D.SDOF-GET-BEBAS-TANPA-REDAMAN.ppt
-
Upload
hiban-achmad -
Category
Documents
-
view
12 -
download
0
description
Transcript of D.SDOF-GET-BEBAS-TANPA-REDAMAN.ppt
Sistem SDOF dengan getaran bebas
a. TANPA REDAMAN
GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN STRUKTUR HANYA MENGALAMI
GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR
TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN
Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam
Persamaan Umum ;
m.a + k.x = F(t)
Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :
1. Bagian Utama (Particular Solution) :
m.a + k.x
2. Bagian Pelengkap (Complementary)
F(t) = 0
Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos t
Sehingga :
dx/dt = - E sin t
dx2/dt2 = - 2E cos t
Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0
- m2E cos t + k E cos t = K cos t
- m2E + k E = K
E = K / (k - m2)
Maka Jawab Umum x = K cos t
K – m2
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK
Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah :
x = A cos t + B sin t
x = -A sin t + Bcos t
dimana = √ k/m (frekwensi alami) Pada gerak ini : C = 0 karena tidak ada faktor peredam F(T) = 0 karena getarnya bebas
.
FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE
Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana :
= √ (k/m)
f = / 2 Kebalikan dari frekwensi natural adalah
Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus
T = 1/f = 2
PERPINDAHAN YANG TERJADI
Y= C sin (t + ) atau
Y = C cos (t - ) Dimana : C ={ yo2 + (V0/)2}1/2
Tan = yo/ (vo/)Tan = vo/ yo
Sistem SDOF dengan getaran bebas
b. DENGAN REDAMAN
SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF
Persamaan Umum ;
m.a + c.v +k.x = F(t)
Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :
1. Bagian Utama (Particular Solution) :
m.a + c.v + k.x
2. Bagian Pelengkap (Complementary)
F(t) = 0
Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept
Sehingga : ma + cv +kx = 0
m Cp2 ept + c Cp ept +k C ept = 0
Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik :
m p2 + c p + k = 0
Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah :
p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m)2 – k/m}
Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi
y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t
Dimana :
C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.
REDAMAN YANG TERJADI
REDAMAN SUB KRITIS REDAMAN KRITIS REDAMAN SUPERKRITIS
PENYELESAIAN PERSAMAAN
AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT
p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m
Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah :
y(t) = C1ept + C2 ept
Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi
SISTEM REDAMAN
ADA TIGA JENIS REDAMAN :
1. Sistem redaman kritis (Critical Damped System)
2. Sistem redaman superkritis (Overdamped System)
3. Sistem redaman subkritis (Underdamped System)
Redaman kritis
Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0
( ccr/2m)2 – k/m = 0
ccr = 2 √km
Dimana Ccr = harga redaman kritis
karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m
maka koefisien redaman kritis
ccr = 2m ω = 2k / ω
Redaman Kritis
Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - ccr /2m
Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah :
y1(t) = C1 e-(ccr
/2m)t dan y2(t) = C2 t e-(c
cr/2m)t
Superposisi dari keduanya :
y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr
/2m)t
Dimana :
m = masa beban / sistem k = kekakuan struktur Y = perpindahan yang terjadi Ccr = redaman kritis P12 = akar persamaan yang terbentuk C12 = konstanta yang terbentuk akibat
penyelesaian persamaan diferensial W = frekuensi natural
REDAMAN SUB KRITIS
Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C<Ccr)
Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah bilangan kompleks (mengandung bilangan imaginer)
p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m (complex value) Dimana persamaan euler utk menghubungkan
PD dgn pers trigonometrik adalah
eix = cos x + i sin x
e-ix = cos x – i sin x
Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka
y(t)= e-(c/2m)t (A cos Dt + B sin Dt)
Dimana Frekwensi System:
D =√ { k/m – (c/2m)2}
atau D = √(1-ξ2)
Dengan = √ k/m ( frekwensi Natural)
ξ = c / cr ( Ratio Redaman)Dan c = adalah redaman yang terjadi
(kondisi subkritis)
Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal Apabila ditentukan kondisi awal (Initial
Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal)
y(t) = e-ξt (yo cos Dt + vo+
yoξ sin Dt)
Atau y(t) = C e-ξt cos (Dt –)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξD
2)
tan = (vo+yoξDyo)
D adalah frekwensi sistem dengan redaman
Periode Redaman Getaran
Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran
TD = 2 / D = √(1-ξ2)
Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau
Nilai ξ = 0,2 dan D = 0,98
PENGURANGAN LOGARITMIS
Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas
= ln y1/y2
Sehingga untuk y(t) = C e-ξt cos (Dt –)
dan y1 = C e-ξt1 y2 = C e-ξt(t1+Td)
Maka = ln y1/y2 = ξtD atau ξ / √ (1- ξ2) utk ξ yg sangat kecil maka ξ
REDAMAN SUPERKRITIS
Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis
c > ccr
Sehingga nilai akar persamaan ( P1,2) bernilai real
dan berbeda
Maka perpindahan yang terjadi adalah
y(t) = C1 e p1t + C2 e p2t
CONTOH
Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y1=1,0 dan y2=0,85
Hitung
a. Frekwensi Natural
b. Pengurangan Logaritmis
c. Ratio Redaman
d. Koefisien Redaman
e. Frekwensi teredam
Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan)
Frekwensi Natural = √ (k/m) = √ 20x10 /10 Pengurangan Logaritmis
= ln y1/y2 = y1= ln (1,0/0,85) Ratio Redaman
ξ shg ξ = Koefisien Redaman
ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr Frekwensi Teredam
D = √(1-ξ2)
d = 2p
ξ = c / cr
y1=1,0 dan y2=0,85
W = 10 N, kekakuan 20 N/m
ccr = 2 √km
d = 2pξ
d = ln y1/y2