光腔光学

•光学腔的基本介绍•平面镜光学腔•球面镜光学腔•两维与三维光学腔

Fabry and Perot constructed an opticalresonator for use as an interferometer.Now known as the Fabry-Perot etalon,it is used extensively in lasers.

一、光腔的基本介绍

光学腔：与电子共振电路相对应，光学腔对由其配置参数所决定的共振频率光波进行限制和储存。

(a) Fabry-Perot平面腔、球面腔、环形腔、多维矩形腔；(b) 光纤环形腔、集成光学环形腔；

(d) 分布式Bragg反射腔：Distributed Bragg Reflector；

(c) 微盘腔、微型环芯腔、微球腔：回音壁模式 Whispering-Gallery ；

(d) 光子晶体腔。

一、光腔的基本介绍

光学腔的描述与以前章节的关系

•光线光学：追踪光线在腔中反复反射的路径以及建立受限的几何条件；

•波动光学：决定光腔的模式，即允许存在于腔中光波的波函数和共振频率；

•光束光学：理解球面镜光腔的光波行为，其模式为Gaussian或Hermite-Gaussian光束；

•品质因子：Quality Factor （时间限制）正比于腔的存储时间；单位为光学周期；高Q值对应长的时间限制。

•模体积：Mode Volume （空间限制）限制的光学模式所占据体积；小V值对应强的空间限制。

光学腔的主要参数

•干涉光学：多光束干涉与多层薄膜干涉，决定了光腔镜的反射与透射率；

•激光光学：光腔的最重要应用为激光谐振腔，光波在其中产生和聚集能量。

二、平面镜光学腔

平面镜光学腔：由两块距离为d的平行、高反、平面镜组成，也称为Fabry-Perot腔

(a) 光线垂直于平面镜时在腔中来回反射；

(b) 有微小倾斜角度的光线最终逸出腔体。

1、共振模式为驻波 •频率为 的单色波波函数为 ；

•电场复振幅 满足Helmholtz方程 ；

•腔中共振模式在z=0和z=d处满足边界条件 ；

•在 下， 为腔内驻波解；

•腔内的任意波可表示为 ；

•光波频率 ；

•自由光谱区 ；

•光波波长 ；

二、平面镜光学腔

2、共振模式也可按行波分析：光波模式在腔中传播一个回程后能再现

•回程相移满足： ，

从而得到与驻波分析同样结果；

•只有在 时，微弱光场才能在腔中积

累强度： 。

3、模密度：•单位频率的模数目为 ；

•模密度定义为单位长度、单位频率的模数目 （考虑偏振）；

•长度为d，频率范围为 下的模数目为 。

4、腔损失与共振光谱宽度：

•腔中单个回程引入的相移 ；

•考虑两个腔镜的损失，相邻相位复矢量之间的衰减因子为 ，如 ；

•总相位复矢量 ；

二、平面镜光学腔

•腔中的光场强度可表示为 ；

•进一步写成 其中 ， ，精细度 ；

•在 附近有 ，即 ；

•当 时，强度 减小到一半，相位宽度 ；

•考虑 和 ，有 ；

•强度最大值 发生在 ；

最小值发生在共振频率中间 ；

(a) 无损耗腔；(b) 损耗腔•由 ，有 ；

•另外，在 的情况下：

最终有光谱宽度： 。

二、平面镜光学腔

6、光腔寿命

7、品质因子

•单回程强度损耗因子： ，也可写成 ，

5、腔损失来源 ：反射R1 、R2，吸收、散射

得到 ，其中 ；

•对于高反射率腔镜，如 ，有 ，

从而得到 ，类似可有 ；

•在进一步假设 的情况下得到 ；

•最后， ，在 下有 ，即 。

•由 ，定义光腔寿命 ，此时有 ，即 。

•腔中能量E单位时间、单个周期损耗为 ，因此 和 ；

•另外由 ，有 ，即 。

三、球面镜光学腔

平面镜光腔对腔镜平行度和光线垂直度要求极高，而球面镜光学腔可以解决这些问题。

1、光线限制条件：(光腔为周期性光学系统)

ym和θm为经过m次回程的光线位置和倾斜角；

条件：光线单程传播距离为d；近轴光线；传播方向向下θ为负。

ABCD矩阵 ，即 ：

•由 和 ，代入得 ，其中 ；

•令尝试解为 ，在 ，即 时满足方程；

•如果定义 ，可有 即 ；

•从而得到 ，通用解为 ， 由初始条件定出；

•而 ，在入射、出射介质相同或为空气时，有 ；

•最终得到 ，另外 。

•对于球面镜光腔系统，任一回程的光线传输矩阵为 ；

•其中 ，在b>1的情况下φ为复数，ym为指数函数；

•如定义 和 ，

•在 即 时

ym解为有界谐波，满足光线限制条件；

球面镜稳定腔条件为 。

(a) unstable

(b) stable &periodic

稳定腔 点必须位于一、三象限；

•

• 稳定腔 点位于双曲线

之间无阴影区；

•对称腔 ，即 ，

稳定腔条件 即 ，

平面腔、共焦腔、同心腔。

三、球面镜光学腔

三、球面镜光学腔

2、高斯光束：前面采用几何光学给出了球面镜腔的限制条件，但是对于光强分布以及共振频率等参数必须采用光波光学；Gaussian光束是满足球面镜腔边界条件的近轴Holmholtz方程的解。

• Gaussian光束圆对称，波前垂直光线为近轴光线；

， ，

，

•如果两个腔镜的曲率半径与高斯光束两个位置的曲率半径相同，则高斯光束在腔中传播；

•对于凹面镜，R1,R2<0；z1<0,z2>0；对于z1<0，高斯光束曲率半径为负，对于z2>0为正；

•此时有 ， ，从而得到

•因此高斯光束的所有其它参数可以得到，如

同时z0为实数得到 。

三、球面镜光学腔

特例：对称球面镜腔的Gassian模式•由 得到 ，

且

和

•此时腔的稳定条件为 ；

a) 平面腔 ，W0, W1, W2无限大，即平面波；

b) 共心腔 ，W0=0, W1, W2无限大，即球面波；

c) 对称共焦腔 ，W1=W2最小，此时

球面镜腔共振频率

Gaussian光束光学

•令ρ=x2+y2, 复振幅 ；

•相位 ，其中 ；

•令ρ=0，腔镜相位差 ；

•单回程相位变化需满足

•由 和 ，球面镜腔的共振频率 。

d/|R|=1

d/|R|=2

四、两维与三维光学腔

1、两维平面镜光学腔

由两组相互垂直(分别垂直于z轴和y轴)的平行平面镜组成，光线限制在z-y面。

•由边界条件，驻波的 矢量应满足

•每一组 代表了一个共振腔模式 ；

•由 ，共振频率为 ，其中 。

2、圆光学腔和回音壁模式

通过圆形边界的重复反射，光波可以被限制在两维的圆形共振腔。

•通过N次反射得以再现的光波单程路径长度为 ，其中 ，a为半径；

•由 共振频率 其中 ，而频率间隔 ；

•当 时，单程路径趋于周长，此时频率间隔 ，为Wispering-Gallery Modes。

四、两维与三维光学腔

3、三维矩形光学腔

由三对平行平面镜组成封闭的矩形箱，尺寸分别为dx、dy和dz。

•边界条件要求 满足

• k值和相应的频率ν满足 ；

•从而得到 其中 ；

模密度 •每一个模式q 在k空间为一点 ，令dx=dy=dz=d，两k点距离为π/d；

•频率0和ν之间，即半径为k的1/8象限内模式数目为 ；

•由 0和ν之间模式数目为 ，而 的模式数目为

•模密度，即ν附近单位体积、单位带宽的模数目为 。