biztosítás legyen gazdaságos mind a biztosító, mind a szerződő számára

A biztosítások csoportosítása

Személybiztosítások Az egyéneket életükben, testi épségükben, egészségükben fenyegető károk

anyagi következményei ellen nyújtanak védelmet – pl. élet-, baleset-, és betegség-biztosítások

Vagyonbiztosítások A dolgokban esett károk biztosítására szolgál – pl. valamennyi nem-

életbiztosítás, kivéve az egészség- és balesetbiztosításokat Életbiztosítás

A biztosításokat két nagy ágazatra szokták bontani: életbiztosításra és nem-életbiztosításra

Az életbiztosítás az egyén életével kapcsolatos biztosítási események (pl. halál) nyújt védelmet (ide nem értve a baleseti halálra szóló biztosítást)

Nem-életbiztosítás Nem-életbiztosítás az összes vagyonbiztosítás, illetve a baleset és

egészségbiztosítások (minden, ami nem életbiztosítás) Pl. casco, tűz és elemi károk, lopás, pénzügyi veszteségek

Az életbiztosítás típusai (I.)

Az életbiztosítás szereplői: a szerződő, a biztosító, a biztosított és a kedvezményezett

Életbiztosítások esetén kétféle biztosítási esemény képzelhető el: A biztosított egy adott időtartamon belül (biztosítás tartama) meghal A biztosított egy adott időtartamot túl él

Ezekből következik az életbiztosítás két alaptípusa: Kockázati életbiztosítás: a biztosítási esemény a biztosított halála Elérési életbiztosítás: biztosítási esemény egy előre adott időpont

túlélése Az elérési és kockázati életbiztosítások kombinációja a vegyes

életbiztosítás

Az életbiztosítás típusai (II.)

Unit Linked vagy befektetési egységhez kötött életbiztosítás Egy speciális vegyes életbiztosítás

A díj egy része a költségekre, a többi egy befektetési alapba

Az ügyfél többféle befektetési alap közül választhat

Van egy garantált összeg, amit a biztosított halála esetén kifizet akár elérte a bef. alapban lévő pénz ezt, akár nem

A biztosítás lejártával az ügyfél megkapja a befektetés aktuális értékét

Az életbiztosítás típusai (III.)

Term fix biztosítás Egy adott összeget lejáratkor mindenképpen kifizet

Ha a biztosított a lejárat előtt meghal, akkor is megkapja a kedvezményezett a biztosítási összeget

A díjfizetési időszak vagy a biztosítási időszak végéig tart, vagy a biztosított korábbi haláláig (onnantól kezdve díjmentes lesz)

Pl. annak lehet előnyös, aki a gyereke taníttatására mindenképpen félre akar tenni egy bizonyos összeget, ugyanis ha a biztosított időközben elhalálozik, a kedvezményezett akkor is megkapja a pénzt, ha a biztosítottnak nem sikerült az egész összeget megtakarítania

Járadékbiztosítások (I.)

Járadékbiztosítás: díj ellenében egy meghatározott időintervallumban és meghatározott feltételek mellett rendszeres kifizetést teljesít a biztosító

Előleges (utólagos) járadék: ha a biztosító a járadéktagot mindig az időszak elején (végén) fizeti (hónap vagy év elején)

Egyszeri díjas (rendszeres díjas): ha a biztosítási díjat egy összegben (rendszeresen havonta, negyedévente vagy évente) fizeti a szerződő

Azonnal induló (halasztott): ha a szerződéskötés után azonnal (meghatározott idővel később, pl. 5 évvel később) indul a járadékfizetés

Járadékbiztosítások (II.)

Egyszemélyes (többszemélyes): ha a járadék fizetése csak egy (több) ember életétől függ Többszemélyesre példa: egy házaspár biztosítása, ami az

özvegynek fizet járadékot, a házastárs halálától az özvegy haláláig

Elöl garanciaidős (hátul garanciaidős) járadék: a biztosító garantálja a járadék fizetését a járadékfizetés megindulásától X évig (a biztosított halála után X évig)

Időleges járadék: csak egy előre rögzített időintervallumban, vagy a biztosított korábbi haláláig teljesít kifizetést

Életjáradék: mindenképpen a biztosított haláláig szól

Magyarország korfája

Életbiztosítási kalkulus (I.)

Alapfogalmak:

Halálozási valószínűség (qx): annak valószínűsége, hogy egy x éves ember nem éli meg x+1-ik életévét

Túlélési valószínűség: px = 1 – qx

→ Annak valószínűsége, hogy ha valaki megélte x-ik évét, akkor megéli x+t-iket is: px,t = px*px+1*…*px+t-1

Kihalási rend (lx): halálozási valószínűségekből képzett számsor, az induló l0 = 100 000-es populációból mennyien lesznek életben x éves korukban: lx+1 = px*lx

KSH halandósági táblájában vannak a fenti fogalmakra adatok

x éves korukban elhunytak száma: dx = lx – lx+1 [ qx=dx/lx ]

Életbiztosítási kalkulus (II.)

Nettó díj: a kockázati díjrészt jelenti Bruttó díj: nettó díj + biztonsági pótlék + vállalkozói díjrész (ktg-ek) Biztonsági pótlék: a kockázat változékonysága vagy pontosabb

statisztikai meghatározásának lehetetlensége miatt alkalmazott díjpótlék Életbiztosításoknál nincs DE: halálozási valószínűségek az országos halandósági táblából, pedig főleg

jobb anyagi helyzetben lévők kötnek éb-t, az ő halálozási valószínűségeik jobbak az átlagosnál

Technikai kamatláb: a biztosító által a díjtartalék után fizetendő garantált hozam A Pénzügyminisztérium szabályozza a maximumát, ami 2005.03.30. óta 2,9%

Ekvivalencia elv: E(PV(bevételek)) = E(PV(kiadások))

Életbiztosítási kalkulus (III.) Feltételezzük:

Biztosítási összeg 1 Ft Biztosítási esemény év végén következik be (évvégi pénzáramok)

1. példa: Mennyi egy 22 éves férfi egyéves kockázati életbiztosításának egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb 0 és a biztosítás összege 1? Ekvivalencia elv → biztosítás egyszeri díja = várható kiadások

jelenértéke Halálozási valószínűség q22 → a várható kifizetés 1*q22

2. példa: ua., mint 1., de kétéves díj: Megoldás: 1*q22 + 1*p22*q23

3. példa: ua., mint 2., de a technikai kamatláb i A diszkontfaktor legyen v = 1/(1+i) Megoldás: 1*q22*v + 1*p22*q23*v2

Életbiztosítási kalkulus (IV.)

4. példa: Mennyi egy 22 éves férfi 1 éves elérési éb-nak egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb i és a biztosítás összege 1? Megoldás: 1*p22*v

5. példa: ua., mint 4., de kétéves díja Megoldás: 1*p22*p23*v2

A vegyes éb egyszeri díja = az elérési + kockázati éb egyszeri díja

6. példa: 3. és 5. együtt Megoldás: 1*q22*v + 1*p22*q23*v2 + 1*p22*p23*v2 = 1*q22*v +

1*p22*v2*(q23 + p23) = 1*q22*v + 1*p22*v2

Életbiztosítási kalkulus (V.)

Járadékbiztosítás ~ elérési bizt.-ok sorozata Példa: Mennyi egy 60 éves nő 3 éves időleges

előleges járadékának nettó egyszeri díja, ha a járadéktag 1 Ft és a technikai kamatláb i?

A biztosítónak akkor keletkezik kifizetése, ha a biztosított év elején életben van

A szerződő az első évben biztosan kap pénzt, mert az mindjárt a szerződéskötéskor esedékes

A többi évben csak akkor, ha megéli Tehát a megoldás: 1 + 1*p60*v + 1*p60*p61*v2

Életbiztosítási kalkulus (VI.)

Term fix nettó egyszeri díja: 1*vn

Ez nem éb., mert nincs benne halálozási, elérési kockázat vn az n éves diszkontfaktor: az n év múlva esedékes 1

Ft ma mennyit ér Az n éves term fix nettó rendszeres díja?

Most pontosan tudjuk, mennyi lesz a biztosító kifizetése (1*vn)

A bevételei pedig ~ egy n éves előleges időleges járadék, DE: most nem a biztosított kapja a járadéktagot, hanem a szerződő fizeti a biztosítónak

n éves előleges időleges járadék nettó egyszeri díja: (x: jelenlegi életkor, n > 1)

1+1∗ ∑𝑗=𝑥

𝑥+𝑛− 2

∏𝑘=𝑥

𝑗

𝑝𝑘𝑣𝑗−𝑥+ 1

Életbiztosítási kalkulus (VII.)

Felírjuk az ekvivalencia egyenletet:

ahol P az n éves term fix nettó rendszeres díja P-vel való szorzás: a biztosító bevételei nem 1 Ft-os összegű

biztosítás, hanem P Ft-os Kifejezve P-t adódik a megoldás

Megjegyzés: a többi életbiztosítás rendszeres díjánál is ugyanez az eljárás 1) nettó egyszeri díj 2) ekvivalencia egyenlet, kiadások jelenértéke = nettó egyszeri díj 3) kifejezzük P-t

1∗𝑣𝑛=𝑃 ∗(1+1∗ ∑𝑗=𝑥

𝑥+𝑛−2

∏𝑘=𝑥

𝑗

𝑝𝑘𝑣𝑗−𝑥+1)

NYUGDÍJBIZTOSÍTÁS

Értelmezés

Biztosítástanban a nyugdíjbiztosítás (nyb) szigorú értelemben nem felel meg a köznyelvben használt nyb-nak

Biztosítástani értelemben az életjáradék a nyb Életjáradék esetében pontosan tudjuk, hogy mennyi

lesz a járadéktag értéke és hogy mennyit kell befizetnünk érte

Köznyelvi értelemben minden olyan biztosítási formát, amely egy bizonyos életkor elérésével kifizetést ígér a biztosítottaknak nyb-nak nevezünk

Felosztó-kirovó rendszer

Más néven: pay as you go (PAYGO) Finanszírozási típust jelent: az aktuálisan befolyó

járulékokból folyósítják a nyugdíjakat Jellemzően állami nyugdíjterveknél használják Kereső tevékenységet végzők száma * járulékalapot képző

átlagjövedelem = nyugdíjasok száma * átlagnyugdíj Legnagyobb problémája, hogy érzékeny a befizetők

számára, az átlagos befizetés nagyságára, a nyugdíjasok számára

Az 1. pillér Magyarországon is felosztó-kirovó finanszírozású Életkilátások javulása + a születések csökkenése (öregedő

társadalom), alacsony aktivitási ráta

Tőkefedezeti

A befizetések tartalékok formájában a tőkepiacon kerülnek befektetésre

A rendszer hatékonyságának alapja a tőkepiaci eredmény

Jellemzően a magán nyugdíjterveknél használják A legnagyobb kockázat a tőkepiaci teljesítményben van Magyarországon (a 2. és) a 3. pillér, azaz (a magán

nyugdíjpénztárak) és az önkéntes nyugdíjpénztárak tőkefedezeti típusúak

Szolgáltatással meghatározott Más néven: defined benefit (DB) A szolgáltató egy bizonyos ellátási szintet garantál A befektetési és a hosszú élet (longevity) kockázata a

szolgáltatóé – nem minden esetben vállalja mindkét kockázatot De ha igen, akkor

Az ellátási szint előre rögzített A nyugdíj csak a jövedelemtől és a munkában töltött időtől függ

Állami ny.rsz.: általában szolgáltatással meghatározott, felosztó-kirovó finanszírozással

Magán nyugdíjtervek: munkáltatói terveknél fordul elő szolgáltatással meghatározott rendszer

Magyarországon az 1. pillér szolgáltatással meghatározott

Hozzájárulással meghatározott

Más néven: defined contribution (DC) Csak azt rögzítik, hogy a tagoknak mekkora

hozzájárulást kell teljesíteniük A befektetési és a longevity kockázat a biztosítotté Tőkefedezeti nyugdíjrendszerrel szokták kombinálni Lehetnek hibrid tervek is

Pl. elsősorban hozzájárulással meghatározott nyugdíjak, de biztosítanak egy minimumot (DC, DB keveréke, vagy másképp DC minimum garanciával)

Névleges hozzájárulással meghatározott (I.)

A hagyományos állami nyugdíjrendszerek (PAYGO–DB) fenntarthatósága világszerte probléma

Egy alternatíva: névleges hozzájárulással meghatározott (notional defined contribution, NDC) rendszer

Felosztó-kirovó finanszírozás, de a tagok a járulékokat egy „névleges” egyéni számlára fizetik be

Névleges, mivel a számla csak számviteli célokat szolgál Valójában a befizetéseket a jelenlegi nyugdíjasoknak kifizetik

A számlához egy virtuális hozam kapcsolódik – általában valamilyen makroökonómiai változó(k)hoz kötik Leggyakrabban a gazdaság átlagos bérnövekedési üteme De gyakran infláció és a GDP növekedési üteme is

Névleges hozzájárulással meghatározott (II.)

Nyugdíjkorhatár elérésekor a nyugdíjat egy annuitásként határozzák meg Az egyéni számla hozamokkal növelt „egyenlege” és a várható

hátralévő élettartam alapján

A nyugdíjkalkulációhoz unisex korspecifikus várható élettartamot használnak (néhány évente frissítik)

A rendszer két nagy előnye a PAYGO–DB-vel szemben: A biztosítottra ösztönzőleg hat: befizetéseit és annak hozamait

nyomon tudja követni az „egyéni számláján”

A demográfiai folyamatokra kevésbé érzékeny: figyelembe veszi az aktuális várható élettartamot

Esettanulmány (I.)

Mennyit kell félretennünk havonta, ha magunk szeretnénk biztosítani a teljes nyugdíjunkat?

Most csak az alábbi paraméterek: m: mennyi idő múlva akarunk „nyugdíjba menni” n: mennyi időre akarjuk biztosítani a nyugdíjunkat B: mekkora havi nyugdíjat akarunk

Havi fix, reálértelemben, azaz mai árszínvonalon r: mekkora hozam mellett tudjuk megtakarításainkat befektetni

Most: kockázatmentes hozam, reálértelemben → A: mekkora havi összeget kell félretennünk

Havi fix, reálértelemben, tehát mindig inflációval növeljük a megtakarításokat (reméljük, bérünk is legalább inflációval emelkedik...)

Esettanulmány (II.)

Nézzük, hogyan alakul megtakarításaink összértéke (M): Most, azaz a 0. hónap elején helyezzük el az első

összeget 0. hónap vége: M0 = A 1. hónap vége: M1 = A*(1+r) + A 2. hónap vége: M2 = A*(1+r)2 + A*(1+r) + A m. hónap vége: Mm = A*(1+r)m + A*(1+r)m-1 + … + A Egy mértani sor, tehát:

𝑀𝑚=𝐴1− (1+𝑟 )𝑚+1

1− (1+𝑟 )=𝐴

(1+𝑟 )𝑚+1−1𝑟

Esettanulmány (III.)

Az m. hónap végén kapjuk az utolsó fizetést, ebből helyezzük el az utolsó megtakarítást és élünk meg az m+1. hónapban, utána kezdjük el felélni a megtakarításokat

Feltételezzük, hogy mindig hó elején, egyben felvesszük az adott hónapra vonatkozó összeget – tehát az első felvét az m+1. hónap végén, az utolsó felvét pedig az m+n-1. hónap végén van (ez utóbbit költjük el az m+n. hónap során)

A pénzáramprofilunk tehát az alábbi:

…

…

A A A A A A

B B B B

0 1 2 m-2 m-1 m

m+1 m+2

m+nm+n-2m+n-1

Esettanulmány (IV.)

Megtakarításink összértéke tehát a továbbiakban a következőképp alakul: m+1. hónap vége: Mm+1 = Mm*(1+r) – B

m+2. hónap vége: Mm+2 = Mm+1*(1+r) – B = Mm*(1+r)2 – B*(1+r) – B Hiszen az el nem költött megtakarítások tovább

kamatoznak…

m+3. hónap vége: Mm+3 = Mm+2*(1+r) – B = Mm*(1+r)3 – B*(1+r)2 – B*(1+r) – B

m+n-1. hónap vége: Mm+n-1 = Mm*(1+r)n-1 – B*(1+r)n-2 – B*(1+r)n-3 – … – B

Esettanulmány (V.)

A B-s tagok egy mértani sort alkotnak, tehát:

Mivel csak m+n-ig akarjuk biztosítani a megélhetésünket, így az előtte való periódusig kell, hogy kitartsanak a megtakarításaink, tehát az Mm+n-1 = 0 egyenletet kell megoldanunk A-ra (átrendezés és egyszerűsítések után):

𝑀𝑚+𝑛−1=𝐴(1+𝑟 )𝑚+1−1

𝑟(1+𝑟 )𝑛−1−𝐵 (1+𝑟 )𝑛−1−1

𝑟

𝐴=𝐵1− (1+𝑟 )−𝑛+1

(1+𝑟 )𝑚+1−1