Dénombrements et analyse combinatoire

Introduction :

- l’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui

étudie comment compter les objets.

- Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement

utiles en théorie des probabilités.

Principe fondamental de dénombrement :

Soit une expérience aléatoire E composée de r expériences

successives, la première pouvant produire un résultat quelconque

parmi n1 résultats possibles, la deuxième produisant un résultat

quelconque parmi n2 résultats possibles,….., la rième

pouvant produire

un résultat quelconque parmi nr résultats possibles.

Le nombre total de résultats possibles pour l’expérience aléatoire E

est le produit de n1*n2*n3*…..*nr.

Exemple :

Calculons le nombre de plaques minéralogiques distinctes disponibles par

département quand la numérotation comprend 4 chiffres et 2 lettres.

Réponse :

En donnant une case à chaque chiffre ou lettre, donc on peut

attribuer :

10 chiffres à la 1ere

case

10 chiffres à la 2eme

case

10 chiffres à la 3eme

case

10 chiffres à la 4eme

case

26 lettres à la 5eme

case

26 lettres à la 6eme

case

Le nombre de plaques différentes est donc :

N = 10.10.10.10.26.26 = 6750000 plaques

1. Arrangement :

1.1. Arrangement sans répétition Définition :

On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n

éléments de E, toute disposition ordonnée de p éléments de E.

Exemple1 :

Les arrangements à 2 éléments de l’ensemble (1,2 ,3) sont

(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)

Proposition :

le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments pris dans un

ensemble à n éléments est :

𝐴𝑛𝑝 = n (n-1) (n-2)…………… (n - p +1)

Démonstration :

Il y a n façons de choisir le premier élément de l’arrangement parmi

les n éléments de l’ensemble. Pour le deuxième élément de

l’arrangement il y a (n−1) façons de le choisir, puisqu’il ne doit pas y

avoir répétition d’un élément.

En itérant on vérifie qu’il y a (n−p+1) façons de choisir le pième

élément de l’arrangement.

Au total, le nombre d’arrangements d’après le principe de

dénombrement est donc n (n−1)............. (n−p+1).

Exemple2 : De combien de façon peut-on placer 3 dossiers différents dans 15 casiers vides à

raison d’un dossier par casier.

Réponse : On a : 15 façons différentes pour placer le 1er dossier

14 façons différentes pour placer le 2eme dossier

13 façons différentes pour placer le 3eme dossier

Au total on a : N = 15.14.13 = 2730 façons différentes.

Notion factorielle :

n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…………….1

1!=1 2!=2.1=2 3!=3.2.1=6

Par convention : 0!=1

En appliquant cette notion factorielle à l’expression de 𝐴𝑛𝑝 , on trouve

𝐴𝑛𝑝

= n(n-1)(n-2)…… …(n – p +1) . (𝐧−𝐩)!

(𝐧−𝐩)! =

𝐧!

(𝐧−𝐩)!

Application: (exemples précédents)

Exple1: l’ensemble (1,2 ,3)

On a: n=3 et p=2 donc 𝐴32 =

𝟑!

(𝟑−𝟐)! = 6

Exple2: (3dossiers)

On a: n=15 et p=3 donc

𝐴153 =

𝟏𝟓!

(𝟏𝟓−𝟑)! = 15.14.13=2730 façons différentes.

1.2. Arrangement avec répétition : Lorsqu’un élément peut être choisi plusieurs fois dans un

arrangement, le nombre d’arrangement avec répétition de p éléments

pris parmi n, est alors : 𝐴𝑛𝑝

= np avec 1 ≤ p ≤ n

Démonstration :

il y a n façons de choisir le premier élément de l’arrangement parmi

les n éléments de l’ensemble. Pour le deuxième élément de

l’arrangement il y a également n façons de le choisir, car le premier

élément fait de nouveau parti des n éléments.

En itérant on vérifie qu’il y a n façons de choisir le pième

élément de

l’arrangement.

Au total, le nombre d’arrangements d’après le principe de

dénombrement est donc : 𝐴𝑛𝑝

= n.n.n.n……..n = np

2. Permutations :

2. 1.Permutations sans répétition: Définition :

On appelle permutation des n éléments de l’ensemble E toute

disposition ordonnées de ces n éléments.

Le nombre de permutations de n éléments est noté Pn

Les permutations de n éléments constituent un cas particulier des

arrangements sans répétition : c’est le cas où p=n.

Ainsi le nombre de permutation de n élément est :

Pn = 𝐴𝑛𝑛=

n!

(n−n)! = n!

Remarque :

Deux permutations ne différent donc que par l’ordre des n éléments

distincts qui la composent.

Exemple :

les permutations de l’ensemble (1,2,3) sont :

(1,2,3) , (1,3,2), (2,1,3) , (2,3,1) , (3,1,2) , (3,2,1) .

On a P3= 3!= 6

2. 2.Permutations avec répétition:

Dans le cas où il existerait plusieurs répétitions k d’un même

élément parmi les n éléments, le nombre de permutations possibles

des n éléments doit être rapporté aux nombres de permutations des k

éléments identiques.

Le nombre de permutations de n éléments est alors : Pn= 𝐧!

𝐤!

En effet, les permutations de k éléments identiques sont toutes

identiques et ne comptent que pour une seule permutation.

Exemple :

Considérons le mot « CELLULE ». Le nombre de mots possibles

(avec ou sans signification) que l’on peut écrire en permutant ces 7

lettres est : P7 = 𝟕!

𝟐!𝟑! = 420 mots possibles

En considérant deux groupes de lettres identiques : L (3fois) et E (2fois)

3. combinaisons :

Définition :

On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments d’un

ensemble E toute disposition non ordonnée de p éléments de E.

Remarque :

Deux combinaisons ne diffèrent que par la nature des éléments qui la

composent, l’ordre de ces éléments est indifférent.

Exemple :

Les combinaisons à deux éléments de l’ensemble 1,2,3 sont :

(1,2) ;(1,3) ;(2,3) .

Proposition :

Le nombre de combinaisons de p éléments pris dans un ensemble à n

éléments est : 𝑪𝒏𝒑 =

𝐧!

𝐩!(𝐧−𝐩)!

Démonstration :

Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n

éléments est : 𝑨𝒏𝒑

= 𝐧!

(𝐧−𝐩)!

Pour une combinaison de p éléments donnés il y a p! arrangements

différents de ces p éléments (correspondant au nombre de

permutations des p éléments de la combinaison) est donc au final le

nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n éléments est

donc : 𝑪𝒏𝒑

= 𝑨𝒏

𝒑

𝐩! =

𝐧!

𝐏!(𝐧−𝐩)!

Application:

Exple1: (exemple précédent)

Les combinaisons à deux éléments de l’ensemble 1, 2,3

Réponse :

On a n=3 et p=2 donc 𝑪𝟑𝟐 =

𝟑!

𝟐!(𝟑−𝟐)! = 3

Exple2: De combien de façons différentes peut-on choisir 2 délégués parmi 4

étudiants.

Réponse :

On a n=4 et p=2 donc 𝑪𝟒𝟐 =

𝟒!

𝟐!(𝟒−𝟐)! = 6

propriétés : 𝑪𝒏𝒏=1 ; 𝑪𝒏

𝟎=1

𝑪𝒏𝒑

= 𝑪𝒏𝒏−𝒑

; 𝑪𝒏𝒑

= 𝑪𝒏−𝟏𝒑

+ 𝑪𝒏−𝟏𝒑−𝟏

Formule du binôme de Newton :

(a+b)n

= 𝑪𝒏𝟎 a

n b

0 + 𝑪𝒏

𝟏 an-1

b1 + 𝑪𝒏

𝟐 an-2

b2 +…….+ 𝑪𝒏

𝒏 a0 b

n

= ∑ 𝑪𝒏𝒑

𝑛

𝑝=0 an-p

bp

Si n=2: (a + b)2 = ∑ 𝑪𝟐

𝒑

2

𝑝=0 a2-p

bp

= 𝑪𝟐𝟎 a

2 b

0 + 𝑪𝟐

𝟏 a2-1

b1 + 𝑪𝟐

𝟐 a2-2

b2

= a2 + 2ab + b2

1

Chapitre 3

Phénomènes aléatoires et théorie des probabilités

3-1. Phénomène aléatoire :

Nous distinguons deux genres de phénomènes :

a) Ceux qui obéissent à des lois fixes.

Exemple : loi de Newton de la pesanteur.

b) Ceux qu'on ne peut pas contrôler. Ils sont soumis au hasard.

Le résultat de l'expérience est variable, même si on répète l'expérience dans les mêmes

conditions.

Ce genre de phénomène est appelé «phénomène aléatoire».

Exemple : - « Lancer un dé ».

- « Lancer une pièce de monnaie ».

La théorie des probabilités s'intéresse à l'étude de l'aspect aléatoire des phénomènes

aléatoires.

3-2. Définitions :

3-2-1. Expérience aléatoire : c'est le mécanisme permettant l'observation d'un phénomène

aléatoire.

3-2-2. Événement : on appelle événement tout ce qui peut se réaliser ou ne pas se réaliser,

à la suite d’une expérience aléatoire.

3-2-3. Événement élémentaire : c'est un événement qui ne sera réalisé que par un seul

résultat de l'expérience aléatoire.

Exemples :

- « obtenir un 6 » en jetant un dé est un événement élémentaire.

- « Obtenir un nombre pair » en jetant un dé, n'est pas un événement élémentaire car il

peut être réalisé par plusieurs résultats de l'expérience aléatoire qui sont : « obtenir 2 »ou

« obtenir 4 »ou « obtenir 6 »

3-2-4. Ensemble fondamental : l'ensemble Ω de tous les résultats possibles d'une

expérience aléatoire donné s'appelle ensemble fondamental.

2

Exemples :

- « jeter une pièce de monnaie » Ω = {P,F} avec (P=pile ; F=face)

- « jeter un dé » Ω = {1,2,3,4,5,6}

- « jeter 2 pièces de monnaies » Ω = { PP,PF,FP,FF}

Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire alors A ∩ B et A∪B sont aussi

des événements.

L'événement « A ∩ B » : est l’événement qui est réalisé si et seulement si les événements

A et B sont tous les deux réalisés simultanément.

Exemple :

Soit : Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}

Et soient : A= {2, 4,6} et B= {1, 2,4}

A ∩ B = {2,4}

L’événement « A∪B » : est l'événement qui est réalisée si l'un au moins des événements A

et B est réalisé.

Exemple :

Soit : Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}

Et soient : A= {2, 4,6} et B= {1, 2,4}

AUB = {1, 2, 4,6}.

3-3. Probabilité d'un événement :

3-3-1. Définition :

Si l'ensemble fondamental Ω contient N éléments équiprobables, et si l'événement A

contient n éléments, alors la probabilité pour que A se réalise est:

𝑃 = 𝑃(𝐴) =𝑛

𝑁=

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=

𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝐀

𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝛀

Exemple 1 : - « lancer un dé » Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}, on a N=6

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre de points pair.

« A » obtenir un nombre de points pair A= {2, 4,6}, on a n=3

𝑃(𝐴) =𝑛

𝑁=

3

6= 0.5

Exemple 2 :

- « jeter une pièce de monnaie » Ω= {P, F} N=2

Quelle est la probabilité d'avoir face.

« A » avoir face A= {F} n=1

𝑃(𝐴) =𝑛

𝑁=

1

2= 0.5

3

Exercice :

On lance une pièce de monnaie deux fois consécutives, quelle est la probabilité d'avoir face

au moins une seule fois ?

Ω= {PP, PF, FP, FF} N=4

A= {PF, FP, FF} n=3

𝑃(𝐴) =𝑛

𝑁=

3

4

3-3-2. Événement contraire :

L'événement contraire à A est 𝐀 , si parmi les cas possibles N, il y a n cas favorables à

A, donc il reste (N-n) cas favorables à 𝐀 .

𝑷(��) =𝑵−𝒏

𝑵= 𝟏 −

𝒏

𝑵

𝑷(��) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) ; Donc on aura 𝑷(𝑨) + 𝑷(��) = 𝟏

3-3-3. Impossibilité et certitude :

Si le nombre de cas favorables à A est nul, l'événement A est impossible.

𝑷(𝑨) =𝒏

𝑵=

𝟎

𝑵= 𝟎

Exemple: ∅ est un événement impossible.

Si le nombre de cas favorables à A est égal au nombre de cas possibles,

l’événement A est certain.

𝑷(𝑨) =𝒏

𝑵=

𝑵

𝑵= 𝟏

Exemple : Ω est un événement certain.

Entre ces deux extrêmes se situe toute une série d'événements probables.

Remarque :

La probabilité d'un événement est donc toujours comprise entre 0 et 1.

𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏

3-4. Evénements incompatibles :

Les événements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisé en même

temps, c'est à dire, si « A et B » est impossible donc A∩B=∅

Exemple :

- « jet d'un dé » Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}

A= {1,2} et B= {3, 4,6}

4

A∩B=∅ A et B sont incompatibles.

3-5. Evénements complémentaire :

Deux événements A et B sont dits complémentaires si et seulement si :

A∩B=∅

AUB = Ω

C'est-à-dire : B = Ω – A = A

Donc A et �� sont complémentaires.

Exemple :

Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}

A= {1, 3,5} et B= {2, 4,6}

A∩B=∅

AUB = {1, 2, 3, 4, 5,6} =Ω Donc A et B sont complémentaires.

3-6. Opérations sur les événements :

1) AUA=A

2) AU∅=A

3) AU Ω= Ω

4) AUA= Ω

5) (A) =A

6) AUB=BUA

7) AU(BUC)=(AUB) UC

8) AU (B∩C)=(AUB) ∩(AUC)

9) A ∪ B =A ∩ B

En général ⋃ 𝐀𝐢𝐧𝐢=𝟏

= ⋂ 𝐀𝐢 𝐧

𝐢=𝟏

10) A∩A=A

11) A∩ ∅= ∅

12) A∩ Ω= A

13) A∩ A=∅

14) Ω = ∅ , ∅ = Ω

15) A ∩ B = B ∩ A

16) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

17) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

18) A ∩ B = A ∪ B

En général ⋂ 𝐀𝐢𝐧𝐢=𝟏

= ⋃ 𝐀𝐢 𝐧

𝐢=𝟏

Exercice :

Soient les deux événements A et B avec :

𝑃(𝐴) =3

8; 𝑃(𝐵) =

1

2 𝑒𝑡 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

4

-Calculer : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) , 𝑃(��) , 𝑃(��) , 𝑃(�� ∩ ��) 𝑒𝑡 𝑃(�� ∪ ��).

Solution

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(A ∩ B) =3

8+

1

2−

1

4=

5

8

𝑃(𝐴 ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −3

8=

5

8

𝑃(𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 −1

2=

1

2

5

𝑃(�� ∩ 𝐵 ) = 𝑃( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =3

8

𝑃(�� ∪ ��) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =3

4

3-7. Algèbre des événements « Tribu »

On appelle « algèbre » ou « Tribu » sur un ensemble Ω qu'on notera A, une famille

d'événements vérifiant.

1)Ω ∈ A. 2) ∀𝐴𝑖 ∈ A 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐴𝑖 ∈ A. 3)∀𝐴𝑖 ∈ A, 𝑖 ∈ 𝑰𝑓𝑖𝑛𝑖 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ∈ A. Exemple :

On lance un dé équilibré Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}, les familles suivantes sont des tribus sur Ω.

A1= {∅, Ω}

A2= {∅, Ω, {1,3,5}, {2,4,6}} A1= {∅, Ω} est une Tribu ?

A vérifier les conditions :

1) Ω ∈ A oui

2) ∅ ∈ A1 ∅ = Ω ∈ A1 oui

Ω ∈ A1Ω = ∅ ∈ A1 oui

3) ∅ ∈ A1 ∅ ∪ Ω ∈ A1 oui

Ω ∈ A1 Ω ∈ A1 oui

Les 3 conditions sont vérifiées, donc A1 est une tribu sur Ω.

Même chose pour A2 (les conditions sont vérifiées).

3-8. Définition :

Le couple (Ω, A) s'appelle espace probabilisable (mesurable).

3-9. Définition2 de probabilité :

Soit (Ω, A) un espace probabilisable, on appelle probabilité sur (Ω, A) toute application

P : A [𝟎. 𝟏]

1) 𝑃(Ω) = 1

2) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝒔𝒊 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

3) pour toute suite (𝐴𝑛)𝑛∈𝑁 d’événements 2 à 2 incompatibles on a:

𝑃 [⋃ 𝐴𝑛

∞

𝑛=1

] = ∑ 𝑃(𝐴𝑛)

∞

𝑛=1

Le triplet (Ω, A, P) est appelé espace probabilisé.

6

3-10. Probabilité conditionnelle

3-10-1. Événement dépendant

3-10-1. Définition

On dit que l'événement A dépend de l'événement B, si la probabilité de la réalisation de

l'événement A dépend de ce que l'événement B et où non réalisé.

Nous désignerons la probabilité de la réalisation de l'événement A, à condition que

l'événement B ait lieu, par P (A/B) appelé probabilité conditionnelle de l'événement A

sachant que B est réalisé.

Exemple :

Le tableau suivant indique le nombre des étudiants de première et deuxième année de la

Faculté SNV selon le sexe.

1 ère année 2 ème année

Filles 200 180

Garçons 150 70

Total 350 250

On choisit un étudiant de cet ensemble.

1) Quelle est la probabilité pour qu'il soit fille?

2) Quelle est la probabilité pour qu'il soit de la 2éme année?

3) Quelle est la probabilité pour qu'il soit fille de la 2éme année?

4) quelle est la probabilité pour qu'il soit fille sachant qu'il est de la 2éme année?

Réponse :

« L'étudiant est une fille »= F

« L’étudiant est un garçon »= G

« L'étudiant est de la première année »=A

« L'étudiant est de la deuxième année »=B

1’/ 𝑷(𝑭) =𝒏𝒇

𝑵=

𝟑𝟖𝟎

𝟔𝟎𝟎= 𝟎. 𝟔𝟑

2’/𝑷(𝑩) =𝒏𝒃

𝑵=

𝟐𝟓𝟎

𝟔𝟎𝟎= 𝟎. 𝟒𝟐

3’/𝑷(𝑭 ∩ 𝑩) =𝒏(𝑭∩𝑩)

𝑵=

𝟏𝟖𝟎

𝟔𝟎𝟎= 𝟎. 𝟑

4’/𝑷(𝑭/𝑩) =𝟏𝟖𝟎

𝟐𝟓𝟎= 𝟎. 𝟕𝟐

7

3-10-1-2. Définition

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. A et B deux événements tel que 𝑃(𝐵) ≠ 0.

La probabilité conditionnelle de A sachant B et réalisé est :

𝑷(𝑨/𝑩)= 𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑩)

Remarque : 𝑃(𝐵) ≠ 0 (car l’événement B est réalisé).

Déductions :

1) Si A et B sont incompatibles, alors 𝑃(𝐴/𝐵)=0

2) 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)

3) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴/𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴) 𝑃(𝐴)

Exemple 1 :

Résoudre l'exercice précédent en appliquant la définition de la probabilité conditionnelle.

𝑷(𝑭/𝑩)=𝑷(𝑭∩𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟏𝟖𝟎

𝟔𝟎𝟎𝟐𝟓𝟎

𝟔𝟎𝟎

=𝟏𝟖𝟎

𝟐𝟓𝟎= 𝟎. 𝟕𝟐

Exemple 2 :

Dans une école, 25 % des élèves échouent en maths, 15 % en chimie et 10 % à la fois en

maths et en chimie.

On choisit un élève au hasard.

1) Si l'élève a échoué en chimie, quelle est la probabilité pour qu'il ait échoué en maths?

2) Si l'élève a échoué en maths, quelle est la probabilité pour qu'il ait échoué en chimie?

3) Quelle est la probabilité qu'il ait échoué en maths où en chimie?

Solution :

« L'élève échoue en maths »=M

« L’élève échoue en chimie »=C

Données :

- 25% =25

100= 0.25 = P(M)

- 15% =15

100= 0.15 = P(C)

- 10% =10

100= 0.10 = P(M ∩ C)

1’/ 𝑃(𝑀/𝐶)=𝑃(𝑀∩𝐶)

𝑃(𝐶)=

0.10

0.15=

2

3

2’/𝑃(𝐶/𝑀)=𝑃(𝑀∩𝐶)

𝑃(𝑀)=

0.10

0.25=

2

5

3’/𝑃(𝑀 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝐶) = 0.3

8

3-10-1-3. Proposition :

L'application P (*/A) de A dans R où 𝑃(𝐴) ≠ 0 est une probabilité sur (Ω, A) vérifiant les

axiomes de définition d'une probabilité.

1) 𝑃(∗/𝐴)∈ [0,1] 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑃(𝐴) ≠ 0

2) 𝑃(Ω/A)=𝑃(Ω∩A)

𝑃(𝐴)=

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴)= 1

3) 𝑃(��/𝐴)= 1 − 𝑃(𝐵/𝐴)

4) ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 , 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅

𝑃[⋃ 𝐵𝑖𝑛𝑖=1 /𝐴]=

1

𝑃(𝐴)∑ 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖/𝐴𝑛

𝑖=1𝑛𝑖=1 )

Remarque : 𝑷(𝑩/𝑩)=1

3-11. Formule des probabilités totales

3-11-1. Définition : (Partition d'un ensemble)

On dit que la suite 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 , … … … … , 𝐴𝑛 d’événements constitue une partition de Ω si :

1) 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ … … … … ∪ 𝐴𝑛 = Ω

2) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

3-11-2. Proposition :

Soit 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 , … … … … , 𝐴𝑛 une suite d'événements constituant une partition de Ω, alors

𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + 𝑃(𝐴3 ) … … … … + 𝑃(𝐴𝑛) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖) =

𝑛

𝑖=1

1

Démonstration :

𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 , … … … … , 𝐴𝑛 Constitue une partition de Ω

{ 1°) 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … … … .∪ 𝐴𝑛=Ω

2°) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ , ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

D’où 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … … … .∪ 𝐴𝑛) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖) = 𝑃𝑛𝑖=1 (Ω) = 1 car 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 ≠ 𝑗.

Exemple :

A et A constituent une partition de Ω car :

1) 𝐴 ∪ �� = Ω

2) 𝐴 ∩ �� = ∅

3-11-3. Théorème

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 , … … … … , 𝐴𝑛 une suite d'événements

constituant une partition de Ω de probabilité non nulle.

Alors, ∀𝐵 ∈A, on a :

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵/𝐴2)+………..+𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵/𝐴𝑛)= ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝑛𝑖=1 𝐴𝑖)

Démonstration :

On a : 𝐵 ∩ Ω = B = B ∩ (𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛) = (𝐵 ∩ 𝐴1) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴2) … … . .∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑛)

9

D’où 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴1) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴2) + … . … … . + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑛)

= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵/𝐴2) +………..+ 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵/𝐴𝑛)

3-12.Théorème de Bayes

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 , … … … … , 𝐴𝑛 une suite d'événements

constituant une partition de Ω de probabilité non nulle.

Alors, ∀𝐵 ∈A, on a :

𝑷(𝑨𝒋/𝑩)=𝑷(𝑩/𝑨𝒋)𝑷(𝑨𝒋)

∑ 𝑷(𝑩/𝑨𝒊)𝑷(𝑨𝒊)𝒏𝒊=𝟏

, ∀𝑗 = 1,2,3 … … … . . 𝑛

Démonstration :

On a: 𝑃(𝐴𝑗/𝐵)=𝑃(𝐴𝑗∩𝐵)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐵/𝐴𝑗)𝑃(𝐴𝑗)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐵/𝐴𝑗)𝑃(𝐴𝑗)

∑ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)𝑛𝑖=1

Exemple :

3 machines automatiques produisent des pièces de voiture. La machine 𝑀1 produit 40 % du

total des pièces, la machine 𝑀2 25 % et la machine 𝑀3 produit 35 %.

En moyenne, les pourcentages des pièces non conformes aux critères imposées sont de 10 %

pour la machine 𝑀1 , de 5 % pour la machine 𝑀2 et de 1% pour la machine 𝑀3.

Une pièce est choisie au hasard dans la production totale des trois machines.

On constate qu'elle n'est pas conforme aux critères imposés.

-Quelle est la probabilité qu'elle ait été produite par la machine 𝑀1 ?

Solution :

Événements : « Pièces produites par la machine 𝑀1 » = 𝑀1

« Pièces produites par la machine 𝑀2 » = 𝑀2

« Pièces produites par la machine 𝑀3 » = 𝑀3

« Pièces conformes aux critères » = 𝐶

« Pièces non conformes aux critères » = 𝐶

Données : P (𝑀1) = 40% = 0.4 P(𝐶/𝑀1) = 0.10

P (𝑀2) = 25% = 0.25 P(𝐶/𝑀2) = 0.05

P (𝑀3) = 35% = 0.35 P(𝐶/𝑀3) = 0.01

P (𝑴𝟏/��) =? ? Conditions de Bayes {

1°) 𝑀1 ∪ 𝑀2 ∪ 𝑀3 = 100% = Ω

2°) {

𝑀1 ∩ 𝑀2 = ∅𝑀1 ∩ 𝑀3 = ∅𝑀2 ∩ 𝑀3 = ∅

10

Donc

P(𝑴𝟏/��) =𝑷(��/𝑴𝟏)𝑷(𝑴𝟏)

𝑷(��/𝑴𝟏)𝑷(𝑴𝟏) + 𝑷(��/𝑴𝟐)𝑷(𝑴𝟐) + 𝑷(��/𝑴𝟑)𝑷(𝑴𝟑)= 𝟎.71

3-12. Événement indépendant

3-12-1. Définition :

Deux événements A et B sont dits indépendants si :

{𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵)

3-12-2. Proposition:

Deux événements A et B sont indépendants si : 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)

Trois événements A, B et C sont dits indépendant si :

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐶)

𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐶)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐶)

Exemple :

On jette trois fois une pièce de monnaie et on considère les événements suivants :

A « le premier jet donne face »

B « le deuxième jet donne face »

C « 2 jets consécutifs donnent face et seulement 2 »

Solution :

Ω= {PPP, PPF, PFF, FFF, FFP, FPP, PFP, FPF} N=8

Entre A et B

A= {FFF, FFP, FPP, FPF 𝑛𝐴 = 4 𝑃(𝐴) =4

8=

1

2

B= {PFF, FFF, FFP, PFP} 𝑛𝐵 = 4 𝑃(𝐵) =4

8=

1

2

𝐴 ∩ 𝐵 ={FFF, FFP} 𝑛(𝐴∩𝐵) = 2 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2

8=

1

4

(𝑃𝐴). 𝑃(𝐵) =1

2.

1

2=

1

4

Et 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

4

Comme P(A) .P(B) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) A et B sont indépendants.

11

Entre A et C

C= {PFF, FFP} 𝑛𝐶 = 2 𝑃(𝐶) =2

8=

1

4

𝐴 ∩ 𝐶 ={FFP} 𝑛(𝐴∩𝑐) = 1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) =1

8

𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) =1

8

P(A).P(C)= 1

8

Comme P(A) .P(C) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) A et C sont indépendants.

Entre B et C

𝐵 ∩ 𝐶 ={PFF, FFP} 𝑛(𝐵∩𝑐) = 2 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =2

8

𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =2

8

P(B).P(C)= 1

8

Comme P(B) .P(C) ≠ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) B et C sont dépendants.

Conclusion :

A, B et C sont dépendants car B et C sont dépendants.

3-12-3. Proposition

Soient A et B, deux événements d'un espace probabilisé (Ω, A, P). Si A et B sont

indépendants alors A et �� sont indépendant. De même pour les événements �� et B et

pour �� 𝒆𝒕 �� .