Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)...
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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 19.12.2005
Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 2
3.2 Die elektrische Feldstärke und die Potentialfunktion (S. 154, CW, 6. Aufl.)
3.2.1 Das Coulombsche Gesetz (S. 154, CW, 6. Aufl.)
1 2e e 2
Q QF k
r
01 2e e 2
Q QF k r
r
Kraftvektor
(mit Angabe der Kraftrichtung)
Aus dem Experiment: (Coulomb-)Kraft oder elektrische Kraft, die die Ladung Q1 auf die Ladung Q2 ausübt:
Betrag der Kraft
0r
29e
19 10 Nm/ As
4k
Einheitsvektor (Länge 1) von Q1 auf die Ladung Q2 gerichtet
Konstante, materialabhängig
Materialparameter: Permittivität (veraltet: Dielektrizitätskonstante)
Vektorpfeil0r
1Q
2Qr
0 0; | | 1| |
rr r
r
44444444444444
Bild 3.5. Zum CoulombschenGesetz(vgl. Bild 3.5. in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 154,2005])
0
1 2e 24
Q Q rF
r
44444444444444
(3.2)Coulombsches Gesetz:
Charles Augustin Coulomb (* 14. Juni 1736 in Angoulême,† 23. August 1806 in Paris) war ein französischer Physiker undbegründete die Elektrostatik sowie die Magnetostatik.
r Abstand zischen den beiden Ladungen
eF44444444444444
Einheitsvektorder Betrag ist Eins,der Einheitsvektorhat die Länge Eins!
(3.1)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 3
3.2.1 Das Coulombsche Gesetz (S. 154, CW, 6. Aufl.)
1 2e e 2
Q QF k
r (3.2)Coulombsches Gesetz:
(Coulomb-)Kraft oder elektrische Kraft, die die Ladung Q1 auf die Ladung Q2 ausübt:
1 2g 2
M MF
rGravitationskraft:
Gravitationskraft, die die Masse M1 auf die Masse M2 ausübt:
Beispiel: Wasserstoffatom: 1 Proton und 1 Elektron
2
2e 2e 39e
g2
elektrische Kraft10
Gravitationskraft p e p e
ekF k erm mF m m
r
11 2 26,67 10 N m / kg
29e
19 10 Nm/ As
4k
Gravitationskonstante:
191 2
311
272
Elementarladung : 1,602 10 As
Ruhemasse eines Elektrons: 9,1083 10 kg
Ruhemasse eines Protons: 1,67239 10 kg
e
p
Q Q e
M m
M m
Verhältnis der Kräfte:
ee
empm
Erstaunlich! Die elektrischeKraft ist um den Faktor 10 hoch39 größer als die Gravitationskraft!
Wasserstoffatom
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 4
3.2.1 Das Coulombsche Gesetz (S. 154, CW, 6. Aufl.)
e 39
g
elektrische (Coulomb) Kraft10
Gravitationskraft
F
F
Verhältnis der Kräfte:
Erstaunlich! Die elektrischeKraft ist um den Faktor 10 hoch39 größer als die Gravitationskraft!
Wir wissen, dass die Atome von Materie in Elementarladungen, d.h. Protonen und Elektronen, zerlegbar sind.
Wenn dies das Kräfteverhältnis zwischen der elektrischen Kraft und Gravitationskraft ist, welches zwischen einem Elektron und einem Proton wirkt, dann sollten wir auch enorme Kräfte vermuten, die um uns herum wirken.
Dies kann man aber nicht beobachten.
Wir kennen zwar die elektrischen Reibungskräfte, die auf unsere Haare wirken, wenn wir einen Pullover aus- oder anziehen, aber dies sind auch die einzigen Kräfte, die wir im normalen Alltag beobachten.
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 5
3.2.1 Das Coulombsche Gesetz (S. 154, CW, 6. Aufl.)
Experiment: Betrachte zwei Student(inn)en, die im Abstand von r = 1 m sitzen und deren Köpfe elektrisch geladen sind. Wir bestimmen nun die elektrische Kraft, die auf die beiden Köpfe wirkt, wobei wir die Köpfe durch zwei Punktladungen approximieren.
Menschlicher Körper
Wasser
jedes Wassermolekül
10 Elektronen 10 Protonen
Volumen des Kopfes
3 3 310 cm 10 mV
28 3
Elektronendichte
10 Atome/m
2510 Atome
10 Elektronen pro Atom
25 2610 10 10 Elektronen pro Kopf
23
Annahme :1 Promille freier überschüssiger
Elektronen 10 Elektronen pro Kopf
231
19 23
4
10
1,602 10 10 As
1,602 10 As
Q e
181 2e e 2
10 NQ Q
F kr
41
42
10 As
10 As
Q
Q
18,Erde 10 NgF
Gravitationskraft der Erdekönnte in dieser
Größenordnung liegen!
Warum erleben wir diese Kraftwirkung zwischen unseren Köpfen nicht?
Wo ist die Rechnung fehlerhaft?
1 Promille freier überschüssigerElektronen ist falsch!
Der menschliche Körper ist elektrisch(fast immer) neutral.
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 6
Feldbeschreibung: Koordinatensysteme
Die Angabe einer Feldgröße als Funktion des Raumpunktes kann erfolgen
► allgemein koordinatenfrei durch einen Ortsvektor ( z. B. ). Vorteil: nicht an ein spezielle Koordinatensystem gebunden.
► in einem speziellen Koordinatensystem z.B. kartesisch, zylindrisch und sphärisch Zur Lösung spezieller Problemstellungen notwendig.
Koordinatensysteme (KOS):
► Kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y, z
► Zylinderkoordinatensystem mit den Koordinaten ρ, φ, z
► Kugelkoordinatensystem mit den Koordinaten r, , φ
r
e ( ), ( )r F r44444444444444444444444444 44
xy
z
xe
ye
ze
z
x
( )e
e
ze
y
, ,x y z , , z
y
z
x
e
,re
,e
, ,r
r
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 7
Koordinatensysteme (KOS): Kartesisches Koordinatensystem
x
y
z
r
xe
ye
ze
xx e
x y zr x e y e z e
yy e
zz e
P
Orthonormale Einheitsvektoren
x
y
z
e
e
e
Koordinaten
x xy yz z
Grenzen
Ortsvektor
: Zeichen
für senkrecht
x y ze e e
1x y ze e e
Orthonormal heißt, dass alle Einheitsvektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge Eins haben:
xe
ye
ze
OrthonormalesDreibein
r
xx e
yy e
zz e
Aufpunkt: P
Vektoraddition:
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 8
Ortsvektor
0r r r
x
y
z
r
Ortsvektor x y zr xe ye ze
0
2 2 2
x y zr xe ye zer
r x y z
Ortsvektor
Betrag des Ortsvektors
Einheitsvektor
2 2 2
x y z x y z
r r r
xe ye ze xe ye ze
x y z
r
P
01r
Skalarprodukt
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 9
Ortsvektor
2
2
0 1 0
1 0 0
x y z x y z x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
x x x y x z
y x y y y z
z
xe ye ze xe ye ze xe xe xe ye xe ze
ye xe ye ye ye ze
ze xe ze ye ze ze
x e e xy e e xz e e
yxe e y e e yz e e
zxe e
2
0 0 1
2 2 2
x z y z zzy e e z e e
x y z
x y z x y zr r r xe ye ze xe ye ze
2 2 2x y z r
: Zeichen
für senkrecht
x y ze e e
1
| | | | cos ( , )
1 1 cos 0
1
x x x x x xe e e e e e
0
| | | | cos ( , )
1 1 cos2
0
x y x y x ye e e e e e
1x y ze e e
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Kartesisches Koordinatensystem
e e e e
e e e
e
, , , , , ,
, ,
x y zx y z
x y zx y z
F r F r e F r e F r e
F x y z e F x y z e F x y z e
F x y z
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
44444444444444
xy
z
r
e e , ,F r F x y z444444444444444444444444444444444444444444
xe
ye
ze
P
, ,e eF r F x y z444444444444444444444444444444444444444444
xe
ye
ze
P
xexF r e
Vektoraddition:
yeyF r e
zezF r e
Komponentenzerlegungdes Vektors Fe
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Kartesisches KoordinatensystemVektoraddition zweier beliebiger Vektoren:
x y z x y zx y z x y z
x y zx x y y z z
x y zx y z
zx y CC C
A B A e A e A e B e B e B e
A B e A B e A B e
C e C e C e
C
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
44444444444444
Vektorsubtraktion zweier beliebiger Vektoren:
x y z x y zx y z x y z
x y zx x y y z z
x y zx y z
zx y DD D
A B A e A e A e B e B e B e
A B e A B e A B e
D e D e D e
D
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
44444444444444
A44444444444444
B44444444444444
C A B 444444444444444444444444444444444444444444
A44444444444444
D A B 444444444444444444444444444444444444444444 B
44444444444444
2 2D B A B B
A B
C
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
4444444444444444444444444444
44444444444444A44444444444444
D A B 444444444444444444444444444444444444444444 B
44444444444444
B44444444444444
C A B 444444444444444444444444444444444444444444
Überprüfung:
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3.2.2 Elektrische Feldstärke (S. 155, CW, 6. Aufl.)
eF q44444444444444
e ( ) ( )F r q E r44444444444444444444444444444444444444444444444444444444
eFE
q
4444444444444444444444444444
N Ws/m VAs/m V= =
As As As meF
Eq
Proportionalitätsfaktor
Wirkung der Ladung Q in der Entfernung r
Damit gilt wiederum bei Kenntnis der elektrischenFeldstärke für die Kraft auf die Ladung q
Messung z.B. über Kraft
Raumzustand wird durch elektrische Feldstärke
beschrieben
(3.5)
e ( ) V( )
m
F rE r
q
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Elektrische Feldstärke:
Einheit:
Probeladung
Bild 3.6. Probeladung q im Feld der Ladung Q(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])
eF44444444444444
q
0
e 2( )
4
Q rF r q
r
4444444444444444444444444444
0e
2
( )( )
4
F r Q rE r
q r
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Q(3.3)
(3.4)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 13
Kraft - Elektrische Feldstärke
V
meF
Eq
eF r q E r44444444444444444444444444444444444444444444444444444444
eF rE r
q
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Probeladung
Kraft, die aufdie Probeladungwirk!
ElektrischeFeldstärke, die von der LadungQ erzeugt wird.
Elektrische Feldstärke
Kraft
Einheit der elektrischen Feldstärke
0r r r
Probeladung
x
y
z eF r4444444444444444444444444444
r
q
Ortsvektor
Q
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 14
Kraft - Elektrische Feldstärke
0
2
0
2
3
3
4
4
4
r
r
Q rE r
r
Q r rE r
r r
Q rE r
r
44444444444444
4444444444444444444444444444
4444444444444444444444444444
4444444444444444444444444444
0r r r
x
y
z
r
Ortsvektor
Q
Elektrische Feldstärkeam Ort , d.h. am Punkt P
Radialfeld
( , , )P r P x y z
0
3 2
r r r
r r r
eF r
E rq
4444444444444444444444444444
4444444444444444444444444444
r
0
2
2
4
1
4
Q rE r
r
QE r E r
r
4444444444444444444444444444
4444444444444444444444444444
Betrag der elektrischen Feldstärke
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 15
Beispiel 3.1: Überlagerung von Feldstärken (S. 156, CW, 6. Aufl.)
const.
1 2
0 01 21 22 2
1 2
0 01 2
1 22 21 2
1 2
1 23 31 2
4 4
1
4
1
4
E r E r E r
Q r Q r
r r
r rQ Q
r r
r rQ Q
r r
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Wenn d.h. die Materialeigen-schaften linear sind, gilt auch für die Feldstärkender Überlagerungssatz (Superpositionsprinzip),allerdings in vektorieller Form:
Bild 3.7. Vektorielle Addition der von Q1 und Q2 angeregten Teilfeldstärken(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])
1 2E E4444444444444444444444444444
un d
1E44444444444444
2E44444444444444 E
44444444444444
2Q
1Q
01r
02r
2r
1r
1 1 1 1
1 11
1 1 1 1 1 1
2 2 21 1 1 1
x y z
x y z x y z
r x e y e z e
r r r
x e y e z e x e y e z e
r x y z
2 2 2 2
2 22
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2
x y z
x y z x y z
r x e y e z e
r r r
x e y e z e x e y e z e
r x y z
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 16
Beispiel 3.1: Überlagerung von Feldstärken (S. 156, CW, 6. Aufl.)
1 2
1 2
1 23 31 2
1
4
E E E
r rQ Q
r r
444444444444444444444444444444444444444444
Bild 3.7. Vektorielle Addition der von Q1 und Q2 angeregten Teilfeldstärken(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])
1 2E E4444444444444444444444444444
un d
1E44444444444444
2E44444444444444 E
44444444444444
2Q
1Q
01r
02r
2r
1r
1 1 1 1
2 2 21 1 1 1
x y zr x e y e z e
r x y z
2 2 2 2
2 2 22 2 2 2
x y zr x e y e z e
r x y z
1 1 1 2 2 21 23 3
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 21 23 3
2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2
1 1 2 23 3
2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2
1
4
1
4
1
4
x y z x y z
x y z x y z
x e y e z e x e y e z eE Q Q
x y z x y z
x e y e z e x e y e z eQ Q
x y z x y z
Q x Q x
x y z x y z
44444444444444
1 1 2 23 3
2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2
1 1 2 23 3
2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2
x y
z
Q y Q ye e
x y z x y z
Q z Q ze
x y z x y z
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Beispiel 3.1: Überlagerung von Feldstärken (S. 156, CW, 6. Aufl.)
1 2E E4444444444444444444444444444
un d
1E44444444444444
2E44444444444444 E
44444444444444
2Q
1Q
01r
02r
2r
1r
1 1 2 2 1 1 2 23 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 13
2 2 2 21 1 1
1 2 1 1
1
1 1 1 1
4 4 4 4
1
4 +
x y
x x y y
z
E E E E
E
Q x Q x Q y Q yE e e
x y z x y z x y z x y z
Q z
x y z
444444444444444444444444444444444444444444
2 23
2 2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1
4z
x y zx x y y z z
x y zx y z
zE
Q ze
x y z
E E e E E e E E e
E e E e E e
Bild 3.7. Vektorielle Addition der von Q1 und Q2 angeregten Teilfeldstärken(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])
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Beispiel 3.1a: Überlagerung von Feldstärken zweier Punktladungen
1 2
1 22
21
1 22 2
2 2
22
222
44
4 4
1 1
4
1 1
4 5
4
1 1
4 5
4
y z
y z
y z
y z
y z
E r E r E r
Q Qe e
r rr r
Q Qe e
a b
Qe e
a b
Qe e
dd
Qe e
dd
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1E r4444444444444444444444444444
2E r4444444444444444444444444444
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2Q Q
1Q Q01r
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a
b
11
22
,
5,
4
Q
Q
Q Q a r r d
Q Q b r r d
Gegeben:
Gesucht: 1 2E r E r E r 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Lösung:
2
2
1 4
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QE r e e
d
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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 19
Elektrische Feldstärke E - Größenordnungen
100 V/m 200 V/m
1 V/m 1 mV/m
1 MV/m
1 MV/m 10 MV/m
0,1 V/m
10 kV/m 1 MV/m
30 kV/cm
E
E
E
E
E
E
E
Atmosphäre (klares Wetter)
Oberfläche einer Rundfunkempfangsantenne
Oberfläche einer Hochspannungsleitung
Kondensator
Stromführender Leiter
Halbleiter (Sperrschicht)
Durchschlagsfestigkeit von Luft
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 20
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