I-1

重要公式和定理

附件: 重要公式和定理

單元二 估算

誤差

(a) 絕對誤差

= 真確值和量度值的差

(b) 最大誤差

= 1

2× 量度工具的最細可量度單位

(c) 相對誤差

= 最大誤差

量度值 或

絕對誤差

真確值

(d) 百分誤差 = 相對誤差× 100%

(e) 上限 = 量度值 + 最大誤差

(f) 下限 = 量度值 - 最大誤差

單元三 百分比

I. 百分變化

(a) 若 x 增加 r%，則

新值 = x 1 + r% = x(1 +r

100)

(b) 若 x 增加至 y，則

百分增長 = y−x

x× 100%

(c) 若 x 減少 r%，則

新值 = x 1 − r% = x(1 −r

100)

(d) 若 x 減少至 y，則

百分增長 = x−y

x× 100%

(e) 百分變化

= 新值 − 原值

原值× 100%

II. 利潤及虧蝕

(a) 利潤百分比

= 利潤

成本× 100%

(b) 虧蝕百分比

= 虧蝕

成本× 100%

III. 折扣

(a) 折扣 = 標價 – 售價

(b) 折扣百分比

= 折扣

標價× 100%

(c) 折扣 = 標價× 折扣%

(d) 售價 = 標價× (1 − 折扣%)

IV. 單利息和複利息

設 P 為本金、R%為利率、

n 為時期、A 為本利和

(a) 單利息

單利息 I = P × R% × n = PRn

100

A = P + I

= P +PRn

100

= P(1 +Rn

100)

I-2

重要公式和定理

(b) 複利息

A= P(1 + R%)n

複利息 I = A – P

= P(1 + R%)n − P

V. 增長及貶值

(a) 若 P 以 R%速率增長，

n 期之後的新值是

新值 = P(1 + R%)n

(b) 若 P 以 R%速率遞減，

n 期之後的新值是

新值 = P(1 − R%)n

V. 增長及貶值

季度差餉 = 應課差餉租值 × 稅率

4

(標準稅率 = 5%)

單元四 求積法

I. 扇形

(a) l 的弧長 = 2πr ×θ

360°

(b) 扇形 A 的面積 = πr2 ×θ

360°

II. 立體

(a) 角柱體

總表面面積

= 所有側面面積 + 2 × 底面積

體積 = Ah

(b) 圓柱體

曲面面積 = 2πrh

總表面面積 = 2πrh + 2πr2

體積 = πr2h

(c) 角錐體

總表面面積 = 所有側面面積+底面積

體積 = 1

3Ah

(d) 直立圓錐體

曲面面積 = πrl

總表面面積 = πrl + πr2

體積 = 1

3πr2h

(e) 球體

表面面積 = 4πr2

體積 = 4

3πr3

III. 相似平面圖形和立體

(a) X 和 Y 是相似平面圖形

(b) C 和 D 是相似立體

I-3

重要公式和定理

IV. 一樣高的三角形的面積比

∆ABC 的面積

∆ACD 的面積=

a

b

單元五 變換及對稱

I. 正多邊形的反射對稱和旋轉對稱

圖形 對稱軸

數目

旋轉對稱

次數

等邊三角形 3 3

正方形 4 4

正五邊形 5 5

正六邊形 6 6

II. 正多面體的反射對稱和旋轉對稱

立體 反射面

數目

對稱軸

數目

旋轉對

稱

次數

立方體 9 13

4 次

3 次

2 次

正四面

體

6 7

3 次

2 次

單元六 演繹幾何 I

I. 角和平行線

a + b + c = 180°(直線上的鄰角)

a + b + c + d + e = 360°(同頂角)

a = b, p = q (對頂角)

a = b (同位角, AB//CD)

c = b (錯角, AB//CD)

b + d = 180° (同旁內角, AB//CD)

I-4

重要公式和定理

AB//CD 若

(i) a = b (同位角相等) 或

ii c = b (錯角相等) 或

iii b + d = 180° (同旁內角互補)

II. 三角形和凸多邊形的角

a + b + c = 180° ∆內角和

d = a + b ∆外角

多邊形內角和

多邊形外角和

III.相似三角形

若∆ABC~∆XYZ，則

(i) ∠A = ∠X,∠B = ∠Y,∠C = ∠Z;

(相似三角形的對應角)

(ii) AB

XY=

BC

YZ=

CA

ZX

(相似三角形的對應邊)

若∠A = ∠X, ∠B = ∠Y, ∠C = ∠Z,

則∆ABC~∆XYZ(A. A. A. )

若 AB

XY=

BC

YZ=

CA

ZX ，

則∆ABC~∆XYZ(三邊成比例)

I-5

重要公式和定理

若 AB

XY=

CA

ZX 和∠A = ∠X，

則

∆ABC~∆XYZ(兩邊成比例且夾角相等)

IV. 全等三角形

若∆ABC ≅ ∆XYZ，則

(i) ∠A = ∠X,∠B = ∠Y,∠C = ∠Z;

(全等三角形的對應角)

(ii) AB = XY, BC = YZ, CA = ZX.

(全等三角形的對應邊)

若 AB = XY, BC = YZ, CA = ZX,

則∆ABC ≅ ∆XYZ (SSS)

若 AB = XY, BC = YZ, ∠B = ∠Y,

則∆ABC ≅ ∆XYZ (SAS)

若∠A = ∠X,∠B = ∠Y, AB = XY,

則∆ABC ≅ ∆XYZ (ASA)

若∠A = ∠X,∠C = ∠Z, AB = XY,

則∆ABC ≅ ∆XYZ (AAS)

若 AB = XY, BC = YZ, ∠A = ∠X= 90°,

則∆ABC ≅ ∆XYZ (RHS)

V. 平行四邊形

若 ABCD 為平行四邊形，則

(a) AB = DC, AD=BC

(平行四邊形的對邊)

(b) ∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC

(平行四邊形的對角)

(c) AO = OC, BO = OD

(平行四邊形的對角線)

若 AB = DC, AD=BC

則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。

(對邊相等)

I-6

重要公式和定理

若∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ,

則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。

(對角相等)

若 AO = OC, BO = OD,

則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。

(對角線互相平分)

若 AB = DC, AB//DC ,

則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。

(對邊平行且相等)

VI. 畢氏定理

若∠ACB = 90∘，

則c2 = a2 + b2 (畢氏定理)

若c2 = a2 + b2，

則∠ACB = 90∘(畢氏定理逆定理)

VII. 中點定理和截線定理

若 AH=HB 及 AK=KC，

則 HK = 1

2 BC及 HK//BC(中點定理)

若 AB//CD//EF，及 AC=CE，

則 BD=DF (截線定理)

若 HK//BC 及 AH=HB，

則 AK=KC (截線定理)

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重要公式和定理

VIII. 三角形不等式

a+b>c, b+c>a, c+a>b

VIII. 三角形中心

內心是角平分線的交點

形心是平分線(中線)的交點

垂心是垂直線的交點

外心是垂直平分線的交點

單元七 數系

I. 根

對任何兩個正數 a 和 b，

(a) ab = a ∙ b

(b) a

b=

a

b

II. 複數

若i = −1 ，a 和 b 是非零實數，則

(a) a ∙ i = i ∙ a = ai

(b) ai + bi = (a + b)i

(c) ai − bi = (a − b)i

(d) ai ∙ bi = −ab

(e) ai

bi=

a

b

單元八 方程式

I.一元二次方程

若𝑎𝑥2 + bx + c = 0 a ≠ 0 ，則

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

II. 根的性質

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 是一元二次方程

𝑎𝑥2 + bx + c = 0 a ≠ 0 的判別式

(a) 若∆> 0，方程有兩個不同實根。

(b) 若∆= 0，方程有二重實根。

(c) 若∆< 0，方程沒有實根。

III. 根的和及積

α + β = −b

a ; αβ =

c

a

方程式

x2 − α + β x + αβ = 0

單元十 多項式

I. 因式化

II. 餘式定理

若f x 除以mx − n， 餘式是f 𝑛

m 。

III. 因式定理

(a)若f 𝑛

m = 0，則mx − n是f x 的因式。

(b) 若mx − n是f x 的因式，則

f 𝑛

m = 0。

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重要公式和定理

單元十一 指數律、指數函數與對數函

數

I. 指數律

當 m 和 n 是有理數和a, b ≠ 0，則

當 m 和 n 是整數且 m>0，則

II. 對數性質

當 M 和 N 是正數,a > 0, a ≠ 1，和 k 是

有理數，則

單元十二 率、比和變分

I. 正變

若 y 隨 x 而正變，則 y=kx，其中 k 是

非零常數。

II. 反變

若 y 隨 x 而反變，則y =𝑘

x，其中 k 是

非零常數。

III. 聯變

(a)若 z 隨 x 和 y 而聯變，則 z=kxy，其

中 k 是非零常數。

(b) 若 z 隨 x 而正變和隨 y 而反變，則

z =𝑘𝑥

y，其中 k 是非零常數。

IV. 部分變

(a)若 z 部分為常數，部分隨 x 而正變，

則z = k1 + k2x，其中k1和k2是非零常

數。

(b) 若 z 部分隨 x 而正變和部分隨 y 而

反變，則z = k1x +k2

y，其中k1和k2是

非零常數。

單元十三 不等式

(a) 若 a>b 和 b>c，則 a>c。

(b) 若 a>b，則 a+c>b+c。

(c) 若 a>b，和

(i)c>0，則 ac>bc;

(i)c<0，則 ac<bc。

(d) 若 a>b>0，則1

a<

1

b。

(e) 若a ≠ 0，則a2 > 0。

I-9

重要公式和定理

單元十四 坐標幾何 I

(a) A(x1, y1)和 B(x2, y2)的距離

(b) A(x1, y1)和 B(x2, y2)的中點

(c) A(x1, y1)和 B(x2, y2)的斜率

其中θ是 AB 的傾角。

(d) 設m1, m2是直線l1, l2的斜率

(i) 若l1//l2，則m1 = m2。

(ii) 若l1 l2，則m1m2 = −1。

(e) 假設 l 穿過(x1, y1)和(x2, y2)和其斜

率為 m。

(i) 兩點式: l 的方程是

(ii) 點斜式: l 的方程是

(f) 對直線 Ax+By+C=0，

可轉為 y=mx+c，

m 是斜率，c 是 y-軸截距。

求 x-軸截距，代 y=0。

求 y-軸截距，代 x=0。

(g)

若 AC:CB = m:n，則

(h) 兩直線的交點

(i) 一個交點 (ii) 沒有交點 (iii)無限個交點

斜率 不同 一樣 一樣

y-軸

截距

不同 不同 一樣

單元十五 演繹幾何 I

I. 圓的弦線

(a)

若 ON⊥AB，則 AN=NB。

(圓心至弦的垂線平分弦)

(b)

若 AN=NB，則 ON⊥AB。

(圓心至弦中點的連線垂直弦)

(c)

若 CN⊥AB 和 AN=NB，

則 CN 穿過圓心 O。

(弦的垂直平分線穿過圓心)

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重要公式和定理

(d)

若 AB=CD，則 OM=ON。

(等弦對等弦心距)

(e)

若 OM=ON，則 AB=CD。

(等弦心距對等弦)

II. 圓的角

(a)

x=2y (圓心角兩倍於圓周角)

(b)

若 AB 為直徑，則∠APB = 90∘，

(半圓上的圓周角)

(c)

若∠APB = 90∘，則 AB 為直徑。

(半圓上的圓周角的逆定理)

(d)

x=y a=b

(同弓形內的圓周角)

III. 角、弧和弦線

(a)

(i) 若 x=y，則AB = CD 。(等角對等弧)

(ii) 若AB = CD ，則 x=y。(等弧對等角)

(b)

(i) 若 x=y，則AB = CD。(等角對等弦)

(ii) 若AB = CD，則 x=y。(等弦對等角)

I-11

重要公式和定理

(c)

(i) 若AB = CD，

則AB = CD 。(等弦對等弧)

(ii) 若AB = CD ，

則AB = CD。(等弧對等弦)

(d)

AB : CD =m:n

(弧與圓心角成比例)

(e)

AB : CD =x:y

(弧與圓周角成比例)

IV. 圓內接四邊形

(a)

∠A+∠C = 180∘

和 ∠B+∠D = 180∘

(圓內接四邊形對角)

(b)

x=y (圓內接四邊形外角)

(c)

若 x=y，則 A,B,C 和 D 共圓。

(同弓形內的圓周角的逆定理)

(d)

若 ∠A+∠C = 180∘

或 ∠B+∠D = 180∘，

則 A,B,C 和 D 共圓。

(對角互補)

(e)

若 y=x，

則 A,B,C 和 D 共圓。

(外角=內對角)

I-12

重要公式和定理

V. 切線

(a)

若 PQ 切圓於 T，

則 PQ⊥OT。(切線⊥半徑)

(b)

若 PQ⊥OT，

則 PQ 切圓於 T。(切線⊥半徑的逆定理)

(c)

若 PA 切圓於 A，和 PB 切圓於 B，

則 (i) PA = PB

(ii) x = y

(iii) m = n (切線性質)

(d)

若 PQ 切圓於 T，則

(交錯弓形上的圓周角)

(e)

若∠𝑃𝑇𝐵 = ∠𝑇𝐴𝐵

或∠𝐴𝑇𝑄 = ∠𝐴𝐵𝑇，

則 PTQ 切圓於 T。

(交錯弓形上的圓周角的逆定理)

單元十六 三角學 I – 基本三角學

I. 定義

(a) 當θ是銳角，

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重要公式和定理

(b) 對任何角θ(0° < 𝜃 < 360°)，

其中r = x2 + y2。

II. 特殊角的三角比

III. 三角比的正負符號

IV. 三角比恆等式

I-14

重要公式和定理

單元十七 三角學 II – 三角學應用

I. 正弦公式

II. 餘弦公式

III. 三角形面積

(a)

∆𝐀𝐁𝐂的面積 =𝟏

𝟐𝐚𝐛𝐬𝐢𝐧𝐂

(b)

單元十九 續函數及其圖像

變換對函數的影響

代數上函數變換 幾何上函數變換

f(x)+k (k>0) 向上平移 k 單位

f(x)-k (k>0) 向下平移 k 單位

f(x+k) (k>0) 向左平移 k 單位

f(x-k) (k>0) 向右平移 k 單位

kf(x) (k>1) 沿 y-軸放大至原

來的 k 倍

kf(x) (0<k<1) 沿 y-軸縮少至原

來的 k 倍

f(kx) (k>1) 沿 x-軸縮少至原

來的1

k倍

f(kx) (0<k<1) 沿 x-軸放大至原

來的1

k倍

-f(x) 沿 x-軸反射

f(-x) 沿 y-軸反射

單元二十 坐標幾何 II

圓的方程

I-15

重要公式和定理

單元二十一 排列與組合

I. 階乘

n!= n(n-1)(n-2) ．．．．3．2．1

，其中 n 是一個正整數。

II. 排列 <次序重要>

從 n 個相異物中，任意選取 r 個

（ nr 0 ，不許重複），然後按序作

直線排列，其排列總數記為 n

rP ，

)!(

!

rn

nPn

r

P: Position 位置重要

從 n 個相異物中，全取的直線排列數

為 n!

III. 組合 <次序不重要>

從 n 個相異物中，不按序的任意選取 r

個（ nr 0 ，不許重複），其組合數

為 n

rC ，

)!(!

!

! rnr

n

r

PC

n

rn

r

C: Choose 位置不重要

單元二十二 概率

I. 定義

II. 期望值

假設某事件有 n 個結果，而每個結果

發生的概率分別為p1, p2,… , pn。若每

個結果發生後可取的值分別為

x1, x2 ,… , xn，則該事件的期望值

=x1p1 + x2p2 + ⋯+ xnpn

III. 加法定律

若 A 和 B 不可能同時發生，

則稱為互斥事件。

(a) 若 A 和 B 是互斥事件，則

P(A 或 B) = P(A)+P(B)

(b) 若 A 和 B 不是互斥事件，則

P(A 或 B) = P(A)+P(B)- P(A 和 B)

(c) 對任何事件 A，P(A) + P(A’) = 1，

其中 A’是 A 的互補事件。

IV. 乘法定律

(a) 若 A 和 B 是獨立事件，

則 P(A 和 B) = P(A)× P(B)

(b) 若 A 和 B 不是相關事件，

則 P(A 和 B) = P(A)× P(B|A)

V. 條件概率

己知 A 發生，B 發生的機會率

=P(B|A)

單元二十四 數列

I. 等差數列: a, a+d, a+2d, a+3d, …

(a) T(n) = a+(n-1)d

(b) T(n) = 1

2[T n − 1 + T n + 1 ]

(c) 若 T(1), T(2), T(3), …是等差數列，則

kT(1)+c, kT(2) +c, kT(3) +c, …都是等差

數列。

(d) 已知 S(n)=T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n)

S(n) = n

2 a + T n =

n

2 2a + n − 1 d

I-16

重要公式和定理

II. 等比數列: a, a𝐫𝟐, a𝐫𝟑, a𝐫𝟒, …

(a) T(n) = a𝐫𝐧−𝟏

(b) T(n) = T n − 1 × T n + 1

(c) 若 T(1), T(2), T(3), …是等比數列，則

kT(1), kT(2) , kT(3) , …都是等比數列。

(d) 已知 S(n)=T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n)

(e)

單元二十五 統計

I. 量度集中趨勢

(a) 平均數

(i)

(ii)

(b) 加權平均數

II. 離差的度量

(a) 分佈域

(i) 不分組數據

分佈域 = 極大值 – 極小值

(ii) 分組數據

分佈域 = 最高一組的上組界 – 最低

一組的下組界

(b) 四分位數間距

= 上四分位數(Q3) – 下四分位數(Q1)

(e) 標準差

(i)

(ii)

III. 標準差的應用

(a) 標準分

對任何數據 x 在以x為平均數及以σ為

標準差的數據內，

標準分 z =x−x

σ

(b)常態分佈

在一常態分佈中，

(i) 大約有 68%數據位於x − σ和x + σ之間，

(ii) 大約有 95%數據位於x − 2σ和x + 2σ

之間，

(iii) 大約有 99.7%數據位於x − 3σ和

x + 3σ之間。

IV. 數據的改變

全部+k 全部 X k

平均數，中位數，

眾數

全部+k 全部 X k

標準差、分佈域、

四分位數間距

不變 全部 X k