Drgania harmoniczne – wielkość drgająca zmienia się sinusoidalnie lub cosinusoidalnie w...
description
Transcript of Drgania harmoniczne – wielkość drgająca zmienia się sinusoidalnie lub cosinusoidalnie w...
Drgania harmoniczne – wielkość drgająca zmienia się
sinusoidalnie lub cosinusoidalnie w czasie
Drgania – zjawiska powtarzające się okresowo
Ruch drgający
Przykłady drgań:• wahadło zegara• drgania mostu, wywołane przejeżdżającymi pojazdami• drgania skrzydeł samolotu• drgania atomów (molekuł) w węzłach sieci krystalicznej• obwód drgający LC• .........
Okres ruchu harmonicznego (T) – czas trwania jednego pełnego drgania, czas powtarzania się każdego pełnegoprzemieszczenia lub cyklu
Częstotliwość drgań () – liczba drgań (cykli) w jednostce czasu
]Hz[1
T
Położenie równowagi – położenie, w którym na punkt materialny niedziała żadna siła
Przemieszczenie – odległość drgającego punktu od położenia równowagi w dowolnej chwili
22
T
Wielkości opisujące ruch harmoniczny
kxF
2
2
dt
xdm
dt
dvmF kx
dt
xdm
2
2
02
2
xm
k
dt
xd
Na oscylator działa siła harmoniczna
Z II zasady dynamiki Newtona
Jest to równanie różniczkowe drgań harmonicznych
Wahadło wykonuje ruch harmoniczny. Papier rejestratora przesuwa się ze stałą prędkością v – pozostawiony ślad – wychylenie wahadła z położenia równowagi - można opisać funkcją okresową
v
x(t)
32
1cos
2cos
2
20cos0cos0
0
0
AA
Ax
Ax
cos0 0 Axxt
Jeśli, np.
tAx ocos
0 +A-A x0
tAadt
xd
tAvdt
dx
o
a
o
v
cos
sin
max
max
202
2
0
tAx ocos
02
2
xm
k
dt
xd
0coscos20 tA
m
ktA oo
m
k
m
k 0
20 0
Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie zmieniają się w ruchu harmonicznym okresowo.
częstość drgań własnych
częstość drgań własnych zależy od współczynnika sprężystości i masy ciała
Energia kinetyczna drgań
tAmmv
Ek 022
02
2
sin22
Energia potencjalna drgań
tAmxmkxEp 0222
022
02 cos
2
1
2
1
2
1
Energia całkowita
2200
22200
2220 2
1cos
2
1sin
2
1AmtAmtAmE
EEE pk
max
22
222
0;0
2
1
2
1
2
1
vvxvAx
xAm
kv
kAkxmvEE pk
zależność prędkości punktu drgającego od wychylenia
Punkt drgający przechodzi przez położenie równowagi z maksymalna prędkością. W punktach zwrotnych prędkość = 0.
Wahadło wychylone z położenia równowagi porusza się dzięki składowej siły ciężkości
dla małych kątów
Z równości tych sił
Wahadło matematyczne
sinmgF
kxFl
xmgmgF
20m
l
mgkkx
l
xmg
g
lT
Tl
g 22
220
mg
N
F
okres drgań wahadła matematycznego
kąt [stopnie]
kąt [radian
y]sinus
0 0 0
2 0.0349 0.0349
5 0.0873 0.0872
10 0.1745 0.1736
15 0.2618 0.2588
Wahadło fizyczne
mg
d
O Moment siły sinmgdM
2
2
dt
dIIM
0
2
2
2
o
I
mgd
dt
d
Dla małych kątów sin
mgd
IT
o
22
Dmgd
D – moment kierujący wahadła
Drgania tłumione
vFt kxF
02
2
2
2
xm
k
dt
dx
mdt
xd
vkxdt
xdm
Na ciało o masie m działają siły:
Równanie Newtona
0 5 10 15 20
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
0 20
teAx t sin0
x
teAx t sin0
tteAvdt
dx t cossin0
ttteAadt
xd t sincos2sin 2202
2
Znajdziemy rozwiązanie równania ruchu w postaci
0 2 4-6
-4
-2
0
2
4
6
x(t)
t
0 2 4-6
-4
-2
0
2
4
6
v(t)
t
0 2 4-6
-4
-2
0
2
4
6
a(t)
t
Porównanie zależności od czasu: wychylenia z położenia równowagi, prędkości i przyspieszenia w drganiach harmonicznych i tłumionych
m2
220
współczynnik tłumienia
częstość drgań tłumionych
Drgania wymuszone
vFt kxF
tm
Fx
m
k
dt
dx
mdt
xd
tFvkxdt
xdm
sin
sin
02
2
02
2
tAx sin
tFtF sin)( 0
tAx sin
Na ciało o masie m działają siły
oraz siła wymuszająca
Równanie ruchu Rozwiązanie równania ruchu
0 2 4 6 8 10
-2
0
2x=
3co
s(2
t+
t
0 10-6
0
6
F=
5co
s2t
Należy wyznaczyć amplitudę drgań wymuszonych A i przesunięcie fazowe między siłą a przemieszczeniem
- kąt o jaki maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły
mk2
2tan
222220
0
4
1
m
FA
Przesunięcie fazowe – siła-przemieszczenie
Amplituda
00
k
F
m
FA 0
20
0
1.
222220
0
4
1
m
FA
0,02
tan20
2
Jak amplituda drgań wymuszonych i przesunięcie fazowe zależą od częstości siły wymuszającej?
amplituda nie zależy od częstości
0
20
mF
A
2.
2
220
224
0
222220
0
41
1
4
1
4
1
m
F
m
F
m
FA
0
4
2sin
222220
14
cos22222
0
220
0 3.
222220
0
4
1
m
FA
m
FA
20
1
4
2sin
222220
04
cos22222
0
220
2
A0
0
4
42
822
222220
222220
2220
0
m
F
d
dA
220
220
2
2220
2220
22
02
0822
rez
Rezonans – amplituda osiąga wartość maksymalną
częstość rezonansowa
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00
2
4
6
8
10
= 1
= 0
czestotliwosc
ampl
ituda