Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of...
-
Upload
autumn-mccarthy -
Category
Documents
-
view
217 -
download
1
Transcript of Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of...
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
10th Lecture / 10. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 2
FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung
m
e
e
m
d( , ) ( , ) ( , )
d
d( , ) ( , ) ( , )
d
( , ) ( , )
( , ) ( , )
S C S S
S C S S
S V V
S V V
t t tt
t t tt
t t dV
t t dV
B R dS E R dR J R dS
D R dS H R dR J R dS
D R dS R
B R dS R
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
FITMaxwell’s grid equations /
Maxwellsche Gittergleichungen
m
e
d( ) ( ) ( )
d
d( ) ( ) ( )
d
t t tt
t t tt
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
?
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 3
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung
( )nxE
( )nyE
( )nzB
( )nyB ( )n
zE
( )nxB
e
e
( , ) ( , )
( , ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
S V V
S V V
t t dV
t t
t t dV
D R dS R
D R ε R E R
ε R E R dS R
( )nxE
( )nyE
( )nzB
( )nyB ( )n
zE
( )nxB
( )xn MxE
( )yn MyE
( )zn MzE
e
e
( , ) ( , )
( , ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
t t
t t
t t
D R R
D R ε R E R
ε R E R R
Integral form / IntegralformIntegral form / Integralform Differential form / DifferentialformDifferential form / Differentialform
( )
( )
n
n
g G
m M
( )ng G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 4
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )nxE
( )nyE
( )nzE
( )xn MxE
( )yn MyE
( )zn MzE
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
r l
f b
d u
S V S S
S S
S S
t t t
t t
t t
D R dS D R dS D R dS
D R dS D R dS
D R dS D R dS
( )nxD
( )nyD
( )nzD
( )xn MxD
( )yn MyD
( )zn MzD
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
xx x
yy y
zz z
nn nxxx x
n Mn M n Mxxx x
nn nyyy x
n Mn M n Myyy y
nn nzzz z
n Mn M n Mzzz z
D E
D E
D E
D E
D E
D E
( )lS ( )rS
( )uS
( )dS
( )bS
( )fS
e
e
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
S V V
S V V
t t dV
t t dV
D R dS R
ε R E R dS R
( )ng G
( )ng G ( )n
g G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 5
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )
6
1
( , ) ( , )iS V Si
t t
D R dS D R dS
( )( ) ( )( ) : xx xn Mn M n Mrxxx xS D E
( )rS
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 3( )
( ) 3 3( )
( )
( , ) ( , ) e d d
( , ) d d
( ) ( , ) d d
( ) ( ) d d
( )
r r
r
r
xr
n Mxxx
x x
x
xS S
xS
xx xS
n Mx xxS
y z
n M n Mxx x
n Mx
t t y z
D t y z
E t y z
E t y z y z y z
E t y z y z y z
D
D R dS D R
R
R R
R
3 3( )t y z y z y z
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) d
1
4
r
x y x y zx x z
n Mxxx
x
xxS
n M M n M M Mn M n M Mxx xx xx xx
n Mxx
S
y z
y z
R
d e d dxS y z dS n
( )ng G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 6
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )
6
1
( , ) ( , )iS V Si
t t
D R dS D R dS
( )( ) ( ) ( ):nl n nxxx xS D E
( )lS
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 3( )
( ) 3 3( )
( )
( , ) ( , ) e d d
( , ) d d
( ) ( , ) d d
( ) ( ) d d
( )
( )
l l
l
l
l
nxx
xS S
xS
xx xS
nx xxS
y z
n nxx x
nx
t t y z
D t y z
E t y z
E t y z y z y z
E t y z y z y z
D t y z
D R dS D R
R
R R
R
3 3y z y z
( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
( ) d
1
4
l
y y zz
nxx
xxS
n M n M Mn Mnxx xx xx xx
nxx
S
y z
y z
R
d e d dxS y z dS n
( )ng G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 7
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )
6
1
( , ) ( , )iS V Si
t t
D R dS D R dS
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
:
:
:
:
:
:
xx x
yy y
zz z
nl n nxxx x
n Mn M n Mrxxx x
nb n nyyy x
n Mn M n Mfyyy y
nu n nzzz z
n Mn M n Mdzzz z
S D E
S D E
S D E
S D E
S D E
S D E
( )lS ( )rS
( )uS
( )dS
( )bS
( )fS
( )
( )
( )
( ) 3 3( )
3 3( )
( ) 3 3( )
3 3( )
( , ) ( )
( )
( , ) ( )
( )
( , )
x xr
x
l
f
n M n Mxx xS
n Mx
n nxx xS
nx
yyS
t E t y z y z y z
D t y z y z y z
t E t y z y z y z
D t y z y z y z
t
D R dS
D R dS
D R dS
( )
( )
( ) ( ) 3 3
( ) 3 3
( ) 3 3( )
3 3( )
( ) ( )
( )
( )
( , ) ( )
( )
( , ) ( )
y y
y
b
z zd
n M n My
n My
n nyy yS
ny
n M n Mzz zS
E t x z x z x z
D t x z x z x z
t E t x z x z x z
D t x z x z x z
t E t x
D R dS
D R dS
( )
3 3
3 3( )
( ) 3 3( )
3 3( )
( )
( , ) ( )
( )
z
u
n Mz
n nzz zS
nz
y x y x y
D t x y x y x y
t E t x y x y x y
D t x y x y x y
D R dS
( )ng G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 8
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )lS ( )rS
( )uS
( )dS
( )bS
( )fS
( )
6
1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i
x x
y y
z z
x
S V Si
n M nn M nxx xxx x
n M nn M nyy yyy y
n M nn M nzz zzz z
n M nx x
t t
E t y z E t y z
E t x z E t x z
E t x y E t x y
D t y z D t y z
D
D R dS D R dS
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y
z
n M ny y
n M nz z
t x z D t x z
D t x y D t x y
( )
6
1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i
x x
y y
z z
x
S V Si
n M nn M nxx xxx x
n M nn M nyy yyy y
n M nn M nzz zzz z
n M nx x
t t
E t E t y z
E t E t x z
E t E t x y
D t D t
D R dS D R dS
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y
z
n M ny y
n M nz z
y z
D t D t x z
D t D t x y
( )
6
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( , ) ( , )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i
x
y
z
x
y
z
S V Si
n nxxM x
n nyyM y
n nzzM z
nM x
nM y
nM z
t t
S I E t y z
S I E t x z
S I E t x y
S I D t y z
S I D t x z
S I D t x y
D R dS D R dS
( )ng G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 9
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )div
( , ) ( ) ( ) ( )x y z
x y z
n
n n nn n nxx yy zzM x M y M zS V
nzz
nyyM M M
nzz
S
t S I E t y z S I E t x z S I E t x y
y z
S I S I S I x z
x z
D R dS
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
div
( )
( )
( )
div ( )
( ) ( ) ( )
n
x y z
x y z
nx
ny
nz
E t
n n
n n nM x M y M z
M M M
S
E t
E t
E t
S E t
S I D t y z S I D t x z S I D t x y
y z
S I S I S I x z
x z
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
div ( )
n
nx
ny
nz
D t
n
D t
D t
D t
S D t
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 10
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( )nxE
( )nyE
( )nzE
( )xn MxE
( )yn MyE
( )zn MzE
( )nxD
( )nyD
( )nzD
( )xn MxD
( )yn MyD
( )zn MzD
e
e
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
S V V
S V V
t t dV
t t dV
D R dS R
ε R E R dS R
( )nV g G ( )n
V g G
( )en ( )
en
( )nV g G
( )en
3 3 3( )e e
3 3 3( )e
5( )e
5( )e
( , ) ( )
( )
( ) if
( ) i
n
V
n
n
n
t dV t x y z x y z x y z x y z
Q t x y z x y z x y z
t x y z x x y z
Q t x
R
f x y z
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 11
FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)
( ) ( ) ( ) ( )e e
( ) ( ) ( )e e
div ( ) ( ) ( )
div ( ) ( ) ( )
n n n n
n n n
S E t t x y z Q t
S D t t x y z Q t
e e
e e
( , ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( , ) ( )
S V V
S V V
t t dV Q t
t t dV Q t
D R dS R
ε R E R dS R
e e
e e
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
div ε S E V ρ Q
div S D V ρ Q
Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform
Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform
Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
3
: , ,x y z N N div P P Pwith / mitwith / mit
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 12
Discrete Local and Global Gradient, Divergence, and Curl Operators /
Diskrete lokale und globale Gradienten-, Divergenz- und Rotationsoperatoren
Discrete gradient operator / Diskreter GradientenoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator
T
T
T
3
3
x
y
zN N
x
y
z N N
P
grad P
P
P
grad P
P
TT T
3
3
: , ,
: , ,
x y zN N
x y z N N
div P P P
div P P P
Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator
Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator
TT
TT
T T
3 3
3 3
z y
z x
y xN N
z y
z x
y xN N
0 P P
curl P 0 P
P P 0
0 P P
curl P 0 P
P P 0
Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator
Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator
T
T
T
div grad
grad div
curl curl
curl grad
div curl 0
0
curl grad 0
curl grad 0
div curl 0
div curl 0
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 13
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
Electric Gauss’ grid equation – 3rd Maxwell’s grid equation in global matrix form / Elektrische Gaußsche Gittergleichung – 3. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform
e e( ) ( ) ( )t t t div ε S E V ρ Q
3
3 3
Topological divergence operator in matrix form on the grid /
Topologischer Divergenzoperator in Matrixform auf dem Gitter
Diagonal matrix of permittivities on the grid /
Diagonalma
N N
N N
G
G
G
div
ε
3 3
3
trix der Permittivitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter
Algebraic electric field strength vec( )
N N
N
G
G
G
t
S
E
e
tor /
Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor
Diagonal matrix of elementary volumes on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarvolumina auf dem Gitter
Algebraic electric charge densi( )
N N
N
G
G
t
V
e
ty vector /
Algebraischer elektrischer Ladungsdichtevektor
Algebraic electric charge vector /( )
Algebraischer elektrischer LadungsvektorNt Q
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 14
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
Magnetic Gauss’ grid equation – 4th Maxwell’s grid equation in global matrix form / Magnetische Gaußsche Gittergleichung – 4. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform
m m( ) ( ) ( )t t t div S B V ρ Q
3
3 3
Topological divergence operator in matrix form on the grid /
Topologischer Divergenzoperator in Matrixform auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
Diago
N N
N N
G
G
G
div
S
3
nalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter
Algebraic magnetic flux density vector /( )
Algebraischer magnetischer Flussdichtevektor
Diagonal matrix of elementary volumes on the grid /
D
N
N N
G
t
G
B
V
m
m
iagonalmatrix der Elementarvolumina auf dem Gitter
Algebraic magnetic charge density vector /( )
Algebraischer magnetischer Ladungsdichtevektor
Algebraic magnetic charge vector /( )
Algebraisc
N
N
G
t
t
Q
her magnetischer Ladungsvektor
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 15
FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung
m
e
e
m
d( , ) ( , ) ( , )
d
d( , ) ( , ) ( , )
d
( , ) ( , )
( , ) ( , )
S C S S
S C S S
S V V
S V V
t t tt
t t tt
t t dV
t t dV
B R dS E R dR J R dS
D R dS H R dR J R dS
D R dS R
B R dS R
Governing Analytic EquationsMaxwell’s equations in integral form /
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
FIT Grid EquationsMaxwell’s grid equations /
Maxwellsche Gittergleichungen
m
e
e e
m m
d( ) ( ) ( )
d
d( ) ( ) ( )
d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t tt
t t tt
t t t
t t t
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
div ε S E V ρ Q
div S B V ρ Q
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2005 / 2006 16
End of Lecture 10 /Ende der 10. Vorlesung