Dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 1 Samenvatting week 7 •Begrippen: •botsing: kortdurende...

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20071

Samenvatting week 7• Begrippen:• botsing: kortdurende interactie• stoot: verandering van impuls :

elastisch: totale kinetische energie behouden inelastisch: alleen impulsbehoud zwaartepunt

• Externe krachten: verandering impuls zwaartepunt

I Fdt p

1 1

1

int

inti,j

actie is reactie: 0

N Ncm i

cm i ii i

Ncm

i ii

cmext

dr drp M m p

dt dt

dpm a

dt

dpF F

dt

F

zwaartepunt beweegt als deeltje met massa i

i

m


Zwaartepuntssysteem• Elastische botsingen zijn gemakkelijker te

beschrijven in het zwaartepuntssysteem.

1 2

1 2

1 1

2 2

1 1 2 2 1 2

2 22 21 1 1 2 2 21

1 1 2

2

1 2 1 2

211

2

1

0,

Kinetische energie:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

22

cmCM

r

CM

CM

CM

CM CM CM CM

CM

el

p p pv

M m m

u v v

u v v

m u m u p p p

m u v u v m u v u vp pK

m m

p m u

u

m

m m

u v

u

m

2 2 222 2

2 2 21 2 1 21 2 1 1 2 2

1, 2,

2 2

1, 2,1 2

const

22

2 ( )2 2 2

0

Elastisch: behouden: co

a

nst2 2

nt

CM CM CM

CM CM

CM rel rel CM internal

rel relrel l

l

re

re

mv u u v v

m m m mv u u m u m u v

K K K K K

p pK K K

m

p

m


Elastische botsing• labsysteem

1p

2p

1,ˆ fp

,

2 2

1

2 2 2 21

22 2

2

Reken uit : ,

Is gegeven?

cos2

2

ˆIs gegeven? 2

Behoud imp

rel rel

ff

i

f f cm rel f

cm relcm

cm rel

f CM rel

f cm rel cm rel

f frel cm cm f

p v

pv

m

p v v v

v v

v v

p m v v

p m v v v v

p pv v v p

m m

2, 1,uls: f CM fp p p

1p

CMp

2p

,i relp

,i relp


Voorbeeld• voorbeeld: 3-dimensionale botsing

1

1,

2

2,

1,

1, 1,

2, 2,

70

ˆ10

100

ˆ ˆ4 3

0.5

1ˆ 2

20.5

ˆ ˆ300 300 ,170

576.5

123.5

0

576.5

123.5

0

i

i

f

cmcm CM

rel i i CM

rel i i CM

m kg

mv x

sm kg

m mv x y

s s

p

pkgm kgmp x y v

s s kg

mp p p

M

mp p p

M

relrel

pv

m

22 2

2

2 2 2 2,

2

2 5

2 5

2

2 cos 0

0.51.7647

1140 1.7647 2 4900 6.228 70.94 0

20 0.5

298.2 3.17 10 0

298.2 (298.2) 4(3.17 10 )731.5

2

frel cm cm f

f CM f cm f cm rel

f f

f f

f

pv v v p

m m

p mv p m v v

p p

p p

p

,2

2 21 2

1 2

2 21 2

1 2

/

0.5300 66

1300 2 217 /

20 365.50.5

3822 925 4.752 2

3500 1250 4.752 2

f CM f f

f

i

kgm s

p p p p kgm s

p pK kJ

m m

p pK kJ

m m


Rotaties• Beschreven door

rotatie as, uitprodukt.

• hoeksnelheid.• verandering van punt

P is loodrecht op rotatie-as en op r:

i ids r d

d

dt

dsv r

dt


herhaling uitproduct

3 3

1 1

1 even permutatie van 123

1 oneven permutatie van 123

0 andere gevallen ( ,

x x y z z y

y y z x x z

z z x y y x

ijk

i ijk j k ijkj k

A B A B A B

A B A B A B A B

A B A B A B

ijk

c A B a b met ijk

i j i

, of )k j k


Hoekversnelling• Hoekversnelling:

• (vector grootheid)• (b.v. slinger)• Versnelling:

tangentiaal: alpha centripetaal:

• Kinetische energie:

2

2

d d

dt dt

2 2 2

2 ,v r

r rr r

22 2 2 2 21 1

, Traagheidsmoment: 2 2 2i i i i i i i

i i i

mv mr K m r I m r


Voorbeeld: 4 puntmassa’s

• hangt natuurlijk af van rotatie-as

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

4

12

21

2

14( ) 2

2

i ii

i ii

i i

I m r ma

K I ma

K m v

v r a

K ma ma


Continue massaverdeling: staaf• Integraal over dichtheid:

• Staaf:

2 2i

i

I m r r dm

2

0

2

0

3 2

0

1 1

3 3

L

L

L

x

I x dm

Mdm dx

L

MI x dx

L

MI x ML

L


Hoepel, schijf• rotatie langs

symmetrie-as hoepel:

• schijf: aantal hoepels binnen elkaar met dikte dr:

• Traagheidsmoment: additief!

2 2 2I r dm R dm MR

2 2

0

23

20

( 2 )

22

R

R

MI r dm r r dr

A

M MRr dr

R


Enige traagheidsmomenten


Parallelle assen stelling

• b.v. staaf:

2CMI I Mh

2

22 2

3 3/ 22 2

/ 2

1

3

1 1

3 2 12

1 1

3 2 2 12

Y

Y

L

Y

L

I ML

LI ML M ML

M M L LI x dx ML

L L


Parallelle assen stelling

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

( )

( ) ( ) 2 2

2 2

CM i i i i ii i

i i A i Ai

i i i A A i A i i A i ii i i i

CM CM CM CM

I m r m x y

I m x x y y

m x y x y m x m x y m y

I Mh Mx My I Mh


Voorbeeld: staaf• staaf, massa M, lengte L

vind hoeksnelheid kracht snelheid om boven te

komen

• hoeksnelheid: behoud Mechanische energie.

• kracht: vrije lichaams diagram

• snelheid om boven te komen: energiebehoud


Koppel: torque

• Punt in uitgebreid lichaam:

• Ga naar hoekversnelling:

• Koppel (torque):

t tF ma

2trF mr

2i i

i

r F m r I


Moment: uitprodukt• Zwaartekracht: grijpt altijd

aan in zwaartepunt.

net i i CMi

m gx gMx


Voorbeeld: staaf


voorbeeld: staaf• teken vrijelichaamsdiagram:

uitgebreid lichaam!• kracht Fa?

2

21

33

2

ext

grav

I

LMg

I ML

g

I L

, ,

,

2( 0) 02

23 3

2 2 4

y ext y CM

A y CM

cp

t

A

F Ma

Mg F Ma

La t

La

Mg F L gg

M L


VermogenHet kost arbeid om een

schijf te laten draaien:

i t i idW F ds d

dW dP

dt dtP


Rollen• Rollen zonder slippen:

2 2int

1 1

2 2

CM

CM

CM cm

v r

v R

a R

K K K Mv I


Voorbeeld: bal

22bol:

5I MR

hoe hoog komt de bal?


Voorbeeld: biljart• Waar moet je een biljartbal raken zodat hij

zonder slippen rolt?

2

5

CM

cm

cm

CM

cm

Fx I

F ma

a R

F FxR

m I

Ix R

mR


Voorbeeld: rollen zonder glijden

Dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 1 Samenvatting week 7 •Begrippen: •botsing: kortdurende...

Documents

Transcript of Dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 1 Samenvatting week 7 •Begrippen: •botsing: kortdurende...