Driss BOUTAT
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D. Boutat1 ENSI de Bourges
D. Boutat2 ENSI de Bourges
1) La stabilité des systèmes linéaires classiques
2) La complexité de la stabilité des dynamiques mixtes
3) Les conditions suffisantes de la stabilité asymptotique indépendante des commutations.
4) Les conditions suffisantes dépendantes des commutations pour une classe de systèmes hybrides
5) Application aux observateurs hybrides
D. Boutat3 ENSI de Bourges
L’asymptotique stabilité des dynamique linéaires est complètement connue grâce à la connaissance du spectre de
Si les parties réelles des valeurs propres de sont strictement négative alors (l’unique singularité).
Pour toutes matrices définie positive il existe définie positive telles que :
Asymptotiquement
On dit que V ou P est une Lyapunov
4
042 qp
042 qp
042 qp
Centre stable
Spirale asymp stable
Spirale instable
Nœuds
Nœuds
Nœud impropre instable
Nœud impropre asymp stable
Point selle instable p= trace (M)
q=det (M)
Diagramme de stabilité en dimension 2
D. Boutat5 ENSI de Bourges
Que peut on dire de la stabilité des dynamiques mixtes?
D. Boutat6 ENSI de Bourges
Systèmes hybrides avec sauts
D. Boutat7 ENSI de Bourges
Les systèmes hybrides considérés ici sont :
Où est un ensemble de paramètres et est une loi de commutation constante par morceaux.
Pour une loi de commutation donnée on lui associe la dynamique hybride :
écriture
D. Boutat8 ENSI de Bourges
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2
Asymptotiquement Stables instable
commutations
D. Boutat9 ENSI de Bourges
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 1018
-5
0
5
10
15
20x 10
17
x1
x2
Simulation
D. Boutat10 ENSI de Bourges
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Dépendance de la commutation :
D. Boutat11 ENSI de Bourges
-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Phénomène du barrage
Instables stable
D. Boutat12 ENSI de Bourges
-15 -10 -5 0 5 10 15-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
D’autres phénomènes
D. Boutat13 ENSI de Bourges
Définition d’une Lyapunov commune
La condition n’est pas suffisante. En effet,
Cependant
Remarque :
n’est pas compact
pour et
et non bornée
D. Boutat14 ENSI de Bourges
La commutativité : K.S. Narendra & J Balakrishman : 1994Théorème :
Si alors le système SH a une Lyapunov commune.
L’idée :
Donc uniformément asymptotiquement stable.
On suppose que sont les asymptotiquement stables.
D. Boutat15 ENSI de Bourges
Construction de la Lyapunov commune
On fixe et on calcule
On obtient
On montre que est une Lyapunov commune. En effet pour N=2 on a :
D. Boutat16 ENSI de Bourges
La commutativité n’est pas nécessaire. En effet, est une Lyapunov commune pour
Cependant,
D. Boutat17 ENSI de Bourges
Co-triangulaires dans « la solvabilité » : D. Liberzon J.P. Hespanha A.S. Morse . R.N. Shorten 1999.
L’idée
Lyapunov commune.
D. Boutat18 ENSI de Bourges
ThéorèmeS’il existe une matrice inversible complexe telle que
Alors une Lyapunov commune.
réelle
D. Boutat19 ENSI de Bourges
Résumé
HypothèseLes matrices sont Hurwitz : c’est-à-dire les parties réelles de leur spectres sont strictement négatives
i) La commutativité des deux à deux Asymptotiquement stable du SH
ii) La co-triangularisation complexe des
Asymptotiquement stable du SH
iii) La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les
Asymptotiquement stable du SH
Lie XVIII siècle
D. Boutat20 ENSI de Bourges
La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les .
Les sont triangulaires dans un même repère.
IL est difficile de trouver une tel repère!!!
?
Comment les choisir pour stabiliser et rendre l’algèbre solvable??
Compliquer!!!!!!
D. Boutat21 ENSI de Bourges
Le principe d’invariance de LaSalle.
« observable »
« observable »
est asymptotiquement attractive. En particulier si alors est asymptotiquement stable.
D. Boutat22 ENSI de Bourges
Théorème :
On considère .
Si alors le système hybride est globalement uniformément stable (GUS).
Et si en plus, sont observables et la commutation a un « comportement sympa » alors il est globalement uniformément asymptotiquement stable (GUAS)
Comportement sympa : il existe
D. Boutat23 ENSI de Bourges
Démonstration
est observable alors par LaSalle 0 est asymptotiquement attractive pour chaque p.
comme
D. Boutat24 ENSI de Bourges
un temps d’attardement une période de persistance
D. Boutat25 ENSI de Bourges
IL écrit comme suit :
Le reste de la démonstration est dû a J.P. Hespanha 2004
sympa et
F.M. Pait & A.S. Morse 1994
Squashing Lemma : « lemme de pression »
D. Boutat26 ENSI de Bourges
-1.25 -1.2 -1.15 -1.1 -1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85-0.5
0
0.5
1
1.5
0
Le temps d’attardement
0 1 2 3 4 5 6 7 80.5
1
1.5
2
2.5
non sympa
D. Boutat27 ENSI de Bourges
0 5 10 15 20
0
0.5
1
1.5
2
Time [s]
Ran
dom
sig
nal
Signal aléatoire en amplitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Time [s]
Sw
itchi
ng s
igna
l
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0 5 10 15 20 25
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Time [s]
Sw
itchi
ng s
igna
l
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Time[s]
Sw
itchi
ng s
igna
l
Un générateur de signaux de commutations
D. Boutat28 ENSI de Bourges
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Time [s]
Sw
itchi
ng s
igna
l
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
0 5 10 15 20 25
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Time [s]
Sw
itchi
ng s
igna
l
D. Boutat29 ENSI de Bourges
Corollaire :
1) Si les sont A stables alors les admettent une Lyapunov commune (on plus besoin de la condition sympa)
2) Si l’algèbre de Lie engendrée par est solvable alors sont A stable (on plus besoin de la condition sympa)
Exemple :
n’est pas solvable
D. Boutat30 ENSI de Bourges
Théorème :
observable
1) Si est stable sur alors il existe des gains qui stabilise
2) Si est asymptotiquement stable sur alors il existe des gains qui rendent asymptotiquement stable
D. Boutat31 ENSI de Bourges
Justification :
sur Ok par le premier théorème.
D. Boutat32 ENSI de Bourges
Exemple :
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 1018
-5
0
5
10
15
20x 10
17
x1
x2
sur
sur
33
D. Boutat34 ENSI de Bourges
Application à un bio-système : Kwang-Hyun Cho et all
(Journal of biosystems )
D. Boutat35 ENSI de Bourges
0 50 100 150 200 250 300-5
0
5
10
15
20
25
30
35e1e2e3
05
1015
2025
30
0
5
10
15
20-2
0
2
4
6
8
10
e1e2
e3
D. Boutat36 ENSI de Bourges
Dans le reste du support je donne en vrac quelques éléments sur les signaux de commutation avec des traductions de la terminologie utilisée par les chercheurs américains.
J’ai sélectionné deux théorèmes que je considère important pour la théorie de la stabilité des systèmes hybrides. Cependant il en existe d’autres!!!.
Pour tout commentaire je vous serais reconnaissant de me contacter soit :
au : 02 48 48 40 77(*) ou par email [email protected]
(*) coût d’appel par seconde
D. Boutat37 ENSI de Bourges
Les signaux de commutations
Nonchattering « non oscillant » : les signaux pour lesquels on a :
Dwell time « le temps d’attardement » : un signal a un temps d’attardement si le temps d’évolution de chaque sous système est au moins . On note leurs ensemble par :
Dans ce cas si on a :
le nombre de discontinuités (de passages d’un sous système à l’autre) dans l’intervalle
D. Boutat38 ENSI de Bourges
Le temps d’attardement moyen
La borne d’oscillation
La période de persistance entre les intervalles de longueur et sur lesquels est constante
D. Boutat39 ENSI de Bourges
Un signal de type : satisfait l’hypothèse pour
En effet, s’il existe et tels que pour tout
Donc
Impossible pour :
D. Boutat40 ENSI de Bourges
Démonstration :
D. Boutat41 ENSI de Bourges
Ici je donne deux résultats importants de la théorie de stabilité des systèmes hybrides : le premier est fait pour le cas linéaire avec un Lyapunov commune et le second fait pour les systèmes non linéaire (a fortiori linéaire) et qui utilise la notion de Lyaponuv multiple et le principe d’invariance de LaSalle.
Théorème 1 : (A.A. Agrachev & D. Liberzon 2001)1) Si compacte alors le système hybride admet une Lyapunov commune.
2) Si n’est pas compacte alors il existe une famille qui engendre et qui n’admet pas de Lyapunov commune comme il existe une autre qui admet une LC.
On considère l’algèbre de Lie engendrée par les et :
On considère sa décomposition de Levi
L’idéal maximal solvable
D. Boutat42 ENSI de Bourges
Théorème 2 : Hespanha, Liberzon & Angeli 2005
Pour deux commutation avec on a :
1) 2)
3)
4) alors le système est globalement asymptotiquement stable
Commentaires i) Les points (1) et (2) du théorème c’est la définition de Lyapunov multiples.
ii) Le point (3) système est borné par la sortie (fictive)
iii) Le point (4) c’est la persistance du temps d’attardement : on l’impose si le système admet une infinité de commutation.
où
Si les conditions suivantes sont satisfaites :
tels que :
D. Boutat43 ENSI de Bourges
Lemme de Barbalat
Si considère une fonction réelle uniformément continue et telle que
alors
Démonstration :
Supposons que ce n’est pas le cas, donc tels que :
Par continuité uniforme pour ce même
Donc …….
D. Boutat44 ENSI de Bourges
sur
Cependant Car n’est pas uniformément continue
Pour assurer la continuité uniforme, on assume que et sont bornées et ceci grâce au théorème des accroissement fini (mais ça demande un peu de régularité sur ).
Ce n’est pas cette version du lemme de Barbalat qui est utilisée pour montrer que la sortie « fictive »
On voit déjà que la sortie n’est pas continue. Elle l’est par morceaux. Elle est bornée ainsi que sa dérivée si l’est et est compact.
D. Boutat45 ENSI de Bourges
Hypothèse :
S’il le nombre de commutation est infini alors il existe tel que pour tout on peut trouver tel que :
Voici la version du lemme de Barbalat utilisée pour les systèmes hybrides.
Lemme : Barbalat Hybride
D. Boutat46 ENSI de Bourges
Sinon il existe une famille infinie tels que :
si
sinon
….