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分类号密级

UDC

学位论文

三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

作者姓名 : 马龙彪

指导教师 : 刘会立教授

东北大学理学院

申请学位级别: 硕士学科类别 : 理学

学科专业名称: 基础数学

论文提交日期: 2013 年 6月论文答辩日期 : 2013 年 6月

学位授予日期: 2013 年 7月答辩委员会主席:

评阅人 :

东北大学

2013 年 6 月

AThesis in Fundamental Mathematics

Affine translation surfaces in

Minkowski 3-space

By Ma Longbiao

Supervisor: Professor Liu Huili

Northeastern University

June 2013

-I-

独创性声明

本人声明, 所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的. 论文中

取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外, 不包含其他人已经发表

或撰写过的研究成果, 也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料.

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确

的说明并表示谢意.

学位论文作者签名:

日期:

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学

位论文的规定: 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的

复印件和磁盘, 允许论文被查阅和借阅. 本人同意东北大学可以将学

位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流.

作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后:

半年 □ 一年□ 一年半□ 两年□

学位论文作者签名: 导师签名:

签字日期: 签字日期:

东北大学硕士学位论文摘要

-II-

三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

摘要

相对于 Euclidean 空间, Minkowski 空间是一个全新的领域. 由于度量的不同, 导致

了一些基本概念有了质的变化, 使得 Minkowski 空间的一些问题与 Euclidean 空间相比

有着不同的结论, 这些结论为Minkowski空间所独有. 三维Minkowski空间中存在类空、

类时和类光向量. 在该空间中, 沿着类空、类时和类光向量中的任意两个方向平移都可

以形成平移曲面.

当沿着仿射坐标平移时, 形成了该空间中的仿射平移曲面. 基于这种思想, 本文研

究了仿射坐标下三维 Minkowski 空间中的平移曲面.

首先找到了仿射平移曲面的一般参数方程表示, 引进参数 a , a是常数. 这样定义

的平移曲面随着 a的不同, 有着不同的平移方向, 并且平移的方向是沿着仿射坐标轴平

移, 从仿射的角度定义了新的平移曲面, 使得平移曲面的研究范围更广.

接着选取一种新的度量, 根据微分几何的基本知识, 得到了该度量下仿射平移曲面

的第一、第二基本形式以及高斯曲率和平均曲率, 并引入变量变换化简了曲面的高斯曲

率和平均曲率的表达式, 使得计算过程更加简单.

最后主要讨论了高斯曲率和平均曲率的线性关系和非线性关系, 具体分为七类进

行了讨论, 得到了仿射平移曲面的具体表达式, 并对这些仿射平移曲面进行了新的分类,

得到七个分类定理.

关键词: Minkowski 空间; 仿射平移曲面; 仿射坐标; 分类

东北大学硕士学位论文 Abstract

- III -

AffineTranslation Surfaces in

Minkowski 3-Space

Abstract

Compared with Euclidean space, many essential concepts in Minkowski space change a

lot. This made the conclusions of some problems in Minkowski space much different.

These conclusions for Minkowski space are unique. There are three kinds of vectors in

Minkowski 3-space, i.e. space-like, time-like and light-like vectors choosing any two of them

as the directions of translation can form the translation surfaces.

Translating along the affine coordinate , it can form the affine translation surfaces in the

Minkowski 3-space. According to this idea we studied affine translation surfaces which were

reached under affine transformation in Minkowski 3-space in this paper.

At first, we found the general parametric equation of the affine translation surfaces with

parameters a , a is constant. Such affine translation surfaces with different parameters a

have different translational direction, and the directions of translation are along the affine

coordinate axis. Thus we defined a new translation surface from the affine perspective. It

made the study range of the surfaces wider.

Then a new metric form is chosen to study the affine translation surfaces, and the first

and second fundamental forms, Gaussian curvature and mean curvature of the surfaces are

directly calculated according to the principles of differential geometry. With variable

transformation, it makes the expression of Gaussian curvature and mean curvature of the

surfaces more simple, also makes the calculation process more simple.

Finally, it follows that some theorems of classification of those affine translation

surfaces are given mainly by virtue of the linear and nolinear relationships between the

Gaussian curvature and the mean curvature. These affine translation surfaces are newly

classified, and seven classification theorems are obtained.

东北大学硕士学位论文 Abstract

- IV -

Key words: Minkowski space; affine translation surface; affine coordinate;

classification

东北大学硕士学位论文目录

- V -

目录

独创性声明............................................................................................................................ I

摘要..................................................................................................................................... II

Abstract..................................................................................................................................III

第 1章引言....................................................................................................................1

1.1 微分几何的发展史.......................................................................................................1

1.2 非欧几何的发展...........................................................................................................2

1.3 仿射几何的发展...........................................................................................................4

1.4 研究背景和现状...........................................................................................................5

1.5 本文的主要内容和研究目的及意义...........................................................................5

第 2章预备知识...............................................................................................................7

2.1 三维 Minkowski 空间.................................................................................................. 7

2.1.1 三维 Minkowski 空间的定义............................................................................ 7

2.1.2 三维 Minkowski 空间的标架............................................................................ 7

2.2 三维 Minkowski 空间中的向量的运算及 Frenet 公式.............................................. 8

2.2.1 三维 Minkowski 空间中向量的内积、外积、混合积.................................... 8

2.2.2 三维 Minkowski 空间中曲线的 Frenet 公式.................................................. 10

2.3 三维 Minkowski 空间中的曲面................................................................................ 10

2.3.1 曲面的第一基本量...........................................................................................11

2.3.2 曲面的第二基本量...........................................................................................11

2.3.3 曲面的高斯曲率和平均曲率...........................................................................11

2.3.4 曲面的分类.......................................................................................................12

2.4 仿射空间中的曲面.....................................................................................................12

2.4.1 仿射映射...........................................................................................................12

2.4.2 仿射变换群.......................................................................................................13

2.5 三维 Minkowski 中的平移曲面................................................................................ 15

东北大学硕士学位论文目录

- VI -

2.5.1 平移曲面的定义...............................................................................................15

2.5.2 仿射平移曲面的定义.......................................................................................15

第 3章三维Minkowski空间中的仿射平移曲面............................................17

3.1 仿射平移曲面.............................................................................................................17

3.2 高斯曲率和平均曲率满足线性关系的仿射平移曲面.............................................20

3.2.1 0=K 的情况.................................................................................................... 20

3.2.2 ( )0≠= ccK 的情况..........................................................................................21

3.2.3 0=H 的情况....................................................................................................22

3.2.4 ( )0≠= ccH 的情况..........................................................................................24

3.2.5 0=+ nHmK 的情况........................................................................................ 27

3.2.6 ( )为常数ccnHmK =+ 的情况.........................................................................31

3.3 高斯曲率和平均曲率满足非线性关系的仿射平移曲面.........................................37

第 4章总结..................................................................................................................41

参考文献...............................................................................................................................45

致谢....................................................................................................................................47

东北大学硕士学位论文第 1 章引言

-1-

第 1章引言

数学是一门伟大的科学, 数学作为一门科学具有悠久的历史, 与自然科学相比, 数

学更是积累性科学, 它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来. 同时数学也反映着每

个时代的特征, 一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关 . 这

种关系在我们这个时代尤为明显. 物理学的推动以及电子计算机的出现, 改变了人类社

会的生活方式, 也改变了数学本身. 数学渗入到各行各业.

微分几何是以微积分和代数学为基础的学科, 伴随着微积分在数学各个分支中的

应用以及解析几何的确立, 微分几何在 18世纪得到广泛发展. 19世纪, 它已经成为数学

的一个非常重要的分支. 进入 20 世纪, 由于黎曼几何成为爱因斯坦广义相对论的数学

基础, 微分几何更是引起了研究的热潮. 纵观微分几何的发展, 它不仅深刻地影响了 20

世纪数学的发展, 而且深刻地影响了 20 世纪物理学的发展, 成为 20 世纪数学研究的一

个主流方向.

1.1 微分几何的发展史

几何学是一门古老的学科, 至今已有两千年的历史. 微分几何是数学的一个重要分

支, 它渗透到各数学分支和理论物理等学科 , 成为推动这些理论发展的一项重要工具 .

经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质 , 在微积分出现的

同时, 平面曲线微分几何的研究开始了, 而第一个作出重要贡献的是 Euler(1707~1783).

他在 1736 年引进了平面曲线的内在坐标, 即曲线弧长这一概念, 从而开始了内在几何

的研究. 将曲率描述为某一特殊角的变化率也是 Euler 的工作. 他在曲面论方面也有重

要贡献, 特别值得一提的是他在测地线[1]方面的一些工作, 最早把测地线描述为某些微

分方程组的解.

在物理问题的推动下, 1736 年他证明了: 在无外力作用的情况下, 一个质点如约束

在一曲面上运动, 它必定是沿测地线运动. G.Monge(1746~1818)在筑城垒这个实际问题

的推动下, 他 1771 年开始写了关于空间曲线论的论文, 发表于 1785 年, 他用的是几何

方法, 并反映了他对偏微分方程的兴趣. G.Monge 写了第一本微分几何课本, 1807 年出

版, F.Frenet(1816~1868)与 J.Serret(1819~1885)分别于 1847 年和 1851 年独立地得出现在

通称的 Frenet-Serret 方程(或 Frenet 方程)后, 空间曲线论才最后统一起来.


-2-

Gauss(1777~1855)的贡献见于 1827 年他的“弯曲曲面的一般研究”一文. 他在微分

几何方面的重要贡献, 不仅在于他证明了许多惊人的新结论, 更重要的是他致力于微分

几何全新思想的探讨, 具有非凡的洞察力, 抓住了微分几何中最重要的概念和最根本的

内容. 在微分几何发展经历了 150 年历史之久, Gauss 建立了由第一基本形式[2]决定曲面

的内在几何, 这是有深远的意义的. Gauss的内在几何将微分几何向前推进, 但那时并未

被人们所认识.

直到 Riemann(1826~1866)才进一步发展了 Gauss 的内在几何学, 1854 年他在哥丁根

大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别 . Riemann 将曲面本身看成一

个独立的几何实体, 而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体, 从而他认识到二

次微分形式[3](现称为黎曼测度)是加到流形上去的一个结构, 因此在同一流形上可以有

众多的黎曼测度. Riemann 意识到这件事是非常重要, 他把诱导测度与外加的黎曼测度

两者区分开来, 从而开创了黎曼几何. 其后, Levi-Civita 等人进一步丰富了经典的黎曼

几何.

二十世纪二、三十年代 E.Cartan 开创并发展了外微分形式与活动标架法, 建立起李

群与微分几何之间的联系, 从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园

地, 影响极为深远.

从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发展过程可以看到, 除了微

分几何本身研究中所产生的研究问题外, 其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分

几何的发展. 特别是理论物理与微分几何的相互影响, 黎曼几何与广义相对论的相互推

进, 既发展了引力理论, 也促使微分几何本身进一步发展. 近年来, 整体黎曼流形的研

究也被用到引力理论的研究中去. 随着高能物理学的发展, 规范场的重要性日益显著,

纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具 , 微分几何中一些深入的内容如陈省

身示性类、Atiyah—Singer 指标定理等都在研究中起了突出的作用. 总之, 微分几何在理

论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义, 这是一个值得注意的动向, 它将进一步推进

微分几何的向前发展.

微分几何这门学科虽然古老, 但生命力依然旺盛, 不仅是当前基础研究的热门领域,

也是 21 世纪数学研究的方向之一.

1.2 非欧几何的发展

非欧几何的发展源于 2000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》. 其


-3-

中公设五是欧几里得自己提出的, 它的内容是“若一条直线与两直线相交, 且若同侧所

交两内角之和小于两直角, 则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”. 这一公设引起

了广泛的讨论, 因为它不如其他公理、公设那样简明, 欧几里得本人也不满意这条公设,

他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它, 怀疑它可能不是一个独立的公设,

或许能用其它公设或公理代替. 从古希腊时代开始到十九世纪的 2000 多年来数学家们

始终对这条公设耿耿于怀, 孜孜不倦的试图解决这个问题. 数学家们主要沿二条研究途

径前进: 一条途径是寻找一条更为简明的命题代替平行公设; 另一条途径是试图从其他

9 条公理、公设推导出平行公设来. 沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是 1795

年苏格兰数学家普雷菲尔(J.Playfair 1748-1819)给出的: “过直线外一点, 有且只有一条

直线与原直线平行”, 也就是我们今天中学课本里使用的平行公理. 但实际上古希腊数

学家普罗克鲁斯在公元 5 世纪就陈述过它. 然而问题是, 所有这些替代公设并不比原来

的第五公设更好接受, 更“自然”. 历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文

学家托勒玫(Ptolemy,约公元 150年)做出的, 后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中

假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行 , 这就是上面提到的普雷菲尔公

设.

沿第二条途径论证第五公设的工作在 18 世纪取得突破性进展. 首先是意大利人萨

凯里(Saccharin 1667-1733)提出用归谬法证明第五公设 , 萨凯里从四边形 ABCD开始,

如果角 A和角 B是直角, 且 BDAC = , 容易证明角C等于角D . 这样第五公设便等价于

角C和角D是直角这个论断. 萨凯里提出另 2 个假设: (1)钝角假设: 角C和角D都是钝

角; (2)锐角假设: 角C和角D都是锐角. 最后在锐角假设下, 萨凯里导出了一系列结果,

因为与经验认识违背, 使他放弃了最后结论. 但是从客观上为非欧几何的创立提供了极

有价值的思想方法, 开辟了一条不同于前人的新途径.

前面提到的一些数学家尤其是兰伯特, 都是非欧几何的先驱, 但是他们都没有正式

提出一种新几何并建立其系统的理论. 而著名的数学家高斯(Gauss 1777-1855)、波约

(Bolyai 1802-1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793-1856)就这样做了, 成为非欧几何

的创始人.

经过数学家们不懈的努力, 非欧几何获得人们的普遍接受, 并建立了非欧几何自身

的无矛盾性和现实意义. 非欧几何的诞生, 是自希腊时代以来数学中一个重大的革新 .

在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义. M.克莱茵(M. Klein)

在评价这一段历史的时候说: “非欧几何的历史说明数学家受其时代精神影响的程度是


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那么大. 当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理 , 并且断定欧氏几何是唯一正确的.

但在一百年后, 高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”.

非欧几何的产生, 引起了数学家们对几何基础的研究, 从而从根本上改变了人们的

几何观念, 扩大了几何学的研究对象, 使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空

间, 即更一般的空间形式. 可以说, 非欧几何的产生是数学从以直观为基础的时代进入

以理性为基础的时代的重要标志.

非欧几何的产生引起了一些重要的数学分支的产生. 如数的概念, 分析基础, 数学

基础等, 公理化方法也获得进一步的完善.

非欧几何学的创立, 为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具 , 而相

对论结合物理学带来了一场深刻的革命, 使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃．

非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期. 数学家们从根本上改

变了对数学性质的理解.

1.3 仿射几何的发展

19 世纪中叶, 德国数学家 M.克莱因分析了欧氏几何欧氏群的关系之后发现 , 只要

我们给出一个集合作为欧氏平面, 再在其上给出欧氏变换群, 则欧氏几何是欧氏平面上

的图形经过欧氏群的变换之后, 获得的不变的性质、不变量和图形分类命题的集合.

M.克莱因总结并推广了上述思想 , 于 1872 年在德国埃尔朗根大学做了题为《近世

几何学研究的比较评论》的报告, 在报告中首先提出了几何学与变换群[4]的关系的思想,

对几何学的发展起到了巨大的推动作用. 一百多年来数学的发展说明了 M.克莱因用变

换群刻画几何学的观点在近代几何学中起了很大的作用 , 它使得各种几何学化为统一

的形式. 它给出了一般抽象空间所对应几何学的一种方法, 根据不同的变换群建立了不

同的几何学, 例如射影几何, 仿射几何, 欧氏几何. 并且可以通过这种方法找到射影几

何, 仿射几何, 欧氏几何之间的关系.

在仿射变换群作用下图形的不变性质与不变量分别叫做仿射性质和仿射不变量,

例如仿射变换保持直线的平行性不变; 保持平行线段的长度比不变; 保持三个点的共线

不变, 这是仿射几何的研究范围. 欧氏几何的研究范围是研究正交变换群下的不变性 ,

由此可见欧氏几何是仿射几何的子几何 , 所以在欧氏几何中可以讨论仿射几何的性质

和不变量, 在仿射几何中不能讨论与度量有关的性质和不变量.

我国微分几何先驱、著名数学家苏步青教授在 20 年代后期对仿射微分几何做出了


-5-

重要的贡献.

1.4 研究背景和现状

自 Einstein 提出相对论以来, 其时空模型-Minkowski 空间一直备受数学界和物理学

界的关注. 相对于我们熟悉的 Euclidean 空间, Minkowski 空间是一个全新的领域. 由于

度量的不同, 导致了一些基本概念有了质的变化, 例如向量, 标架, 点的运动有了变化,

特别是类光向量的出现, 使得 Minkowski 空间的一些问题与 Euclidean 空间相比有着出

人意料的结论. 这些为 Minkowski 空间所独有的结论, 特别是子流形的几何性质, 是我

们研究和关注的焦点, 因为这些结论更好的反映了 Minkowski 空间区别于 Euclidean 空

间的本质特征.

在 Minkowski 空间中, 人们对曲线和曲面进行了广泛的研究. Franki Dillen 分别在

1999 年和 2006 年对直纹 Weingarten 曲面[5]进行了研究. 刘会立教授在 1999 年对沿两个

类空方向和一个类空一个类时方向平移的平移曲面进行了研究[6], 并对常平均曲率[7]和

常高斯曲率[8]的平移曲面进行了分类. 在三维欧氏空间中, 平移曲面只有一类. 然而在

三维 Minkowski 空间中, 根据它所平移的方向的不同, 平移曲面[9]可以分为六类, 对每

一类的性质都有了具体的研究. 袁媛老师对沿着类时和类光方向、类时和类时方向的平

移曲面做了研究, 并找出了曲面的具体形式, 李春秀[10], 李金亮[11], 分别对沿着两个类

光的平移曲面, 沿着类空和类光方向的平移曲面做了研究, 找到了具体的平移曲面.

1.5 本文的主要内容和研究目的及意义

本文的主要内容是讨论仿射坐标下三维 Minkowski 空间中的平移曲面, 且所做讨

论是在不定度量下进行的. Minkowski 空间不同于欧氏空间主要在于其度量的不同, 在

Minkowski 空间中, 人们对曲线和曲面进行了广泛的研究, 本文的具体工作如下所述:

首先定义仿射平移曲面的参数方程为

( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= .

在该参数方程中 a为常数, 随着 a的不同仿射平移曲面平移的方向不同. 这也是本

文的思想基础. 接着选取一种新的度量

122121, zxyyzx ++=βα ,

根据微分几何的基本知识, 计算了该度量下仿射平移曲面的第一, 第二基本形式以及高


-6-

斯曲率和平均曲率.

最后主要利用高斯曲率和平均曲率的线性关系

0=++ cnHmK ,

和非线性关系

KH =2 ,

得到了仿射平移曲面的具体表达式, 找到了更多的仿射平移曲面, 并对该仿射曲面进行

了新的分类.

具体分为以下七类进行讨论, 分别为

（1） 0=K 情况下的仿射平移曲面;

（2） cK = 情况下的仿射平移曲面;

（3） 0=H 情况下的仿射平移曲面;

（4） cH = 情况下的仿射平移曲面;

（5） 0=+ nHmK 情况下的仿射平移曲面;

（6） cnHmK =+ 情况下的仿射平移曲面;

（7） KH =2 情况下的仿射平移曲面.

这样使得研究的范围更广, 得到更多的平移曲面. 这对平移曲面的研究有着深远

的意义.

东北大学硕士学位论文第 2 章预备知识

-7-

第 2章预备知识

2.1 三维 Minkowski空间

2.1.1 三维Minkowski空间的定义

定义定义定义定义 2.1[12] 设V 是实数 R上的n维向量空间,

RVVg →×:

是一个 VV × 到R上的对称的双线性函数, 称 g为V 上的度量, 或者内积, 如果存在V 的

一组基, 度量矩阵的标准型为

−mn

m

E

E

0

0-,

则称V 为 n维伪欧氏空间, 可以表示为 n

mE .

特别的, 当 1=m 时, V 为 n维 Minkowski 空间, 表示为 nE1 .

当 3=n 时, V 称为三维 Minkowski 空间, 表示为 3

1E .

设 Vvv ∈21, , 称 ( )21,vvg 为 21,vv 的内积. 可以表示为 21,vv .

设 3

1E 是三维 Minkowski 空间, 任意的向量 Vv∈ ,2v 称为向量的模, 可以表示为

v .

定义定义定义定义 2.2[12] 设 3

1E 是三维 Minkowski 空间, 任意的向量 Vv∈ , 0≠v

如果 0, >vv , 则称 v是类空向量;

如果 0, <vv , 则称 v是类时向量;

如果 0, =vv , 则称 v是类光向量.

这里规定零向量为类空向量.

2.1.2 三维Minkowski空间的标架

三维 Minkowski 空间是一个比较特殊的空间, 它有两种常用的标架, 分别为正交标


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架和伪正交标架.

正交标架, 也称为正交基标架{ }ie :

==−

≠

==

=±=

1.1

0

2.1

ji

ji

nji

ee ijji

L

δ

伪正交标架, 也称为伪正交基标架{ }ie :

( )

==

=≠

======

=±=

nji

njiji

nijnjinji

ee ijji

或者

或者

1.0

,3,2,0

,1;,11-2.1

ˆˆ L

L

δ

2.2 三维 Minkowski空间中的向量的运算及 Frenet公式

2.2.1 三维Minkowski空间中向量的内积、外积、混合积

任取向量 3

1,, E∈γβα , 设 { }111 ,, zyx=α , { }222 ,, zyx=β , { }333 ,, zyx=γ , 其中

Rzyx iii ∈,, .

定义定义定义定义 2.3[13] 在 3

1E 中取一组正交标架基{ }ie , 向量的内积定义如下

212121, zzyyxx −+=βα ,

在伪正交标架下, 向量的内积为

122121, zxyyzx ++=βα .

若向量 βα , 的内积为零, 则称 βα , 正交.


1E 中取一组正交标架基{ }ie , 向量的外积定义为

( )122112211221

222

111

321

,, yxyxzxzxzyzy

zyx

zyx

eee

+−−−=

−

=× βα .

在伪正交标架下, 向量的外积定义为

( )122112211221

222

111

123

,, yzyzxzxzyxyx

zyx

zyx

eee

+−−−=

−

=× βα .


-9-

若向量 βα , 的外积为零向量, 则称向量 βα , 平行.


1E 中的正交标架下, 向量的混合积定义如下

( )

321

321

321

,,,

zzz

yyy

xxx

=×= γβαγβα .

引理引理引理引理 2.1[15] 设 γβα ,, 是 3

1E 中任意两个向量, 则有

(1)对称性, αββα ,, = ;

(2)线性性, βαλβλα ,, = ;

γβγαγβ ,,, +=+a .

引理引理引理引理 2.2[14] 设 βα , 是 3


αββα ×=× - .



( ) ( ) ( )αγββαγγβα ,,,,,, ==

考虑其双重矢量积, 有如下性质:



( ) ( ) ( )βγααγβγβα ××=×× - .

由引理 2.1 和引理 2.3 得到如下引理:

引引引引理理理理 2.5[16] 设 δγβα ,,, 是 3

1E 中任意两个向量, 则有如下恒等式(Lagrange恒等式)成

立

δβγαγββαδγβα ,,,, −=×× ， .

引理引理引理引理 2.6[16] 3

1E 中的向量满足下面性质

（1） 3

1E 不存在两两正交的类时向量;

（2） 3

1E 中的一类空向量和类时向量正交, 则其作外积所得的向量必为类空向量;

（3） 3

1E 中类时向量和类光向量不能正交;


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（4） 3

1E 中三个非零向量组成的正交标架, 如果一个是类光向量, 则该三个向量至

少包括两个类光向量;

（5） 3

1E 中若两个类光向量垂直, 则这两个向量线性相关.

2.2.2 三维Minkowski空间中曲线的 Frenet公式

设 ( )srr = 是 3

1E 中的曲线的自然参数表示, 其中 s是自然参数, 并引入曲线的单位

切向量为α , 主法向量和副法向量分别为 γβ , , { }γβα ,, 构成了 3

1E 中曲线的 Frenet 标架.

由于类光向量的特殊性, 可以得如下定理.

定理定理定理定理 2.1[14] 在 3

1E 中, 当曲线的Frenet标架含有类光向量时, 曲线的Frenet标架只有

下面三种情况:

（1）α 为类光向量, β 为类光向量, γ 为类空向量;

（2）α 为类空向量, β 为类光向量, γ 为类光向量;

（3）α 为类光向量, β 为类空向量, γ 为类光向量.

三种标架对应的Frenet公式为:

−−=

=

=

;

,

,

κβταγ

τγβ

κγα

&

&

&

=

=

=

;

,--

,

τβγ

κγταβ

κβα

&

&

&

=

=

=

.

,

,--

ταγ

καβ

τβκγα

&

&

&

定理定理定理定理 2.2[14] 在 3

1E 中, 不考虑类光向量的时, 曲线的Frenet 标架只有下面三种情况:

（1）α 为类空向量, β 为类空向量, γ 为类时向量;

（2）α 为类空向量, β 为类时向量, γ 为类空向量;

（3）α 为类时向量, β 为类空向量, γ 为类空向量.

三种标架对应的Frenet公式为:

=

+=

=

;

,-

,

τβγ

τγκαβ

κβα

&

&

&

=

+=

=

;

,

,

τβγ

τγκαβ

κβα

&

&

&

=

+=

=

;-

,

,

τβγ

τγκαβ

κβα

&

&

&

2.3 三维Minkowski空间中的曲面

设 ( )vurr ,= 为曲面S的向量表示, S是 3

1E 中 2C 类曲面.


-11-

定义定义定义定义 2.10 若曲面S上各点的切平面的类型相同, 则称之为单纯型曲面; 反之, 称之

为混合型曲面; 对于单纯型曲面, 分别称为类空曲面, 类时曲面, 类光曲面, 若曲面的

切平面分别为类空, 类时, 类光平面.

2.3.1 曲面的第一基本量

定义定义定义定义 2.10[17] 设曲面 S的方程为 ( )vurr ,= , 则有二次型

222 ,,2,, dvrrdudvrrdurrdrdrdr vvvuuu ++== ,

称为曲面S的第一基本形式, 用

22 2 GdvFdudvEduI ++=

表示, 其中

uu rrE ,= , vu rrF ,= , vv rrG ,= ,

称为曲面S的第一基本量. 曲面的单位法向量[17]

vu

vu

rr

rrn

×

×= .

2.3.2 曲面的第二基本量

定义定义定义定义 2.11[17] 设曲面 S的方程为 ( )vurr ,= , 单位法向量为 n , 则有

222 ,,2, dvrndudvrndurndrn vvuvuu ++=⋅ ,

称上式为曲面S的第二基本形式, 用

22 2 NdvMdudvLduII ++=

表示, 其中

uurnL ,ε= , uvrnM ,ε= , vvrnN ,ε= ,

称为曲面S的第二基本量. 其中 ( )22 FEGFEG −=− ε .

2.3.3 曲面的高斯曲率和平均曲率

定义定义定义定义 2.12[18] 设曲面 S的方程为 ( ) 2, Cvurr ∈= , GFE ,, 和 NML ,, 分别是 3

1E 中曲面


-12-

S的第一基本量和第二基本量, 并且 02 ≠− FEG . 则定义高斯曲率和平均曲率, 分别表

示如下:

高斯曲率:

2

2

FEG

MLNK

−

−= .

平均曲率:

( )22

2

FEG

NEMFLGH

−

+−= .

2.3.4 曲面的分类


1E 中曲面 S的方程为 ( ) 2, Cvurr ∈= ,22 2 GdvFdudvEduI ++= 是

曲面的第一基本形式, 则

=

GF

FEG 称为曲面的诱导度量矩阵.


1E 中曲面 S的方程为 ( ) 2, Cvurr ∈= ,22 2 GdvFdudvEduI ++= 是

曲面的第一基本形式,

=

GF

FEG 称为曲面的诱导度量矩阵, 若

G正定时, 曲面为类空曲面;

G负定时, 曲面为类时曲面;

G为退化矩阵时, 曲面为类光曲面.

2.4 仿射空间中的曲面

我们由仿射空间中的伴随向量空间之间的线性映射来定义仿射映射. 仿射映射是

保持仿射空间仿射结构的映射.

2.4.1 仿射映射

设 1A 和 2A 是两个仿射空间， 1V 与 2V 是 1A 和 2A 的伴随向量空间，

iiii VAA →×:π ,


-13-

一个映射 21: AA →α 称为仿射映射，若存在一个线性映射 αL 使得

( ) ( )( ) ( )( )qpLqp ,, 12 πααπ α=

对所有的 Aqp ∈, 成立. 这里 αL 是唯一确定的. 则称 αL 为α 的伴随映射.

2.4.2 仿射变换群

我们知道，n维向量空间V 的所有自同构的集合形成V 的自同构群. 设

( ) }|:{:, 是自同构LVVLRnGL →= ,

( ) ( ) }1det|,{:, =∈= LRnGLLRnSL ,

( )RnGL , 和 ( )RnSL , 分别称为一般线性群和特殊线性群，他们的维数分别为 2n 和 1-2n .

设 A是以V 为伴随向量空间的n维仿射空间, 定义

( ) }|:{: 是正则的αα LAAn →=Α ,

( ) ( ) }1det|{: =Α∈= αα nnS ,

( ) ( ) ( ) }|{: ppnnZ =Α∈= αα ,

( ) ( ) }|:{: αα αα bppApVbAAn =∈∈→=Γ→

有使得对所有存在向量 .

( )nΑ 称为正则仿射群, ( )nS 称为等仿射群, ( )nZ 称为以 p为中心的中心仿射群 ,

( )nΓ 称为 A上的平移变换群.

本节主要阐述三维仿射空间 3A 里一个曲面关于空间等积仿射变换的不变性质 , 首

先在一个曲面点确定一个不变的三脚形, 使之联系与曲面, 为达到此目的, 我们借助于

欧氏空间曲面论中出现过的二次形式. 设曲面的参数表示为

( )vuXX ,= ,

这里 0≠× vu XX .

如果曲面上有一条这样的曲线 ( )tX , 使它在各点的密切平面与曲面在这点的切平

面重合, 则称为渐近曲线, 因此我们有

( ) 0,, =ttvu XXX ,


-14-

利用上式可以导出一个不变微分形式

02 22 =++ NdvMdudvLdu ,

其中

( )uuvu XXXL ,,= ,

( )uvvu XXXM ,,= ,

( )vvvu XXXN ,,= .

这些行列式和二次形式

( ) 222 ,,2 dtXXXNdvMdudvLdu ttvu=++ ,

在固定参数 vu, 之下都是仿射不变的, 引入新的变换使得

( ) ( )DXXXXXX ttvuttvu ,,,, = ,

从而得到

( )DNdvMdudvLduvdNvdudMudL 2222 22 ++=++ ,

式中

u

v

v

u

v

v

u

uD

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂= ,

Du

v

u

vN

u

v

u

u

u

v

u

uM

u

u

u

uLL

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂= ,

Dv

v

u

vN

u

v

v

u

v

v

u

uM

v

u

u

uLM

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂= ,

Dv

v

v

vN

v

v

v

u

v

v

v

uM

v

u

v

uLN

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂= .

从而得到如下性质:

( ) ( ) 422 DMLNMNL ⋅−=− .

定义定义定义定义 2.15 设曲面 S的方程为 ( )vurr ,= , 单位法向量为 n , 则有

222 ,,2, dvrndudvrndurndrn vvuvuu ++=⋅ ,

称上式为曲面S的第二基本形式, 用


-15-

22 2 NdvMdudvLduII ++=

表示, 其中

uurnL ,= , uvrnM ,= , vvrnN ,= .

2.5 三维 Minkowski中的平移曲面

2.5.1 平移曲面的定义

定义定义定义定义 2.16 如果曲面的方程可以写为

( ) ( ) ( )( )vgufvuvuX += ,,, ,

这样的曲面叫做平移曲面. 其中 ( )uf , ( )vg 是关于 vu, 的函数.

我们分别用垂直于第一个坐标轴和第二个坐标轴的平面去截这个平移曲面, 得到

了两条曲线, v -曲线和 u -曲线. 即这种平移曲面是沿着第一个坐标轴方向和第二个坐

标轴方向平移的平移曲面.

这样的平移曲面可以根据其平移方向分为六类, 分别表示如下:

第一种, 沿着两个类空方向平移的曲面;

第二种, 沿着两个类光方向平移的曲面;

第三种, 沿着两个类时方向平移的曲面;

第四种, 沿着一个类空方向和一个类光方向平移的曲面;

第五种, 沿着一个类空方向和一个类时方向平移的曲面;

第六种, 沿着一个类光方向和一个类时方向平移的曲面.

上述这六种平移曲面都是沿着两个正交坐标轴方向平移的. 如果平移曲面不是沿

着正交坐标轴方向平移, 于是得到如下定义.

2.5.2 仿射平移曲面的定义

定义定义定义定义 2.17 如果曲面的方程可以写为

( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= ,

这样的曲面叫做仿射平移曲面.

其中 ( )avuf + , ( )vg 是关于 vu, 的函数. a是常数. 这样定义的平移曲面随着 a的不


-16-

同, 有着不同的平移方向, 并且平移的方向不一定是沿着正交坐标轴平移, 从而从仿射

的角度定义了新的平移曲面, 使得平移曲面的研究范围更广, 本文的重点就是研究仿射

平移曲面, 找到了更多的平移曲面, 并对它进行了新的分类.

东北大学硕士学位论文第 3章三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

-17-

第 3章三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

本章主要讨论三维Minkowski空间中的仿射平移曲面, 研究了基于不定度量的仿射

平移曲面, 并对仿射平移曲面进行新的分类, 使得研究的范围更广, 得到更多的平移曲

面.

3.1 仿射平移曲面

定义定义定义定义 3.1 如果曲面的参数方程可以写为

( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , (3.1)

这样的曲面叫做仿射平移曲面.

其中 ( )avuf + , ( )vg 是关于 vu, 的函数. a是常数. 这样定义的平移曲面随着a的不

同, 有着不同的平移方向, 并且平移的方向不一定是沿着正交坐标轴平移, 基于仿射的

思想, 从仿射的角度定义了新的平移曲面, 使得平移曲面的研究范围更广, 本文的重点

就是研究这种仿射平移曲面, 找到了更多的平移曲面, 并对它进行了新的分类.

在该曲面的参数方程中, 如果 0=a , 则该曲面是沿着两个类光方向的仿射平移曲

面; 如果 0>a , 则该曲面是沿着一个类空和一个类光方向的仿射平移曲面; 如果 0<a ,

则该曲面是沿着一个类时方向和一个类光方向的仿射平移曲面 , 鉴于 0=a 的情况是正

交坐标下的平移曲面, 所以在以下论文中主要讨论 0≠a 的情况.

设 ( ) ( ) ( )10,0ˆ,01,0ˆ,00,1ˆ321 ，，， === eee 为伪正交基, 则可以得到伪正交基标架为{ }ie .

设 3

1, E∈βα 的任意向量, 其中

( )111 ,, zyx=α , ( )222 ,, zyx=β .

则在该伪正交标架下定义内积为

122121, zxyyzx ++=βα .

在上述内积下, 伪正交基{ }ie 下, 由于

0ˆ,ˆ11 =ee ,

1ˆ,ˆ22 =ee ,


-18-

0ˆ,ˆ33 =ee ,

所以 1e 为类光方向, 2e 为类空方向, 3e 为类光方向.

下面关于参数方程(3.1)计算曲面的高斯曲率和平均曲率. 通过计算得

( )0,,1 uu fX = ,

( )1,,0 vvv gafX += .

所以可以得到曲面的第一基本量为

2

uuu fXXE =⋅= ,

( )vvuvu gaffXXF ++=⋅= 1 ,

( )2vvvv gafXXG +=⋅= .

则可以得到曲面的第一基本形式为

( )[ ] ( )222 12 vvvvuu gafdudvgaffdufI +++++= ,

由于

( )vvuvu gaffXX +−=× ,1, ,

所以曲面的法向量为

( )( )vvu

vvuvu

vu gaffgaffXX

XXn +−

++=

×

×= ,1,

12

1.

通过计算得

( )0,,0 uuuu fX = ,

( )0,,0 uvuv afX = ,

( )0,,0 2

vvvvuv gfaX += .

所以可以得到平移曲面的第二基本量为

( )( )( )

( ),

12

0,,0,1,12

1

++

−=

+−++

=⋅=

vvu

uu

uuvvu

vvu

uu

gaff

f

fgaffgaff

nXL


-19-

( )( )( )

( ),

12

0,,0,1,12

1

++

−=

+−++

=⋅=

vvu

uv

uvvvu

vvu

uv

gaff

af

afgaffgaff

nXM

( )( )( )

( ).

12

0,,0,1,12

1

2

2

++

−−=

++−++

=⋅=

vvu

vvvv

vvvvvvu

vvu

vv

gaff

gfa

gfagaffgaff

nXN

由此可得曲面的第二基本形式为

( ) ( ) ( ).

1212

2

12

22

2 dvgaff

gfadudv

gaff

afdu

gaff

fII

vvu

vvvv

vvu

uv

vvu

uu

++

−−+

++

−+

++

−=

本文中只讨论 02 ≠− FEG 的情况, 对于退化的平移曲面不做讨论.

通过计算得曲面(3.1)的高斯曲率和平均曲率为:

高斯曲率为

( )( )[ ]2

222

2

2

12 ++

−+=

−

−=

vvu

uvvvvvuu

gaff

fagfaf

FEG

MLNK

ε. (3.2)

平均曲率为

( )( ) ( )( ) ( )

( )[ ].

122

12

2

2

23

222

2

++

+−++++−=

−

+−=

vvu

vvvvuvvuuvvvuu

gaff

gfafgaffafgaff

FEG

NEMFLGH

ε

(3.3)

为了方便计算, 我们引入平移变换

=

+=

.

,

vz

avuy

其中( )( )

0,

,≠

∂

∂

vu

zy.

由上述变换可以得到

yu ff = ,yv aff = , zv gg = .

yyuu ff = , yyuv aff = , yyvv faf 2= , zzvv gg = .

所以式(3.2)和(3.3)可以简化为


-20-

( )( )[ ] ( )[ ]

.1212

2222

244

++=

++

−+=

zyy

zzyy

zyy

yyzzyyyy

gfaf

gf

gfaf

fagfafK

εε(3.4)

( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )[ ].

122

2

122

12

23

2

222

23

2

422222

++

−+−=

++

+−++++−=

zyy

yyyyyyyy

zyy

zzyyyzyyyyzyyy

gfaf

gffagf

gfaf

gfafgfaffagfafH

ε

ε(3.5)

下面我们通过讨论高斯曲率和平均曲率之间的关系, 找到新的仿射平移曲面的具

体表达式, 并对其进行分类, 得到仿射平移曲面的分类定理. 分别讨论高斯曲率和平均

曲率的线性关系 0=++ cnHmK , 和非线性关系 KH =2 这两种情况下的仿射平移曲面.

3.2 高斯曲率和平均曲率满足线性关系的仿射平移曲面

3.2.1 0=K 的情况

这种情况主要讨论线性关系 0=++ cnHmK 当 0,0,0 ==≠ cnm 时的仿射平移曲面.

定理定理定理定理 3.1 设 S是 3

1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 如果它

的高斯曲率 0=K , 那么仿射平移曲面满足以下关系:

( ) ( )( )

++=+

.

,21

为任意函数vg

cavucavuf

或者

( )( )

+=

+

.

,

21 cvcvg

avuf 为任意函数

证明: 当 0=K 时, 即

( )[ ].

1222 ++

=

zyy

zzyy

gfaf

gfK

ε

因此

0=zzyy gf .

因此, 有

0=yyf ,

或者


-21-

0zz =g .

当 0=yyf 时, 得

( ) 21 cycyf += ,

即

( ) ( ) 21 cavucavuf ++=+ .

其中 21,cc 为任意常数, 此时仿射平移曲面 gf , 满足以下关系

( ) ( )( )

++=+

.

,21

为任意函数vg

cavucavuf

同理, 当 0zz =g 时, gf , 满足以下关系

( )( )

+=

+

.

,

21 cvcvg


3.2.2 ( )0≠= ccK 的情况

这种情况主要讨论线性关系 0=++ cnHmK 满足 0,0,0 ≠=≠ cnm 时的仿射平移曲

面.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的高斯

曲率不可能为非零常数.

证明: 当 cK = 时, 即

( )[ ]c

gfaf

gfK

zyy

zzyy=

++=

22 12ε. (3.6)

对上式关于 z求导数, 有

zzyzzzyy gcfgf ε2= , (3.7)

显然由(3.6)有

0≠zzyygf ,

所以

cf y ≠ ,

所以由(3.6), (3.7)消去 yyf 有


-22-

( )[ ]y

zyy

zzz

zz

f

gfaf

g

g

2

12222 ++

= ,

整理有

( ) 024484 2223244 =+++++ zzzyzzyzzzzzzzyzzzzyzzz gfgfgggafggafga . (3.8)

(3.8)可以看做关于 yf 的多项式.

由于

cf y ≠ ,

所以根据多项式恒等定理, 有

0=zzzg ,

这与(3.7)矛盾.

因此无解, 即这种仿射平移曲面的高斯曲率不可能为非零常数.

3.2.3 0=H 的情况

这种情况主要讨论线性关系 0=++ cnHmK 满足 0,0,0 =≠= cnm 时的仿射平移曲

面.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的平均

曲率 0=H , 那么它是下列情况之一:

（1）平面或者柱面;

（2） gf , 分别为:

( )( )

+=

+

.2

,

2cavvg

avuf

ε

是任意函数

或者

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

32

32

cvcvg

cavucavuf

或者

( ) ( )

( )

+−−=

+++−=+

.ln222

,ln1

4

22

3

22

3

2

321

1

11 cececavg

ccavucc

avuf

vcvc εε


-23-

证明: 当 0=H 时, 即

( )[ ]0

122

2

23

2

222

=++

−+−=

zyy

yyyyyyyy

gfaf

gffagfH

ε, (3.9)

则

.02 222 =−+− zzyyyzyy gffagf (3.10)

当 0=yf 时, 则 0=yyf , ( )yf 等于常数, g为 v的任意函数, 那么平移曲面是柱面.

当 02 22 =− zga 时, 则 0=zzg , 22 cazg += ε , ( )yf 为任意函数, gf , 满足下述关系

( )( )

+=

+

.2

,

2cavvg

avuf

ε

是任意函数

当 0=yf , 02 22 =− zga 时, ( )yf 等于常数, ( ) 22 cazzg += ε , 那么平移曲面为柱面.

当 0≠yf 02 22 ≠− zga 时, 则

1222 2c

ga

g

f

f

z

zz

y

yy=

−= . (3.11)

当 01 =c 时, 有

0,0 == zzyy gf .

所以有

( ) 32 cycyf += ,

( ) 32 czczg += .

即 gf , 满足下述关系

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

32

32

cvcvg

cavucavuf

当 01 ≠c 时, 有

12c

f

f

y

yy= . (3.12)

解微分方程(3.12)得


-24-

( ) 321

1

ln1

ccycc

yf ++−= .

同理, 解

1222c

ga

g

z

zz =−

得

( ) 4

22

3

22

3

2 11 ln222 cececazgzczc +−−= εε .

所以这种情况下, gf , 满足下述关系

( ) ( )

( )

+−−=

+++−=+

.ln222

,ln1

4

22

3

22

3

2

321

1

11 cececavg

ccavucc

avuf

vcvc εε

其中 acccc ,,,, 4321 都是常数.

3.2.4 ( )0≠= ccH 的情况

这种情况下主要讨论线性关系 0=++ cnHmK 满足 0,0,0 ≠≠= cnm 时的仿射平移

曲面.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的平均

曲率 cH = , 那么平移曲面有下列形式:

(1)

( ) ( )

( )( )

+

+−

+−=

++=+

.2

1

24

1

,

3

1

2

1

21

21

cvc

accvccc

vg

cavucavuf

εε

(2)

( )

( ) ( )

+

−+−−=+

=

.2

21

2

,

2

2

1

1

cacavua

c

cavuf

cvg

εε

(3)

( )

( ) ( )

−

−++

−

−=+

+=

.12

2ln

2

,

2

2

1

2

2

2

1

232

2

1

2

21

a

cacavu

ca

cc

ca

caavuf

czczg

εε

证明: 当 cH = , 即

( )[ ]0

122

2

23

2

222

≠=++

−+−= c

gfaf

gffagfH

zyy

yyyyyyyy

ε. (3.13)


-25-

由(3.13)得

0≠yf ,

所以, 当 01 ≠= cf y 时,

( ) 21 cycyf += ,

将上式代入(3.13)式有

[ ] ,1222

2

3

1

2

1

1

+′+−

= gcacc

cg zz

ε

对上式积分得

( )( )

.2

1

24

13

1

2

1

21

czc

acczccc

zg +

+−

+−=

εε

此时得到 gf , 满足关系

( ) ( )

( )( )

+

+−

+−=

++=+

.2

1

24

1

,

3

1

2

1

21

21

cvc

accvccc

vg

cavucavuf

εε

下面讨论 yf 不为常数时的情况.

当 0=zzg 时, 有

01z ≠= cg ,

所以

( ) 21 czczg += .

代入(3.13)式可以化简为

( )1222

21

22

22++

−= yy

z

yy fcfaga

cf

ε,

解上述微分方程得

( )

−

−+

−

−= 1

2

2ln

22

2

1

2

2

2

1

232

2

1

2

a

cacy

ca

cc

ca

cayf

εε.

此时得到 gf , 满足如下关系


-26-

( )

( ) ( )

−

−++

−

−=+

+=

.12

2ln

2

,

2

2

1

2

2

2

1

232

2

1

2

21

a

cacavu

ca

cc

ca

caavuf

czczg

εε

当 0=zzg 且 0=zg 时,

( ) 1czg = .

代入(3.13), 有

( ) 23

22

2

1 12 += yyy faa

cf

ε,

对上述微分方程积分得到

( ) .22

12

2

2

1 cacya

c

cyf +

−−−= ε

ε

所以 gf , 满足下述关系

( )

( ) ( )

+

−+−−=+

=

.22

12

,

2

2

1

1

cacavua

c

cavuf

cvg

εε

当 0≠zzg 且 0≠zg 且 yf 不是常数时, 设

( ) 12 2 ++= zyy gfafω ,

所以(3.13)整理为

( ) zzyyyz gfcfga 22

3

22 22 +=− εω . (3.14)

对(3.14)关于 z求导数有

zzzyzzyyyzzz gfgfcfgg 22

1

62 +=− ωε , (3.15)

由(3.14)和(3.15)消去 yyf , 有

zzzyzzy

zzy

zzz

z

gfgfc

gfc

gg

ga

22

1

2

3

22

6

2

2

2

+

+=

−

−

ωε

εω, (3.16)

整理得

( ) ( )[ ] 22222

3

2

1

22 22426 fggaggcgggfgac ′′′′′−−′′′−=′′′+′′′′− εωωε , (3.17)

对上式两边平方有


-27-

( )( )

( )[ ] ,22

248

16236

42222

222222

322222222222

yzzzzzzz

zzzyz

zzzzzyz

fggagg

ggfgac

cgggfgac

−−−=

−+

+−

ωε

ωεωε

整理上式得

( )[ ] ( )( ) .016248

23622

32222222222

222222242222

=+−+

−+−−−−

ωεωε

ωε

cggfgaggc

fggacfggagg

zzzyzzzz

yzzzyzzzzzzz(3.18)

(3.18)可以得到一个关于 yf 的多项式, 由于 yf 不是常数, 所以只考虑不含 yf 的项等于零

的情况, 由多项式恒等定理可得

016 2222 =εcgg zzz .

这与 0≠zzg 且 0≠zg 矛盾, 所以无解. 定理得证.

3.2.5 0=+ nHmK 的情况

这种情况主要讨论线性关系 0=++ cnHmK 满足 0,0,0 ==≠ cnm 时的仿射平移曲

面.

定理定理定理定理 3.5 设 S 是 3

1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当

0=+ nHmK 时, 那么平移曲面有下列情形:

（1）平面或者柱面;

（2） fg , 分别为:( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

2

1

ccvvg

cavucavuf

（3） fg , 分别为: ( ) ( )

( )

++=

= ∫∫

−

++−

.2

1

,

32

2

1

121

243

2

czczczg

dyeyf

dfkgfafkk

k

zyy

证明: 0=+ nHmK , 即

( )[ ] ( )[ ]0

122

2

12 23

2

222

22=

++

−+−+

++zyy

zzyyyzyy

zyy

zzyy

gfaf

gffagfn

gfaf

gfm

εε. (3.19)

由(3.19)可以得到

( )[ ]

( )2

2

12

222

2

12

zzyyyz

zyy

zzyy gffagn

gfaf

gfm

+−=

++

. (3.20)


-28-

当 0=yf 时,

( ) cyf = ,

( )zg 为任意函数. 此时平移曲面为平面.

讨论 0≠yf 的情况.

如果

cf y = ,

则

( ) 1ccyyf += ,

由(3.20)式得到

0=yyg ,

则

( ) 2cczzg += .

gf , 满足关系

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

2

1

ccvvg

cavucavuf

如果

cf y ≠ ,

则对(3.20)关于 z求导,设

( ) 12 2 ++= zyy gfafω ,

则有

( )zzzyyyzzz

zzyyzzyzzyy

gffggm

ngfgfgf

2

2

1

2

1

22

22

1

+=−

−

ω

ωω(3.21)

整理(3.20)和(3.21), 得

( ) zzyzzz

yy gfagnmg

f 222

2

12

2=

−−

ω

, (3.22)


-29-

zzzzzzz

zzyzz

yy gfm

ngg

m

ngfgf 2

22

1

2

1

2=

−−

−

ω

ωω, (3.23)

由(3.22)和(3.23)消去 yyf 得到

( ) ,222

22

2

1

2

2

22

1

2

1

−−=

−−

−

agnmg

gfm

n

gfggm

ngfg

zzz

zzzy

zzyzzz

zzyzzz

ω

ω

ωω

整理得

( ) ωωω

−−=−

−

−

zzzzzzzzzyzzzzz gagm

ngg

m

ngfgg

n 222

32

1

32

1

242

1 .

对上式两边平方, 有

( ) 3

2

222

2624222

2

242

12

1 ωωω

−−=+

−−

− zzzzzzzzzzyzzyzzzzzzzz gag

m

ngg

m

ngfgfg

ngg

n,

整理上式, 并把ω 带入, 有

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) .02

124

214

212

46

2144

2122

4612

218

2122

4248

2142

41224

24

24

24

8

22

22

222

2

22

2

24

2

222

2

222

2

224

2

222

222

322

2

242

2

222

222

422

2

4

2

222

2422

5

2

222

24

6

2

222

26

=

−−

−−+

−−

−+

−−

−+−

−+

−−++

−−

−+

−−++

′

−−

−−++

−−+

−−

zzzzzzzzzzzz

yzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

yzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

yzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzz

yzzzzzzzz

yzzzzzzzz

ggn

gagm

ngg

m

n

fggn

gggn

gagm

ngg

m

ng

fggn

aggggn

gagm

ngg

m

nag

fgggn

aggn

agagm

ngg

m

ngag

fggn

agagm

ngg

m

naga

fgagm

ngg

m

na

fgagm

ngg

m

na


-30-

由于 yf 不是常数, 由多项式恒等定理知, 则各项系数都为零, 所以有

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

=

−−

−−

=

−−

−+

−−

=

−+−

−+

−−+

=

−−

−+

−−+

=

−−

−−+

=

−−

=

−−

.02

124

,02

142

124

6

,02

1442

1224

612

,02

182

1224

248

,02

1424

1224

,024

24

,024

8

22

22

222

2

22

2

24

2

222

2

22

2

224

2

222

222

22

2

242

2

222

222

22

2

4

2

222

2422

2

222

24

2

222

26

zzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

ggn

gagm

ngg

m

n

ggn

gggn

gagm

ngg

m

ng

ggn

aggggn

gagm

ngg

m

nag

gggn

aggn

agagm

ngg

m

ngag

ggn

agagm

ngg

m

naga

gagm

ngg

m

na

gagm

ngg

m

na

解上述方程组得

0=zzzg .

所以

( ) 32

2

12

1czczczg ++= .

带入(3.20)式得

( )[ ]

( )[ ],22

12

2

1

22

2

12

1

yyyz

zyy

yy

fcfagn

gfaf

fmc

+−=

++

对上式进行整理化简有

( )[ ] ( )222

121

1

22

2

1

22

2

1

2122

2

2

2aggfaf

n

mc

n

mc

ag

fc

ag

fcf

zzyy

z

y

z

y

yy

−++−

−+

−−= ,

两边同时除以 yf ,有

( ),

12 2

43

2

1

++−+−=

zyy

y

y

y

y

gfafkk

fkfk

f

df


-31-

( ) .2,2

,2

2,

2

22

41

322

2

1222

11 agk

n

mck

agn

mck

ag

ck z

zz

−==−

=−

=其中

两边积分, 有

( )dfk

gfafkk

kf

zyy

y ∫

−

++−= 1

2

43

2

12ln ,

所以有

( ),

12

43

2

12dfk

gfafkk

k

y

zyy

ef

∫

−

++−=

对上式积分得

( ) ( )dyeyf

dfkgfafkk

k

zyy

∫∫

−

++−=

12

43

2

12.

所以 gf , 满足关系

( ) ( )

( )

++=

= ∫∫

−

++−

.2

1

,

32

2

1

121

243

2

czczczg

dyeyf

dfkgfafkk

k

zyy

3.2.6 ( )为常数ccnHmK =+ 的情况

这种情况主要讨论高斯曲率和平均曲率满足线性关系 ( )为常数ccnHmK =+ ,其中

cnm ,, 都不为零的仿射平移曲面.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当 S高斯

曲率和平均曲率满足 cnHmK =+ 时, 那么仿射平移曲面有下列情形:

（1）

( ) ( )

( )

+−−

−−=

++=+−

3

1

1

2

1

2

1

21

22

2

4

1c

c

vvca

cv

c

c

cvg

cavucavuf

ε

ε

（2）

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

++=

=

++−−

+++++∫

32

2

1

21

22

1

2221

2

1

2

1

1222

1

122122

1

czczczg

y

gfafgamc

gfafcgfaffc

df

zyyz

zyyzyyy

y

ε


-32-

（3）( ) ( )

( )

+=

++−

+−−=

21

43

222

12

22

2

1 1arcsin1

czczg

kykcykk

kcyk

k

kyf

其中

( )为常数42

13

2

32

1

2

5

22

22

1

1 ,2

,

2

28,

2

2k

a

ck

nca

cak

a

ack =

−

=−

=ε

.

证明: 由于

( )为常数ccnHmK =+ ,

即

( )[ ] ( )[ ]c

gfaf

gffagfn

gfaf

gfm

zyy

zzyyyzyy

zyy

zzyy=

++

−+−+

++ 23

2

222

22122

2

12 εε, (3.24)

设

( ) 12 2 ++= zyy gfafω ,

由(3.24)有

0≠yf .

下面分两种情况讨论

第一种情况, 01 ≠= cf y 时, 有

( ) 21 cycyf += ,

由(3.24)得

[ ]23

1

2

1

2

2

1

1222

++−= zccac

cg zz

ε, (3.25)

对 (3.25)式两边积分得

( ) 3

1

1

2

1

2

1 22

2

4

1c

c

zzca

cz

c

c

czg +−−

−−=

−

ε

ε,

这种情况下, gf , 满足下面关系

( ) ( )

( )

+−−

−−=

++=+−

.22

2

4

1

,

3

1

1

2

1

2

1

21

cc

vvca

cv

c

c

cvg

cavucavuf

ε

ε

第二种情况, 当 yf 不是常数时.


-33-

首先, 对(3.24)两边关于 z求导, 有

( ) ( )[ ]

−−+=− zzyzyyzzyzzzyzzyyyzzzyy gfgafgfgfn

gffgfm 2222

1

2

3

22 232

4 ωωω (3.26)

由(3.24)和(3.26)式消去 yyf 得,

( ) ( )

( ) ( )ε

ωε

ω

ωε

ωε

ω

2431

22

2

3

22

3

44

24

33

2222

2

1

22232

2

32222

22

5

zzy

zzzzzyzzzy

zzzy

zzzyz

zzyzzz

gfnggmf

ngagncf

gagfnngfgan

gcfcmg

−−

−+−=

−

−−

−+−

两边平方, 有

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ),0

4

43

12

43

22

3

4

24323

12

22

3

44

242

12

23

4

242

4

24

24

9

4

242

66

2

4546222

22

2

33

22

2242

2

222322222

2

3

2322

2222

2

22222

2

42222222

2222

25222

=−

+

−−

+−

−+

−−+

−−−

−

′−+

+

−−−

′−+−

−+

+

−−

−+−

zzy

zzzzzyzzyz

zzy

zzzy

zzzzzyzzzy

zzzy

zzy

zzzzzyz

zzzy

zzyzzz

zzzyz

zzy

zzzy

zzzyz

zzyzzzzzz

gfn

ggf

nnm

gfgann

gfngagncf

ggfmn

gagfnngfgan

gcf

ggfn

ganmc

gfgangcfcmg

gfgangcf

gagfcngfgan

gcfcmggmc

ωε

ε

ε

ω

ε

εεε

ω

ε

εε

ωε

ω

不妨设

( ) hgfaf zyy =+22 ,

则

1+= hω .

设

( ) ( ) ,24

9

4

242

2222222

2222

2

1 zzzy

zzzyz

zzyzzz gagfcngfgan

gcfcmgh −−

−+=

ε


-34-

( )

( )

( ) ,12

23

4

242

4

24

2322

2222

2

22222

2

2

zzzzzyz

zzzyz

zzyzzz

zzzyz

zzy

ggfn

ganmc

gfgangcfcmg

gfgangcfh

−−−

−+−

−+=

ε

ε

ε

( ) ( )

( )( ) ,2

432312

22

3

44

242

33

222242

2

222322222

2

3

εε

εε

zzy

zzzyzzzzzy

zzzy

zzzyz

zzy

gfngagncfggfm

n

gagfnngfgan

gcfh

−−+

−−

−

−

−+=

( )( )

,

12

43

22

3

4

4546222

22

4 zzzzzyzzyz ggf

nnm

gfgann

hε

ε

ε

−−

+−

−=

将ω , 1h , 2h , 3h , 4h 代入并整理得如下方程

( )( )( )( )

,0

5

3410

3610

2345

5222

4

1

222

3

21

222

2

321

222

4321

222222

=+

−+

+−+

++−+

+++−+

hgmc

hhgmc

hhhgmc

hhhhgmc

hhhhhgmcgmc

zzz

zzz

zzz

zzz

zzzzzz

由于 yf 不是常数, 上式中 h表达式含有 yf 函数, 所以上式中除了 222

zzzgmc 项, 其他所有

项都含有 yf , 所以由多项式的恒等定理有

0222 =zzzgmc ,

所以有 ,0=zzzg 则当 0=zzzg 且 01 ≠= cg zz 时,

( ) 32

2

12

1czczczg ++= ,

将 01 ≠= cg zz 代入式(3.24)得到

( )[ ] ( )[ ]c

gfaf

fcfagfn

gfaf

fcm

zyy

yyyzzyy

zyy

yy=

++

−+−+

++ 23

2

2

1

22

22

1

122

2

12 εε,

整理得


-35-

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] 2

122

1

2221

2

1

1222

1

122122

1

++−−

+++++=

zyyz

zyyzyyy

yy

gfafgamc

gfafcgfaffcf

ε,

解上述方程得

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

y

gfafgamc

gfafcgfaffc

df

zyyz

zyyzyyy

y=

++−−

+++++∫

21

22

1

2221

2

1

1222

1

122122

1 ε.

此时 gf , 满足下列关系

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

++=

=

++−−

+++++∫

.2

1

,

1222

1

122122

1

32

2

1

21

22

1

2221

2

1

czczczg

y

gfafgamc

gfafcgfaffc

df

zyyz

zyyzyyy

y

ε

当 0=zzg 时

( ) ,21 czczg +=

将上式代入(3.24), 得

( )( ) .122

2

22

3

1

22

2

1

2++

−= yyyy fcfa

nca

cf

ε

对上式两边积分, 有

( ) ( ) ynca

c

fcfa

df

yy

y

2

1

23

1

22 2

2

122 −=

++∫

ε.

上式可以化为

( ),

2

2

122

222

2

1

232

2

1

22

1

23

ynca

c

a

cf

ac

aa

df y

−=

−

+′

−

∫ε

上式左边, 令

ta

cf

ac

asec

22

22

1

22

1

2

=

+′

−,


-36-

则

tdtta

acf yy tansec

2

22

22

1 −= ,

则

( )y

nca

c

ta

tdttac2

1

235

22

1

2

2

tan24

tansec2

−=

−∫

ε,

化简整理得

( )y

nca

ca

t

td

2

32

1

2

5

2

2

28

sin

sin

−

−=∫ε

,

积分得

( )y

nca

cac

t2

32

1

2

5

2

2

28

sin

1

−

=+ε

,

将式中的 t代换, 得

( )

,22

41

2

28

12

2

1

22

1

2

2

2

2

32

1

2

5

+

−−=

−

−

a

cf

ac

a

cy

nca

ca

y

ε

整理化简得

( )

,2

2

28

11

2

22

1

2

2

2

32

1

2

5

2

22

1

a

c

cy

nca

caa

acf y −

−

−

−−

=

ε

令

( ).

2,

2

28,

2

22

13

2

32

1

2

5

22

22

1

1a

ck

nca

cak

a

ack =

−

=−

=ε

所以有

( ) 32

22

1

11 k

cykkf y −

−−= ,

令( )

tcyk

sin1

22

=−

, 则上式可以化简为


-37-

( ) ykdtk

k

tk

kyf 3

2

1

2

2

1

sin

1−

+−= ∫ .

上式积分得

( ) ykktk

kt

k

kyf 34

2

1

2

1 cot −++= ,

将 t带入上式, 有

( ) ( )( ) 43

222

12

22

2

1 1arcsin1 kyk

cykk

kcyk

k

kyf ++

−+−−= ,

所以第二种情况下, gf , 满足下述关系

( ) ( )( )

( )

+=

++−

+−−=

.

,1

arcsin1

21

43

222

12

22

2

1

czczg

kykcykk

kcyk

k

kyf

3.3 高斯曲率和平均曲率满足非线性关系的仿射平移曲面

本节主要讨论了高斯曲率和平均曲率满足 KH =2 时的仿射平移曲面.


1E 中的一个平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当 S的高斯

曲率和平均曲率满足 KH =2 时, 那么平移曲面有下列情形:

(1)柱面或者平面;

(2)( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

1

1

ccvvg

cavucavuf

(3)

( ) ( )

( )

++=

++−=+

.2

1

,ln

32

2

1

4

3

1

1

53

cvcvcvg

cavuc

c

c

ccavuf

(4) ( ) ( )

( )

++=

=

−

+++±+++

∫

.2

1

,

21222

1222

32

2

1

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

12

22

2

3

1

2

1

czczczg

y

c

cffcfa

c

cf

c

cfcfa

c

cf

c

c

df

yyyyyyy

y

证明: 由于 KH =2 , 即


-38-

( )[ ][ ]

( )[ ]322

2222

22 124

2

12 ++

−+−=

++ zyy

zzyyyzyy

zyy

zzyy

gfaf

gffagf

gfaf

gf

εε, (3.27)

化简得

[ ]( )[ ]124

22

2222

++

−+−=

zyy

zzyyyzyy

zzyygfaf

gffagfgf

ε. (3.28)

当 0=yf 时, ( ) cyf = , ( )zg 为任意函数, 则仿射平移曲面为平面.

当 0≠yf 时, 分两种情况讨论.

第一种情况如果, cf y = ,则由(3.28)可以得到 0=zzg ,

所以

( ) 1ccyyf += ,

( ) 1cczzg += ,

则 gf , 满足关系

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

1

1

ccvvg

cavucavuf

第二种情况, 如果 yf 不为常数时.

首先, 对(3.28)左右两边关于 z求导, 得

( )[ ]( ) 22222 8422 zzyyyzzzyyzzzyzzyyyz gffgfgfgffga εεω +=−−− , (3.29)

对(3.29)式两边平方, 与(3.28)相比, 有

( )2224 2 zzyzzzyyzzzyzz gfgfgfg += ωω , (3.30)

对(3.29)整理得

( )[ ] zzzzzyyyzzyzzzzzzzy ggffgfggagf 42222 28422 −=−−−− εεω , (3.31)

由 (3.30)和 (3.31)消去 yyf 得

( ) ( )[ ]2222222 842222 zzyzzzzzzzyzzzzzzzzzzzzyzzz gfggagfgggggfg εεωωω −−−−=+− , (3.32)

对(3.32)式, 当 0=zzg 时, 等式成立, 带入(3.28)有

( ) 1ccyyf += ,


-39-

( ) 1cczzg += .

gf , 满足下述关系

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

1

1

ccvvg

cavucavuf

当 0≠zzg 且 0=zzzg 时, (3.32)式也成立. 此时

( ) 32

2

12

1czczczg ++= ,

带入(3.28)有

( )[ ] ( )( )[ ]21

2

21

2

21

22

1 21224 cfczcaffczcfafc yyyyyyy −+−=+++ε ,

上式整理得

( ) 012242

2

3

14

2

22

2

3

1

3

12 =

+

+++−

c

cfffcfa

c

cf

c

cf yyyyyyyyy

,

当

( ) 0412242

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

1 =

−

+++=∆

c

cffcfa

c

cf

c

cyyyy

时, 有

( )1222 2

22

2

3

1

2

1 +++= yyyyy fcfac

cf

c

cf ,

又由于

( )

=+++

3

12

2

22

2

3

1

2

1 1222c

cffcfa

c

cf

c

cyyyy ,

所以有

2

3

1yyy f

c

cf = ,

对上式积分得

( ) 4

3

1

1

53 ln cyc

c

c

ccyf +−= .



-40-

( ) ( )

( )

++=

++−=+

.2

1

,ln

32

2

1

4

3

1

1

53

cvcvcvg

cavuc

c

c

ccavuf

当

( ) 0412242

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

1 >

−

+++=∆

c

cffcfa

c

cf

c

cyyyy

时, 有

( )

( ) ,21222

1222

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

1

2

22

2

3

1

2

1

−

+++±

+++=

c

cffcfa

c

cf

c

c

fcfac

cf

c

cf

yyyy

yyyyy

两边积分得

( ) ( )y

c

cffcfa

c

cf

c

cfcfa

c

cf

c

c

df

yyyyyyy

y=

−

+++±+++

∫ 2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

12

22

2

3

1

2

1 21222

1222

,


( ) ( )

( )

++=

=

−

+++±+++

∫

.2

1

,

21222

1222

32

2

1

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

12

22

2

3

1

2

1

czczczg

y

c

cffcfa

c

cf

c

cfcfa

c

cf

c

c

df

yyyyyyy

y

当 0≠yyg 且 0≠yyyg 时, 整理(3.32)得到一个关于 yf 的多项式. 其中常数项为

22 24 zzzzzz gg +− ε ,

由多项式的恒等定理得 0=zzzg . 而 0≠zzzg , 所以, 无解. 证毕.

东北大学硕士学位论文第 4 章总结

-41-

第 4章总结

本文对三维 Minkowski 空间中的仿射平移曲面进行研究.

首先找到了仿射平移曲面的一般参数表示 , 引进参数 a , a是常数. 这样定义的平移

曲面随着 a的不同, 有着不同的平移方向, 并且平移的方向是沿着仿射坐标轴平移,从而

从仿射的角度定义了新的平移曲面, 使得平移曲面的研究范围更广. 接着选取一种新的

度量, 根据微分几何的基本知识, 得到了该度量下仿射平移曲面的第一, 第二基本形式

以及高斯曲率和平均曲率. 最后主要利用高斯曲率和平均曲率的线性关系和非线性关

系, 找到了平移曲面的具体表达式, 并对该仿射曲面进行了新的分类. 主要分为七类:

（1） 0=K 情况下的仿射平移曲面;

（2） cK = 情况下的仿射平移曲面;

（3） 0=H 情况下的仿射平移曲面;

（4） cH = 情况下的仿射平移曲面;

（5） 0=+ nHmK 情况下的仿射平移曲面;

（6） cnHmK =+ 情况下的仿射平移曲面;

（7） KH =2 情况下的仿射平移曲面.

得到的主要分类定理如下:


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 如果它

的高斯曲率 0=K , 那么仿射平移曲面满足以下关系:

( ) ( )( )

++=+

.

,21

为任意函数vg

cavucavuf

或者

( )( )

+=

+

.

,

21 cvcvg



1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的高

斯曲率不可能为非零常数.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的平

均曲率 0=H , 那么它是下列情况之一:


-42-

(1) 平面或者柱面;

(2) gf , 分别为:

( )( )

+=

+

.2

,

2cavvg

avuf

ε

是任意函数

或者

( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

32

32

cvcvg

cavucavuf

或者

( ) ( )

( )

+−−=

+++−=+

.ln222

,ln1

4

22

3

22

3

2

321

1

11 cececavg

ccavucc

avuf

vcvc εε


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 它的平

均曲率 cH = , 那么平移曲面有下列形式:

(1)

( ) ( )

( )( )

+

+−

+−=

++=+

.2

1

24

1

,

3

1

2

1

21

21

cvc

accvccc

vg

cavucavuf

εε

(2)

( )

( ) ( )

+

−+−−=+

=

.2

21

2

,

2

2

1

1

cacavua

c

cavuf

cvg

εε

(3)

( )

( ) ( )

−

−++

−

−=+

+=

.1

2

2ln

2

,

2

2

1

2

2

2

1

232

2

1

2

21

a

cacavu

ca

cc

ca

caavuf

cvcvg

εε


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当 S的高

斯曲率和平均曲率满足 0=+ nHmK 时, 那么平移曲面有下列情形:

(1)平面或者柱面;

(2)( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

2

1

ccvvg

cavucavuf

(3) ( ) ( )

( )

++=

= ∫∫

−

++−

.2

1

,

32

2

1

121

243

2

czczczg

dyeyf

dfkgfafkk

k

zyy


-43-


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当 S的

高斯曲率和平均曲率满足 cnHmK =+ 时, 那么平移曲面有下列情形:

(1)

( ) ( )

( )

+−−

−−=

++=+−

.22

2

4

1

,

3

1

1

2

1

2

1

21

cc

vvca

cv

c

c

cvg

cavucavuf

ε

ε

(2)

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

++=

=

++−−

+++++∫

32

2

1

21

22

1

2221

2

1

2

1

1222

1

122122

1

czczczg

y

gfafgamc

gfafcgfaffc

df

zyyz

zyyzyyy

y

ε

(3)( ) ( )

( )( )

+=

++−

+−−=

.

,1

arcsin1

21

43

222

12

22

2

1

czczg

kykcykk

kcyk

k

kyf

其中

( )为常数42

13

2

32

1

2

5

22

22

1

1 ,2

,

2

28,

2

2k

a

ck

nca

cak

a

ack =

−

=−

=ε

.


1E 中的一个仿射平移曲面 ( ) ( ) ( )( )vvgavufuvuX ,,, ++= , 当 S的

高斯曲率和平均曲率满足 KH =2 时, 那么平移曲面有下列情形:

(1)柱面或者平面;

(2)( ) ( )( )

+=

++=+

.

,

1

1

ccvvg

cavucavuf

(3)

( ) ( )

( )

++=

++−=+

.2

1

,ln

32

2

1

4

3

1

1

53

cvcvcvg

cavuc

c

c

ccavuf

(4) ( ) ( )

( )

++=

=

−

+++±+++

∫

.2

1

,

21222

1222

32

2

1

2

3

14

2

2

22

2

3

1

3

12

22

2

3

1

2

1

czczczg

y

c

cffcfa

c

cf

c

cfcfa

c

cf

c

c

df

yyyyyyy

y

本文中我们所讨论的仿射平移曲面, 从仿射角度对仿射平移曲面进行新的分类, 找

到更多的仿射平移曲面. 讨论仿射平移曲面对平移曲面的研究有很重要的意义 , 今后的


-44-

工作中我们可以从仿射的角度研究讨论更高维 Minkowski 空间中的平移曲面以及更多

的高斯曲率和平均曲率满足非线性关系的仿射平移曲面.

东北大学硕士学位论文参考文献

-45-

参考文献

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东北大学硕士学位论文致谢

-47-

致谢

感谢我的导师刘会立教授两年来对我的指导和帮助, 本学位论文是在他的悉心指

导下完成的.

跟随恩师学习期间, 恩师治学严谨, 学识渊博的学者风范; 对学生严格要求, 悉心

指导的师者风范, 恩师严谨的学术作风和对学生极其负责的态度以及高尚的人格品质,

令我由衷地敬佩. 再次向恩师表示衷心的感谢.

同时, 我还要感谢于延华老师, 钱若云老师, 杨云老师, 袁媛老师在我论文写作期

间给予的指导和帮助. 他们既是我的老师, 同时又是我的师兄师姐, 无论学习上还是生

活上给予我莫大的关心和帮助!

最后, 向答辩委员会的各位老师以及所有关怀和支持我的人一并致以衷心的谢意.

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