Zadaci za domacu zadacu (sve grupe)

1. Zadane funkcije rastaviti na sume parcijalnih razlomaka:

(a) f(x) =x3 + 4x2 − 2x + 1

x4 + x

(b) f(x) =2x + 1

(x− 1)(x− 2)2

(c) f(x) =x6 − 2x4

x3 − 2x + 1

(d) f(x) =5x3 + 2

x3 − 5x2 + 4x

(e) f(x) =x5

(x3 + 1)(x3 + 8)

2. Derivirati funkcije zadane eksplicitno:

(a) y = ex · (x2 − 4x + 5)

(b) y = (cos 3x)5

(c) y = 2x · sinx + (2− x2) · cosx

(d) y = e1

x2−3x−4

(e) y =xex

(1 + x)2

(f) y = arctgxa − ln 4√x4 − a4, odrediti y′(2a)

(g) y = ln

√1− sinx

1 + sinx

(h) y = 2arctgx−√

1 + x2

(i) y = xsin x

(j) y = (sinx− 1)cos x+1

(k) y = log2 log3 x

(l) y = sin ex2−x

(m) y = x ·√x− 2

√x− 1√

x− 1− 1

(n) y = arcsin

√1− x

1 + x

3. Derivirati funkcije zadane implicitno:

(a) x2 + xy + y2 = 6

(b) xe−y2 + ye−

x2 − 2 = 0, naci y′(0)

(c) y3 − 3xy + x2 = 0

(d) x3 + 2xy − y2 = 4

(e) (x2 + y2)2 + xy = 0

(f) ex+y + ex−y = 0

(g) xey + yex − 5 = 0

(h) e2x − ln(y2 + 4) + 7 = 0

(i) x2 = y2 ln(xy)

(j) xx = yy

4. Derivirati funkcije zadane parametarski:

(a) x = 53 cos t, y = 5

4 sin t

(b) x = et sin t, y = et cos t

(c) x = 2 + sin 2t, y = sin t− cos t + 1

(d) x = cos3 t− sin3 t, y = cos3t + sin3 t

(e) x =3t(1− t)

1 + t3, y = t3 − 1

5. Odrediti derivaciju funkcije f ◦ g ako je:

(a) f(x) = ln x2 , g(x) = e1−2x.

(b) f(x) = ln1− x

1 + x, g(x) =

1

ex

(c) f(x) = lnx

1− x, g(x) = e2x

6. Rijesiti nejednadzbu f ′(x) > g′(x), ako je:

(a) f(x) = x + ln(x− 5), g(x) = ln(x− 1)

(b) f(x) = 12 · 5

2x+1, g(x) = 5x + 4x ln 5

7. Odrediti granicne vrijednosti funkcija:

(a) limx→1+

x4 − 1

x3 − 3x + 2

(b) limx→∞

lnx

x

(c) limx→∞

x ·(e

1x − 1

)(d) lim

x→0+

(1 + x2

) 1x

(e) limx→0

ex − e−x

ln(1 + x)

(f) limx→0+

(1 + x)ln x

8. Odrediti asimptote sljedecih funkcija: (NAPOMENA: Za vertikalne asimptote ukoliko postojeispitati lijevu i desnu v.a. - ispitivanje na rubu podrucja definicije)

(a) f(x) =3− 2x2

x− 1

(b) f(x) =x2 + 2x + 1

x2 + 2x

(c) f(x) =x3 + 1

2x2 − 2

(d) f(x) =1

x4 − 8x2 + 15

(e) f(x) =e(

1x−2 )

x− 4

(f) f(x) = x + 1−√x2 + x

9. Odrediti tocku krivulje y =x + 1

x + 2koja je diraliste tangente paralelne pravcu x− y + 5 = 0.

10. U tocki T (5, 1) krivulje y =√x− 4 polozena je tangenta na krivulju i ona s koordinatnim osima

zatvara trokut. Odrediti povrsinu trokuta.

11. Koliki kut zatvaraju tangente polozene na krivulju y = x3 − x u njenim tockama s apscisamax = −1 i x = 1?

12. U kojoj tocki parabole y = x2 treba poloziti tangentu na parabolu tako da kut izmedu tangente ipravca 3x− y + 1 = 0 bude jednak 45◦?

13. U sjecistu krvulje y =√

2− x s osi ordinata polozena je tangenta na krivulju. Kolika je udaljenostte tangente od ishodista?

14. Pod kojim se kutom sijeku parabole y = (x− 2)2 i y = −x2 + 6x− 4?

15. Odrediti jednadzbu tangente na krivulju y + exy − 2 = 0 u tocki T (0, 1)

16. Odrediti jednadzbu normale krivulje y2 = sin(x + y) u tocki A(0, 0)

17. Odrediti jednadzbu tangente na krivulju zadanu parametarski: x = t2, y = t3, u tocki t = 1

18. Odrediti jednadzbu normale na krivulju zadanu parametarski: x = t · et, y = t · ln t, u tocki t = 1

19. Odrediti intervale monotonosti za funkcije:

(a) f(x) = x3 + 4x

(b) f(x) = x5 − 5x4 + 4

(c) f(x) = 2 sin2 x2 +

x2

2

(d) f(x) =3

2log2 x + log3 x

(e) f(x) = x lnx

(f) f(x) = 3x +3

x− 5

(g) f(x) = sin(cosx)

(h) f(x) =x3 − x2

e−x

20. Za koje a ∈ R funkcija f(x) = x3 − ax2 + x + 1 monotono raste na cijelom podrucju definicije?

21. Odrediti ekstreme sljedecih funkcija:

2

(a) f(x) = 2x3 − 6x2 − 18x + 7

(b) f(x) =x2 − 2x + 2

x− 1

(c) f(x) = 12 sin 2x + cosx

(d) f(x) = x · ex−x2

22. Naci najmanju i najvecu vrijednost funkcije f na danom intervalu:

(a) f(x) = 4x3 − x|x− 2|, x ∈ [0, 3] (b) f(x) = 12 cos 2x + sinx, x ∈ [0, π2 ]

23. Odrediti podrucje konveksnosti i konkavnosti za funkcije:

(a) f(x) =x2 − 1

x2 + 1(b) f(x) = x− 3

√x− 1

24. Odrediti tijek funkcije i prikazati graficki funkcije:

(a) f(x) = (x2 + x)(x− 2)

(b) f(x) = x4 + x

(c) f(x) =1

x2 − 4

(d) f(x) =x2 − 2x

x + 1

(e) f(x) =1

x + 1+

1

x− 1

3