Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan...
Transcript of Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan...
![Page 1: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika Terapan
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAJl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711
web:www.polsky.ac.id mail: [email protected]. / Fax.: +62 714 321099
Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1
12/17/2016
![Page 2: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/2.jpg)
Teori Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atauanggota.
Obyek diskrit dalam kehidupan sehari – hari : buku, komputer,mahasiswa, nilai ujian,dll
Pada prakteknya, data yang diolah komputer adalah dalambentuk diskrit, misalnya angka, karakter, suara , gambar(digital)
Dalam membicarakan obyek diskrit, kita sering menjumpaisituasi yang berhubungan dengan sekumpulan obyek dalamsuatu kelompok atau kelas
22/17/2016
![Page 3: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/3.jpg)
Enumerasi(Mendaftar semua anggotanya)
Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantaradua buah tanda kurung kurawalContoh 1
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8,
10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }- C = {a, {a}, {{a}} }- K = { {} }- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
32/17/2016
![Page 4: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/4.jpg)
Enumerasi Cont…
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggotahimpunan A.
42/17/2016
![Page 5: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/5.jpg)
Enumerasi Cont (2)…
Contoh 2.Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }K = {{}}
maka3 A5 B{a, b, c} Rc R{} K{} R
52/17/2016
![Page 6: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/6.jpg)
Enumerasi Cont (3)…
Contoh 3
Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}
maka
a P1
a P2
P1 P2
P1 P3
62/17/2016
![Page 7: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/7.jpg)
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ...}
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ...}
Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkandengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalahhimpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
72/17/2016
![Page 8: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/8.jpg)
Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4 i. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}atauA = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
ii. M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah mtkterapan,
M={x|x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah mtk terapan}iii. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama
dengan 8, dinyatakan sebagai berikutB={2,4,6,8}
82/17/2016
![Page 9: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/9.jpg)
Notasi Pembentuk Himpunan Cont..
Aturan yang digunakan dalam penulisan syaratkeanggotaan:1. Dibagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen
himpunan2. Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian
sehingga3. Bagian dikanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat
keanggotaan himpunan4. Setiap tanda ‘,’ didalam syarat keanggotaan
dibaca sebagai dan
92/17/2016
![Page 10: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/10.jpg)
Diagram Venn
Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajianhimpuna ini diperkenalkan oleh matematikawan inggris yangbernama John Venn pada tahun 1881.Didalam diagram venn, himpunan semesta U digambarkan sebagaisuatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkansebagai lingkaran didalam didalam segi empat tersebut.Anggota –anggota suatu himpunan berada didalam lingkaran,sedangkan anggota himpunan lain berada dalam lingkaran yang lainpulaAda kemungkinan 2 himpunan memiliki anggota yang sama dan halini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan.Anggota u yang tidak termasuk didalam himpunan manapundigambarkan diluar lingkaran
102/17/2016
![Page 11: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/11.jpg)
Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} danB = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
A dan B mempunyai anggotabersama yaitu 2 dan 5. anggotayang lain yaitu 7 dan 4tidaktermasuk didalam himpunan A danB
112/17/2016
![Page 12: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/12.jpg)
Kardinalitas(jumlah elemen himpunan)
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka Jumlah elemenberbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau A
Contoh 6(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil
dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula.Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidakberhingga, maka |R|=tak hingga, begitu juga himpunan bilangan bulat taknegatif, himpunan garis yang melalui titik pusat koordinat, himpunan titik disepanjang garis y = 2x + 3, dan lain-lain.
122/17/2016
![Page 13: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/13.jpg)
Himpunan Kosong
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).himpunan yang tidak memiliki satu elemenpun
Notasi : atau {}
Contoh 7
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0(iii) A ={x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 },
n(A)=0
132/17/2016
![Page 14: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/14.jpg)
Himpunan Kosong Cont…
Perhatikan bahwa himpunan {{}} dapat jugaditulis sebagai{}, begitu pula himpunan {{},{{}}}dapat juga ditulis sebagai {,{}}. Pehatikan jugabahwa {} bukan himpunan kosong melainkandia memuat satu elemen yaitu
Istilah seperti kosong, hampa, nihil ketiganyamengacu pada himpunan yang tidakmengandung elemen, tetapi istilah nol tidak samadengan ketiga istilah diatas, sebab nolmenyatakan sebuah bilangan tertentu.
142/17/2016
![Page 15: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/15.jpg)
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian darihimpunan B jika dan hanya jika setiap elemen Amerupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn: U
AB
152/17/2016
![Page 16: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/16.jpg)
Himpunan Bagian (Subset) Cont…
Contoh 8
i. { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
ii. {1, 2, 3} {1, 2, 3}
iii. N Z R C
iv. Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
162/17/2016
![Page 17: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/17.jpg)
Latihan
1. Tunjukkan bahwa A={a,b,c} adalah himpunanbagian sebenarnya dari B={a,b,c,d,e,f}
172/17/2016
![Page 18: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/18.jpg)
Penyelesaian
Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunanbagian sebenarnya (proper subset) dari B, perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A jugaelemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1 elemen B yang tidak terdapat didalam A.
Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B sehingga A B. sebaliknya d B tetapi d A, olehkarena ituA tidak sama dengan B. dengan demikianA adalah himpunan bagian sebenarnya dai B, kitatuliskan AcB
182/17/2016
![Page 19: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/19.jpg)
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakanelemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakanelemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan Badalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian,maka A B.
Notasi : A = B A B dan B A
192/17/2016
![Page 20: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/20.jpg)
Himpunan yang Sama Cont…
Analisa Contoh 9 berikut:i. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = Bii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = Biii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:a. A = A, B = B, dan C = Cb. jika A = B, maka B = Ac. jika A = B dan B = C, maka A = C
202/17/2016
![Page 21: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/21.jpg)
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan Bjika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunantersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh 10
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B ={ a, b, c, d },
maka A ~ B sebab A = B = 4
212/17/2016
![Page 22: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/22.jpg)
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yangsama.
Notasi : A // B
Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
U
A B
222/17/2016
![Page 23: Dosen: ZaidRomegarMair, ST., M.Cs Pertemuan1 · TeoriHimpunan Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objekyangberbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyekdiskritdalamkehidupansehari–hari](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021915/5c960c7a09d3f2650d8b9d80/html5/thumbnails/23.jpg)
Referensi
Matematika Diskrit : Rinaldi Munir
232/17/2016