Dynamika ukladów elektrycznych
Transcript of Dynamika ukladów elektrycznych
Dynamika układów elektrycznych
dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie
Modele elektryczne opisują zjawiska zachodzące podczasprzemieszczania się ładunków elektrycznych pomiędzypunktami obwodu o różnych potencjałach
Natężenie prądu i(t) [A] jest to szybkość przepływu ładunkuelektrycznego q(t) przez przewodnik o danym przekroju
i(t) =dq(t)dt
Napięcie u(t) [V ] jest to różnica potencjału pomiędzy dwomapunktami obwodu elektrycznego
Napięcie jest przyczynkiem do przepływu prądu w obwodzie
Idealne i rzeczywiste źródła energii elektrycznej
Źródło napięciowe
Idealne
e(t)
u(t)
i(t)− +
Idealne źródło napięcia wytwarzawartość napięcia niezależnie odobciążenia
u(t) = e(t)
Rzeczywiste
e(t)
u(t)
Ri(t)− +
Rzeczywiste źródło napięcia po-siada pewną rezystancję we-wnętrzną więc wytwarza wartośćnapięcia zależną od obciążenia
u(t) = e(t)−Ri(t)
Źródło prądowe
Idealne
is(t)
u(t)
i(t)− +
Idealne źródło prądu wytwarzaprąd o natężeniu niezależnym odnapięcia
i(t) = is(t)
Rzeczywisteis(t)
u(t)
R
i(t)
− +
Rzeczywiste źródło prądowe po-siada pewną rezystancję we-wnętrzną więc wytwarza prąd onatężeniu zależnym od napięcia
i(t) = is(t)−u(t)R
Podstawowe elementy elektryczne
Rezystancja (opór czynny)
u(t)
Ri(t)+ −
Opór idealnego rezystora
R =u(t)i(t)
gdzie R – rezystancja [Ω]
Konduktancja G = 1R – przewodność
Rezystancja typowego elementu metalowego
R = ρl
A
gdzie A – przekrój, l – długość, ρ – opór właściwy
Rezystancja przewodników niemetalicznych zależy od punktu pracy izwykle jest nieliniowa
Pojemność elektryczna
u(t)
Ci(t)+ −
Ładunek zgromadzony na okładkach
q(t) = Cu(t)
gdzie C – pojemność [F ]
Korzystając z definicji natężenia prądu otrzymujemy
i(t) = Cdu(t)dt
lub u(t) =1C
∫i(t)dt
Naładowany kondensator to magazyn energii
Pojemność C idealnego kondensatora jest wartością stałą i zależy odkształtu i wymiaru okładzin oraz przenikalności dielektrycznejmateriału pomiędzy okładkami
W rzeczywistych układach związek pomiędzy ładunkiem i napięciemmoże być nieliniowy – pojemność C zależy od punktu pracy
Indukcyjność własna
u(t)
eL
L
i(t)+ −
Strumień pola magnetycznego przeni-kający cewkę
Φ(t) =µzA
li(t)
gdzie µ – przenikalność magnetyczna,A – pole przekroju, z – liczba zwojów,l – długość
Zmienny strumień Φ(t) powoduje powstawanie w każdym zwoju siłyelektromotorycznej (zachodzi zjawisko samoindukcji)
e(t) = −z dΦ(t)dt= −µz
2A
l
di(t)dt= −Ldi(t)
dt
gdzie L – indukcyjność własna [H]
Jeżeli natężenie prądu rośnie to samoindukcja powodujegromadzenie się energii w polu magnetycznym cewki
Indukcyjność L jest jedynym parametrem idealnej cewki
Jeśli ośrodkiem jest element ferromagnetyczny to przenikalnośćzależy od natężenia pola magnetycznego H, a indukcyjność odnatężenia prądu
L(i) =µ(H)z2Al
, H =zi(t)dt
Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym jest zatem elementemnieliniowym
Indukcyjność wzajemna
e2(t)e1(t)
Rozważmy parę cewek sprzężonychmagnetycznie – strumień magnetycznyΦ1(t) wytwarzany przez prąd i1(t) pły-nący przez pierwszą cewkę częściowoprzenika także drugą cewkę
Część strumienia przepływającego przez drugą cewkę
Φ′1(t) = Φ1(t)− Φr(t) =M12i1(t)
gdzie M12 – indukcyjność wzajemna, Φr – strumień rozproszony
Zmiana natężenia prądu i1(t) powoduje indukowanie siłyelektromotorycznej w drugiej cewce
e2(t) = −z2dΦ′1(t)dt= −M12
di1(t)dt
Opisy zastępcze elementów elektrycznych
Do analizy układów elektrycznych stosuje się metody operatorowe
model operatorowy rezystora
u(t) = Ri(t)⇒ U(s) = RI(s)⇒ R = U(s)I(s)
model operatorowy kondensatora
i(t) = Cdu(t)dt⇒ I(s) = sCU(s)⇒ U(s)
I(s)=1sC= xC
gdzie xC – reaktancja pojemnościowa
model operatorowy cewki
u(t) = Ldi(t)dt⇒ U(s) = sLI(s)⇒ U(s)
I(s)= sL = xL
gdzie xL – reaktancja indukcyjna
uogólnione porawo Ohma
U(s) = Z(s)I(s) lub I(s) = Y (s)U(s)
gdzie Z(s) – impedancja, Y (s) – admitancja
Połączenie równoległe RC
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =U(s)I(s)
Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach
UC(s) = UR(s) = U(s)
Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy
I(s) = IR(s) + IC(s)
Stąd
Z(s) =U(s)
IR(s) + IC(s)=
U(s)U(s)R + sCU(s)
=RU(s)
U(s) + sRCU(s)
Ostatecznie
Z(s) =R
1 + sRC
Połączenie równoległe RL
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =U(s)I(s)
Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach
UL(s) = UR(s) = U(s)
Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy
I(s) = IR(s) + IL(s)
Stąd
Z(s) =U(s)
IR(s) + IL(s)=
U(s)U(s)R +
U(s)sL
=sRLU(s)
sLU(s) +RU(s)
Ostatecznie
Z(s) =sRL
R+ sL
Połączenie szeregowe RC
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =U(s)I(s)
Przez oba elementy płynie ten sam prąd
IC(s) = IR(s) = I(s)
Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy
U(s) = UR(s) + UC(s)
Stąd
Z(s) =UR(s) + UC(s)
I(s)=I(s)R+ 1
sC I(s)I(s)
= R+1sC
Ostatecznie
Z(s) =sRC + 1sC
Połączenie szeregowe RL
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =U(s)I(s)
Przez oba elementy płynie ten sam prąd
IC(s) = IR(s) = I(s)
Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy
U(s) = UR(s) + UL(s)
Stąd
Z(s) =UR(s) + UL(s)
I(s)=I(s)R+ sLI(s)
I(s)= R+ sL
OstatecznieZ(s) = R+ sL
Alternatywnie można skorzystać ze wzorów na impedancjęzastępczą
dla połączenia szeregowego
Z(s) = Z1(s) + Z2(s)
dla połączenia równoległego
Z(s) =Z1(s)Z2(s)Z1(s) + Z2(s)
Ćwiczenie
Wyznaczyć impedancje zastępcze szeregowych i równoległychpołączeń elementów R, L i C
Transformator
Transformator bez obciążenia
u2
R2
L2
M
u1
i1
L1
R1
R0
M – indukcyjność wzajemnaR1, R2 – rezystancje uzwojeńL1, L2 – indukcyjności uzwojeńi1 – prąd w uzwojeniu pierwotnymu1 – napięcie po stronie pierwotneju2 – napięcie po stronie wtórnejR0 =∞
Równanie uzwojenia pierwotnego
u1(t) = R1i1(t) + L1di1(t)dt
Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzystrumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)
u2(t) =Mdi1(t)dt
W dziedzinie operatoroweju1(s) = (R1 + sL1)i1(s)u2(s) = sMi1(s)
Eliminując i1(s)
u1(s) =R1 + sL1sM
u2(s)
Stąd transmitancja transformatora bez obciążenia
G(s) =u2(s)u1(s)
=Ms
L1s+R1=ks
Ts+ 1, k =
M
R1, T =
L1R1
W przypadku rdzenia ferromagnetycznego opis transformatora jestnieliniowy i powyższa transmitancja może opisać działanie transformatoraw punkcie pracy
Transformator z obciążeniem
u2
R2
L2
M
u1
i1
L1
R1
R0
i2M – indukcyjność wzajemnaR1, R2 – rezystancje uzwojeńL1, L2 – indukcyjności uzwojeńi1 – prąd w uzwojeniu pierwotnymi2 – prąd w uzwojeniu wtórnymu1 – napięcie po stronie pierwotneju2 – napięcie po stronie wtórnejR0 – rezystancja obciążenia
Równanie uzwojenia pierwotnego
u1(t) = R1i1(t) + L1di1(t)dt−M di2(t)
dt
Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzystrumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)
Mdi1(t)dt= R2i2(t) +R0i2(t) + L2
di2(t)dt, u2(t) = R0i2(t)
W dziedzinie operatoroweju1(s) = (R1 + sL1)i1(s)− sMi2(t)sMi1(s) = (R2 +R0 + sL2)i2(t)
Eliminując i1(s) i podstawiając i2(s) =u2(s)R0
u1(s) =(R1 + sL1)(R2 +R0 + sL2)− s2M2
sMR0u2(s)
Stąd transmitancja transformatora z obciążeniem
G(s) =u2(s)u1(s)
=MR0s
s2(L1L2−M2)+s(L1R0+L1R2+L2R1)+R1(R0+R2)
lub
G(s) =ks
T 2s2 + 2ξTs+ 1
gdzie k = MR0R1(R0+R2)
, T =√L1L2−M2R1(R0+R2)
, ξ = L1(R0+R2)+L2R12√(L1L2−M2)(R0+R2)R1
Silnik prądu stałego
Wytworzenie momentu obrotowego w silniku prądu stałegoopiera się na wykorzystaniu stałego pola magnetycznegooddziałowywującego na przewód z płynącym prądemPole magnetyczne generowane jest przez:magnes trwałyuzwojenie zasilane stałym napięciem
Na wirniku silnika umieszczone jest uzwojenie zasilanenapięciem stałym
Pole magnetyczne działa na uzwojenie twornika i powodujeobrót wirnika
Uzwojenia twornika zasilane są przez komutator, więcnastępuje zmiana kierunku zasilania uzwojeń co powodujekontynuowanie obrotu w tym samym kierunku
Silnik z magnesem trwałym
ωS
M
N
u
i
R
L
M – silnikS,N – bieguny magnesu trwałegoR – rezystancja uzwojenia twornikaL – indukcyjność uzwojenia twornikai – prąd twornikau – napięcie na zaciskach twornikaω – prędkość obrotowa
Równanie podsystemu elektrycznego silnika
u(t) = Ri(t) + Ldi(t)dt+ e(t)
gdzie e(t) – siła elektromotoryczna
Siła elektromotoryczna jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika
e(t) = Keω(t)
gdzie Ke – stała napięciowa silnika
Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika
Me(t) = Kmi(t)
gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika
Ostatecznie
u(t) =RMe(t)Km
+L
Km
dMe(t)dt
+Keω(t)
Zakładając jako zmienne wejściowe u(t) i Me(t), a jako wyjściową ω(t)model operatorowy ma postać
ω(s) =1Keu(s)−
(R+ sLKmKe
)Me(s)
Lub macierzowo
ω(s) =[1Ke
R+ sLKmKe
] [u(s)Me(s)
]
Silnik obcowzbudny
ω
iw
Lw
Rw
M
uw
u
i
R
L
uw, iw – napięcie i prąd wzbudzeniaRw – rezystancja uzwojenia wzbudzeniaLw – indukcyjność uzwojenia wzbudzeniaR – rezystancja uzwojenia twornikaL – indukcyjność uzwojenia twornikau, i – napięcie i prąd twornikaω – prędkość obrotowa
Równanie obwodu wzbudzenia
uw(t) = Rwiw(t) + Lwdiw(t)dt
Dla obwodu twornika otrzymujemy
u(t) = Ri(t) + Ldi(t)dt+ e(t)
gdzie e(t) – siła elektromotoryczna
Siła elektromotoryczna zależy od sprzężenia magnetycznego z obwodemwzbudzenia i prędkości obrotowej silnika
e(t) = KtΦw(t)ω(t) (∗)
gdzie Kt – stała, Φw(t) – sprzężenie magnetyczne twornika pochodząceod strumienia wzbudzenia
Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika istrumienia wzbudzenia
Me(t) = KmΨw(t)i(t) (∗∗)
gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika, Ψw – strumieńwzbudzenia
Równania (*) i (**) są nieliniowe (iloczyn funkcji zależnych od czasu),aby uzyskać opis operatorowy należy dokonać linearyzacji w punkciepracy (i0, iw0)
Dla równania (∗)∆e(t) = K1∆iw +K2∆ω
gdzie K1 = Ktω(iw0)dΦw(t)diw(t)
∣∣∣∣0, K2 = KtΦw(iw0)
Dla równania (∗∗)
∆Me(t) = K3 (i0∆iw + iw0∆i)
gdzie K3 = KmM21, M21 – indukcyjność wzajemna
Zakładając jako zmienne wejściowe u(t), uw(t) i Me(t), a jako wyjściowąω(t) model operatorowy ma postać
ω(s) =[1K2
− R+ sLK2K3iw0
(R+ sL)i0 −K1iw0K2(Rw + sLw)iw0
] u(s)Me(s)uw(s)
Zastosowania silników prądu stałego
elementy wykonawcze samolotówmotoryzacjaukłady płynnej regulacji prędkości obrotowejtrakcja elektrycznanapędy manipulatorów i robotów – możliwość płynnejregulacji prędkości kątowej
Silnik krokowy
Silnik krokowy (skokowy) to silnik przekształcający ciągsterujących impulsów elektrycznych na ciąg przesunięćkątowych lub liniowych
Silnik krokowy jest układem znacznie prostszym niż układnadążny wykonujący to samo zadanieKlasyfikacja silników krokowych:o wirniku czynnym – najczęściej wirnik wykonany jest z twardejstali, rzadziej używa się uzwojenia wzbudzeniao wirniku biernym (reluktancyjnym) – wirnik wykonany jest zblachy elektrolitycznej, jest uzębiony ale nie ma żadnegouzwojeniahybrydowe – posiadają wirnik reluktancyjny, a ponadto magnestrwały, wzmacniający przepływ wywołany impulsem sterującymdla pożądanego ustawienia zębów
Skok silnika krokowego to przesunięcie kątowe lub liniowewirnika pod wpływem działania jednego impulsu sterującego
Silnik krokowy z magnesem trwałym
N
S
S
N
1
2
1
2N S SN
1
2
1
2
S
N
N
S
1
2
1
2
2-2
1-1
u
u
t
t
wirnik stanowi magnes trwały
na stojanie znajdują się bieguny zpasmami uzwojeń 1-1, 2-2
do pasm doprowadza się odpowiedniouformowane impulsy
pod wpływem wytworzonegomomentu obrotowego wirnik obracasię o kąt skoku
Skok silnikaα =
2π2pm
gdzie p – liczba pasm uzwojeń, m – liczba par biegunów stojana
Równanie pasma uzwojenia
uj(t) = Rij(t) + Ldij(t)dt+ ej(t), dla j = 1, 2
Siła elektromotoryczna
ej(t) = Kedθ(t)dtsin(θ(t) + (j − 1)α)
gdzie Ke – stała napięciowa, θ(t) – kąt obrotu
Moment elektryczny
Me(t) = Kmi2(t) cos(θ(t))−Kmi1(t) sin(θ(t))
gdzie Km – stała momentu obrotowego
Zastosowania silników krokowych
napędy obrabiarek numerycznychnapędy drukarek, ploterówukłady zabezpieczeń w reaktorach jądrowych – sterowanieprętami bezpieczeństwa pochłaniającymi neutronytechnika pomiarowa – dokładne pozycjonowanieelementów pomiarowychrobotyka – manipulatory, pozycjonowanie robotów