Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i...
Transcript of Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i...
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej,
PWN Warszawa- -Kraków 1995.
♦ Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów
wartościowych, WIG Press Warszawa 1998.
♦ Fabozzi F.J., Rynki obligacji – analiza i strategie, WIG Press, Warszawa 2000.
♦ Fabozzi F.J., Fong G.; Zarządzanie portfelem inwestycji przynoszących stały
dochód, PWN, Warszawa 2000
♦ R.A.Haugen, Teoria nowoczesnego inwestowania , WIG Press, Warszawa 1996.
♦ Hull J.; Kontrakty terminowe i opcje – wprowadzenie, WIG Press Warszawa
1997
♦ Jackowicz K.; Zarządzanie ryzykiem stopy procentowej, PWN, Warszawa 1999
3
♦ A.Janicki, A.Izydorczyk, Komputerowe metody w modelowaniu
stochastycznym, WNT Warszawa 2001.
♦ Johnson H.; Ocena projektów inwestycyjnych – Maksymalizacja wartości
projektów inwestycyjnych, Wydawnictwo K.E.Liber s.c. Warszawa 2000.
♦ W.Jurek, Konstrukcja i analiza portfela papierów wartościowych o zmiennym
dochodzie, Wyd. AE, Poznań 2001.
♦ J.J.Murphy, Analiza techniczna, WIG Press, Warszawa 1995.
♦ Piasecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo
Naukowe AE, Poznań 2005.
♦ Piasecki K. Modele matematyki finansowej, Wydawnictwo Naukowe PWN ,
Warszawa 2007.
4
♦ Smaga E.; Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków 1999.
♦ Sobczyk M.; Matematyka finansowa, Placet, Warszawa 1997
♦ Sobczyk K.: Stochastyczne równania różniczkowe. WNT Warszawa, 1996.
♦ Tarczyński W., Zwolankowski M.: Inżynieria finansowa instrumenty, strategie,
zarządzanie ryzykiem. Agencja Wydawnictwa Placet Warszawa, 1999.
♦ Tarczyński W.; Rynki kapitałowe, Placet Warszawa 1997
♦ Tarczyński W.,Zwolankowski M. Inżynieria finansowa, Placet Warszawa 1999.
5
♦ Tarczyński W. Fundamentalny portfel papierów wartościowych, PWE,
Warszawa 2002.
♦ Tarczyński W., Mojsiewicz M. Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa 2001.
♦ Weron A., Weron R.,: Inżynieria finansowa WNT Warszawa, 1998.
6
Arytmetyka finansowa
I.1. Model aprecjacji kapitału
Każdy rynek finansowy jest charakteryzowany przez zachodzący na nim
ustalony proces przyrostu wartości (aprecjacji) kapitału.
przedziału analizy kapitałowej.
uniwersalną jednostką pomiaru czasu =
rok identyfikowany
z długością okresu obrachunkowego
7
Przykład: Jeśli za Ustawą o Rachunkowości przyjmiemy, że jeden rok liczy
365 dni, to wtedy jeden dzień identyfikować będziemy z ułamkiem , okres
na przykład 8 dni z ułamkiem , zaś okres 1 miesiąca z ułamkiem .
Pod pojęciem kapitału rozumiemy tą część posiadanych środków
finansowych, która podlega procesowi aprecjacji, to jest wynikającemu z
zewnętrznych warunków gospodarowania procesowi przyrostu wartości.
instrument finansowy o wartości nominalnej C w momencie 0t .
C wartość początkowa
przychody, należności, inne aktywa, wydatki, zobowiązania, inne
pasywa.
8
9
tCs , wartość przyszła
Postać analityczna
tCtCs ,
czynnik aprecjacji ,1,0: T niemalejąca funkcja spełniającą
warunek
10 .
Przykład: Jeśli proces aprecjacji kapitału polega na 20% przyroście rocznym
wartości początkowej kapitału, to wtedy wartość przyszła jest opisana za
pomocą tożsamości
. .
10
RTCt ,0, , strumień finansowy
Przykład : Kwotę 1000zł dostępną za trzy miesiące zapisujemy jako
strumień .
CtPV , wartość bieżąca strumienia finansowego Ct, to taka wartość
początkowa , której wartość przyszła w momencie przepływu strumienia t jest
równa wartości nominalnej C tego przepływu
CtCtPVs ,, .
11
Postać analityczna wartości bieżącej
tCtCCtPV 1
,
czynnik dyskonta 1;0,0: T
nierosnąca funkcja spełniającą warunek
10 .
dyskontowanie wartości kapitału.
Przykład: Wartość bieżącą zdefiniowaną przez wartość przyszłą opisaną w
poprzednim przykładzie wyznaczamy za pomocą zależności
12
relacja równoważności strumieni finansowych.
Dwa strumienie finansowe są równoważne wtedy i tylko wtedy,
gdy ich wartości bieżące są równe.
CtFV , wartość końcowa
Wartość przepływu CtFVT ,, równoważnego Ct,
CtPVCtFVTPV ,,, .
13
Postać analityczna
tCTtCCtFV 1
, ,
czynnik waloryzacji 1;0,0: T nierosnąca funkcją spełniającą warunek
1T .
waloryzacja wartości kapitału
Przykład :Śledzimy proces aprecjacji kapitału jedynie w ciągu najbliższego
roku obrachunkowego. Przedział analizy kapitałowej
.
14
- wartości przyszłe można określić jedynie za pomocą tożsamości (1.1) ;
wartości bieżące można określić jedynie za pomocą opisanych tożsamości
wartości końcowe można określić jedynie za pomocą opisanych tożsamości
dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy
jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione wartość przyszłą albo
wartość bieżącą albo wartość końcową.
15
I.2. Odsetki
odsetka jako koszt użytkowania kapitału.
cenę kapitału = ułamek jego wartości = koszt użytkowania przez jeden rok
stopa nominalna =ułamek dziesiętny
cena użytkowania przez okres kapitału o wartości nominalnej =
odsetka
ptCptCo , .
16
17
Przykład:
Odsetki za użytkowanie kapitału 100C w
przedziale obliczane są według stopy nominalnej 13,0p .
Odsetki są zapłatą za użytkowanie
wymienionego wyżej kapitału przez okres .
.
18
I.3. Struktura terminowa forward stóp procentowych
przedział analizy finansowej .
ciąg momentów czasowych n
iit 0, że spełniony jest warunek
Ttttt n 2100 .
jedyne momenty czasowe, kiedy zmienia się kapitał
względna prędkość przyrostu kapitału jest niezależna od wartości
początkowej tego kapitału.
19
proces aprecjacji kapitału o wartości początkowej
,
Przykład : Przebieg zmienności procesu aprecjacji kapitału
.
względną prędkość wzrostu wartości kapitału w
stopa procentowa=stopa forward=stopa terminowa
,
struktura terminowa forward
20
.
21
Przykład: Dla podanego już procesu aprecjacji kapitału wyznaczamy kolejne
stopy forward.
,
,
,
.
.
22
23
I.4.Oprocentowanie proste
dane
. .
wartość należna
Postać analityczna
.
24
wartość bieżąca sprzężona z wartością należną
.
Przykład : struktura terminowa
w przedziale jest .
25
Przykład: Dyskontujemy weksel o wartości wymagalny za osiem
miesięcy. .
26
I.5 Oprocentowanie złożone
dane
jedyne momenty kapitalizacji odsetek.
W wartość kapitału nie ulega zmianie.
okres kapitalizacji
1 iii ttt
Odsetki możemy skapitalizować jedynie na jeden z dwóch sposobów:
- na początku tego przedziału (kapitalizacja z
góry),
27
- na końcu tego przedziału (kapitalizacja z
dołu).
- oprocentowanie złożone,
I.5.1 Nieregularna struktura terminowa forward
1 ii tq
,
wartość kapitalizowana z góry
28
,
ii
i
itq
tt
110
1
*
**
29
Sprzężona wartość bieżąca
.
Przykład:
,
,
,
30
,
.
.
31
.
wartość kapitalizowana z dołu
,
iiii tptt 110 1***
32
sprzężona wartość bieżąca
.
33
Przykład
,
,
,
,
.
34
.
35
.
Przykład:
.
.
stopa kapitalizacji z dołu jest naturalną ceną kapitału
36
„Jeśli cenę kapitału wyraża struktura terminowa forward
stóp kapitalizacji z dołu, to jaką postać powinna
przyjąć opisująca te same ceny struktura terminowa forward
stóp kapitalizacji z góry?”
. .
Przykład :
.
,
37
,
,
.
.
Przykład :
38
.
39
.
40
5.2 Regularna struktura terminowa forward
qt,
1 tq
wartość kapitalizowaną z góry
.
wartość bieżącą sprzężona z wartością kapitalizowana z góry
41
.
Przykład :
.
42
.
43
wartość kapitalizowana z dołu
,
wartość bieżącą sprzężona z wartością kapitalizowana z dołu
.
struktura terminowej stóp kapitalizacji z dołu r qt, wyznacza regularną
strukturę terminową stóp kapitalizacji z góry *, qt
44
.
45
Przykład:
.
.
Przykład: struktura terminowa stóp kapitalizacji z góry wyznaczona przez
opisaną w strukturę terminową jest reprezentowana przez parę
46
.
I.6. Arytmeryka handlowa
Wartość należna i wartości skapitalizowane wyznaczone dla przypadku
regularnej struktury terminowej forward stanowią podstawę teoretyczną działu
matematyki finansowej nazywanego arytmetyką handlową.
47
Kredyt kupiecki odroczony termin płatności za oferowany towar.
Sprzedający towar oferuje go po cenie c~ i
godzi się na przyjęcie zapłaty gotówką po okresie t od daty wydania
towaru. Okres t nazywamy okresem odroczenia płatności.
Z drugiej strony sprzedawca zachęca do
natychmiastowej zapłaty udzielając w dniu zakupu względnego upustu
cenowego o wartości 0~1 s . Upust taki nazywamy skonto.
48
W tej sytuacji model nie przeterminowanej
zapłaty za towar możemy przedstawić jako funkcję RtRz ,0:~
daną przy pomocy zależności
1
,,~~1,0~
0~~1,~~
tsttcss
ttc
tcstcz .
funkcja wypłat jest identyczna z wartością kapitalizowaną z góry, gdzie stopa
procentowa jest równa 1~ ts .
49
koszt kredytu ustala się jako stopę procentową p~ przy założeniu, że odsetki
są kapitalizowane z dołu.
cpttcss ~~,,~~1* .
ctpcs ~~1~~1 ,
t
s
ts
sp
~
~1
~~ .
50
Przykład 6.1: Sprzedawca godzi się na przyjęcie zapłaty gotówką po okresie
51 t od daty wydania towaru. Z drugiej strony sprzedawca zachęca do
natychmiastowej zapłaty udzielając w dniu zakupu względnego upustu
cenowego o wartości 03,0~ s . Koszt kredytu kupieckiego wynosi wtedy
221,0
03,01
03,0~
365
51
p
.
51
I.7. Arytmetyka inwestycyjna
1Z Koszt użytkowania kapitału jest opisany przy pomocy stałej stopy
forward równej stopie nominalnej ;
2Z Długość okresu kapitalizacji jest stała i wynosi t ;
3Z Jednostką miary czasu jest długość okresu kapitalizacji to jest 1t :
[Z4] Istnieje ryzyko stopy procentowej, to jest wartość stopy nominalnej może
w przyszłości może ulec zmianie.
52
proces aprecjacji kapitału
,
- – stopa nominalna równa stopie wzrostu wartości kapitału;
- - wartość kapitału w momencie czasowym ;
- - wartość początkowa kapitału.
53
wartość przyszła
.
wartość bieżąca sprzężona z wartością przyszłą
.
wartość końcowa sprzężona z wartością przyszłą
.
Przykład: stopa wzrostu . w przedziale .
,
54
,
.