Doble Integracion Ecuaciones de Momentos Por Rangos (1)
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1
CAPÍTULO 2 _________________________________________________________________________
MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
(ECUACIONES DE MOMENTOS POR RANGOS)
2.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
En el capítulo 1 se presenta el desarrollo que permite obtener la Ecuación Diferencial de
la Elástica (Ecuación 1.17), la cual es una ecuación diferencial de segundo orden.
Revisando el lado derecho de la Ecuación 1.17 se observa que, conforme a las hipótesis
simplificadoras adoptadas para el desarrollo de la fórmula, el valor del producto EI es
constante, ya que se está trabajando para elementos prismáticos (I constante) y para vigas
de un sólo material (E constante). En cambio, el momento flexionante M, en lo general
presenta variación, la cual depende de x.
Esto nos permite reescribir la ecuación diferencial de la elástica de la siguiente forma:
2
2
d vEI M x
dx (2.1)
La cual muestra que se debe resolver una ecuación diferencial de variables separables,
siendo el método de integración directa la opción más viable.
Al realizar una primera integración se obtiene:
1 dv
EI M x dx Cdx
(2.2)
Siendo C1 la constante de integración y recordando que la primer derivada de v con
respecto a x corresponde al giro (de acuerdo a la hipótesis de deformaciones pequeñas).
Integrando la ecuación 2.2
1 1 2 EIv M x dx C dx M x C x C (2.3)
Donde C2 es la constante de integración y el valor de v corresponde a la deflexión.
2
Por otra parte, si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de
momentos tendrá que reflejar dicha variación. Por lo general se establecen rangos de
aplicabilidad de las diversas ecuaciones de momentos necesarias para describir a la viga
en su totalidad. Los rangos se definen como el espacio comprendido entre dos puntos de
discontinuidad de cargas, los cuales pueden ser: cargas concentradas y/o inicio o fin de
cargas distribuidas.
Cada uno de estos rangos tiene su propia ecuación de momentos, mismas que al ser
integradas, generarán ecuación de giros y ecuación de deflexiones para cada rango, con
sus correspondientes constantes de integración. La obtención de los valores de las
constantes de integración se realiza en base a condiciones de frontera y a condiciones de
continuidad las cuales se describen en las secciones 2.2 y 2.3 respectivamente.
2.2 CONDICIONES DE FRONTERA
Para el caso en estudio, las condiciones de frontera son básicamente las condiciones
impuestas por el o los apoyos de la viga. Es decir, se trata de aplicar las ecuaciones
resultantes del proceso de integración en los lugares donde se conoce de antemano que el
tipo correspondiente de deformación es nulo, con el propósito de generar expresiones
matemáticas que permitan obtener los valores de las constantes de integración.
La Tabla 2.1 presenta en forma esquemática las condiciones de frontera para vigas
simplemente apoyadas, y la Tabla 2.2 las correspondientes a vigas con empotramiento y
voladizo.
Viga Condición de
Frontera 1
Condición de
Frontera 2
L
0
0
x
v
0
x L
v
L
a
a
0
x
v
0
x L
v
3
Tabla 2.1 Condiciones de Frontera en vigas simplemente apoyadas.
Viga Condición de
Frontera 1
Condición de
Frontera 2
L
0
x L
dv
dx
0
x L
v
L
0
0
x
dv
dx
0
0
x
v
Tabla 2.2 Condiciones de Frontera en vigas con empotramiento y voladizo.
2.3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD
Como ya se mencionó en la Sección 2.1 es frecuente que la descripción de la variación del
momento flexionante a lo largo de la viga requiera de establecer varios rangos, y por ende,
una ecuación de momentos para cada rango.
Las condiciones de continuidad se establecen específicamente en los puntos que limitan
los rangos. En estos puntos se presentan discontinuidades en cargas o momentos pero en
lo que respecta a giros y deflexiones no existe posibilidad de discontinuidad alguna,
siendo ésta la base de las condiciones de continuidad.
En otras palabras, la curva elástica de una viga es continua. Por lo tanto, en un punto
determinado solo puede existir un valor de deflexión y la tangente a la curva en dicho
punto también es única.
Dado que los rangos se establecen incluyendo al punto "frontera" entre dos de ellos,
bastará con calcular para el valor de x común a ambos rangos el valor del giro con la
ecuación correspondiente a cada rango en cuestión e igualar esas dos expresiones entre sí.
Se procede de forma análoga en el caso de las ecuaciones de deflexión.
4
2.4 CONSTANTES DE INTEGRACIÓN
Con la aplicación tanto de las condiciones de frontera como de las condiciones de
continuidad se genera un sistema de ecuaciones simultáneas, que al ser resueltas, se
obtienen los valores de las constantes de integración.
Vale la pena resaltar que en el caso del primer rango (el situado más a la izquierda de la
viga) las constantes de integración tienen una relación directa con los valores de
deformación en el inicio de la viga. Es decir:
1 en x=0Cdv
dx EI (2.4)
2 en x=0C
vEI
(2.5)
2.5 ECUACIONES FINALES
Una vez obtenidos los valores de las constantes de integración, se procede a sustituir
dichos valores en las ecuaciones producto del proceso de integración directa, llegando con
ello a las ecuaciones finales.
Se cuenta entonces con expresiones matemáticas que describen el comportamiento de la
viga en función de la variable independiente x. Basta con elegir la ecuación adecuado al
tipo de deformación que se desea calcular (giro o deflexión) en el rango adecuado (de
acuerdo al valor de x) y sustituyendo tal valor obtener el resultado correspondiente.
Es frecuente que se requiera calcular el valor de la deflexión máxima (en términos
absolutos) y para ello se aplican las técnicas del análisis de funciones, el cual forma parte
de los conocimientos que los alumnos adquirieron en el curso de cálculo diferencial e
integral.
En el caso de vigas con apoyos simples, se requiere localizar el valor de x donde la
derivada de la deflexión es nula, y con ese valor, calcular en la ecuación correspondiente
el valor de la deflexión máxima. En el caso de vigas con empotramiento y voladizo, si las
cargas actúan de acuerdo a la ley de la gravedad, el punto donde se presenta la deflexión
máxima es el extremo libre del elemento.
5
2.6 DIAGRAMA DE FLUJO DEL ALGORITMO
DATOS DE LA VIGA
DEFINIR EL RANGO
O
RANGOS EN LA VIGA
(Sección 2.1)
ESCRIBIR ECUACIÓN DE
MOMENTOS PARA CADA
RANGO
(Sección 2.1)
INTEGRAR DOS VECES CADA
ECUACIÓN DE MOMENTOS
(Sección 2.1)
ESTABLECER CONDICIONES
DE FRONTERA
(Sección 2.2)
¿HAY MÁS DE UN
RANGO?
OBTENER CONSTANTES DE
INTEGRACIÓN
(Sección 2.4)
PLANTEAR CONDICIONES DE
CONTINUIDAD
(Sección 2.3)
ESCRIBIR ECUACIONES
FINALES Y CALCULAR
DEFORMACIONES DE INTERÉS
(Sección 2.5)
SI NO
Figura 2.1 Diagrama de Flujo del Método de Doble Integración con Ecuaciones de
Momentos por rangos.
2.7 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO
En esta sección se presentan varios problemas resueltos con el propósito de ilustrar la
aplicación del método. Con la idea de poner énfasis específico en el método de la doble
integración en sí se hacen las siguientes consideraciones:
El módulo de elasticidad (E) y el momento de inercia (I) se manejan en forma simbólica.
Los valores de cargas y distancias se presentan sin unidades. En el caso de las cargas que
actúan sobre una zona de la viga el valor que se muestra corresponde al de la carga
unitaria (v.g. N/m, libras/pulgada, kgf/m).
El punto de partida es la determinación de los rangos y sus correspondientes ecuaciones
de momentos, considerando que son conocimientos que el lector ya posee. Sin embargo,
6
dada la importancia que tienen las ecuaciones de momentos para este tema, en el
Apéndice A1 se presentan los casos básicos de este tema.
EJEMPLO 2.1 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 3.
40
12 28
7 3
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
Rango 0 7x 7 10x
Ecuación de momentos 12
xM x
12 40( 7)x
M x x
Primera integración 2
1
12
2
dvEI x C
dx
2 2
3
12 40( 7)
2 2
dvEI x x C
dx
Segunda integración 3
1 2
6
3EIv x C x C
3 3
3 4
6 20( 7)
3 3EIv x x C x C
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
0 0x v
3
1 20 2 0 0EI C C 2 0C
10 0x v
3 3
3 4
200 2 10 10 7 10
3EI C C 3 410 1820C C
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de Continuidad Ecuación
rango I rango II7 ' 'x v v
2 2 2
1 3
12 12 40(7) (7) (7 7)
2 2 2C C
1 3C C
7
rango I rango II7 x v v
3 3 3
1 2 3 4
6 6 20(7) (7) (7) (7 7) (7)
3 3 3C C C C
2 4C C
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1
2
3
4
182
0
182
0
C
C
C
C
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)
2
3
0 7
12
6 182
2 182
x
x
M x
dvEI x
dx
EIv x x
2 2
3 3
7 10
12 40( 7)
6 20( 7) 182
2 6.667( 7) 182
x
x
M x x
dvEI x x
dx
EIv x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=3 (Sección 2.5)
2
3
1286(3) 182 128
4922(3) 182(3) 492
dv dvEI
dx dx EI
EIv vEI
8
EJEMPLO 2.2 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 4.
1500
2571.429 3428.571
2 4 1
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 2x 2 6x
2571.429
xM x
2( 2)
2571.429 15002
x
xM x
2
12571.4292
dv xEI C
dx
32
3
22571.429 1500
2 6
xdv xEI C
dx
3
1 22571.4296
xEIv C x C
43
3 4
22571.429 1500
6 24
xxEIv C x C
6 7x
2571.429 6000( 4)
xM x x
22
5
42571.429 6000
2 2
xdv xEI C
dx
33
5 6
42571.429 6000
6 6
xxEIv C x C
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
0 0x v
3
1 2
00 2571.429 0
6EI C C
2 0C
7 0x v
33
5 6
7 470 2571.429 6000 7
6 6EI C C
5 67 120000C C
9
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad
rango I rango II2 ' 'x v v
32 2
1 3
2 22 22571.429 2571.429 1500
2 2 6C C
1 3C C
rango I rango II2 x v v
43 3
1 2 3 4
2 22 22571.429 2 2571.429 1500 2
6 6 24C C C C
2 4C C
rango II rango III6 ' 'x v v
3 22 2
3 5
6 2 6 46 62571.429 1500 2571.429 6000
2 6 2 2C C
3 5 4000C C
rango II rango III6 x v v
4 33 3
3 4 5 6
6 2 6 46 62571.429 1500 6 2571.429 6000 6
6 24 6 6C C C C
3 4 5 66 6 8000C C C C
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1
2
3
4
5
6
15428.571
0
15428.571
0
19428.571
16000
C
C
C
C
C
C
10
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5) 0 2x
21285.714 15428.571dv
EI xdx
3428.571 15428.571EIv x x
2 6x
321285.714 250 2 15428.571
dvEI x x
dx
43428.571 62.5 2 15428.571EIv x x x
6 7x
221285.714 3000 4 19428.571
dvEI x x
dx
33428.571 1000 4 19428.571 16000EIv x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=4 (Sección 2.5)
3142.875
4
35285.714
dv
dx EI
x
vEI
11
EJEMPLO 2.3 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 4.5
360
216 324
1 3 1
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 1x 1 4x
216
xM x
3216 20( 1)
xM x x
2
1108dv
EI x Cdx
42
3108 5 1dv
EI x x Cdx
3
1 236EIv x C x C 53
3 436 1 1EIv x x C x C
4 5x
216 540( 3)
xM x x
22
5108 270 3dv
EI x x Cdx
33
5 636 90 3EIv x x C x C
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
0 0x v
3
1 20 36 0 0EI C C 2 0C
5 0x v
3 3
5 60 36 5 90 5 3 5EI C C 5 65 3780C C
12
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad
rango I rango II1 ' 'x v v
2 2 4
1 3108 1 108 1 5 1 1C C
1 3C C
rango I rango II1 x v v
3 3 5
1 2 3 436 1 1 36 1 1 1 1 1C C C C
2 4C C
rango II rango III4 ' 'x v v
2 4 2 2
3 5108 4 5 4 1 108 4 270 4 3C C
3 5 135C C
rango II rango III4 x v v
3 5 3 3
3 4 5 636 4 1 4 1 4 36 4 90 4 3 4C C C C
3 4 5 64 4 153C C C C
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1
2
3
4
5
6
698.4
0
698.4
0
833.4
387
C
C
C
C
C
C
13
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5) 0 1x
2108 698.4dv
EI xdx
336 698.4EIv x x
1 4x
42108 5 1 698.4
dvEI x x
dx
5336 1 1 698.4EIv x x x
4 5x
22108 270 3 833.4
dvEI x x
dx
3336 90 3 833.4 387EIv x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=4.5 (Sección 2.5)
746.1
4.5
386.55
dv
dx EI
x
vEI
14
EJEMPLO 2.4 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 5
300
515 435
1 3 42
500
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 1x 1 4x
515
xM x
3
515 16.667 1x
M x x
2
1257.5dv
EI x Cdx
42
3257.5 4.167 1dv
EI x x Cdx
3
1 285.833EIv x C x C 53
3 485.833 0.833 1EIv x x C x C
4 6x 6 10x
515 450 3x
M x x 515 450 3 500 6x
M x x x
22
5257.5 225 3dv
EI x x Cdx
2 22
7257.5 225 3 250 6dv
EI x x x Cdx
33
5 685.833 75 3EIv x x C x C
3 33
7 8
85.833 75 3 83.333 6EIv x x x
C x C
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
0 0x v
3
1 20 85.833 0 0EI C C 2 0C
5 0x v
3 3 2
7 80 85.833 10 75 10 3 83.333 10 6 10EI C C 7 810 54775C C
15
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad
rango I rango II1 ' 'x v v
2 2 4
1 3257.5 1 257.5 1 4.167 1 1C C
1 3C C
rango I rango II1 x v v
3 3 5
1 2 3 485.833 1 1 85.833 1 0.833 1 1 1C C C C
2 4C C
rango II rango III4 ' 'x v v
2 4 2 2
3 5257.5 4 4.167 4 1 257.5 4 225 4 3C C
3 5 112.5C C
rango II rango III4 x v v
3 5 3 3
3 4 5 685.833 4 0.833 4 1 4 85.833 4 75 4 3 4C C C C
3 4 5 64 4 127.5C C C C
rango III rango IV6 ' 'x v v
2 2 2 2 2
5 7257.5 6 225 6 3 257.5 6 225 6 3 250 6 6C C
5 7C C
rango III rango IV6 x v v
3 3 3 3 2
5 6 7 885.833 6 75 6 3 6 85.833 6 75 6 3 83.333 6 6 6C C C C
6 8C C
16
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1 3 5 7
2 4 6 8
5397.5 5397.5 5509.75 5509.75
0 0 322.5 322.5
C C C C
C C C C
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)
0 1x
2
3
257.5 5397.25
85.833 5397.25
dvEI x
dx
EIv x x
1 4x
42
53
257.5 4.167 1 5397.25
85.833 0.833 1 5397.25
dvEI x x
dx
EIv x x x
4 6x
22
33
257.5 225 3 5509.75
85.833 75 3 5509.75 322.5
dvEI x x
dx
EIv x x x
6 10x
2 22
3 33
257.5 225 3 250 6 5509.75
85.833 75 3 83.333 6 5509.75 322.5
dvEI x x x
dx
EIv x x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=5 (Sección 2.5)
27.75
4.5
17097.083
dv
dx EI
x
vEI
17
EJEMPLO 2.5 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 1
20
280
5 6 12
50
30
40
1630
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 5x 5 11x
30
xM x
2 3
30 10 5 0.833 5x
M x x x
2
115dv
EI x Cdx
2 3 4
315 3.333( 5) 0.208( 5)dv
EI x x x Cdx
3
1 25EIv x C x C 3 4 5
3 45 0.833( 5) 0.042( 5)EIv x x x C x C
11 13x
30 120( 8) 90( 9)
xM x x x
2 2 2
515 60( 8) 45( 9)dv
EI x x x Cdx
3 3 3
5 65 20( 8) 15( 9)EIv x x x C x C
13 14x
30 120 8 90 9 40 13x
M x x x x
2 2 2 2
715 60( 8) 45( 9) 20( 13)dv
EI x x x x Cdx
3 3 3 3
7 85 20( 8) 15( 9) 6.667( 13)EIv x x x x C x C
18
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
14 ' 0x v
2 2 2 2
70 15 14 60(14 8) 45(14 9) 20(14 13)EI C 7 6245C
14 0x v
3 3 3 3
80 5 14 20(14 8) 15(14 9) 6.667(14 13) 6245 14EI C 8 67508.333C
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad
rango I rango II5 ' 'x v v
2 2 3 4
1 315 5 15 5 3.333(5 5) 0.208(5 5)C C
1 3C C
rango I rango II5 x v v
3 3 4 5
1 2 3 45 5 5 5 5 0.833(5 5) 0.042(5 5) 5C C C C
2 4C C
rango II rango III11 ' 'x v v
2 23 4 2 2
3 515 11 3.333(6) 0.208(6) 15 11 60(3) 45(2)C C
3 5 270C C
rango II rango III11 x v v
3 34 5 3 3
3 4 5 65 11 0.833(6) 0.042(6) 11 5 11 20(3) 15(2) 11C C C C
3 4 5 611 11 744C C C C
rango III rango IV13 ' 'x v v
2 22 2 2 2 2
5 715 13 60(5) 45(4) 15 13 60(5) 45(4) 20(0)C C
5 7C C
rango III rango IV13 x v v
3 33 3 3 3 3
5 6 7 85 13 20(5) 15(4) 13 5 13 20(5) 15(4) 6.667(0) 13C C C C
6 8C C
19
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1 3 5 7
2 4 6 8
6515 6515 6245 6245
69734.333 69734.333 65708.333 65708.333
C C C C
C C C C
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)
0 5x
2
3
15 6515
5 6515 69734.333
dvEI x
dx
EIv x x
5 11x
2 3 4
3 4 5
15 3.333( 5) 0.208( 5) 6515
5 0.833( 5) 0.042( 5) 6515 69734.333
dvEI x x x
dx
EIv x x x x
11 13x
2 2 2
3 3 3
15 60( 8) 45( 9) 6245
5 20( 8) 15( 9) 6245 67508.333
dvEI x x x
dx
EIv x x x x
13 14x
2 2 2 2
3 3 3 3
15 60( 8) 45( 9) 20( 13) 6245
5 20( 8) 15( 9) 6.667( 13) 6245 67508.333
dvEI x x x x
dx
EIv x x x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=1 (Sección 2.5)
6500
1
63224.333
dv
dx EI
x
vEI
20
EJEMPLO 2.6 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente
viga en x = 4
5
157 4
2 3 1 1
23.333 20.167
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 2x 2 5x
22.5
xM x
2 3
10 1 23.333 2 7.5 2 0.833 2x
M x x x x
3
10.833dv
EI x Cdx
2 42 3
3
5 1 11.667( 2) 2.5( 2) 0.208 2dv
EI x x x xdx
C
4
1 20.208EIv x C x C
3 3 4
5
3 4
1.667 1 3.889( 2) 0.625( 2)
0.042 2
EIv x x x
x C x C
5 6x
10 1 23.333 2 22.5( 3) 20.167( 5)x
M x x x x
2 2 2 2
55 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5)dv
EI x x x x Cdx
3 3 3 3
5 61.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5)EIv x x x x C x C
6 7x
10 1 23.333 2 22.5( 3) 20.167( 5) 7( 6)x
M x x x x x
2 2 2 2 2
75 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 3.5( 6)dv
EI x x x x x Cdx
3 3 3 3 3
7 81.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 1.167( 6)EIv x x x x x C x C
21
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
2 0x v 1 22 3.333C C
5 0x v 3 45 42.167C C
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad Ecuación
2x rango I rango II' 'v v
1 3 1.667C C
rango I rango IIv v
1 2 3 42 2 1.667C C C C
5x rango II rango III' 'v v
3 5 5.625C C
rango II rango IIIv v
3 4 5 65 5 10.5C C C C
6x rango III rango IV' 'v v
5 7C C
rango III rango IVv v
6 8C C
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1 2 3 4
5 6 7 8
15.167 27 13.5 25.333
7.875 7.708 7.875 7.708
C C C C
C C C C
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)
0 2x
30.833 15.167dv
EI xdx
40.208 15.167 27EIv x x 2 5x
2 42 35 1 11.667( 2) 2.5( 2) 0.208 2 13.5
dvEI x x x x
dx
3 53 41.667 1 3.889( 2) 0.625( 2) 0.042 2 13.5 25.333EIv x x x x x
22
5 6x
2 2 2 25 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 7.875
dvEI x x x x
dx
3 3 3 31.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 7.875 7.708EIv x x x x x
6 7x
2 2 2 2 25 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 3.5( 6) 7.875
dvEI x x x x x
dx
3 3 3 3 31.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 1.167( 6) 7.875 7.708EIv x x x x x x
6. Valores de giro y deflexión en x=4 (Sección 2.5)
1.5 6.111
4dv
x vdx EI EI
23
EJEMPLO 2.7 Usando el método de la doble integración, calcule la deflexión máxima en la viga.
600
885 1065
1 3
450
1
1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)
0 1x 1 2x
885
xM x
885 600 1x
M x x
2
1442.5dv
EI x Cdx
2 2
3442.5 300( 1)dv
EI x x Cdx
3
1 2147.5EIv x C x C 3 3
3 4147.5 100( 1)EIv x x C x C
2 5x
2
885 600 1 225 2x
M x x x
32 2
5442.5 300( 1) 75 2dv
EI x x x Cdx
43 3
5 6147.5 100( 1) 18.75 2EIv x x x C x C
2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)
Condición de Frontera Ecuación
0 0x v 2 0C
5 0x v 5 65 10518.75C C
24
3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)
Condición de continuidad Ecuación
1x rango I rango II' 'v v
1 3C C
rango I rango IIv v
2 4C C
2x rango II rango III' 'v v
3 5C C
rango II rango IIIv v
4 6C C
4. Constantes de integración (Sección 2.4)
1 3 5
2 4 6
2103.75 2103.75 2103.75
0 0 0
C C C
C C C
5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)
0 1x
885
xM x
2442.5 2103.75dv
EI xdx
3147.5 2103.75EIv x x
1 2x
885 600 1x
M x x
2 2442.5 300( 1) 2103.75dv
EI x xdx
3 3147.5 100( 1) 2103.75EIv x x x
2 5x
2
885 600 1 225 2x
M x x x
32 2442.5 300( 1) 75 2 2103.75
dvEI x x x
dx
43 3147.5 100( 1) 18.75 2 2103.75EIv x x x x
25
6. Deflexión máxima (Sección 2.5)
a. Primer opción: revisando todos los rangos
Se busca la tangente horizontal en cada rango (EIv'=0), dependiendo del resultado de las
raíces se determinará la correcta.
Primer rango
0 1x
2442.5 2103.75 0x
1 22.180 2.180x x
Las dos raíces están fuera del rango, por ende son desechadas.
Segundo rango
1 2x
2 2442.5 300( 1) 2103.75 0x x
1 22.510 6.721x x
Las dos raíces están fuera del rango, por ende son desechadas.
Tercer rango
2 5x
32 2442.5 300( 1) 75 2 2103.75 0x x x
1 2 32.5179 6.789 1.4069x x x
La primer raíz está dentro del rango correspondiente, por lo tanto es la correcta. Las otras
dos son desechadas.
El valor de la flecha máxima es
0
2.5179
3293.561
dv
dx EI
x
vEI
26
b. Segunda opción: calculando el giro en los límites de rangos para de ahí deducir en cual
de ellos se encuentra la tangente horizontal y por lo tanto, la flecha máxima.
2103.750
dvx
dx EI
1661.251
dvx
dx EI
63.3752
dvx
dx EI
2133.75
5dv
xdx EI
Se observa que la tangente horizontal se encuentra en el tercer rango 2 5x
con lo cual se procede a obtener la raíz de la ecuación de giro en ese rango y con el
valor de x resultante se calcula la deflexión máxima, lo cual da el mismo resultado que
en la primer opción.