DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Definisi Persamaan Differensial Persamaan Diferensial...
Transcript of DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Definisi Persamaan Differensial Persamaan Diferensial...
DTH1B3 - MATEMATIKA
TELEKOMUNIKASI I
Persamaan Differensial
By : Dwi Andi Nurmantris
Capaian Pembelajaran
Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Diferensial
Materi Pembelajaran
1. Definisi Persamaan Diferensial 2. Bentuk Penulisan persamaan diferensial 3. Solusi Persamaan Diferensial
Definisi Persamaan Differensial
Persamaan Diferensial adalah suatu pesamaan yang memuat derivatif atau diferensial
0,...),,,(2
2
dx
yd
dx
dyyxF
Definisi Persamaan Differensial
Contoh:
1. 2dy
xdx
2
22. 5 6 0
d y dy
dxdx
3. ' 6xy y
24. ''' 2( '') ' cosy y y x
5. '' ' siny y x
6. ' 2'
yyy x
y
7.z z
z xx y
2 22
2 28.
z zx y
x y
Definisi Persamaan Differensial
Persamaan Diferensial Biasa
Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel tak bebas
32 xdx
dy
032
2
aydx
dy
dx
yd
36
4
3
3
y
dx
dy
dx
yd
Contoh :
y adalah variabel tak bebas and x adalah variabel bebas,
1.
2.
3.
Definisi Persamaan Differensial
Persamaan Diferensial Parsial
Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat lebih dari satu variabel bebas dan satu variabel tak bebas
Contoh :
04
4
4
4
t
u
x
u
t
u
t
u
x
u
2
2
2
2
u adalah variabel tak bebas dan x and t adalah variabel
bebas
1.
2.
Definisi Persamaan Differensial
Tingkat (Order)
Contoh :
Tingkat (order) dari PD ditentukan oleh tingkat derivatif tertinggi dalam PD tersebut
Differential Equation ORDER
32 xdx
dy
0932
2
ydx
dy
dx
yd
36
4
3
3
y
dx
dy
dx
yd
1
2
3
Definisi Persamaan Differensial
Pangkat (derajad)
Contoh :
Pangkat (derajad, degree) dari PD adalah pangkat dari derivatif tingkat tertinggi setelah PD tersebut ditulis dalam bentuk polynomial dalam derivatif
032
2
aydx
dy
dx
yd
36
4
3
3
y
dx
dy
dx
yd
03
53
2
2
dx
dy
dx
yd
1
1
3
Differential Equation Degree
Definisi Persamaan Differensial
Persamaan Diferensial Linear
Contoh :
A differential equation is linear, if :
1. dependent variable and its derivatives are of degree one,
2. coefficients of a term does not depend upon dependent variable.
Differential Equation Linear/Non-Linear
.0932
2
ydx
dy
dx
ydlinear.
36
4
3
3
y
dx
dy
dx
yd non - linear (because in 2nd term is not of degree one)
3
2
22 x
dx
dyy
dx
ydx
non - linear because in 2nd term coefficient depends on y.
Latihan Soal
Bentuk Penulisan Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial Biasa Orde 1
0),,( dx
dyyxf
yxfdx
dy,
xgyxadx
dyxa 01
xgyxayxa 01 '
0,, dyyxNdxyxM
Bentuk Umum
Bentuk Turunan/ Derivative
Bentuk Diferensial
Bentuk Penulisan Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial Biasa Orde 2
0),,,(2
2
dx
yd
dx
dyyxf
dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa 012
2
2
xgyxayxayxa 012 '"
Bentuk Umum
Bentuk Turunan/ Derivative
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
PD dikatakan PD variabel terpisah jika
bisa dibentuk dalam :
0,, dyyxNdxyxM
01221 dyygxfdxygxf
02
1
2
1 dyyg
ygdx
xf
xfSolusinya :
Dengan Cara Diintegralkan
dikedua ruas
0
2
1
2
1 dyyg
ygdx
xf
xf
cdyyg
ygdx
xf
xf
2
1
2
1
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
Solusinya :
Contoh :
342 xdx
dyx
23
4242
xxx
x
dx
dy
dxxx
dy
24
2
dxx
xdy 24
2
cxxy 3
3
4ln2
Selesaikan persamaan :
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
Solusinya :
Contoh :
325 xdx
dy
5
3
5
2
5
32
x
x
dx
dy
Selesaikan persamaan
dengan batasan y = 7/5 ketika x = 2
dxxdy
5
3
5
2
dxxdy
5
3
5
2
cxxcxxy
5
3
5
1
5
3
25
2 22
Dengan memasukkan nilai batas:
Diperoleh C=1 c )2(5
3)2(
5
1
5
7 2
15
3
5
1 2 xxySehingga :
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
Solusinya :
Contoh :
14 2 ydx
dyxy
11
42
dx
dy
y
xy
Selesaikan persamaan :
dxx
dyy
y 1
1
42
dxx
dyy
y 1
1
42
dx
xdy
y
y 1
1
42
21
2 ln1ln2 cxcy
12
2 ln1ln2 ccxy
c
x
y
22 1ln
cex
y
ln
122
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
PD dikatakan PD Homogen jika
0,, dyyxNdxyxM
),(dan ),( yxNyxMdenganMerupakan fungsi homogen yang berderajat sama.
2derajat homogen 2),(
2derajat homogen ),(
0 2 )(
22
22
xyyxN
yxyxM
dyxydxyx
:Contoh
),(),( yxfkkykxf n
fungsi homogen
n disebut derajad kehomogenan
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
1derajat homogen )3(
3),(
3),(
1
1
yxk
kykxkykxf
yxyxf
:Contoh
2derajat homogen )2(
2
)(2)(),(
2),(
2
222
22222
22
22
yxyxk
ykxykxk
kykxkykxkykxf
yxyxyxf
:Contoh
homogen fungsibukan)1375(
1375),(
1375),(
3
yxk
kykxkykxf
yxyxf
:Contoh
n
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
Solusinya :
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli
Contoh :
Selesaikan persamaan:
Solusinya :
Solusi Persamaan Diferensial Orde 1
LATIHAN SOAL
)3(
4.1
yx
y
dx
dy
Selesaikan persamaan :
dyxydxxdy 24.2
0 2 )(.3 22 dyxydxyx