Dubravka Mijuca rad.pdf4) Postprocesiranje: - Izra unavanje svih korisniku interesantnih veli ina,...

Dubravka Mijuca

Magistarski rad

Mentor: Mladen Berković

Matematički fakultet

Beograd, 1995

2

1.- UVOD Metoda konanih elemenata - MKE, programski implementirana na raunaru, due vreme predstavlja popularan alat konstruktora širom sveta. Ona omoguava bru, taniju i jeftiniju analizu ponašanja nekog realnog fizikog sistema nego tradicionalan pristup. Mnogi veoma vani i skupi objekti projektovani su na osnovu izlaznih rezultata dobijenih ovom metodom, na primer najvei teleskop na svetu - Keck. Pokazalo se da je analiza metodom konanih elemenata daleko najekonominija sa stanovišta optimizacije dizajna prvog uradjenog prototipa [2], što je najskuplji deo puta od predprojektovanja do eksploatacije. Analiza metodom konanih elemenata sastoji se od nekoliko faza koje imaju sledei redosled izvršavanja: 1) Fiziko modeliranje - preprocesiranje: - Unošenje geometrijskih karakteristika modela, pod ime se podrazumeva predstavljanje realnog

objekta skupom konanih elemenata, koji na što taniji nain aproksimiraju polazni objekat. - Numerisanje svih globalnih i lokalnih vorova. - Zadavanje graninih uslova. - Unošenje spoljašnjih uticaja. - Zadavanje materijalnih karakteristika modela. 2) Matematiko modeliranje - procesiranje: - formiranje matrica krutosti, masa i prigušenja, kao i vektora spoljašnjih sila za ceo model. Formiranje navedenih matrica i vektora radi se tako što izabiremo zakon ili princip, koji je odgovaraju za posmatran mehaniki sistem, a zatim nekom od metoda (Energy methods, Weighted residuals method,...) konstruišemo model konanih elemenata jednaine tog zakona. Dobijen reprezentativni izraz, zatim treba primeniti na sve elemente. Skup tih izraza po elementima, treba povezati u globalni sistem jednaina za ceo model. Izlazni podaci iz ovog programskog dela su lanovi gore pomenutih matrica sistema linearnih jednaina po nepoznatim veliinama problema. Te nepoznate veliine su na primer pomeranje u problemima teorije elastinosti, temperatura u problemima provodjenja toplote, pritisak fluida i njegova brzina u problemima mehanike fluida.

3

3) Rešavanje dobijenog linearnog sistema jedna ina: Ono se radi nekom od direktnih, iterativnih ili hibridnih metoda. Pri analizi modela nekog realnog objekta broj nepoznatih moe da se meri hiljadama, pa tehnika koja je usvojena za rešavanje ima znaajan utiaj na efikasnost svakog programa iz konanih elemenata. 4) Postprocesiranje: - Izraunavanje svih korisniku interesantnih veliina, kao što su na primer naponi, deformacije, sile. - Vizualizacija (grafika reprezentacija) rezultata, kao najbri i najuoljiviji nain otkrivanja regiona

modela koji trpe najvea optereenja. Na primer ako posmatramo raspodelu napona u modelu, izonaponske linije u razliitim bojama za razliite intezitete napona, su najbolji nain da korisniku skrenemo panju na oblast visoke koncentracije napona. Grafiko prikazivanje dobijenih rezultata je klju za poveanu produktivnost dizajnera i inenjera. Ono olakšava razumevanje ponašanja dizajna u uslovima realne eksploatacije.

Time smo naveli sve faze u analizi metodom konanih elemenata pri jednoj uobiajenoj linearnoj analizi, ukoliko je u pitanju nelinearna analiza ponovo se vraamo na korak 2).

KOMENTAR O ETVRTOJ FAZI ANALIZE MKE

U ovoj fazi analize MKE, treba skrenuti panju na sledee, što i jeste predmet ovog rada, ako su, na primer u linearno-elastianom problemu, granini uslovi dati samo po pomeranjima, naponi koji se izraunavaju preko izvoda 0C 1 kontinualnih pomeranja bie diskontinualni u globalnom smislu. To znai da se za jedan globalni vor modela dobija onoliko vrednosti napona koliko se u tom voru elemenata sustie. Iz toga sledi da je napon diskontinualan na medjuelementnim granicama. Nerealna diskontinualnost dobijenih rezultata je veoma zbunjujua za korisnika koji nije detaljnije prouavao metodu konanih elemenata. Dalje, kontinualna naponska slika je potrebna radi grafike prezentacije naponske slike na raunaru. U cilju izglaavanja naponske slike modela do na globalno kontinualnu razvijen je veliki broj metoda koje su oformile novu klasu problema poznatu pod nazivom stress smoothing technique ili stress recovery procedure . U ovom magistarskom radu bie predstavljene dve takve metode. Prva, zvaemo je FEGSS metoda, je uopštenje najpriznatije metode u oblasti, takozvane Supercorvengent patch recovery - SPR metode [3]. SPR metodi pridodate su neke nove, korisnicima vrlo znaajne osobine, a to su: tenzorski invarijantan glavni izraz koji omoguava postavljanje proizvoljnih koordinatnih sistema za traene napone po globalnim vorovima modela i jednovremeno dobijajanje vrednosti svih komponeneta napona po svim globalnim vorovima. Ove pomenute osobine, ine predstavljenu FEGSS metodu tenzorskom i globalnom metodom. Ovom metodom se do traenih kontinualnih napona dolazi preko poznatih diskontinualnih napona u lokalnim vorovima modela. Drugu metodu zvaemo FEDSS metoda. Njene teorijske osnove date su u radu [1]. Ona je takodje i globalna i tenzorska metoda za uglaavanje napona. Njome se do traenih kontinualnih napona dolazi prirodnim putem preko izvoda poznatih pomeranja u globalnim vorovima modela, tako da se za ovu metodu unapred oekuje vea tanost u odnosu na sve ostale metode.

4

Po ove dve predstavljene metode napisani su i programi. Njima e se izvršiti izraunavanje glatkih napona u globalnim vorovima na uobiajenom test modelu, u cilju uporedjenja dobijenih rezultata sa analitikim rešenjem, i medjusobno. Potrebni diskontinualni naponi i pomeranja test modela izraunti su komercijalnim MKE programom pod imenom ALGOR1, kao i programom STATA [13]. MATEMATIKE OSNOVE METODE KONANIH ELEMENATA Po Odenu [5]: "Metoda konanih elemenata predstavlja sistematsku proceduru kojom bilo koja kontinualna funkcija moe biti aproksimirana diskretnim modelom koji se sastoji od skupa vrednosti date funkcije u konanom broju taaka u domenu te funkcije, zajedno sa deo po deo aproksimirano funkcijom na konanom broju subdomena, koji se zovu konani elementi." Iako MKE ne postavlja ogranienje na izgled lokalnih funkcija kojima aproksimiramo polaznu funkciju preko svakog konanog elementa, vremenom se došlo do baze znanja koje su lokalne aproksimativne funkcije odgovarajue u pojedinim problemima [12]. Uobiajeno je da se za njih uzimaju polinomi, zbog svoje jednostavne forme, a da se stepen polinoma bira u zavisnosti od problema. Lokalne aproksimativne funkcije modela moraju da zadovolje još dva zahteva. Prvi je da njihova veza na granicama elementa mora da bude kontinualana, a drugi da aproksimirana funkcija treba da konvergira polaznoj kako poveavamo broj elemenata kojima se diskretizuje polazna oblast. Pravilan izbor tipa elemenata kojima se vrši geometrijska diskretizacja uoenog objekta je od izuzetne vanosti za tanost rešenja, što e biti i pokazano u Dodatku 2. Postoje katalozi razliitih tipova konanih elemenata koji se preporuuju u zavisnosti od posmatranog mehanikog problema. 2.- PREGLED POSTOJEIH METODA ZA UGLAAVANJE NAPONA Veina savremenih programskih paketa za analizu ponašanja optereenih elastinih tela metodom konanih elemenata, napisana je tako da se granini uslovi zadaju samo po pomeranjima. Popularnost ovog pristupa verovatno potie od njegove ekonominosti sa stanovišta programske implementacije. Medjutim, najvea mana metode pomeranja je dobijanje višeznane naponske slike na granicama elemenata (slika 1., preuzeto iz [4]), pa je samim tim i tanost dobijenih napona manja nego što je tanost dobijenih pomeranja.

1ALGOR je zaštieno ime kompanije Algor Interactive System, Inc. 260

Alpfa drive, Pittsburg, PA 15238

5

Imajui to u vidu pojavila se potreba za pronalaenjem one metode kojom bi se na najbolji nain rešila tri zahteva: - kontinualna naponska slika, - naponska slika bliska analitikom rešenju, - optimalna programska implementacija u smislu duine izvršavanja programa i zauzea memorije. Tako se rodila nova klasa problema metode konanih elemenata, u svetu poznata kao STRESS RECOVERY PROCEDURE ili STRESS SMOOTHING TECHNIQUE. Kae se da metode za rešavanje ove klase problema uglaavaju vrednosti napona tako što vrše preslikavanje diskontinualnih napona na neki pogodno odabran konano elementni prostor kontinualnih funkcija. U skorije vreme ove metode su dobile veoma vanu primenu u još jednoj klasi metode konanih elemenata, koja se zove Adaptivno preuredjenje mree (Adaptive mesh refirement ), u cilju pronalanja one geometrijske aproksimacije posmatranog objekta, koja e rezultirati najmanjim greškama traenih veliina [3]. Ovaj prilaz pri proceni greške MKE zove se POSTPROCESORSKI TIP PROCENE GREŠKE. Postoje tri prilaza globalnom izglaavanju naponske slike [4]: - Prvi prilaz je takozvani konvencionalni pristup. Istorijski to je metod koji je star koliko i sama MKE. - Drugi prilaz se bazira na poveanju tanosti naponske slike po elementima, a globalno usrednjavanje se vrši konvencionalnim pristupom, ovaj pristup zove se lokalno usrednjavanje napona. - Treim prilazom dobijaju se jedinstvene vrednosti napona po globalnim vorovima modela, ovaj prilaz je globalan, aproksimacija se vrši jednovremeno preko cele oblasti modela, pa se ovakvo usrednjavanje zove globalno usrednjavanje napona. Dalje glaanje napona moe biti skalarno, ako se glaaju intenziteti jedne naponske komponente ili tenzorsko, ako se vrši glaanje vektora napona.

Slika 1.

6

Naglasimo da se u ovom radu engleski termin stress smoothing prevodi kao aproksimacija napona, glaanje napona ili usrednjavanje napona. Termin stress recovery procedure koristi se u svetu za metode kojima se dobijaju naponi koji su što blii teorijskim rešenjima, bilo da se koristi neka aproksimacija diskontinualnih napona, ili se tokom procesiranja MKE preko dobijenih vrednosti pomeranja izraunavaju vrednosti napona u optimalnim takama [6] elemenata modela (Built in field equations). Predstaviemo neke od postojeih metoda, a tamo gde je potrebno to e se uraditi na nain na koji su to uradili sami autori: 2.1- KONVENCIONALNI PRISTUP Po ovoj metodi usrednjavanje napona u globalnom voru se vrši tako da se naponi lokalnih vorova koji se u tom globalnom voru sustiu, dovedu na zajedniki koordinatni sistem, a zatim se izrauna prosta aritmetika sredina vrednosti tih lokalnih napona. Sa stanovišta programske implementacije ova metoda je daleko najbra od svih ostalih metoda za usrednjavanje napona. Medjutim, pokazalo se da se primenom ove metode dobijaju veoma nezadovojlavajua rešenja za one oblasti modela koje sadre visoku koncentraciju napona, kao i za oblasti koje su aproksimirane retkom mreom konanih elemenata. 2.2- Lokalno skalarno usrednjavanje napona

LOKALNA APROKSIMACIJA NAPONA METODOM NAJMANJIH KVADRATA

Postoji dva tipa [4] lokalnog usrednjavanja ovom metodom: glaanje pomou lokalnih funkcija i diskretno glaanje, iako se u oba prilaza koriste iste matrice glaanja M. U metodi glaanja pomou lokalnih funkcija poboljšane vrednosti napona u lokalnim vorovima dobijaju se pomou vrednosti napona u lokalnim vorovima elementa i vrednosti lokalnih funkcija u tim vorovima. U ovom prilazu pretpostavlja se da lokalna funkcija glaanja g aproksimira metodom najmanjih kvadrata funkciju kojom se opisuje distribucija neizglaanih napona kroz element modela. Na kraju se problem svodi na rešavanje sistema linearnih jednaina po nepoznatim vrednostima uglaanih napona u lokalnim vorovima elementa, gde taj sistem jednaina u matrinom obliku ima oblik:

U metodi lokalnog diskretnog glaanja poboljšane vrednosti napona u lokalnim vorovima dobijaju se pomou vrednosti napona u Gauss-ovim takama integracije i vrednosti lokalnih funkcija u tim takama. Metoda se bazira se na nalaenju onih vrednosti napona po lokalnim vorovima elementa koji minimiziraju zadati funkcional, gde je funkcional Π dat izrazom:

gde je: pn 4 - broj integracionih tacaka unutar elementa,

] e e [ = [[M]] [F ] (2.2.1)

p

k k k kk=1,n

= ( ( , )-g( , ) ) (2.2.2)

7

5 - funkcija koja opisuje stvarno naponsko polje, g - traena funkcija glaanja, gde je funkcija glaanja u bilo kojoj taki unutar elementa data

sledeim izrazom u kome su i 6 vrednosti traenih izglaanih napona u lokalnom voru i:

Izraz (2.2.2) se takodje svodi na izraz (2.2.1). Za razliku od gornjeg prilaza, u ovom je funkcija glaanja g tana interpolacija metodom najmanjih kvadrata vrednosti neizglaanih napona u integracionim takama modela (funkcija g prolazi kroz sve integracione take). 2.3- Globalno skalarno usrednjavanje napona METODA KONJUGOVANIH APROKSMACIJA Autor ove metode je J.T. Oden i njen potpun prikaz je dat u [5]. Bazira se na pravilu o najboljoj moguoj aproksimaciji funkcije F(X), koja pripada Hilbertovom prostoru Φ. Da bi se aproksimirala funkcija F(X)Φ, definiše se konano-dimenzioni podprostor φ datog Hilbertovog prostora Φ, tako što se obrazuje kolekcija od G linearno nezavisnih elemenata X)( 8Φ. Projekcija F(X)Φ oznaava

se sa X)F( 9, koja moe da se predstavi kao linearna kombinacija baznih funkcija X)( 10, tako da vai:

gde je G broj globalnih vorova modela. Zatim se konstruiše drugi, novi skup konjugovano baznih funkcija X)( 12 na sledei nain:

gde je C 14 inverzna matrica, regularne, pozitivno-definitne matrice C 15 definisane sa:

gde je < , >17 skalarni proizvod definisan nad Φ. Tako se jedinstvena vrednost napona u bilo kojoj materijalnoj taki X, moe izraunati preko izraza:

gde je eN 19 broj elemenata datog modela, a N oznaka lokalnog vora elementa, a preslikavanje izmedju lokalnog i globalnog oznaavanja baznih funkcija data je sa:

gde je (e)

K

21 Bulova (Bool) matrica incidencije izmedju globalnih i lokalnih vorova.

Reeno je da se ova metoda bazira na teoremi o najboljoj moguoj aproksimaciji funkcije, pa se podrazumeva da se njome postie bolja tanost izraunatih napona nego drugim pristupima rešavanja ovog problema. Dimenzija matrice C 22, GxG, i potreba da se izrauna njena inverzna matrica, predstavlja glavni razlog što ova metoda nije pogodna za programsku implementaciju. Autor ove metode je

i ii=1,n

g( , ) = N

X) F(X) X); F( = ( =1,2,...,GF (2.3.1)

X) X)( = (C (2.3.2)

= < , >C (2.3.3)

3

N(e)eN (e)

e=1

( x ) = (x) N=1,..,N (2.3.4)

(e)

N N

= (2.3.5)

8

pokušao to da prevazidje tako što je predloio da se aproksimacija ovom metodom vrši samo nad

onim elementima modela koji trpe najvei napon, a da se nad ostalim elementima izvrši usrednjavanje takozvanim konvencionalnim pristupom. UGLAAVANJE NAPONA U JEDNODIMENZIONOJ ANALIZI Po ovoj metodi treba pomnoiti matricu krutosti i dobijeni vektor pomeranja u cilju dobijanja generalisanih sila u vorovima. Naponi u vorovima se zatim dobijaju direktno iz sila u vorovima [8]. Naponi dobijeni po ovoj metodi imaju isti stepen tanosti kao i pomeranja. Nemogunost proširenja ove metode na višedimenzijsku analizu proizilazi iz toga što u tom sluaju, u jednom voru imamo više nepoznatih komponenata napona, nego što imamo generalisanih komponenata sile. METODA RIGS-a i TESLER-a Ova metoda [7] se bazira na metodi najmanjih kvadrata uz takozvana kaznena ogranienja. Ako se kaznena ogranienja odnose na ceo domen elementa, tada se ova metoda zove kontinualna, ako se ona odnose samo na granice elemenata metoda se zove wireframe. Obe formulacije daju tanija polja napona nego što je polazno polje napona dobijeno klasinom MKE. U cilju minimiziranja funkcionala greške autori ne koriste istu geometrijsku diskretizaciju modela za dobijanje diskontinualnih i kontinualnih napona. U primeru koji su dali mrea za dobijanje glatkih napona je etiri puta guša nego polazna. To rezultira time da je potrebno izraunavanje napona, iz poznatih pomeranja, u novim takama po novim elementima. Pored ostalog to ovu metodu ini neekonominom sa stanovišta vremenskog korišenja raunara. Medjutim, autori su takodje pokazali da je tanost naponskih izlaznih rezultata standardne MKE modela sa 2178 stepeni slobode, uporediva sa njihovom metodom, uglaanim rezultatima modela sa 306 stepeni slobode. GLOBALNA APROKSIMACIJA NAPONA METODOM NAJMANJIH KVADRATA SUPERCONVERGENT PATCH RECOVERY - SPR Ova procedura sastoji se u pronalaenju onih vrednosti koeficijenata lokalnih funkcija uglaavanja za koje se minimizira funkcional koji u svojoj definiciji sadri razliku izmedju diskontinualnih napona po elementu i ve pomenutih funkcija uglaavanja [4]. Dobijene izraze po elementima treba povezati u globalni sistem jednaina za ceo model prema zakonima kompatibilnosti i kontinuiteta. Red dobijenog sistema jednaina jednak je broju globalnih vorova modela, jer se radi o skalarnoj aproksimaciji napona. Treba napomenuti da e dobijeni naponi imati isti stepen glatkoe - (i )C 23 kontinuitet kroz granice elemenata kao i funkcija uglaavanja. Ovo je jedna od najpriznatijih metoda uglaavanja napona [3]. Bazira se na aproksimaciji, metodom najmanjih kvadrata, izvoda pomeranja u optimalnim takama elementa [10]. Ova metoda koristi se kako za uglaavanje napona, tako i kao procedura za procenu greške metode konanih elemenata. Polazi se od pretpostavke da su traeni glatki naponi * 24 jednaki sa polaznim diskontinualnim naponima ̂ 25: ˆ* = (2.3.6)

9

Koristei metodu konanih elemenata i konstituivnu vezu izmedju napona i pomeranja gornji izraz postaje:

gde je:

Izraz (2.3.7) u matrinoj formi ima sledei oblik:

gde je:

dok sledei simboli imaju sledee znaenje: [[ ]] - oznaka za kvadratnu matricu, [ ] - oznaka za vektor kolonu. Pa na kraju izraz (2.3.7) dobija oblik:

Izraz (2.3.11) se pogodnom aproksimacijom dovodi do na sistem linearnih jednaina po nepoznatim veliinama jedinstvenih vrednosti napona u globalnim vorovima modela. Pokazalo se da treba uzeti takve kontinualne lokalne funkcije N 32, za koje vai:

jer se na taj nain se dobija aproksimacija vee tanosti. uN 34 su lokalne bazne funkcije kojim se vršila aproksimacija pomeranja u. Inae, projekcija (2.3.7) je ekvivalentna sa fitovanjem metodom najmanjih kvadrata, odnosno minimizacijom funkcionala Π:

Minimiziranjem funkcionala Π dobijaju se nepoznate vrednosti koeficijenata polinoma koji opisuje glatku distribuciju napona kroz model.

u d

T T( d ) = N N N DB

(2.3.7)

*

ˆ u= DB

= N

(2.3.8)

] [[M]] [ = [P] (2.3.9)

u d

T

T

[[M]] = dN N

[P ] = N DB

(2.3.10)

M P= (2.3.11)

u = N N (2.3.7)

* ˆ- )

2 = ( d

(2.3.8)

10

2.4- Globalno tenzorsko usrednjavanje napona Dve globalno - tenzorske metode o kojima emo govoriti su pomenute FEGSS i FEDSS metode. O njima e se govoriti u poglavljima 3. i 4. 3.- FEGSS METODA Ovo je prva od dve globalno-tenzorske metode aproksimacije diskontinualnih napona predstavljenih u ovom magistarskom radu. To je metoda kojom se do nepoznatih kontinualnih napona dolazi preko slabe forme jednakosti diskontinualnih i kontinualnih napona. Radi lakšeg pozivanja na ovu

metodu nazovimo je FEGSS metoda, što je skraenica od Finite Element Global Stress Smoothing Method.

POSTAVKA PROBLEMA Ponovimo neke osnovne postavke problema. Uoimo geometrijski model 36, sastavljen od E konanih elemenata e 37 sa istim materijalnim karakteristikama i parametrom mree h. Klasinom metodom konanih elemenata izraunajmo nepoznate komponenate pomeranja iu 38 po globalnim vorovima Δ modela, tako što emo izabrati neku varijacionu formulaciju jednaine kojom je predstavljen zadati mehaniki problem. Neka pomeranja pripadaju Sobovljevoj klasi funkcija

10( )H 39. Varijacionu formulaciju aproksimirajmo standardnom metodom konanih elemenata uz

granine uslove koji se javljaju kao esencijalni. Rešenja varijacionog zadatka su pomeranja, ija je distribucija kontinualna preko domena modela. Dalje, ako nas interesuju naponi oni se dobijaju iz pomeranja preko poznate konstituivne relacije:

gde su: ijklE 41 - tenzor elastinosti,

(e)

N

42 - Bulova matrica incidencije izmedju globalnih i lokalnih vorova modela,

N,l 43 - izvod lokalne bazne funkcije u lokalnom voru N.

Izvod lokalnih baznih funkcija je diskontinualan du medjuelementarnih granica, pa odatle i iz izraza 3.1 sledi medjuelementarna diskontinualnost napona. Skup dobijenih diskontinualnih napona po lokalnim vorovima svih elemenata oznaimo sa

h 44. Skup traenih kontinualnih napona po globalnim vorovima modela oznaimo sa *h 45.

x(e)E

ij ijkl Nk N ,l

e=1

= ( )uE (3.1)

11

MATEMATIKA INTERPRETACIJA METODE Neka je hC 46 data geometrijska dekompozicija polazne oblasti 47 uoenog objekta u skup konanih elemenata K:

Kako su dobijeni naponi h 49 diskontinualni projektovaemo ih [9] na neki pogodno izabran konano elementni prostor kontinualnih funkcija. To emo uraditi definisanjem prostora:

i definisanjem izglaane vrednosti napona nxn* hh [ ]T 51 kroz skalarni proizvod:

gde je: k - broj dimenzija prostora nad realnim brojevima,

k( )R 53 - prostor realnih brojeva prostor u kome je data geometrija uoenog elementa K, n - dimenzija problema; linearni n=1, ravanski n=2, prostorni n=3. OSNOVNE RELACIJE FEGSS METODE Polazimo od izraza koji govori o tome da je napon u bilo kojoj uoenoj taki realnog materijalnog sistema jednak naponu u toj istoj taki, ali koju sada posmatramo kao taku koja pripada njoj odgovarajuem elementu:

ili predstavljeno crteom:

e eK = { , e=1,..., }N (3.2)

h k|K h = { s C( ) | ( K ), K }s CT R (3.3)

nxn* hh h,s ) ,s ), s [ ]T( = ( (3.4)

X Xe( ) = ( ) (3.5)

Slika 2.

12

Izlaz standardnog procesiranja metodom konanih elemenata su kontinualna pomeranja, od kojih se raunaju diskontinualni naponi po elementima. Veliine diskontinualnih napona po elementima u izrazu (3.5) javljaju se s desne strane. Ako bi izraz (3.5) primenili na sve materijalne estice u posmatranom telu, leva strana izraza (3.5) bi predstavljala globalnu distribuciju napononskog stanja u telu, za koju znamo da mora da bude kontinualna, pa znai da e se tu pojaviti nepoznate veliine kontinualnih napona po globalnim vorovima modela. Kada koristimo metodu konanih elemenata, koja nam kao izlaz daje diskontinualnu naponsku sliku, jednaina (3.5) vaie samo u slabom obliku. Skalarni oblik jednaine (3.5) moemo dobiti njenim mnoenjem sa nekom odgovarajuom veliinom. Neka to bude deformacija kao veliina koja je prirodno vezana za napon, preko odgovarajue konstituivne relacije. Polazei od toga da znamo pomeranja koja su kontinualna, iskoristiemo pretpostavku o kontinualnosti deformacije u telu:

Nepoznate veliine kontinualnih napona u izrazu (3.5) moemo dobiti metodom konanih elemenata, tako što emo napraviti konano elementni model tog izraza Galerkinovom metodom, gde emo deformaciju uzeti za teinsku funkciju (v. str 123 u [5]):

Uoimo da se u gornjem izrazu integracija vrši po oblasti jednog uoenog elementa. Na kraju, u cilju dobijanja skupa izraza koji ovu metodu ine globalnom, izvršiemo emo povezivanje svih tih izraza po elementima i globalnim vorovima po u MKE, dobro poznatim principima kompatibilnosti i kontinuiteta. Predjimo sada na interpretaciju uoenih veliina napona i deformacije metodom konanih elemenata, koristei notaciju po Odenu [5]: - Indeksi Γ, Λ, Π odnose se na globalne vorove, a indeksi K, L, M na lokalne vorove, - Lokalne aproksimativne funkcije (funkcije oblika) obeleavamo sa K( )

57,

- 58 koordinatatni sistem vezan za svaki pojedini element - lokalni koordinatni sistem,

- (e)

K

59 predstavlja Bulovu matricu incidencije izmedju globalnih i lokalnih vorova uoenog elementa.

Izrazi za dobijanje aproksimativnih vrednosti veliina kao što su napon i deformacija, zatim veze izmedju globalnih i lokalnih aproksimativnih funkcija oblika (baznih funkcija) u Metodi konanih elemenata imaju sledei oblik:

ee X (Xe( ) = )

e ee e

e

V V

dV = dV (3.6)

13

Korišenjem gornjih relacija izraz (3.6) postaje:

U cilju dobijanja skalarnih jednaina izraziemo sve veliine u izrazu (3.8) preko odgovarajuih komponentalnih reprezentacija: - komponentalne reprezentacije tenzora deformacije i tenzora napona u uoenom globalnom voru modela:

- komponentalna reprezentacija tenzora napona u uoenom lokalnom voru uoenog elementa:

Kada iskoristimo izraze (3.9) - (3.11), zatim uzmemo u obzir da izraz (3.8) vai za bilo koju vrednost deformacije abe 65, posle kontrakcije datih baznih vektora, polazni izraz (3.5) dobija sledei oblik:

gde su:

( )p( )rg

67 - vektori paralelnog pomeranja,

p, q, r, s - indeksi globalnog koordinatnog sistema ( )px 68 u uoenom voru Λ, α, β - indeksi lokalnog koordinatnog sistema (K) 69 uoenog elemenata. Ako bi nam umesto lokalnih napona po lokalnim vorovima bili poznati lokalni naponi 70 u integracionim takama (i), izraz (3.12) bi imao sledeu oblik:

X

e e e

(e)E

KK

e=1

(e)EK

K e=1

(e)E

KK

e=1

(e)EK

K e=1

( ) = ( X ) = ( )

( X ) = ( X ) = ( )

( X ) = ( )

( X ) = ( )

(3.7)

e ee e

(e) (e)(e)K K LL

L LK K V V

( )( ) dV = ( )( ) dV (3.8)

g ge ( )p ( )qpq = e

(3.9)

g gpq ( )p ( )q =

(3.10)

G GK K (K) (K) = (3.11)

e

V (3.12)

14

Napisavši izraz (3.12) došli smo do reprezentativnog izraza za jedan uoeni element i jednu uoenu kombinaciju globalnih vorova. Taj izraz predstavlja podsistem jednaina po nepoznatim veliinama rs 72 jedinstvenih vrednosti komponenata napona u globalnim vorovima modela za jedan uoeni element. Sve ostale veliine u izrazu (3.12) su poznate. Napomenimo da e taj podsistem jednaina imati onoliko jednaina koliko postoji komponenata napona rs 73 u problemu koji se analizira. Na primer, za sluaj ravnog stanje napona, imaemo za svaki globalni vor Λ sistem od etiri jednaine, odnosno tri, ako podrazumevamo da je tenzora napona simetrian. Izvršimo dalje uprošavanje da bi izraz (3.12) dobio formu koja je mogua za programiranje. Iskoristimo neke definicije: - kovarijantni bazni vektor globalnog koordinatnog sistema u voru Λ:

- kontravarijantni bazni vektor za koordinatni sistem u globalnom voru Λ:

- operator paralelnog pomeranja izmedju globalnih koordinatnih sistema u globalnim vorovima:

- operator paralelnog pomeranja izmedju koordinatnih sistema u jednom uoenom globalnom voru i jednom uoenom lokalnom voru:

Uvedimo izraze (3.13) - (3.16) svuda gde je potrebno u izraz (3.12), pomnoimo ga zatim sa dva odgovarajua kontravarijantna metrika tenzora radi spuštanja indeksa indeksa p i q, pa dobijamo:

gde su:

e

V

jg ej

( )i ( )i

z = x

(3.13)

jg g ej

( )i ( )mi

( )m

z = x

(3.14)

(3.15)

(3.16)

e

e

(e) (e)i l jkM rsK

K ij klM( )p ( )q ( )r ( )s V

(e)i l jkM K

ij klK (K) (K)M( )p ( )q V

z z zz dV = x x x x

z z zz dVx x

(3.17)

15

i, j, k, l - indeksi u odnosu na globalni koordinatni sistemi iz 79 celog modela. Time smo završili postavljanje podsistema jednaina po nepoznatim komponentama kontinualnih napona u globalnom voru Γ za jedan uoen element i jednu uoenu kombinaciju globalnih vorova Λ i Γ. Uobiajeno je da se izraz koji predstavlja sistem jednaina napiše u simbolikoj formi, pa izraz (3.17) dobija oblik:

gde su:

Izrazi (3.19) i (3.20) predstavljaju definicione formule, pomou kojih emo doi do globalnog sistema jednaina metode. To emo uraditi tako što emo za svaku kombinaciju globalnih vorova Λ i Γ izraunati izraz (3.19) za sve elemente za koji je on razliit od nule, sabrati ih, a zatim ih smestiti na odgovarajue mesto u matrici sistema. Slino se radi i sa izrazom (3.20) osim što se izraunati lanovi smeštaju u vektor kolonu. Nain na koji se vrši ta procedura je objašnjen u sledeem paragrafu. GLOBALNE JEDNAINE SISTEMA FEGGS METODE U prethodnom paragrafu objasnili smo kako se dolazi do definicionih formula, (3.19) i (3.20), za levu i desnu stranu globalnog sistema jednaina metode, u odnosu na jedan globalni vor i jedan uoeni elemenat. U cilju dobijanja globalnog sistema jednaina, izraze (3.19) i (3.20) treba izraunati za svaku kombinaciju parova globalnih vorova i u odnosu na svaki elemenat. Ako dva uoena globalna vora ne pripadaju istom elementu u tom sluaju e izraz (3.19) imati vrednost nula. Sve te izraunate vrednosti ine doprinose globalnoj matrici V sistema i globalnom vektoru P, prema pravilima kompatibilnosti i kontinuiteta metode konanih elemenata:

rs pqpq rs = V P (3.18)

e

(e) (e)i l jkM K

pq rs ij klKM( )p ( )q ( )r ( )s V

z z zz = dV Vx x x x

(3.19)

e

(e)i l jkM K

pq ij klK (K) (K)M( )p ( )q V

z z zz = dVPx x

(3.20)

e (e)N

ij ij e=1

= V V (3.21)

16

Razvijanje globalnog sistema jednaina izvršiemo na slian nain kao što je to uradjeno u radu [1]. Radi ilustraciju dobijene tehnike izabrano je ravno stanje napona, koje je po svom obimu i pogodnosti za grafiku interpretaciju dovoljno ubedljivo. Medjutim, dato rešenje se moe primeniti i u sluaju prostornog stanja napona, kao i za proizvoljan broj i izbor aproksimativnih funkcija po elementima modela. U sluaju ravnog stanja napona postoje tri nezavisne komponente tenzora napona

11 12 21 22, = , 85. Iskoristiemo tu osobinu simetrinosti tenzora napona da smanjimo red globalnog sistema jednaina sa dimenzija 4Gx4G na 3Gx3G:

gde je G broj globalnih vorova modela. U sluaju ravnog stanja napona, svakoj od nezavisnih komponenata napona u svakom od globalnih vorova odgovara vrsta i globalne matrice V prema sledeem pravilu:

Globalna matrica sistema V, dimenzija 3Gx3G, sastavljena je od podmatrica dimenzija 3x3 kojih ima onoliko koliko ima globalnih vorova. Znai svaka navedena podmatrica ima devet elemenata koje emo sada ispisati, a njihov poloaj u globalnoj matrici odredjuju indeksi i i j koji se raunaju na nain dat pored svakog elementa:

eN (e)

i i e=1

= P P (3.22)

{ {

V V4Gx4G} 3Gx3G}

11

12

22

i = 3* -2

i = 3* -1

i = 3*

(3.23)

11 11i = 3 - 2

1) Vj = 3 - 2

11 12 11 21i = 3 - 2

2) + V Vj = 3 -1

11 22i = 3 - 2

3) Vj = 3

12 11 21 11i = 3 -1

4) + V Vj = 3 - 2

12 12 12 21 21 12 21 21i = 3 -1

5) + + V V V Vj = 3 -1

12 22 21 22i = 3 -1

6) + V Vj = 3

17

Proizilazi da za svaki par globalnih vorova Λ, Γ medjusobno povezanih zajednikim elementom u dvodimenzijskom sluaju, postoji blok:

Primetimo da je gornji blok dimenzije 3x3 dobijen sabiranjem druge i tree vrste i druge i tree kolone podmatrice 4x4, kao posledica simetrinosti napona. Tako da je oigledno matrica V celog sistema dimenzije 3Gx3G. OSOBINE GLOBALNE MATRICE V SISTEMA PRAVILO 1. Za svaki izraz (3.19) vai da je simetrian u odnosu na sledeu zamenu parova indeksa:

DOKAZ: Ispišimo izraz (3.18) za uoenu komponentu napona rs 99:

Ispišimo izraz (3.18) za uoenu komponentu napona sr 101:

Pošto polazimo od pretpostavke da je tenzor napona simetrian, proizilazi da vai polazna relacija:

PRAVILO 2.

22 11i = 3

7) Vj = 3 - 2

22 12 22 21i = 3

8) + V Vj = 3 -1

22 22i = 3

9) Vj = 3

11 11 11 12 11 21 11 22

12 11 21 11 12 12 21 12 12 21 21 21 12 22 21 22pq rs

22 11 22 12 22 21 22 22

+V V V V = + + + + +V V V V V V V VV

+V V V V

(3.24)

pq rs pq sr = V V (3.25)

rs pqpq rs = V P

sr pqpq sr = V P

pq rs pq sr = V V

18

Globalna matrica V za svaki uoeni model je globalno simetrina. DOKAZ: Treba dokazati da vai:

odnosno:

Dokaz emo izvesti na primeru lana 3 -1 3V 106 koji treba da bude jednak 3 3 -1V 107, za jedan uoeni par Λ i Γ:

dalje:

Treba dokazati da su desne strane uoena dva izraza jednake, a to emo uraditi uz pomo Dokaza 1, koji kae da vai:

i

Time smo dokazali vanu i veoma korisnu osobinu globalne matrice V sistema. Izmedju ostalog, simetrinost matrice V olakšava rešavanje sistema jednaina. Poznato je da se pri rešavanju takvog sistema jednaina uzimaju u obzir samo elementi gornjeg trougla matrice kojom su predstavljeni koeficijenti uz nepoznate veliine, što umnogome smanjuje vreme izvršavanja programa, kao i zauzee memorije. PRAVILO 3. Podmatrice 3x3 matrice V, koje su vezane za svaki uoeni par globalnih vorova Λ i Γ, nisu u opštem sluaju simetrine. DOKAZ: Ovo emo dokazati tako to emo dokazati da bar jedan uoen par, po mestu simetrian u odnosu na glavnu dijagonalu podmatrice, nije i po vrednosti simetrian. U tom cilju uoimo dva podvuena elementa podmatrice:

definicione formule za uoene elemenate matrice imaju oblik:

ab ba=V V

f( )g( ) g( )f( )=V V

ab 12 22 21 22ako je a = 3 -1 i b= 3 , onda = +V V V

ab 22 12 22 21ako je a = 3 i b= 3 -1, onda = +V V V

22 12 12 22=V V

22 21 21 22=V V

11 11 11 12 11 21 11 22

12 11 21 11 12 12 21 12 12 21 21 21 12 22 21 22pq rs

22 11 22 12 22 21 22 22

+V V V V

= + + + + +V V V V V V V VV+V V V V

19

Analizom osam parcijalnih izvoda koji se javljaju u ova dva izraza zakljuujemo da su oni svi medjusobno u opštem sluaju razliiti, što povlai za sobom i nejednakost samih izraza, ime smo dokazali polazni iskaz. U cilju optimizacije programskog koda programa napisanog po FEGGS metodi iskorišene su sve gore pomenute osobine vezane za desnu stranu globalnog sistema jednaina metode. IZGLED GLOBALNE MATRICE SISTEMA V U prethodnom paragrafu dokazali smo da je u sluaju analize dvodimenzionalnog problema globalna matrica V simetrina kvadratna matrica, sastavljena od podmatrica dimenzija 3x3 koje u opštem sluaju nisu simetrine. Slikom 3. data je struktura matrice V sistema imajui u vidu gore navedene osobine:

e

(e) (e)k l jiM K

K11 22 ij klM( )1 ( )1 ( )2 ( )2 V


e

(e) (e)k l jiM K

K22 11 ij klM( )2 ( )2 ( )1 ( )1 V


Slika 3.

20

KOMENTAR O DESNOJ STRANI GLOBALNOG SISTEMA JEDNAINA P Reeno je da je u sluaju analize dvodimenzijskog problema, zbog pretpostavke o simetrinosti tenzora napona mogue izvršiti kontrakciju globalne matrice sistema V sa dimenzija 4Gx4G na 3Gx3G. Navedeno sniavanje reda sistema povlai za sobom i kontrakciju desne strane sistema jednaina na sledei nain:

jer vai:

Tanost izraza (1) moemo dokazati imajui u vidu da je tenzor lokalnih napona takodje simetrian. Napišimo prvo izraz za pqP 117:

Napišimo sada izraz za qpP 119:

Ako u izrazu (3) zamenimo mesta indeksima tako da:

izraz (3) se svodi na izraz (2), ime smo dokazali polaznu relaciju. GREŠKA KOJA SE JAVLJA PRIMENOM FEGGS METODE Poznato je iz literature [11] da se za aposteriornu ocenu greške Galerkinove metode moe koristiti nejednakost:

gde je:

{ {

_ P P

1111

1212

21 4Gx1} 3Gx1}22

22

PP

P 2 PP

PP

st ts = P P (1)

e

(e)i l jkM K

pq ij klK (K) (K)M( )p ( )q V

z z zz = dVPx x

(2)

e

(e)i l jkM K

qp ij klK (K) (K)M( )q ( )p V

z z zz = dVPx x

(3)

K K

k i, i k, l j, j l ;

, , jer je =

_ _ _ _

mins r , 0 s me Ch

= (k +1- s,r - s)

(3.27)

21

h - parametar mree, odnosno najvea maximalna linearna dimenzija bilo kog elementa u mrei, tako da:

r - stepen prostora Soboljev kome pripada tano rešenje, m - stepen prostora Soboljev kome pripada aproksimativno rešenje, k - stepen polinoma korišen pri dizajniranju elemenata, u našem sluaju k=1. U sluaju dvodimenzijskog elastinog problema za aproksimaciju pomeranja u koristi se polinom prvog reda (p=1)i u tom sluaju greška po pomeranjima u je:

Slino, pošto se napon dobija kao funkcija prvog izvoda pomeranja (m=1), napon 125 bi sa poveanjem gustine mree trebao da konvergira sa greškom:

4.- FEDSS METODA Rekli smo da i ova metoda pripada klasi globalnih, tenzorskih metoda uglaavanja napona. Teorijski prilaz ove metode dat je u radu [1]. Ovde su ponovljene osnovne postavke ove metode, a zatim su razvijeni definicione formule koje su spremne za programsku implementaciju na raunaru. I prema ovoj metodi je, kao jedan od zadataka ovog magistarskog rada, napisan program. Tim programom e ova metoda biti istestirana u cilju uporedjenja dobijenih rešenja sa drugim slinim metodama i u cilju ocene brzine konvergencije rešenja i ocene tanosti rešenja. Za razliku od prethodne FEGSS metode, kod koje smo do kontinualnih globalnih napona dolazili preko diskontinualnih napona, ovom metodom se do kontinualnih napona dolazi preko vrednosti poznatih pomeranja. Vrednosti poznatih pomeranja dobijaju se direktno iz procesorskog dela programa za klasinu analizu konanim elementima, gde se granini uslovi pojavljuju kao esencijalni. U radu [1] izvodjenje je teklo na sledei nain: Pošto treba da se dobiju takvi izrazi u kojima se pojavljivuju vrednosti poznatih pomeranja, polazi se od linearne konstituivne jednaine za elastine materijale u obliku:

Podsetimo se da je veza izmedju pomeranja i infinitezimalnih deformacija data izrazom:

max

ee

h = , 1 e E, E = E(h)h

p+1 2O( ) = O( )h h

p+1-mO( ) = O(h)h

e C := (4.1)

Te u u1

= ( + )2

(4.2)

22

Ako se izjednae desne strane prethodna dva izraza dobija se:

Slabo rešenje izraza (4.3) moemo dobiti Galerkinovom aproksimacijom sa naponom kao teinskom funkcijom, još ako iskoristimo pretpostavku o simetrinosti tenzora napona, moemo da napisemo:

Izvršimo sada aproksimaciju veliina koje se pojavljuju u izrazu (4.4) metodom konanih elemenata, na nain kako je objašnjeno u [5] i izrazimo sve vektorske veliine u komponentalnom obliku: - pomeranja:

- gradijenti pomeranja:

- koeficijenti elastinosti:

- tenzor napona:

gde su: i, j, k, l - indeksi u odnosu na globalni koordinatni sistem iz 135 modela, s, t, u, v, q - indeksi u odnosu na koordinatne sisteme ( )px 136 u globalnim vorovima modela, a, b, c, d - indeksi u odnosu na lokalne koordinatne sisteme (K)a 137 po elementima modela. Zamenom prethodnih izraza izraz (4.4) dobija oblik:

TC u u1

: = ( + )2

(4.3)

C: - ue

V

( )dV = 0 (4.4)

u gu(e)

( )q Kq K

= = u

(4.5)

a ( au , gde je g g gu u uK K(e) (e) (e)

)qK K Kq a aa aK K K

= ( ) = ( ) = = u

(4.6)

a b c dC g g g gabcd= C (4.7)

g g(e)

st KK( )s ( )t

= = (4.8)

23

Uzimajui u obzira da jednaina (4.9) treba da vai za bilo koju vrednost napona st 139 po globalnim vorovima modela i posle odgovarajuih mnoenja baznih vektora dobija se izraz:

Oigledno je da izraz (4.10) predstavlja sistem jednaina po nepoznatim vrednostima komponenata napona uv 141, pa ga napišimo u simbolikoj formi:

gde su datim simbolima predstavljena sledea dva izraza po jednom uoenom elementu i jednom uoenom paru globalnih vorova Λ i Γ:

Iskoristimo definicije (3.13) - (3.16) da bi napisali izraze (4.12) i (4.13) u skalarnom obliku:

a b c d

a

g g g g g g g g

g g

e

(e) (e)st uvL M

abcdL M( )s ( )t ( )u ( )v v

(e)( )qK

qa K

( C

- ) dV = 0u

(4.9)

e e

(e) (e) (e)(e)a b c d a ( )qKuvL LM

abcd qL LM a( )s ( )t ( )u ( )v ( )s ( )tK v V

dV = dVg g g g g gC u

(4.10)

quvst uv qst = C uB

(4.11)

e

(e) (e)a b c dL M

st uv abcdL M( )s ( )t ( )u ( )v v

= dVg g g gC C (4.12)

e

(e) (e)a ( )qKq L

Lst a ( )s ( )tK V

= dVg gB

(4.13)

e

(e) j l i k m oae bf cg dhL

st uv ij kl abcdL e f g h( )s ( )t v

(e)n p

Mmn op M( )u ( )v

x x x x x x = g g g gC Cx x

x x dVx x

(4.14)

e

(e) (e) j l i kae ( )pqKq L

ij klLst a eK ( )s ( )t ( )p V

z z z z = dVg gBx x x

(4.15)

24

Pretpostavljajui da je globalni koordinatni sistem modela dekartov koordinatni sistem i da su elementi modela ravni, ponovo ispišimo radi lakše programske implementacije definicione formule u što prostijem obliku:

Ako za lokalne bazne funkcije uzmemo polinome koji su dati izrazima (3.26) izraz (4.17) nee imati analitiko rešenje. U konkretnom sluaju do vrednosti izraza (4.17) doi emo numerikom integracijom. Ako se u toku dobijanja kontinualnih napona vrši diskretizacija modela izoparametarskim etvorovornim elementima, Gausove take intergracije imae poloaj u svakom elementu kao što je prikazano na slici 5.3 u radu [12]. Do globalnih sistema jednaina FEDSS metode dolazi se na slian nain kao i u sluaju prethodne metode. U sluaju dvodimenzijskog problema za svaki uoeni par globalnih vorova Λ i Γ postoji blok:

gde su izrazi st uvC 150 koji se pojavljuju u gornjoj podmatrici dobijeni sabiranjem izraza (4.16) u odnosu na sve elemente:

Dobijene podmatrice zauzimaju svoje mesto u globalnoj matrici sistema C koja ima istu strukturu i dimenzije kao i matrica V Kada formiramo desnu stranu (vektor kolonu) elementi iB 152 dobijaju se tako da za svaki od globalnih vorova Λ izraunamo doprinose svih lanova po elementima po sledeoj formuli:

Znai za svki globalni vor Λ imaemo etiri lana: 11 12 21 22, , , B B B B 154. Medjutim:

e

(e) (e)i j k l

L Mst uv ijklL M( )s ( )t ( )u ( )v

v

z z z z = dV C Cx x x x

(4.16)

e

(e) (e) j l i kae ( )pqKq L

ij klLst a eK ( )s ( )t ( )p V

z z z z = dVg gBx x x

(4.17)

11 11 11 12 11 21 11 22

12 11 21 11 12 12 21 12 12 21 21 21 12 22 21 22pq rs

22 11 22 12 22 21 22 22

+C C C C = + + + + +C C C C C C C CC

+C C C C

(4.18)

eN

(e)st uv st uv

e=1

= C C (4.19)

e (e)N

ust ust

e=1

= ( )uB B (4.20)

25

U dvodimenzijskom sluaju vršimo sniavanje reda sistema na sledei nain:

Kontinualne vrednosti globalnih napona st 157, kao i u prethodnoj metodi, dobiemo rešavanjem sistema jednaina koji ima svoju matrinu reprezentaciju:

Globalna matrica sistema C ima iste osobine kao i matrica V koja se javlja u prethodnoj FEGSS metodi. 5. PROGRAMSKA IMPLEMENTACIJA METODA FEGSS I FEDSS Poznato je da je naponska slika, vrlo esto, jedan od najvanijih parametara pri oceni ponašanja i dizajniranju uoenog objekta. Prilikom analize metodom konanih elemenata velika panja se poklanja tanoj i jednoznanoj interpretaciji napona u modelu. Metode koje na neki nain poveavaju tanost napona izraunatim konvencionalnim MKE metodama su veoma traene i pred programe koji su po njima napisani postavljaju se veliki zahtevi. Ti zahtevi su sledei: - povezivanje na postojee programske pakete za klasinu analizu metodom konanih elemenata, - bre izvršavanje, - poboljšana tanost naponske slike modela. 5.1. OPIS PROGRAMA NAPISANIM PREMA FEDSS I FEGSS METODI Prema FEGSS i FEDSS metodi napisana su dva nezavisna programa. Za programski jezik u kome su napisani izabran je FORTRAN 5.0. kompanije MICROSOFT. Ulazni podaci programa po FEGSS metodi:

12 21 B B

{ {

_ B B

1111

1212 21

21 4Gx1} 3Gx1}22

22

BB

B + B BB

BB

quvst uv qst[[ ]] [ ] = [ ]C uB

(4.21)

26

- broj globalnih vorova, - broj elemenata, - globalne koordinate vorova, - raspored globalnih vorova po elementima, - vrednosti diskontinualnih napona po vorovima elemenata, - vrednosti dvodimenzionih matrica transformacije (preslikavanja) izmedju globalnog koordinatnog

sistema i globalnih koordinatnih sistema u globalnim vorovima, takvih matrica ima onoliko koliko ima globalnih vorova,

- izrazi za bazne funkcije po lokalnim vorovima elemenata. Ulazni podaci programa po FEDSS metodi: - broj globalnih vorova, - broj elemenata, - globalne koordinate vorova, - raspored globalnih vorova po elementima, - vrednosti pomeranja u globalnim vorovima modela, - vrednosti dvodimenzionih matrica transformacije (preslikavanja) izmedju globalnog koordinatnog

sistema i globalnih koordinatnih sistema u globalnim vorovima, takvih matrica ima onoliko koliko ima globalnih vorova,

- izrazi za bazne funkcije po lokalnim vorovima elemenata, - izrazi za bazne funkcije u izabranim integracionim takama elemenata, - vrednosti koeficijenata elastinosti u Dekartovom dvodimenzionom koordinatnom sistemu. Navedimo potprograme koje pozivaju glavni programi pomenute dve metode. FEGSS METODA: 1. Otvaranje fajlova 2. itanje podataka sa diska 3. Ocitaj vreme 4. Integrali proizvoda lokalnih baznih funkcija 5. Generisanje matrice V 6. Generisanje vektora P 7. Saopsti vreme 8. Kraj FEDSS METODA: 1. Otvaranje fajlova 2. Citanje podataka sa diska 3. Ocitaj vreme 4. Bazne funkcije u integracionim tackama 5. Kosinusi pravaca izmedju globalnog koordinatnog sistema i lokalnih koordinatnih sistema u

integracionim tackama elemenata

27

6. Vrednosti kontravarijantnog metrickog tenzora u integracionim tackama elemenata 7. Generisanje matrice C 8. Generisanje vektora B 9. Saopšti vreme 10. Kraj Programi prema datoj šemi raunaju elemente matrice V ili C i elemente vektor-kolone P ili B, koristei definicione formule. Izraunati elementi matrice smeštaju se spars metodom u otvorenu datoteku sa sekvencijalnim pristupom. Kada se taj proces završi dobijaju se koeficijenti leve i desne strane sistema od 3G linearnih jednaina po 3G nepoznatih veliina komponenata kontinualnih napona u koordinatnim sistemima po globalnim vorovima koje je korisnik sam izabrao. Preostaje nam samo da taj sistem linearnih jednaina rešimo nekom odgovarajuom metodom, na primer Gausovom metodom eliminacije. Rešavanje dobijenih sistema jednaina u primerima koji e biti obradjeni, vršeno je programskim paketom TRIANG koji predstavlja skup modifikovanih potprograma iz programa STATA [13]. KOMENTAR O TOME ŠTA JE SPARS (SPARSE) METODA Kada je matrica koju posmatramo takva da je kvadratna, simetrina, trakasta i retka, nije optimalno zapisivati je u datoteku u njenom punom obliku. Jedan od naina, ili tanije reeno konvencija kako se takva matrica moe zapisati je i pomenuta spars metoda. U spars metodi matrica sa gore navedenim osobinama pamti se po vrstama. U uoenoj vrsti itaju se elementi od i sa dijagonalnim lanom po rastuem redu od prvog do poslednjeg i vrše se sledee operacije: pamti se poloaj i vrednost svakog lana razliitog od nule i broji se koliko takvih lanova ima. Tako da se za svaku vrstu formiraju tri reda. U prvi red se zapisuje broj svih lanova razliitih od nule u toj uoenoj vrsti. U drugom redu formira se niz vredosti sa pozicijama tih lanova. U treem redu formira se niz sa vrednostima tih lanova. Na primer, uoimo u nekoj kvadratnoj matrici reda 12x12 petu vrstu sa sledeim lanovima:

U spars metodi ta vrsta e imati sledeu interpretaciju: 3 5 8 12 3.02 6.1 1.3 Na ovaj nain se i veoma velike kvadratne matrice, reda više hiljada zapisuju na nain koji štedi memoriju i vreme pristupa svakom od elemenata matrice. Na primer za Test primer 1, koji e biti prikazan u sledeem paragrafu, model sainjen od 18 elemenata imae 28 globalnih vorova i ako je u pitanju FEGSS metoda formirae se matrica 84x84 koja bi zapisana u punom obliku imala 7056 elemenata. Pošto posmatramo simetrinu, kvadratnu matricu analizirao bi se samo gornji trougao matrice sa 3570 elemenata. Primenom spars metode bie zapisani samo elementi ija je vrednost razliita od nule a njih ima 759. U sluaju FEDSS metode tih lanova bie 805.

[ 2 0 0 0 3.02 0 0 6.1 0 0 0 1.3 ]

28

5.2. UPOREDJIVANJE FEGSS I FEDSS METODA Ove dve metode uporedjivane su na dva test primera za koja su poznata teorijska rešenja. Ono što nas je interesovalo to su brzine izvršavanja, tanost dobijenih napona u odnosu na poznato teorijsko rešenje za napone i brzina konvergencije rešenja tanom rešenju. 1) Duina izvršavanja: Pokazalo se da je prema duini izvršavanja analiza FEGSS metodom nešto bra od analize FEDSS metodom. To je najpre iz razloga što analiza FEDSS metodom podrazumeva i izraunavanje kontravarijantnih metrikih tenzora za svaki element. 2) Tanost rešenja: Obe metode i za veoma grubu mreu ne odstupaju od tanog rešenja za više od 14%. Takodje se pokazalo da je FEDSS metoda nešto tanija od FEGSS metode za svaku geometrijsku diskretizaciju testiranih modela. 3) Brzina konvergencije rešenja: Pokazalo se da se FEGSS metodom postie bra konvergencija teorijskom rešenju nego FEDSS metodom. 5.4. ZAKLJUAK O METODAMA FEGSS I FEDSS - Dobijene definicione formule obe metode pomou kojih se izraunava kontinualna naponska slika su invarijantane pri promeni koordinatnih sistema, pa kao takve ostavljaju punu slobodu korisnicima u smislu izbora koordinatnih sistema u odnosu na koji ele da posmatraju izlazne nepone po globalnim vorovima. - Startujui samo jednu programsku rutinu jednovremeno se dobijaju sve komponente napona u svim globalnim vorovima modela. - Programi po obe metode napisani su tako da je mogue njihovo lako povezivanje, kao novih modula na postojee programske pakete za analizu metodom konanih elemenata. - Obe metode izraunavaju kontinualnu naponsku sliku modela, tako da je korisnik u procesu analize izlaznih rezultata napona odvojen od ambivalentne interpretacije napona u metodi pomeranja. - Sve ovo je uradjeno sa poveanom tanošu rezultujuih napona u odnosu na uobiajene postupke lokalnog usrednjavanja, koji se naješe koriste u komercijalnim programskim paketima.

29

6. TEST PRIMERI ZA METODE FEGSS I FEDSS Za test primere posmatrani su objekti pod takvim optereenjem pod kojim se javlja ravno stanje napona i iji se modeli mogu geometrijski diskretizovati ravnim etvorovornim elementima. Izabrani su takvi primeri objekata pod optereenjem za koja su poznata teorijska rešenja za napone i za koje smo izraunali napone i pomeranja programima za statiku analizu konanim elementima - ALGOR i STATA. Pri analizi tim programima vodilo se rauna da optereenja modela što realnije simuliraju stvarna optereenja. 6.1. TEST PRIMER 1. Prvi ispitivani primer dat je na Slici 4. To je model kvadratne ploe dimenzija 2x2 sa krunim otvorom poluprenika 0.5 u sredini ploe. Materijalne karakteristike date ploe su: - modul elastinosti E = 1,

30

- koeficijent bone kontrakcije v = 0.3. Ploa je optereena kontinualnim optereenjima po sve etiri ivice, tako da je na dve naspramne ivice dato opereenje pritiskanjem, a na ostale dve naspramne strane optereenje zatezanjem. Pošto dati objekat ima dve ose simetrije i optereen je na takav nain da je dovoljno je ispitati jednu njegovu etvrtinu, izvršiemo ispitivanje sledeeg uprošenog objekta predstavljenog Slikom 5, koji ima iste materijalne karakteristike kao i polazni objekat:

Slika 4.

31

Pošto imamo sve potrebne podatke o geometriji, materijalnim karakteristikama, spoljašnjim silama i graninim uslovima polaznog objekta, moemo prei na pravljenje njegovog matematikog modela. MODEL OPTEREENOG OBJEKTA DATOG TEST PRIMEROM 1. Za ovaj test primer napone i pomeranja izraunaemo pomou programa za analizu konanim elementima ALGOR. Preprocesiranje, odnosno kreiranje modela u programu ALGOR, vrši se modulom SuperDraw II. Taj modul predstavlja kompletan skup CAD komandi [14] za modeliranje, ukljuujui i komande za automatsko generisanje mree na zadatoj oblasti. Tim modulom zadaemo geometriju modela, granine ulove i spoljašnje sile. Po izvršenom kreiranju modela poziva se dekoder SD22SS koji treba da napravi fajl sa matematikim modelom unesenog grafikog modela. Jedno od pitanja koje se postavlja korisniku u tom modulu je i koji tip elementa korisnik eli da izabere. Opcije su sledee: 3-D Membrane (Type 3) 2-D Elasticity (Type 4) 3-D 8-Node Brick (Type 5) 3-D Plate/Shell (Type 6) 3-D 8 Node Thermal (Type 39) 2-D Thermal (Type 40) Izabran je 3-D Membrane element, a ne 3-D Plate/Shell element iz razloga koji su objašnjeni u Dodatku A.

Slika 5.

32

Ako smo napravili

dvoelementni model polaznog Test primera koji je prikazan na Slici 6, fajl kreiran od strane dekodera SD22SS sadrae sledee podatke: FILE PREPARED BY DECODER (Type 3)

6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 386.1

1 0 1 1 1 1 1 .5000000E+00 .0000000E+00 .0000000E+00 0 .0000E+00 0 0

2 0 1 1 1 1 1 .1000000E+01 .0000000E+00 .0000000E+00 0 .0000E+00

3 0 0 0 1 1 1 .3535534E+00 .3535534E+00 .0000000E+00 0 .0000E+00

4 1 0 1 1 1 1 .0000000E+00 .5000000E+00 .0000000E+00 0 .0000E+00

5 1 0 1 1 1 1 .0000000E+00 .1000000E+01 .0000000E+00 0 .0000E+00

6 0 0 0 1 1 1 .1000000E+01 .1000000E+01 .0000000E+00 0 .0000E+00

3 2 1 1 0 0

1 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

0.000E+00 1.000E+00 1.000E+00 1.000E+00 3.000E-01 3.000E-01 3.000E-01 3.846E-01

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 1 2 6 3 1 .000E+00 .000E+00 20 0 .100E+01 0

2 5 4 3 6 1 .000E+00 .000E+00 20 0 .100E+01 0

2 1 .500E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 0

5 1 .000E+00 -.500E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 0

6 1 .000E+00 -.500E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 0

6 1 .500E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 0

0 0 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 .000E+00 0

1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 Prikazani fajl je ulazni fajl za statiku analizu Test primera modulom SSAP0.

Slika 6.

33

Po završenoj statikoj analizi, izlazni fajl za navedeni model sa dva elementa, polaznog Test primera 1 ima sledei izgled: 1**** Algor (c) Linear Stress Analysis - Released 7/17/89, Version 9.000

DATE: January 22, 1995

TIME: 21:19:55

INPUT FILE.............i1x1e

-------------------------------------------------

FILE PREPARED BY DECODER (Type 3)

1**** CONTROL INFORMATION

number of node points (NUMNP) = 6

number of element types (NELTYP) = 1

number of load cases (LL) = 1

number of frequencies (NF) = 0

geometric stiffness flag (GEOSTF) = 0

analysis type code (NDYN) = 0

solution mode (MODEX) = 0

equations per block (KEQB) = 0

weight and c.g. flag (IWTCG) = 0

bandwidth minimization flag (MINBND) = 0

gravitational constant (GRAV) = 3.8610E+02

bandwidth minimization specified

1**** NODAL DATA

NODE BOUNDARY CONDITION CODES NODAL POINT COORDINATES

NO. DX DY DZ RX RY RZ X Y Z T

---------------------------------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 0 1 1 1 1 1 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 0 1 1 1 1 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 0 0 0 1 1 1 3.536E-01 3.536E-01 0.000E+00 0.000E+00

4 1 0 1 1 1 1 0.000E+00 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00

5 1 0 1 1 1 1 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

6 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

**** PRINT OF EQUATION NUMBERS SUPPRESSED

1**** THREE-DIMENSIONAL MEMBRANE ELEMENTS

plane stress analysis

number of elements = 2

number of materials = 1

34

maximum temperatures per material = 1

analysis code = 2

axisymmetric.....0

plane strain.....1

plane stress.....2

incompatible displacement modes = 0

include..........0

suppress.........1

1**** MATERIAL PROPERTIES

material i.d. number = 1

number of temperatures = 1

weight density = 1.0000E+00

mass density = 2.5900E-03

beta angle = 0.0000E+00

TEMPERATURE E(N)/ E(S)/ E(T)/ NU(NS) NU(NT) NU(ST) G(NS)

ALPHA(N) ALPHA(S) ALPHA(T)

----------- ---------- ---------- ---------- ------ ------ ------ ----------

Warning: Shear modulus G is re-calculated by program since input G < 0.0

.0 1.000E+00 1.000E+00 1.000E+00 .300 .300 .300 3.846E-01

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1**** ELEMENT LOAD MULTIPLIERS

CASE A CASE B CASE C CASE D

---------- ---------- ---------- ----------

TEMP 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

PRES 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

X-DIR 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Y-DIR 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Z-DIR 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1**** ELEMENT CONNECTIVITY DATA

ELEM NODE NODE NODE NODE MAT`L REFERENCE I-J FACE OP THICKNESS

NO. I J K L INDEX TEMP PRESSURE

----- ----- ----- ----- ----- ----- ---------- ---------- -- ----------

1 1 2 6 3 1 0.000E+00 0.000E+00 20 1.000E+00

2 5 4 3 6 1 0.000E+00 0.000E+00 20 1.000E+00

1**** BANDWIDTH MINIMIZATION

minbnd (bandwidth control parameter) = 1

bandwidth before resequencing = 10

bandwidth after resequencing = 8

35

**** EQUATION PARAMETERS

total number of equations = 10

bandwidth = 8

number of equations in a block = 10

number of blocks = 1

blocking memory (kilobytes) = 198

available memory (kilobytes) = 198

1**** NODAL LOADS (STATIC) OR MASSES (DYNAMIC)

NODE LOAD X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS

NUMBER CASE FORCE FORCE FORCE MOMENT MOMENT MOMENT

2 1 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

5 1 0.000E+00 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

6 1 0.000E+00 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

6 1 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1**** ELEMENT LOAD MULTIPLIERS

load case case A case B case C case D

--------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1**** STIFFNESS MATRIX PARAMETERS

minimum non-zero diagonal element = 3.9147E-01

maximum diagonal element = 1.1518E+00

maximum/minimum = 2.9423E+00

average diagonal element = 6.6083E-01

density of the matrix = 4.2500E+01

1**** STATIC ANALYSIS

LOAD CASE = 1

Displacements/Rotations(degrees) of unrestrained nodes

NODE X- Y- Z- X- Y- Z-

number translation translation translation rotation rotation rotation

1 3.5942E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 4.5187E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 2.3070E+00 -2.3070E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

36

4 0.0000E+00 -3.5942E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

5 0.0000E+00 -4.5187E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

6 5.2900E-01 -5.2900E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1**** THREE-DIMENSIONAL MEMBRANE ELEMENT STRESSES

face 0: centroid

face 1: L-I side

face 2: J-K side

face 3: I-J side

face 4: K-L side

ELEM CASE F ------------ STRESS COMPONENTS ------------ PRINCIPAL STRESSES

NO.(MODE)A (IN-PLANE)

C

E SIGMA-11 SIGMA-22 SIGMA-33 TAU-12 SIGMA-MAX SIGMA-MIN

----- ---- - ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1 0 9.068E-01 -1.545E+00 0.000E+00 -4.520E-01 9.875E-01 -1.625E+00

1 1 1 -4.482E-02 -4.296E+00 0.000E+00 -1.768E+00 5.942E-01 -4.935E+00

1 1 2 1.256E-01 -4.913E-01 0.000E+00 -4.463E-01 3.597E-01 -7.254E-01

1 1 3 -1.665E+00 1.349E+00 0.000E+00 1.157E+00 1.742E+00 -2.059E+00

1 1 4 1.462E-02 4.388E-03 0.000E+00 1.270E+00 1.280E+00 -1.261E+00

2 1 0 -9.068E-01 1.545E+00 0.000E+00 -4.520E-01 1.625E+00 -9.875E-01

2 1 1 -1.256E-01 4.913E-01 0.000E+00 -4.463E-01 7.254E-01 -3.597E-01

2 1 2 4.482E-02 4.296E+00 0.000E+00 -1.768E+00 4.935E+00 -5.942E-01

2 1 3 1.665E+00 -1.349E+00 0.000E+00 1.157E+00 2.059E+00 -1.742E+00

2 1 4 -1.462E-02 -4.388E-03 0.000E+00 1.270E+00 1.261E+00 -1.280E+00

1**** TEMPORARY FILE STORAGE (MEGABYTES)

----------------------------------

UNIT NO. 7 : .022

UNIT NO. 8 : .035

UNIT NO. 9 : .022

UNIT NO. 10 : .000

UNIT NO. 11 : .005

UNIT NO. 12 : .000

UNIT NO. 13 : .027

UNIT NO. 14 : .001

UNIT NO. 15 : .000

UNIT NO. 17 : .000

TOTAL : .112

1**** End of file

37

Na taj nain došli smo do vrednosti kontinualnih pomeranja u globalnim vorovima datog modela. Pošto nama trebaju vrednosti napona, a to nam prethodna datoteka nije dala, startovaemo rutinu MaKeNodalStressOutput i dobiemo vrednosti napona u lokalnim vorovima u lokalnom koordinatnom sistemu: 1**** Algor (c) FEA Stress Processor - MKNSO 10/6/89, Ver 1.005

DATE: January 22, 1995

TIME: 21:20:11

INPUT FILE.............i1x1e

-------------------------------------------------

**** 3-D Membrane elements:

Number of elements = 2

Number of materials = 1

Maximum temperature pts = 1

Analysis code = 2

0 : axisymmetric

1 : plane strain

2 : plane stress

Incompatible modes = 0

0 : included

1 : not included

**** Nodal stresses for 3-D membrane elements:

El. # LC ND Sigma-11 Sigma-22 Sigma-33 Tau-12 Sigma-Max Sigma-Min

Sigma-Int

----- --- -- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1 I -8.702E-01 -2.378E+00 0.000E+00 -3.023E+00 1.492E+00 -4.740E+00

0.000E+00

1 1 J -5.508E-01 1.074E+00 0.000E+00 -5.874E-01 1.264E+00 -7.410E-01

0.000E+00

1 1 K 1.899E-01 2.580E-01 0.000E+00 -3.912E-01 6.166E-01 -1.687E-01

0.000E+00

1 1 L 7.559E-01 -2.445E+00 0.000E+00 -1.527E+00 1.368E+00 -3.057E+00

0.000E+00

2 1 I 5.508E-01 -1.074E+00 0.000E+00 -5.874E-01 7.410E-01 -1.264E+00

0.000E+00

2 1 J 8.702E-01 2.378E+00 0.000E+00 -3.023E+00 4.740E+00 -1.492E+00

0.000E+00

2 1 K -7.559E-01 2.445E+00 0.000E+00 -1.527E+00 3.057E+00 -1.368E+00

0.000E+00

2 1 L -1.899E-01 -2.580E-01 0.000E+00 -3.912E-01 1.687E-01 -6.166E-01

0.000E+00

38

1**** End of file

Time je zaokruzena preprocesorska i procesorska statika analiza programskim paketom ALGOR. Njome smo dobili jednoznane vrednosti pomeranja po globalnim vorovima uoenog modela i vrednosti (lokalnih diskontinualnih) napona po lokalnim vorovima elemenata. TIPOVI MREE UPOTREBLJENI PRI ANALIZI TEST PRIMERA 1. Teorija metode konanih elemenata kae da tanost metode treba da raste sa porastom gustine mree konanih elemenata kojom je izvršena diskretizacija posmatranog optereenog tela [11]. Test primer 1 ispitan je kroz dvanaest tipova gustine mree, od kojih je prvih šest prikazano na Slici 7.

U Tabeli 1. dati su podaci o broju globalnih cvorova i broju elemenata tih primera.

TEST PRIMER 1. - kvadratna ploa sa krunim otvorom

NAZIV MREE

BROJ ELEMENATA

BROJ GLOBALNIH VOROVA

1x1 2 6

2x2 8 15

3x3 18 28

4x4 32 45

5x5 50 66

6x6 72 91

7x7 98 120

8x8 128 153

9x9 162 190

Slika 7.

39

TEST PRIMER 1. - kvadratna ploa sa krunim otvorom

10x10 200 231

11x11 242 276

12x12 288 325

PRIMENA METODA FEDSS I FEGSS NA TEST PRIMER 1 - REZULTATI Svih dvanaest modela Test primera 1. propušteni su prvo kroz ALGOR u cilju dobijanja diskontinualnih napona po elementima koji su ulazni podaci za FEGSS metodu i pomeranja koja su ulazni podaci za FEDSS metodu. Obe metode kao izlazne rezultate dale su kontinualne nepone po globalnim vorovima modela, tako da ih moemo uporediti po tri osnova: - brzina izvršavanja, - brzina konvergencije rešenja,

40

- tanost rešenja. Rekli smo da ono što ove dve me Let us examine the stress state in point A. The prediction of stress for point A is of particular interest due to the stress concentration in that node and the fact that node A belong to only one element. Analytical solution for hoop stress σ22 at node A is 10.39. Discontinuous stresses are obtained by Finite element package ALGOR. Figure 2. represents the way in which mesh generation is performed, and gives stress contour plot for σ22:

Figure 3. represents a stress convergence at node A, as number of elements grows. Comparison is made between discontinuous and continuous stress results, for same coordinate system.

Slika 8. - model 6x6

Slika 9.

41

Better convergence of stress results which is obtained with technique proposed herein is expected. It is due to the fact that in order to get continuous stress in any global node it is considered global discontinuous stress distribution throughout the model. DODATAK D.1VANOST PRAVILNOG IZBORA TIPA ELEMENATA U ALGORU Ovde su data tri primera kratke konzole optereene tako da dato optereenje inicira u telu ravno stanje napona. Naponska analiza u sva tri primera izvršena je programskim paketom ALGOR. Iz dobijenih rezultata jasno se vidi da u sluaju geometrijske diskretizacije modela tipom elementa 3-D PLATE-SHELL elements, ALGOR ne daje realna rešenja pomeranja u globalnim vorovima. Pri izboru tipa elementa 3-D Membrane elements dobijaju se oekivane vrednosti pomeranja i napona. Iz analize dobijenih rezultata moe da se zakljui da u sluaju geometrijske diskretizacije tipom elementa 3-D plate/shell elements ALGOR za koeficijente smicanja uzima dva puta manje vrednosti da bi zamaskirao efekat lokinga (locking) [16]. Ovaj komentar je dat s obzirom da ulazni podaci u bilo koji postprocesor za glaanje napona, moraju biti korektni.

42

CISTO SMICANJE:

NODE BOUNDARY CONDITION CODES

NODAL POINT COORDINATES


---------------------------------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1 1 1 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 1 0 1 1 1 1 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

ELEMENT CONNECTIVITY DATA:

ELEM I J K L

---- --- --- --- ---

1 3 1 2 4

NODAL LOADS - STATIC:



2 1 0.000E+00 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 1 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 1 0.000E+00 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 1 0.000E+00 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 1 5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00




DISPLATEMENTS OF NODES IN THREE-DIMENSIONAL MEMBRANE ELEMENTS (plane stress analysis):

1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 0.0000E+00 2.6001E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 0.0000E+00 2.6001E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

Slika 10.

43

DISPLACEMENTS OF NODES IN THIN PLATE/SHELL ELEMENT:

1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 0.0000E+00 5.2002E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 0.0000E+00 5.2002E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

LOCAL NODE STRESSES FOR 3-D MEMBRANE ELEMENTS:

El. # LN Sigma-11 Sigma-22 Sigma-33 Tau-12

----- -- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I 1.085E-16 4.614E-19 0.000E+00 -1.000E+00 1.000E+00 -1.000E+00

1 J 8.688E-17 -7.170E-17 0.000E+00 -1.000E+00 1.000E+00 -1.000E+00

1 K -4.890E-18 -2.488E-17 0.000E+00 -1.000E+00 1.000E+00 -1.000E+00

1 L -1.069E-17 -4.422E-17 0.000E+00 -1.000E+00 1.000E+00 -1.000E+00

LOCAL NODE STRESSES FOR THIN PLATE/SHELL ELEMENTS:

ELEM NODE MEMBRANE STRESS COMPONENTS ----- BENDING STRESS COMPONENTS

NO. NO. SM11 SM22 SM12 SB11 SB22 SB12

----- -- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I -1.957E-14 1.289E-14 -1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 J -1.091E-14 -8.562E-15 -1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 K 3.292E-15 -1.244E-14 -1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 L 1.542E-14 1.060E-14 -1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

SAVIJANJE SILOM: NODE BOUNDARY CONDITION CODES

NODAL POINT COORDINATES


---------------------------------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1 1 1 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 1 0 1 1 1 1 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Slika 11.

44


ELEM I J K L

---- --- --- --- ---

1 3 1 2 4




2 1 0.000E+00 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 1 0.000E+00 -5.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00





1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 -2.8500E+00 -7.1001E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 -2.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 3.1500E+00 -6.1001E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 -2.6322E+00 -9.3735E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 -1.8911E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 2.9322E+00 -8.4824E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00



----- -- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I -2.000E+00 3.000E+00 0.000E+00 1.000E+00

1 J -2.000E+00 -3.000E+00 0.000E+00 1.000E+00

1 K 1.000E+00 -3.000E+00 0.000E+00 1.000E+00

1 L 1.000E+00 3.000E+00 0.000E+00 1.000E+00




----- -- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I -2.159E+00 2.841E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 J -1.523E+00 -2.523E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 K 1.159E+00 -2.841E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 L 5.228E-01 2.523E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

45

SAVIJANJE SPREGOM:

NODE BOUNDARY CONDITION CODES NODAL POINT COORDINATES


---------------------------------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 1 1 1 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 0 1 1 1 1 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 1 0 1 1 1 1 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 0 0 0 1 1 1 1.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


ELEM I J K L

---- --- --- --- ---

1 3 1 2 4




2 1 -1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 1 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00





Slika 12.

46

1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 -3.9070E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 2.0930E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 3.9070E+00 -2.0930E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 -4.1263E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 1.4382E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 4.1263E+00 -1.4382E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00



----- -- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I 2.093E+00 3.907E+00 0.000E+00 -6.977E-01

1 J 2.093E+00 -3.907E+00 0.000E+00 -6.977E-01

1 K -2.093E+00 -3.907E+00 0.000E+00 -6.977E-01

1 L -2.093E+00 3.907E+00 0.000E+00 -6.977E-01




------ -- -- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------

1 I 9.145E-01 3.813E+00 -5.169E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 J 1.858E+00 -4.142E+00 -5.169E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 K -9.145E-01 -3.813E+00 -5.169E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

1 L -1.858E+00 4.142E+00 -5.169E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

D.2USREDNJAVANJE NAPONA METODOM KONJUGOVANIH APROKSIMACIJA -

PRIMER - Posmatra se nehomogena greda za koju je raspodela napona data formulom:

gde je sa u(x) dato polju pomeranja, a za moduo k(x) vai:

gde je 0k 162 materijalna konstanta. Pretpostaviemo da je dato kvadratno polje pomeranja u obliku:

du(x)(x) = k(x) dx

D.2.1

0k(x) = (1+ x)k D.2.2

2x

u(x) = { 1- }( )3

D.2.3

47

Zbog jednostavnosti izvršiemo geometrijsku diskretizaciju posmatranog tela na dva konana gredna elementa jedinine duine. Neka su lokalne bazne funkcije koje odgovaraju svakom od data dva elementa e date izrazima:

gde je 165 lokalna koordinata elementa. STANDARDNA METODA IZRAUNAVANJA NAPONA broj globalnih vorova je 3: = 1,2,3 166 broj lokalnih vorova po elementu je 2: N=1,2 broj elemenata je 2: E=1,2

Primenivši izraz D.2.3 za vrednosti pomeranja u globalnim vorovima dobijamo:

Za vrednosti lokalnih funkcija u lokalnim ovrovima svakog od postojea dva elementa dobija se:

Tako da je globalna raspodela pomeranja u modelu data izrazom:

Lokalne vredosti napona po elementima dobijamo diferenciranjem po x izraza D.2.6, pa se dobija: element 1:

element 2:

Dobijeno naponsko stanje modela, izraunato standardnim pristupom, diskontinualno je i nacrtano je na slici 13.

(e)1

(e)2

= 1 -

=

D.2.4

(e)

(e) (e) (e)NN NN

e e

U(x) = ( ) = ( ) = ( )u Uu

D.2.5

1 2 38 5 = , = , = U U U9 9

(1) (1)1 2

(2) (2)1 2

( ) = 1- x, ( ) = x

( ) = 2 - x, ( ) = x - 1

(1) (2) (2)2 1 2[ (x) + (x) ] + 5 (x) }

(1)1U (x) = { 9 (x) + 8 9

D.2.6

0 0(1) (1)1 2 2 k k = - , = - 9 9

0 0(2) (2)1 26 9 k k = - , = -

9 9

48

METODA KONJUGOVANE APROKSIMACIJE Koristimo dva obrasca:

Prvo traimo izraze za lokalne konjugovane funkcije N(e)(x) 175 pomou formule:

pa dobijamo:

lanovi globalne fundamentalne matrice C 181 dobijaju se iz:

gde je:

lanovi lokalne fundamentalne matrice NMc 184 dobijaju se iz:

Tako da je:

lanovi globalne fundamentalne matrice C 187 dobija se iz lokalne fundamentalne matrice NMc 188 preko izraza:

(e)(e) (e)N N = < , (x) > D.2.7

2

N(e)N (e)

e=1

(x) = (x) D.2.8

(e) (f) 2

N (f)N M(e) M

f =1

= (x)C D.2.9

1 (1) (1) (2) (2)11 12 13(1) 1 2 1 2(x) = (x) + ( (x) + (x)) + C C C

2 (1) (1) (2) (2)21 22 23(1) 1 2 1 2(x) = (x) + ( (x) + (x)) + C C C

1 2(2) (1)(x) = (x)

2 (1) (1) (2) (2)31 32 33(2) 1 2 1 2(x) = (x) + ( (x) + (x)) + C C C

= < , >C D.2.10

(e) E

(e)NN

e=1

(x) = (x)

(e)NM N M = < , >c D.2.11

(e) (e) (e) (e)11 22 12 212 1

= = , = = c c c c6 6

49

Pa globalna fundamentalna matrica C 190 ima sledee lanove:

A njena inverzna:

Izraz D.2.9 daje nam vrednosti lokalnih konjugovanih funkcija, koje prema teoriji imaju vrednosti za ceo domen modela:

Sada moemo da izraunamo konjugovane napone (e)N 196 u lokalnim vorovima elementa prema obrascu D.2.1:

Kontinualna naponska slika u modelu dobija se pomou izraunatih vrednosti i obrasca D.2.2:

(e) (e) E

(e)N MNM

e=1

= C c D.2.12

2 1 0

1{ } = 1 4 1 C

2160 1 2

7 -2 1

1{ } = -2 4 -2 C

21 -2 7

1 1 1(1) (1) (1)7 1

(0m) = , (1m) = -1, (2m) = 2 2

2 1 2 1 2 1(1) (2) (1) (2) (1) (2)(0m) = (0m) = -1, (1m) = (1m) = 2, (2m) = (2m) = -1

2 2 2(2) (2) (2)1 7

(0m) = , (1m) = -1, (2m) = 2 2

0(1)1 2k = - 9 3

0(1)2 5k = - 9 6

0(2)1 7k = - 9 2

0(2)2 k = - 49

(0m) = 0

50

1.M. Berkovi and Z. Draškovi, 'On the essential mechanikal boundary conditions in two-field

finite element approximations'. Comput. Meth. in Appl. Mech. Engrg. 91, 1339-1355 (1991).

2.D. F. Rusell and A. J. Williams, 'The design and development of a brake disk for high-speed trains'. J.Rail and Rapid Transit 204 No F2, 133-141 (1990).

3.O. C. Zienkiewicz and J. Z. Zhu, A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis'. Int. J. Num. Meths. Eng. 24, 337-357 (1987).

4.E. Hinton and J. S. Campbell, 'Local and global smoothing of discontinuous finite element functions using a least squares method'. Int. J. Num. Meths. Eng. 8, 461-480 (1974).

5.J. T. Oden, 'Finite elements of nonlinear continua'. McGraw-Hill, New York,

Dubravka Mijuca rad.pdf4) Postprocesiranje: - Izra unavanje svih korisniku interesantnih veli ina,...

Documents

Transcript of Dubravka Mijuca rad.pdf4) Postprocesiranje: - Izra unavanje svih korisniku interesantnih veli ina,...