Dva osnovna načina logičkog...
Transcript of Dva osnovna načina logičkog...
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
MATEMATIČKA INDUKCIJA
Uvod
dodatni uvijeti
matematièka indukcija
induktivni pristup
uvijek dao ispravne rezultate
deduktivni pristup
Dva osnovna načina logičkog zaključivanja
Deduktivni pristup krećemo od općih spoznaja i izvodimo istinite činjenice u nekom konkretnom slučaju. Induktivni pristup krećemo od činjenica koje vrijede u konkretnim primjerima i na temelju toga zaključujemo o istinama koje vrijede u općenitoj situaciji. Princip matematcke indukcije
Ako neka tvrdnja vrijedi za broj 1 i ako iz pretpostavke vrijedi za prirodni broj n slijedi da ta tvrdnja vrijedi i za slijedeći broj n+1, tada vrijedi za svaki prirodni broj n.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Koraci provođenja matematičke indukcije
1. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n vrijedi odnosno pokazati istinitost formule-tvrdnje.
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
2. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
3. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
Samostalno! 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
Samostalno provjeriti da li nakon sređivanja odgovara gornjem izrazu
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
4. Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, 1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)
5. Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, Samostalno! R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
6. Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)
7. Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, Samostalno! R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Formule za zbrojeve potencija
8. Izračunaj
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
9. Izračunaj Samostalno! R: 10. Izračunaj Samostalno riješite!
R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
BINOMNI POUČAK
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6321!3
221!2
2n1nn2n1nn2n1nn3n
1nn1nn1nn2n
n1
n
! 1
n1n
10n
takoeficjenabinomnihnekihačunanje
NnR,ba,svakia
−−=
⋅⋅
−−=
−−=
−=
⋅
−=
−=
===
=
+−−
++−
+−+−+=+
∈∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
nb0ann1nb1a1n
n3b3na3n
2b2na2n1b1na1
n0bna0nnb
K
R
Z
a
Slobodni član u razvoju binoma ne sadrži x. Opći član binomnog rastava:
Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
1. Prikaži pomoću binomne formule:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
4321
1234
4321
3424144
!4
4321
234
321
24144
!3
632
12
32
4144
41
4;1
1
1114
=/⋅/⋅/⋅/
/⋅/⋅/⋅/=
⋅⋅⋅
−−−=
−−−=
=/⋅/⋅
/⋅/⋅=
⋅⋅
−−=
−−=
=⋅=/
⋅/=
⋅
−=
−=
====
=−++
+−+−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3n2n1nn44
2n1nn34
212!
1nn24
1!
n14
04
40x4431-1x
34
22x2413x1
404x041-x
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( ) ( )
( )
( ) 1x42x 63x44x41-
1-
1-x
+⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅+⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅=
11144
1411114
x2x 63x44x
0x11-1x2x 63x44x
x
x
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
154321
12345
54321
453525155
!5
54321
2345
4321
3525155
!4
1025321
32
45
321
25155
!3
1025
12
245
21
155
51
5;1
51551
111
=/⋅/⋅/⋅/⋅/
/⋅/⋅/⋅/⋅/=
⋅⋅⋅⋅
−−−−=
−−−−=
=/⋅/⋅/⋅
/⋅/⋅/⋅=
⋅⋅⋅
−−−=
−−−=
=⋅=/⋅/⋅
/⋅/⋅=
⋅⋅
−−=
−−=
=⋅=/
/⋅=
⋅
−=
−=
====
=+++
+++=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4n3n2n1nn55
3n2n1nn45
2n1nn35
2!
1nn25
1!
n15
0x41x45312x
35
23x2514x1
505x055︶ 1x2
05
2
Samostalno nastavite rješavati!
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5x
13x
5
x
10x103x55x
5
x1x
−+−⋅+⋅−=
=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=
=⋅−
/⋅/⋅+
/⋅//⋅−
//
⋅/⋅+/
⋅/⋅−⋅=
=−+−⋅+−⋅
+−⋅+−⋅+−⋅=
=−+−+−+
+−+−+−=−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
5x
1
x
11x
11x13x5x
5x
1
34x
1x13x
12x2x
113x1x
134x5x
x
10x4
x
11x3
x
12x
2
x
13x11
x
4x0
x
15x1
x
10x4
x
11x45
3
x
12x35
2
x
13x25
1
x
4x150
x
15x05
13
51005
1
510051
52010
01
5
5
55
1)3
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
154321
12345
54321
453525155
!5
54321
2345
4321
3525155
!4
1025321
32
45
321
25155
!3
1025
12
245
21
155
51
5;1
=/⋅/⋅/⋅/⋅/
/⋅/⋅/⋅/⋅/=
⋅⋅⋅⋅
−−−−=
−−−−=
=/⋅/⋅/⋅
/⋅/⋅/⋅=
⋅⋅⋅
−−−=
−−−=
=⋅=/⋅/⋅
/⋅/⋅=
⋅⋅
−−=
−−=
=⋅=/
/⋅=
⋅
−=
−=
====
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4n3n2n1nn55
45
35
05
3n2n1nn
2n1nn
2!
1nn25
1!
n15
4. Odredi zbroj koeficijenata u razvoju binoma (5 x2 – 4 y3)7. a = 5 x2 b = - 4 y3
n = 7 R: 1
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5. Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije
iznosi 128. Odredi član koji sadrži Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .
- Određivanje člana koji sadrži
Opći član binomnog rastava:
kbkna −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kn
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =−−
=+−
=−
k
k31k7
23
ak
k31-k7
23
akk3
1-a
k723
a 7777k
( ) 5k3
1k723
akak77⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =−−
( ) 5k 31k7 =−−
23
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5a sadrži član k =5
6. Odredi onaj član u razvijenom obliku potencije , koji
ne sadrži a.
kbkna −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kn
1
ka
k
32
akk
a
k
32
ak
k
a1k
2a 151515⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
=−−k
−
=−−
1
15
1
15153
1 opći član binomnog rastava:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−⋅
−=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−=−−
−
kaakkaak
ka
k
32
ak151515 3
2152)15(32
1
15 kk
=
−−
−=
−−
−=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛k
3k230
ak
k3
k230
akkaak
151515 3230 k
=
−
−=
−
−=
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 3k530
ak3
3k-k230
ak3
3k-k230
ak151515
0=−3
k503
0=−3
k503
6530
30kk50
==
==− 0
k
53
0n
1.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛6n
7.
5n
4n
3n
2n
1n
6.5.4.3.2.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Sedmi član ne sadrži a. 8. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u raspisu izraza
jednak je 46. Odredi onaj član raspisa koji ne sadrži x.
kbkna −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kn
Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana je 46. 1. 2. 3.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Potencije binoma su uvijek pozitivne vrijednosti.
- Određivanje člana koji ne sadrži x
Opći član binomnog rastava:
član ne sadrži x (slobodni član)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
9. U raspisu izraza binomni koeficijent trećeg člana
za 44 je veći od binomnog koeficijenta drugog. Odredi slobodni član. Slobodni član u razvoju binoma ne sadrži x. Uputa: Binomni koeficijent trećeg člana za 44 je veći od binomnog koeficijenta drugog člana treći član
drugi član
Određivanje slobodnog člana koji ne sadrži x isti postupak kao u prethodnom zadatku
10. Član od 6
4 x1x
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+ koji ne sadrži x
n = 6
41
x
21
x
−==
==
4 x1
x
b
a
__________ U binomnom razvoju broj članova je za jedan veći od zadanog eksponenta.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
n = 6 → sedam članova u binarnom razvoju Opći član binomnog rastava:
Samostalno!
11. U prikazu binoma n
x12x koeficijenti četvrtog i desetog se
podudaraju. Odredi onaj član koji ne sadrži x.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
n
x12 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +x
a
2x=
1−== xx
1b
0n
1.
a) Četvrti i deseti član se podudaraju
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
9n
3n
10.4.
,8n,7
n,6n,5
n,4n,,2
n,1n,
9.8.7.6.5.3.2.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )987654321
8n7n6n5n4n3n2n1nn9
3212n1nn
3
k211kn1nn
9n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−−−−−=
=
⋅⋅−−=
=
⋅⋅⋅+−⋅⋅−=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
KK
9n
k
3n
k
kn
3n
0n
1.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛9n
3n
10.4.
,8n,7
n,6n,5
n,4n,,2
n,1n,
9.8.7.6.5.3.2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
1239
93
8n7n6n5n4nn87654
987654
8n7n6n5n4n3n
987654321
8n7n6n5n4n3nn321
9n
=
=+=
=−
−−−−−−=⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−−−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅/⋅/⋅/
−−−−−−−−/=
/⋅/⋅/−−/
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
39
1
2n1n2n1n
n
n
n
n
3n
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
b) Naći član koji ne sadrži x
2x=a 1−== xx
1b
R:
12. Odredi 11. član u raspisu potencije ( )13i2 − gdje je i imaginarna jedinica.
i2
13
−==
=
ban
ije
Samostalno !
13. Odredi 13. član u raspisu potenc ( )153i1 gdje je i imaginarna jedinica.
−
Samostalno ! R: 331 695
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA
Prisjetimo se gradiva drugog razreda koji nam je potreban da savladamo Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Algebarski prikaz kompleksni broj
1. Odredi realni i imaginarni dio svakog od kompleksnih brojeva:
1)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Potencije imaginarne jedinice
učionica br. 4 (mala ploča pored prozora)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
2. Izračunaj: 1)
Broj 24 djeljiv je s 4 i zadovoljava izraz
2)
Broj 123 pri dijeljenju sa 4 daje ostatak 3. i zadovoljava izraz �
Kompleksna ravnina
(4, 7) Prvi element uređenog para: 4 Drugi element uređenog para: 7
Napišite jedan uređen par ?
SVAKI KOMPLEKSNI BROJ MOŽE SE ZAPISATI KAO UREĐEN PAR REALNIH BROJEVA. Prvi element uređenog para je realni dio kompleksnog broja, a drugi element uređenog para je imaginarni dio. z = 2 + 3i = M (2, 3) Re (z) = 2 Im (z) = 3
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
x os - realna os (realni brojevi = realni dio kompleksnog broja) y os - imaginarna os (imaginarni brojevi = imaginarni dio kompleksnog broja) Kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina je koordinatna ravnina u kojoj su smješteni svi kompleksni brojevi.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
z4 = - i
z3 = - 3
z2 = 4 -2i = M
z1= 1 + 4i
z4 = - i
z3 = - 3
z2 = 4 - 2i
z1 = 1 + 4i
imaginarna os
realna os2 (4, -2)
M1 (1, 4) =
Re (z4) = 0Im (z4) = -1 M4 (0, -1) = z4
Re (z3) = - 3Im (z3) = 0 M3 (-3, 0) = z3
Re (z2) = 4Im (z2) = -2 M2 (4, -2) = z2
Re (z1) = 1Im (z1) = 4 M1 (1, 4) = z1
z = x + yi - kompleksni broj Re (z) = x Im (z) = y uređenom paru (x, y) odgovara točka M (x, y)
3. Napišite uređene parove kompleksnih brojeva: a) z = -2 + 2i
Re (z) = -2 Im (z) = 2
uređen par kompleksnog broja je (-2, 2)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
b) z = - 4
Re (z) = - 4 Im (z) = 0
uređen par je (- 4, 0)
c) z = i
Re (z) = 0
Im (z) =
uređen par kompleksnog broja je (0, )
4. Odredite skup točaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi Re (z) = Im (z + i) Samostalno!
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kartezijeve i polarne koordinate vezane su relacijama:
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kut se naziva argument kompleksnog broja.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Modul kompleksnog broja r
Udaljenost točke M (X, Y) od ishodišta koordinatnog sustava je modul kompleksnog broja odnosno pozitivan realan broj
r=|z| = modul
j
M (x, y)z
y
x
Imaginarnaos
realna os
Kada su zadana dva kompleksna broja ,
tada je njihova udaljenost
5. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka određenih uvjetima 1. |z| = |z + i| Uputa:
Samostalno! 6. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka određenih uvjetima | z - 1 - i | = | z + 2 + i | Samostalno!
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
Nastavna cjelina: Razred: IV
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
BROJEVI
7. Odredi argument i modul kompleksnog broja koji je a) suprotan; b) konjugiran; c) recipročan kompleksnog broja Uputa:
Samostalno! R: a)
b)
c)
8. Ako je
koliko je Samostalno! R:
Poštovani učenici !
U daljnjem vremenskom periodu nadopuniti ću s još riješenih zadataka.