DYNAMIQUE DES POPULATIONS GESTION DES RESSOURCES AQUATIQUES EN DOMAINE CONTINENTAL
Dynamique des populations -...
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Module dynamique des populations 1
Dynamique des populations
1 Description de la population2 Dynamique temporelle d’une population3 Dynamique temporelle de deux populations
Module dynamique des populations 2
Description de la population
Module dynamique des populations 3
Définition d’une répartition au hasard
• Le semis de point peut avoir une répartition régulière, agrégée, ou au hasard.
• Processus de génération des points au hasard:B
Φ(B) suit un processus de Poisson [λ×ν(B)], où λ est l’intensité.
Ce processus est stationnaire.
Φ(B)=nb de points
ν(B)=aire de B
Répartition uniforme des points dans B
Module dynamique des populations 4
Illustrations données complètement cartographiées
Théorique
Pratique
Module dynamique des populations 5
Indices pour les quadrats
• Indice de variance relative (réf. Fisher et al (1922))
• Indice de taille des agrégats (réf. David et Moore (1954))
XSI
2=
1 2−=
XSICS
Module dynamique des populations 6
Exemple tiré du Henry (Dunod)
Module dynamique des populations 7
Tests de la distribution en présence de quadrats
• Test du chi2 (cf. cours de statistique)
• Test de l’égalité, moyenne variance– H0 : µ = σ2 (modèle de type Poisson)– Statistique : (n-1) S2/ suit un χ2
(n-1)
Ninixi
Nombre théorique (Poisson)Nombre observé de quadratEffectif du quadrat
X
Module dynamique des populations 8
Technique d’échantillonnage pour le poisson d’eau douce
• Évaluation directe– Peuplement total : assèchement,
empoisonnement, explosifs, pêches exhaustives– Peuplement partiel : techniques
d’échantillonnage, aléas de la pêche, milieu non stationnaire, quelle représentativité ?
• Le marquage (techniques CMR)
Module dynamique des populations 9
Marquage d’un poisson
Mettre le schéma d’internet
Module dynamique des populations 10
Marquage d’un papillon
Module dynamique des populations 11
Probabilités associée au CMR• Notations
– pi = probabilité de recapture, proba qu’un individu présent à i soit capturé à i– φi = probabilité de survie, proba qu’un individu présent à i soit présent à i + 1– γi = probabilité d’ancienneté, proba qu’un individu présent à i ait été présent à i – 1
• Principe– Historique 1110110 d’effectif observé N1110110 survie
0110111Historique
7654321Occasions
recrutement
))1()1(()1()Pr( 6766554433221 φφφφφφφ pppppph −+−−=- Si on autorise le recrutement, on a deux sens de lecture possible
Module dynamique des populations 12
R
NR
R-NR
Relaché après marquage
Recapturé, Φp
Non recapturé, Φ(1-p) + (1-Φ)M
Effectif inconnu de la population
N suit une loi binomiale B(R,ΦP), conditionnellement à R
RNp R== θφθ ˆ ,
Cas d’un marquage-recapture
Si Φ=1 (tps très court) et p constant, alors M peut être estimé par RN/NR où N est l’effectif de la pêche
Les hypothèses des modèles CMR-Les histoires de vie des individus sont indépendantes et les probabilités Φ, p, γ sont identiques pour tous les individus de la population
-L’échantillon est représentatif, les marques sont neutres par rapport aux traits étudiés et ne peuvent être perdues
Module dynamique des populations 13
Exemple de survie des goélands breton (P79) tiré du Henry
Module dynamique des populations 14
Dynamique temporelle d’une population
Module dynamique des populations 15
Description dynamique d’une population
• Pour la dynamique de l’abondance, les variations d’abondance sont dues aux : naissances, mortalités, migrations, changement de classe
• La description de la dynamique suppose l’élaboration d’un modèlepour prédire ou comprendre les variations d’abondance
Exemple :Nb de peuplier de 1 à 2 ans sur ma parcelle
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Variable d’étatFlux entrant :
Peupliers atteignant l’âge d’un an
Flux sortant :
Peupliers dépassant l’âge de 2 ans
Compartiment
Module dynamique des populations 16
Tables démographiques
• Il faut suivre une cohorte (données longitudinales).
• Dans le cas de données transversales– Les taux démographiques (mortalité, fécondité)
par âge ne varie pas dans le temps– L’effectif de la population ne change pas au
cours du temps– = population stationnaire sur la période d’étude
Module dynamique des populations 17
Poa annua, Paturin annuel p89
Module dynamique des populations 18
Modèles de croissanceÉquation de base :
N(t+∆t) = N(t) +B –D +I –E –H
Les effectifs sont exprimés par le produit de N(t) et dutaux correspondantB = bN(t), D=dN(t), I=iN(t), E=eN(t), H=hN(t)
Coefficient de changement (taux d’accroissement) : R = (1+b-d+i-e-h)N(t+ ∆t) = RN(t)
R>1 pop croît, R<1 pop décroît, R=1 pop stagne
Module dynamique des populations 19
Modèles de croissance
• Taux de changement relatif »R = [N(t+∆t)-N(t)]/N(t) et R=(1+ R)
• Taux de changement relatif par unité de temps» r = [N(t+∆t)-N(t)]/[N(t) ∆t]
• Taux instantané de changement relatif ou taux instantané d’accroissement
» r quand ∆t tend vers 0 (modèle continu)
Module dynamique des populations 20
Modèles de croissance déterministe, indépendant de la densité
– DiscretN(t+1)=R N(t) soit N(t)= N(0) Rt
– ContinuN(t) = N(0) ert
• Hypothèses : • R ou r ne dépendent pas du milieu• Naissance et décès sont indépendants de
l’âge ou autres caractéristiques• L’espèce existe sous la forme d’une seule
population• La (dé)croissance de la population est
exponentielle dans le temps
Thornton (1922): bactérie Bacillus dendroides
Module dynamique des populations 21
Module dynamique des populations 22
Modèles de croissance déterministe dépendant de la densité
• On définit – K la capacité de charge du milieu – Rm ou R m le coef. ou le taux d’accroissement maximum
• On modélise R ou R en temps discrets– Dépendance linéaire– N(t+1)=RN(t) où R = Rm(1-N(t)/K) (sygmoïde)– N(t+1)=(1+ R)N(t) où R = Rm(1-N(t)/K) (logistique)
– Exemple de dépendance non-linéaire– R=Rme-aN(t) (équation de Ricker)
Module dynamique des populations 23
Modèles de croissance déterministe dépendant de la densité
• Temps continus– [N(t+∆t)-N(t)]/ ∆t = r N(t)– Équation différentielle logistique
– Modèle logistique ou de Verhulst
( ) )()/(1)( tNKtNrdttdN −=
( ) rteNKKtN −−+= 1)0(/1)(
Module dynamique des populations 24
Modèle à compartiment : Matrice de projection de la population
• I Matrice de Leslie (application à la dynamique d’une population d’oiseaux)
– Définition de la matrice de projection et du vecteur d’état
– Projection de la population et état stable– Hypothèses sous jacentes à cette modélisation
• II Matrice de Usher (application à la dynamique d’une forêt)
Module dynamique des populations 25
Modèle à compartiment : description du modèle de Usher pour les arbres
La population peut être décrite à la date t par un vecteur d’état :
où est le nombre d’individus appartenant à la classe de diamètre i au temps t.
[ ]Nt t t L tn n n′ = 1 2, , ,L
Recrutement
Mortalité
ni t,
Classe 2
Classe L
MortalitéMortalitéClasse 1
Module dynamique des populations 26
Matrice de PassageN PNt t+ =1
Contribution classe 3 au recrutementAnnée t
P0
0
=
+
− − − −
−
pp p
p p
p Pp p
L
L L L L
L L LL
11 1 2 3
12 22
23 33
2 1 1 1
1
ϕ ϕ ϕ ϕL L
L L
Année t +1
m p pi ii ii= − + +1 1( )m pL LL= −1
Mortalité implicite :
Probabilité de passer en classe 3
Probabilité de rester enclasse 3
Module dynamique des populations 27
Recrutement dépendant de la densité
N PN R +t t t+ = +1 1
P0
0
=
− − − −
−
pp p
p p
p pp p
L L L L
L L LL
11
12 22
23 33
2 1 1 1
1
L L
[ ]′ = +R +t tr1 1 0 0L r aetbNt
+−=1avec
Module dynamique des populations 28
Exemple de modélisation, Forêt Guyanaise, Paracou (V. Favrichon 1994)
Module dynamique des populations 29
Module dynamique des populations 30
Module dynamique des populations 31
Module dynamique des populations 32
Module dynamique des populations 33
Module dynamique des populations 34
Dynamique temporelle de deux populations
Module dynamique des populations 35
Compétition interspécifique
Deux espèces N1 et N2 sont en compétition pour les ressources alimentaires
Suppositions : α = taux de reproduction égauxSans compétition β1= β2=0, modèles logistiquesRecouvrement de la niche traduit par β1 et β2
+−××=
1
2111
1 )()(1)()(K
tNtNtNdt
tdN βα
+−××=
2
1222
2 )()(1)()(K
tNtNtNdt
tdN βα
Modèle de type prédateur-proie
Modèle de Lotka-Volterra, 1926Sans prédation, βN= βP=0, modèles exponentiels.Avec prédation, le taux de disparition des proies est proportionnel à
l’effectif des prédateurs P(t). De même, le taux de croissance des prédateurs proportionnel à
l’effectif des proies N(t).
)()()()( tPtNtNdt
tdNNN ××−×= βα
)()()()( tPtNtPdt
tdPPP ××+×−= βα
Relation prédateur-proie
Module dynamique des populations 38
Exemple en milieu naturel : fluctuations du lièvre et du lynx enAmérique du nord
Variations autour du modèle de Lotka-Volterra :Autolimitation des proies
Sans prédateurs, βN=0, modèle logistique pour les proies.
)()()(1)()( tPtNK
tNtNdt
tdNN
NN ××−
−××= βα
)()()()( tPtNtPdt
tdPPP ××+×−= βα
Variations autour du modèle de Lotka-Volterra :Autolimitation des proies
Module dynamique des populations 41