DT Bölüm 4 Devre Analiz Yöntemleri Yeni (1)
-
Upload
abdullah-kurtoglu -
Category
Documents
-
view
139 -
download
0
Transcript of DT Bölüm 4 Devre Analiz Yöntemleri Yeni (1)
DEVRE ANALİZ YÖNTEMLERİ
Bölüm 4: Devre Analiz YöntemleriHazırlayan: Ertuğrul ErişReferans kitap:Electric Circuits, Nilsson, RiedelPearson, Prentence Hall,2007
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 2
DEVRE ANALİZ YÖNTEMLERİ
Terminoloji Düğüm Gerilimleri Yöntemi
Bağımlı kaynaklı Özel durumlar
Çevre Akımları Yöntemi Bağımlı kaynaklı Özel durumlar
Düğüm gerilimleri ile çevre akımları yöntemlerinin karşılaştırılması
Kaynak eşdeğerlilikleri Thevenin ve Norton eşdeğerlikleri Maksimum güç transferi Çarpımsallık toplamsallık
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 3
TERMİNOLOJİ
Düğüm(node): İki veya daha fazla devre elemanının bağlı olduğu yer
Yol (path): bir elemandan en fazla bir defa geçmemek koşuluyla, komşu devre elemanları izlenerek gidilen yol,
Çevre (loop): başlangıç ve son düğümleri aynı olan yol
Göz (mesh): İçinde bir başka çevrim içermeyen çevrim
Gözlü devre (Planar circuit)
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 4
ÖRNEK DEVRE
DüğümlerÇevrimlerÇevreler
Gözlü devre
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 5
DEVRE ÇÖZÜMÜ-1 Bir devreye ilişkin bilinenler
Devre topolojisi Elemanların tipi, ( tanım bağıntıları) , Eleman sayısı (ne) Bağımsız kaynaklar (Akım ve/veya gerilim)
Bir devreye ilişkin bilinmeyenler Her bir elemana ilişkin akım ve gerilimler (2ne)
Çözüm için gerekli denklemler Düğümlere ilişkin Kirchhoff’un Akımlar Denklemleri (KAD)
Sayısı nd
Bağımsızların sayısı nd-1, biri referans düğümü Çevrelere ilişkin Kirchhoff’un Gerilim Denklemleri (KGD)
Sayısı hemen söylenemez Bağımsızların sayısı, (gözlü devrelerdeki göz sayısı kadar) ne- (nd-1)
Tanım bağıntıları sayısı ne
Denklem/ Bilinmeyen sayısı Toplam denklem sayısı: (nd-1) + ne- (nd-1) + ne = 2ne
Bilinmeyen sayısı : 2ne
Tanım bağıntıları lineer olan elemanlardan oluşan devreler Lineer devrelerdir, bu devrelere ilişkin denklemlerde lineerdir. Tanım bağıntılarında türev olmayan, lineer
elemanlaradan oluşan devrelere ilişkin devre denklemleri lineer cebirseldir.
Tanım bağıntılarında türev olan, lineer elemanlaradan oluşan devrelere ilişkin devre denklemleri lineer diferansiyeldir.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 6
DEVRE ÇÖZÜMÜ-2
Lineer bağıntı, lineer cebirsel ve lineer diferansiyel denklem tanımları.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 7
MİNUMUM SAYIDA DENKLEM İLE DEVRE ÇÖZÜMÜNE ÖRNEK
(2ne) Bilinmeyen/denklem incelendi Acaba daha az Bilinmeyen/denklem-
Yeni değişkenler Düğüm gerilimleri yöntemi
(nd-1) denklem
Çevre akımları yöntemi ne-(nd-1) denklem
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 8
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ (Node-
Voltage Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-1 Düğüm gerilimi: herhangi bir düğüme
ilişkin düğüm gerilimi, bu düğüm ile ile seçilen referans düğümü arasındaki gerilim farkıdır. Referans düğümün düğüm gerilimi 0 dır.
Herhangi bir elemana ilişkin gerilim, o elemanın bağlı olduğu düğümlere ilişkin düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilebilir.
Düğüm gerilimleri sayısı (nd-1) dir Referans düğüm gerilimi sıfırdır.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 9
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ (Node-
Voltage Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2
1.AdımKGA
Eleman Gerilimleri
ne-nd+1
ne
2.Adım
Eleman Akımları
ne-nd+1
ne
3.Adım
Çevre Akımları
ne-nd+1
ne-nd+1
Denklem sayısı
Bilinmeyenler
Bilinmeyensayısı
Tanım Bağıntısı
Yeni değişkenler
Çevre Akımları
AX=B
Eleman Akımları
Eleman Gerilimleri
Tanım bağıntıları
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 10
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNE BİR ÖRNEK(iki adımda)
i1
i2
i3
i4i5
2 31
Vd1=10vVd2=9.09vVd3=10.91vİ1=-1.82A
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 11
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNE BİR ÖRNEK(tek adımda)
i1
i2
i3
i4i5
321
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 12
BAĞIMLI KAYNAKLI DEVRELER İÇİN DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ
Yöntem aynen uygulanır, nd-1 bilinmeyen (düğüm gerilimleri) ve nd-1 denklem (KAD), ilave olarak
Bağımlı kaynaklardan dolayı ek bilinmeyenler gelebilir Her bir bağımlı kaynak için ek denklem(supplementary) yazılır
Bağımlı gerilim kaynakları varsa, Akımları ek bilinmeyenler olarak gelir, Tanım bağıntıları, düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilerek, her biri
için düğüm gerilimleri arasında bir bağıntı bulunur (ek denklemler) Sonuç, ek bilinmeyen kadar ek denklem yazıldığı için, bilinmeyen
sayısı ve denklem sayısı aynı Bağımlı akım kaynakları varsa,
Akım denklemlerinde bilinmeyen olarak görülen bağımlı kaynak akımları yerine, tanım bağıntılarından yaralanarak düğüm gerilimleri cinsinden ifadeleri konulur
Sonuç, bilinmeyenler ve denklem sayısı aynen kalır, değişmez.
Süperdüğüm(supernode) uygulaması incelemeyeceğiz
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 13
i1
i2
i3 i4
i5
BAĞIMLI KAYNAKLI BİR DEVRENİN DÜĞÜM GERİLİMİ YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ
2 31 4
Bağımlı gerilim kaynağı yerine, bağımlı akım kaynağı olsa ne olurdu?Bağımlı kaynaklar, toprak dışında iki düğüm arasına bağlı olsa ne olurdu?
Vd1=20vVd2=16vVd3=10vİφ=1.2AVd4=9.6vİv=-2A
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 14
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNİN DOĞRUDAN UYGULAMASI MATRİSEL AX=B (Nilsson’da yok)
aij xi bi=
A X B
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 15
BİR BAŞKA ÖRNEK
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 16
ELEKTRONİKTEN BİR ÖRNEK
Bu örnekte olduğu gibi aralarında bir elemanın bulunmadığı iki düğüm arasındaki gerilime bağlı
bir bağımlı kaynak olabilir
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 17
ÇEVRE AKIMLARI (Mesh-Current Method) YÖNTEMİ İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-1
Çevre akımı: herhangi bir çevrede dolanan fiktif(sanal) akımdır.
Herhangi bir elemana ilişkin akım, o elemanın içinde bulunduğu çevrelere ilişkin çevre akımları cinsinden ifade edilebilir. Eleman akımı; eleman akımı ile aynı yönde
olan çevre akımları pozitif, ters yönde olanları negatif alınarak bulunan cebirsel toplama eşittir.
Bağımsız çevre akımları sayısı: ne -(nd-1), yani bağımsız akım denklemleri sayısı, yani planar devrelerdeki göz(mesh) sayısı kadardır.
Yöntem (Yalnızca bağımsız kaynaklar varken) ne -(nd-1) çevreye (gözlere, mesh) ilişkin bağımsız KGD
yazılır, Bu denklemlerdeki gerilimler yerine, tanım bağıntıları
kullanılarak, eleman akımlarına geçilir, bağımsız akım kaynaklarının gerilimleri bilinmeyen olarak
kalır. eleman akımları yerine çevre akımları yazılır. Bağımsız akım kaynaklarının akımı çevre akımları cinsinden
yazılır. ne -(nd-1) + bağımsız akım kaynağı sayısı kadar
denklemli ve bilinmeyenli (çevre akımları+bağımsız akım kaynaklarının gerilimleri) denklem takımı elde edilir.
Çevre akımları bulunduktan sonra Eleman akımları, çevre akımlarından yararlanarak bulunur. Eleman gerilimleri tanım bağıntılarından yararlanılarak
bulunur.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 18
ÇEVRE AKIMLARI (Mesh-Current Method) YÖNTEMİ İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 19
ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİ (Mesh-
Current Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2
1.AdımKAA
Eleman Akımları
Nd-1
ne
2.Adım
Eleman Gerilimleri
Nd-1
ne
3.Adım
Düğüm Gerilimleri
Nd-1
nd-1
Denklem sayısı
Bilinmeyenler
Bilinmeyensayısı
Tanım Bağıntısı
Yeni değişkenler
DüğümGerilimleri
AX=B
Eleman Gerilimleri
Eleman Akımları
Tanım bağıntıları
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 20
ÇEVRE YÖNTEMİNE İLİŞKİN ÖRNEK
R1=1Ω
10v
i2
is i4
Vd1 Vd2 Vd3i1
i3
R2=2Ω
R3=5Ω R4=10Ω2A
İç2İç1
İç3
İç1=0.87Aİç2=-0.94A
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 21
BAĞIMLI KAYNAKLI DEVRELER İÇİN ÇEVRE AKIMI YÖNTEMİ
Yöntem aynen uygulanır: ne-nd-1 (KGD) denklem, ne-nd-1 (Çevre akımları) bilinmeyen
Bağımlı kaynaklardan dolayı ek bilinmeyenler gelebilir Her bir bağımlı kaynak için ek denklem(supplementary) yazılır Bağımlı akım kaynakları var ise,
bunların gerilimleri bilinmeyen olarak gelir Tanım bağıntıları, çevre akımlarıcinsinden ifade edilerek, her biri için
çevre akımları rasında bir bağıntı bulunur (ek denklemler) Sonuç, ek bilinmeyen kadar ek denklem yazıldığı için, bilinmeyen sayısı
ve denklem sayısı aynı Bağımlı gerilim kaynakları varsa,
Bilinmeyen bağımlı gerilim kaynağı gerilimi, tanım bağıntısı kullanılarak, çevre akımları cinsiden yazılır,
Sonuç, denklem sayısı değişmez. Süperçevre(supermesh) uygulaması
incelemeyeceğiz
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 22
i1
i2
i3
i4
BAĞIMLI KAYNAKLI BİR DEVRENİN ÇEVRE AKIMI YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜNE ÖRNEK
)()(
)(
)()(
)(
2121
10
2121
220
1
1
1
1
RRRRR
RvRvi
RRRRR
RvRvRvi
E
Eccb
E
Ecccca
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 23
ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİNİN DOĞRUDAN UYGULAMASI MATRİSEL CX=B (Nilsson’da yok)
cij x bi=
C X B
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 24
HANGİ YÖNTEM: DÜĞÜM GERİLİMİ, ÇEVRE AKIMI
Bağımsız düğüm denklemi sayısı : Herhangi (nd-1) düğüm sayısı + kaynak
sayısı
Bağımsız çevre denklemi sayısı: Göz gözlere ilişkin çevre sayısı (ne-nd+1) +
kaynak sayısı
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 25
KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ
Devre çözümüne katkıda bulunacak uygulamalar
Yazılacak denklem (değişken sayısını) azaltmak
Bağımsız gerilim kaynağına(vs) bağlı bir seri direnç (R), Akımı (vs/R) olan akım kaynağına paralel bağlı (R) direncine eşdeğerdir.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 26
KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ-1
EŞDEĞERLİK:a-b uçları arasına, gerilim kaynağı ve ona seri bağlı direnç veya akım kaynağı ve ona paralel bağlı direnç bağlansa, a-b uçlarının sağındaki devrede hiçbir değişiklik olmaz.Is=Vs/R Vs=RIs
Is=Vs/R
Vs=RIs
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 27
KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ-2
Vab
+
I = V/R
+
RL R
b b
Vab
+
RL
R
VabV =R I
+
RL
a
b
+
R
a
b
Vab
+
RL
R
Vs
Is
Is=Vs/R
Vs=RIs
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 28
KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ ÖRNEK
Bu devreyi, düğüm gerilimleri veya çevre akımları yöntemi ile çözmek istesek kaç denklem kaç bilinmeyen olur?
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 29
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 1
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 30
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 2
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 31
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 3 Devredeki belli elemanların elektriksel büyüklükleri ile
ilgileniliyorsa, bu eşdeğerlikler kolaylıklar sağlar Bir A devresi bir başka devre B devresini besliyorsa, A
devresinin eşdeğerini kullanarak B devresini analiz edebiliriz
Vth, A devresi ab uçlarına, RL direnci bağlı değilken, yani açık devre iken ki V0 gerilimidir
Rth ise, A devresinin ab uçları kısa devre edildiğinde akan kısa devre akım I0 hesablanıp, Rth=V0/I0 bulunur
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 32
i1i2
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE ÖRNEK-1
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 33
i2
i1
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE DİĞER YOLA ÖRNEK-2
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 34
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE ÖRNEK-3
Vth=-5v;
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 35
THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE ÖRNEK-4
Isc=-50 mA; Rth=100Ω
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 36
THEVENİN-NORTON/KAYNAK DÖNÜŞÜMÜ
Thevenin eşdeğeri:Vs=Vth
R=Rth
Vth=açık devre gerilimi
Norton Eşdeğeri eşdeğeri:Is=Isc
R=Rn
Isc=kısa devre akımı
R=Rth=Rn=Vth/Isc
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 37
THEVENİN VE NORTON EŞDEĞERLİKLERİ İÇİN DİĞER BAKIŞ
Rth aynı zamanda, kaynaklar devre dışı edildiğinde ab uçlarından sola bakıldığında görülen dirençtir.
Bir devreye ilişkin bir çift uçtan (ab) görülen direncin hesaplanması için önce devredeki bağımsız kaynaklar devre dışı yapılır: Bağımsız gerilim kaynakları kısa devre Bağımsız akım kaynakları açık devre
Sonra (ab) uçlarına bir bağımsız gerilim kaynağı bağlanır (V1), devreye verdiği akım hesaplanır (I1)
Bağımsız gerilim kaynağının hesaplanan akıma oranı (ab uçlarından görülen direnci verir (R=V1/I1)
Norton eşdeğer devresi, Thevenin devresinin akım kaynağı eşdeğeridir.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 38
MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ
Bir devreye bağlı yüke maksimum güç transfer edebilmek için yük direnci ne olmalıdır?
Bir devreyi Thevenin eşdeğeri olarak düşünüp, yükteki gücü hesaplayıp, yüke göre türevini alıp sıfıra eşitleyip RL yükünü buluruz oda Thevenin direncine (Rth) eşittir. RL= Rth
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 39
MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ-1
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 40
MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ-2
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 41
(ab) UÇLARINA MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ İÇİN R NE OLMALIDIR?
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 42
MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ ÖRNEĞİ
i1 i2
Rth
+
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 43
MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ ÖRNEĞİ
R th
Rth=3Ω
iç1
iç2 v
+I
Rth= V/I
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 44
SÜPERPOZİSYON: TOPLAMSALLIK; ÇARPIMSALLIK ÖZELLİKLERİ
Toplamsallık Bir devrede (Lineer) kaynakların tek başına
olduklarında Diğer kaynaklar devre dışı
yani gerilim kaynakları kısa devre akım kaynakları açık devre
bulunan çözümlerin toplamı, kaynakların hepsi birlikte devrede iken ki
çözümüne eşittir. Çarpımsallık
Kaynaklar k katına çıkarılırsa, çözümde k katına çıkar
Matematiksel olarak bu bağıntıyı nasıl tanıtlarız?
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 45
TOPLAMSALLIK ÖZELLİKLERİ-1
i1=17 A, i2=6A, i3=11 A, i4=-1 A,
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 46
i’1=15 A, i’2=10A, i’3=5 A, i’4=5 A,
TOPLAMSALLIK ÖZELLİKLERİ-2
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 47
i1=17 A, i2=6A, i3=11 A, i4=-1 A,i’1=15 A, i’2=10A, i’3=5 A, i’4=5 A,
i’’1=2 A, i’’2=-4A, i’’3=6 A, i’’4=-6 A,
TOPLAMSALLIK ÖZELLİKLERİ-3
Akımlar için geçerli olan bu toplamsallık gerilimler içinde geçerli olur mu? Neden?
SÜPERPOZİSYON: ÇARPIMSALLIK TEOREMİ
Lineer bir devrede bütün bağımsız kaynaklar ‘k’ katına çıkarıldığındaDevrenin çözümüde ‘k’ katına çıkar. Lineer denklemlerin özelliğinden
doğrudan tanıtlanabilir.
Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 48