2010年10月15日

2010年度 後期

仮想実験特論（第３回）システム情報科学府　情報学専攻　アドバンス科目　　　　　　　　　担当：高見　利也

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授業計画と単位認定! 授業の予定

! 第１回： 仮想実験とは何か、授業の目的と計画、参考書など! 第２回～５回： 様々な分野のシミュレーション! 第６回～９回： シミュレーションの要素技術! 第10回～13回： 科学シミュレーションの実際! 第14回、15回： まとめなど

! 単位認定の基準! 出席点４割、レポート６割! 試験はなし

! レポートについて! 合計４回を予定。電子メールで提出すること。

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先週の内容: ものづくり

! ものづくり分野で使われるシミュレーションについて、考察した。! いわゆるCAE (Computer-aided Engineering)の一分野。! 設計、試作、生産の各段階で、シミュレーションが実施される。

! 自動車の製造を例として! 自動車設計段階での流体力学シミュレーションの応用! 衝突実験における商用パッケージの利用! 生産ライン設計のための離散系シミュレーション

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今日の内容

! ４回に渡って様々なシミュレーション事例の紹介を行う２回め。今回は、人文・社会、経済系のシミュレーション。

! 社会・経済に関連するシミュレーション例! 選挙における勝敗予測! 人口動態のシミュレーション! 株価予測シミュレーションと確率微分方程式

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選挙の勝敗予測! 国政選挙の予測を例にすると、

! 入力：各選挙区の人口、過去の投票行動の記録! 出力：得票数、全体の議席獲得数! モデルの構築：選挙制度に応じて、得票数と議席数の関係を表現! いくつかのシナリオを用意して、結果を予測：

! 与党が大量得票をした場合、浮動票が女性候補に集中した場合、社会保障制度に関する公約を出した候補が有利になった場合、など

! 検証はどのようにすればいいか？! 過去のデータを利用するが、実際には十分な検証は難しい

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人口動態予測のシミュレーション

! シミュレーション人口学(Simulation Demography)という分野! 目的：特定の地域や施設の利用予測などの基礎情報として、人口動態予測を行うことが多い。例：某人工島への地下鉄延伸の可否

! 入力：現時点での人口分布、年齢構成、平均余命などの統計量! 出力：特定の時点(20年後、30年後、など)での分布など! モデル：人口の移動や生活形態の仮定のもとで構築する。どの粒度(個人レベル(数理生物学的)なのか、自治体単位なのかなど)でモデルを構築するかの自由度がある。

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日本の人口問題と政策(1)! 厚生労働省 国立社会保障・人口問題研究所 http://www.ipss.go.jp! 国や自治体が政策を決定する上で、人口予測は基礎になる。

国立社会保障・人口問題研究所パンフレットより

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日本の人口問題と政策(2)

! 詳細な政策には、人口分布の予測が重要。! 人の出生／死亡だけでなく移動も考慮する必要がある

! 地域毎の基礎データが必要! 出生率、寿命、結婚年齢

! 自治体の単位によるが、それなりに大規模なシミュレーションになる。

国立社会保障・人口問題研究所パンフレットより

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数理生物学との関連(1)! マルサス(1766-1834)に始まる人口増加のモデル

! 幾何級数(指数)的な人口増加と食料生産の算術級数的増加の比較から、人口問題、食料問題を論じた。

! １個体の１年間の出生率 b と生存率 s と t 年の人口 N(t)： N(t + 1) = (b + s)N(t)

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数理生物学との関連(2)! 実際は b も s も年齢 i に依存する ⇒ bi、si

! 行列モデル：年齢 i 毎に bi、si が定数の場合

! 人口増加だけに注目するなら、A の最大固有値が重要。! 実際には、時代とともにこれらの定数は変化し、また、世代によっても年齢を超えて持ち越される場合がある。

N0(t + 1) =!

i=0

biNi(t)

N(t) =!

i=0

Ni(t)

Ni(t + 1) = si!1Ni!1

(AはLeslie行列)nt+1 = Ant!

""""""""#

N0(t + 1)N1(t + 1)N2(t + 1)

...Ni(t + 1)

...

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b0 b1 b2 · · ·s0 0 0 · · ·0 s1 0 · · ·

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......

. . .

$

%%%%%%&

!

""""""""#

N0(t)N1(t)N2(t)

...Ni(t)

...

$

%%%%%%%%&

10

数理生物学との関連(3)! 捕食者・被食者のpopulation dynamics ⇒ ロトカ・ボルテラ系

! 空間的な拡散の効果を導入 ⇒ 反応拡散方程式

! 他の物理現象を表す偏微分方程式系と同様、空間パターンや進行波解が存在する。

du

dt= u(!! "v) + Du"2u

dv

dt= !v(# ! $u) + Dv"2v

du

dt= u(!! "v)

dv

dt= !v(# ! $u)

6

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3. Simulation Results

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» MimuraDE(1)n+ÕIGH—ÖFGH Lotka-Volterra¾¿¬QEa=0.992, b=1.5, c=1,

!=0.5, "=0.5, k=10+%7Er0e½×²"N%CEÖ���EÕ���EØ���EM

?TÙÚªQ¡¢!"%N%0�?@(Mimura, 1986)AÛX4EN+]^_`almC

D¤¥ÜDrs>C°"AÓÝE,-rs>2#$0t@!@[;DE¤¥ÜQs>C

Fig. 3. Pattern formation of simplified diffusive Lotka-Volterra system

!

b =1,c = 0.8,r =1,k = 2," =1,# =1,D1

= D2

=10$5,D

3=10

$3

Fig. 4. Pattern formation of diffusive Lotka-Volterra system

!

b =1,c = 0.8,r =1,k = 2," =1,# =1,D1

= D2

=10$5,D

3=10

$3

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株価予測のシミュレーション! 通常の意味での株価予測(明日は何円になるか)は不可能である。

! 外部の要因の影響が大きすぎる! 参加者の心理を考慮するモデル化が非常に難しい! 米相場の取引などから発達したチャート予測の応用？

! 数理ファイナンス、金融工学! 証券市場の仕組みは複雑(デリバティブ、先物、オプション取引など)なので、数理モデルで扱うことは必要である。

! 一般に、ブラック・ショールズモデルなどから得られる確率微分方程式を解くことで、分析・将来の予測を行う。

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株価の変動とブラウン運動! 株価の変動をグラフにすると、ブラウン運動とよく似ている。日次／３ヶ月 週次／２年

月次／10年

１次元ウィーナー過程(wikipediaより)

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確率微分方程式での表現! 株価などの変動がブラウン運動的であるという仮定の下に、確率変数としての価格の変動を表現したのが確率微分方程式である。! Z: Wiener過程(ブラウン運動的に変動する量)

! ブラックとショールズは株式と債券の市場の確率モデルに対し、あるポートフォリオのもとでのオプション取引の価格 f(S,t) が、 熱伝導方程式と同じ偏微分方程式になることを示した(1973年)! r: 無リスク利子率、S: 株価、!: ボラティリティ

dS = a(S, t)dt + b(S, t)dZ

rf(S, t) =!f

!t+

"2S2

2!2f

!S2+ rS

!f

!S

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数理ファイナンスのその後! ブラックとショールズが示した偏微分方程式を応用して、その後、数理ファイナンスという分野が大きく開かれた。

! 1997年、ショールズと共同研究者のマーロンにノーベル経済学賞が与えられた[金融派生商品価格決定の新手法 (a new method to determine the value of derivatives)]。

! ショールズらが参加したヘッジファンドLong-Term Capital Managementは、1997年のアジア通貨危機などの影響で大きな損害を被り、わずか４年で破綻した。

! これは、Wiener過程(正規分布に従うランダム過程)という前提が間違っていたためであろうと考えられている。

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参考資料! 中澤 港「シミュレーション人口学: 入門以前」数理生物学懇話会ニューズレター 26, 50-64 (1998).

! 「国立社会保障・人口問題研究所」パンフレット! 稲葉 寿(東京大)、http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~inaba/! 高須夫悟(奈良女子大)、http://gi.ics.nara-wu.ac.jp/~takasu/! 巌佐 庸「数理生物学入門」HBJ出版局 (1990年) ! 石村貞夫、石村園子「ブラック・ショールズ微分方程式」東京図書! Wiener Process, http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process! Yahoo JAPAN ファイナンス、日経平均株価

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